6. fejezet - Vertikális modellezés és irányítás

A felfüggesztési rendszernek különféle egyszerűsített modelljei léteznek. Ezek a modellek a járműdinamika egy részét figyelembe veszik, más részét viszont elhanyagolják.

A járműtest egy rugózott tömeggel van reprezentálva, míg a tengely és a kerekek négy rugózatlan tömeggel. A rugózott és rugózatlan tömegek közötti rugó és csillapító a felfüggesztést reprezentálja. A kerekek és az út közötti kapcsolatot rugó közelíti. A hét-szabadságfokú jármű-modell mozgásai:

Az útfelület által generált elmozdulások a gerjesztések.

Írjuk fel egy negyedjármű modell egyenleteit. A negyedjármű modellt a 68. ábra illusztrálja.

A mozgásegyenletek felírása a Lagrange egyenleten keresztül történik.

ahol , , a kinetikai, potenciális és disszipatív energiák, mig külső erők vektora.

Az egyenlet az koordináták irányában felbontható:

A példában , jelöléssel:

Egy két-szabadságfokú negyedjármű modell mozgásegyenletei a következők:

Mátrixos alakban:

ahol

Egy negyedjármű modell állapottér reprezentációja a következő:

ahol az állapotvektor:

azaz az állapotmátrixok alakja a következő:

A csillapítás nélküli negyedjármű modell () alapján két sajátfrekvenciát határozhatunk meg ( és ):

ahol és , azaz

Megoldás:

A sajátfrekvenciák közelítő értékei:

A teljes jármű vertikális dinamikájának modellje egy hétszabadságfokú modellhez vezet. A mozgásegyenletek:

ahol a rugózott tömeg, a rugózatlan tömegek, a felfüggesztési rugóállandó, a kerék rugóállandó, a felfüggesztési csillapitás, a geometria mátrix. A jelek az alábbi vektorokba vannak gyűjtve:

Ezután a teljes jármű mozgásegyenlete:

ami állapotegyenlet alakban felírva:

ahol , , , és a mátrixok a következők:

Az állapotegyenlet komponensei a következők:

A felfüggesztési rendszer végeselem módszerrel is modellezhető. A végeselem modell célja elemzések elvégzése. Például egy busz vázszerkezetének modellje szabadságfokú. A modell adatai: csomópont, gerenda elem, héj elem, tömegpont, rugó és csillapító. A modellelemzésekhez jól alkalmazható, irányítási feladat esetén modell redukcióra van szükség.

A teljes jármű vertikális dinamikájának modellje a végeselem modell alapján a következő:

ahol tömegmátrix, csillapítás mátrix, rugóállandók mátrixa, kerék rugóállandók, , általánosított elmozdulás, és általánosított sebesség és gyorsulás, aktuátor erők és az útpálya felülete. Bevezetjük a következő modális transzformációt: , ahol elmozdulásokat tartalmaz, mig a sajátvektorokat tartalmazza és normalizálja a tömegmátrixot: .

Az állapotvektor választással az állapotegyenlet alakja:

ahol , , .

Az útgerjesztés hatása a rugózott tömegre (utazási kényelemre) és a tömegek közötti munkatérre a következő:

A felfüggesztés rugóállandójának redukálása csökkenti az sajátfrekvencia értékét. Ennek az utazási kényelemre való hatása, hogy magasabb frekvenciákon a rugózott tömeg gyorsulására vonatkozó frekvencia függvény javul (ez előnyös). A munkatérre való hatás azonban az, hogy alacsony frekvenciákon a felfüggesztés munkatérre vonatkozó frekvencia függvény növekszik (ez hátrányos).

A felfüggesztés csillapítási tényezőjének növelése az első sajátfrekvencián () jobb csillapítást ad. Ennek az utazási kényelemre való hatása, hogy az első rezonancia csúcs értékét redukálja, ami azt eredményezi, hogy jelentősen növeli az első sajátfrekvencián az utazási kényelmet (előnyös). Ugyanakkor magasabb frekvenciákon a keményebb rendszer rontja az utazási kényelmet (hátrányos). A munkatérre való hatás az, hogy az első sajátfrekvencián a felfüggesztési munkatérre vonatkozó átviteli függvény kisebb (előnyös).

A kerék rugóállandójának () növelése javítja a frekvencia képet a második sajátfrekvencia () tartományában. Ennek hatása az, hogy redukálja a kerékelmozdulásra vonatkozó frekvencia függvényt az alacsonyabb frekvencia tartományban.

Egy járműfelfüggesztési rendszernek a következő feladatokat kell megoldania:

Az utazási kényelem az utasokra ható függőleges lengésgyorsulással minősíthető. Egy jól tervezett felfüggesztési rendszer a tengely és a járműtest között izolációt biztosít, aminek hatására a tengely felől keletkező lengések nem adódnak tovább a járműtest felé. Ez a következő egyszerűsített követelményként fogalmazható meg: a járműtest függőleges gyorsulása minimális legyen.

A kanyarodás, fékezés és hajtás minősége javítható, ha a kerékre ható normálerők minimálisak. Ennek az oka, hogy a hosszirányú és oldalirányú erők jelentősen függnek a kerekeken keresztül a normálerőktől. Emiatt a felfüggesztési rendszernek a függőleges irányú kerékelmozdulást redukálnia kell.

A manőverek során keletkező bólintási és dőlési gyorsulások a jó vezethetőséggel összefüggnek. Egy felfüggesztési rendszernek biztosítania kell, hogy a dőlési és bólintási szögek minimálisak legyenek.

A járműre ható statikus terhelés hatása csökkenthető, ha a rugózott és rugózatlan tömegek közötti munkatér közötti relatív elmozdulás minimális.

A felfüggesztési rendszereket a rugózott és rugózatlan tömegek között erő generálásának módja szerint megkülönböztetjük:

A felfügesztési rendszert a következő átviteli függvényekkel jellemezhetjük.

• Rugózott tömeg gyorsulása:

• Felfüggesztési munkatér:

• Kerékelmozdulás:

Az aktív felfüggesztési rendszerben a rugózott és rugózatlan tömegek között erőt generálunk. A hidraulikus rendszer által előállított erő

ahol a dugattyú felülete, pedig a hidraulikus rendszerben kialakuló nyomás.

A hidraulikus rendszer dinamikai egyenlete:

ahol a két végpont közötti relatív sebesség, a hidraulikus áramlás

ahol a tápnyomás, a szelep elmozdulása.

A szelep elmozdulása az irányítójelhez képest késleltetéssel () válaszol:

Aktív felfüggesztés felsőszintű tervezésekor a jármű megfelelő működése szempontjából szükséges erőt () tervezzük meg. Az alsó-szintű irányítás tervezésekor az elektrohidraulikus beavatkozószelep irányítását tervezzük meg. A szelep elmozdításával a hidraulikus beavatkozóval generált erő () kövesse a felsőszintű irányítás által igényelt erőt.

A 89. ábrán egy felfüggesztési rendszer működését vizsgáljuk rossz minőségű úton. Az úthibák különböző nagyságú lengéseket okoznak. Az alsószintű irányítás pontossággal képes az igényelt erő követésére. A beavatkozóra kiadott irányítás és a szelep elmozdulás közötti kapcsolat időfüggvényeit a 90. ábra szemlélteti.

: igényelt erő; : realizált erő

A félaktív felfüggesztési rendszerben változtatható csillapítást alkalmazunk.

Többféle megoldás létezik:

Egy félaktív felfüggesztési rendszerben a csillapítás egy intervallumon belül változik: .

A kétszabadságfokú negyedjármű modell mozgásegyenletei a következők:

A negyedjármű modell mozgásegyenleteiből levezethető állapottér reprezentációja a következő:

ahol az állapotvektor komponensei:

ahol

a rendszermátrixok alakja pedig

7.4.1 LQ irányítás tervezése

A minőségi jellemzőket tartalmazó kritérium kvadratikus alakja:

ahol súlyozó tényezők. Az integrál két tagra szeparálható: az egyik -től függ mig a másik -től függetle:

A kvadratikus alak súlyozó mátrixait a következőképpen kell megválasztani:

Így a félaktív felfüggesztés költségfüggvénye a következő:

Itt az egyes -től függő komponensek:

ahol és .

Keressünk egy optimális irányítást megválasztásával olymódon, hogy a következő korlátozás teljesüljön:

ahol és a kezdeti érték: .

Ha a félaktív csillapításra nem lenne korlátozás, akkor az a következőképpen fejezhető ki

ahol és

Itt a következő Riccati egyenletből számítható:

ahol and .

Végül

ahol az irányitásnak két komponense van

A két rendszer, azaz az aktív komponens és a modulált csillapítás ekvivalens amennyiben a csillapító () valamennyi valós értéket képes figyelembe venni.

Ha a csillapításra vonatkozó korlátozást kifejezzük:

akkor a szabályozó erő

Félaktív felfüggesztés esetén a szabályozó erő a következőképpen függ a relatív sebességtől

Az alábbiakban egy részletes esettanulmányt mutatunk be a felfüggesztési rendszer irányításának kétszintű tervezésére. A magas szintű szabályozó tervezésekor a teljes jármű egy modelljét vesszük figyelembe, ami tartalmazza a felfüggesztési dinamikát és performanciaként az úttartásra, utaskényelemre és a kerékelmozdulás minimalizálására koncentrál. Ebben a lépésben a modell bizonytalanságokat is figyelembe vesszük. Az egyes performanciák közötti prioritásokat megfelelő súlyfüggvények választásával írjuk elő.

A tervezett irányítás egy erő, amit elő kell állítani egy hidraulikus beavatkozó segítségével. Az alacsony szintű irányítás egy jelkövető szabályozó, ami a szelepet vezérli. A teljesség kedvéért mind a backsteeping módszerrel kezelt nemlineáris tervezést, mind pedig egy feedback linearizálást közvetlenül használó módszert ismertetünk az alacsony szintű szabályozó tervezésére.

A bemutatott eljárás előnye, hogy a hidraulikus beavatkozó dinamikája és a felfüggesztés dinamikája két, egymástól független tervezési lépésben van kezelve. A javasolt elválasztó rétegek követik a különböző alrendszerek felépítését és a problémák összetettsége ezalatt ésszerű határok között marad. Ellentétben a [35] által közölt módszerrel, ez a megoldás lehetővé teszi a moduláris tervezést: a beavatkozó nem befolyásolja a felső szintű tervezés eredményét.

A robusztus szabályozó tervezésének alapja a 104 ábrán látható zárt kör kapcsolás modellje, ahol a általánosított rendszer ami tartalmazza a névleges rendszert, az összes performancia kimenetet, zavarásokat és a bizonytalanságot. Itt jelöli a zavarásokat míg a normalizált blokk diagonális bizonytalansági blokkot, a részletekért lásd például [128], [136].

A robusztus szabályozó tervezése a LPV rendszer zérus kezdeti feltételeknek megfelelő indukált -normáját használja, ami az alábbiak szerint van definiálva:

A értékhez tartozó norma jelenti az LPV rendszer legnagyobb performancia/zavar arányát feltételezve az összes kauzális lineáris operátort ami az LPV rendszerhez tartozhat, így ez a szint a végső performancia index. A performancia és zavar súlyok megfelelő kiválasztásával a sikeres tervezés feltétele . Meg kell jegyezni, hogy céljainak eléréséhez a súlyokat az adott feladatok függvényében kell kiválasztani.

Az LPV probléma megoldásának alapja az, hogy a felírt LMI-knek teljesülni kell minden esetén. A gyakorlatban ezt a problémát a paraméter tér alkalmas felosztásával (gridding) és az LMI-knek egy véges részhalmazon való megoldásával kezeljük. A szükséges rácspontok száma függ a rendszer nemlineáris viselkedésétől az adott működési tartományon. A részletekért lásd például [10], [103], [130].

A felfüggesztési rendszer vizsgálatához tekintsük a 105 ábrán látható zárt rendszert. A visszacsatolt struktúra tartalmazza a nominális modellt és a szabályozót, valamint olyan elemeket amik a bizonytalanság modellekhez és a célul kitűzött performancia eléréséhez tartoznak. A kapcsolási rajzon az aktuátorok éltal előállított vezérlő bemenet, a mért szenzorok által mért jel, a mérési zaj. A mért kimenetek az első és a hátsó, bal és jobb oldali rugózott tömeg és rugózatlan tömeg közti elmozdulások:

Az ábrán látható jelek zavarások, amelyek az útgerjesztést foglalják magukba. A performancia kimenetek: az utaskényelem (vertikális gyorsulás/heave acceleration) , a relatív elmozdulás (suspension deflection), a kerékelmozdulás (wheel relative displacement) és a ) kontroll jel. Így a performancia vektor-kimenet a következő:

A visszacsatolt struktúra magában foglalja a elhanyagolt dinamika által okozott bizonytalanságokat, a bizonytalanul ismert vagy az időbeni viselkedésük miatt bizonytalan komponenseket. Annak érdekében, hogy a tervezés komplexitása kezelhető mértékű maradjon, a bizonytalanságokat ebben a struktúrában egy multiplikatív LTI block és egy súlyfüggvény képviseli. Feltételezzük, hogy a átviteli függvény ismert és a bizonytalanság nagyságát tükrözi. Feltételezzük, hogy egy ismeretlen stabil normakorlátos rendszer, azaz ..

A tervezés célja, hogy meghatározza négy vezérlő erőt,

oly módon, hogy a vertikális gyorsulások, a relatív elmozdulások, a kerékelmozdulások a lehető legkisebbek legyenek a kívánt tartományon.

Ezt az irányítási struktúrát az 104 ábrán látható általánosított séma keretei közé lehet tenni, ahol a zavarás, a bizonytalansági blokk és a vezérlés. A felfüggesztési rendszer performanciáját négy paraméter függvényében lehet meghatározni: ezek az utaskényelem, relatív elmozdulás, a kerékelmozdulás és az energiafelhasználás, lásd [40]. Az útgerjesztés által keltett rezgések vezetnek a vezető és az utasok fáradásához valamint a jármű és a hasznos teher sérüléséhez. Széles körben elfogadott, hogy korreláció van az az utaskényelem (vagy utazási komfort) és a rugózott tömeg vertikális, bólintó és dőlési gyorsulása között. Az egyszerűség kedvéért itt csak a vertikális gyorsulást vesszük figyelembe.

A felfüggesztési rendszer munkatere, amelyet a rugózott és rugózatlan tömeg relatív elmozdulása határol be, más néven relatív elmozdulás, a felfüggesztés geometriája által befolyásolja a dinamikus menetstabilitást. Ezért a relatív elmozdulásnak minimálisnak kell lenni. A felfüggesztési rendszernek garantálni kell, hogy a jármű minden manőver során az előírt pályán maradjon. A kerékelmozdulás egy a gravitáció hatására létrejövő statikus összetevőből és egy, az útgerjesztés által létrehozott dinamikus komponensből áll. Annak érdekében, hogy a manőver ideje alatt csökkentsük a járműre ható oldalirányú erőket, szükség van arra, hogy a kerékelmozdulás a lehető legkisebb mértékű legyen. A működtető erő korlátozását annak érdekében építjük be a tervezési eljárásba, hogy elkerüljük a nagy vezérlési energiákat.

A , , és súlyfüggvények célja, hogy vertikális gyorsulások, a relatív elmozdulások, a kerékelmozdulások a lehető legkisebbek legyenek a teljes működési tartományon. Az adott funkciók súlyozása a performancia kimenetek normájának büntetéseként tekinthető, azaz a súlynak nagynak kell lenni azokon a frekvencia tartományokon, ahol kis jeleket kívánunk és kicsinek, ha nagyobb performancia kimenet is megengedett. Így és kiválasztása az alábbiak szerint történik:

Az , és szűrőállandók tényleges értékei az adott probléma során felhalmozott mérnöki tudás alapján választhatók meg. Itt azt kell látni, hogy az alacsony frekvenciájú tartományban a testre ható vertikális gyorsulásokat befolyásoló zavarásokat kell elnyomni a paraméter-függő tényezővel, valamint a relatív elmozdulásokat. A tervezés során állandó és súlyozási tényezőket választunk a fennmaradó jelekre. Megjegyzendő, hogy bár ezeket a sályokat frekvencia tartományban választjuk, a tervezés során az állapotteres leírásukat használjuk.

A tervezési céloknak egy performancia jel segítségével történő megfogalmazásának nehézsége abban áll, hogy a különböző jelek közötti igények kielégítése konfliktusos: például a felfüggesztési rendszerrel az utaskényelem és a relatív elmozdulás egyszerre nem javítható. Így a különböző igények között egy alkalmas egyensúlyt kell megvalósítani a performancia súlyok megfelelő választásával: a (463) illetve (464) formulákban a nagy erősítés és kis erősítés az az utaskényelem hangsúlyozásának felel meg. Másrészt kicsinek választva -t és nagynak -t a tervezés a biztonságra (a relatív elmozdulás) fókuszál.

Az LPV irányításban (449) alapján a rugózott és rugózatlan tömeg közti relatív elmozdulást befolyásolja. A (449) formulában a változó célja, hogy csökkentse a függőleges gyorsulást vagy a relatív elmozdulást, annak nagyságától függően.

Az erősítések paramétertől való függését a és állandók jellemzik a következő módon:

A zavarás súlyát a szenzor zaj súlyát általában egy normalizáló konstans értékként választjuk. Mivel a késést szenzor zajként lehet modellezni, az irányítési stratégia szempontjából fontos megfelelő választása. Ha azonban fölöslegesen nagy értékre állítjuk be ezeket a súlyokat, akkor a szabályozás konzervatív lehet, azaz a performancia csak egy alacsonyabb szinten biztosítható. A tervezéskor használt névleges modellek általában alacsonyabb frekvenciákon pontosabbak, míg magasabb frekvencián a pontosság csökken. Ezért a bizonytalansági súlyt a következőképp választjuk:

A magas szintű irányítás által előírt jelet a vezérlő szelep beállítását működtető alacsony szintű vezérlőnek kell nyomon követni. Annak érdekében, hogy a megtervezett szabályozási séma minőségét globális szinten vizsgálhassuk, a feladatot globális szinten kell megfogalmazni. Miután a helyi szabályozókat megterveztük, elvileg lehetséges, hogy az irányítás elemzését globális szinten hajtsuk végre, a részletekért lásd például [79]. Ez azonban általában nem kivitelezhető, nagy számítási kapacitást igénylő eljárás. Ezért a gyakorlatban ezt a lépést kihagyva a szabályozás minőségi tulajdonságait a teljes rendszer vizsgálatát szimulációs kísérletek keresztül végezzük.

A következő részben a jelkövetési problémát kezeljük a nemlineáris beavatkozó dinamikai tulajdonságai alapján.

Feltételezzük, hogy az erő igényt, ami egy lineáris függvénye, egy LPV irányítás állítja elő. A cél az, hogy a hidraulikus aktuátor asszimptotikusan kövesse ezt a jelet. Mivel a hidraulikus beavatkozó és a felfüggesztés alrendszer egy nemlineáris és egy LPV rendszer kaszkád kapcsolása, a backstepping módszertanon alapuló megközelítés, vagy egy, a nemlineáris dinamika egzakt linearizálásán alapuló eljárás, megfelelő választás az irányítási cél elérésére. A teljesség kedvéért a következőkben mindkét módszert bemutatjuk.

Egy bevezető példa rávilágít a globális vezérlési séma lehetséges előnyeire. A teljes jármű jármű modell alapján készített felfüggesztési szabályozás van összevetve azzal az esettel, amikor a felfüggesztés szabályozására tervezett négy külön szabályozó van kombinálva. Mivel a felfüggesztési pontokon csatolás van, várható, hogy a globális együttes tervezés felülmúlja az egyedileg tervezett vezérlést az olyan esetekben, amikor a csatolás megnyilvánulhat, például manőverezéskor. A tervezés részleteit nem ismertetjük, csak a megfelelő szimulációs ábrákat.

Ebben a példában a jármű egy kikerülési manővert végez sebességgel. A 107(a) ábra mutatja a manőver pályáját. A manőver közben a dőlési szög változása hasonló mindkét esetben, lásd a 107(b) ábrát. A két irányítás elemzése során a függőleges gyorsulást, relatív elmozdulást és a szükséges erőket vizsgáljuk. A globális megoldásnál a rugózott tömeg függőleges gyorsulása kisebb, ami tükröződik a kis RMS értékben, lásd a 107(c) ábrát.

A különállóan tervezett szabályozástól eltérően az integrált megoldás esetén, bár a relatív elmozdulás értékei hasonlóak, de az RMS érték jelentősen kisebbek, a 107(d) ábrán látható módon. Jelentős különbségek figyelhetőek meg az erőkben. A globálisan tervezett felfüggesztés esetén kisebb erőkkel történik a manőver, mint az az RMS értékből is kitűnik: lásd a 107(e) ábrát. Az önállóan tervezett vezérlő esetén az erők a 107(f) ábrán láthatóak. Következésképpen a performancia jellemzők a globális vezérlés esetén jobbak, azaz mind a függőleges gyorsulás és a relatív elmozdulások jobb válaszokat adnak, és ezzel egy időben a szükséges szabályozó erők is kisebbek.

A következőkben a két-szintű szabályozót mutatjuk be részletesen. Először egy felső szintű irányítást tervezünk modellen alapuló módszerrel, amely a szükséges beavatkozó erőt generálja. Ezután egy alacsony szintű szabályozást alkalmazunk annak érdekében, hogy a tervezett erőt előállítsuk.

A tervezés formalizált alapját képezik az (463)--(467) egyenletek. A szimulációs példákban egy nemlineáris jármű modell használunk és három esetet tekintünk: egy passzív és két aktív rendszert, ahol az egyik egy lineáris-tervezéssel adódik míg a másik LPV módszerrel. A passzív rendszer csillapítása úgy lett megválasztva, hogy a csillapító erők nagyságát tekintve összehasonlítható legyen az aktív rendszerrel.

A tervezés előkészítése során, a bizonytalanságot súlyozó és a performanciát súlyozó függvényeket kell meghatározni. A bizonytalanságot egy, a kimeneten jelentkező teljes komplex multiplikatív bizonytalansági blokként kezeljük. A szabályozás tervezésben alkalmazott modellek jellemzően alacsonyabb frekvenciákon pontosabbak ( Hz), de nagyobb frekvenciákon a pontosság gyorsan romlik köszönhetően a rosszul modellezett vagy elhanyagolt dinamikáknak. Ennek megfelelően az elhanyagolt dinamikára vonatkozó súlyozás a következő:

ahol -os bizonytalanság tükröződik az alacsony frekvenciájú tartományban.

A , , és súlyok megválasztásának célja az, hogy a függőleges gyorsulást, a relatív elmozdulást, a kerékelmozdulást és a bemenő irányító jeleket a kívánt működési tartományon belül kis értékeken tartsuk. A súlyfüggvények meghatározása az ISO a nemzetközi szabványoknak és a mérnöki ismereteknek megfelelően történik. Ennek alapján

és

választással éltünk. Abból indultunk ki, hogy az alacsony frekvenciájú tartományban a függőleges gyorsulást egy -ös tényezővel, míg a relatív elmozdulást egy -es-es faktorral nyomjuk el. A és erősítések paraméter függőségét a és választás tükrözi. Ez egy olyan LPV irányításnak felel meg ahol a függőleges gyorsulást csak akkor csökkentjük, ha a relatív elmozdulás kisebb, mint és amely lassan el kezd fókuszálni a relatív elmozdulás csökkentésére, ha az nagyobb, mint . Ezután felett kizárólag csak a relatív elmozdulást veszi figyelembe. A kerékelmozdulás súlyai, azaz , és a szabályozó bemenetének súlyozása a megfelelő aktuátorok szaturációját hivatott elkerülni. A súly az útgerjesztés hatásait befolyásolja. Feltesszük, hogy az útgerjesztés amplitudója , ennek megfelelően . A választással feltételezzük, hogy a legnagyobb szenzor zaj nagysága az első és a hátsó relatív elmozdulás mérésekor a jobb és bal oldalon, valamint a teljes frekvencia tartományban.

Először is, a felfüggesztési rendszert egy fiktív rossz minőségű úton teszteljük, amelyen négy különböző magasságú bukkanó zavarja meg a rendszert: a bukkanók magassága , , illetve . A bukkanók közötti egyenetlenségek sztochasztikus sebesség függő zavarások. A vizsgálat célja az idő-tartománybeli magatartás tesztelése és a tranziens tulajdonságai a vezérelt rendszernek. Az útgerjesztésre adott performancia válaszokat válaszokat az 106 ábra mutatja, ahol az LPV irányítás a zavarok hatásának jobb lecsengését illetve kisebb túllövéseket eredményez. A elek RMS-ének vizsgálatával ugyanerre a következtetésre jutunk.

A második esetben sokkal reálisabb útgerjesztést alkalmazunk. Hasonló következtetések vonhatók le az időtartománybeli analízis eredményeit szemlélve, lásd a 107 ábrát. A különböző irányítások összehasonlítása időtartománybeli jelek alapján már nagyon egyszerű realisztikus esetekben. A hagyományos szabályozó kiértékelési módszerek szorosan kapcsolódnak a frekvencia-tartománybeli vizsgálatokhoz, mely módszerek a lineáris időinvariáns elképzeléseket tükrözik. Ennek ellenére ezeket széles körben használják a nemlineáris esetben is, amikor az eljárások nem rendelkeznek egy megalapozott elméleti háttérrel a frekvencia tartományi elemzéshez. Szemléltetés céljából az 108 ábra bemutatja a megfelelő empirikus átvitel függvényeket. Kiértékelési célból más performancia indexek is bevezetésre kerülnek, például a leggyakrabban használt mérce a jel RMS értékét mutatja.

Az alacsony szintű irányítás eredményei az 109 ábrán láthatóak. A tervezési paraméterek értékei: a backstepping módszer esetén és a feedback linearizálás és a visszacsatolás esetén (). A szimuláció során a mintavételi idő értékét -ra választottuk, ami megfelel a gyakorlatban használt esetnek. Az illusztrált jelek nyomásesés a dugattyún, a vezérlő szelep elmozdulása, az irányító bemenet, az elért erő és a jelkövetés RMS hibája. Mindkét esetben az elért beavatkozó erő a szükséges pontossággal követi a referencia jelet. A szimulációk azt mutatják, hogy a backstepping módszer valamivel jobban teljesít.

A backstepping jelkövetés tulajdonságai bizonytalan rendszer esetén is tesztelése kerültek. Az alacsony szintű vezérlő tervezés alapja egy névleges nemlineáris rendszer, ezért bizonytalanságokkal szembeni robusztusságát- ellentétben a magas szintű vezérlővel -- nem garantálja a tervezési folyamat. Itt a bizonytalansági paraméterként -t kell figyelembe venni. Ez (458) alapján megadja a bemenet és a szelepelmozdulás közti dinamikát. Az elemzés során a névleges érték mellett a bizonytalan értéket vettük figyelembe. A vezérlő bemenet, az RMS a hiba, az elért erő és a hiba RMS látható az 110 ábrán. A kapott eredmények mutatják az irányítási rendszer robusztusságát a parametrikus bizonytalansággal szemben.

A felfüggesztési rendszer tervezés során használt névleges paramétereit tartalmazza a 0 táblázat. A szabályozók Matlab/Simulink környezetben lettek kifejlesztve, implementálva és tesztelve. vezérlők segítségével tervezték meg és hajtották végre a stílust Matlabra állítja/Simulink szoftver. Az szabályozás tesztelésére a nagypontosságú CarSim jármű szimulációs szoftvert is felhasználtuk.