3. fejezet - Bizonytalanságok modellezése

Tartalom
3.1. Bizonytalansági modellek
3.2. M- struktúra
3.3. Robusztus stabilitás, robusztus performancia
3.4. Robusztus stabilitás vizsgálat
3.5. Kis erősítések tétele
3.6. Robusztus performancia analízis
3.7. Struktúrált bizonytalanság
3.8. Struktúrált szinguláris érték
3.9. Struktúrált szinguláris érték analízise
3.10. Struktúrált szinguláris érték: szintézis
3.10.1. A iteráció

A dinamikus jelenségek leírására közönséges vagy parciális differenciál-egyenleteket használunk. Az egyenletek alakja és struktúrája, a bennük szereplő paraméterek általában nem ismertek teljesen pontosan vagy ha azok időben változnak, a változásuk általában nem ismert.

Mivel a valódi rendszer modelljének pontos alakja a gyakorlati feladatokban nem ismert, s emiatt helyette annak közelítő, úgynevezett névleges (nominális) modelljét használjuk. A modell és a valós rendszer közötti eltérést okozzó hatások modellezésekor célszerű megkülönböztetni az állandóan jelen levő modell bizonytalanságot a külső zavarástól. Zavarások (disturbances) körébe tartozik tipikusan a rendszerre ható külső zavarás, az irányítójel hibája, a mérési zaj. Az irányítás célja, hogy a zavarások hatását csökkentse a mérnöki szempontból érdekes (esetleg fiktív) kimenő jelekre -- ez egy tipikus performancia követelmény.

Modell bizonytalanság (uncertainty) a modellben meglevő parametrikus bizonytalanságok és a nem modellezett dinamika hatása. Egy speciális eset a qLPV modellek ütemezési változói, amik ismertek a végrehajtás során de nem ismertek tervezéskor: a tervezés számára bizonyos szempontból bizonytalan paraméterként viselkednek. Az irányítás célja stabilitás és performancia garantálása adott nagyságú feltételezett modell bizonytalanság mellett.

Kétféle modell-bizonytalanságot különböztethetünk meg: strukturális és strukturálatlan modell-bizonytalanságot. A struktúrált bizonytalanság modellezésekor a bizonytalansági blokk struktúrálása (például blokk-diagonális) növelheti a modell pontosságát és használhatóságát az irányítás-tervezés szempontjából. Tipikusan struktúrált a grey-box modellezés során kapott modellben előforduló paramétereknek a bizonytalansága: a paraméter értéke pontosan nem ismert, de a bizonytalanság mértéke általában jól becsülhető.

3.1. Bizonytalansági modellek

Nemmodellezett dinamika

A mechanikai rendszerek irányítására alkalmazott lineáris vagy folytonos nemlineáris irányítási algoritmusokkal megvalósított szabályozási rendszer tulajdonságait nagymértékben leronthatják a mechanikai rendszerben jelenlevő (nemfolytonos) nemlinearitások. Tipikus nemlinearitások a szaturáció, surlódás,holtsáv, kotyogás, hiszterézis.

Számos irányítási alkalmazásnál az irányított rendszerben a nemlinearitás pontatlanul ismert vagy akár ismeretlen. Ha a linearizáláson alapuló technika kevésbé alkalmazható, a nemlinearitás hatásának kompenzálásához a szabályozót módosítani kell. Az alkalmazott technika alapján ez lehet robusztus szabályozás, amikor a szabályozót úgy tervezzük meg, hogy pontatlanul ismert nemlinearitás esetén is garantálja a zárt rendszer stabilitását és a szabályozási pontosságot, performanciát, vagy adaptív szabályozás, amikor a szabályozót kibővítjük olyan formában, hogy irányítás közben becsülje meg az ismeretlen nemlinearitást, paramétert.

A modell és a rendszer közötti hiba meghatározására általános megoldás nincs, különböző szerkezetű lehetőségek közül az additív, illetve a multiplikatív hiba struktúra a legismertebb.

A G( s ) aktuális rendszer és a G N ( s ) névleges rendszer közötti eltérést additív hiba struktúrának nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül:

G( s )= G N ( s )+ Δ A ( s ),

(51)

ahol Δ A ( s ) az additív hiba átviteli függvénye. Az additív hiba ismeretlen.

A Δ A ( s ) ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező Δ bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Nyquist diagramon ábrázolhatjuk:

Δ A ( s )=Δ( s )w( s ),

(52)

ahol ω skalár függvény. Az aktuális G( iω ) rendszer Nyquist diagramja a névleges G N ( iω ) rendszer Nyquist diagramjával és a bizonytalanságot leíró w( iω ) függvénynyel illusztrálható.

A G( s ) aktuális rendszer és a G N ( s ) névleges rendszer közötti eltérést multiplikatív hiba struktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül:

G( s )= G N ( s )( 1+ Δ M ( s ) ),

ahol Δ M ( s ) a multiplikatív hiba átviteli függvénye.

A Δ M ( s ) ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező Δ bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Bode diagramon ábrázolhatjuk:

Δ M ( s )=Δ( s )w( s ),

(53)

ahol ω skalár függvény. Az aktuális G( iω ) rendszer Bode diagramja a névleges G N ( iω ) rendszer Bode diagramjával és a bizonytalanságot leíró w( iω ) függvénnyel illusztrálható.

Parametrikus bizonytalanság

Gyakran a bizonytalanságok egy része a rendszert leíró modell paramétereinek változásával is megfogalmazható.

Például az A rendszermátrixban lévő k rugóállandó és b csillapítási együtthatók változnak. Ezek a paraméterek a mátrix több elemében is előfordulhatnak.

A bizonytalan rugóállandó paramétere a következőképpen modellezhető:

k s = k ¯ s ( 1+ d ks δ ks ),

(54)

ahol k ¯ s a névleges rugóállandó, d ks a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg δ ks paraméterről azt tudjuk, hogy a [ 1    1 ] intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó MΔ struktúrája a 11. ábrán látható.

k s = k ¯ s ( 1+ d k s δ k s )= k ¯ s + k ¯ s d k s δ k s A jelek közötti kapcsolatok:

[ y y δks ]=[ k ¯ s 1 d ks k ¯ s 0 ][ u u δks ],

(55)

ahol u δks = δ ks y δks = δ ks d ks k ¯ s u . Emiatt y=( k ¯ s + δ ks d ks k ¯ s )u . Az ismert komponenseket tartalmazó blokk: M ks =[ k ¯ s 1 d ks k ¯ s 0 ]

Ha egy bizonytalan paraméter a nevezőben van, akkor a következőképpen járunk el.

1 m s = 1 m ¯ s ( 1+ d ms δ ms )

(56)

ahol m ¯ s a névleges tömeg, d ms a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg δ ms paraméterről azt tudjuk, hogy a [ 1    1 ] intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó MΔ struktúrája a 12. ábrán látható.

1 m s = 1 m ¯ s ( 1+ d ms δ ms ) = 1 m ¯ s d ms m ¯ s δ ms (1+ d ms δ ms ) 1

(57)

A jelek közötti kapcsolatok:

[ y y δms ]=[ 1 m ¯ s d m s m ¯ s 1 d m s ][ u u δms ],

(58)

ahol u δms = δ ms y δms . Mivel y δms =u d ms u δms , ezért u δms = (1+ d ms δ ms ) 1 δ ms u .

Emiatt y= 1 m ¯ s u d m s m ¯ s u δms =( 1 m ¯ s d ms m ¯ s δ ms ( 1+ d ms δ ms ) 1 )u . Az ismert komponenseket tartalmazó blokk: M ms =[ 1 m ¯ s d m s m ¯ s 1 d m s ] .

3.2. M- Δ struktúra

A szabályozott rendszer komponensei az előzőek alapján a modell és a szabályozó, valamint a minőségi specifikációkkal és bizonytalanságokkal kapcsolatos információk. A 13. ábrán látható úgynevezett PKΔ struktúrájú modellt használjuk a szabályozó tervezéséhez.

[ e z y ]=[ P 11 P 12 P 13 P 21 P 22 P 23 P 31 P 32 P 33 ][ d w u ].

(59)

Ha figyelembe vesszük a szabályozó hatását, azaz az irányítójel és a mért jel közötti kapcsolatot u=Ky , akkor az úgynevezett M- Δ struktúrához jutunk.

A 14 ábrán látható MΔ modellt a szabályozott rendszer elemzéséhez használjuk.

[ e z ]=[ M 11 M 12 M 21 M 22 ][ d w ].

(60)

3.3. Robusztus stabilitás, robusztus performancia

Mivel a rendszerre ható külső körülmények változhatnak, valamint az érzékelők és beavatkozó szervek tulajdonságai is módosulhatnak, kisebb hibák léphetnek fel, stb. szükség van rekonfiguráló és hibatűrő irányítások tervezése. Ezen a tulajdonságok az elérésének egy módja lehet növelni a szabályozó robusztusságát ezekre a tényezőkre és a modellezési hibákra. Az alábbiakban a feladat megoldásának ezt a stratégiáját fejtjük ki részletesebben.

A szabályozási feladatot az 15 ábrán bemutatott PKΔ struktúrában fogalmazzuk meg amit az alábbi egyenletek írnak le

(61)

ahol η,  ξ jelek a bizonytalanságok leírására szolgálnak, w,  z az általánosított rendszerstruktúra zavarás és performancia jelei, u,  y a szabályozó bemenet és a mért kimenet.

P-K-Delta struktúra
3.1. ábra - P-K-Delta struktúra


A bizonytalansági halmaz, Δ , stabil átmenetfüggvényekből áll. A perturbált kör a

ξ=Δη

(62)

bizonytalanság hatására lakul ki, ahol ΔΔ és alakja a következő:

( η z )= u ( P,Δ )( w u )=

(63)

=( P 22 P 23 P 32 P 33 )+( P 21 P 31 )Δ (I P 11 Δ) 1 ( P 12 P 13 )( w u ).

(64)

Az u=Ky szabályozót a nominális (perturbálatlan) rendszerre kötve kapjuk, hogy

( z y )= l ( P,K )( ξ w )=

(65)

=( P 11 P 12 P 21 P 22 )+( P 13 P 23 )K (I P 33 K) 1 ( P 31 P 32 )( ξ w ).

(66)

A szabályozott, u=Ky , és perturbált, ξ=Δη , kör alakja

u ( l ( P,K ),Δ )= l ( u ( P,Δ ),K ).

(67)

Mivel a zárt körök jól definiáltak kell, hogy legyenek és nem függhetnek Δ és K sorrendjétől, néhány feltételezéssel kell élnünk:

1. Létezik u=Ky szabályozó, ami stabilizálja a nominális ( Δ=0 ) rendszert ( P ).

2. A bizonytalansági halmaz

Δ={Δ( s )   |  Δ( iω ) Δ c mindenω { }esetén},

(68)

ahol Δ c komplex mátrixok egy halmaza, ami tartalmazza 0 -t, ami meghatározza a bizonytalanságok méretét és struktúráját. Feltesszük, hogy ez a halmaz csillag alakú, vagyis Δ c Δ c τ Δ c Δ c minden τ[ 0,1 ] esetén.

3. A bizonytalanságok és az általánosított rendszerstruktúra kötése jól definiált, vagyis I P 11 ( ) Δ c invertálható minden Δ c Δ c esetén.

Ezek a feltételek jórészt automatikusan teljesülnek a szokásos, intervallum, gömb, stb. típusú bizonytalansági halmazokra.

Általában normalizáló súlyozásokat alkalmazunk, amit azután figyelembe veszünk P összeállításánál: ha Δ ^ bizonytalansággal akarunk dolgozni, ahol Δ= W 1 Δ ^ W 2 valós racionális W 1 és W 2 súlyokkal, akkor P helyett P ^ rendszert kell tekintenünk, ahol

P ^ =( W 2 P 11 W 1 W 2 P 12 W 2 P 13 P 21 W 1 P 22 P 23 P 31 W 1 P 32 P 33 ).

(69)

3.4. Robusztus stabilitás vizsgálat

Vezessük be a

l ( P,K )=( M N 12 N 21 N 22 ),

(70)

jelölést, ahol M a bizonytalanság által látott átviteli függvény.

Tétel 4.1 Ha K stabilizálja P -t és ha IMΔ minden ΔΔ esetén stabilan invertálható akkor K robusztusan stabilizálja u ( P,Δ ) -t a Δ bizonytalanságra nézve.

A gyakorlatban azt kell leelenőrizni, hogy IMΔ stabilisan invertálható, vagyis det( IM( s )Δ( s ) )0 minden s 0 + { } esetén. Ez a feladat bonyolult, mivel az egész jobb fél síkon kell a feltételt ellenőrizni.

A következő állítás megmutatja, hogy általában elég IM( s ) Δ c invertálhatóságát a komplex tengelyen ( s=iω , ahol ω { } ) ellenőrizni és elegendő csak a Δ c Δ c halmazra.

Tétel 4.2 Tegyük fel, hogy M egy stabil átviteli mátrix.

Ha det( IM( iω ) Δ c )0 minden Δ c Δ c ,  ω { } esetén, akkor IMΔ stabilisan invertálható minden ΔΔ esetén.

A fenti két állítást összegezve kapjuk a következő robusztus stabilitási eredményt:

Következmény 4.1 Ha K stabilizálja P -t és det( IM( iω ) Δ c )0 minden Δ c Δ c és minden ω { } esetén, akkor K robusztusan stabilizálja u ( P,Δ ) -t a Δ bizonytalansági halmazra nézve.

A fordított állítás általában nem igaz. Egy konkrét esetben a teszt nem konzervatív voltát megpróbálhatjuk úgy igazolni, hogy egy destabilizáló ΔΔ perturbációt keresünk.

3.5. Kis erősítések tétele

A robusztus stabilitási analízis egy alapvető eszköze a kis erősítések tétele, ami kimondja, hogy ha a hurokátviteli szorzat normája egynél kisebb, akkor a visszacsatolás stabilis. Ez az eredmény a fixpont tétel egy következménye.

Egy S:  XX rendszert, ahol X egy Banach tér (például 2 [ 0,T ] vagy 2 [0, )) kontraktív, ha a (Lipschitz) indukált normája 1 -nél kisebb, azaz létezik γ<1 úgy, hogy

SwS w ˜ S γw w ˜ S

(71)

minden w, w ˜ X esetén. A fixpont tétel alapján egy kontraktív S rendszerhez létezik és egyértelmű wS amire w=Sw .

Kis erősités kapcsolat
3.2. ábra - Kis erősités kapcsolat


Tétel 4.3 (Kis erősítések tétele) Tegyük fel, hogy a G 1 : 2e 2e valamint a G 2 : 2e 2e rendszereknek véges erősítése van, amire γ( G 1 )γ( G 2 )<1 .

Ekkor a visszacsatolt kapcsolat stabilis, azaz minden u 1 , u 2 2 [ 0,   ) esetén létezik es egyértelmű e 1 ,   e 2 2 [ 0,   ) , lásd a 16 ábrát.

A gyakorlatban sokszor az eredeti visszacsatolás nem teljesíti a tétel feltételeit. Ilyenkor a zárt kör stabilitását megkaphatjuk a kis erősítések tételének alkalmazásával egy módosított elrendezésre, aminek a stabilitási tulajdonságai viszont azonosak az eredeti rendszerével.

Súlyozott kis erősités kapcsolat
3.3. ábra - Súlyozott kis erősités kapcsolat


A leggyakrabban alkalmazott transzformáció stabilan invertálható súlyfüggvényeket alkalmazva módosítja a kapcsolást az 17 ábrán látható módon.

Következmény 4.2 Legyen G 1 ,   G 2 stabil rendszer. Ekkor a visszacsatolt rendszer stabilis ha létezik egy W , W 1 stabilis rendszer úgy, hogy γ( W G 1 )γ( G 2 W 1 )<1 .

3.6. Robusztus performancia analízis

Robusztus performancia es stabilitás
Robusztus performancia es stabilitás
3.4. ábra - Robusztus performancia es stabilitás


Definiáljuk a

Δ ˜ ={( Δ 0 0 Δ p )  |Δ1,   Δ p 1}

(72)

halmazt. A kis erősítések tételét alkalmazva megkaphatjuk a Δ -ra vonatkozó robusztus performancia eredményt:

I M 11 Δ invertálható és u ( M,Δ )<1 minden Δ1 esetén,

akkor és csak akkor ha a robusztus stabilitási feltétel minden Δ ¯ =diag{ Δ p ,Δ } -ra fennáll, ahol ΔΔ és Δ p <1 , lásd az 17 ábrát, azaz

IM Δ ˜ invertálható minden Δ ˜ 1 esetén,

ahol M= l ( P,K ) .

Megvizsgálva, hogy

IM Δ ˜ =I( M 11 M 12 M 21 M 22 )( Δ 0 0 Δ p )=( I M 11 Δ M 12 Δ p M 21 Δ I M 22 Δ p ),

(73)

adódik, hogy

IM Δ ˜ =( I 0 M 21 Δ (I M 11 Δ) 1 I )( I M 11 Δ M 12 Δ p 0 I u ( M 11 ,Δ ) Δ p ).

(74)

IMΔ invertálható ha I u ( M 11 ,Δ ) Δ p invertálható. Feltevéseink szerint u ( M 11 ,Δ )<1 .

válasszuk Δ ˜ =( Δ 0 0 0 ) -t. Ekkor

I  M Δ ˜ =( I M 11 Δ 0 M 21 Δ I )

(75)

invertálható, tehát I M 11 Δ invertálható minden Δ1 esetén.

Mivel IM Δ ˜ invertálható, a kis erősítések tételéből következik, hogy u ( M 11 ,Δ )<1 minden Δ1 esetén.

Összefoglalva: a robusztus performancia ekvivalens egy robusztus stabilitási feladattal, ami egy nomináis M zárt körre és struktúrált bizonytalanságra vonatkozik, lásd a 19, ábrát. Mivel a bizonytalansági halmaz struktúrált, a kis erősítések tételénél kevésbé konzervatív eredmények keresése válik szükségessé.

Robust performance analysis
3.5. ábra - Robust performance analysis


3.7. Struktúrált bizonytalanság

A bizonytalan rendszereket egy nominális LTI rendszer és egy visszacsatolt bizonytalan blokk együttesével modellezzük, ahol először a Δ bizonytalansági halmazra az operátor egységgömböt választottuk. Ez az eset jól kezelhető a kis erősítések tételével. A továbbiakban ezt a technikát terjesztjük ki más szerkezetű bizonytalansági halmazok esetére.

Egy igen fontos struktúrált bizonytalansági osztály a blokk diagonális bizonytalanságok halmaza. Blokk diagonális bizonytalansági struktúrák létrehozásának egyik módja az egyes Δ bizonytalanságok kiemelése a rendszerből és az így kapott összekötés LFT alakra való hozása.

A továbbiakban azt az elvet illusztráljuk egy néhány konkrét példán keresztül.

Példa 4.1 Input-output multiplikatív bizonytalanság:

z=( I+ Δ i )G( I+ Δ o )w( ζ i ζ o z )=( 0 G G 0 0 I I G G )( ξ i ξ o w ),

(76)

( ξ i ξ o )=( Δ i 0 0 Δ o )( ζ i ζ o )

(77)

A Δ kiemelésének menete:

Δ i elkülönítése:

z=G( I+ Δ o )w+ ξ i ,     ζ i =G( I+ Δ o )w,

(78)

ξ i = Δ i ζ i ,

(79)

Δ o elkülönítése:

z=Gw+ ξ i +G ξ o ,     ζ i =Gw+G ξ 0 ,   ζ o =w

(80)

ξ i = Δ i ζ i ,   ξ o = Δ o ζ o .

(81)

Példa 4.2: Faktorizált bizonytalanság ( G o invertálható):

(82)

( ξ i ξ o )=( Δ i Δ o )ζ

(83)

Az alábbi relációk

z=( G i + Δ i )ξ,    ( G o + Δ o )ξ=w

(84)

felírhatók mint

z= G i ξ+ ξ i ,  ζ=ξ,   G o ξ+ ξ o =w,   ξ i = Δ i ζ,   ξ o = Δ o ζ

(85)

amiből ξ -t eliminálva és figyelembe véve, hogy ξ= G o 1 ( w ξ o ) adódik

z= G i G o 1 w G i G o 1 ξ o + ξ i ,  ζ= G o 1 w G o 1 ξ o , ξ i = Δ i ζ,   ξ o = Δ o ζ.

(86)

Parametrikus bizonytalanságokra tekintsük az alábbi példákat:

Példa 4.3: Tekintsük a rugózott tömeg moddeljét: m y ¨ =ky+f .

G( s )=( 0 1 0 k/m 0 1/m 1 0 0 ),     x ˙ 2 = k n m x 1 + 1 m u δ k m x 1

(87)

A bizonytalan rugóállandó k= k n + δ k (additív bizonytalansági modell).

Ekkor az állapotegyenletek

x ˙ 1 = x 2 ,

(88)

x ˙ 2 = k n m x 1 W k m η+ 1 m u

(89)

ξ= x 1

(90)

y= x 1

(91)

η= W k 1 δ k ξ,    ahol   W k 1 δ k 1.

(92)

Példa 4.4: Tekintsük az 4.4 ábrán látható tömeg-csillapító-rugó rendszert ( m tömeg, k csillapítási együttható, c rugóállandó).

Differenciálegyenlete:

m x ¨ +c x ˙ +kx=F

(93)

ahol x a tömeg elmozdulása, F erő a rendszer gerjesztése.

Egy lengőrendszer dinamikájának modellezése
Egy lengőrendszer dinamikájának modellezése
3.6. ábra - Egy lengőrendszer dinamikájának modellezése


A blokkdiagram a rendszer névleges modelljét illusztrálja. A valós rendszerben a fizikai paraméterek egyrészt nem ismertek pontosan, másrészt üzem közben változnak. Ismerjük viszont ezek átlagos értékét és becslésünk van az átlagos értéktől való eltérésükre.

m= m ¯ ( 1+ p m δ m )

(94)

c= c ¯ ( 1+ p c δ c )

(95)

k= k ¯ ( 1+ p k δ k )

(96)

A példában legyenek m ¯ =3 , c ¯ =1 , k ¯ =2 a névleges értékek, p m =0.4 , p c =0.2 , p k =0.3 és 1 δ m , δ c , δ k 1 reprezentálja, hogy a rendszer modellje, csillapítása és rugóállandója rendre 40% , 20% , 30% bizonytalanságú.

A parametrikus bizonytalanságok modellezése
3.7. ábra - A parametrikus bizonytalanságok modellezése


A parametrikus bizonytalanságok a következőképpen írhatók fel:

1 m = 1 m ¯ p m m ¯ δ m (1+ p m δ m ) 1 = F U ( M m , δ m )

(97)

c= c ¯ ( 1+ p c δ c )= F U ( M c , δ c )

(98)

k= k ¯ ( 1+ p k δ k )= F U ( M k , δ k )

(99)

ahol M m =[ p m 1 p m / m ¯ 1/ m ¯ ] , M c =[ 0 p c c ¯ 1 c ¯ ] , M k =[ 0 p k k ¯ 1 k ¯ ] Megjegyzés: A kapcsolatokat felső bizonytalanság blokkal vettük figyelembe. A rendszer jelei közötti összefüggések ezek szerint a következőképpen alakulnak:

[ y m x ¨ ]=[ p m 1 p m / m ¯ 1/ m ¯ ][ u m u v c v k ]

(100)

ahol

[ y c v c ]=[ 0 p c c ¯ 1 c ¯ ][ u c x ˙ ]

(101)

[ y k v k ]=[ 0 p k k ¯ 1 k ¯ ][ u k x ]

(102)

u m = δ m y m

(103)

u c = δ c y c

(104)

u k = δ k y k

(105)

továbbá v c = u c + c ¯ x 2 és v k = u k + k ¯ x 1 .

Lengőrendszer modellezése parametrikus bizonytalanságokkal
3.8. ábra - Lengőrendszer modellezése parametrikus bizonytalanságokkal


Válasszuk az állapotokat a következőképpen:

x 1 =x , x 2 = x ˙ = x ˙ 1 , y= x 1 , azaz x ˙ 2 = x ¨ = x ¨ 1 .

x ˙ 1 = x 2

(106)

x ˙ 2 = p m m ¯ u m + 1 m ¯ ( u v c v k )

(107)

y m = p m u m +( u v c v k )

(108)

Ezek után felírhatjuk a parametrikus bizonytalanságokat tartalmazó rendszer modelljét:

(109)

A lengőrendszer modellje G mds kizárólag az ismert m ¯ , k ¯ , c ¯ névleges paraméterektől és az ismert p m , p c , p k bizonytalnsági felső becslésektől függ. Így G mds ismert és nem tartalmaz bizonytalanságokat.

G mds =[ A B 1 B 2 C 1 D 11 D 12 C 2 D 21 D 22 ]

(110)

Lengőrendszer modellje
3.9. ábra - Lengőrendszer modellje


ahol A=[ 0 1 k ¯ m ¯ c ¯ m ¯ ] , B 1 =[ 0 0 0 p m p c m ¯ p k m ¯ ] , B 2 =[ 0 p m 1 m ¯ ] ,

C 1 =[ k ¯ m ¯ c ¯ m ¯ 0 c ¯ k ¯ 0 ] , D 11 =[ p m p c m ¯ p k m ¯ 0 0 0 0 0 0 ] , D 12 =[ 1 m ¯ 0 0 ] ,

C 2 =[ 1 0 ] , D 21 =[ 0 0 0 ] , D 22 =[ 0 ] .

A bizonytalanságokat tartalmazó δ paramétereket egy külön blokk tartalmazza.

[ u m u c u k ]=[ δ m 0 0 0 δ c 0 0 0 δ k ][ y m y c y k ]

(111)

Lengőrendszer modellje a bizonytalanságokkal
3.10. ábra - Lengőrendszer modellje a bizonytalanságokkal


A bizonytalan paraméterek hatása a 4.4 ábrán látható Bode diagramokon jól láthatók.

Parametrikus bizonytalanságok hatása a Bode diagramra
3.11. ábra - Parametrikus bizonytalanságok hatása a Bode diagramra


A modellezés célja, hogy megkapjuk az általánosított rendszer struktúrát, ahol az összes súlyfüggvény a P általánosított rendszerbe van beillesztve, míg a bizonytalanságokat a blokk-diagonális Δ tartalmazza, ami egy Δ halmaz eleme, ahol:

Δ( s )=diag( p 1 I,  , p n r I,   δ 1 ( s )I,  ,   δ n d ( s )I,   Δ 1 ( s ),  ,   Δ n f ( s ) ).

(112)

és ahol minden bokk normalizált.

3.8. Struktúrált szinguláris érték

Az M n×n mátrixok esetén a μ( M ) struktúrált szinguláris érték definíciójában figyelembe veszünk egy feladatfüggő Δ bizonytalansági struktúrát, ami az adott probléma sajátosságaitól és performancia követelményeitől függ. A vizsgált struktúrák az egységgömb megszorítását jelentik valamely tulajdonságok mentén, amikre feltesszük, hogy ha Δ -ra teljesül , akkor γΔ -ra is teljesülni fog minden γ[ 0,1 ]  (γ>0) esetén, azaz Δ csillag szerkezetű (kúp).

Tipikus példa a tulajdonságra a blokk-diagonális struktúra, aminek két típusát tekintjük át: az ismédlődő skalár és teljes blokkú,

vagyis

Δ s,f ={Δ1,  |  Δ=diag( δ 1 I r 1 ,, δ s I r s , Δ s+1 ,, Δ s+f ),

(113)

δ i ,   Δ k m k × m k }

(114)

ahol a nemnegatív s és f egészek az ismétlődő skalár blokkok számát illetve a teljes blokkok számát jelentik.

Értelemszerűen fenn kell állnia az összefüggésnek. Az egyszerűség kedvéért a jelölésből elhagyjuk s,f -t.

Gyakran normakorlátos Δ halmazzal van dolgunk

B Δ ={ ΔΔ: σ ¯ ( Δ )1 }.

(115)

Definíció 4.1 Az M LTI operátorhoz rendelt és a Δ halmazra vonatkoztatott struktúrált szinguláris érték

μ Δ ( M )= sup ω μ Δ ( M( iω ) ),

(116)

ahol

μ Δ ( M( iω ) )=

=(     0    ha nincs olyan  ΔΔ  amire det( IΔ( iω )M( iω ) )=0, 1 inf ΔΔ { σ ¯ ( Δ( iω ) )  |  det( IΔ( iω )M( iω ) )=0} egyébként.

(117)

A definíció jelentése a u=Mv,  v=Δu visszacsatolt kör esetén kézenfekvő: 1/ μ Δ ( M ) annak a struktúrált Δ bizonytalanságnak a normája ami destabilizálja a zárt kört.

A definíció egyenes következménye, hogy minden Δ és α esetén μ Δ ( I )=1 valamint μ Δ ( αM )=| α | μ Δ ( M ) . Azonban, ha a blokkstruktúra nem triviális akkor μ Δ ( M ) nem normája M -nek, mivel a háromszög egyenlőtlenség nem teljesül.

Bebizonyítható az alábbi egyenlőség:

μ Δ ( M )= max Δ B Δ ρ( ΔM )

(118)

Valóban, minden α esetén μΔ( αM )=| α |μΔ( M ) , így csak két esetet kell vizsgálnunk: μ Δ ( M )=1 akkor és csak akkor, ha max Δ B Δ ρ( ΔM )=1 valamint μ Δ ( M )=0 akkor és csak akkor, ha max Δ B Δ ρ( ΔM )=0 . Ezek az esetek a definíció egyszerű következményei.

Ebből az egyenlőségből, a spektrálsugár és a max függvények folytonosságából valamint B Δ kompaktságából következik, hogy a μ: n×n + függvény folytonos.

Általában nem könnyű a μ értékét kiszámítani. A továbbiakban a μ függvény néhány olyan tulajdonságát soroljuk fel, amit haszonnal lehet a számításokban és becslésekben felhasználni.

  • ha Δ 1 Δ 2 , általában μ Δ 1 ( M ) μ Δ 2 ( M ) .

  • ha Δ 1 Δ 2 akkor μ Δ 1 ( M ) μ Δ 2 ( M ) .

  • ρ( M ) μ Δ ( M ) σ ¯ ( M ) . ( ρ( M ) az M spektrál sugara)

Valóban, ha Δ 1 ={δ I n   |  δ} akkor μ Δ 1 ( M )=ρ( M ) és Δ 2 ={Δ  |  Δ n×n } esetén μ Δ 2 ( M )= σ ¯ ( M ) , míg tetszőleges Δ esetén Δ 1 Δ Δ 2 .

Sajnos ezek a becslések általában nagyon durvák,mivel ρ valamint σ ¯ közti különbség tetszőlegesen nagy lehet. A becsléseket szűkíteni lehet M olyan transzformációinak a felhasználásával amik nem befolyásolják μ Δ ( M ) értékét, azonban hatással vannak ρ és σ ¯ értékére.

  • max QQ ρ( QM ) μ Δ ( M ) inf DΘ σ ¯ ( DM D 1 ) ahol

Q={QΔ  |   Q * Q=I},  és

(119)

Θ={diag( D 1 ,, D s , d 1 I m 1 ,, d f I m f )  |

         D j r i × r i ,   D i = D i * >0, d j >0}

(120)

Valóban: mivel det( IMΔ )=det( IQM Δ ˜ ) ahol Δ ˜ =Δ Q * adódik, hogy μ Δ ( QM )= μ Δ ( M ) minden QQ -ra. Másrészt DΔ=ΔD ha DΘ így det( IMΔ )=det( IDMΔ D 1 )=det( IDM D 1 Δ ) .

Ezért μ Δ ( M )= μ Δ ( DM D 1 ) σ ¯ ( DM D 1 ) , vagyis μ Δ invariáns a diagonális skálázásra.

  • β>0 esetén a

{DΘ: σ ¯ ( D 1 2 M D 1 2 )<β}

(121)

halmaz konvex.

Valóban:

σ ¯ ( D 1 2 M D 1 2 )<β     λ max ( D 1 2 M * D 1 2 D 1 2 M D 1 2 )< β 2

D 1 2 M * D 1 2 D 1 2 M D 1 2 β 2 I<0   M * DM β 2 D<0.

(122)

Az utolsó feltétel egy lineáris mátrixegyenlőtlenség (LMI), ami egy konvex feltétel D -ben.

  • azon Δ struktúrák esetén, amikre 2s+f3 : μ Δ ( M )= inf DD σ ¯ ( DM D 1 ) .

Ha s+f>3 akkor az egyenlőség általában nem teljesül.

A leírtakat az alábbi példa szemlélteti: legyen M=( 1 a 1 a 1 ),  a és tekintsünk egy

Δ={Δ=( δ 1 0 0 δ 2 )  |   δ 1 , δ 2 }

(123)

bizonytalansági halmazt. Mivel det( λIM )= λ 2 2λ és det( λI M * M )= λ 2 (2+ a 2 +( 1/a ) 2 )λ akkor ρ( M )=2 valamint σ ¯ ( M )=| a+( 1/a ) |2 .

Mivel det( IMΔ )=1 δ 1 δ 2 és σ ¯ ( Δ )= max i=1,2 { | δ 1 | , | δ 2 | } :

min ΔΔ { σ ¯ ( Δ )|det( IMΔ )=0}= min δ 1 , δ 2 { max i=1,2 { | δ 1 | , | δ 2 | }|1 δ 1 δ 2 =0}= 1 2 .

(124)

Így μ Δ ( M )=2 .

Másrészt:

Q={ I 2 },    Θ={D=diag( d,1 ),  d>0}

(125)

ezért

max QQ ρ( QM )=ρ( M )=2,

(126)

σ ¯ ( D W 1 )=| ad+ 1 ad | inf DD σ ¯ ( DM D 1 )=2,

(127)

ami ebben a speciális esetben igazolja az állítás helyességét.

Eddig komplex skaláris blokkokat tekintettünk. Azonban a parametrikus bizonytalanságok tipikusan valós értékűek, amit figyelembe kell vennünk.

Δ( s )=diag( p 1 I,  , p n r I,   δ 1 ( s )I,  ,   δ n c ( s )I,   Δ 1 ( s ),  ,   Δ n f ( s ) ).

(128)

Ez a struktúra elvezet a kevert (valós/komplex) μ fogalmához. Ekkor a D skálázás alkalmazása helyett felső becslést kaphatunk a kevert μ -re, ha az úgynevezett D,  G skálázást használjuk:

  • μ Δ ( M ) inf DΘ,GΓ,0β {β  |   M * DM+j( GM M * G ) β 2 D}

    (129)

ahol

Θ={diag( D 1 ,, D n r + n c , d 1 I m 1 ,, d f I m f )  |

         D j r i × r i ,   D i = D i * >0, d j >0},

(130)

Γ={diag( G 1 ,, G n r ,0,,0 )  | G i = G i * r i × r i },

(131)

és j 2 =1 .

Ez általában egy kvázi-konvex problémára vezet. Ha M egy-rangú mátrix, akkor μ megegyezik a felső becslésével.

3.9. Struktúrált szinguláris érték analízise

A következő állítás alapvető szerepet játszik a μ alapú robusztussági analízisben. Tekintsük a Δ 1 B Δ 1 és Δ 2 B Δ 2 bizonytalanságokat valamint a következő blokk-diagonális Δ struktúrát:

Δ={   ( Δ 1 0 0 Δ 2 )  : Δ 1 Δ 1 ,   Δ 2 Δ 2 }.

(132)

Tétel 4.4 (Fő hurok tétel)

μ Δ ( M )<1{ μ Δ 2 ( M 22 )<1 max Δ 2 B Δ 2 μ Δ 1 ( l ( M, Δ 2 ) )<1

(133)

Tekintsünk most egy általánosított P rendszerstruktúrát és egy stabilizáló K szabályozót, azaz

( η z )= l ( P,K )( ξ w )=N( ξ w )=

=( M N 12 N 21 N 22 )( ξ w ),

(134)

és ξ=Δη ahol Δ stabil bizonytalanság, amire Δ( jω ) Δ c minden ω { } esetén.

Ekkor a K robusztusan stabilizál, ha

μ Δ c ( M( jω ) )1

(135)

minden ω { } esetén.

A K szabályozó teljesíti a nominális performancia kritériumot,ha

N 22 ( jω )1

(136)

minden ω { } esetén.

A Fő hurok tétel alapján a performancia robusztus, ha

μ Δ ˜ ( N( jω ) )1

(137)

minden ω { } esetén, ahol Δ ˜ =diag( Δ, Δ p ) .

3.10. Struktúrált szinguláris érték: szintézis

Az analízis feltételek fényében egy robusztus stabilitást és performanciát garantáló szabályozó tervezéséhez minimalizálni kell egy struktúrált szinguláris értéket egy adott struktúrált bizonytalansági halmazon és minden frekvencián. Ez egy nemkonvex nemlineáris feladat, amire még nem született minden igényt kielégítő megoldó algoritmus. Egy, a gyakorlatban számos feladat esetében hatékonynak bizonyult heurisztikus algoritmus az úgynevezett DK -iteráció (vagy DGK iteráció, valós bizonytalanságok kezelése esetén).

Tekintsük az alábbi bizonytalansági struktúrát:

Δ c ={Δ1,  |  Δ=diag( δ 1 I r 1 ,, δ s I r s , Δ s+1 ,, Δ s+f ),

(138)

δ i ,   Δ k m k × m k }.

(139)

A Δ c -nek megfelelő D skálázó mátrixok halmaza

Θ={diag( D 1 ,, D s , d 1 I m 1 ,, d f I m f )  |

         D j r i × r i ,   D i = D i * >0, d j >0}.

(140)

Ekkor a Δ ˜ -hoz rendelt skálázó mátrixok halmaza

D ˜ ={  ( D 0 0 I ),  |  DΘ}.

Ezekkel a skálázó szűrőkkel

μ Δ ˜ ( N( jω ) ) inf D D ˜ D 1 N( jω )D ,

(141)

így minden stabilizáló szabályozóra, ami teljesíti a

inf D D ˜ D 1 N( jω )D 1

(142)

feltételt minden ω { } esetén, garantált a robusztus performancia. Ezért a μ -t direktbe optimalizáló szabályozó tervezése helyett a felső becslést minimalizáljuk a D ˜ segítségével.

Ezt a feladatot az alábbi kritérium fogalmazza meg: minimizáljuk

sup ω { } D (ω) 1 l ( P,K )( iω )D( ω )

(143)

minden P -t stabilizáló K szabályozóra, és minden frekvencián a D ˜ -beli D( ω ) skálázó mátrixokra. Ha ez a minimum kisebb mint egy, akkor a tervezés sikeres.

3.10.1. A DK iteráció

D-K iteráció
3.12. ábra - D-K iteráció


Sajnos az (143) feladatban nem tudunk egyszerre minimalizálni a K szabályozó és frekvenciafüggő D( ω ) skálázó mátrixok függvényében. Ezért egy iterációt alkalmazunk: fixen tartjuk a D( ω ) skálát és (143) minimumát keressük a stabilizáló szabályozók halmazán. A második lépésben a K szabályozót tratjuk fixen és (143) minimumát keressük a D( ω ) skálák függvényében. Ezt az eljárást nevezzük D/K -iterációnak, lásd még a 26 ábrát.

D/K -iteráció algoritmusa:

Rögzítjük az iterációk maximális számát, MAXIT, és egy ε>0 tolerancia szintet. Választunk egy D D ˜ skálafüggvényt.

A rögzített D -vel megkeressük K -t, az optimális H szabályozót amire γ< γ inf +ε úgy, hogy fennáll a DN D 1 <γ H becslés. Ha γ< δ 1 ,  K a keresett robusztus szabályozó, ha nem, akkor tovább megyünk a 2 . lépésre.

Rögzített K szabályozóval egy új D skálázó szűrőt számolunk ki, minimalizálva σ ¯ [D( jω )N( jω )D( jω ) 1 ] értékét D( jω ) függvényében.

Amennyiben minden ω frekvencián σ ¯ [D( jω )N( jω )D( jω ) 1 ]< δ 1 akkor K a keresett robusztus szabályozó, ha nem, tovább megyünk a 3 . lépésre.

Ha elértük MAXIT-et, akkor az algoritmus nem szolgáltatott megoldást. Ellenkező esetben tovább megyünk az 1 . lépésre.

Az első lépés egy standard H optimális szabályozási feladat megoldása. A második lépésben minimalizálni kell σ ¯ [D( jω )N( jω )D( jω ) 1 ] értékét, amit egy numerikus optimalizálással érünk el egy { ω i } rácson, ahol a racionális D skálázó szűrőt közelítjük. A közelítés pontossága általában növeli a szűrő rendjét, így a keletkező szabályozó rendjét is. Ezért gyakran szükséges a μ -optimális szabályozókat helyettesíteni egy redukált rendű szub-optimális szabályozóval.