9. fejezet - Aszinkronmotor érzékelő nélküli fordulatszám becslése

Tartalom
9.1. A motor állapotegyenletei alapján történő fordulatszámbecslés
9.2. Modell-referenciás adaptív szabályozó
9.3. Megfigyelőn alapuló fordulatszámbecslés
9.3.1. Kalman-szűrő alapú érzékelő nélküli fordulatszám becslés
9.3.1.1. Kiterjesztett Kalman-szűrő
9.3.1.2. Aszinkron motor fordulatszámának becslése Kalman–szűrő alkalmazásával
9.3.2. Állapotbecslés diszkrét idejű H∞ szűrővel

Az aszinkronmotorra alkalmazott szabályozási módszerek több esetben is megkívánják a motor fordulatszámának, illetve a forgórész pozíciójának ismeretét. Ezen információkat a motor tengelyére szerelt enkóder képes szolgáltatni, ugyanakkor előnyösebb lehet szoftveres úton megállapítani a motor fordulatszámát, akár hibalehetőség-csökkentés, akár költséghatékonysági szempontból. A szoftveres fordulatszám és pozíció becslés alapja a motor fluxusának becslése, amely történhet:

Ezek közül a motor csillagpontján keletkező zérusrendű feszültség mérésével történő becslő módszer nem kerül ismertetésre.

Legtöbbször a különböző módszerek nem a fordulatszám becslés módjában térnek el, hanem a fluxus becslési technikákban. Ez természetesen az egyes technikákon belül értendő, hiszen a felsorolásban említett módszerek alapjaiban más technikák, így a fordulatszám becslése is teljesen más alapon nyugszik.

9.1. A motor állapotegyenletei alapján történő fordulatszámbecslés

Az állapotegyenletek alapján történő becslés a motor feszültségei és áramai alapján becsli meg az aktuális fordulatszámát a motornak. Ezen módszerek zöme az álló koordináta-rendszerben implementálható. Az álló koordináta-rendszerben történő számítások elvégzéséhez szükséges a csatolt fluxus és az áram összefüggések közül a forgórész egyenleteket az álló koordináta-rendszerbe transzformálni, míg az állórész egyenletek álló koordináta-rendszerben értelmezettek. Az állórész koordináta-rendszerben a két forgórész feszültségegyenlet transzformálása után a motor feszültség egyenletei természetesen az (8.54)(8.57) összefüggésekkel megegyeznek. A fluxus egyenletek pedig

ψ sd = i sd L s + i rd L m

(9.1)

ψ sq = i sq L s + i rq L m

(9.2)

ψ rd = i sd L m + i rd L r

(9.3)

ψ rq = i sq L m + i rq L r

(9.4)

Az (8.54)(8.57) összefüggések alapján fordulatszámbecslő eljárás alkotható meg a forgórész feszültségegyenleteinek köszönhetően, hiszen azok tartalmazzák az ωr forgórész fordulatszámot. Az (8.56) és (8.57) összefüggésekből a forgórész ellenállást kifejezve a két összefüggés egymással egyenlővé tehető [56]. Átalakítások után adódik, hogy a forgórész fordulatszáma

ω r = d ψ rq dt i rd + d ψ rd dt i rq ψ rd i rd + ψ rq i rq

(9.5)

A forgórész áramok a (9.1)(9.2) állórész fluxus egyenletekből kifejezhetők. A kétfázisú koordináta-rendszerben értelmezett d és q irányú komponenseik (9.6) és (9.7) formában fejezhetők ki.

i rd = 1 L m ( ψ sd L s i sd )

(9.6)

i rq = 1 L m ( ψ sq L s i sq )

(9.7)

A (9.5) összefüggésbe behelyettesítve a (9.6) és (9.7) összefüggéseket minden tagból leegyszerűsíthető a mágnesező induktivitást tartalmazó szorzó. Ekkor a (9.8) alakra módosul a fordulatszámot megadó összefüggés.

ω r = d ψ rq dt ( ψ sd L s i sd )+ d ψ rd dt ( ψ sq L s i sq ) ψ rd ( ψ sd L s i sd )+ ψ rq ( ψ sq L s i sq )

(9.8)

A (9.8) összefüggéssel történő fordulatszám-becsléshez szükséges a fluxus becslése is, hiszen mind a forgórész fluxus, mind az állórész fluxus ismerete szükséges a számításhoz. Az állórész fluxust a (9.9) és (9.10) összefüggésekből lehet becsülni a következőképpen:

ψ sd = ( u sd i sd R s ) dt

(9.9)

ψ sq = ( u sq i sq R s ) dt

(9.10)

A forgórész fluxus becslése a forgórész fluxusból kifejezett áramértékek állórész fluxus egyenletekbe történő behelyettesítésének eredményeképpen létrejövő összefüggések alapján oldható meg. Az GOTOBUTTON OLE_LINK7 \* MERGEFORMAT


        

összefüggés átrendezés után, illetve komponenseire bontva a d és q irányú komponensek (amik álló koordináta rendszerben megfelelnek az és irányú komponenseknek):

ψ rd = L r L m ( ψ sd + i sd L s )

(9.11)

ψ rq = L r L m ( ψ sq + i sq L s )

(9.12)

A fordulatszám becsléséhez használt állórész fluxus-becslő algoritmusok a (9.9) és (9.10) alapján történnek, így integrálási hiba (drift) jelenik meg a becslésekben. A két összefüggésben használt áramértékek a motormodellből már hibával terhelt jelként érkeznek a fluxus becslő modellbe, ahol az újabb integrálás a hibát még jobban megnöveli, hiszen az integrálás során a hiba is összegződik.

9.2. Modell-referenciás adaptív szabályozó

A modell-referenciás adaptív szabályozót két fluxus számító modell alkotja. Ezek közül a referencia modell a motor három fázisán mért áramot és feszültséget használja fel a forgórész fluxus becslésére. A referencia modellen kívül egy olyan adaptálható vagy másképpen fogalmazva hangolható modellt tartalmaz a szabályozó, amely szintén a forgórész fluxust számítja, de olyan modell alapján, amelynek bemenete a motor fázisáramain és feszültségein kívül a motor fordulatszáma is. A strukturális felépítést bemutató ábrán látható, hogy a két forgórész fluxust számító modell által szolgáltatott eredmény összehasonlításra kerül egymással, majd a hibajelet egy szabályozó csökkenti nullára (9-1. ábra). Ez azt jelenti, hogy a referenciaként vett fluxus értékével – majdnem – megegyező értékűre szabályozza a hangolható modell által szolgáltatott fluxus értékét a szabályozó. Ekkor – mivel a feszültség és áram bemenetei a két modellnek megegyeznek – olyan fordulatszámértéket fog a szabályozó kiadni mintegy folyamatos szabályozójelként, ami megegyezik a motor fordulatszámával, hiszen ez fogja az összefüggések alapján ugyanazt a fluxust biztosítani a hangolható modell kimenetén [57], [58].

A modell-referenciás adaptív szabályozás struktúrája
9.1. ábra - A modell-referenciás adaptív szabályozás struktúrája


A referencia modell:

A referencia modell szolgáltatja a referencia forgórész fluxus értéket. Az állapotegyenletek alapján történő fluxus becsléssel megegyező módon, a mért háromfázisú feszültség és áramértékek d - q koordinátarendszerbe történő transzformációját követően végezhető el az állórész koordinátarendszerhez igazított állórész fluxus d és q összetevőinek számítása. Ezt követően a forgórész fluxus egyenletekbe történő behelyettesítéssel becsülhető a forgórész fluxus.

A hangolható modell:

A hangolható modellben a forgórész feszültség összefüggései alapján történik a fluxusbecslés az (8.56) és (8.57) feszültség kifejezések és a (9.3) és (9.4) fluxus kifejezések felhasználásával. A (9.3) és (9.4) összefüggésekből kifejezhetők az áramok:

i rd = 1 L r ( ψ rd L m i sd )

(9.13)

i rq = 1 L r ( ψ rq L m i sq )

(9.14)

Az (9.13) és (9.14) összefüggéseket az (8.56) és (8.57) forgórész feszültség egyenletekbe helyettesítve, majd azokat d ψ rd dt és d ψ rq dt -re rendezve realizálható a hangolható modell.

A hibajel képzés:

A hibajel képzése a szakirodalomban megjelent módszer szerint Popov hiperstabilitási kritériumán alapszik, amelynek végeredményeként a referencia modell által becsült forgórész fluxusvektor és a hangolható modell által becsült forgórész fluxusvektor egymásnak komplex konjugáltjai kell, hogy legyenek [59].

Im( ψ ¯ r * ψ ¯ r )=0

(9.15)

A szabályozó:

Mivel két vektor közti eltérés a hibajel, így egy I (csak integráló) típusú szabályozó képes ellátni a hiba folyamatos integrálásával a szabályozást és a két vektor közti különbséget nullára csökkenteni.

9.3. Megfigyelőn alapuló fordulatszámbecslés

A szabályozási körben állapotszabályozó használata feltételezi, hogy az irányítandó folyamat összes állapotváltozója ismert, mérhető. Ez a feltétel az esetek legnagyobb részében nem így van, legtöbbször méréssel csak az y(k) kimenőjelekhez és az u(k) bemenőjelekhez lehet hozzáférni. A hagyományosnak mondható PID algoritmusok hibajelének képzéséhez szintén szükség van bizonyos mennyiségek ismeretére úgy, mint a motor fordulatszámának vagy éppen a forgórész fluxusának ismeretére. A fordulatszám becslése történhet a motor állapottér-modelljének alapján, úgynevezett megfigyelő használatával (9-2. ábra). A megfigyelők működése egy költségfüggvény minimalizálásán alapszik, amelynek eredményeképpen valamilyen szempontból optimális becslés kapható az állapottér-modellel felírt rendszer állapotváltozóira vonatkozóan.

Állapot megfigyelő általános elvi struktúrája
9.2. ábra - Állapot megfigyelő általános elvi struktúrája


9.3.1. Kalman-szűrő alapú érzékelő nélküli fordulatszám becslés

A Kalman-szűrő – amely a megfigyelő alapú fordulatszám becslési módszerek között elsőként ismertetése kerül – az egyik legszélesebb körben alkalmazott állapotmegfigyelő. A Kalman-szűrő olyan rendszerek állapotbecslésére alkalmas iteratív algoritmus, amelyeket jellemez az állapotra és a kimenetre ráülő zaj. A Kalman-szűrő optimális megoldást ad lineáris, dinamikus rendszerek állapotbecslésére zajos mérési környezetben [60]. A működését tekintve az állapotbecslés diszkrét állapottér modell alapján történik (8.113), (8.114), (8.111), (8.112).

Kalman-szűrő működési elve
9.3. ábra - Kalman-szűrő működési elve


A diszkrét Kálmán-szűrő az állapotbecslést rekurzív módon végzi (9-3. ábra), az (9.16)(9.17) diszkrét idejű állapottér modellel megadott rendszerre:

x k = F k1 x k1 + G k1 u k1 + w k1

(9.16)

y k = H k x k + v k

(9.17)

A wk állapotzaj vagy folyamatzaj, és a vk mérési vagy megfigyelési zaj nulla várható értékű fehérzajok, más szóval normális eloszlású valószínűségi vektorváltozók. A zajok egyáltalán nem korrelálnak egymással, valamint Qk és Rk kovariancia mátrixaik ismertek:

w k  ~ N( 0, Q k )

v k  ~ N( 0, R k )

E( w k w j T )= Q k δ kj

(9.18)

E( v k v j T )= R k δ kj

E( w k v j T )=0

Az xk állapotvektor értékét befolyásolja a wk zaj, azaz xk egy valószínűségi vektorváltozó. A Kálmán-szűrő az x ^ k becsült értéket az ugyancsak zajjal terhelt yk mérési eredmények alapján határozza meg, ami a vk mérési zaj miatt ugyancsak valószínűségi vektorváltozó. Az xk értékét két különböző módon lehet becsülni aszerint, hogy az yk k-adik mérési eredmény már rendelkezésre áll-e. Az yk-t nélkülöző becslést a priori, a figyelembe vevő becslést a posteriori becslésnek nevezik:

x ^ k =E( x k | y 1 , y 2 , y k1 )=a priori

(9.19)

x ^ k + =E( x k | y 1 , y 2 , y k )=a posteriori

(9.20)

Az x ^ k - és az x ^ k + tehát egyaránt az xk állapotvektor becsült értékei, csak különböző információn alapulnak. Az a priori becslés xk várható értéke az eggyel korábbi mérésig rendelkezésre álló adatok alapján, az a posteriori becslés pedig xk várható értéke az yk -t is figyelembe véve [61].

A Kálmán-szűrő működése rekurzív módon, rekurziónként két lépésben történik. Az első lépés a predikciós lépés, mely az idő múlásából eredő változásokat veszi figyelembe, a második lépés pedig a korrekciós lépés, mely a mérés/megfigyelés alapján korrigálja a becslést.

Predikciós lépés

A predikciós lépés a (9.16) állapotegyenlet és a korábbi x ^ k-1 + a posteriori állapotbecslés alapján előrejelzi az új állapotot (a priori becslés), valamint a korábbi P k-1 + a posteriori hiba kovariancia mátrix alapján kiszámítja a P k - új a priori hiba kovariancia mátrixot.

x ^ k = F k1 x ^ k1 + + G k1 u k1

(9.21)

A P k - új a priori hiba kovariancia mátrix. Figyelembe véve, hogy az állapotbecslés hibája és az állapotzaj egymástól független valószínűségi vektorváltozók:

P k = F k1 P k1 + F k1 T + Q k1

(9.22)

A fenti egyenletet nevezik diszkrét idejű Ljapunov-egyenletnek vagy Stein-egyenletnek is, és a kovariancia időbeli alakulását írja le.

Korrekciós lépés

A korrekciós lépésben az a posteriori becslés az a priori becslés frissítésével áll elő, mégpedig az yk mérési eredmény és az a priori állapotbecslés alapján „előre vetített” H k x ^ k várt kimeneti érték különbségének felhasználásával:

x ^ k + = x ^ k + K k ( y k H k x ^ k )

(9.23)

A Kk a Kálmán-erősítés, n×n-es mátrix. A Kálmán erősítés meghatározási módjától függ, hogy a szűrő optimális lesz-e, és ha igen, akkor milyen szempontból.

Behelyettesítve az a posteriori becslés (9.23) szerinti alakját és az állapotvektor és a mérési zaj vektor változók elvégezve az egyszerűsítéseket:

P k + =( I K k H k ) P k ( I K k H k ) T + K k R k K k T

(9.24)

A fenti alak az a posteriori vagy frissített hiba kovariancia mátrix általános alakja, mely érvényes optimális és nem optimális Kálmán-erősítés esetén egyaránt.

A Kálmán-erősítést úgy célszerű meghatározni, hogy az a posteriori állapotbecslés vektor elemeiből képzett hibanégyzetösszeg várható értékét, más szavakkal az egyes becsült állapotok értékek hibái szórásnégyzeteinek összegét minimalizálja. Az optimális Kálmán erősítés:

K k = P k H k T ( H k P k H k T + R k ) 1

(9.25)

Algoritmus

A Kálmán-szűrő működése egy inicializációs fázissal kezdődik, melyben a k = 0 időpillanathoz tartozó kezdeti becsült állapotot és kezdeti becslési hiba kovariancia mátrixot kell megadni, mivel ezek szükségesek a k = 1 időpillanatban a rekurzív számítások elvégzéséhez:

x ^ 0 + =E( x 0 )

(9.26)

P 0 + =E[ ( x 0 x ^ 0 + ) ( x 0 x ^ 0 + ) T ]

(9.27)

A kezdeti állapot becsült értékét az adott rendszer jellemzői alapján kell meghatározni, a P 0 + főátlóban lévő elemei pedig aszerint, hogy mennyire biztos az x ^ 0 + megadása. Ha biztos valamelyik állapotváltozó kezdeti értéke, akkor a P 0 + vonatkozó elemét kicsire, ha bizonytalan, akkor nagyra kell választani. A konkrét számértékek a kezdeti tranziens szakaszt befolyásolják, a P mátrix értéke egy időinvariáns rendszerben az állandósult értékhez tart.

Az inicializáció után a Kálmán-szűrő működése rekurzívan folytatódik, minden rekurzióban elvégzi a predikciós és a korrekciós számításokat. A predikció során a megelőző rekurzió a posteriori mennyiségei, a rendszer, valamint a zaj jellemzői, és a bemenet alapján „előre vetíti” a rendszer állapotát és a becslési hiba kovarianciáját:

x ^ k = F k1 x ^ k1 + + G k1 u k1

(9.28)

P k = F k1 P k1 + F k1 T + Q k1

(9.29)

A korrekciós lépésben kiszámítja a Kálmán erősítés új optimális értékét. Az új Kálmán-erősítés és a mérési eredmények alapján korrigálja az állapotbecslést és a becslési hiba kovarianciát:

K k = P k H k T ( H k P k H k T + R k1 ) 1

(9.30)

x ^ k + = x ^ k + K k ( y k H k x ^ k )

(9.31)

P k + =( I K k H k ) P k

(9.32)

A lényegében fenti 5 egyenlet/művelet alkotja magát a Kálmán-szűrőt. A műveletek rekurzív végrehajtása tetszőleges ideig folytatható. Az állapotot és a kovarianciát számító egyenletek összevonásával a szűrő „egylépésessé” alakítható (egy egyenlet az állapotra, egy a kovarianciára).

Kalman-szűrő illesztése tetszőleges rendszerhez
9.4. ábra - Kalman-szűrő illesztése tetszőleges rendszerhez


9.3.1.1. Kiterjesztett Kalman-szűrő

A linearizált Kálmán-szűrő képes egy névleges trajektória körül linearizált nemlineáris rendszer állapotának becslésére, azonban felmerül a kérdés, hogy maga a trajektória miként határozható meg. Mivel a Kálmán-szűrő egy rendszer állapotának becslésére szolgál, ezért felmerül a gondolat, hogy a trajektóriát (is) becsülje egy Kálmán-szűrő. Más szavakkal a rendszert a Kálmán-szűrő által becsült érték körül linearizáljuk, miközben a Kálmán-szűrő által becsült érték a linearizált rendszeren alapul. Ez az ötlet az alapja a kiterjesztett Kálmán-szűrőnek (EKF: extended Kalman filter) [62].

A többi típushoz hasonlóan a kiterjesztett Kálmán-szűrőből is létezik folytonos és diszkrét idejű változat (valamint hibrid, ahol folytonos rendszer diszkrét mintavételezése történik). A gyakorlatban a diszkrét idejű (diszkrét idejű rendszermodell diszkrét idejű mintavételezéssel) változat fordul elő a leggyakrabban.

A diszkrét idejű kiterjesztett Kálmán-szűrő tehát egy diszkrét idejű nemlineáris rendszer állapotát becsli, mely az alábbi alakú:

x k = f k1 ( x k1 , u k1 , w k1 ) y k = h k ( x k , v k ) w k  ~ ( 0, Q k ) v k  ~ ( 0, R k )

(9.33)

Az állapot egyenlet az x k1 = x ^ k1 + előző a posteriori állapot becslés, az uk-1 előző bemenet, és az w k1 = 0 pont körüli Taylor-sorba fejtéssel linearizálható (csak a konstans és a lineáris tagokat megtartva):

x k = f k1 ( x ^ k1 + , u k1 ,0 )+ f k1 x | x ^ k1 + ( x k1 x ^ k1 + )+ f k1 w | x ^ k1 + w k1

(9.34)

A Jacobi-mátrixok (parciális derivált mátrixok):

F k1 = f k1 x | x ^ k1 +

(9.35)

L k1 = f k1 w | x ^ k1 +

(9.36)

A linearizált állapotegyenlet (9.35) és (9.36) behelyettesítése után átrendezhető:

x k = F k1 x k1 +[ f k1 ( x ^ k1 + , u k1 ,0 ) F k1 x ^ k1 + ]+ L k1 w k1

(9.37)

Az egyenlet tovább egyszerűsíthető az ismert mennyiségek összevonásával u ˜ k1 -be és a zaj valamint a folyamatzaj és az L parciális derivált mátrix összevonásával w ˜ k1 -be:

u ˜ k1 = f k1 ( x ^ k1 + , u k1 ,0 ) F k1 x ^ k1 +

(9.38)

w ˜ k1  ~ ( 0, L k1 Q k1 L k1 T )

(9.39)

Az állapotegyenlet linearizált és egyszerűsített alakja:

x k = F k1 x k1 + u ˜ k1 + w ˜ k1

(9.40)

Az állapotegyenlet linearizált alakja a linearizált Kálmán-szűrőnél bevezetett trajektóriát adja meg, azonban itt közvetlenül beépítve a Kálmán-szűrő egyenleteibe.

A megfigyelési egyenlet az x k = x ^ k a priori állapot becslés és a vk = 0 pont körüli Taylor-sorba fejtéssel linearizálható, linearizált alak:

y k = h k ( x ^ k ,0 )+ h k x | x ^ k ( x k x ^ k )+ h k v | x ^ k v k

(9.41)

A Jacobi-mátrixok (parciális derivált mátrixok):

H k = h k x | x ^ k

(9.42)

M k = h k v | x ^ k

(9.43)

A linearizált megfigyelési egyenlet (9.42) és (9.43) behelyettesítése után átrendezhető és egyszerűsíthető:

y k = h k ( x ^ k ,0 )+ H k ( x k x ^ k )+ M k v k

(9.44)

y k = H k x k +[ h k ( x ^ k , v k ) H k x ^ k ]+ M k v k

(9.45)

Az egyenlet tovább egyszerűsíthető az ismert mennyiségek összevonásával zk-ba valamint a mérési zaj és az M parciális derivált mátrix összevonásával v ˜ k -ba:

z k = h k ( x ^ k , v k ) H k x ^ k

(9.46)

v ˜ k  ~ ( 0, M k R k M k T )

(9.47)

A megfigyelési egyenlet linearizált és egyszerűsített alakja:

y k = H k x k + z k + v ˜ k

(9.48)

A (9.40) és (9.48) által definiált lineáris rendszerre alkalmazhatóak a diszkrét Kálmán-szűrő egyenletei. A kiterjesztett Kálmán-szűrő predikciós lépése során felhasználható az f nemlineáris rendszerfüggvény:

x ^ k = f k1 ( x ^ k1 + , u k1 ,0 )

(9.49)

P k = F k1 P k1 + F k1 T + L k1 Q k1 L k1 T

(9.50)

Mivel az F és L Jacobi-mátrixok függenek az állapot becsült értékétől és a bemenettől, minden rekurzióban újra kell számolni az értéküket.

A kiterjesztett Kálmán-szűrő a korrekciós lépésben kiszámítja a Kálmán erősítés új optimális értékét. Az új Kálmán-erősítés és a mérési eredmények alapján korrigálja az állapotbecslést és a becslési hiba kovarianciát:

K k = P k H k T ( H k P k H k T + M k R k M k T ) 1

(9.51)

x ^ k + = x ^ k + K k ( y k ( H k x ^ k z k ) )= x ^ k + K k ( y k h k ( x ^ k ,0 ) )

(9.52)

P k + =( I K k H k ) P k

(9.53)

Az állapotegyenlethez hasonlóan a megfigyelési egyenlet H és M Jacobi-mátrixai függenek az állapot becsült értékétől, ami miatt minden rekurzióban újra kell számolni az értéküket.

9.3.1.2. Aszinkron motor fordulatszámának becslése Kalman–szűrő alkalmazásával

Az 8.4 és 8.5 fejezetekben ismertetésre került állapotváltozós formában felírt egyenletrendszerekből látható, hogy az aszinkron motor állapottér-modelljének rendszermátrixa lineáris, idővariáns mátrix – akármilyen referenciájú orientációban történik felírása. Ahhoz, hogy megfigyelő alkalmazásával a szögsebesség becsülhető legyen, fel kell venni az állapotváltozók közé, így a többi állapotváltozóval együtt a megfigyelő becslést ad értékére. Ugyanakkor az ωr szögsebességet felvéve az állapotváltozók közé, a rendszer nemlineáris állapottér-modellel fog rendelkezni, mivel állapotváltozók szorzata jelenik meg az összefüggésekben. Ebből következően a 1.1.1.1 fejezetben részletesen ismertetett kiterjesztett Kalman-szűrő alkalmazásával lehetséges a motor fordulatszámának, mint állapotváltozónak becslése. Az aszinkronmotor Kalman-szűrőn alapuló érzékelő nélküli sebesség becslésénél és szabályozásánál a következő tervezési lépéseket kell figyelembe venni[62] [63]:

az aszinkronmotor modell állapot-tér modelljének kiválasztása;

a modell diszkretizálása;

a zajok (rendszer, mérési) és állapotváltozók kovariancia mátrixainak a meghatározása;

a diszkrét-idejű Kalman-szűrő algoritmus implementálása, hangolás.

Az (8.71) állapot egyenletrendszerrel álló koordináta-rendszerben megadott motormodell diszkretizálás után felhasználható kiterjesztett Kalman-szűrő tervezéséhez és alkalmazásához.

[ i α i β Ψ rα Ψ rβ ] k = A _ _ d [ i α i β Ψ rα Ψ rβ ] k1 + B _ _ d [ u α u β ] k1

(9.54)

amelyben a rendszer és bemeneti mátrixok (9.55) és (9.56) formában szerepelnek. A diszkretizálás (8.113) és (8.114) kifejezések első tagjának figyelembevételével történt, mivel a másodrendű tagok kiszámításának eredményeképpen összetett, bonyolult és nagy számítási igénnyel járó rendszermátrix keletkezik. A mintavételi idő kisebbre vételével azonban megfelelő közelítést adhat az első tagig figyelembe véve a diszkretizáláshoz szükséges mátrixösszefüggéseket.

A _ _ d = [ 1 T R ¯ L σ 0 T L m R r L σ L r 2 T L m ω L σ L r 0 1 T R ¯ L σ T L m ω L σ L r T L m R r L σ L r 2 T L m R r L r 0 1 T R r L r T ω 0 T L m R r L r T ω 1 T R r L r ]

(9.55)

B _ _ d =[ T Lσ 0 0 T Lσ 0 0 0 0 ]

(9.56)

A (9.55) és (9.56) mátrixokkal megadott állapotdinamikai egyenletrendszere a motornak a (9.57) formában bővíthető ki a szögsebességet is felvéve az állapotváltozók közé. A nemlineáris állapottér modell a kiterjesztett Kalman-szűrő leírásánál látott nemlineáris állapotegyenlettel és kimeneti egyenlettel jellemezhető, ami azt jelenti, hogy nem írható fel az állapottér-modell a hagyományos, lineáris alakban – rendszer, bemeneti és kimeneti mátrixok formájában.

x _ k = [ ( 1 T R ¯ L σ ) i α + T L m R r L σ L r 2 Ψ r α + T L m L σ L r ω Ψ r β ( 1 T R ¯ L σ ) i β T L m L σ L r ω Ψ r α + T L m R r L σ L r 2 Ψ r β T L m R r L r i α + ( 1 T R r L r ) Ψ r α T ω Ψ r β T L m R r L r i β + T ω Ψ r α + ( 1 T R r L r ) Ψ r β ω ] k 1 + [ T L σ 0 0 T L σ 0 0 0 0 0 0 ] [ u α u β ] k 1

(9.57)

Az álló koordináta rendszerben felírt motor modell használata csökkenő számítási idővel, nagyobb pontossággal, stabilabb viselkedéssel jár, továbbá a szükséges mintavételezési idő kisebb lesz. A rotor fluxushoz rögzített forgó koordináta rendszerben felírt egyenletek pedig extra nemlinearitásokat visznek a rendszerbe, melyek nem kívánatosak [63].

A fordulatszám becslése történhet a forgó koordináta-rendszerben érvényes állapotegyenletek alapján is. Ennek a modellnek az előnye, hogy kisebb rendű, mint az álló koordináta-rendszerben felírt modell, amennyiben ott is az állapot változók között szerepel a motor szögsebessége. A diszkrét idejű állapotegyenlete a forgó koordinátarendszerben felírt modellnek a (9.58) összefüggés alapján adható meg.

[ i d i mr i q ω r ] k =f [ i d i mr i q ω r ] k1 + B _ _ d [ u α u β ] k1

(9.58)

A diszkrét idejű állapotegyenlet a (9.59) alakban írható kifejtve, a bemeneti mátrix és a bemeneti változók szorzatait tartalmazó alakban.

[ i d i m r i q ω r ] k = [ [ 1 T σ T s T 1 σ σ T r ] i d + [ T 1 σ σ T r ] i m r + ω F l u x i q + T σ L ( cos ( ε ) u α + sin ( ε ) u β ) T T r i d + ( 1 T T r ) i m r ( 1 T σ T s ) i q T ( 1 σ σ ) ω F l u x i m r T ω F l u x i d + ( T σ L ) ( sin ( ε ) u α + cos ( ε ) u β ) T 2 3 p 2 J ( 1 σ ) L i m r i q T p J m L + ω r ] k 1

(9.59)

A (9.54) és (9.58) formában megadott állapotdinamikai egyenletrendszerek alapján tervezhető Kalman-szűrő integrációja a hajtásrendszerbe a 9-5. ábra alapján történik.

A mezőorientációs alapú Kalman-szűrős szabályozási struktúra
9.5. ábra - A mezőorientációs alapú Kalman-szűrős szabályozási struktúra


Az álló koordináta-rendszerben az állapotok szerint vett parciális derivált mátrix, azaz Jacobi-mátrix (9.60) alakban áll elő.

f x k = [ ( 1 T R ¯ L σ ) 0 T L m R r L σ L r 2 T L m ω L σ L r T L m Ψ r β L σ L r 0 ( 1 T R ¯ L σ ) T L m ω L σ L r T L m R r L σ L r 2 T L m Ψ r α L σ L r T L m R r L r 0 ( 1 T R r L r ) T ω T Ψ r β 0 T L m R r L r T ω ( 1 T R r L r ) T Ψ r α 0 0 0 0 1 ]

(9.60)

A kimeneti egyenlet a (9.61) kifejezéssel adható meg.

[ i α i β ] k =[ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] [ i α i β Ψ rα Ψ rβ ω ] k

(9.61)

A második esetben rotor fluxussal szinkron forgó d - q koordináta rendszert használva a mozgásegyenletet figyelembe vevő, (9.59) modell rendszermátrixának Jacobi-mátrixa a (9.62) alakban írható fel.

f x k = [ [ 1 T σ T s T 1 σ σ T r ] [ T 1 σ σ T r ] [ T ω F l u x ] 0 [ T T r ] [ 1 T T r ] 0 0 [ T ω F l u x ] [ T 1 σ σ ω F l u x ] [ 1 T σ T s ] 0 0 [ T 2 3 p 2 J ( 1 σ ) L i q ] [ T 2 3 p 2 J ( 1 σ ) L i m R ] 1 ]

(9.62)

Az állapotegyenletben a bemeneti mátrix és a bemeneti változókat tartalmazó bemeneti vektor szorzata:

B _ _ u _ k = T Lσ [ cos( ϑ ) sin( ϑ ) 0 0 sin( ϑ ) cos( ϑ ) 0 0 ] [ u α u β ] k

(9.63)

A kimeneti egyenlet (9.64) összefüggés formájában adható meg.

[ i α i β ] k =[ cos(ϑ) 0 sin(ϑ) 0 sin(ϑ) 0 cos(ϑ) 0 ] [ i d i mr i q ω r ] k

(9.64)

A kiterjesztett Kalman-szűrő algoritmus alkalmazása a megadott állapottér-modellek alapján hét lépésben realizálható. Részletesen alább látható a hét lépés.

1.lépés: Az állapot vektor és a kovariancia mátrixok inicializálása

Az állapot vektor kezdeti értékei x0 = x(t0) alapján adhatók meg. n×1 és p×1 méretű bemeneti és kimeneti vektorok esetén a zajok jellemzésére Qk és Rk n×n és p×p méretű kovariancia mátrixok szolgálnak.

2.lépés: Az állapot vektor előrejelzése

Az állapotvektor előrejelzése a (k+1) mintavételezési időben az u(k) bemenetnek és az állapot vektor előző mintavételezési időben becsült értékének, x ^ k -nak a behelyettesítése útján számítható (9.49) alapján.

3.lépés: Az előrejelzett állapotvektor kovariancia mátrixának becslése

A kovariancia mátrix számításához szükséges a rendszer Jacobi-mátrixának megállapítása. Ezt követően a (9.50) kifejezés alapján predikálható a kovariancia mátrix.

4.lépés: Kalman erősítési tényező kiszámítása

A Kalman erősítési tényező számítása (9.51) szerint végezhető el.

5.lépés: Állapot vektor becslése

Az állapot vektorban az állapotváltozók előrejelzett értéke (9.52) alapján korrigálható.

6.lépés: A becslési hiba kovariancia mátrixa

A becslési hiba kovariancia mátrixa (9.53) alapján frissíthető.

7.lépés: A k=k+1, x(k-1)= x(k), P(k-1) =P(k) megállapítások után a rekurzió folytatható az újabb ciklussal.

Szimulációs eredmények

A szimulációs eredmények között a bal oldalon az álló koordináta-rendszerbeli modell, a jobb oldalon a forgórész fluxushoz orientált modell esetében kapott eredmények láthatók. A teljes szimuláció időtartama 1,8 másodperc. Az 9-6. ábra a rotor tényleges és becsült értékének viselkedését mutatja be a teljes lefutási idő alatt. Az ábrán látható, hogy a két érték jó egyetértésben van egymással, ezért a 9-8. ábra az felette levő ábra egy intervallumának a kinagyítását tartalmazza, a becslés jóságának kiemelése céljából. Látható, hogy a különbség a két érték között pár fordulat 200 ford/perc-es referencia fordulatszám esetén. A szimuláció kezdeti szakaszában érzékelhető, hogy a becsült és a mért rotor sebesség eltér egymástól. Ezt a kilendülést a Kalman-szűrő paramétereinek a beállása okozza. Ugyanis P mátrix kiindulási értékei (állapotvektor kovariancia mátrixa) nem pontosak, ez okozza a kilendülést is. Ezen a rövid időintervallumon a szűrő az egyenletek és a bemenetek segítségével beállítja ezt a mátrixot a megfelelő értékre. A szűrő beállási idejét a 9-10. ábra alapján láthatjuk. A második esetben, amikor a mozgásegyenletet is figyelembe vesszük, a szimuláció időtartama és a terhelés megegyezik az előző esettel. A 9-7. ábra látható, hogy a két sebesség nagyon jól követi egymást ebben az esetben is. Az eltérés vizsgálata miatt kinagyítást végzünk (9-9. ábra), melyen látható, hogy az eltérés 0,5 körül mozog 200ford/perc-es fordulatszám esetén. A 9-11. ábra a Kalman-szűrő beállásának időintervallumát mutatja be, melyen látható, hogy kezdetben nagyobb az eltérés a mért és a becsült érték között. Ez a különbség a P kovariancia mátrix kezdeti értékétől függ. Látható, hogy 0,2 másodperc alatt a szűrő a bemenetek felhasználásával beállítja a P mátrixot a megfelelő értékre.

9-6. ábra Sebességbecslés álló koordináta rendszerben

9-7. ábra Sebességbecslés forgó koordináta rendszerben

9-8. ábra Az 9-6. ábra kinagyítása 0,35 – 0,7 intervallumon

9-9. ábra A 9-7. ábra kinagyítása a 0,5 – 0,7 intervallumon.

9-10. ábra A szűrő beállási ideje

9-11. ábra A szűrő beállási ideje

9.3.2. Állapotbecslés diszkrét idejű H∞ szűrővel

A Kalman-szűrő alkalmazása nem minden állapotbecslési problémára nyújt megoldást, mivel használata számos feltétel fennállása esetén lehetséges csupán. A Kalman-szűrő akkor alkalmazható, ha

  • ismert az állapotokat és a kimenetet terhelő zaj eloszlása minden diszkrét időpillanatban,

  • a zajok közötti korrelációk ismertek és megfelelnek a bizonyos feltételeknek,

  • a kívánt optimalizálási kritérium az átlagos, négyzetes eltérés minimalizálása az állapot(ok) becsült és a tényleges értéke között, azaz a becslési hiba szórásnégyzetének minimalizálása.

A H szűrő a Kalman-szűrővel ellentétben semmilyen információ meglétét nem feltételezi a rendszert érő zajokról. A H értelemben optimális állapotbecslési feladat az állapot(ok) becsült és a tényleges értéke közötti legnagyobb eltérés értékét minimalizálja. Ez az ún. minimax problémával megegyező feladat, amelynek során a legrosszabb esetben előálló hibaérték legkisebb értékének elérése a cél.

Adott (9.65)(9.66) állapottér modell formában egy lineáris, diszkrét idejű rendszer.

x k+1 = F k x k + w k

(9.65)

y k = H k x k + v k

(9.66)

A rendszer állapot-átmeneti egyenletében az állapotokat terhelő zaj w k , míg a kimeneti egyenletben a kimenetet terhelő zaj v k formájában jelenik meg. Az állapotbecslési feladat szerint az állapotok valamilyen lineáris kombinációja keresett, azaz

z k = L k x k

(9.67)

a becsülendő vektor. Az L mátrix szabadon megválasztható, így ha L=I , akkor közvetlenül az állapotok kerülnek becslésre. Az optimalizálandó költségfüggvény (9.68) alakban írható fel.

J = k = 0 N 1 z k z ^ k S k 2 x 0 x ^ 0 P 0 1 2 + k = 0 N 1 ( w k Q k 1 2 + v k R k 1 2 )

(9.68)

A költségfüggvény számlálójában az állapotváltozók tényleges és becsült értéke közötti eltérést megadó normanégyzet összeg található, ami kifejtve

z k z ^ k S k 2 = ( z k z ^ k ) T S k ( z k z ^ k )

(9.69)

A nevező a zajok nagyságát megadó normák mellett tartalmazza az állapotok kezdeti értékének pontatlan megadásával keletkező hibát, normanégyzet formájában felírva.

A költségfüggvényben megjelenő P 0 , Q k , R k és S k súlymátrixok probléma specifikus tervezési paraméterek. A szimmetrikus pozitív definit mátrix elemeinek megválasztásával lehet a költségfüggvényben szereplő mennyiségek között prioritást felállítani. Így például ha van egy kitüntetett állapotváltozó, amelynek pontos becslése a többi állapotváltozóhoz képest prioritást élvez, akkor az S mátrixban hozzá tartozó értéket nagyobbra kell választani a többi állapotváltozó súlyát megadó értékhez képest. A kitüntetett állapotváltozó súlyát nagynak választva az állapotváltozó becslési hibája nagy mértékben növelni fogja a költségfüggvényt, így tehát nagyobb mértékben lesz büntetve ennek az állapotváltozónak a pontatlan becslése a többi állapotváltozóéhoz képest. A nevezőben szereplő mennyiségek súlyozása hasonlóan történik, így feltételezve, hogy az egyik állapotváltozóhoz vagy kimenethez tartozó zajról ismert, hogy nem nagy, akkor kis értéket kell a súlymátrixban párosítani hozzá, mivel a mátrix inverze ott lesz legnagyobb értékű és abból következően, hogy nevezőben szerepel, a költségfüggvényt ez fogja kisebb mértékben növelni a többi elemhez képest.

Az optimalizálási feladat szerint a zajok által okozott legrosszabb becslés minimalizálása a cél, azaz keresendő olyan z ^ k állapotbecslés, amely a w k és v k zajok és x ^ 0 pontatlan megválasztása által maximalizált költségfüggvényt minimalizálja. A probléma (9.70) formájában írható fel.

min z ^ k max w k , v k , x 0 J

(9.70)

A költségfüggvény maximalizálása w k és v k zajok és x 0 x ^ 0 szerint könnyedén kivitelezhető lenne végtelen nagyságúnak választva amplitúdójukat, ezért a (9.68) függvény nevezőjében szerepelnek. Így ha a felsorolt mennyiségek végtelen nagyságú amplitúdóval rendelkeznének, akkor z k z ^ k ugyan nagy lenne, de maga a költségfüggvény értéke nem lenne nagy, így lehetséges, hogy nem maximális értéket venne fel.

A költségfüggvény közvetlen minimalizálása nem végezhető el, ezért a cél olyan z ^ k becslése, hogy

J< 1 θ

(9.71)

ahol θ értéke tervezési paraméter. Értékét célszerű nagynak választani, hiszen annál pontosabb becslés kapható, viszont ha θ értéke túlságosan nagy, akkor az optimalizálási feladatnak nincs megoldása. A (9.71) feltétel garantálja, hogy az állapotbecslés hibájának aránya a zaj mértékéhez képest kisebb lesz, mint 1/θ .

Az optimalizálási probléma (9.72) alakban jelenik meg, miután az (9.71) figyelembe vételével átrendezésre került.

J= 1 θ x 0 x ^ 0 P 0 1 2 + k=0 N1 [ z k z ^ k S k 2 1 θ ( w k Q k 1 2 + v k R k 1 2 ) ] <1

(9.72)

Mivel (9.66) alapján y k = H k x k + v k ezért v k = y k H k x k , így

v k R k 1 2 = y k H k x k R k 1 2

(9.73)

Az (9.69) felhasználásával, amelyben a z k z ^ k helyesítése (9.67) alapján megtörténik írható, hogy

z k z ^ k S k 2 = ( x k x ^ k ) T L k T S k L k ( x k x ^ k )= x k x ^ k S ¯ k 2

(9.74)

amelyben

S ¯ k = L k T S k L k

A (9.73) és (9.74) behelyettesítését elvégezve a (9.72) egyenlőtlenségbe, (9.75) áll elő.

J = 1 θ x 0 x ^ 0 P 0 1 2 + k = 0 N 1 [ x k x ^ k S ¯ k 2 1 θ ( w k Q k 1 2 + y k H k x k R k 1 2 ) ] < 1

(9.75)

A minimax problémát megoldva a diszkrét idejű H szűrő a (9.76)(9.78) becslő egyenletekkel garantálja, hogy az állapotbecslés hibájának aránya a zaj mértékéhez képest kisebb lesz, mint 1/θ értéke.

K k = P k [ Iθ S ¯ k P k + H k T R k 1 H k P k ] 1 H k T R k 1

(9.76)

x ^ k+1 = F k x ^ k + F k K k ( y k H k x ^ k )

(9.77)

P k+1 = F k P k [ Iθ S ¯ k P k + H k T R k 1 H k P k ] 1 F k T + Q k

(9.78)

Állandósult állapotra érvényes H szűrő

Az állandósult állapotra érvényes megoldás esetében mind a rendszer modelljében szereplő mátrixok, mind a tervezési paraméterként megadott súlymátrixok időinvariánsok. Ekkor a rendszer (9.79)(9.81) formában kerül felírása.

x k+1 =F x k + w k

(9.79)

y k =H x k + v k

(9.80)

z k =L x k

(9.81)

A feladat z k becslése a (9.82) egyenlőtlenségre megoldva a minimax problémát.

lim N k=0 N1 z k z ^ k S 2 k=0 N1 ( w k Q 1 2 + v k R 1 2 ) < 1 θ

(9.82)

A Q , R és S szintén szimmetrikus pozitív definit mátrixok, amelyek tervezési paraméterek. A szűrő az állandósult állapotban a (9.83)(9.86) egyenletek alapján implementálható.

S ¯ = L T SL

(9.83)

K=P [ Iθ S ¯ P+ H T R 1 HP ] 1 H T R 1

(9.84)

x ^ k+1 =F x ^ k +F K k ( y k H x ^ k )

(9.85)

P=FP [ Iθ S ¯ P+ H T R 1 HP ] 1 F T +Q

(9.86)

Összegzésként kijelenthető, hogy a H∞ szűrő egy olyan legrosszabb becslést minimalizáló módszer, amely feltételezi, hogy w k és v k zajok és x 0 x ^ 0 maximalizálni igyekszenek a költségfüggvényt. A H∞ szűrő éppen ezért robusztus a zajokra és pontatlanságokra nézve. Lényegében a H∞ szűrő tekinthető a Kálmán-szűrő robusztus változatának, ahol a Q tetszőleges megnövelése helyett optimálisan kerül megválasztásra a P k és K k értékét növelő tag.

H és Kalman-szűrővel történő optimális állapotbecslés összehasonlítása

Kalman-szűrő alkalmazása esetén a zajok valószínűségi sűrűségfüggvénye ismert, így egy statisztikailag optimális becslés elnyerhető ennek az információnak a felhasználásával, míg a H optimális becslés esetében a zaj statisztikai jellemzői ismeretlennek tekintett mennyiségek, így a legrosszabb eshetőség feltételezésével kerülnek figyelembe vételbe.

  • Ha az L k = S k =I feltétel fennáll, továbbá θ=0 –nak kerül megválasztásra, akkor a H szűrő Kalman-szűrővé redukálódik. Ebből következően kijelenthető, hogy a Kalman-szűrő egy olyan minimax szűrő, amelynek a teljesítményhatára végtelen, azaz nincs korlátja az legrosszabb becslés pontosságának.

  • A Kalman-szűrő alkalmatlan az állapotok lineáris kombinációjának becslésére.

  • A Kalman-szűrő egyenleteit összehasonlítva a (9.84)(9.86) egyenletekkel észrevehető, hogy a H szűrő esetében P k és K k tartalmaz egy θ -val arányos negatív tagot, ami – mivel a mátrix inverz műveleten belül van – növeli P k és K k értékét. A nagyobb erősítésnek köszönhetően lesz robusztusabb illetve a modell pontatlanságokra kevésbé érzékeny a H szűrő. Hasonló módon a Kalman-szűrőnél bevált megoldás, hogy a Q állapot kovariancia mátrix mesterségesen nagyobbra történő választása útján növekszik meg P k és K k értéke. Figyelembe kell venni, hogy pontos modellre alkalmazva a módszert, könnyen elromolhat a Kalman-szűrő által adott becslés.

Összegzésként kijelenthető, hogy a H szűrő egy olyan legrosszabb becslést minimalizáló módszer, amely feltételezi, hogy w k és v k zajok és x 0 x ^ 0 maximalizálni igyekszenek a költségfüggvényt. A H szűrő éppen ezért robusztus a zajokra és pontatlanságokra nézve. Lényegében a H szűrő tekinthető a Kalman-szűrő robusztus változatának, ahol a Q tetszőleges megnövelése helyett optimálisan kerül megválasztásra a P k és K k értékét növelő tag.