11. fejezet - Megfigyelőtervezés és szeparációs elv

Tartalom
11.1. Tervezési feladat
11.2. Állapotmegfigyelő tervezése
11.3. Dinamikus állapotvisszacsatolás

11.1. Tervezési feladat

Az eddigiekben feltételeztük, hogy a rendszer állapotát mérni tudjuk. Az állapot ismerete szükséges az állapot-visszacsatolt szabályzó tervezéséhez. Ha nem ismerjük az x( t ) állapotvektort, akkor egy olyan x ^ ( t ) (azonos dimenziójú) mennyiséget képzünk, mely aszimptotikusan közelíti az eredeti állapotot, tehát

x ^ ( t )x( t )

(450)

miközben t .

Ha ismert ( A,b, c T ) akkor

x ^ ˙ ( t )=A x ^ ( t )+bu( t )

(451)

y ^ ( t )= c T x ^ ( t )

(452)

x ^ ( t ) | ( t=0 ) = x ^ 0

(453)

ahol az állapot-becslés hibája e( t )=x( t ) x ^ ( t ) minden t[ 0, ) . Az állapotbecslés hibájának időbeli változását annak differenciál egyenlete adja meg:

e ˙ ( t )= x ˙ ( t ) x ^ ˙ ( t )

(454)

Levezethető, hogy e( t ) | ( t=0 ) = e ^ 0 kezdeti értékkel egy homogén lineáris differenciál-egyenlet:

e ˙ ( t )=Ae( t ).

(455)

Vizsgáljuk az egyenlet megoldását:

s. e( s ) e 0 =Ae( s )

(456)

e( s )= (sIA) 1 e 0 1 { (sIA) 1 e 0 }

(457)

e( s )= e At e 0

(458)

Ha e 0 nem zérus, akkor az állapothiba lecseng, feltéve hogy az A mátrix stabil azaz, Re( λ i )<0 , i=1..n . és így e( t )0 miközben t .

Megjegyzés: Ha A instabil, illetve ha a tervező befolyásolni akarja az

állapothiba lecsengését, akkor visszacsatolást kell alkalmazni.

Az állapotegyenlet:

x ^ ˙ ( t )=A x ^ ( t )+bu( t )+{ y( t ) y ^ ( t ) }

(459)

ahol = [ n1 n2 0 ] T , -nek n sora van. Ekkor az állapothiba

e ˙ ( t )= x ˙ ( t ) x ^ ˙ ( t )

(460)

=( A c T )e( t ),

(461)

ha adott e( t ) | ( t=0 ) = e ^ 0 akkor e ( A c T )t e 0 . Így az A minden elemét módosítani tudjuk, és minden sajátértékét tetszőlegesen meg tudjuk választani.

11.2. Állapotmegfigyelő tervezése

A megfigyelhetőségi és az irányíthatósági alakok között a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens állapotterek:

A o = A c T ,

(462)

b o = c c ,

(463)

c o T = b c T ,

(464)

A megfigyelő tervezés adott ( A o , b o , c o T ) esetén, ismert a ¯ 0 ,  a ¯ 1 , ,  a ¯ n1 ,  mellett i = a ¯ i a i ( i=0,,( n1 ) ) megválasztásával történik.

A módosult állapotmátrix alakja a következő:

A ¯ o = A o c T =

[ a n 1 1 0 0 a n 2 0 1 0 a 0 0 0 0 ] [ n 1 n 2 0 ] [ 1 0 0 ]

(465)

A megfigyelő erősítésére vonatkozó összefüggést dualitással kapjuk, ahol elvégezzük az alábbi megfeleltetéseket:

A A T ,

(466)

b c T ,

(467)

k,

(468)

amivel ellenőrizhető, hogy C( A,b )O ( A T ,c) T .

T = k T = (αa) T τ (a) 1 O ( A T ,c) T

(469)

A dualitási elvből levezetett és a megfigyelő tervezésére vonatkozó Bass Gura formula az alábbi:

=O ( A T ,c) 1 τ (a) T ( αa )

(470)

ahol α a megfigyelő karakterisztikus egyenletének együtthatóiból képzett vektor. Az állapotmegfigyelővel ellátott körben a megfigyelő, mint dinamikus rendszer

x ^ ˙ ( t )= A o x ^ ( t )+ b o u( t )

(471)

y ^ ( t )= c o T x ^ ( t )

(472)

Állapotmegfigyelő
11.1. ábra - Állapotmegfigyelő


Példa 10.1

Tervezzen megfigyelőt az alábbi megfigyelhetőségi állapottér reprezentációban ismert rendszerre:

A o =[ 4 1 3 0 ] b o =[ 1 2 ] c o T =[ 1 0 ]

(473)

A tervezést pólusallokációs módszerrel végezze el p 1 =1 és p 2 =2 pólusokkal. Írja fel a megfigyelő állapotegyenletét! Adja meg a megfigyelő állapotegyenletének vektorát!

A feladat megoldása:

Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja:

det( sI A o )= s 2 +4s+3

a 1 =4; a 0 =3

A megfigyelt rendszer karakterisztikus polinomja:

( s λ 1 )( s λ 2 ) = ( s+1 )( s+2 )= s 2 +3s+2

a ¯ 1 =3; a ¯ 0 =2

Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinom együtthatók alapján az megfigyelő erősítései a következők: 1 =1; 0 =1

=[ 1 1 ]

(474)

Példa 10.2

Tervezzen megfigyelőt p 1 =1 és p 2 =3 pólusokkal az alábbi állapottér reprezentációban ismert rendszerre:

A c =[ 4 3 1 0 ] b c =[ 1 0 ] c c T =[ 1 2 ]

(475)

A megfigyelő tervezését az állapotvisszacsatolásnál megismert elvek alapján végezzük el. Az irányíthatósági alakból a megfigyelhetőségi alak közvetlenül megkapható:

A o =[ 4 1 3 0 ] b o =[ 1 2 ] c o T =[ 1 0 ]

(476)

A megfigyelő tervezését az A o és b o mátrixok alapján végezzük el pólusallokációs módszerrel. Vegyük észre, hogy ez a rendszer nem irányíthatósági alakú, ezért a transzformációs mátrixot meg kell határozni.

A rendszer karakterisztikus polinomja:

det( sI A c )= s 2 4s+3

(477)

a 1 =4; a 0 =3

A szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja:

( s λ 1 )( s λ 2 ) = ( s+1 )( s+3 )= s 2 +4s+3

(478)

a ¯ 1 =4; a ¯ 0 =3

Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinomok együtthatói alapján az erősítések a következők: k o T =[ 8 0 ] . Az erősítő a megfigyelhetőségi alakra alkalmazható, ezért át kell transzformálni az eredeti állapottérbe.

A transzformációs mátrix számítása:

T 1 =Cτ=[ b o A o b o ][ 1 a ¯ 1 0 1 ]

=[ 1 6 2 3 ][ 1 4 0 1 ]=[ 1 2 2 11 ]

(479)

T= adj( T 1 ) det( T 1 ) = [ 11 2 2 1 ] 15 =[ 0.7333 0.1333 0.1333 0.0667 ]

(480)

Az erősítő számítása:

k c T = k o T T=[ 5.8667 1.0667 ]

(481)

A dualitás elvét használva a megfigyelő értéke:

c = k c =[ 5.8667 1.0667 ]

(482)

11.3. Dinamikus állapotvisszacsatolás

A szabályozást a becsült állapotvisszacsatolással képezve kimenőjel visszacsatolásról beszélünk.

u( t )= k T x ^ ( t )+r( t )

(483)

Kombinált állapot visszacsatolást és megfigyelőt tartalmazó szabályozó struktúra:

Rendszer

x ˙ =Ax+bu

(484)

y= c T x

(485)

Megfigyelő

x ^ ˙ =A x ^ +bu+l( y y ^ )

(486)

y ^ = c T x ^

(487)

Irányítás:

u= k T x ^ +r

(488)

A becsült állapot dinamikája:

x ^ ˙ =A x ^ +bu+l( y y ^ )

=A x ^ b k T x ^ +br+lyl c T x ^

=( Ab k T l c T ) x ^ +ly+br

(489)

A becslés hibája: e=x x ^ ,

továbbá a hiba dinamikája: e ˙ = x ˙ x ^ ˙ .

Részletesen kifejtve:

e ˙ =( Ax+bu )[ A x ^ b k T x ^ l c T x ^ +l c T x ]

=( Al c T )x( Al c T ) x ^

=( Al c T )e

(490)

Állapotmegfigyelő
11.2. ábra - Állapotmegfigyelő


Kombináljuk ezt az egyenletet a rendszer állapot egyenletével:

[ x ˙ e ˙ ]=[ A 0 0 Al c T ][ x e ]+[ b 0 ]u

(491)

Figyelembe véve a control inputot:

u= k T x ^ +r

(492)

az állapotegyenlet:

x ˙ =Axb k T x ^ +br

=Axb k T x+b k T e+br

=( Ab k T )x+b k T e+br

(493)

Kombinált rendszer:

[ x ˙ e ˙ ]=[ Ab k T b k T 0 Al c T ][ x e ]+[ b 0 ]r

(494)

A zárt rendszer karakterisztikus polinomja:

det[ sIA+b k T b k T 0 sIA+l c T ]=

=det( sIA+b k T )det( sIA+l c T )

(495)

A szabályozott rendszer karakterisztikus egyenlete a következő két egyenlettel (és azok megoldásával) azonos:

det( sIA+b k T )=0

(496)

det( sIA+l c T )=0

(497)

Következtetés:

A szabályozott rendszer pólusai az LQ rendszer karakterisztikus egyenletének és a megfigyelő rendszer karakterisztikus egyenletének megoldásai.

Tétel 10.1 A megfigyelővel és állapot-visszacsatolt szabályzóval ellátott zárt rendszer karakterisztikus polinomja

det( sI A z )= det( sIA+b k T )  állapotvisszacsatolás det( sIA+ c T ) megfigyelő 

(498)

Következmény 10.1 Az állapot-visszacsatolt szabályzó és a megfigyelő függetlenül tervezhető. Az optimális állapot visszacsatolás és a megfigyelő tervezés egymástól függetlenül végrehajtható. A szabályozott rendszer struktúrájában az egyes tervezési eredményeket kombináljuk.

- k T megválasztásával az állapotvisszacsatolást tervezzük és a pólusokat az alábbi értékekbe helyezzük:

R e [ λ i ( Ab k T ) ]<0,i=1,2,,n

(499)

- l megfigyelő tervezésével a pólusokat a következő helyekre tesszük:

R e [ λ i ( Al c T ) ]<0,i=1,2,,n

(500)