4. fejezet - A csúszómód szabályozás

A csúszómód szabályozás sajátos helyet foglal el szabályozáselméletben. Egyrészről az egzakt matematikai kezelése számos érdekes kihívást jelentett és mind a mai napig jelent a matematikusok számára. Másrészről e komoly matematikai háttér mélyebb ismerete nélkül is sok esetben viszonylag könnyen alkalmazható, ezért széles körben alkalmazzák is a mérnöki gyakorlatban. Jelen fejezet célja, hogy hidat képezzen az egzakt matematikai leírásmód és a mérnöki alkalmazások között, ahol első helyen a teljesítményelektronikát és az ehhez sok szálon szorosan kapcsolódó mechatronikát kell említenünk.

Napjainkban a legtöbb szabályozott rendszert villamos energiával táplálunk, mert a villamos energia az egyik legtisztább és a legkönnyebben (legkisebb időállandóval) változtatható (szabályozható) energiaforrás. A villamos energia átalakítására a teljesítményelektronika szolgál. A teljesítményelektronikai berendezések egyik legjellemzőbb közös tulajdonsága a kapcsoló üzemmód, vagyis a teljesítményelektronikai berendezésekben található félvezető elemeket ki- vagy bekapcsolhatjuk a veszteségek csökkentése érdekében, hiszen ha a kapcsolóelemnek vagy a feszültsége vagy az árama közel nulla, akkor a vesztesége is közel nulla. Így a teljesítményelektronikai berendezések tipikusan a változó struktúrájú rendszerek (variable structure system: VSS) csoportjába tartoznak. A változó struktúrájú rendszerek rendelkeznek néhány érdekes szabályozástechnikai tulajdonsággal. Egy VSS akkor is lehet aszimptotikusan stabilis, ha a VSS–t alkotó valamennyi struktúra önmagában labilis. Egy további fontos tulajdonság, hogy egy VSS – megfelelő szabályozással ellátva – egy olyan állapotba kerülhet, amikor a rendszer dinamikája az eredetihez képest csökkentett szabadságfokú differenciálegyenlettel írható le. Ebben az állapotban a rendszer elméletileg teljesen független bizonyos típusú paraméterek változásától és bizonyos típusú külső zavarok (pl. nemlineáris terhelés) hatásától. Ezt az állapotot csúszómódnak (sliding mode) és az erre alapozott szabályozást csúszómód szabályozásnak nevezik, amely kiemelten fontos szerepet játszik a teljesítményelektronikai eszközök szabályozása területén.

A változó struktúrájú rendszerek - és ehhez kapcsolódva a csúszómód szabályozás- elméletét először a Szovjetunióban, évtizedekkel ezelőtt dolgozták ki. Az elmélet kidolgozása elsősorban Vadim I. Utkin [1] és David K. Young [2] nevéhez fűződik. Első alkalmazási területe a repülés és a rakétatechnika volt, majd egyre szélesebb körben terjedt a robotirányítás [3], [4] és a szervohajtások [5], [6] területén. A csúszómód a ’70-es évek végén jelent meg a robotok és manipulátorok vezérléseinek tervezésénél [2]. Célja ezeknél az alkalmazásoknál az volt, hogy a robot nemlineáris dinamikáját kézben tarthassuk, és a robot pályakövetési pontosságát érzéketlenné tegyük paraméterváltozások és külső terhelésekkel szemben. A 80-as évek elején a csúszómód megjelent az indukciós motoros hajtások szabályozásában [4], [5] is. Előnye ebben az összetettebb alkalmazásban, hogy közvetlen beavatkozást tesz lehetővé a teljesítményelektronikai eszközökben az indukciós motor nemlineáris és csatolt jellemzőinek ellenére, mert a szabályozó megtervezése szétcsatolható egy nemlineáris és egy alacsonyabb rendű lineáris szabályozó tervezési problémájára. A csúszómód szabályozás két korai alkalmazása rámutatott néhány nagyon előnyös tulajdonságára. E kezdeti munkákat számos tudományos kutatás és gyakorlati alkalmazás követte a robotok vezérlésének és a motoros hajtások szabályozásának területén [3], [4]. A nyolcvanas évektől kezdődően a csúszómód szabályozás a teljesítményelektronikai és mozgásszabályozási alkalmazások egyik kedvelt eszközévé vált és mind a mai napig gyakran alkalmazzák ezen a területen [7], [8], [9]. A ötvenes–hatvanas években Rácz István professzor a Park vektor bevezetésével a teljesítményelektronikába egy máig ható iskolát teremtett. E magyar iskola egy újabb eredményének tekinthető a Park vektoros szemlélet bevezetés a csúszófelületek tervezésének területére [10], [11], és e módszert alkalmazva a szünetmentes áramforrások aszimmetrikus terhelés okozta problémái is kezelhetővé váltak [10], [11].

Az elmélet alapján arra lehetett következtetni, hogy a csúszómód szabályozás nagyszerű és robosztus viselkedést mutat, azonban a kísérletek azt igazolták, hogy ennek komoly korlátjai vannak. A csúszómód alkalmazásának a legnagyobb problémája a csúszófelület körüli nagy frekvenciás oszcilláció, az ún. csattogást (chattering), amely a szabályozás teljesítőképességét erősen csökkenti. Keveseknek sikerült a gyakorlatban is megvalósítani az elmélet által jósolt robusztus viselkedést. Sokan arra a következtetésre jutottak, hogy a csattogás jelenléte miatt a csúszómód szabályozás egy jó elméleti játék, amely a gyakorlatban nem alkalmazható. A következő időszakban a kutatók legnagyobb energiáját a csattogásmentes alkalmazások kötötték le. Erre számos megoldás született.

Tüneti kezelést adhat, ha a kapcsolófelületek éles határvonalát egy folytonos (boundary-layer) átmenettel helyettesítjük [12], vagy a beavatkozó jel nagyfrekvenciás összetevőit egy alul-áteresztő szűrővel szűrjük [13]. Ezek a megoldások értelemszerűen csökkentik a csúszómód robosztusságát. Léteznek olyan módszerek, amelyek a csattogás okait keresik meg, és azt próbálják orvosolni, így elméletileg nem adják fel a rendszer robosztusságát. A csattogás egyik oka, hogy a nagy frekvenciával kapcsolgatott beavatkozó jel gerjesztheti a szabályozott szakasznak a szokásos tervezések során elhanyagolt nagyfrekvenciás tartományba eső sajátfrekvenciáit. Ennek kiküszöbölésére szolgál az ún. megfigyelő alapú csúszómód, melynek lényege, hogy csúszómód szabályozóba egy általunk alkotott megfigyelő állapotváltozóit csatoljuk vissza, és így a csúszómód szabályozó–megfigyelő hurokban egy ideális csúszómód alakulhat ki. Ezt a módszert kísérletileg is sikerült alkalmazni egy olyan - nevezetesen két-tömeg - rendszerre, amely különösen hajlamos a rezgésekre [14]. A megfigyelő nem csak eszköz lehet, hanem cél is. A csúszómód szabályozás elméletére alapozva robosztus és nemlineáris megfigyelő is tervezhető [15], [16]. Egy ugyancsak elméletileg robosztus és gyakorlatban is megvalósított módszer az ún. szektoros csúszómód [17], [18], [19]. A közelmúltban a nemlineáris rendszerek egy új reprezentációja jelent meg, amely a tenzor szorzat modell transzformáción alapszik. A tenzor szorzat modell transzformáció bevezetése a csúszómód szabályozók területére a szektoros csúszómód egy új szemléletű tervezéséhez vezetett [20]. Az analóg csúszómód szabályozók csattogás elkerüléséről egy összefoglaló található a [21] -ben. A csattogás egy másik előidézője lehet a beavatkozó jel korlátozott kapcsolási frekvenciája. A folytonos idejű csúszómód szabályozás robosztusságát nagy frekvenciájú kapcsolgatással megvalósított nagy körerősítéssel érjük el. Ahhoz, hogy ezt a filozófiát a digitális szabályozók világában is alkalmazhassuk, a mintavételezési frekvenciát növelni kell más szabályozásokéhoz képest. Ennek a problémának megoldására a [22] irodalomban a csúszófelület aszimptotikus elérését ajánlják a kommutáció elkerülésére. Egy alternatív megoldást követ [23], ahol a mintavételezett állapotváltozók véges mintavételezési szám után elérik a csúszófelületet. A kilencvenes években az egyszerű pólusáthelyezéstől a különböző optimális szabályozó tervezési módszerekig szinte minden állapot visszacsatolásos algoritmust adaptáltak csúszófelület tervezésére. Ezek közül kiemelhetjük a frekvenciaformálást [24] és a H∞ normára alapozott optimális tervezést [25]. Az előbbi egy frekvenciafüggő súlyozással bünteti az állapotváltozók időfüggvényében megjelenő nagyfrekvenciás összetevőket, az utóbbi a H∞ norma segítségével közvetlen korlátot ad meg a nagyfrekvenciás összetevőkre. Az optimális csúszófelület tervezésére egy összefoglaló található [26] -ben. A közelmúltban az ún. „back stepping” módszert [27] és a legkülönbözőbb lágyszámítási módszereket alkalmazták a csúszófelület tervezésére [28], [29].

Először egy olyan példát mutatunk be, amelyhez hasonlóval többször találkozhatunk a mérnöki gyakorlatban. Tegyük fel, hogy van egy ideális elemekből álló soros L-C körünk, amelyet vagy rövidre zárhatunk, vagy rákapcsolhatjuk egy akkumulátor feszültségét egy tranzisztor kapcsoló segítségével (ld. 41. ábra, ahol a tranzisztoros kapcsoló részletei nincsenek feltüntetve).

Tegyük fel, hogy energiamentes állapotból indulunk és az a célunk, hogy a tranzisztor kapcsolgatásával a kondenzátort az akkumulátor feszültségének felére töltsük fel. A két áramköri elemre felírható differenciálegyenlet:

A soros kapcsolás miatt $$i_c=i_L$$, így a rendszert leíró differenciálegyenlet:

Vezessünk be relatív egységeket oly módon, hogy $$LC=1$$ és $$U_{akk}=1$$ legyen. Vezessük be az $$u_h=U_r-u_c$$ feszültség hibajelet, ahol $$U_r=1/2$$a kondenzátor referencia feszültsége. Így a hibajelre vonatkozó differenciálegyenlet a következő alakú:

Könnyen belátható, hogy a (4.3) egyenlet megoldásához tartozó állapot az $$u_h,\frac{d}{dt}{u}_h$$ fázissíkon mindig egy kör mentén haladhat az óramutatóval megegyező irányban (ld 4-2. ábra)

A kör középpontja a tranzisztorkapcsoló állapotától függ. Az állapottrajektória folytonos, így a kör sugarát az határozza meg, hogy az utolsó kapcsolás pillanatában a rendszer éppen milyen állapotban volt. Tegyük fel, hogy az $$u_h=1/2,\frac{d}{dt}{u}_h=0$$ állapotból indulunk és megfelelő kapcsolgatással az $$u_h=0,\frac{d}{dt}{u}_h=0$$ állapotba kívánunk eljutni. Vezessük be a következő kapcsolási stratégiát:

Ez azt jelenti, hogy ha az állapottrajektória az $$s=0$$ egyenes felett tartózkodik, akkor O1 középpontú kört, ha az egyenes alatt van, akkor O2 középpontú kört kell kapcsolnunk. Vizsgáljuk meg, hogy miként szüntethetjük meg a hibát. Tekintsük a 4-3. ábrat, a (4.4) értelmében először az $$s=0$$ egyenes felett O1 középpontú kör mentén indulunk el. Az egyenest elérve átkapcsolunk egy O2 középpontú körre úgy, hogy közben a trajektória folytonos marad. A második kapcsolás után egy érdekes jelenséget tapasztalunk. Az állapottrajektória amint elindul az O1 középpontú kör mentén, azonnal visszatér arra a térrészre, ahol O2 középpontú kört kell kapcsolni, de e körön sem maradhat tovább az állapottrajektória, újabb kapcsolás következik. Az ábrázolhatóság kedvéért a 4-3. ábran az állapottrajektória az $$s=0$$ egyenes mindkét oldalán jelentősen belenyúlik az egyenes feletti és alatti tartományba. Ideális esetben az állapottrajektória az $$s=0$$ egyenest végtelenül nagy frekvenciával kapcsolgatott és végtelenül rövid szakaszokból álló, minden pontjában megtört görbe mentén követi, más szavakkal a hibajel trajektóriája az $$s=0$$ egyenes mentén csúszik és ezért nevezik csúszómódnak.

A mérnöki, illetve geometriai szemlélet alapján érezzük, hogy a második kapcsolás után a hibajel viselkedését a másodrendű (4.3) helyett a következő elsőrendű differenciálegyenlet írja le:

Ez azért különösen érdekes, mert (4.5)-ben nem szerepel az eredeti rendszer egyetlen paramétere sem, csak az általunk megadott $$\lambda$$, így egy olyan robosztus szabályozáshoz jutottunk, amely bizonyos feltételek mellett érzéketlen bizonyos zavarások és paraméterek változására. A teljesség igénye nélkül vizsgáljuk meg, hogy a rendszer néhány tulajdonságának, illetve paraméterének megváltozása milyen hatással lehet. Ha az ideális veszteségmentes elemeket valóságos veszteséges elemekkel helyettesítjük, akkor az állapottrajektória kör helyett csökkenő sugarú spirál mentén halad, ha pedig az akkumulátor feszültség ingadozik, akkor a kör középpontja vándorol. Mindkét változás hatással van a csúszómódot megelőző szakaszra és módosítja a csúszómód fennmaradásának feltételét, de mindkét esetben a csúszómód fennmaradhat (az állapottrajektória nem tudja elhagyni a kapcsolóegyenest), és ha fennmarad, akkor a fent említett változások nem befolyásolják a rendszer csúszómódbeli viselkedését.

Tekintsük a következő autonóm differenciálegyenlet-rendszert:

ahol $$x\in {\Re }^n$$ és $$f(x):{\Re }^n\to {\Re }^n$$. Ha $$f(x)$$folytonos, akkor (4.6) helyett a következő integrál egyenletet írhatjuk:

A (4.6) differenciálegyenlet (4.7) alakú megoldását Carathéodory megoldásnak szokás nevezni, amely bizonyos feltételek mellett akkor is létezhet, ha $$f(x)$$nem folytonos [30]. A közelmúltban több cikk és Ph.D. dolgozat foglalkozott azzal, hogy miként lehet enyhíteni az $$f(x)$$-re vonatkozó és a (4.7) létezését garantáló előfeltételezéseket, de a bemutatott példára egyik eset sem alkalmazható, teljesen más jellegű megoldással kell próbálkozni.

Filippov egy olyan megoldást javasolt, amely talán közelebb áll az előző pontban bemutatott mérnöki szemlélethez [31], [32]. Filippov a (4.6) megoldását egy adott pontban annak alapján kereste, hogy miként viselkedik a derivált az adott pont környezetében, megengedve még azt is, hogy egy nulla mértékű halmazon a derivált viselkedése teljesen eltérjen a környezetétől, és a megoldás szempontjából figyelmen kívül hagyja a deriváltat ez utóbbi halmazon. Filippov eredeti definíciója nem-autonóm differenciálegyenletekre vonatkozott, de e fejezetben csak autonóm differenciálegyenletekkel foglalkozunk.

Tekintsük a (4.6) differenciálegyenlet-rendszert és tegyük fel, hogy $$f(x)$$ az $$x$$ tér egy nyitott tartományán majdnem mindenütt értelmezett, mérhető és helyileg korlátos vektorfüggvény, amelyik x-ben nem folytonos. Az $$f(x)$$ vektor értékkészletéből adott x mellett definiáljunk egy $$K_{konv}$$ halmazt:

ahol $$Q(x,\delta )$$az x pont δsugarú környezetét, μa Lebesgue értelemben vett mértéket, N a Lebesgue értelemben vett nulla mértékű halmazt és a „konv” szócska az adott halmaz konvex lezárását jelöli.

Filippov a nem folytonos differenciálegyenlet-rendszerek megoldására a következő definíciót vezette be:

Definíció

Egy abszolút folytonos $$x(t):[T_0,T_2]\to G\in {\Re }^n$$vektorfüggvény akkor megoldása a (4.6) differenciálegyenlet- rendszernek, ha $$[T_0,T_2]$$ tartományon majdnem minden t-re felírható

Megjegyezzük, ha $$f(x)$$ folytonos, akkor $$K_{konv}$$ halmaznak minden x-re csak egyetlen eleme van, mégpedig $$f(x)$$, így Filippov definíciója összhangban van a szokásos (jobb oldalán folytonos) differenciálegyenletek megoldásával. Ugyanakkor, ha $$f(x)$$ nem folytonos, akkor ez a definíció megengedi, hogy (4.6) megoldását olyan $$x$$ tartományban keressük, ahol $$f(x)$$ nincs értelmezve.

Alkalmazzuk Filippov definícióját a bevezető példa általánosításaként olyan állapot visszacsatolásos szabályozókörre, amelynek a visszacsatoló ágában egyetlen relé található (ld. 4-4. ábra). Tegyük fel, a rendszer állapotát (4.6) alakú differenciálegyenlet írja le, olyan módon, hogy a jobb oldalon álló $$f(x)$$ vektorfüggvény a relé állapotától függően ugrásszerűen változik. A szabályozási (kapcsolási) stratégia legyen a következő. A visszacsatolt állapotváltozók által kifeszített tér $$G\in {\Re }^n$$tartományában definiáljunk egy n-1 dimenziós sima reguláris S hiperfelületet (amelyet kapcsoló felületnek is nevezhetünk) egy folytonos $$s(x):{\Re }^n\to \Re$$ skalár-vektor függvény segítségével a következő módon:

A szabályozás célja, hogy az állapottrajektóriát erre a felületre kényszerítsük. Az ezzel kapcsolatos feltételeket a 2.3.1 fejezet tárgyalja. Az S felület pontjait jelöljük xs-sel. E felület segítségével osszuk két részre a G tartományt:

A G tartományon legyen az x-re vonatkozó differenciálegyenlet a következő alakú:

ahol mind $$f^{+}(x)$$, mind $$f^{-}(x)$$ egy egyenletesen folytonos vektor-vektor függvény. Vegyük észre, hogy az S felületen $$f(x)$$ nincs értelmezve, és nem tettünk olyan kikötést, hogy $$f^{+}(x)$$ és $$f^{-}(x)$$ az S felület két oldalán egyezzen meg.

Az S felületen kívül egy közönséges differenciálegyenlettel van dolgunk. A (2.12) megoldása az S felület xs(t) pontjaiban okozhat gondot. A (4.9) definíció szerint K az a legkisebb zárt konvex halmaz, melyet úgy kapunk, hogy az S felület xs(t) pontjaiban vesszük xs egy tetszőleges $$\delta >0$$környezetét, ebből kizárjuk $$f(x_s)$$-t, vagyis egy olyan nullamértékű N tartományt, ahol $$f(x)$$ nincs értelmezve, s az így kapott tartományhoz tartozó $$f(x)$$ vektorok halmazát zárt konvex halmazzá egészítjük ki. Nyilvánvaló, hogy $$\delta >0$$ értéke minél kisebb, annál kisebb lesz az így kapott zárt konvex halmaz. Végül vennünk kell a zárt konvex halmazok közös részét az összes $$\delta >0$$és N mellett. Mivel f(x) abszolút folytonos, ezért az S felület bármely pontján léteznek a következő határértékek:

Ebből az következik, hogy az S felület bármely xs(t) pontjához tartozó $$\underset{\delta >0}{\cap }\underset{\mu N=0}{\cap }f(Q(x,\delta )-N)$$ halmaznak csak két eleme van, $$f^{+}(x_s)$$ és $$f^{-}(x_s)$$. E két vektornak kell venni a konvex lezárását, amelyik az összes $$\delta >0$$ értékhez tartozó legkisebb részhalmaz lesz. Összefoglalva, a (4.6) differenciálegyenlet a (4.12) alakú nem-folytonossággal az S felület xs(t) pontjaiban a (4.9) definíció értelmében a következő alakban írható le:

A (4.14) szemléltetéséhez tekintsük a 4-5. ábrat, ahol az S felület P pontjához tartozó $$f^{+}(x_{SP})$$ és $$f^{-}(x_{SP})$$ vektort rajzoltuk fel. Az $$x_{SP}$$ pontban az állapottrajektória változását az $$f_{eq}(x_{SP})$$ ekvivalens vektor adja meg, amely az $$f^{+}(x_{SP})$$ és $$f^{-}(x_{SP})$$ vektorok konvex összege.

Jelöljük Lfs(x)-szel az s(x) skalár függvénynek az $$f(x)$$ vektortérre vonatkozó irány menti deriváltját.

ahol (a●b) az a és b vektorok skalárszorzatát jelöli. Mivel s(x) egyenletesen folytonos, ezért az S felület bármely pontján léteznek a következő határértékek:

értékét úgy kell meghatározni, hogy $$\frac{d}{dt}{x}_S$$, illetve $$f_{eq}(x_S)$$ merőleges legyen az S felület normálisára (ld. Filippov 3. Lemma [32]).

(4.17) úgy értelmezhető, hogy a csúszómódban a csúszófelület $$x_S$$ pontjaiban az állapottrajektória változását egy olyan ekvivalens $$f_{eq}\text{(}{x}_S\text{)}$$ vektor függvénnyel írhatjuk le, amely kielégíti a (4.17) feltételt. A (4.14) és (4.17) alapján:

A (4.18)-ből kifejezhető

A bevezető példa áramkörében két energiatároló elem van (L és C), ezért az áramkör viselkedését két állapotváltozó segítségével írhatjuk le. A szabályozás célja az, hogy a hibajelet megszüntessük, ezért célszerű a hibajelet és annak időszerinti első deriváltját választani állapotváltozónak.

A hibajelre vonatkozó állapotegyenlet konstans $$U_r$$ alapjel mellett a szokásos mátrixos alakban a következő:

ahol $$a_{22}=0$$, ha ideális L-C elemeket feltételezve a veszteségeket elhanyagoljuk, és $$a_{22}=-R/L$$ ha egy soros ellenállással modellezzük az áramkör veszteségeit. A (4.4) alapján, legyen a csúszófelületet definiáló skalár függvény

A (4.23) mátrixegyenletet átírva (4.12) alakúra:

Ahol

Az s(x) skalár függvénynek az $$f(x)$$ vektortérre vonatkozó irány menti deriváltja az S felület két oldalán:

Megjegyezzük, hogy esetünkben mind $$f^{+}(x)$$, mind $$f^{-}(x)$$ értelmezhető magán az S felületen is, ezért nincs szükség a (4.16)-ban leírt határérték számításra, az S felülethez tartozó $$u_{hs},\frac{d}{dt}{u}_{hs}$$ pontok közvetlenül behelyettesíthetők. Ugyanakkor a (2.21) feltétel csak a következő tartományban teljesül.

Ebből az következik, hogy az adott relés szabályozó mellett az S felületnek csak egy korlátozott részén alakulhat ki a csúszómód. A relés szabályozási törvény további tagokkal kiegészítve a teljes S felületére kiterjeszthető a csúszómód kialakulásának feltétele [3]. Maradva a relés szabályozónál, a (4.19) és (4.27) alapján:

A (4.13), (2.51), (2.53), valamint (2.56) alapján a csúszómódban a rendszert leíró differenciálegyenlet a következő alakú lesz:

A (4.30) differenciálegyenlet lényegében megegyezik a csúszóegyenes egyenletével.

Ezzel beláttuk, hogy a sima reguláris S csúszóegyenes előállítható végtelenül nagy frekvenciával kapcsolgatott és végtelenül rövid szakaszokból álló, minden pontjában megtört görbe segítségével. A (4.30) megoldása:

ahol $$U_{hs0}$$ az $$u_{hs}$$ hibajel kezdeti értéke abban a pillanatban, amikor az állapottrajektória eléri az S felületet. A (4.32)-ből az is látható, hogy $$\lambda$$ a csúszóegyenesre jellemző időállandó. Vegyük észre, hogy a (4.32) egyenletben nem szerepel az eredeti áramkör egyetlen paramétere sem. Ez azt jelenti, hogy a fent vázolt ideális csúszómódban a relés szabályozási törvény a rendszer bizonyos paramétereire és bizonyos jellegű zavarójelekre érzéketlen robosztus szabályozóhoz vezet. A fenti levezetés csak azzal foglalkozik, hogy a rendszer miként viselkedik magán a csúszófelületen, de nem foglalkoztunk azzal a gyakorlatban nagyon fontos kérdéssel, hogy miként lehet gondoskodni arról, hogy az állapottrajektória mindig elérje a csúszófelületet, és a csúszófelületen maradjon.

Természetesen a valóságban egy ilyen ideális csúszómód nem alakulhat ki. Mérnöki szempontból ennek egy közelítő és azon belül is az ún. csattogásmentes megvalósítása jelenti a kihívást.

Az előző pontban azt feltételeztük, hogy a rendszernek egyetlen bemenete van, ezért a $$G\in {\Re }^n$$tartományt egyetlen hiperfelülettel két részre osztottuk és a rendszert relés jelleggel e felület mentén kapcsolgattuk. Tegyük fel, hogy a rendszernek m bemenete van és minden bemenetet relés jelleggel kapcsolgatunk. Ennek megfelelően a$$G\in {\Re }^n$$tartományban definiálunk m db n-1 dimenziós sima reguláris Si hiperfelületet m db folytonos $$s_i(x)$$ skalár-vektor függvény segítségével a következő módon:

Minden egyes felület segítségével más-más módon oszthatjuk ketté a G tartományt:

Általános esetben a G tartományt 2m részre osztjuk és a (4.12) kiterjesztéseként $$f(x)$$ minden tartományban más-más alakot vehet fel.

A csúszómód kialakulhat részlegesen minden Si felületen a többi felülettől függetlenül. Globális csúszómódról akkor beszélünk, ha minden felületen kialakult a csúszómód, vagyis a globális csúszómód a hiperfelületek közös S metszésvonalán alakulhat ki.

ahol $$s(x)$$ az egyes $$s_i(x)$$ skalár-vektor függvények oszlopvektora:

Csúszómódban az állapottrajektória az S metén halad. Az S felület 2m résztartománnyal határos és a (4.9) definíciónak megfelelően az S felület bármely xs(t) pontjához tartozó $$\underset{\delta >0}{\cap }\underset{\mu N=0}{\cap }f(Q(x,\delta )-N)$$ halmaznak 2m eleme van, $$f^k(x_s)$$. E vektoroknak kell venni a konvex lezárását, amelyik az összes $$\delta >0$$ értékhez tartozó legkisebb részhalmaz lesz. A (4.35) differenciálegyenlet az S felület xs(t) pontjaiban a következő alakú:

Csúszómódban a $${\zeta }_k$$ értékeinek meghatározásához a (4.19)-et kell általánosítanunk.

A fenti definíció az jelenti, hogy az állapottrajektória az S felület mentén, az S felület normálisára merőleges irányban halad. A 4-7. ábra a részleges és globális csúszómódot szemlélteti m=2 esetre. A P1 és P2 pontban részleges, valamint P3 pontban globális csúszómód alakulhat ki. A csúszómód kialakulásának feltételét kétféle megközelítésben írhatjuk elő. Az első megközelítésben a részleges csúszómódot lokálisan az egyes Si felületek mentén külön-külön írhatjuk elő.

Meg kell jegyezni, hogy a rendszeregyenlet belső struktúrájától függően az egyes bemenetek nem minden esetben függetleníthetőek egymástól. A másik és általánosabban alkalmazható megközelítésben a csúszómód kialakulását globálisan, az Si hiperfelületek közös metszéspontjában írjuk elő.

Ennek megfelelően a szabályozási törvényt is kétféle megközelítésben kereshetjük. Az egyik megközelítésben minden bemenetnél a többi bemenettől függetlenül a (4.40) kielégítése a cél. A másik megközelítésben az összes bemenetet együttesen úgy változtatjuk, hogy a (4.41) teljesüljön. A teljesítményelektronika területén tipikusan a háromfázisú rendszerek említhetők meg, mint a több bemenetű-több kimenetű rendszerek. A [10], [11] -ban mind a (4.40), mind (4.41) megközelítésre találunk példát.

A csúszómód szabályozó megtervezése három fő lépésből áll: első lépés a csúszófelület megtervezése, a második lépés egy olyan szabályozási törvény kiválasztása, amely az állapotváltozók trajektóriáját a csúszófelületre kényszeríti, majd azon tartja, végül a harmadik - a legfontosabb - lépés, a csattogás (lengés) mentesen történő megvalósítás.

Tekintsük a következő lineáris időinvariáns rendszert:

ahol $$u\in R^m$$,$$A\in {\Re }^{n\times n}$$és $$B\in {\Re }^{n\times m}$$. Célunk a rendszert egy adott kezdeti állapotból eljuttassuk egy előírt egyensúlyi állapotba, és ehhez feltételezzük, hogy $$AB$$ szabályozható párt alkot. Ha az állapotváltozókat szétválasztjuk, a (4.42) rendszer átírható az alábbi,

reguláris alakra, ahol az $$u$$ beavatkozó jel közvetlenül csak az $$x_2\in {\Re }^m$$ állapotváltozókra tud hatni, $$x_1\in {\Re }^{n-m}$$-re csak közvetetten, $$x_2$$-n keresztül.

Egy olyan alkalmazást kerestünk, amelynek a matematikai leírása hasonló a 4.2 példa leírásához, és amelyhez megvoltak a kísérleti eszközök. Célunk az, hogy egy permanens mágneses szervomotor forgórészét csúszómódban eljuttassuk az egyik pozícióból egy másikba [26] alapján. Elhanyagolva a motor armatúra induktivitását (más megközelítésben a villamos időállandót), a rendszer két állapotváltozóval írható le. A motor aktuális pozícióját tekintsük zéró értéknek, és legyen a referencia jel egy konstans nullától különböző pozícióérték r. Válasszuk állapotváltozónak a motor szögelfordulásának és szögsebességének hibajelét.

A motor hibajelére vonatkozó differenciálegyenlet konstans pozíció alapjel mellett:

ahol $$J$$ és Fv a szervorendszer másodrendű nyomatéka, illetve viszkózus súrlódást figyelembe vevő paramétere. A $$\phi$$ a motor fluxusa, k a motor felépítésére jellemző konstans, R az armatúrakör ellenállása és Uk a motor kapocsfeszültsége. Legyen a csúszófelületet definiáló skalár függvény:

Ez a $${\varphi }_e{\omega }_e$$ állapotsíkon egy egyenest határoz meg (ld. 4-11. ábra).

A legegyszerűbb relés szabályozót feltételezve:

A (4.12), (4.62) és (4.64) alapján

ahol

Ez jellegében megegyezik a (4.25) egyenlettel, ezért (4.64) megoldása:

ahol $${\varphi }_{e0}$$ a $$\varphi$$ szögelfordulás hibájának az értéke abban a pillanatban, amikor az állapottrajektória eléri az S felületet. A bevezető példához hasonlóan itt is egy robosztus szabályozáshoz jutottunk. Vizsgáljuk meg a csúszómód kialakulásának feltételét (4.21) alapján. Ehhez szükségünk van az S idő szerinti első deriváltjára, a (4.64) és (4.65) alapján:

Az $$U_k$$ értékét a (4.46) relé segítségével határozzuk meg. A (2.21) a következő feltételek mellett teljesül:

A fejezet egy rugalmas tengellyel összekötött ún. kéttömeg rendszer csúszómód szabályozásával foglalkozik. A kihívást az jelenti, hogy a kéttömeg rendszer önmagában lengésre hajlamos, és a csúszómód szabályozás legnagyobb problémája, hogy lengéseket gerjeszt. Ezért mérnöki szempontból nem a csúszómód szabályozás a legalkalmasabb e szabályozási feladatra, de pont ezért fontos annak bizonyítása, hogy egy ilyen lengésre hajlamos rendszert is lehet csattogás mentesen szabályozni csúszómódban. A következőkben megvizsgáljuk, hogy miként befolyásolja az előző fejezet végén tárgyalt kísérleti berendezés működését, ha a mozgatott tömeget egy rugalmas tengely segítségével kapcsoljuk a motorhoz, majd javaslatot teszünk a tengely elcsavarodásának közvetlen csúszómód szabályozására, és bemutatjuk a lengések elkerülésének módját.