12. fejezet - H2 irányítások tervezése

A feladat megoldása az egyszerüsített kimenet-visszacsatolásos -- output feedback (OF) -- probléma megoldásán alapszik, amihez az alábbi általános rendszerstruktúra tartozik:

ahol

A és rendszermátrixokra kirótt speciális feltételek, (505) és (506), az egyszerüsített feladat ortogonalitási feltételei. Meg lehet mutatni, hogy a általános kimenet-visszacsatolásos problémát mindig vissza lehet vezetni erre a specifikus formára. Az egyszerűsített probléma lehetővé teszi számunkra, hogy világosabban mutassunk rá az optimális irányítás alapvető tulajdonságaira.

Az egyszerűsített probléma három másik specifikus feladattal van összefüggésben: teljes információs (full information) (FI), előrecsatolt zavarás (disturbance feedforward) (DF), és kimenet becslés (output estimation) (OE). Ebben a részben megfogalmazzuk ezeket a feladatokat és kimutatjuk egymáshoz való viszonyukat. Minden esetben feltételezzük az ortogonalitási feltételek teljesülését.

A teljes információs (FI) feladathoz tartozó általános rendszerstruktúra alakja

vagyis az irányítás mind a teljes állapotot mind a zavaró bemenetet felhasználhatja.

A előrecsatolt zavarás (DF) feladathoz tartozó általános rendszerstruktúra alakja

vagyis a zavaró bemenet közvetlenül mérhető.

A kimenet becslési (OE) feladathoz tartozó általános rendszerstruktúra alakja

ami egy állapotmegfigyelővel hozható összeffüggésbe.

Az alábbi alakból

nyilvánvaló, hogy az OE és DF feladatok egymás algebrai duálisai. Mivel

akkor és csak akkor stabilizálja -t ha stabilizálja -t. Mivel a DF és OE problémák duálisak, a DF megoldását fel tudjuk használni az OE szabályozó előállítására.

Az FI és DF feladatok abban az értelemben azonosak, hogy ha mindketten ugyan azzal a szabályozóval stabilizálhatók, akkor a zárt körök megegyeznek. Mivel a FI és a DF feladatok egyenértékűek az FI megoldását fel tudjuk használni a DF szabályozó megkonstruálására.

Lemma 11.1 Tegyük fel, hogy asszimptotikusan stabilis. Ekkor

-

-

ahol

Bizonyítás 11.1 Az első tulajdonság az alábbi összefüggésnek a következménye:

A második tulajdonság kimutatásához és Redheffer szorzatát kell meghatározni:

ahol a állapot vektora és a állapot vektora. A transzformáció sematikus vázlata a 11.1 ábrán látható.

Az hibavektor bevezetésével a transzformált állapotegyenletek a következők:

Mivel feltettük, hogy stabilis és

vagyis

Összefoglalásként, mindhárom feladat megoldása visszavezethető egy alkalmas teljes információs (FI) probléma megoldására.

Ahhoz, hogy a rendszernormát minimalizáljuk a stabilizáló szabályozók függvényében, véges horizontú feladok megoldását állítjuk elő, amik konvergálnak az optimális szabályozóhoz.

A véges horizontú feladat költségfüggvénye

ahol . A megjelenő második tag a hiányzó cél állapottal van összefüggésben. Mivel , a költségfüggvény az alábbi alakra hozható:

ami megegyezik az LQ/LQG performancia kritériummal, ha és .A szükséges optimalitási feltételek egy teljes négyzetté alakítással kaphatók a , és egyszerüsítő ortogonalitási feltételek mellett.

Az LQ szabályozó levezetése során már látott módon bevezetjük az mátrix függvényt, , ami ki kell hogy elégítse az alábbi differenciál egyenletet:

Ekkor az

választással a performancia funkcionál alakja

Ahhoz, hogy az optimális FI szabályozót megkapjuk a véges horizontú megoldások határértékeként, a terminális feltétel mátrixát minden -re alkalmasan kell megválasztani.

Legyen olyan, amire asszimptotikusan stablilis. Ekkor van hozzá Lyapunov függvény, azaz amire

Ez az egyenlet átírható az alábbi formába:

vagyis kielégíti az

egyenlőtlenséget. Kimutatható, hogy az pár detektálható.

Ezzel a választással legyen az alábbil Riccati differenciál egyenlet megoldása:

Ekkor

amely egyenlet megoldása

ahol és a mátrixhoz tartozó alapmegoldás.Ekkor és mivel az mátrixfüggvény monoton nem-csökkenő -ben.

A renszer időinvarianciáját felhasználva minden -ra

Így egy monoton nem-növekvő függvény -ben.

Mivel a Riccati egytenlet minden megoldására és bármely esetén, az mátrixfüggvény egyenletesen korlátos minden -re.Ezért létezik a határérték. Az időinvariancia miatt minden és esetén

Ebből következik, hogy a határérték egy konstans mátrix, ami kielégíti. az alábbi algebrai Riccati egyenletet

A konstrukcióból hátra van még a stabilitás kimutatása. Először stabilitását bizonyítjuk.Az egyszerűség kedvéért jelölje az mátrixot és .

Tekintsük az alábbi Lyapunov differencál egyenletet:

ahol.egy megfigyelgetősegi Gram mátrix, így és .Ismert, hogy minden instabil módusa nem megfigyelhető -ra.

Legyen az egy instabil nem megfigyelhető módusa, azaz

A Lyapunov egyenletet kétoldalról szorozva és vektorokkal adódik, hogy .Ebből következik, hogy vagy .

Az első esetben a Lyapunov egyenletet -el szorozva adódik, hogy .Azonban stabilizálható, vagyis minden instabil mód irányítható.Ebből következik, hogy .

Tegyük fel tehát, hogy .A Riccati egyenletet -el jobbról szorozva adódik, hogy , amiből következik, hogy bármely esetén, azaz .Tehát instabil de megfigyelhető -re, ami ellentmond a rendszer detektálhatóságának és megválasztásának.Így asszimptotikusan stabilis. Folytonossági megfontolás alapján

minden -re. Ki kell még mutatnunk, hogy egyenlőség nem állhat fenn.

Feltéve, hogy létezik és úgy, hogy

a Riccati egyenletből következik, hogy

azaz, és , ezért .Mivel detektálható ezért nem tűnhet el, ami ellentmondás. Tehát a határérték egy asszimptotikusan stabilis megoldást ad.

Végezetül meg kell mutatni, hogy a határérték egy optimális szabályozó.Jelölje ezt a határérték szabályozót.

Az FI rendszer és egy tetszőleges

szabályozó az alábbi zárt kört eredményezi:

A norma

ahol a rendszer megfigyelhetőségi Gram mátrixa ami kielégíti az alábbi Lyapunov egyenletet

Legyen

ahol kielégíti a következő algebrai Riccati egyenletet

Ekkor kielégíti az alábbi Lyapunov egyenletet

Itt a rendszer megfigyelhetőségi Gram mátrixa.Mivel asszimptotikusan stablilis, ez a Gram mátrix pozitív definit, tehát .

Kimutattuk tehát, hogy minden FI szabályozóra

választással, azaz és esetén . Ekkor

tehát ez egy optimális irányítás.

Mint azt már láttuk az optimális DF és OE szabályozók megkaphatók egy FI feladat megoldásaként.

Feltéve, hogy asszimptotikusan stabilis, ha stabilizálja -t, akkor stabilizálja -et, ahol

A zárt kör egyenletei

így

ahol az FI feladat optimális állapot visszacsatolása.

Az OE feladat megoldása az OE és DF problémák dualitását felhasználva adódik:

Következik, hogy

ahol és kielégíti az algebraic Riccati egyenletet

Így az eredeti OE feladat megoldása

Az egyszerüsített OF rendszer alakja

ahol az ortogonalitási feltételek

fennállnak.

A szabályozó tervezésénél hasznos úgy tekinteni a rendszert mint amit egy teljes sztatikus állapotirányítás és egy zavarás vezérel. A zavarás szerepe, hogy kompenzálja a teljes állapot ismeretének hiányát.

Az FI irányítás minimalizálja energia normáját minden zavaró jelre. Hogy az eltérésének hatását az hatásától a kimeneten vizsgálhassuk, bevezetjük az új

bemenetet, aminek segítségével átírjuk az állapotegyenleteket:

A kapott rendszer

a bemenetet képezi le a kimenetre.Vegyük észre, hogy az OE alakban adott.

A , és jeleket összekötő állapotegyenletek

amik az alábbi rendszert határozzák meg

felbontását erre a két alrendszerre a 56 ábra szemlélteti.

Mivel az OE alakban adott, már tudjuk, hogyan határozzuk meg azt a szabályozót ami minimalizálja a zárt kör normáját. A kérdés az, hogy ez a szabályozó minimalizálja-e normáját is.

A válaszhoz írjuk át a zárt kör egyenleteit az új változó figyelembe vételével:

ahol and .

Mivel a kimenet két hatás eredménye, a linearitás miatt írható, ahol a jel hatásának eredménye, feltéve, hogy .A jel hasonló módon van definiálva.

A jelet meghatározó rendszer alakja

míg a jel, amit generál, az alábbi rendszer által van meghatározva

ahol

Mivel kapjuk, hogy

Könnyű leellenőrizni, hogy egy -es normát megtartó leképezés, tehát egy belső függvény, és instabil.Ez utóbbi belátásához ki kell mutatni, hogy . Az és alakjaiból következik, hogy

A hasonlósági transzformáció alkalmazásával, ahol kielégíti az FI feladathoz tartozó algebrai Riccati egyenletet és kihasználva, hogy egy belső függvény, vagyis

a transzformált rendszer állapotegyenleteire

adódik, azaz

Ebből következik, hogy .

A két rendszer ortogonalitásából következik, hogy

ezért az optimális irányításnak ki kell elégíteni az alábbi egyenletet

A zárt kör normáját minimalizáló szabályozó a hozzárendelt zárt kör minimalizálásával adódik, ahol

ami egy optimális OE feladat.

Tétel 11.1 Az egyszerüsített OF feladat optimális szabályozója

ahol , , és valamint kielégíti az alábbi FI és OE algebrai Riccati egyenletet:

Mivel az (592), (593) algebrai egyenletek nem csatoltak, ezért az OF szabályozó és erősítéseit egymástól függetlenül meg tudjuk határozni.a teljes állapotvisszacsatolás erősítése míg a Luenberger megfigyelőhöz tartozó erősítés.Az optimális kimenet visszacsatolásos szabályozó alakja egy úgynevezett megfigyelő alapú szabályozó, ahol a megfigyelőt gyakran Kalman szűrőnek nevezzük.Így az optimális kimenet visszacsatolásos szabályozó tervezése során fenn áll a szeparációs elv.