4. fejezet - Rendszerek elemzése idő és frekvencia tartományban

Definíció 3.1 (Súlyfüggvény)

A bemenőjel -- kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk:

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük.

A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

Definíció 3.2

A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk:

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük.

Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény () Laplace transzformáltja: . Emiatt .

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény () Laplace transzformáltja: .Emiatt .

Példa 3.1

Írjuk fel a 3.1 ábrán látható tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét.

Az átviteli függvény Laplace transzformációval:

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: Súlyfüggvény számítása

Komplex pólusok esetén ( és ) további számítások szükségesek:

Kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó Euler összefüggést. Átmeneti függvény számítása:

Komplex pólusok esetén ( és ) további számítások szükségesek:

Komplex pólusok esete: az adatok: , , .

Két komplex konjugált pólus van: a és. A súlyfüggvény és az átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

Valós pólusok esetén az adatok: , , .

Valós pólusai vannak: és . A súlyfüggvény és átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

Egy rendszer frekvencia függvényének a rendszernek szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük.

Itt a bemenőjel egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel, amelynek körfrekvenciája .

A kimenőjel:

Az függvényt amplitudó függvénynek, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást jelentő függvényt pedig fázisfüggvénynek nevezzük, mindkettő a bemenőjel körfrekvenciájától függ.

Az amplitudó függvény a függvény abszolút értékeként kapható:

a fázisfüggvény pedig fázisfüggvényeként:

Legyen egy rendszer átviteli függvénye:

A rendszer bemenete egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel körfrekvenciával: .

A -transzformáció alkalmazásával vizsgáljuk meg a rendszer kimenőjelét.

Időtartományba transzformálva:

Elvégezve a megfelelő határértékképzéseket:

Megjegyzés 3.1 Egy komplex szám exponenciális alakja ahol és .

Alkalmazva az összefüggést:

ahol .

majd felhasználva az Euler-összefüggést ():

a kimenőjelre a következő adódik:

A kimenőjel első tagja a tranziens időtartamában exponenciálisan nullához tart. Az állandósult állapotot a második tag határozza meg.

Az állandósult állapotra azt kapjuk, hogy

ahol Állandósult állapotban tehát a rendszer egy adott körfrekvenciájú szinuszos lefolyású bemenőjelre egy szinuszos lefolyású kimenőjellel válaszol, amelynek amplitúdóját az függvény, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást pedig a függvény méri.

Definíció 3.3

Nyquist diagram A frekvencia függvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitudó függvényt mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó függvény segítségével, ahol az hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge épp a szög. A frekvencia függvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist -- diagramnak nevezzük.

Definíció 3.4

Bode diagram A frekvencia függvények egy másik ábrázolásmódja az, amikor az

amplitúdó függvényt a függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen szerepel. Ebben az esetben a

fázisfüggvényt külön diagramban, a függvényében ábrázoljuk. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode -- diagramjának nevezzük.

Példa 3.2

A kéttárolós arányos tag (2TP) Nyquist diagramját a két különböző időállandójú egytárolós tag Nyquist diagramjának összeszorzásával kapjuk. (Az eredő vektor abszolút értéke a két vektor abszolút értékeinek szorzata, fázisszöge a két vektor fázisszögének összege.)

eset (valós pólusok):

A frekvenciafüggvény két egytárolós tag frekvencia függvényének szorzataként írható fel. Mivel logaritmikus síkon a szorzásnak összeadás felel meg, a két egytárolós tag Bode diagramját összegezve kapjuk az eredő Bode diagramot.

Komplex pólusok esete: eset (komplex pólusok):

Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét:

Ha a pontos görbe a közelítő egyenesek alatt fut, ha a pontos görbe az egyenesek fölött halad, míg esetén a pontos és a közelítő érték -nél megegyezik.

eset (komplex pólusok): A fázis görbe alakja ugyancsak a -től függ:

A 3.2 ábra változó különböző értékeinek hatását illusztrálja az amplitúdó és fázisgörbe függvényekben.

Példa 3.3

Tömeg, rugó és csillapító Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer frekvencia függvényét. A frekvencia függvény:

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: . Frekvencia diagramok valós pólusok esetén: Adatok: , , .

Valós pólusai vannak: és . Időállandók: és .

Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén: A numerikus adatok: , , .

Két komplex konjugált pólus van: . Az időállandó és a csillapítási együttható: és .