A modell jellege a modellezésnél használt módszerek és eszközök függvénye. Ezzel összefüggésben a modellezés kiindulási pontjai szerint a valós fizikai rendszerről szerzett információk forrásai lehetnek elméleti ismeretek illetve gyakorlati ismeretek és feltevések. Az elméleti ismeretek sorába tartoznak az egyes jelenségekről alkotott fizikai elméletek által szolgáltatott leírások, amelyek általában (közönséges/parciális) differenciálegyenletek formájában öltenek testet. A gyakorlati ismeretek a rendszerről megfigyelések és mérések által gyűjtött adatok összességét, az elméleti modellekben szereplő egyes paraméterek mért értékeinek ismeretét jelentik. A feltevések sorába tartozik az alkalmazott modell megbízhatóságáról, érvényességi tartományáról alkotott vélemény.

Szimulációs cél esetén a modellezés célja rendszer viselkedésének minél pontosabb reprodukálása, amikor is a bonyolultságnak csak a futtatási idővel szemben támasztott követelmények szabnak határt. Irányítási cél esetén azonban csak azok a rendszertulajdonságok érdekesek, amik az irányítási célt befolyásolják, és a bonyolultságnak az elérhető irányítástervezési eljárások lehetőségei szabnak gátat.

A lehetséges modellosztályokat tekintve megkülönböztethetünk statikus és dinamikus modelleket: statikus modell időben nem változó állapotot ír le: a rendszer állapotát algebrai egyenletekkel, vagy idő szerinti deriváltakat nem tartalmazó (parciális) differenciál-egyenletekkel írható le. Elterjedt még a stacionárius, állandósult, illetve egyensúlyi modell kifejezés is. A dinamikus modell a vizsgált rendszer, folyamat jellemzőinek időbeni változását írja le, ami legtöbbször egy közönséges vagy parciális differenciálegyenlet, vagy egyenletrendszer. Lehetséges, hogy a tárgyalás nem az időtartományában, hanem valamely célszerűen megválasztott transzformált tartományában (frekvencia tartomány) valósul meg.

Az egyik legfontosabb osztályozó elv a lineáris illetve nemlineáris viselkedés megkülönböztetése: lineáris modell esetén a folyamatot leíró egyenletrendszer kielégíti a szuperpozíció elvét. A szuperpozíció elvéből következik, hogy lineáris matematikai modellek alakja csak homogén, lineáris egyenlet, illetve egyenletrendszer lehet. Egy nemlineáris modell használatakor a rendszerben lejátszódó folyamatot leíró egyenletek legalább egyike nemlineáris függvényt is tartalmaz. A nemlineáris modellek az egyszerűbb vizsgálat és tervezés érdekében valamilyen linearizálási eljárással lineáris modellekké alakíthatók át.

A modellben szereplő jelek természete szerint modellezhetünk folytonos illetve diszkrét időben: folytonos idejű modell esetén a modellezett rendszert vagy folyamatot leíró jellemzők, független és függő változók a vizsgált idő alatt bármelyik pillanatban vehetnek fel valamilyen értéket: a bemeneti és kimeneti jelei egyaránt folytonos idejű jelek. A folytonos paraméterű/folytonos állapotterű modellekben a változók egy adott tartományon, értékhatáron belül bármilyen értéket felvehetnek. A diszkrét idejű modellben a jellemzők csak adott, konkrét időpillanatokban vehetnek fel értékeket. Diszkrét paraméterű/diszkrét állapotterű modellek esetén a változók csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel.

A Lagrange módszer a rendszer modelljét általánosított elmozdulás és sebesség komponensekkel fogalmazza meg:

ahol a kinetikai (mozgási) energia, a potenciális (helyzeti) energia, a disszipációs (csillapítás által elnyelt) energia és egy külső erő. A kinetikus energia a sebességvektoron kívül a helyzetvektortól is függhet, míg a potenciális energia egyedül a helyzetvektortól függ. A kinetikus energia és a potenciális energia különbsége az úgynevezett Lagrange állapotfüggvényt adja meg:

A Lagrange egyenlet felírható az egyes komponensekre bontott alakban is, azaz komponensre felírva:

Megjegyezzük, hogy a Newtoni mechanikában a rendszer modelljét erő és nyomaték egyensúlyi egyenletekkel fogalmazzuk Newton törvényeinek felhasználásával.

Egy lineáris időinvariáns rendszer modelljének leírása lineáris, állandó együtthatós közönséges differenciál egyenlettel történik:

ahol és együtthatók konstansok, nem függnek az időtől. Tekintsük a differenciálegyenlet Laplace transzformáltját ( - transzformált) zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk:

ahol .

A racionális törtfüggvényt a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett - transzformáltjainak hányadosa.

A rendszer állapota egy időpontbeli információ (olyan jelek ismerete), amelyből az , bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden időpontra meghatározható. A rendszer válasza a jövőbeli, időpontra vonatkozó állapotokat és a kimenőjeleket jelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük.

Általánosan egy lineáris dinamikus rendszer állapottér reprezentációját a következő alakban írhatjuk:

ahol a rendszermátrixok, az állapotvektor, az irányító bemenetek vektora és a mért kimenetek vektora. A mátrixok méretei a jelek méreteihez illeszkednek.

Az állapotegyenlet, mint egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldása két lépésben történik. Előbb megoldjuk a homogén egyenletet, majd megkeressük az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. A homogén egyenlet alakja:

az kezdeti feltétellel és megoldása:

ahol az mátrix-exponenciális függvényt a következőképpen értelmezzük:

Például diagonál reprezentációk esetén, azaz () választással ennek alakja:

Az inhomogén egyenlet alakja:

ahol egyenlet megoldása a következő:

A fentiek alapján az elsőrendű differenciálegyenlettel leírt állapotegyenlet megoldása:

Az állapottér reprezentáció alapján a rendszer átviteli függvényét a Laplace transzformáció alkalmazásával kapjuk meg:

ebből az állapot Laplace transzformáltja:

ahol a kezdő állapot a időpontban. Az feltétel mellett

A átviteli függvény:

Az átviteli függvény pólusai tehát az

egyenlet gyökei.

A minőségi kritériumok vizsgálata mindig a szabályozott rendszer (zárt kör) vizsgálatával történik: A zárt rendszer átviteli függvénye:

ahol a hurokátviteli függvény és az előrevezető ág eredő átviteli függvénye. Az alábbiakban az időtartományi és frekvencia tartományi jellemzőket soroljuk fel.

1.1. ábra - Időtartományi jellemzők

1.5.1. Időtartományi jellemzők

• A rendszer állandósult állapotban felvett értékét beállási értéknek nevezzük, amit -sel jelölünk.

• A szabályozási idő () annak időtartama, amely eltelte után a rendszer kimenete a beállási értéktől -nál nagyobb mértékben nem tér el.

• A szabályozási eltérés a megkívánt érték és az állandósult állapotbeli érték különbsége: .

• Túllendülési idő (): a kimeneti jel maximális értékének időpontja.

• A túllendülés mértéke (): százalékban kifejezett viszonyszám, ami a maximális és beállási érték közötti különbség beállási értékhez való viszonyát fejezi ki: .

1.5.1.1. Frekvencia tartományi jellemzők

• rezonancia csúcs : az amplitúdó görbe maximális értéke;

• rezonancia frekvencia : a rezonancia csúcshoz tartozó frekvencia érték;

1.2. ábra - Időtartományi jellemzők

• A sávszélesség fogalmát a kiegészítő érzékenységi függvény segítségével a következőképp adhatjuk meg. A rendszer sávszélessége az a frekvencia tartomány, amelyben a kiegészítő érzékenységi függvény Bode diagramja -re csökken.

Vizsgáljuk a zárt rendszer kimenetét különböző bemenetek esetén:

ahol .

1.3. ábra - Időtartományi jellemzők

Bevezetjük a szabályozási körben értelmezett érzékenységi függvényt és a kiegészítő érzékenységi függvényt:

Az érzékenységi függvény azt mutatja meg, hogy a zavaró jellemző hogyan befolyásolja a zárt rendszer kimenetét.

Az érzékenységi függvény közelítő ábrázolását Bode-diagramon a felnyitott hurok frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el.

Az érzékenységi függvény definíció szerint:

Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk:

A kiegészítő érzékenységi függvény a referencia jel és a kimenő jel közötti átviteli függvény.

A kiegészítő érzékenységi függvény közelítő ábrázolását Bode-diagramon a felnyitott hurok frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el. A kiegészítő érzékenység függvény definíció szerint:

Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk:

Az érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvények közötti összefüggés az alábbi:

Követő szabályozásoknál a kimenőjelnek a referencia jeltől való eltérését követési hibának nevezzük:

Vizsgáljuk meg, hogy adott referencia jelre aszimptotikusan mekkora lesz az eltérés, azaz a követési hiba. A követési hiba jel és a referencia jel Laplace-transzformáltjai közötti kapcsolatot az érzékenységi függvény írja le. Alkalmazva a határérték tételeket:

Vizsgálhatjuk a tipikus referencia jelek, mint egységugrás vagy egység sebesség ugrás jelek aszimptikus követését.

Az aszimptotikus zavarkompenzálást az aszimptotikus alap- vagy referencia jelkövetéshez hasonlóan vizsgálhatjuk. Tipikus zavaró jelek, mint egységugrás, egység sebességugrás jelek, a zavaró jel hatását a kimenő jelben zérus referencia jel feltételezése mellett vizsgáljuk. Ehhez felírjuk a kimenő jel és a zavaró jel Laplace - transzformáltjai közötti összefüggéseket és alkalmazzuk a határérték tételeket.

A kimenő és a zavaró jel közötti átviteli függvény az érzkenységi függvény. Ennek alapján a kimenőjel Laplace – transzformáltja

Alkalmazva a határérték tételt:

Legyen például , .

Arányos rendszer vizsgálata: vizsgáljuk meg az arányos rendszer viselkedését. A hurokátviteli függvény alakja . Ekkor

ahol a hurokerősítés tényező. Tehát a zavaró jel hatása megjelenik a kimeneten.

Integráló rendszer vizsgálata: legyen például , és tegyük fel, hogy a hurokátviteli függvény integráló alakú, azaz . Ekkor

tehát a zavaró jel hatását a rendszer aszimptotikusan teljesen elnyomja, kompenzálja. Megjegyezzük, hogy a 2-típusú integráló tulajdonságú rendszer is kompenzálja a hibajelet.

Példa 3.1 Írjuk fel az alábbi negyedjármű modellt a nemlinearitások figyelembe vételével.

2.1. ábra - Negyedjármű modell

Erők, egyensúlyi egyenletek, nemlinearitások

ahol az egyes komponensek alakja:

Az állapottér reprezentáció

Ha az állapotvektor elemeit az alábbi formában vesszük fel:

akkor a komponensek:

A qLPV állapottér modell

ahol és

Nemlinearitások virtuális linearizálása:

Mért ütemezési változók:

Fiktív input:

Grey-box qLPV modell:

ahol

Legyen az kezdeti értékű és

rendszer input/output leképezése ( vektor paraméter).

A paraméter globálisan identifikálható az input/output adatokból, ha létezik legalább egy bemenő jel, hogy egyértelműen megoldható legyen minden kezdeti értékre.

A lineáris rendszer:

A input/output leképezés (alapmátrix) ismerete nem szükséges az identifikálhatóság eldöntéséhez. Helyette egy implicit identifikálhatósági kifejezést használhatunk.

kiszámítása: legyen és

Ekkor

ahol és

kiszámítása: legyen vektor sorai:

Ekkor sorai a vektorok.

Identifikálhatósági feltétel: egy analitikus dinamikus rendszer megfigyelhető az intervallum minden nemtriviális részintervallumán akkor és csak akkor, ha .

ahol az egy általánosított inverze.

Ez az egyenlet egy implicit leképezés ahol a kezdeti érték

Átparaméterezés: az egyenleteket átparaméterezve ():

Példa 3.2 Vizsgáljuk meg a rugózott tömeg identifikálhatóságát. Átparaméterezett modell: legyen .

ahol és ismert paraméterek. Mivel változhat, ismeretlen. jelöléssel a dinamikai egyenlet

Ekkor

és

Ha nem azonosan zéró és a bemenetek perszisztensek akkor a paraméter, legalább is elméletben, identifikálható.

A modell ellenőrzése a mért eredményekkel való összevetést modell validációnak nevezzük. A vizsgált rendszer viselkedésének leírására felállított matematikai modell jósága igazolásának legegyszerűbb módja az, hogy az eredeti rendszerben méréseket végzünk, és azok eredményeit összevetjük a modell által szolgáltatott eredményekkel. A modellalkotás során a modell és a mérések által szolgáltatott eredmények eltéréseit kell minimalizálni (identifikáció): a feladat megoldására leggyakrabban az legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk.

Iteratív séma: ha az ellenőrzés során kiderül, hogy a feltételezett modell nem teljesíti a megkövetelt pontossági előírásokat, akkor egy iterációs feladatot kell megoldanunk: vissza kell térnünk a modellalkotási algoritmus elejére, és esetleg újabb paraméterek bevonásával, figyelembevételével egy újabb, javított felépítéssel kell elvégezni a modell azonosítását majd végre kell hajtanunk a modell validálásához leírt feladatokat.

Szimuláció során a matematikai modellel a rendszer kimenő változóit a bemenetek különböző értékéi függvényében határozzuk meg. Fontos, hogy gondot fordítsunk azon paraméterek azonosítására, amelyek a rendszer viselkedését döntően befolyásolják, amelyekre a rendszer a legérzékenyebben reagál. Paraméter-érzékenységi vizsgálat alkalmával a kapott eredményekből vonhatunk le következtetéseket a rendszer viselkedésére.

Nemmodellezett dinamika

A mechanikai rendszerek irányítására alkalmazott lineáris vagy folytonos nemlineáris irányítási algoritmusokkal megvalósított szabályozási rendszer tulajdonságait nagymértékben leronthatják a mechanikai rendszerben jelenlevő (nemfolytonos) nemlinearitások. Tipikus nemlinearitások a szaturáció, surlódás,holtsáv, kotyogás, hiszterézis.

Számos irányítási alkalmazásnál az irányított rendszerben a nemlinearitás pontatlanul ismert vagy akár ismeretlen. Ha a linearizáláson alapuló technika kevésbé alkalmazható, a nemlinearitás hatásának kompenzálásához a szabályozót módosítani kell. Az alkalmazott technika alapján ez lehet robusztus szabályozás, amikor a szabályozót úgy tervezzük meg, hogy pontatlanul ismert nemlinearitás esetén is garantálja a zárt rendszer stabilitását és a szabályozási pontosságot, performanciát, vagy adaptív szabályozás, amikor a szabályozót kibővítjük olyan formában, hogy irányítás közben becsülje meg az ismeretlen nemlinearitást, paramétert.

A modell és a rendszer közötti hiba meghatározására általános megoldás nincs, különböző szerkezetű lehetőségek közül az additív, illetve a multiplikatív hiba struktúra a legismertebb.

A aktuális rendszer és a névleges rendszer közötti eltérést additív hiba struktúrának nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül:

ahol az additív hiba átviteli függvénye. Az additív hiba ismeretlen.

A ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Nyquist diagramon ábrázolhatjuk:

ahol skalár függvény. Az aktuális rendszer Nyquist diagramja a névleges rendszer Nyquist diagramjával és a bizonytalanságot leíró függvénynyel illusztrálható.

A aktuális rendszer és a névleges rendszer közötti eltérést multiplikatív hiba struktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül:

ahol a multiplikatív hiba átviteli függvénye.

A ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Bode diagramon ábrázolhatjuk:

ahol skalár függvény. Az aktuális rendszer Bode diagramja a névleges rendszer Bode diagramjával és a bizonytalanságot leíró függvénnyel illusztrálható.

Parametrikus bizonytalanság

Gyakran a bizonytalanságok egy része a rendszert leíró modell paramétereinek változásával is megfogalmazható.

Például az rendszermátrixban lévő rugóállandó és csillapítási együtthatók változnak. Ezek a paraméterek a mátrix több elemében is előfordulhatnak.

A bizonytalan rugóállandó paramétere a következőképpen modellezhető:

ahol a névleges rugóállandó, a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg paraméterről azt tudjuk, hogy a intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó struktúrája a 11. ábrán látható.

A jelek közötti kapcsolatok:

ahol . Emiatt . Az ismert komponenseket tartalmazó blokk:

Ha egy bizonytalan paraméter a nevezőben van, akkor a következőképpen járunk el.

ahol a névleges tömeg, a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg paraméterről azt tudjuk, hogy a intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó struktúrája a 12. ábrán látható.

A jelek közötti kapcsolatok:

ahol . Mivel , ezért .

Emiatt . Az ismert komponenseket tartalmazó blokk: .

A szabályozott rendszer komponensei az előzőek alapján a modell és a szabályozó, valamint a minőségi specifikációkkal és bizonytalanságokkal kapcsolatos információk. A 13. ábrán látható úgynevezett struktúrájú modellt használjuk a szabályozó tervezéséhez.

Ha figyelembe vesszük a szabályozó hatását, azaz az irányítójel és a mért jel közötti kapcsolatot , akkor az úgynevezett M- struktúrához jutunk.

A 14 ábrán látható modellt a szabályozott rendszer elemzéséhez használjuk.

Mivel a rendszerre ható külső körülmények változhatnak, valamint az érzékelők és beavatkozó szervek tulajdonságai is módosulhatnak, kisebb hibák léphetnek fel, stb. szükség van rekonfiguráló és hibatűrő irányítások tervezése. Ezen a tulajdonságok az elérésének egy módja lehet növelni a szabályozó robusztusságát ezekre a tényezőkre és a modellezési hibákra. Az alábbiakban a feladat megoldásának ezt a stratégiáját fejtjük ki részletesebben.

A szabályozási feladatot az 15 ábrán bemutatott struktúrában fogalmazzuk meg amit az alábbi egyenletek írnak le

ahol jelek a bizonytalanságok leírására szolgálnak, az általánosított rendszerstruktúra zavarás és performancia jelei, a szabályozó bemenet és a mért kimenet.

3.1. ábra - P-K-Delta struktúra

A bizonytalansági halmaz, , stabil átmenetfüggvényekből áll. A perturbált kör a

bizonytalanság hatására lakul ki, ahol és alakja a következő:

Az szabályozót a nominális (perturbálatlan) rendszerre kötve kapjuk, hogy

A szabályozott, , és perturbált, , kör alakja

Mivel a zárt körök jól definiáltak kell, hogy legyenek és nem függhetnek és sorrendjétől, néhány feltételezéssel kell élnünk:

1. Létezik szabályozó, ami stabilizálja a nominális () rendszert ().

2. A bizonytalansági halmaz

ahol komplex mátrixok egy halmaza, ami tartalmazza -t, ami meghatározza a bizonytalanságok méretét és struktúráját. Feltesszük, hogy ez a halmaz csillag alakú, vagyis minden esetén.

3. A bizonytalanságok és az általánosított rendszerstruktúra kötése jól definiált, vagyis invertálható minden esetén.

Ezek a feltételek jórészt automatikusan teljesülnek a szokásos, intervallum, gömb, stb. típusú bizonytalansági halmazokra.

Általában normalizáló súlyozásokat alkalmazunk, amit azután figyelembe veszünk összeállításánál: ha bizonytalansággal akarunk dolgozni, ahol valós racionális és súlyokkal, akkor helyett rendszert kell tekintenünk, ahol

Vezessük be a

jelölést, ahol a bizonytalanság által látott átviteli függvény.

Tétel 4.1 Ha stabilizálja -t és ha minden esetén stabilan invertálható akkor robusztusan stabilizálja -t a bizonytalanságra nézve.

A gyakorlatban azt kell leelenőrizni, hogy stabilisan invertálható, vagyis minden esetén. Ez a feladat bonyolult, mivel az egész jobb fél síkon kell a feltételt ellenőrizni.

A következő állítás megmutatja, hogy általában elég invertálhatóságát a komplex tengelyen (, ahol ) ellenőrizni és elegendő csak a halmazra.

Tétel 4.2 Tegyük fel, hogy egy stabil átviteli mátrix.

Ha minden esetén, akkor stabilisan invertálható minden esetén.

A fenti két állítást összegezve kapjuk a következő robusztus stabilitási eredményt:

Következmény 4.1 Ha stabilizálja -t és minden és minden esetén, akkor robusztusan stabilizálja -t a bizonytalansági halmazra nézve.

A fordított állítás általában nem igaz. Egy konkrét esetben a teszt nem konzervatív voltát megpróbálhatjuk úgy igazolni, hogy egy destabilizáló perturbációt keresünk.

A robusztus stabilitási analízis egy alapvető eszköze a kis erősítések tétele, ami kimondja, hogy ha a hurokátviteli szorzat normája egynél kisebb, akkor a visszacsatolás stabilis. Ez az eredmény a fixpont tétel egy következménye.

Egy rendszert, ahol egy Banach tér (például vagy )) kontraktív, ha a (Lipschitz) indukált normája -nél kisebb, azaz létezik úgy, hogy

minden esetén. A fixpont tétel alapján egy kontraktív rendszerhez létezik és egyértelmű amire .

3.2. ábra - Kis erősités kapcsolat

Tétel 4.3 (Kis erősítések tétele) Tegyük fel, hogy a valamint a rendszereknek véges erősítése van, amire .

Ekkor a visszacsatolt kapcsolat stabilis, azaz minden esetén létezik es egyértelmű , lásd a 16 ábrát.

A gyakorlatban sokszor az eredeti visszacsatolás nem teljesíti a tétel feltételeit. Ilyenkor a zárt kör stabilitását megkaphatjuk a kis erősítések tételének alkalmazásával egy módosított elrendezésre, aminek a stabilitási tulajdonságai viszont azonosak az eredeti rendszerével.

3.3. ábra - Súlyozott kis erősités kapcsolat

A leggyakrabban alkalmazott transzformáció stabilan invertálható súlyfüggvényeket alkalmazva módosítja a kapcsolást az 17 ábrán látható módon.

Következmény 4.2 Legyen stabil rendszer. Ekkor a visszacsatolt rendszer stabilis ha létezik egy , stabilis rendszer úgy, hogy .

3.4. ábra - Robusztus performancia es stabilitás

Definiáljuk a

halmazt. A kis erősítések tételét alkalmazva megkaphatjuk a -ra vonatkozó robusztus performancia eredményt:

• invertálható és minden esetén,

akkor és csak akkor ha a robusztus stabilitási feltétel minden -ra fennáll, ahol és , lásd az 17 ábrát, azaz

• invertálható minden esetén,

ahol .

Megvizsgálva, hogy

adódik, hogy

invertálható ha invertálható. Feltevéseink szerint .

válasszuk -t. Ekkor

invertálható, tehát invertálható minden esetén.

Mivel invertálható, a kis erősítések tételéből következik, hogy minden esetén.

Összefoglalva: a robusztus performancia ekvivalens egy robusztus stabilitási feladattal, ami egy nomináis zárt körre és struktúrált bizonytalanságra vonatkozik, lásd a 19, ábrát. Mivel a bizonytalansági halmaz struktúrált, a kis erősítések tételénél kevésbé konzervatív eredmények keresése válik szükségessé.

3.5. ábra - Robust performance analysis

A bizonytalan rendszereket egy nominális LTI rendszer és egy visszacsatolt bizonytalan blokk együttesével modellezzük, ahol először a bizonytalansági halmazra az operátor egységgömböt választottuk. Ez az eset jól kezelhető a kis erősítések tételével. A továbbiakban ezt a technikát terjesztjük ki más szerkezetű bizonytalansági halmazok esetére.

Egy igen fontos struktúrált bizonytalansági osztály a blokk diagonális bizonytalanságok halmaza. Blokk diagonális bizonytalansági struktúrák létrehozásának egyik módja az egyes bizonytalanságok kiemelése a rendszerből és az így kapott összekötés LFT alakra való hozása.

A továbbiakban azt az elvet illusztráljuk egy néhány konkrét példán keresztül.

Példa 4.1 Input-output multiplikatív bizonytalanság:

A kiemelésének menete:

• elkülönítése:

• elkülönítése:

Példa 4.2: Faktorizált bizonytalanság ( invertálható):

Az alábbi relációk

felírhatók mint

amiből -t eliminálva és figyelembe véve, hogy adódik

Parametrikus bizonytalanságokra tekintsük az alábbi példákat:

Példa 4.3: Tekintsük a rugózott tömeg moddeljét: .

A bizonytalan rugóállandó (additív bizonytalansági modell).

Ekkor az állapotegyenletek

Példa 4.4: Tekintsük az 4.4 ábrán látható tömeg-csillapító-rugó rendszert ( tömeg, csillapítási együttható, rugóállandó).

Differenciálegyenlete:

ahol a tömeg elmozdulása, erő a rendszer gerjesztése.

3.6. ábra - Egy lengőrendszer dinamikájának modellezése

A blokkdiagram a rendszer névleges modelljét illusztrálja. A valós rendszerben a fizikai paraméterek egyrészt nem ismertek pontosan, másrészt üzem közben változnak. Ismerjük viszont ezek átlagos értékét és becslésünk van az átlagos értéktől való eltérésükre.

A példában legyenek , , a névleges értékek, , , és reprezentálja, hogy a rendszer modellje, csillapítása és rugóállandója rendre , , bizonytalanságú.

3.7. ábra - A parametrikus bizonytalanságok modellezése

A parametrikus bizonytalanságok a következőképpen írhatók fel:

ahol , , Megjegyzés: A kapcsolatokat felső bizonytalanság blokkal vettük figyelembe. A rendszer jelei közötti összefüggések ezek szerint a következőképpen alakulnak:

ahol

továbbá és .

3.8. ábra - Lengőrendszer modellezése parametrikus bizonytalanságokkal

Válasszuk az állapotokat a következőképpen:

, , , azaz .

Ezek után felírhatjuk a parametrikus bizonytalanságokat tartalmazó rendszer modelljét:

A lengőrendszer modellje kizárólag az ismert , , névleges paraméterektől és az ismert , , bizonytalnsági felső becslésektől függ. Így ismert és nem tartalmaz bizonytalanságokat.

3.9. ábra - Lengőrendszer modellje

ahol , , ,

, , ,

, , .

A bizonytalanságokat tartalmazó paramétereket egy külön blokk tartalmazza.

3.10. ábra - Lengőrendszer modellje a bizonytalanságokkal

A bizonytalan paraméterek hatása a 4.4 ábrán látható Bode diagramokon jól láthatók.

3.11. ábra - Parametrikus bizonytalanságok hatása a Bode diagramra

A modellezés célja, hogy megkapjuk az általánosított rendszer struktúrát, ahol az összes súlyfüggvény a általánosított rendszerbe van beillesztve, míg a bizonytalanságokat a blokk-diagonális tartalmazza, ami egy halmaz eleme, ahol:

és ahol minden bokk normalizált.

Az mátrixok esetén a struktúrált szinguláris érték definíciójában figyelembe veszünk egy feladatfüggő bizonytalansági struktúrát, ami az adott probléma sajátosságaitól és performancia követelményeitől függ. A vizsgált struktúrák az egységgömb megszorítását jelentik valamely tulajdonságok mentén, amikre feltesszük, hogy ha -ra teljesül , akkor -ra is teljesülni fog minden esetén, azaz csillag szerkezetű (kúp).

Tipikus példa a tulajdonságra a blokk-diagonális struktúra, aminek két típusát tekintjük át: az ismédlődő skalár és teljes blokkú,

vagyis

ahol a nemnegatív és egészek az ismétlődő skalár blokkok számát illetve a teljes blokkok számát jelentik.

Értelemszerűen fenn kell állnia az összefüggésnek. Az egyszerűség kedvéért a jelölésből elhagyjuk -t.

Gyakran normakorlátos halmazzal van dolgunk

Definíció 4.1 Az LTI operátorhoz rendelt és a halmazra vonatkoztatott struktúrált szinguláris érték

ahol

A definíció jelentése a visszacsatolt kör esetén kézenfekvő: annak a struktúrált bizonytalanságnak a normája ami destabilizálja a zárt kört.

A definíció egyenes következménye, hogy minden és esetén valamint . Azonban, ha a blokkstruktúra nem triviális akkor nem normája -nek, mivel a háromszög egyenlőtlenség nem teljesül.

Bebizonyítható az alábbi egyenlőség:

Valóban, minden esetén , így csak két esetet kell vizsgálnunk: akkor és csak akkor, ha valamint akkor és csak akkor, ha . Ezek az esetek a definíció egyszerű következményei.

Ebből az egyenlőségből, a spektrálsugár és a függvények folytonosságából valamint kompaktságából következik, hogy a függvény folytonos.

Általában nem könnyű a értékét kiszámítani. A továbbiakban a függvény néhány olyan tulajdonságát soroljuk fel, amit haszonnal lehet a számításokban és becslésekben felhasználni.

Valóban, ha akkor és esetén , míg tetszőleges esetén .

Sajnos ezek a becslések általában nagyon durvák,mivel valamint közti különbség tetszőlegesen nagy lehet. A becsléseket szűkíteni lehet olyan transzformációinak a felhasználásával amik nem befolyásolják értékét, azonban hatással vannak és értékére.

Valóban: mivel ahol adódik, hogy minden -ra. Másrészt ha így .

Ezért , vagyis invariáns a diagonális skálázásra.

halmaz konvex.

Valóban:

Az utolsó feltétel egy lineáris mátrixegyenlőtlenség (LMI), ami egy konvex feltétel -ben.

Ha akkor az egyenlőség általában nem teljesül.

A leírtakat az alábbi példa szemlélteti: legyen és tekintsünk egy

bizonytalansági halmazt. Mivel és akkor valamint .

Mivel és :

Így .

Másrészt:

ezért

ami ebben a speciális esetben igazolja az állítás helyességét.

Eddig komplex skaláris blokkokat tekintettünk. Azonban a parametrikus bizonytalanságok tipikusan valós értékűek, amit figyelembe kell vennünk.

Ez a struktúra elvezet a kevert (valós/komplex) fogalmához. Ekkor a skálázás alkalmazása helyett felső becslést kaphatunk a kevert -re, ha az úgynevezett skálázást használjuk:

ahol

és .

Ez általában egy kvázi-konvex problémára vezet. Ha egy-rangú mátrix, akkor megegyezik a felső becslésével.

A következő állítás alapvető szerepet játszik a alapú robusztussági analízisben. Tekintsük a és bizonytalanságokat valamint a következő blokk-diagonális struktúrát:

Tétel 4.4 (Fő hurok tétel)

Tekintsünk most egy általánosított rendszerstruktúrát és egy stabilizáló szabályozót, azaz

és ahol stabil bizonytalanság, amire minden esetén.

Ekkor a robusztusan stabilizál, ha

minden esetén.

A szabályozó teljesíti a nominális performancia kritériumot,ha

minden esetén.

A Fő hurok tétel alapján a performancia robusztus, ha

minden esetén, ahol .

Az analízis feltételek fényében egy robusztus stabilitást és performanciát garantáló szabályozó tervezéséhez minimalizálni kell egy struktúrált szinguláris értéket egy adott struktúrált bizonytalansági halmazon és minden frekvencián. Ez egy nemkonvex nemlineáris feladat, amire még nem született minden igényt kielégítő megoldó algoritmus. Egy, a gyakorlatban számos feladat esetében hatékonynak bizonyult heurisztikus algoritmus az úgynevezett -iteráció (vagy iteráció, valós bizonytalanságok kezelése esetén).

Tekintsük az alábbi bizonytalansági struktúrát:

A -nek megfelelő skálázó mátrixok halmaza

Ekkor a -hoz rendelt skálázó mátrixok halmaza

Ezekkel a skálázó szűrőkkel

így minden stabilizáló szabályozóra, ami teljesíti a

feltételt minden esetén, garantált a robusztus performancia. Ezért a -t direktbe optimalizáló szabályozó tervezése helyett a felső becslést minimalizáljuk a segítségével.

Ezt a feladatot az alábbi kritérium fogalmazza meg: minimizáljuk

minden -t stabilizáló szabályozóra, és minden frekvencián a -beli skálázó mátrixokra. Ha ez a minimum kisebb mint egy, akkor a tervezés sikeres.

3.10.1. A iteráció

3.12. ábra - D-K iteráció

Sajnos az (143) feladatban nem tudunk egyszerre minimalizálni a szabályozó és frekvenciafüggő skálázó mátrixok függvényében. Ezért egy iterációt alkalmazunk: fixen tartjuk a skálát és (143) minimumát keressük a stabilizáló szabályozók halmazán. A második lépésben a szabályozót tratjuk fixen és (143) minimumát keressük a skálák függvényében. Ezt az eljárást nevezzük -iterációnak, lásd még a 26 ábrát.

-iteráció algoritmusa:

Rögzítjük az iterációk maximális számát, MAXIT, és egy tolerancia szintet. Választunk egy skálafüggvényt.

A rögzített -vel megkeressük -t, az optimális szabályozót amire úgy, hogy fennáll a becslés. Ha a keresett robusztus szabályozó, ha nem, akkor tovább megyünk a . lépésre.

Rögzített szabályozóval egy új skálázó szűrőt számolunk ki, minimalizálva értékét függvényében.

Amennyiben minden frekvencián akkor a keresett robusztus szabályozó, ha nem, tovább megyünk a . lépésre.

Ha elértük MAXIT-et, akkor az algoritmus nem szolgáltatott megoldást. Ellenkező esetben tovább megyünk az . lépésre.

Az első lépés egy standard optimális szabályozási feladat megoldása. A második lépésben minimalizálni kell értékét, amit egy numerikus optimalizálással érünk el egy rácson, ahol a racionális skálázó szűrőt közelítjük. A közelítés pontossága általában növeli a szűrő rendjét, így a keletkező szabályozó rendjét is. Ezért gyakran szükséges a -optimális szabályozókat helyettesíteni egy redukált rendű szub-optimális szabályozóval.

A kerék és útfelület kölcsönhatását tekintve általában az jellemző, hogy csak a gumiabroncs nyomódik be, az útfelület nem deformálódik. A kerék és a pálya érintkezése nem egy pont, hanem ellipszis és a nyomás egy ellipszoid mentén oszlik el. Ha a kerék áll és a függőleges terhelőerőn kívül más aktív erő nem hat, a reakcióerő a kerék talppontjánál szimmetrikusan hat, eredője függőleges és átmegy a kerék középpontján.

A függőleges terhelés következtében a gumiabroncs deformálódik: egy adott része hol összenyomódik, hogy megnyúlik és a talajon egy felfekvő felületet alkot. Ha a kerék gördül, akkor a gördülés alatt a nyomás eloszlása a felfekvő felületen nem egyenletes. Így a fellépő erő már nem szimmetrikus a függőleges terhelőerőhöz képest, az eredő vertikális erő nem a kerék talppontjában, a felület középpontjánál, hanem attól a haladás irányában eltolva, előtte hat. Ez lesz a gördülési ellenállás karja. Ennek az eltolódásnak a következtében a reakcióerő nyomatékot fejt ki a kerékre, ezért kell egy aktív forgatónyomaték a kerék forgásban tartásához: ez nem más, mint a gördülési ellenállás.

A deformáció során a befektetett mechanikai energia egy része elnyelődik, azaz hővé alakul. Ennyivel több energiát kell befektetni a gumiabroncs mozgásban tartásához, gördüléséhez. Ezért ha nem fektetnünk be folyamatosan energiát, akkor a gördülési ellenállástól egy idő után megállna a gördülő kerék, ugyanúgy, mint a súrlódástól. A gördülő ellenállás általában sokkal kisebb, mint a száraz csúszó súrlódás. A gumiabroncs deformációja miatt a befektetett energia nem nyerhető vissza teljesen, egy része elvész. A gumiabroncs deformációja a normál kerékterhelés aszimmetrikus eloszlását is eredményezi.

4.1. ábra - Gördülési ellenállás

A mechanikából ismeretes a tiszta csúszósúrlódás valamint a tiszta nyugvósúrlódás. Mindkettőt azzal a fajlagos erővel jellemezhetjük, amely szükséges a csúszás fenntartásához, illetve megindításához. A kerék gördülésekor fellépő tapadás nem egyszerűen a nyugvósúrlódáson alapszik. Vannak gumiabroncsszemcsék, amelyek pillanatnyilag mozdulatlanok, de vannak olyan szemcsék is az abroncs és az út érintkezési felületén, amelyek csúsznak. A talaj és a gumiabroncs között fellép egy vákuumos szívóhatás is, ami az abroncsfelület elválását nehezíti meg. Így a gördülő kerék tapadását nem jellemzi egyértelműen sem a csúszó-, sem a nyugvósúrlódási tényező. Erre a célra külön tényező, tapadási tényező bevezetése szükséges, mely alatt azt a maximális vonóerőt értjük, amelynél a gördülés éppen tiszta csúszásba megy át.

Az így bevezetett tapadási tényező értéke több elemtől függ: például az út minőségétől és állapotától, a gumiabroncs minőségétől és állapotától, bizonyos mértékig függ a jármű sebességétől valamint kisebb mértékben függ a gumiabroncs légnyomásától. Ugyancsak kismértékben függ a függőleges terhelőerőtől.

Csúszó súrlódásról akkor beszélünk, ha a kerekek nem gördülnek, hanem csúsznak a felületen. A csúszó súrlódási tényező értéke mindig kisebb, mint a tapadási tényezőé. A két érték közötti átmenet folytonos, amit az úgynevezett szlippel lehet kifejezni.

4.2. ábra - Erőhatások

A tapadási és súrlódási tényezők a hosszirányú és oldalirányú komponensek vektoriális eredőjeként foghatók fel, amelyek segítségével a hosszirányú gyorsulások (gyorsítás, fékezés) és az oldalirányú mozgások leírhatók.

Ennek megfelelően a jármű mozgásához szükséges hajtóerő összességében az alábbi ellenállás komponenseket győzi le:

ahol

A gördülés során a terhelés eloszlása nem egyenletes, az eredő vertikális erő a felület középpontja előtt távolságban hat.

ahol a gördülés ellenállási tényező.

A gyorsulás nélkül gördülő keréken a nyomatékok egyensúlya alapján: , ahol a statikailag terhelt kerék sugara. Ebből a gördülési ellenállás: , ahol . Mivel változó nem mért, ezért ellenállást az normálerővel arányosan modellezzük.

4.3. ábra - Gördülési ellenállási tényező

A gördülési ellenállás tényezője a gumi légnyomásától, a gumiabroncs típusától (összetételétől) és a kerékterhelésétől függ. Ezeken a gumi összetétele van rá hatással. Terepen a talaj minősége játszik fontos szerepet. A gördülési ellenállási tényező egy a sebességtől független állandóból és a sebességtől függő tagokból tevődik össze:

Normális (150 ) sebességig az összefüggés lineáris (. Nagy sebességnél a tapasztalati összefüggés:

4.4. ábra - Kerékösszetartás

Nedves talajon, bizonyos vízrétegvastagság felett a gördülési ellenállást növeli a lökéshullámból adódó ellenállás, amely a talaj és a gumiabroncs közé ékszerűen benyomuló víz kiszorítása miatt lép fel. A lökéshullám ellenállása a sebességtől, az abroncs szélességétől és a vízréteg vastagságától függ. magasabb vízréteg és nagyobb sebesség esetén a kerék felúszhat és vízen csúszás keletkezhet.

A gördülési ellenállást növeli a kerékösszetartásból eredő ellenállás is. A kerékösszetartási ellenállás () a gumi felfekvő felületének oldalirányú deformációja miatt keletkezik.

4.5. ábra - Kanyarellenállás

A kerékösszetartási szögből () eredő oldalerő () hosszirányú komponense a menetiránnyal ellentétesen hat, ezért növeli a kerékellenállást:

A kanyarellenállás ívmenetben a gumiabroncs oldalirányú deformációja következtében keletkezik. A kanyarellenállás a kerekeken ívmenetben fellépő oldalerők () mozgással ellentétes irányban ható komponenseiből számítható.

A kerékoldalerő mozgással ellentétes irányú komponense a jármű mozgását fékezi. A kanyarellenállás ekkor

ahol az első és hátsó tengely kúszási szöge.

A kanyarmenetben fellépő centrifugális erő () által generált nyomaték egyensúlyban van a tengely oldalerők () által generált nyomatékkal.

ahol a centrifugális erő közelítése: , ahol a jármű tömege, a kanyarsugár, sebesség, tengelytáv, a súlypont távolsága az első és hátsó tengelytől.

A járműre ható kanyarellenállás:

azaz

ahol kanyarellenállási tényező:

A 31. ábra a kanyarellenállási tényező változását mutatja az oldalgyorsulás függvényében.

A mozgásban lévő járművön a menetszél következtében a mozgás irányával ellentétesen ható erő, légellenállás keletkezik. A légellenállás nagysága a jármű alakján kívül elsősorban az áramlási sebességtől függ. Az eredő áramlási sebesség a menetszélből () és a természetes szélből () tevődik össze: .

Ha a természetes szél iránya nem egyezik meg a menetszél irányával, az eredő erő háromszögeléssel számolható:

ahol a természetes szélsebesség iránya és a jármű hossztengelye közötti szög.

Oldalszél esetén az eredő áramlási sebesség és az áramlási szög:

4.6. ábra - Áramlási sebesség

A természetben az áramlási szög állandóan változik, mert a szélsebesség és az útirány is változik. Az áramlási veszteségek az áramlási sebesség négyzetével nőnek. A légellenállás a következő összefüggésből számítható:

ahol a levegő sűrűsége, a légellenállási tényező, a jármű homlokfelülete, az áramlási szélsebesség. Megjegyzés: értéke a jármű hosszirányába ható szélsebességgel egy szélcsatornában határozható meg.

Az emelkedési ellenállás a jármű tömegéből és a lejtő szögéből számítható.

Gyorsításkor a jármű transzlációs és rotációs mozgást végző tömegeinek tehetetlenségi ellenállását kell leküzdeni. Ezek alapján a gyorsítási ellenállás két részből tevődik össze:

ahol a jármű tömege, a gyorsulás, a forgó tömegeknek a kerékre redukált tehetetlenségi nyomatéka, a kerék szöggyorsulása és a dinamikus keréksugár. A kerék szöggyorsulását átszámíthatjuk transzlációs gyorsulássá: . A gyorsítási ellenállás:

ahol forgási tömegtényező a rotációs és transzlációs tömegek viszonyát fejezi ki.

meghatározásához a forgó tömegek tehetetlenségi nyomatékát az szögsebességgel forgó kerékre kell redukálni.

A hajtótengely és a motor szögsebességét a differenciálmű áttételével () és a hajtóműáttétellel () kell a kerékre átszámítani:

A kerékre redukálandó tehetetlenségi nyomatékok összege ennek megfelelően

ahol a hajtótengely kerékre redukált tehetetlenségi nyomatéka és a motor forgó részeinek kerékre redukált tehetetlenségi nyomatéka.

4.7. ábra - Koordináta rendszerek és kerék erők

A kerék erők leírása során több koordináta rendszert használhatunk. Ezek lehetnek például földhöz rögzített , a járműhöz rögzített , kerék hordozóhoz rögzített , kerék forgéstengelyhez rögzített , valamint a lokális útfelület dőléséhez rögzített koordináta rendszerek.

Minden ponton, ahol a gumiabroncs érintkezik az út felületével merőleges (normális) erők és súrlódási erők ébrednek. Az abroncs profiljának kialakítása miatt azonban a felfekvő felület nem feltétlenül alkot összefüggő területet. A kontakterők hatása leírható egyetlen eredő erővel ami az érintkezési felület egy rögzített pontján hat és egy nyomaték vektorral. Mivel egyenetlen úton a kontakt pont meghatározása nem egyszerű, ezért a kontakt pont geometriáját úgy kaphatjuk meg, hogy egy becsült pontot a tényleges útra vetítve kapunk egy közelítést a kontakt pontra, ahol a kerékre ható erőket tételezzük.

4.2.1. Kerékre ható erők és nyomatékok

A vektorok komponenseit egy, a pályához rögzített, koordináta rendszerben fejezhetjük ki, ahol a tengely merőleges a pályára, az tengely merőleges a tengelyre és a kerekek forgási tengelyére. Az tengely irányát a jobbkezes rendszer szerint rögzítjük.

Ebben a koordináta rendszerben a kerék erő és nyomaték komponensei a következőek:

• 

  hosszirányú, síkbeli longitudinális (fék, hajtás) erő,

• 

  oldalirányú, síkbeli laterális (kanyarodás) erő

• 

  függőleges (kerék-terhelés) erő,

• 

  dőlési/billenő, (kerék dőlését létrehozó) nyomaték,

• 

  gördülő nyomaték

• 

  nyomaték, ami a síkbeli erőkből jön létre azáltal, hogy azok támadáspontja nem közvetlenül a kerék középpontja alatt van.

A függőleges (kerék-terhelés) erőnek van egy statikus és egy dinamikus komponense:

(161)

ahol a statikus komponens a kerék elhajlás (tire deflection, ) és a kerék elhajlás változási sebességének () nemlineáris függvénye, míg a dinamikus komponens kifejezése .

A kerék síkja általában nem merőleges az útra. A kerékdőlési szög () a kerék síkjának oldalirányú kitérését méri. Ez főleg motorkerékároknál jelentős, de bizonyos felfüggesztési megoldások hatására is jelentkezhet, amikor a tengelyterhelés változik. A rugalmas kapcsolatok eredményeképp kanyarodáskor is jelentkezik oldalirányú kitérés.

4.8. ábra - Kerékdőlési szög

dőlési/billenő, (kerék dőlését létrehozó) nyomaték kifejezése

(162)

A dőlés hatására akkor is lesznek oldalirányú erők, ha nincs csúszás. Kis dőlési szögekre ennek közelítése

(163)

ahol dőlési együttható (tipping stiffness).

Az gördülő nyomatékot általában lineáris tagként modellezzük:

(164)

Pontosabb modelleknél a kerékspecifikus faktor a jármű sebességétől is függ. Egy további veszteségforrás lehet a hosszirányú erő nyomatéka:

(165)

ahol az effektív gördülési sugár.

4.2.2. A kerék kinematikája

4.9. ábra - Kontakt pont sebessége

A gumiabroncs kerületén ébredő hosszirányú erők a következő tényezőktől függnek: hosszirányú szlip, a függőleges kerékterhelés és a tapadási tényező. Hajtónyomaték vagy fékező nyomaték hatása alatt a gumiabroncs felfekvő felületén lévő gumirészecskék parciális csúszása miatt sebességkülönbség keletkezik a jármű sebessége és a kerék gördülési sebessége között. Emiatt kerék által megtett távolság nem egyezik meg a kerék forgási szögéből számítható távolsággal, úgynevezett hosszirányú szlip keletkezik.

A hosszirányú szlip () a menetsebesség és a kerék/talaj közötti relatív sebesség különbségéből határozható meg. A dinamikus keréksugár a gumiabroncs legördülési kerületéből adódik. A legördülési kerület egyenlő a szabadon gördülő kerék által egy fordulat alatt megtett úttal. Így a kerék dinamikus gördülési sugarát a következő definíció alapján határozhatjuk meg:

(166)

ahol a kerék fordulatszáma. Tehát a dinamikus keréksugár az az effektív keréksugár, amivel az fordulatszámmal a kerék által elért sebesség adódna.

A dinamikus keréksugár összefüggése alapján:

(167)

ahol a terheletlen kerék sugara és a terhelt kerék sugara. Ennek egy közelítő értékét az alábbiak szerint kaphatjuk meg:

(168)

Látható, hogy

(169)

Egy meghajtó kerék esetén (elsőkerék hajtású jármű első kereke) a forgásból számított sebesség nagyobb a jármű sebességénél, azaz . Egy meghajtott kerék esetén a jármű sebessége nagyobb a kerék forgásából számított sebességénél, tehát . Hajtás esetén a következő sebességkülönbség adódik: .

A dinamikai jármű modellekben szereplő egyik legfontosabb paraméter a longitudinális csúszási együttható (szlip), ahol:

(170)

A hosszirányú szlip hajtás és fékezés esetén a következőképpen definiálható: a fékezési szlip

(171)

míg a hajtási szlip

(172)

Az álló járművön kipörgő kerék, illetve a fékezéskor blokkoló kerék egyaránt szlipet jelent.

Összefoglalva, a kerék kinematikáját meghatározó legfontosabb tényezők az alábbiak: a jármű sebessége, a kerék kerületi sebessége valamint a csúszási sebesség. Az effektív gördülési sugár értékét a szabadon futó (fék/hajtás=) kerék szögsebessége határozza meg. Bevezetjük még az a csúszási szöget valamint a csúszási sebesség irányát.

4.10. ábra - Kerék kinematikája

A kerékerők a tapadási és csúszási együtthatók függvényei. A különböző együtthatók definíciói és a köztük levő kapcsolatok az alábbiak:

(173)

(174)

(175)

Mivel a csúszási együttható (slip ratio):

(176)

(177)

(178)

Az ISO és SAE szabványok szerint a hosszirányú csúszás kifejezése [%] míg az oldalirányú csúszás [deg].

A gyakorlatban használt irányítási célú járműmodellek linearizált erőkkel és nyomatékokkal számolnak:

(179)

(180)

azaz

(181)

(182)

(183)

ahol például longitudinális merevség (szlip) és pedig a kanyarodási (cornering) merevség.

A kerékre ható, úttartást és menetstabilitást befolyásoló tényezők a csúszási szög az oldalerő és az általa generált nyomaték. Amennyiben a jármű a tapadási viszonyokhoz képest nagy sebességgel halad az ívben, a tapadás jelentős részét felemészti az íven tartás biztosítása: a tapadási tényező oldalirányú komponense megközelíti az útpálya és gumiabroncs közötti tapadási tényező értékét. Ha a két komponenst összegezzük, előfordulhat, hogy nincs akkora tapadás, mint amekkorára az adott manővernél szükség lenne: a jármű kicsúszik a kanyarban.

A horizontális síkban maximálisan átvihető erőt az abroncs és a talaj érintkezési síkjában ható súrlódási viszonyok határozzák meg. A jármű hosszirányú mozgásához szükséges erők:

ahol a leküzdendő menetellenállások összege, és a hosszirányú erő az első és hátsó kerekeken.

Mint azt már láttuk, a maximális hosszirányú erő () arányos a függőleges erővel ():

ahol arányossági tényező a gumiabroncs és az út közötti tapadási tényező. Ha a keréken ennél nagyobb hajtó vagy fékerő lép fel, akkor a gumiabroncs nem tud a talajon tapadni és kipörög vagy blokkol. Ebben az állapotban átvihető erő a csúszási tényező nagyságától függ:

Egy tipikus szlip görbe maximuma a tapadási tényező, ami a maximális erőkapcsolat kihasználást jelenti. Fékezéskor a tapadási tényező növekvő kerékcsúszás esetén intenzíven, kezdetben lineárisan majd kevésbé növekedve éri el maximális értékét. Ezt stabil tartománynak tekintjük.

Ha a szlip görbe maximumán túl növekszik, akkor a súrlódási tényező leesik a csúszási tényező értékére. A görbének ez a szakasza az instabil tartomány, ami azt jelenti, hogy a szlip a görbe maximumának átlépésekor növekszik és a kerék a csúszás állapotába megy. Ez egy önmagát gerjesztő folyamat, melynél ha nem csökkentik a fékező nyomást, a kerék hamarosan blokkolni fog.

A jármű iránytartása szempontjából a gumiabroncs oldalvezetési tulajdonságai jelentősek. A kormány működtetésével a kerék elfordul eredeti síkjától. Ekkor a gumiabroncs felfekvő felületében a talajon tapadó gumirészecskék rugalmas deformációja lép fel.

A kerék emiatt nem a középsíkja irányában, hanem az úgynevezett kúszási szög alatt gördül le. A kerék sebességvektora a kerék középsík tengelyével szöget zár be. A felfekvő felületen fellépő oldalcsúszási sebesség oldalirányú szlipet okoz.

A kúszási szög az első és hátsó kerekeken a következő:

ahol a kormányszög. Kis szögek esetén a kúszási szögek a következő módon közelíthetők:

ahol a hosszirányú és oldalirányú sebességek, a perdülés szöge.

Az oldalirányú erő a függőleges normál erőtől függ:

ahol az arányossági oldalsúrlódási tényező. Az oldalerő kis szögek esetén arányos a kúszási szöggel

Az oldalvezető erő nem a gumiabroncs talajérintkezési felületének közepén hat, hanem távolságban mögötte. Emiatt egy visszatérítő kúszási nyomaték keletkezik, ami a kúszási szöget csökkenteni akarja:

A kerékdőlés is oldalerőt generál, amely irányától függően kanyarban növeli vagy csökkenti a centrifugális erőből adódó oldalerőt. Kis dőlésszögek esetén jó közelítéssel

Szimulációs célból a keréknek különböző bonyolultságú modelljeit használhatjuk. Vannak strukturális, komplex kerék modellek, mint például a végeselem modellek, ahol a kerék kis elemekre van bontva, az egyes elemekre és kölcsönhatásaira felírt (parciális) differenciálegyenletekkel. Ezeknek a modelleknek azonban igen nagy a számítási igényük.

4.11. ábra - Komplex kerék modell

Az ennél valamivel egyszerűbb dinamikus kerék modellek közül megemlíthetők a kefe modellek, ahol a gumiabroncs szeletekre van bontva, és ezeknek a szeleteknek a mozgása, mintha egy kefe sörtéi lennének, van modellezve. Ebben a modellben az egyes cellákra vonatkoztatott erők és a szlip alakja:

A dinamikus szemi-empirikus modellek figyelembe veszik, hogy a manőverezés során a kerékerők kialakulásához idő kell, azaz

ahol a kerékerőket meghatórozó slip, a tényleges (mért) slip, míg az úgynevezett relaxációs hossz. Az oldalirányú relaxációs hossz az kerékerő és az oldalirányú szlip függvénye.

Egy egyszerüsített kefe modell a LuGre modell, ahol

A dinamikus kerék modellek általában túl bonyolultak ahhoz, hogy irányítási célú modellekben használjuk őket. Ilyen célokra megfelelőbbek a stacionárius kerék modellek, ahol a szlip egy stacionárius nemlineáris kifejezésként van modellezve. Ilyen például a Pacejka féle "mágikus" formula:

ahol a ,, párok valamelyike és

A teljes szimulációs célú modell jóval több (kb. ) paramétert tartalmaz amit mért adatokkal való összevetéssel kalibráltak be. Tervezés során természetesen a paraméterek számának csökkentése a kívánatos.

Egy egészen egyszerű longitudinális jármű modell egyenletei

ahol a jármű tömege, a jármű sebessége, az inercia együttható és a kerék sugara. Ebben az egyszerű modellben a kerék felfüggesztését és a gumiabroncs összenyomódási mértékét nem vesszük figyelembe. a hajtási vagy fékezési nyomaték.

Az állandósult állapotban a keletkezett kerék erők és nyomatékok a hosszirányú és oldalirányú csúszás függvényei. Ennek megfelelően az hosszirányú erő a hosszirányú csúszási együttható függvénye, ahol

és ahol szolgál, ebben ez az egyszerű megközelítésben, dinamikus gördülési sugárként is.

Normál vezetési körülmények között igen kicsi, és a kerék közel áll a

szabadon gördülési feltételhez. Ekkor a és állapottól való eltérés

és

Kis eltérések esetén a hosszirányú csúszási együttható alakja

A már látott módon a linearizált longitudinális erő így a kapott longitudinális modell

4.5.1. Példa: vasúti kerék szimulált fékezése

Ennek az egyszerű longitudinális modellnek az alkalmazására álljon itt a vasúti kerék csúszásának vizsgálata fékezéskor. Láttuk, hogy a szlip értékei (szabadon futó kerék) és (blokkolt kerék) között lehetnek. A valós és a modellezett adhéziós görbát, ahol a tribológiai környezet a paraméterekkel van modellezve, a 38. ábra szemlélteti.

4.12. ábra - Valós és modellezett adhéziós görbe

A szimulációhoz használt modell alakja

(213)

ahol

(214)

(215)

A modell alapján egy blokkolásgátló fékezés lett tervezve. Ennek a fékezésnek a működését szemlélteik az 40 és 41 ábrák. A szimuláció során beállított tribológiai paraméterek értékei az alábbiak voltak:

• 

• 

• 

4.13. ábra - Szimuláció:

4.14. ábra - Szimuláció: jelek

Egy hagyományos sebességtartó irányítás a vezető által megadott sebességérték tartására képes. Az adaptív sebességszabályozás feladata a hagyományos menetsebesség szabályozáson nyugszik, ami tartja a megadott sebességet. A szabályozás képes váltakozó forgalmi körülményekhez automatikusan igazodni: gyorsítani, gázadást csökkenteni, fékezni. Ezáltal képes egy előtte haladó jármű sebességéhez is igazodni egy hosszirányú követési távolság figyelembe vételével.

A szabályozási feladat az igényelt sebesség () és az aktuális sebesség () közötti különbség csökkentéséhez kiszámítja a szükséges gyorsulás (lassulás) értékét és azt realizálja:

A jármű mozgásához szükséges hajtóerő komponensei:

ahol a gyorsítási ellenállás és a zavaró tényezők eredője (gördülési ellenállás, légellenállás, kanyarellenállás, emelkedési ellenállás). Az hosszirányú erő egyszerűsített összefüggése:

ahol a jármű tömege, pedig a jármű gyorsulása.

Az irányítási feladatot például egy PI típusú szabályozóval oldhatjuk meg. A szabályozó struktúrája ekkor

A szabályozó bemenete a megkívánt sebesség () és az elért sebesség () közötti különbség: A szabályozó komponenseinek hatása a sebességekre:

Definiáljuk a referencia pozíciót: (folyt.)

ahol az igényelt referencia sebességhez tartozó pozíció. Az aktuális pozíció hasonlóan felírható.

Az igényelt gyorsulás és a szabályozó komponenseinek hatása:

A felsőszintű szabályozás tervezése rutinfeladat. Ha az irányítójel nagyságát meg akarjuk szorítani, akkor az elérendő minőségi tulajdonságokat bővítjük:

azaz az előírt sebesség és a tényleges sebesség közötti különbség legyen minimális,

A szabályozótervezés kritériuma a következőképpen fogalmazható meg:

ahol és a skalár tervezési súlyok.

A hosszirányú erőt a hajtási vagy a fékezési rendszerekkel kell létrehozni. Hajtáskor a motor fojtószelep beállításával állítjuk elő a hajtáshoz szükséges nyomatékot (táblázat). A sebességváltásról a fordulatszám és az optimális fogyasztás alapján döntünk. Fékezéskor a féknyomásokat állítjuk be ( például táblázat alapján).

4.15. ábra - Összetett szabályozási séma

Ha a jármű előtt nem halad másik jármű, akkor standard sebességtartó irányítási feladatot kell megoldani. Ha a jármű előtt egy másik jármű jelenik meg, akkor döntési feladatot kell először megoldani. Ha az előttünk lévő jármű távolsága és sebessége alapján nincs szükség a sebesség változtatására, akkor továbbra is sebességtartó irányítást kell megoldani. Ha az aktuális sebesség nem tartható, akkor a továbbiakban egy távolságtartó irányítási feladatot kell megoldani.

Az irányítási feladatban közúti járműhöz tervezünk szabályozót, amely képes a járművet egy előző járműtől előre megadott távolságban vezetni. Az irányítástervezés feladata a szükséges hosszirányú erő (hajtáslánc és fékrendszer) meghatározása. A szabályozási feladat a két jármű közötti relatív távolság minimalizálása:

ahol és az egyes járművek elmozdulásai.

A járművek hosszirányú erőinek összefüggése:

ahol a jármű tömege, a járművek elmozdulása. Az egyenleteket a következő alakban célszerű megfogalmazni:

ahol relatív távolság.

4.16. ábra - Követési feladat

A szabályozott rendszernek a következő minőségi tulajdonságokat kell kielégítenie:

azaz az előírt relatív távolság és a tényleges közötti különbség legyen minimális

A szabályozótervezés kritériuma a következőképpen fogalmazható meg:

ahol és a skalár tervezési súlyok.

Az adaptív távolságtartó irányítási feladatban a járműnek egy előre megadott követési távolságot kell tartania.

4.17. ábra - Oszlopban haladó járművek

Az oszlopban haladó járművek irányítása azt a jellegzetes forgalmi szituációt kísérli meg automatizálás által biztonságosabbá és költséghatékonyabbá tenni, amikor több jármű, hosszú távon, azonos útszakaszon halad. Emellett a környező járművek aktuális pozíciójának pontos ismerete segítheti a ráfutásos balesetek kiküszöbölését is. Az oszlopban haladó járművek esetén a cél a minél kisebb követési távolság megvalósítása. Az oszlopban haladó járművek közötti kommunikáció kihasználásával a követési távolságot a normál követési távolságnál lényegesen kisebbre választjuk.

Normál működési körülmények esetén a követőjárművek irányítása szétcsatolható egy sebességszabályozási feladatra (hosszirányú irányítás) és a sávon belüli pozícionálásra (oldalirányú irányítás). A sebességszabályozó kimenete a féknyomás vagy a pillangószelep-állás, amelyek a jármű gyorsulásának beállítására szolgálnak. A szabályozó bemenetei az alkalmazott irányítási módszertől függően változhatnak, de a vezető vagy közvetlenül a vizsgált jármű előtt haladó jármű gyorsulás, sebesség és pozíció (távolság) adatai rendszerint szükségesek.

Ebben a feladatban alapvető szerepet játszanak a szenzorfúziós eljárások és a járművek közötti kommunikációs módszerek. A szokásos pozíciómeghatározási módszereket (GPS) a járművön megtalálható egyéb érzékelők (sebesség, oldalgyorsulás, radar) adataival kiegészítve kezeljük. Az oszlopban haladó járművek közötti kommunikáció kihasználásával a követési távolságot a normál követési távolságnál lényegesen kisebbre csökkentjük.

Kétféle stabilizálási feladatot kell megoldani: az egyedi járműveknek meg kell oldaniuk, hogy az őt megelőző járműtől való távolság minél kisebb (illetve az előírt értékű) legyen. Meg kell oldani a teljes járműoszlop stabilitását, az úgynevezett string stabilitási feladatot. A string stabilitás biztosítja, hogy az egyes járművek elérjék a számukra előírt pozíciót a járműoszlopon belül, továbbá garantálja, hogy a konvoj elején - például a vezető jármű hirtelen fékezése miatt - keletkező követési hiba folyamatosan csökkenő hibát okozzon a járműoszlop mentén. Ezzel elkerülhető, hogy egy hirtelen fékezés ráfutásos ütközést váltson ki a konvoj végén.

Az egyedi járműveknek meg kell oldaniuk, hogy az őt megelőző járműtől való távolság minél kisebb (illetve az előírt értékű) legyen. Legyen az -edik jármű aktuális pozíciója. A járművek között távolságot akarunk tartani, melynek meghatározása során figyelembe vettük a járművek hosszát is. A követő járművek közötti távolság hibája

Az egyedi irányítás biztosítja a stabilitást, ha a következő követelmény teljesül:

Az irányítási feladat a megadott távolság tartása az előző jármű mozgását figyelembe véve.

4.18. ábra - Adaptív string

Meg kell oldani a teljes járműoszlop stabilitását, az úgynevezett string stabilitási feladatot. A string stabilitási feladat azt jelenti hogy a konvoj elején keletkező követési hiba ne növekedjen a járműoszlop mentén a később érkező járművek irányában. A string stabilitásra többféle megoldás létezik: állandó távolság tartása vagy állandó időköz tartása, amikor a távolság nem állandó, hanem a sebességgel arányosan változik.

A szabályozó bemenetei az alkalmazott irányítási módszertől függően változhatnak, de a vezető vagy közvetlenül a vizsgált jármű előtt haladó jármű gyorsulás, sebesség és pozíció (távolság) adatai rendszerint szükségesek. Ha az irányítási stratégia a vezető jármű alapján (1. módszer) történik, akkor

ahol a vezető jármű pozíciója. Ekkor a követési hiba dinamikája: azaz . String stabilitás szempontjából ez biztosítja a leghatékonyabb megoldást, hiszen hibamentes megoldást ad. A stratégia nem biztonságos, mivel nem veszi figyelembe a vizsgált jármű előtt haladó jármű adatait.

Ha az irányítási stratégia csak a vizsgált jármű előtt haladó jármű adatai alapján (2. módszer) történik, akkor a módszer a vizsgált jármű előtt haladó jármű pozíció és sebesség adatai alapján dolgozik:

Ekkor a követési hiba dinamikája alapján

Az első járműre

ahol az első jármű gyorsulása. Az átviteli és a frekvencia függvény:

Azokon a frekvenciákon, ahol a hiba erősítve terjed tovább a járművek mentén. Ilyenkor a string stabilitás nem teljesül.

Ha az irányítási stratégia csak a vizsgált jármű előtt haladó jármű adatai alapján (3. módszer) történik, és a módszer a vizsgált jármű előtt haladó jármű pozíció és sebesség adatain kívül a vizsgált jármű előtt haladó jármű gyorsulás adatát is figyelembe veszi, akkor:

A követési hiba dinamikája ekkor alapján

Az első járműre , i=1, ahol az első jármű gyorsulása. Az átviteli függvény:

Ha , akkor lehetnek frekvenciák, amelyeknél a hiba erősítve terjed tovább a járművek mentén. Ezért () választás célszerű a string stabilitáshoz.

Ha az irányítási stratégia a vezető jármű és a közvetlenül a vizsgált jármű előtt haladó jármű adatait egyaránt felhasználja. (4. módszer), akkor

A módszer nagyszámú információt használ, azonban ebben az esetben a string stabilitás garantálható.

A változó távolságot biztosító irányítási stratégiában minden jármű a közvetlenül előtte haladó jármű pozíció, sebesség és gyorsulás adatából dolgozik (5. módszer).

Ekkor

Ez a módszer is nagyszámú információt használ, azonban ebben az esetben is a string stabilitás garantálható.

A továbbiakban az ezekben a feladatokban felmerülő jelkövető irányítástervezésre adunk néhány módszer.

4.6.1. Állapot szeparálás módszere

Induljunk ki az alábbi integráló tulajdonságú rendszerből, melynek állapottér reprezentációja a következő:

(243)

(244)

Integráló tulajdonságú rendszerhez jelkövetést biztosító szabályozó struktúra egy output visszacsatolt soros kompenzátort kombinál az állapot-visszacsatolással.

Ha a rendszer maga integráló tulajdonságú, és a rendszer kimenetét is visszacsatoljuk, akkor ez a struktúra automatikusan biztosítja a referencia jelkövetést és az állapot-visszacsatolás a pólusok megfelelő elhelyezését.

Válasszuk meg az állapotvektort úgy, hogy az első komponense éppen a rendszer kimenete legyen. Ebben a rendszerben az állapotjelet nem csatoljuk vissza, helyette a rendszer kimenőjelét csatoljuk vissza negatívan és az így képzett különbséget erősítjük a értékkel.

Ekkor a bemenőjel és a kimenőjel az állapotvektor elemeivel a következőképpen írható fel:

(245)

(246)

ahol

(247)

az állapotvisszacsatolás komponensei.

Az input jelet az állapotegyenletbe helyettesítve a következő egyenletet kapjuk:

(248)

A követési hiba:

• A szabályozott rendszer pólusai az mátrix sajátértékei, ami azt jelenti, hogy a fenti struktúra alkalmazásával a pólus allokációs technika gyakorlatilag változtatás nélkül használható.

• A szabályozott rendszer állapotmátrixa: és input vektora: .

Példa 5.1: Tekintsük példaként a következő integráló tulajdonságú rendszert:

(249)

(250)

Az első állapot azonos a rendszer kimenetével. Tervezzünk jelkövető szabályozást LQ módszerrel. Az LQ tervezés súlyozó tényezői:

(251)

Az LQ tervezés eredménye:

(252)

A zárt rendszer állapottér reprezentációja:

(253)

(254)

A megoldás szimulációját az alábbi ábrasor illusztrálja:

4.19. ábra - A megoldás szimulációja

Megjegyzés: állapottér átalakítása

A megoldásban feltételeztük, hogy az állapotváltozókat sikerült úgy összeállítani, hogy a rendszer kimenete azonos az első állapotváltozóval.

Ha ez nincs így, akkor egy transzformációt kell végrehajtani.

Tegyük fel, hogy a rendszer átviteli függvénye a következő:

(255)

Az első állapotváltozót úgy választjuk meg, hogy az azonos legyen a rendszer kimenetével: . A többi állapotváltozó megválasztása a következőképpen történik:

(256)

ahol , , , ..., .

Végül az elsőrendű deriváltjára a következő alakot kapjuk:

(257)

ahol .

A fentiek alapján az állapottér reprezentáció a következő alakot kapjuk:

(258)

(259)

A hasonlósági transzformációval kapott állapottérben az első állapotváltozó a kimenőjellel azonos.

4.6.1.1. Struktúra módosítás

Egy integrátort nem tartalmazó rendszer esetén a jelkövetést úgy kell megoldani, hogy integráló típusú soros kompenzátort alkalmazunk a visszacsatolásban.

Ez állapot-visszacsatolást tartalmazó rendszerben azt jelenti, hogy az állapot-visszacsatolt struktúrát egy olyan output visszacsatolással kombináljuk, amely integráló tulajdonságú. Ebben a struktúrában valamennyi állapot vektort visszacsatoljuk a rendszer bemenetére. Ezen túlmenően egy integráló elemet építünk a rendszer előrevető ágába és ezt -vel erősítjük. Fentiek miatt ebben a struktúrában számú erősítést alkalmazunk.

Egy új állapotváltozót definiálunk:

(260)

4.20. ábra - Struktúra modosítása

Az állapot-visszacsatolt struktúrával a rendszer állapottér reprezentációja a következő:

(261)

(262)

(263)

(264)

Az állapot-visszacsatolt struktúrában a bemenőjelet az , , komponenseken kívül az hibajel figyelembe vételével állítjuk elő. A rendszer állapottér struktúráját a komponenssel bővítjük és ebben a bővített rendszerben végezzük el a tervezést.

Az állapotegyenletek a következők:

(265)

(266)

A kimeneti egyenlet:

(267)

A bővített rendszer állapottér reprezentációja:

(268)

(269)

Az irányítójel összefüggése:

(270)

Az állapottér reprezentáció:

(271)

(272)

A követési hiba:

Ezzel a struktúrával automatikusan elérjük, hogy a szabályozott rendszer jelkövetést biztosítson. A pólus allokációt a bővített rendszerben végezzük el. A továbbiakban a hagyományos pólus allokációs technika használható.

Az állapotvisszacsatoilt erősítés komponensű:

(273)

Az állapotvisszacsatolás tervezésének feltétele, hogy az irányíthatósági mátrix teljes rangú legyen:

.

Példa 5.2:

Tekintsük példaként a rendszert:

(274)

(275)

4.21. ábra - Az 5.2 példa megoldása

A bővített rendszer állapottér reprezentációja:

(276)

(277)

Az LQ tervezés súlyozó tényezői:

(278)

Az LQ tervezés eredménye:

(279)

A zárt rendszer állapottér reprezentációja:

(280)

(281)

A megoldás szimulációját az 5.2 ábrasor illusztrálja.

A kerék és aszfalt közötti súrlódási tényező, amíg a kerék nem csúszik meg, hanem gördül, nagyobb, mint megcsúszás esetén. Ha erősen fékezünk, a kerék megcsúszhat és hosszabb lesz a fékútja. Indításnál hasonló jelenég léphet fel: ha túlságosan nagy forgatónyomaték hat a kerekekre, azok megcsúszhatnak (kipörgés), ezzel a vonóerő lecsökken: a fronthajtásos jármű ilyenkor kormányozhatatlanná, a hátsókerék-hajtásos instabillá válik.

Már az 1920-as években szabadalmaztattak fékezési kerékcsúszási eljárásokat. 1936-ban a Bosch nyújtott be ABS szabadalmat. Az első blokkolásgátló fejlesztések a Teldix-nél kezdődtek (Bosch leányvállalat) 1964-ben. A kísérleti jármű fékútját hatékonyan csökkentették, de ez a rendszer a sorozatgyártásra még alkalmatlan volt mivel a szabályozó elektronika nagyon megbízhatatlan volt (1000 analóg áramköri elem). A Daimler és a Teldix készítette el az első, maihoz hasonló kerékfordulatszám érzékelőt 1969-ben. A blokkolásgátlók sorozatgyártása a Boschnál csak 1978-ban kezdődött el (Mercedes S-osztály, 7-es BMW). 1987-ben az ABS szabályozást az elinduláskor és gyorsításkor a kerekek kipörgését megakadályozó ASR rendszer egészítette ki. 1995-től elkezdődött az Elektronikus Stabilitás Program, az ESP sorozatgyártása. Ez a gépkocsi hosszanti dinamikáján kívül a stabilitás növelése érdekében a keresztirányú dinamikába is beavatkozik.

A blokkolásgátló fékrendszer (ABS) egy olyan aktív biztonsági eszköz, amely megakadályozza az autó megcsúszását erőteljes fékezés esetén, továbbá segít a fékezendő gépjármű egyenesen tartásában. A rendszer lényege, hogy érzékelve a kerekek blokkolását, a másodperc töredékére kiiktassa a fékezést. Az ABS fő célja, hogy vészfékezés esetén is megmaradjon az irányíthatáság, azaz csúszós úton segítsen meggátolni az autó megpördülését fékezés közben. Csúszás úton gépkocsival kis gázzal kell elindulni: így a kisebb nyomaték következtében elkerülhető a kerekek kipörgése. A kipörgésgátló a kerék megcsúszásakor leterheli a hajtómotort.

Az Anti-Slip Regulation (ASR) vagy Traction Control System (TRC) gyorsítás alatt az ABS szenzoroktól kapott adatok alapján figyeli a kerekek forgási sebességét. Amennyiben érzékeli valamelyik kerék gyors fordulatszám-növekedését (megcsúszás, kipörgés), csökkenti a motor teljesítményét és megakadályozza a kipörgést. Kis sebességnél (40 km/h alatti) az ASR a fékek segítségével is fékezi a túl gyorsan forgó kereket.

A blokkolásgátló rendszereknek az a feladatuk, hogy a kerék forgási irányában fellépő szlipet fékezés közben úgy szabályozzák, hogy a tapadási tényező maximálisan ki legyen használva. Az ABS rendszereket eredetileg azért fejlesztették, hogy erős fékezés során esetlegesen bekövetkező kerékcsúszást megakadályozzák. Később az ABS rendszereket úgy fejlesztették, hogy maximális fékerőt biztosítsanak.

Az ABS működése során különböző problémák merülhetnek fel: a kerekek fékezésének rövid idejű kiiktatása miatt a fékezés ideje és hossza megnő. A legnagyobb tapadási tényező elérése után a jármű attól függően viselkedik, hogy az első vagy a hátsó kerekek blokkolnak-e először. A két veszélyes állapot közül a kedvezőbb, ha előbb az első kerekek csúsznak meg. Ekkor megszűnik a kormányozhatóság és növekszik a féktávolság, a jármű a kanyart kiegyenesíti, de nem farol meg (alulkormányzott viselkedés). Ha a hátsó kerekek csúsznának meg előbb, oldalerő (oldalszél, ívmenetben centrifugális erő) hatására az autó megfarol, ami különösen veszélyes helyzetet teremt (túlkormányzott viselkedés). A problémák kiküszöbölésére az egyese megoldások más más stratégiákat igényelnek.

Néhány lehetséges ABS megoldás elve:

Az ABS szabályozás szempontjából fontos paraméterek: a tapadási tényező, a csúszási tényező, a oldalsúrlódási tényező és fékezési szlip a hozzátartozó tapadási tényezővel.

Az ABS szabályozáshoz szükséges kerékgyorsulási értékeket a kerék forulatszám mérővel mért kerületi sebességének differenciálásával nyerjük. Az ABS szabályozáshoz egy referencia sebességre van szükség, amely a jármű haladási sebességét optimális lefékezés esetére szimulálja. A referencia sebességet a kerekek fordulatszámából logikai kapcsolatok segítségével lehet levezetni.

Típusuk szerint különböző érzékelők láthatják el ezt a feladatot. Az induktív elven működő érzékelő esetén a futóműhöz rögzített kerékfordulatszám érzékelő belsejében állandó mágnest helyeznek el, melynek erőterét a kerékkel együtt forgó póluskerék módosítja. A póluskerék forgása miatt az érzékelő elé váltakozva fog, illetve fogárok kerül. Emiatt a mágneses fluxus intenzitása periodikusan váltakozik. A kerék fordulatszáma viszont arányos az indukált feszültség értékével. Hall effektus elvén alapuló aktív kerékfordulatszám érzékelő esetén egy vezetőre, melyre feszültséget kapcsolunk és rá merőleges irányú mágneses erőtérbe helyezzük az áram irányra és a mágneses erővonalakra merőlegesen Hall feszültség jön létre. Ha az érzékelő közelében a mágneses tér periodikusan változik, ezzel arányos lesz a feszültség is.

Az ideális blokkolásgátlónak a féknyomást úgy kell szabályoznia, hogy a fékezési szlip a kerekeken mindig a -szlip görbe maximumán maradjon. A görbe formája a gumiabroncs típusán kívül még több tényezőtől függ. A tipikus maximális szlip hányados értéke és közötti. A görbe alakja akkor is változik, ha fékezés közben kúszási szög lép fel. Növekvő kúszási szöggel csökken a tapadási tényező. A kúszási szögnek jelentős hatása van az oldalirányú súrlódási tényezőre is.

Egy elvi algoritmus a következő lehet: ha fékezés során a kerék lassulása kisebb küszöbértéknél (azaz ), akkor a fékezés végrehajtódik. Ha a kerék lassulása meghaladja az küszöbértéket, (azaz ), akkor a féknyomást állandó értéken tartja (a kerékhez tartozó mágnesszelep nyomástartás pozícióba kerül). Ha a kerék lassulása folytatódik és meghaladja az küszöbértéket, (azaz ), akkor a kerékhez tartozó féknyomást csökkenti (a szelep a nyomáscsökkenés állapotába tolódik). A kerék el kezd gyorsulni. Ha a kerék lassulása csökken az küszöbérték fölé, (azaz ), akkor a szelep a nyomástartás pozícióba megy vissza.

Ha a keréklassulás csökken és az küszöbérték fölé kerül (azaz ), akkor a a fékezés ismét aktiválódik, azaz a kerékhez tartozó féknyomás növekedni fog (a szelep a nyomásnövelés pozícióba jut). A kerék gyorsulását mindaddig növelni kell, amíg a gyorsulás meghalad egy viszonylag nagy küszöbértéket (). Ekkor a szelep ismét nyomástartás pozícióba kerül. Amikor a kerék gyorsulása az küszöbérték alá kerül (azaz ), akkor a kerék a -szlip görbe stabil tartományába fut be és ezzel a fékerő az optimális érték alá süllyed. Ha a kerék lassulása az küszöbérték alá kerül (azaz ) akkor a folyamat megismétlődik az első ciklushoz hasonlóan.

Ezzel az eljárással megakadályozzuk, hogy a kerék blokkoljon és a kerék forgási sebességét abban a tartományban tartsuk, ahol a szlip a biztonsági tartományban, az optimális értékhez közel marad.

Az ABS működésére számos tényező hat.

A szabályozási feladat megoldása során a kerék pillanatnyi csúszását hasonlítjuk az optimális csúszás értékhez:

Az első szimulációs példa a jeges úton való fékezést illusztrálja érték esetén, lásd a 47. ábrát. A szimulációs jelek a féknyomások, hosszirányú keréksebességek, bólintás, főtengely fordulatszám és afékút.

5.1. ábra - Szimulációs jelek

ABS fékezés eltérő tapadási tényező esetén a jármű kipörgését eredményezi. Ennek illusztrálása látható a 48. ábrán. Szimuláció jelek a féknyomások, bólintás, a kormányszög és a hosszirányú keréksebességek.

5.2. ábra - split

Kanyarodás közbeni fékezés illusztrációja látható a 49. ábrán.

5.3. ábra - Kanyarodás közbeni fékezés