5. fejezet - Stabilitásvizsgálat
Vissza		Előre

5. fejezet - Stabilitásvizsgálat

Tartalom

5.1.1. Zárt rendszer stabilitása
5.1.2. Bode-stabilitási kritérium

5.1. Rendszer stabilitása

Tekintsünk egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszert, amelynek bemenőjele $u (t)$ , $0 \leq t < \infty$ , kimenőjele pedig $y (t)$ , $0 \leq t < \infty$ . Adott a rendszer $w (t)$ súlyfüggvénye, illetve ennek $ℒ$ -transzformáltja: $G (s) = ℒ {w (t)}$ . A bemenet/kimenet kapcsolatot zérus kezdeti feltétele mellett az alábbi konvolúciós integrál adja meg:

$y (t) = \int_{0}^{t} w (t - τ) u (τ) d τ$

(234)

Feltettük, hogy a rendszer a kezdeti időpontban nyugalmi állapotban van. Ezután feltehetjük a kérdést, hogy mi a feltétele annak, hogy ha $u (t) > 0$ gerjesztés éri a rendszert, és az $u (t)$ valamilyen tulajdonsággal rendelkezik, milyen feltételek esetén rendelkezik a kimenőjel is ugyanilyen tulajdonsággal.

Tétel 4.1 Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha

(a) A rendszer súlyfüggvénye abszolút integrálható,

$\int_{- \infty}^{\infty} | w (t) | d t < \infty$

(235)

(b) A rendszer $G (s) = ℒ {w (t)}$ átviteli függvényének pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, azaz

$R e p_{i} < 0, \forall i,$

(236)

ahol $p_{i}$ a $G (s)$ pólusa.

$lim_{t \to \infty} w (t) = 0.$

(237)

Példa 4.1

Az inverz inga egy $M$ tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, amelynek $m$ tömege a rúd felső végére van redukálva.

5.1. ábra - Nyquist stabilitási kritérium

A feladat megoldása: A rúd $Θ (s)$ szögelfordulása a következőképpen függ az $U (s)$ gerjesztő erőtől:

$Θ (s) \approx \frac{1}{s^{2} - g / l} U (s) .$

(238)

Az átviteli függvény pólusai:

$p_{1} = \sqrt{g / l}, p_{2} = - \sqrt{g / l} .$

(239)

A $p_{1}$ pólus a jobboldali komplex félsíkra esik, tehát az inverz inga labilis.

Példa 4.2

A p paraméter milyen értékei esetén lesz stabil az alábbi állapottér reprezentáció:

$\dot{x} = [\begin{array}{l} - 1 & p \\ p & - 4 \end{array}] x + [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}] u$

(240)

$y = [\begin{array}{l} 0 & 1 \end{array}] x$

(241)

A feladat megoldása:

$det (s I - A) = det [\begin{array}{l} s + 1 & - p \\ - p & s + 4 \end{array}] = s^{2} + 5 s - p^{2} + 4$

(242)

$s_{1, 2} = - 2.5 \pm 0.5 \sqrt{9 + 4 p^{2}}$

(243)

Stabil, ha mindkét pólus negatív valós értékű.

$p_{1} = - 2.5 - 0.5 \sqrt{9 + 4 p^{2}}$

(244)

$- 5 < \sqrt{9 + 4 p^{2}}$

(245)

ami mindig teljesül, azaz $p$ bármely értékére $p_{1}$ negatív értékű.

1. eset 2. eset

5.2. ábra - Nyquist stabilitási kritérium

$p_{2} = - 2.5 + 0.5 \sqrt{9 + 4 p^{2}}$

(246)

$\sqrt{9 + 4 p^{2}} < 5$

(247)

A negatív valós érték feltétele, hogy $- 2 < p < 2$ legyen.

5.1.1. Zárt rendszer stabilitása

A szabályozó tervezésénél mindig biztosítani kell, hogy akár stabilis, akár labilis a szabályozott folyamat, a zárt rendszer stabilis legyen. A zárt rendszer átviteli függvénye:

$G (s) = \frac{G_{E} (s)}{1 + G_{H} (s)},$

(248)

ahol $G_{E} (s)$ az előrevezető ág átviteli függvénye és $G_{H} (s)$ a hurokátviteli függvény.

A zárt rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha pólusai a baloldali komplex számsíkon helyezkednek el, tehát az

$1 + G_{H} (s) = 0$

(249)

egyenlet $p_{1}, \dots, p_{n}$ gyökereire teljesül a $R e p_{i} < 0$ , $i = 1, \dots, n$ feltétel, ahol $n$ a $G_{H} (s)$ pólusainak száma.

A $G_{H} (s)$ a hurokátviteli függvény pólusai alapján vizsgálhatjuk a zárt rendszer stabilitását. Pólusok és a stabilitás kapcsolata:

- ha $p_{i} < 0$ , akkor a zárt rendszer stabilis,

- ha $p_{i} = 0$ , határeset,

- ha $p_{i} > 0$ , akkor a zárt rendszer labilis,

ahol $p_{i}$ a zárt rendszer pólusa.

A Nyquist szabályozási kritérium a $G_{H} (i ω)$ hurokátviteli frekvencia függvény alapján képes a zárt rendszer stabilitásáról képet adni.

Rajzoljuk meg a frekvencia függvényt a $- \infty < ω < \infty$ tartományra. A negatív frekvenciákra a függvény a pozitív frekvenciákra ismert függvénynek a valós tengelyre vett tükörképe lesz.

Tétel 4.2 (Nyquist kritérium) Ha a $G_{H} (i ω)$ ( $- \infty < ω < \infty$ ) felnyitott hurok frekvencia függvénye a növekvő frekvenciák irányába haladva

- nem veszi körül a $- 1$ pontot, akkor a rendszer stabilis,

- átmegy a $- 1$ ponton, akkor a rendszer a stabilitás határán van,

- körülveszi a $- 1$ pontot, akkor a rendszer labilis.

Ha a $G_{H} (i ω)$ frekvencia függvény a növekvő frekvenciák irányába haladva nem veszi körül a $- 1$ pontot, akkor a zárt rendszer rendszer stabilis. Ha a $G_{H} (i ω)$ frekvencia függvény épp átmegy a komplex számsík $- 1$ pontján, akkor a $G_{H}$ frekvencia függvénynek $ω_{0}$ körfrekvencián a zárt rendszerben csillapítatlan lengések keletkeznek. Ekkor a zárt rendszer a stabilitás határán van.

5.1.2. Bode-stabilitási kritérium

A stabilitás analízist a Bode diagram alapján is elvégezhetjük, ezek az ún. Bode-stabilitási kritériumok.

- Ha -20 dB/dek-dal metszi a $log ω$ tengelyt, akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha -40 dB/dek-dal metszi a $log ω$ tengelyt, akkor a vágási frekvencián érvényes fázisszög értéke dönt a zárt rendszer stabilitásáról. Ha $φ (ω_{c}) > - 180^{\circ}$ , akkor a zárt rendszer stabilis, míg ha $φ (ω_{c}) < - 180^{\circ}$ , akkor a zárt rendszer labilis.

- Ha -60 dB/dek-dal metszi a $log ω$ tengelyt, akkor a zárt rendszer labilis.

5.3. ábra - Nyquist stabilitási kritérium

A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a $φ_{t}$ fázistartalék fogalmát: $φ_{t} = π - φ (ω_{c}),$

- Ha $φ_{t} > 0$ , akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha $φ_{t} = 0$ , határeset.

- Ha $φ_{t} < 0$ , akkor a zárt rendszer labilis.

A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a $κ_{t}$ erősítési tartalék fogalmát. Azt mutatja, hogy mennyivel tudjuk még növelni a statikus körerősítést, úgy, hogy épp a stabilitás határára kerüljön a rendszer. Erősítési tartalék és a stabilitás kapcsolata:

- Ha $κ_{t} < 1$ , akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha $κ_{t} = 1$ , határeset.

- Ha $κ_{t} > 1$ , akkor a zárt rendszer labilis.

Vissza		Előre
4. fejezet - Rendszerek elemzése idő és frekvencia tartományban	Főoldal	6. fejezet - Minőségi tulajdonságok elemzése