8. fejezet - PID szabályozások tervezése

Tartalom
8.1. Tervezés frekvencia tartományban
8.2. PID struktúra
8.3. PID tervezési módszer
8.3.1. Zajszűrés
8.3.2. Referenciajel súlyozás
8.3.3. Beavatkozó telítődése
8.3.4. Tuningolás, hangolás

8.1. Tervezés frekvencia tartományban

Soros kompenzátor tervezése előírt fázistartalék elérése érdekében történik. A tervezési elv ismertetése érdekében első lépésben arányos soros kompenzátor tervezését mutatjuk be.

Soros kompenzátor felépítése
8.1. ábra - Soros kompenzátor felépítése


A zárt rendszer átviteli függvénye:

G C = G E 1+ G H

(285)

ahol G H a hurokátviteli függvény és G E az előrevezető ág eredő átviteli függvénye.

Vizsgáljuk meg első lépésben egy arányos kompenzátor tervezését. Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója 20lo g 10 A , míg fázisa 0 a teljes frekvencia tartományban. Következtetés: Egy arányos tag az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan eltolja, mégpedig A>1 esetén felfelé, míg A<1 esetén lefelé, ugyanakkor a fázisfüggvényt nem módosítja.

A soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy ω c vágási körfrekvenciához tartozó fázisszög éppen az előírt legyen.

Olvassuk le a fázisszöghöz tartozó amplitúdó értékét és jelöljük ezt előjelhelyesen x -szel Az arányos soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan x -szel eltolja (miközben a fázisfüggvényt változatlanul hagyja).

Tehát C=A -t a következőképpen kell megválasztani:

20lo g 10 A=x

(286)

ahol x az ábráról leolvasott érték, s ebből A kiszámítható:

A= 10 x 20 .

(287)

Összefoglalva a soros kompenzátor tervezés lépései a következők:

(a) C=1 választással felrajzoljuk a felnyitott hurok Bode diagramját.

(b) Leolvassuk a φ t -hez tartozó x előjeles értékét és kiszámítjuk C=A soros kompenzátor értéket.

Megjegyzés: Ha az amplitudó függvényt lefelé kell eltolni, akkor A<1 , míg ha felfelé, akkor A>1 erősítést várunk.

(c) Megvizsgáljuk a zárt (szabályozott) rendszer minőségi tulajdonságait.

Ha a cél egy dinamikus kompenzátor tervezése, akkor a tervezést megpróbáljuk visszavezetni arányos soros kompenzátor tervezésére:

C( s )=A C 0 ( s )

(288)

ahol C 0 ( s ) a kompenzátor átviteli függvényének ismert komponense.

Például:

C( s )= 1 T i s = 1 T i 1 s

(289)

azaz A= 1 T i és C 0 ( s )= 1 s . A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő:

G H ( s )=AG C 0 ( s )=A G m ( s )

(290)

ahol G m ( s )=G( s ) C 0 ( s ) . Ha a rendszer átviteli függvényét a C 0 komponenssel módosítjuk, akkor G m ( s ) átviteli függvényhez jutunk.

A tervezés során a G m ( s ) átviteli függvénnyel adott rendszert tekintjük szabályozandó rendszernek, amihez egy A arányos kompenzátort kell terveznünk.Természetesen a tervezett soros kompenzátort C( s )=A C 0 ( s ) alakú.

Példa 7.1

Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye:

G= 5 s 3 +3 s 2 +2s .

(291)

Tervezzünk 30 fokos fázistartalékot biztosító arányos soros kompenzátort.

A feladat megoldása: Válasszunk kiindulásként C=1 arányos soros kompenzátort:

G H =GC= 5 s 3 +3 s 2 +2s .

(292)

Szerkesszük meg a felnyitott hurok Bode diagramját.

Soros kompenzátor felépítése
8.2. ábra - Soros kompenzátor felépítése


Változtassuk meg C -t úgy, hogy a fázistartalék 30 fokos legyen, azaz φ t =30 és a fázisszög ω c -nél: φ=150 . Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója 20lo g 10 A , míg fázisa 0 a teljes frekvencia tartományban.

• Jelen esetben A=0.43 arányos soros kompenzátor oldja meg a feladatot ( 30 fokos fázistartalékot biztosít).

Soros kompenzátor felépítése
8.3. ábra - Soros kompenzátor felépítése


Példa 7.2

Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye:

G= 5 s 2 +3s+2

(293)

Tervezzünk jelkövetést biztosító soros kompenzátort, amelyik 30 fokos fázistartalékot is garantál.

A feladat megoldása: A jelkövetés akkor biztosítható, ha a soros kompenzátor integráló tulajdonságú. Emiatt a soros kompenzátort a következő alakban választjuk meg:

C= A i s

(294)

A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő:

G H =CG= A i s G= A i G s

(295)

Ha a rendszer átviteli függvényét G s -nek tekintjük, akkor a továbbiakban egy arányos soros kompenzátort kell terveznünk az 1 . példában leírtakhoz hasonló módon.

A következőkben megvizsgáljuk, hogy a modell alapján megtervezett szabályozó vajon stabilizálja-e a valós rendszert. Ehhez a modell bizonytalansági struktúráiból indulunk ki.

Tekintsük a bizonytalanságot additív struktúrában.

G( s )= G N ( s )+ Δ A ( s ),

(296)

A továbbiakban feltesszük, hogy a rendszer névleges modelljén kívül ismerjük a szabályozó modelljét. Tegyük fel, hogy a G HN ( s )=C( s ) G N ( s ) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a G H ( s )=C( s )G( s ) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie.

Tétel 7.1 Legyen G N ( s ) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C( s ) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti additív hiba felső korlátját a teljes ω frekvencia tartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül:

1 d A ( ω ) >| C( iω ) 1+ G HN ( iω ) |,    ω.

(297)

Ez a robusztus stabilitás feltétele additív hiba struktúra esetén.

Tekintsük a bizonytalanságot multiplikatív struktúrában.

G( s )= G N ( s )( 1+ Δ M ( s ) ),

(298)

A továbbiakban feltesszük, hogy a rendszer névleges modelljén kívül ismerjük a szabályozó modelljét. Tegyük fel, hogy a G HN ( s )=C( s ) G N ( s ) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a G H ( s )=C( s )G( s ) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie.

Tétel 7.2 Legyen G N ( s ) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C( s ) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti multiplikatív hiba felső korlátját a teljes ω frekvencia tartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül:

1 d M ( ω ) >| G HN ( iω ) 1+ G HN ( iω ) |,    ω.

(299)

Ez a robusztus stabilitás feltétele multiplikatív hiba struktúra esetén.

8.2. PID struktúra

A PID egy arányos, egy integráló és egy differenciáló tag párhuzamos kapcsolata. A PID szabályozó tervezésekor az erősítéseket és az időállandókat kell megfelelően beállítani (hangolni). Megjegyezzük, hogy a valóságban időtárolós differenciáló tag van az ideális differenciáló tag helyett.

PID szabályozó struktúrája
8.4. ábra - PID szabályozó struktúrája


A szabályozó átviteli függvénye:

K= A P ( 1+ 1 T I s + T D s )

(300)

ahol A P az arányos tag erősítése, T I az integráló tag időállandója, T D a differenciáló tag időállandója.

Az u( t ) jel és e( t )=r( t )y( t ) hibajel közötti kapcsolat:

u( t )= A P ( e( t )+ 1 T I 0 t e( τ )dτ+ T D de( t ) dt )

(301)

Zérus kezdeti feltételekkel Laplace transzformálva:

U( s )= A P ( 1+ 1 T I s + T D s )E( s )

(302)

Példaként tekintsük a G= 1 (s+1) 3 átviteli függvényű rendszert, amit különböző arányos taggal szabályoztunk. A P =1;2;5.

Arányos tag hatása
Arányos tag hatása
8.5. ábra - Arányos tag hatása


Növekvő erősítések mellett a szabályozási eltérés csökken ugyan, de a válaszfüggvény oszcillációja jelentősen növekszik. Tekintsük ugyanazt a G= 1 (s+1) 3 átviteli függvényű rendszert. Ezúttal PI taggal végeztük a szabályozást. Rögzítsük az arányos tagot A P =1 -re és változtassuk az integráló tag T I időállandóját. T I =1;2;5 .

Arányos tag hatása
Arányos tag hatása
8.6. ábra - Arányos tag hatása


Az integráló hatás eredményeként az állandósult állapotú hiba eltűnik. A válaszfüggvény oszcillációja T I növekedésével jelentősen csökkenthető, viszont ezzel együtt a beállási idő jelentősen növekszik.Tekintsük ugyanazt a G= 1 (s+1) 3 átviteli függvényű rendszert. Ezúttal PID taggal végeztük a szabályozást. Rögzítsük az arányos tagot A P =3 -ra, rögzítsük az integráló tag T I időállandóját T I =2 -re és változtassuk a differenciáló tag T D időállandóját. T D =0.1;0.7;1.4 .

Arányos tag hatása
Arányos tag hatása
8.7. ábra - Arányos tag hatása


A T D növekedésével a beállási idő jelentősen csökkenthető és a lengések jelentősen csillapíthatók. A differenciáló hatás a szabályozást gyorsítja.

A PID szabályozó egy arányos, egy integráló és egy differenciáló tag párhuzamos kapcsolataként értelmezhető.

K= A P ( 1+ 1 T I s + T D s )

(303)

A PID szabályozó egy másik alakja egy arányos, egy PI tag és egy PD tag soros kapcsolataként értelmezhető. Ekkor az egyes komponensek egymással kölcsönhatásban vannak.

K= A P' ( 1+ 1 T I' s )( 1+ T D' s )

(304)

PID szabályozó struktúrája
PID szabályozó struktúrája
8.8. ábra - PID szabályozó struktúrája


A kétféle felírás között a következő kapcsolat írható fel. A klasszikus alak komponensei:

A P = A P' T I' + T D' T I'

(305)

T I = T I' + T D'

(306)

T D = T I' T D' T I' + T D'

(307)

A soros alak komponensei:

A P' = A P 2 ( 1± 14 T d / T i )

(308)

T I' = T I 2 ( 1± 14 T d / T i )

(309)

T D' = T I 2 ( 1 14 T d / T i )

(310)

Megjegyzés: A soros alak felírásának feltétele, hogy T i   4 T d . A klasszikus alak általánosabb, mint a soros alak. Gyakran a tervezés (tuningolás) szempontjából a soros alak ledvezőbb. A két felírás P, PI, PD típusú struktúrák esetén ekvivalens. Különböző PID struktúrák választása esetén a két felírás paraméterei különböznek, azokat az összefüggéseknek megfelelően kell számítani.

A PID struktúra egy másik elterjedten használt alakja:

G= A P '+ A I' s + A D' s

(311)

Ez az alak a klasszikus K= A P ( 1+ 1 T I s + T D s ) PID alakkal ekvivalens.

A két alak közötti kapcsolat:

A P' = A P

(312)

A I' = A P T I

(313)

A D' = A P T D

(314)

és az időállandók: T I' = A P' A I' , T D' = A D' A P' .

A PID szabályozók tervezésekor a következő négy szempontot kell figyelembe venni:

- Zajszűrés.

- Referenciajel súlyozás.

- Beavatkozó telítődése.

- Tuningolás, hangolás.

8.3. PID tervezési módszer

8.3.1. Zajszűrés

A deriválási művelet mindig érzékeny a zajra.

Tekintsük az alábbi példát: Tegyük fel, hogy a jel a következő alakú:

y( t )=sint+n( t ),

(315)

ahol a zaj n( t )= a n sin( ω n t ) alakú, ω frekvenciájú szinusz jel. A deriválást elvégezve:

dy( t ) dt =cost+n( t ),

(316)

ahol n( t )= a n ωcos( ω n t ) . Az eredmény azt mutatja, hogy habár az n zaj hatása az y eredeti jelre 1/ a n , de a derivált alakban ez az arány ω/ a n . A zaj aránya tetszőlegesen nagy lehet, ha ω nagy értékű. Deriválási művelet esetén a magas frekvenciás komponens hatását csökkenteni kell. Ennek érdekében az A P T D s ideális PD tag helyett egy egytárolós komponenssel módosított tagot alkalmazunk:

D= A P T D s 1+s T D N

(317)

A komponens erősítése a nagyfrekvencia tartományban N A P értékre van korlátozva. Következésképpen megakadályozzuk, hogy az n zaj y jelre való hatása túl nagy értékre növekedjen.

A PID szabályozó általános alakja a következőképpen módosul:

K( s )= A P ( 1+ 1 T I s + T D s 1+ T D N s )

(318)

Nagyfrekvenciás tartományban az erősítés értéke:

lim s K( s )= A P ( 1+N )

(319)

N növelésével a sávszélesség növekszik, ami stabilitási szempontból kedvezőtlen. Emiatt további elsőrendű szűrőket alkalmazunk:

F( s )= 1 (1+s T f ) n

(320)

ahol T f a filter állandója, ami kölcsönhatásban van a szabályozó időállandóival. T f célszerű megválasztása T f = T D /N .

Egy példa a szűrő lehetséges megválasztására:

K( s )= A P ( 1+ 1 T I s )( 1+ T D s ) 1 (1+s T D N ) 2

(321)

8.3.2. Referenciajel súlyozás

Gyorsan változó alapjel (egységugrás) esetén a szabályozó jelen impulzusszerű gyors válaszok jelenhetnek meg. Ezt a nemkívánatos jelenséget a referenciajel szűrésével oldhatjuk meg. Egy másik megoldási lehetőség a referenciajel megfelelő erősítésével történhet, amit referenciajel súlyozási eljárásnak nevezzük. A klasszikus PID esetén az u( t ) jel:

u( t )= A P ( e( t )+ 1 T I 0 t e( τ )dτ+ T D de( t ) dt )

(322)

A módosított PID szabályozó esetén az u( t ) jel:

u( t )= A P ( ( br( t )y( t ) )+ 1 T I 0 t e( τ )dτ+ T D ( c dr( t ) dt dy( t ) dt ) )

(323)

Az integrátort közvetlenül a hibajelre alkalmazzuk, viszont az arányos komponenst és a deriválás komponensét a súlyozott referenciajel és a kimenőjel különbségére alkalmazzuk. A bemenőjel összefüggése:

u( t )= A P ( ( br( t )y( t ) )+ 1 T I 0 t ( r( τ )y( τ ) )dτ+ T D ( c dr( t ) dt dy( t ) dt ) )

(324)

U( s )= A P ( b+ 1 s T I +cs T D )R( s ) A P ( 1+ 1 s T I +s T D )Y( s )

(325)

Az összefüggés azt mutatja, hogy a szabályozó struktúra elvileg két-szabadságfokú, melyeket egyrészt a referenciajelre, másrészt a kimenőjelre kell alkalmazni: U( s )= U 1 ( s ) U 2 ( s ) , ahol

U 1 ( s )= A P ( b+ 1 s T I +cs T D )R( s )= C r ( s )R( s )

(326)

U 2 ( s )= A P ( 1+ 1 s T I +s T D )Y( s )= C y ( s )Y( s )

(327)

A referenciajel értékét egyrészt b erősítéssel, másrészt c erősítéssel módosítjuk.

U 1 ( s )= A P ( b+ 1 s T I +cs T D )R( s )= C r ( s )R( s )

(328)

U 2 ( s )= A P ( 1+ 1 s T I +s T D )Y( s )= C y ( s )Y( s )

(329)

Megfelelő megválasztásukkal (hangolásukkal) a nagy tranziensek és túllendülések elkerülhetők.

Referenciajel súlyozás
8.9. ábra - Referenciajel súlyozás


Példa 7.3

Példaként tekintsük a G= 1 (s+1) 3 átviteli függvényű rendszert, amit PID kompenzátorral szabályoztunk: A P =3; T I =2; T D =0.5 . A példában a súlyokat rendre b=0;b=0.5;b=1 és c=0 értékekre választottuk. Az ábra a b erősítés hatását mutatja.

Referenciajel súlyozás
Referenciajel súlyozás
8.10. ábra - Referenciajel súlyozás


A legkisebb túllendülést b=0 esetén értük el, ami azt jelenti, hogy a referenciajelet az arányos komponensbe nem vittük be. Növekvő b mellett a túllendülés növekszik.

8.3.3. Beavatkozó telítődése

Minden beavatkozó elemnek vannak korlátai. Ha a beavatkozó működése során telítésbe megy, akkor a rendszer nyílt hurokként működik, hiszen a beavatkozó nem tud nagyobb értéket generálni, bármit is kíván a szabályozó. Ha a szabályozó integrátort tartalmaz és az aktuátor telítésbe megy, akkor a rendszer kimenetén egyre nagyobb érték jelenik meg, azaz nagy tranziensek keletkeznek. Több módszer van a windup elkerülésére.

- Referenciajel korlátozás: Annak érdekében, hogy elkerüljük az integrátor által okozott növekvő tranziensű jeleket, a referenciajel értékét korlátozzuk. Ez a megoldás konzervatív eredményhez és gyenge minőségi tulajdonságokhoz vezet.

- Sebesség algoritmus: Az algoritmus kiszámítja az irányítójel változásának (sebességének) értékét. Abban az esetben, ha az aktuátor telítésbe ment, az integrátorra adott jelet korlátozzuk, s ezzel megakadályozzuk a tranziensek növekedését. Tulajdonképpen az irányítójel változásának értékét korlátozzuk.

- Beavatkozójel számítása: Ha az aktuátor telítésbe megy, akkor az integrál jel értékét kiszámítjuk és módosítjuk annak érdekében, hogy a kimenetének korlátozását figyelembe vegyük.

Az ábrán látható szabályozó egy további visszacsatolást tartalmaz, ami a beavatkozóra kiadott jel és a számított jel közötti különbségét alkalmazza. A két jel között egy sebességjel korlátozás van.

- Ha a nincs telítés, akkor a hibajel zérus és a visszacsatolásnak nincs hatása. Ha a jel telítésbe megy, akkor a nem zérus hibajelet a visszacsatoláson keresztül a szabályozó figyelembe veszi.

Referenciajel súlyozás
8.11. ábra - Referenciajel súlyozás


Az integrátor bemenete: 1 T t e s + K T i e, ahol e=ry a követési hiba, e s =uv a szaturációs blokk bemenete és kimenete közötti eltérés.

Az integrátor bemenete:

1 T t e s + K T i e,

(330)

ahol e a követési hiba. Állandósult állapotban az integrátor bemenetén zérus van, ezért az állandósult állapotú jel értéke e s = K T t T i e . Mivel

e s =uv,

(331)

az irányítójel értéke:

v= u lim + K T t T i e

(332)

ahol u lim az irányítójel telítési értéke. Ez azt jelenti, hogy a v jel a telítési értékre beáll és azt csak rövid ideig haladja meg. A visszacsatolásban alkalmazott T t időállandó megválasztása az integrátorra való hatás dinamikáját szabja meg.

8.3.4. Tuningolás, hangolás

A szabályozó hangolásának egyik legegyszerűbb módszere a felnyitott hurok átmeneti függvénye alapján dolgozik. PI és PID szabályozóra a hurokerősítés az I hatás kiiktatásával történik. L az úgynevezett lappangási idő (holtidő és késleltetés), míg T a felfutási idő.

Tuningolás, hangolás
8.12. ábra - Tuningolás, hangolás


Az ábráról leolvasott értékek alapján a hurokerősítés, az integrálási időállandó és a deriválási időállandó beállítható.

A P

T I

T D

P

A P T/L

0

PI

A P 0.9T/L

T I >3.3L

0

PD

A P 1.2T/L

T D <0.25L

PID

A P 1.2T/L

T I >2L

T D <0.5L

- PI szabályozásban a hurokerősítést a P szabályozáshoz képest célszerű lecsökkenteni. Ennek az oka, hogy a PI kompenzáció a 20dB/dek meredekségű szakaszt a kisfrekvenciák irányába tolja el az amplitudó görbét. A stabilitási tartalék növeléséhez emiatt a hurokerősítést célszerű kissé lecsökkenteni.

- PD és PID szabályozások esetén a hurokerősítés valamelyest növelhető a P szabályozáshoz képest. Ennek oka, hogy a PD és PID kompenzáció esetén a 20dB/dek meredekségű szakasz a nagyobb frekvenciák tartományában is folytatódik. A stabilitási tartalék még megfelelő marad, ha a hurokerősítést kissé növeljük.

A szabályozó hangolásának Ziegler-Nichols módszere a szabályozási kör belengetése alapján dolgozik. A módszer lényege, hogy a szabályozást a hurokerősítés növelésével az állandósult lengés állapotába hozzuk. A stabilitás határhelyzetében megmérjük a lengések T k periódusidejét és a beállított A k kritikus hurokerősítést. A meghatározott értékek alapján a hurokerősítés, az integrálási időállandó és a deriválási időállandó beállítható.

A P

T I

T D

P

A P 0.5 A k

0

PI

A P 0.45 A k

T I >0.8 T k

0

PID

A P 0.6 A k

T I >0.5 T k

T D <0.125 T k