5. fejezet - Stabilitásvizsgálat

Tartalom
5.1. Rendszer stabilitása
5.1.1. Zárt rendszer stabilitása
5.1.2. Bode-stabilitási kritérium

5.1. Rendszer stabilitása

Tekintsünk egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszert, amelynek bemenőjele , , kimenőjele pedig , . Adott a rendszer súlyfüggvénye, illetve ennek -transzformáltja: . A bemenet/kimenet kapcsolatot zérus kezdeti feltétele mellett az alábbi konvolúciós integrál adja meg:

(234)

Feltettük, hogy a rendszer a kezdeti időpontban nyugalmi állapotban van. Ezután feltehetjük a kérdést, hogy mi a feltétele annak, hogy ha gerjesztés éri a rendszert, és az valamilyen tulajdonsággal rendelkezik, milyen feltételek esetén rendelkezik a kimenőjel is ugyanilyen tulajdonsággal.

Tétel 4.1 Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha

(a) A rendszer súlyfüggvénye abszolút integrálható,

(235)

(b) A rendszer átviteli függvényének pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, azaz

(236)

ahol a pólusa.

(c) A súlyfüggvény határértéke zérus, azaz

(237)

Példa 4.1

Az inverz inga egy tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, amelynek tömege a rúd felső végére van redukálva.

Nyquist stabilitási kritérium
5.1. ábra - Nyquist stabilitási kritérium


A feladat megoldása: A rúd szögelfordulása a következőképpen függ az gerjesztő erőtől:

(238)

Az átviteli függvény pólusai:

(239)

A pólus a jobboldali komplex félsíkra esik, tehát az inverz inga labilis.

Példa 4.2

A p paraméter milyen értékei esetén lesz stabil az alábbi állapottér reprezentáció:

(240)

(241)

A feladat megoldása:

(242)

(243)

Stabil, ha mindkét pólus negatív valós értékű.

(244)

(245)

ami mindig teljesül, azaz bármely értékére negatív értékű.

1. eset 2. eset

Nyquist stabilitási kritérium
5.2. ábra - Nyquist stabilitási kritérium


(246)

(247)

A negatív valós érték feltétele, hogy legyen.

5.1.1. Zárt rendszer stabilitása

A szabályozó tervezésénél mindig biztosítani kell, hogy akár stabilis, akár labilis a szabályozott folyamat, a zárt rendszer stabilis legyen. A zárt rendszer átviteli függvénye:

(248)

ahol az előrevezető ág átviteli függvénye és a hurokátviteli függvény.

A zárt rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha pólusai a baloldali komplex számsíkon helyezkednek el, tehát az

(249)

egyenlet gyökereire teljesül a , feltétel, ahol a pólusainak száma.

A a hurokátviteli függvény pólusai alapján vizsgálhatjuk a zárt rendszer stabilitását. Pólusok és a stabilitás kapcsolata:

- ha , akkor a zárt rendszer stabilis,

- ha , határeset,

- ha , akkor a zárt rendszer labilis,

ahol a zárt rendszer pólusa.

A Nyquist szabályozási kritérium a hurokátviteli frekvencia függvény alapján képes a zárt rendszer stabilitásáról képet adni.

Rajzoljuk meg a frekvencia függvényt a tartományra. A negatív frekvenciákra a függvény a pozitív frekvenciákra ismert függvénynek a valós tengelyre vett tükörképe lesz.

Tétel 4.2 (Nyquist kritérium) Ha a ( ) felnyitott hurok frekvencia függvénye a növekvő frekvenciák irányába haladva

- nem veszi körül a pontot, akkor a rendszer stabilis,

- átmegy a ponton, akkor a rendszer a stabilitás határán van,

- körülveszi a pontot, akkor a rendszer labilis.

Ha a frekvencia függvény a növekvő frekvenciák irányába haladva nem veszi körül a pontot, akkor a zárt rendszer rendszer stabilis. Ha a frekvencia függvény épp átmegy a komplex számsík pontján, akkor a frekvencia függvénynek körfrekvencián a zárt rendszerben csillapítatlan lengések keletkeznek. Ekkor a zárt rendszer a stabilitás határán van.

5.1.2. Bode-stabilitási kritérium

A stabilitás analízist a Bode diagram alapján is elvégezhetjük, ezek az ún. Bode-stabilitási kritériumok.

- Ha -20 dB/dek-dal metszi a tengelyt, akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha -40 dB/dek-dal metszi a tengelyt, akkor a vágási frekvencián érvényes fázisszög értéke dönt a zárt rendszer stabilitásáról. Ha , akkor a zárt rendszer stabilis, míg ha , akkor a zárt rendszer labilis.

- Ha -60 dB/dek-dal metszi a tengelyt, akkor a zárt rendszer labilis.

Nyquist stabilitási kritérium
5.3. ábra - Nyquist stabilitási kritérium


A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a fázistartalék fogalmát:

- Ha , akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha , határeset.

- Ha , akkor a zárt rendszer labilis.

A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a erősítési tartalék fogalmát. Azt mutatja, hogy mennyivel tudjuk még növelni a statikus körerősítést, úgy, hogy épp a stabilitás határára kerüljön a rendszer. Erősítési tartalék és a stabilitás kapcsolata:

- Ha , akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha , határeset.

- Ha , akkor a zárt rendszer labilis.