9. fejezet - Rugalmassági modulus meghatározása interferometrikus úton
Vissza		Előre

9. fejezet - Rugalmassági modulus meghatározása interferometrikus úton

Tartalom

9.1. Történeti előzmények
9.2. Elméleti alapok
9.3. A fény hullámtermészete
9.4. A szuperpozíció elve
9.5. A fényinterferencia
9.6. A jelenség
9.7. Interferencia komparátor
9.8. Elrendezés a rugalmassági modulus meghatározásához
9.9. Befalazott tartó deformációs állapotának meghatározása
9.10. A mérés kivitelezése
9.11. Ellenőrző kérdések:
Felhasznált irodalom

9.1. Történeti előzmények

A tizenkilencedik század második felében a fizikusok érdeklődésének középpontjába került az éter elv, a műszaki feltételek és a méréstechnika fejlődése lehetővé tette, hogy a Föld éterbeli mozgásának jellemzőit mérésekkel próbálják meghatározni. Albert Michelson és Edward Morley a mai Case Western Reserve University-n 1887-ben kísérleti elrendezést épített, melynek elsődleges célja volt kimérni a Földnek az éterhez, illetve az abszolút térhez viszonyított sebességét [9.1.] . A kísérlet lelkét a Michelson által szerkesztett és kivitelezett, róla elnevezett Michelson-interferométer adta. A kísérlet maga pedig Michelson–Morley-kísérlet néven vonult be a fizika történetébe. A történethez hozzátartozik, hogy a vizsgálatot először 1881-ben Michelson egyedül végezte el, amit 1887-ben Morley segítségével megismételt.

9.1. ábra - Albert Abraham Michelson (1852 – 1931)

Egy eredeti elgondolás alapján a Michelsonról elnevezett interferométerben a forrásból kilépő fényt egymásra merőleges nyalábokra osztották egy nyalábosztó segítségével, majd ezeket a sugarakat különböző utakon bejáratva újra egyesítették, interferenciajelenséget hozva létre. A sugárutakban beállított úthosszkülönbség a felfogott interferenciaképben jelent meg. Feltételezték, hogy a Föld éterben végzett mozgása folytán az egymásra merőleges sugarak sebessége különbözik, így az interferométer elforgatásával, az úthosszkülönbségek is megváltoznak, így a felfogott interferenciában a csíkok eltolódását kellet volna megfigyelni, és a változásból akár a Föld éterhez képesti sebességét is kiszámíthatták volna.

9.2. ábra - A kísérleti elrendezés vázlata Michelson és Morley eredeti publikációjából [9.2.]

Michelson kiváló érzékű kísérleti fizikus volt, javasolt berendezése is erről árulkodik. A mérést terhelő zajok kiiktatása célából az interferométert egy betontömbre helyezte, amely higanyágyon úszott, és a könnyű elforgatást biztosító csapágyazás is biztosítva lett így. Az úthosszakat számtalan tükör és több nyalábosztó beiktatásával növelte meg. A kísérlet eredményeként semmilyen eltolódás sem volt detektálható az interferenciaképben [9.5.] . A kísérlet eredménye az éter létezésének elméletének felülvizsgálatára alapvető hatással volt és komoly lökést adott a speciális relativitáselmélet megfogalmazásának. Maga az elrendezés annyira szellemesnek bizonyult, hogy ma is az egyik legszélesebb körben alkalmazott méréstechnikai interferometrikus elrendezés.

9.2. Elméleti alapok

A hullámoptika összefüggéseivel leírható interferencia, mint jelenség már régóta

ismert, fizikai magyarázata kidolgozott. A méréstechnikai alkalmazás szintén komoly hagyományokkal rendelkezik, mint mérési módszer számtalan olyan helyen nyert alkalmazást, ahol a mérendő méretek a fény hullámhosszával vethetők össze [9.7.] , elvárt hogy a mérés gyors és érintésmentes legyen. Az indukált emisszió elvén működő lézer fényforrások újabb lehetőséget kínálnak az interferometria fejlődéséhez és széleskörű elterjedéséhez.

A alábbiakban az interferometria jelenségének hullámoptikai leírását és egy

Michelson interferométert működését tárgyaljuk, valamint egy annak segítségével megvalósítható anyagjellemzőre vonatkozó mérést ismertetünk.

9.3. A fény hullámtermészete

A hullámoptika eszköztárával, a fény hullámtermészetével értelmezhető jelenségeket tárgyaljuk. A fényt periodikus olyan hullámként értelmezzük, melyben egy vagy több fizikai mennyiség időben és térben periodikusan változik. A hullámoptikába tartozó jelenségek nagy részének magyarázatához alkalmazhatók az általános hullámtan fogalmai, törvényszerűségei.

Egy homogén, izotróp és állandó közegben az $x$ irányban haladó monokromatikus síkhullám az alábbi egyenlettel írható le:

$Ψ = A \sin [ω (t - \frac{x}{c}) + α]$

Ahol:

	$Ψ$	- az optikai hullámfiiggvény;
	$A$	- a fényhullám amplitúdója
	$ω$	- a körfrekvencia
	$t$	- az idő
	$x$	- a helykoordináta
	$α$	- a fázisállandó
	$c$	- a terjedési vagy fázissebesség

Homogén és izotróp közegben:

$c^{'} = ν λ^{'}$

vákuumban

$c = ν λ$

ahol

	$c$	- fénysebesség vákuumban
	$c^{'}$	- fénysebesség közegben
	$ν$	- a rezgésszám vagy frekvencia (független a közegtől)
	$λ, λ^{'}$	- a hullámhossz

A közeg vákuumra vonatkozó törésmutatójára érvényes, hogy

$n = \frac{c}{c^{'}} = \frac{λ}{λ^{'}}$

Érvényes továbbá, hogy

$ω = 2 π ν$

Ezek után a következő hozható:

$Ψ = A \sin [2 π (ν t - \frac{n x}{c}) + α]$

melyben az $n x$ szorzatot optikai úthossznak nevezzük.

9.4. A szuperpozíció elve

Két vagy több fényhullám együtthaladásakor vagy találkozásakor a fényhullámok szuperpozíciójának elve alapján olyan hullám jön létre, amelynek hullámfüggvénye az egyes hullámfüggvények összege [9.6.] , [9.7.] .

$Ψ = Ψ_{1} + Ψ_{2}$

A fény intenzitása, ahogy az egy általános hullám esetében is igaz, arányos az

amplitúdó négyzetével.

$I \approx A^{2}$

9.5. A fényinterferencia

Fényinterferencia lép fel két egyenlő frekvenciájú fényhullám találkozásakor, és a fényintenzitásoknak maximuma illetve minimuma van azokon a helyeken, amelyeken a két hullám közötti fáziskülönbség a $n$ -nek páros illetve páratlan számú többszöröse.

Tehát maximuma van, ha

$δ = 0, \pm 2 π, \pm 4 π ...$

és minimuma van, ha

$δ = \pm π, \pm 3 π ...$

9.6. A jelenség

Ha a tér egy adott helyén két interferenciára képes hullám találkozik, akkor a szuperpozíció elve alapján [9.7.] :

$Ψ = Ψ_{1} + Ψ_{2}$

Felhasználva a hullámfüggvényt

$Ψ_{1} = A_{1} \sin [2 π (ν t - \frac{n_{1} s_{1}}{c}) + α_{1}]$

és

$Ψ_{2} = A_{2} \sin [2 π (ν t - \frac{n_{2} s_{2}}{c}) + α_{2}]$

Behelyettesítve

$\begin{array}{l} Ψ = A_{1} \sin [2 π (ν t - \frac{n_{1} s_{1}}{c})] \cos α_{1} + A_{1} \cos [2 π (ν t - \frac{n_{1} s_{1}}{c})] \sin α_{1} + \\ + A_{2} \sin [2 π (ν t - \frac{n_{2} s_{2}}{c})] \cos α_{2} + A_{2} \cos [2 π (ν t - \frac{n_{2} s_{2}}{c})] \sin α_{2} \end{array}$

A megfelelő átalakítások után

$Ψ = \sin (2 π ν t) (A_{1} \cos α_{1}^{*} + A_{2} \cos α_{2}^{*}) + \cos (2 π ν t) (A_{1} \sin α_{1}^{* *} + A_{2} \sin α_{2}^{* *})$

Ahol

$\begin{array}{l} α_{1}^{*} = 2 π \frac{n_{1} s_{1}}{c} - α_{1} \\ α_{2}^{*} = 2 π \frac{n_{2} s_{2}}{c} - α_{2} \\ α_{1}^{* *} = 2 π \frac{n_{1} s_{1}}{c} - α_{1} \\ α_{2}^{* *} = 2 π \frac{n_{2} s_{2}}{c} - α_{2} \end{array}$

Továbbá

$\begin{array}{l} α_{1}^{*} = α_{1}^{* *} \\ α_{2}^{*} = α_{2}^{* *} \end{array}$

Mindezek alapján

$Ψ = \sin (2 π ν t) (A_{1} \cos α_{1}^{*} + A_{2} \cos α_{2}^{*}) + \cos (2 π ν t) (A_{1} \sin α_{1}^{*} + A_{2} \sin α_{2}^{*})$

Legyen

$Ψ = A [\sin (2 π ν t) \cos α + \cos (2 π ν t) \sin α]$

Ekkor

$\begin{array}{l} A_{1} \cos α_{1}^{*} + A_{2} \cos α_{2}^{*} = A \cos α \\ A_{1} \sin α_{1}^{*} + A_{2} \sin α_{2}^{*} = A \sin α \end{array}$

Négyzetre emelés, összeadás és egyszerűsítés után

$A^{2} = A_{1}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos (α_{1}^{*} - α_{2}^{*}) + A_{2}^{2}$

Ahol

$α_{1}^{*} - α_{2}^{*} = 2 π \frac{n_{1} s_{1} - n_{2} s_{2}}{λ} - (α_{1} - α_{2})$

Behelyettesítve

$A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos (2 π \frac{n_{1} s_{1} - n_{2} s_{2}}{λ} - (α_{1} - α_{2}))$

Az amplitúdó és az intenzitás közötti arányosság alapján

$I = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos ξ$

Ahol

$ξ = 2 π \frac{n_{1} s_{1} - n_{2} s_{2}}{λ} - (α_{1} - α_{2})$

A fáziskülönbség.

Két koherens forrás esetén a két fázisállandó azonos, így

$α_{1} - α_{2} = 0$

Így a fáziskülönbség időben állandó [9.8.] , [9.9.]

$ξ = 2 π \frac{n_{1} s_{1} - n_{2} s_{2}}{λ} = 2 π \frac{Δ}{λ}$

Ahol

$Δ = n_{1} s_{1} - n_{2} s_{2}$

9.7. Interferencia komparátor

Az interferencia komparátor egy Michelson típusú interferométer, mely elsősorban mérőhasábok kalibrációjára szolgál [9.7.] . Az ábrán látható, úgynevezett Kösters-típusú interferencia komparátor spektrál lámpát alkalmaz fényforrásként, melynek spektrumából monokromatikus sávot egy interferenciaszűrő vagy monokromátor választ ki. A referenciatükör mellet a másik tükör szerepét maga a vizsgált mérőhasáb tükröző felülete, illetve egy üveghasáb, melyre a mérendő mérőhasáb van feltapasztva, látja el. Mivel a mérőhasáb hossza a fény hullámhossza közötti kapcsolat miatt az üveghasábról és a mérőhasáb felületéről reflektálódó hullámok nem azonos fázisban interferálnak, az interferencia csíkok nem folytonosak. E csíkok fáziseltolódásából a hullámhossz ismeretében a mérőhasáb mérete számítható.

9.3. ábra - Interferencia komparátor sematikus vázlata [9.3.]

9.8. Elrendezés a rugalmassági modulus meghatározásához

A koherens fényforrásból (lézer) kilépő fényt egy optikai rendszer – a nyalábtágító távcső – a mérés céljaira alkalmas síkhullámokká alakítja. Az osztótükör (esetleg osztóprizma) a hullámokat osztva, azok egy részét a referenciatükörre, másik részét a rugalmassági modulusérték meghatározására kijelölt rúdra szerelt tükörre irányítja. E tükrökről visszaverődő hullámok az osztóelem túloldalán újra egyesülve interferenciajelenséget hoznak létre, mely megfelelő eszközökkel (kamera, fényképezőgép) rögzíthető.

9.4. ábra - Elrendezés a rugalmassági modulus meghatározásához

Ha a vizsgált jelű rudat, mely anyaga rugalmassági modulusának meghatározása a cél, ismert erőterhelés éri, az deformálódik, lehajlik, s vele együtt fordul a rászerelt tükör is. Ennek következtében, a nyalábosztó elem túloldalán újra egyesülő hullámok egymáshoz képesti szöge módosul úgy, hogy ez arányos a lehajlás szögével.

A rugalmassági modulus meghatározására szolgáló mérési elrendezés, baloldalt látható a He-Ne gázlézer, ami a koherens hullámok forrása, mellette a lézernyalábtágító távcső

9.5. ábra - A rugalmassági modulus meghatározására szolgáló mérési elrendezés, baloldalt látható a He-Ne gázlézer, ami a koherens hullámok forrása, mellette a lézernyalábtágító távcső

Mivel a lehajlás szöge, ami az interferenciacsíkokból meghatározható, függ a keresett rugalmassági modulustól, illetve az erőterheléstől, annak helyétől, illetve a rúd másodrendű nyomatékától, amik viszont ismertek, így a rugalmassági modulus könnyen 'meghatározható.

9.6. ábra - A megjelenítőn megfigyelhető interferencia jelenség

9.9. Befalazott tartó deformációs állapotának meghatározása

Ha egy külső erő vagy erőpár munkát végez egy tartón, akkor ezt a $W$ munkát a külső erők munkájának nevezzük. Ez a munka a tartóban $U$ belső energia formájában tárolódik. Ha a rugalmas tartót $F_{n}$ erőkből és $M_{k}$ nyomatékú erőpárokból álló egyensúlyi erőrendszer terheli, akkor a test deformálódik, tehát az erők támadáspontja elmozdul, a nyomatékok síkjai elfordulnak. Ha az $F_{i}$ erő elmozdulás vektora és ennek az erő irányába eső összetevője $f_{i}$ , akkor az erő munkája

$W_{i} = \frac{1}{2} F_{i} f_{i}$

Hasonlóan az $M_{j}$ nyomatékú erőpár munkája

$W_{j} = \frac{1}{2} M_{j} φ_{j}$

Az így meghatározható munkák szuperpozíciójával az egész – a tartót terhelő – erőrendszer munkája

$W = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} F_{i} f_{i} + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{k} M_{j} φ_{j}$

A fenti összefüggés természetesen csak akkor érvényes, ha a testre ható külső erőrendszer a terhelés folyamán egyensúlyi rendszert alkot. Ez statikailag határozott tartók esetén érvényesül, s ilyenkor a reakcióerők támadáspontjainak nincs elmozdulása, tehát azok külső munkája nullával egyenlő. Ha az $i$ -edik erő nagyságát $d F_{i}$ -vel megváltoztatjuk, akkor a külső erők munkája megváltozik és a $d F_{i}$ erőt tartalmazó rendszer munkája

$W + \frac{\partial W}{\partial F_{i}} d F_{i}$

lesz. Ha a terheletlen tartóra csak a $d F_{i}$ erőt visszük fel, akkor annak munkája

$\frac{1}{2} d F_{i} d f_{i}$

lesz. A tartóra ható terhelések munkája $W$ és a $d F_{i}$ erő munkája pedig

$f_{i} d F_{i} .$

Mivel ezen erő támadáspontjának elmozdulása $f_{i}$ , így

$W + f_{i} d F_{i} = W + \frac{\partial W}{\partial F_{i}} d F_{i}$

Ebből felírható a Castigliano tétel, mely szerint [9.4.]

$f_{i} = \frac{\partial W}{\partial F_{i}}$

illetve hasonló gondolatmenet alapján

$φ_{j} = \frac{\partial W}{\partial M_{j}}$

Tekintsük a következő statikailag határozott koncentrált erővel terhelt befalazott tartót.

9.7. ábra - A befalazott tartó modellje

A tartóra ható külső erők munkája

$W = \frac{1}{2 I E} \int_{0}^{1} M^{2} (x) d x$

Alkalmazva a fentebb levezetett Castigliano tételt

$φ = {[\frac{\partial W}{\partial M_{0}}]}_{M_{0} = 0} = \frac{1}{I E} \int_{0}^{1} M^{2} \frac{\partial M (x)}{\partial M_{0}} (x) d x$

ahol

$M (x) = M_{0} + F_{0} x$

és

$\frac{\partial M (x)}{\partial M_{0}} = 1$

Behelyettesítve és a műveleteket elvégezve

$φ = \frac{l}{I E} [M_{0} + F_{0} \frac{l}{2}]$

Ha $M_{0} = 0$ , akkor

$φ = \frac{F l^{2}}{2 I E}$

9.8. ábra - A tartó keresztmetszete

Ha a tartó téglalap keresztmetszetű, akkor a vízszintes tengelyére vett inerciájára érvényes

$I_{x} = \int y^{2} d A = \int_{0}^{a} d x \int_{0}^{b} y^{2} d y = \frac{a b^{3}}{3}$

A Steiner tétel alapján [9.4.]

$I_{x} = I_{u} - A t^{2}$

tehát

$I_{x} = \frac{a b^{3}}{12}$

9.10. A mérés kivitelezése

A lézeres forrás bekapcsolása, a hullámfront és az interferenciajelenség beállítása után különböző terhelések mellett mérjük a megjelenítőn az interferenciacsíkok paramétereit, például periódushosszukat. Minden egyes terhelési állapothoz tartozó valóságos interferenciacsík mérethez meghatározható a forrás hullámhossza alapján az interferáló hullámfrontok egymáshoz képesti szöge, amiből számítható a tartóra szerelt tükör szöghelyzete is. A különböző terhelési állapotok közötti erőterhelés különbség hatására fellépő tartólehajlás szögkülönbségek arányából a másodrendű nyomaték és a koncentrált erő helye alapján számítható a rugalmassági modulus.

9.11. Ellenőrző kérdések:

Mi volt a Michelson–Morley-kísérlet célja?
A Michelson–Morley-kísérlet eredményeként semmilyen eltolódás sem volt detektálható az interferenciaképben. Milyen következtetés vonható le ebből?
Hogyan épül fel a Michelson típusú interferométer?
Két vagy több fényhullám együtthaladásakor vagy találkozásakor a fényhullámok egymásrahatását a szuperpozíciójának elve írja le. Mit mond ki az az elv?
Hogyan működik és mire használható az interferencia komparátor?
Hogyan működik a rugalmassági modulus meghatározására szolgáló elrendezés?
Mi a lézer szerepe a mérési elrendezésben?
A különböző terhelési állapotok közötti erőterhelés különbség hatására fellépő tartólehajlás szögkülönbségek arányából a másodrendű nyomaték és a koncentrált erő helye alapján hogyan számítható a rugalmassági modulus?

Felhasznált irodalom

[9.1.] Horváth , Dezső. Elképesztő kísérletek és elméletek a fizikában. Fizikai Szemle. 201. o. 2012/06..

[9.2.] Michelson , Albert A. és Morley , Edward W.. Ont he Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether . American Journal of Science. No. 203., VOL. XXXIV.. pp. 333-345. 1887.

[9.3.] Leinweber , P.. Hosszméréstechnikai zsebkönyv. Műszaki Könyvkiadó. Budapest . 1960.

[9.4.] Muttnyánszky , Á.. Szilárdságtan. Tankönyvkiadó. 1964.

[9.5.] Gamow , G. és Cleveland , J. M.. Fizika. Gondolat Kiadó. 1977.

[9.6.] Budó , Á. és Mátrai , T.. Kísérleti fizika III. Tankönyvkiadó. 1977.

[9.7.] Bevezetés a modern optikába. 4. köt.. Richter , Péter.. Műegyetemi Kiadó. 1998.

[9.8.] Hariharan , P.. Basics of Interferometry. Academic Press. 2006.

[9.9.] Nussbaum , A. és Phillips , R.A.. Modern optika mérnököknek és kutatóknak. Műszaki Könyvkiadó. 1982.

Vissza		Előre
8. fejezet - Lézerek orvosi alkalmazása	Főoldal	10. fejezet - Az emberi test adatainak mérése