9. fejezet - Irányítástervezés állapot-visszacsatolással

Tartalom
9.1. Pólusallokációs módszer

9.1. Pólusallokációs módszer

Adott egy rendszer n -dimenziós ( A,b, c T ) állapottér reprezentációja:

x ˙ =Ax+bu

y= c T x.

(333)

A rendszer karakterisztikus polinomja:

a( s )=det( sIA )= s n + a n1 s n1 ++ a 1 s+ a 0 .

(334)

Módosítsuk a rendszer dinamikáját az x( t ) állapot visszacsatolásával, azaz legyen a bemenőjel

u= k T x+r,

(335)

ahol r( t ) egy külső alap-, vagy referencia jel a k pedig az állapot visszacsatolás erősítési tényezője:

k T =[ k n1 k 0 ].

(336)

A visszacsatolt (zárt) rendszer blokkdiagramja
9.1. ábra - A visszacsatolt (zárt) rendszer blokkdiagramja


Behelyettesítve a bemenőjel alakját az állapotegyenletbe, a zárt rendszer állapotegyenlete a következő lesz:

x ˙ =( Ab k T )x+br

(337)

y= c T x,

(338)

amiből a zárt rendszer karakterisztikus egyenletére azt kapjuk, hogy

α( s )=det( sIA+b k T )= s n + α n1 s n1 ++ α 1 s+ α 0 .

(339)

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a k erősítés megfelelő megválasztásával a zárt rendszer karakterisztikus polinomja tetszőlegesen beállítható, ha az ( A,b, c T ) rendszer irányítható.

Mivel minden irányítható állapottér reprezentáció irányítható alakra hozható, tegyük fel hogy az alábbi rendszert irányítható alakra hoztuk.

x ˙ = A c x+ b c u

y= c c T x.

(340)

Ekkor a visszacsatolással módosult állapotmátrix:

A c b c k T =

=[ ( a n1 + k n1 ) ( a 1 + k 1 ) ( a 0 + k 0 ) 1 0 0 0 0 1 0 ]

(341)

A zárt rendszer karakterisztikus polinomja:

α( s )=det( sI A c + b c k T )

= s n +( a n1 + k n1 ) s n1 ++( a 1 + k 1 )s+( a 0 + k 0 ),

(342)

Ha a zárt rendszer pólusait előírjuk, akkor rögzítjük a p ¯ 1 ,, p ¯ n pólusokat, amiből az a ¯ ( s ) karakterisztikus polinom számítható:

α( s )=( s p ¯ 1 )( s p ¯ n )

= s n + α n1 s n1 ++ α 1 s+ α 0 .

(343)

Ebben a kifejezésben α i -k az állapot visszacsatolással módosított karakterisztikus polinom együtthatói. A k i , a i és α i együtthatók közötti kapcsolat:

α i = a i + k i ,    i=0,,n1.

(344)

A kompenzátor elemeinek számítása:

k i = α i a i ,    i=0,,n1.

(345)

ahol a i -k az eredeti, míg α i -k a módosított karakterisztikus polinom együtthatói.

A tervezés során tehát előbb meghatározzuk az eredeti rendszer, majd a tervezett rendszer karakterisztikus polinomját. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja:

det( sIA )= s n + a n1 s n1 ++ a 1 s+ a 0

(346)

A tervezett zárt rendszer karakterisztikus polinomja:

det( sIA+b k T )= s n + α n1 s n1 ++ α 1 s+ α 0

(347)

Az együtthatók közötti összefüggések:

a i + k i = α i

(348)

Az állapot visszacsatolás értékei:

k i = α i a i

(349)

Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy T nem szinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható. Az irányíthatósági alakban jelöljük A c és b c -vel az állapotegyenlet együtthatóit.A tervezés ebben az irányíthatósági alakban történik, ami azt jelenti, hogy a tervezés eredményeként egy olyan k c állapot-visszacsatolást tervezünk, amely az irányíthatósági állapottér reprezentációra működik.

A tervezett állapot visszacsatolt erősítőt vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére. A transzformálás összefüggése az alábbi:

k T = k c T T

(350)

A tervezési lépések a következők:

(a) Az irányíthatóság ellenőrzése. Ha a rendszer nem irányítható, akkor az állapot visszacsatolás módszere nem alkalmazható.

(b) A rendszert irányíthatósági alakra hozzuk, azaz meghatározzuk T nem szinguláris mátrixot, amely a rendszert irányíthatósági alakúra hozza.

T= (C( A,b )τ( a )) 1

(351)

Ha a rendszer eleve irányíthatósági alakban adott, akkor T mátrixot egységmátrixnak választjuk, azaz T=I .

Megjegyezzük, hogy az új állapottérbe való transzformálás tényleges elvégzésére nincs szükség, elegendő a transzformációs mátrix meghatározása.

(c) Meghatározzuk az eredeti rendszer karakterisztikus polinomját:

a= [ a n1 a 1 a 0 ] T .

(352)

Ezután meghatározzuk a tervezett rendszer karakterisztikus polinomját:

α= [ α n1 α 1 α 0 ] T .

(353)

Ezekhez a műveletekhez az eredeti rendszer A mátrixát és a szabályozott rendszertől megkövetelt új pólusokat kell felhasználni.

(d) A kompenzátor komponenseit kiszámítjuk:

k c T =[ k n1 k 1 k 0 ]

(354)

ahol k n1 = α n1 a n1 ,..., k 1 = α 1 a 1 , k 0 = α 0 a 0

(e) Meghatározzuk az eredeti rendszerre vonatkozó erősítés együtthatóit.

k T = k c T T

(355)

Az irányítójel az alábbi:

u= k n1 x 1 k 1 x n1 k 0 x n +r

(356)

Megjegyzés 8.1 A fenti lépéseket egyetlen összefüggésbe sűríthetjük:

( αa ) T = k T C( A,b )τ( a )

(357)

ahol a T= (C( A,b )τ( a )) 1 az irányíthatósági alak előállítására szolgáló transzformációs mátrix. Az állapotvisszacsatolt erősítő:

k T = ( αa ) T τ (a) 1 C (A,b) 1

(358)

Az összefüggést az állapotvisszacsatolás erősítésének meghatározására szolgáló Bass Gura formulának nevezzük.

Összefoglalás:

(a) A pólusallokációs módszer alkalmazásának feltétele:

* Az állapotvektor elemei mértek legyenek.

* Az állapottér reprezentáció teljesítse az irányíthatósági feltételt.

* A szabályozott rendszer pólusai adottak legyenek.

(b) A pólusallokációs módszer előnyei:

* A módszer végrehajtása egyszerű mátrix műveletekkel történik.

* A szabályozott rendszer stabilis.

(c) A pólusallokációs módszer hátrányai:

* Az irányítójel tetszőlegesen nagy lehet.

* A pólusok elhelyezkedése és a minőségi tulajdonságok közötti kapcsolat bonyolult, heurisztikus szabályokra és mérnöki intuíciókra hagyatkozva kell a pólusok helyét előírni.

* A szabályozott rendszer minőségi tulajdonságai az állapot-visszacsatolt erősítő megtervezése után utólagosan vizsgálandók.

Példa 8.1

Adott a

G( s )= 2s+3 s 2 +9s+20

(359)

átviteli függvénnyel jellemzett rendszer. Írja fel a rendszer állapottér reprezentációját diagonális alakban! Tervezzen az így felírt állapottér reprezentációhoz állapot-visszacsatolást a p 1 =2+i , p 2 =2i pólusokkal!

A feladat megoldása:

Diagonális alak előállítása:

G= 2s+3 s 2 +9s+20 = 2s+3 ( s+4 )( s+5 )

(360)

r 1 = lim s4 ( s+4 ) 2s+3 ( s+4 )( s+5 ) =5,

(361)

r 2 = lim s5 ( s+5 ) 2s+3 ( s+4 )( s+5 ) =7.

(362)

Vezessük be új változóként az X 1 ( s ) , X 2 ( s ) változókat, ahol

X 1 ( s )= r 1 s λ 1 U( s )= 5 s+4 U( s ),

(363)

X 2 ( s )= r 2 s λ 2 U( s )= 7 s+5 U( s )

(364)

Y( s )= X 1 ( s )+ X 2 ( s )

(365)

Az állapottér reprezentáció diagonális alakban:

[ x ˙ 1 x ˙ 2 ]=[ 4 0 0 5 ][ x 1 x 2 ]+[ 5 7 ]u

(366)

y=[ 1 1 ][ x 1 x 2 ]

(367)

Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja:

s 2 +9s+20 a 1 =9; a 0 =20

(368)

Szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja:

( s λ 1 )( s λ 2 )= s 2 +4s+5 α 1 =4; α 0 =5

(369)

Állapotvisszacsatolás erősítései: k 1 =5; k 0 =17

k c T =[ 5 15 ]

(370)

Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy T nem szinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható.

x c =Tx

ahol T= T c a transzformációs mátrix. Az állapotvisszacsatolt-erősitő összefüggése: a hasonlósági transzformáció alapján az alábbi:

k T = k c T T.

(371)

Transzformációs mátrix:

T 1 =Cτ=[ 5 25 7 28 ]

(372)

ahol

C=[ 5 20 7 35 ],τ=[ 1 9 0 1 ],

(373)

det( sIA )= s 2 +9s+20.

(374)

Transzformációs mátrix:

T= 1 35 [ 28 25 7 5 ]

(375)

Az eredeti állapottérbe transzformálva:

k T = k c T T= 1 35 [ 5 15 ][ 28 25 7 5 ]

(376)

=[ 1 1.4286 ]

(377)