15. fejezet - Nemlineáris irányítások
Vissza		Előre

15. fejezet - Nemlineáris irányítások

Tartalom

Az irányításelmélet kezdeti korszakában a nemlineáris irányításelmélet legtöbb fogalma, mint a stabilitást, optimalitást és bizonytalanságot leíró fogalmak inkább leíró jellegűek voltak mint konstruktívak, azaz arra használták őket, hogy leírják a rendszer tulajdonságai ahelyett, hogy alkalmasak legyenek egy rendszer tervezésére, amely rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Később ezek a leíró fogalmak néhány módósítással alkalmasak lettek eléggé általános nemlineáris tervezési feladatok kezelésére is. A hangsúly ezen fogalmak és a visszacsatolás kapcsolatának explicit megfogására került, így például a Lyapunov technikát a kontroll Lyapunov függvényekre alapozott módszerek helyettesítik. Másik példa a rendszer visszacsatolással való passzívvá tétele vagy a disszipativitásra alapozott eljárások, mint a lineáris robusztus technikák nemlineáris kiterjesztései. A továbbiakban ezeknek a fogalmaknak és eljárásoknak a rövid bemutatására kerül sor.

15.1. Stabilitás

Definíció 14.1

Egy folytonos függvény osztálybeli, ha szigorúan növekvő és . Ha és , akkor a függvény osztálybeli.

Egy folytonos függvény osztálybeli, ha minden rögzített -re a függvény eleme -nak és minden rögzített esetén a függvény csökkenő és .

Tekintsük a következő nemlineáris rendszert:

(781)

ahol és lokálisan Lipschitzes. A rendszer egyensúlyi helyének (asszimptotikus) stabilitása az ismert Lyapunov kritériummal jellemezhető:

Tétel 14.1 (Lyapunov) Legyen egy folytonosan differenciálható függvény úgy, hogy valamely osztálybeli -n értelmezett függvényekkel

minden esetén, akkor az egyensúlyi hely stabilis.

Ha valamely -beli -n értelmezett függvényre

mindenl esetén, akkor az egyensúlyi hely lokálisan asszimptotikusan stabilis (LAS).

Ha és -beli függvények, akkor az egyensúlyi hely globálisan asszimptotikusan stabilis (GAS).

akkor az egyensúlyi hely lokálisan exponenciálisan stabilis (LES).

Külső zavarással gerjesztett rendszerekre a stabilitás lokális fogalmát a sokkal hasznosabb bemenetről--állapotra (input-to-state) stabilitás váltja fel.

Tekintsük a

(782)

nemlineáris rendszert, ahol és lokálisan Lipschitzes az halmazon.

Definíció 14.2

A (782) rendszer bemenetről--állapotra (input-to-state) stabilis ha létezik egy osztálybeli függvény és egy osztálybeli függvény (erősítés) úgy, hogy minden lokálisan korlátos bemenet és minden kezdeti érték esetén az válaszfüggvény kielégíti az

egyenlőtlenséget minden esetén.

Tétel 14.2 (ISS--Lyapunov) Egy folytonosan differenciálható függvényt ISS--Lyapunov függvénynek nevezünk, ha léteznek osztálybeli függvények és egy osztálybeli függvény úgy, hogy:

minden esetén és

(783)

minden és esetén.

Az (782) rendszer akkor és csak akkor bemenetről--állapotra stabilis ha létezik hozzá ISS--Lyapunov függvény.

A nemlineáris esetben alkalmazott leggyakoribb módszer a kontrol Lyapunov függvényre alapozott eljárás, ami analóg a homogén rendszerekre alkalmazott Lyapunov eljárással.

Definíció 14.3

Legyen egy

input affin nemlineáris rendszer, ahol valamint és sima függvények. Feltesszük, hogy a szabályozó jelek egy részhalmazából valók. Egy pozitív definit függvényt, amelyre minden -ra a halmaz kompakt kontrol Lyapunov függvénynek nevezünk, ha

rendelkezik a kis erősítési tulajdonsággal, ha minden esetén létezik úgy, hogy kielégíti egyenlőtlenséget akkor létezik úgy, hogy amire .

A sima stabilizáló visszacsatolás léte feltételezi egy kontrol Lyapunov függvény meglétét és fordítva, elég általános halmazokra ha létezik az adott tulajdonságokkal, akkor van , a rendszert globálisan stabilizáló sima visszacsatolás.

Ezek a fogalmak általánosíthatók zavarással terhelt

rendszerek esetére is. A zavarások egy kompakt halmazbeli értékeket felvevő mérhető függvények. Feltételezzük, hogy minden esetén.

Definíció 14.4

kontrol Lyapunov függvény egyenletes, ha

minden és esetén.

rendelkezik az egyenletes kis erősítési tulajdonsággal, ha minden -ra van úgy, hogy ha -ra , akkor létezik amire úgy, hogy minden esetén.

15.2. Disszipatív rendszerek

Tekintsünk egy

(784)

nemlineáris rendszert.

Egy, az ISS tulajdonsághoz nagyon hasonló fogalmat kaphatunk, ha annak definíciójában az (783) egyenletben a osztalybeli függvény helyett egy tetszőleges függvényt veszünk, amelyre . Ezt a függvényt disszipativitási függvénynek nevezzük.

Definíció 14.5

A(784)rendszer disszipatív a disszipativitási függvényre nézve ha van egy folytonosan differenciálható függvány, amelyre

min esetén, ahol és -beli függvények úgy, hogy

(785)

minden és esetén.

A rendszer szigorúan disszipatív, ha valamely -beli függvénnyel

(786)

-t tároló függvénynek nevezzük, az (784) és (785),(786) egyenlőtlenségeket pedig disszipativitási egyenlőtlenségeknek.

A disszipációs egyenlőtlenség még a

formába is írható.

Bevezethető még a rendelkezésre álló energia függvény mint

és a szükséges energi függvény, mint

ahol .

A rendszer akkor és csak akkor disszipatív, ha ezek a függvények valós véges értékű függvények. Ekkor a legkisebb és a legnagyobb lehetséges tároló függvény, azaz minden előáll ezek konvex kombinációjaként: .

A disszipatív rendszerek nem tudnak több energiát leadni mint a betáplált energia.

Általában kvadratikus

(787)

disszipativitási függvényeket használunk, ahol és szimmetrikus mátrixok.

Tétel 14.3 A

nemlineáris rendszer akkor és csak akkor disszipatív a (787) disszipativitási függvényre nézve, ha

- az alábbi

mátrix mindeb -re pozitív szemidefinit,

- létezik egy folytonosan differenciálható pozitív szemidefinit függvény, amelyre minden esetén az

halmaz nem üres, és minden -ra

15.3. Passzív rendszerek

Definíció 14.6

Tekintsünk egy disszipativitási függvényt, melyre minden -ra és minden -ra.

A (784) rendszer, ahol passzív a disszipativitási függvényre nézve, ha létezik egy tároló függvény amelyre

(788)

minden , és esetén.

Általában választással élünk.

Pozitív definit tároló függvénnyel rendelkező passzív rendszerek asszimptotikusan stabilisak.

Tétel 14.4 (Kalman--Yakubovich--Popov) Egy passzív (784) rendszer esetén:

Ezek a feltételek egy

input affin rendszer esetén a

formába írhatók.

A (784) nemlineáris rendszer passzívá tehető, ha létezik egy visszacsatolás, amire a zárt kör passzív.

15.4. Nemlineáris szabályozás

A nemlineáris szabályozás a már ismert elmélet egy nemlineáris kiterjesztése.A tervezés célja, hogy egy olyan nelineáris szabályozót kapjunk, melyre a zárt kör stabilis és az erősítése a legkisebb.

15.4.1. -disszipativitás

Definíció 14.7

Egy rendszer erősítése véges ( --disszipatív) ha valamely -ra disszipatív a

(789)

disszipativitási függvényre nézve.

Ha a rendszer zérus-állapot detektálható és az erősítése véges, akkor globálisan asszimptotikusan stabilis.

Definíció 14.8

Egy rendszer zérus-állapot detektálható ha minden esetén a egyenlet megoldása minden esetén létezik és fennállása -ön implikálja, hogy .

Ebben a speciális esetben a 14.3 Tétel az alábbi formára egyszerűsödik:

Lemma 14.1 (Bounded Real Lemma) A

rendszer akkor és csak akkor --disszipatív, ha

- a

(790)

mátrix minden -re pozitív definit és

- létezik egy folytonosan differenciálható pozitív szemidefinit függvény, hogy minden -re fennáll az alábbi Hamilton-Jacobi egyenlőtlenség

(791)

15.4.2. Nemlineáris feladat

Tekintsük az alábbi input affin alakban adott

(792)

nemlineáris rendszert, ahol az egyes függvények legalább kétszer folytonosan differenciálhatók és az egyensúlyi pontban , és . Feltesszük továbbá, hogy

vagyis a feladat reguláris.

A szabályozó alakja

(793)

Ez a szabályozó megoldása a disszipatív irányítási feladatnak, ha a zárt kör -disszipatív. Ha a rendszer lineáris, ez épp azt jelenti, hogy a zárt kör normája kisebb mint . Ha a rendszer zérus-állapot detektálható akkor a -disszipatívitás garantálja a rendszer globális asszimptotikus stabilitását is.

15.4.2.1. Állapotvisszacsatolásos feladat

Tekintsük az alábbi egyszerüsített rendszert:

(794)

ahol feltesszük, hogy és minden -re.

Az állapotvisszacsatolás alkalmazásával kapjuk, hogy

Ekkor a --disszipativitási feltételből (Baounded Real Lemma) a zárt körre

(795)

feltétel adódik, ami általában nemlineáris a és ismeretlenekben.

Az stb. és a ahol feltételezéssel élve, valamint az transzformáció alkalmazásával kapjuk, hogy:

(796)

ami már lineáris az és ismeretlenekben. Ebből az egyenletből kapható a következő konvex feltétel:

(797)

ahol a feltétellel.

15.4.2.2. Kimenet visszacsatolásos feladat

Ha az állapotvisszacsatolás helyett adott méréseket felhasználó szabályozót akarunk használni, tekintsük a következő rendszert

(798)

ahol feltesszük, hogy , valamint és minden esetén.

Erre az esetre a dinamikus visszacsatolás létezési feltételei a következők:

(799)

(800)

és

ahol és .

15.5. Nemlineáris megfigyelők

15.5.1. Állapotfüggetlen Lyapunov függvények (SIELF)

Ha adott a

(801)

rendszer, arra a kérdésre keressük a választ, hogy milyen feltételekkel létezik egy

megfigyelő úgy, hogy legyen hozzá olyan Lyapunov függvény, ami csak az becslési hibától függ, azaz

minden és esetén.

Tegyük fel, hogy

Tétel 14.5 Ha egy SIELF Lyapunov függvény, akkor

minden -re.

Ha a függvény -beli, akkor nemnegatív és

minden -re.

Definíció 14.9

Egy radiálisan nemkorlátos függvény egy megfigyelési Lyapunov függvény (OLF) ha

minden -re.

Tétel 14.6 Ha a mérési egyenlet lineáris és valamint

minden -re akkor egy kvadratikus SIELF minden kompakt részhalmazán, és létezik melyre

minden -re és esetén.

Tétel 14.7 Ha a mérési egyenlet lineáris és létezik egy pozitív definit mátrix, egy vektor és pozitív függvények úgy, hogy

és

minden -re akkor egy SIELF.

Megjegyzés 14.1 Tekintsük példaként a

(802)

rendszert.

Ekkor a

transzformációval kapjuk, hogy

(803)

A (803) rendszerhez tartozik kvadratikus SIELF, például

Azonban az eredeti rendszerhez nincs ilyen Lyapunov függvény.

15.5.2. Passzivitásos technika

Tekintsük a

(804)

(805)

dinamikus rendszert, ahol egy időben változó külső bemenet.

Definíció 14.10

A (804) rendszer egyenletesen passzív a párra nézve, ha létezik egy tároló függvény és -beli függvények valamint egy folytonos pozitív definit függvény amelyre: