5. fejezet - Az állapotegyenlet megoldása idő és operátor tartományban

Tartalom
5.1. Megoldás idő tartományban sorfejtéssel
5.2. Megoldás operátor tartományban a kezdeti érték probléma figyelembe vételével

A matematikai modellek felírását követően, a teljesség kedvéért bemutatjuk az állapotegyenlet megoldását idő- és operátor tartományban. E jegyzet terjedelme nem teszi lehetővé, hogy minden egyes mintapéldán elvégezzük ezeket a befejező lépéseket, de a kiválasztott, egyenes vonalú mozgást végző, másodrendű mechanikai rendszer alkalmas az állapotegyenletek megoldásának bemutatására.

A feladat egyszerű, és gyakori a gépészetben, hiszen a passzív rezgéscsillapító legegyszerűbb változatát modellezi. Azt, hogy a rezgéscsillapítás problémakörének egyetlen kis szelete mit jelent a valóságban, egy későbbi fejezetben módunk lesz részletesen megismerni.

Passzív rezgéscsillapító egyszerű modellje
5.1. ábra - Passzív rezgéscsillapító egyszerű modellje


Az „m” tömeget egy „Kelvin-modell”, azaz egy valós, veszteséges rugó támasztja alá. Kétféle gerjesztés modellezi a valóságos folyamatokat: Erőgerjesztés, és a talaj (födém) sebesség gerjesztése. A példában a talaj sebességét egyenlővé tettük a referenciával, feltételezve annak teljes nyugalmi állapotát. A gráf mutatja, hogy a modell által „sugallt”, soros rendszer helyett egy párhuzamossal van dolgunk, hiszen a tömeg csak a referenciára vonatkoztatható.

A gráf alapján felírt csomóponti egyenlet alkalmas az állapottér modell megalkotására.

f m + f b + f k f = 0 m v ˙ + b v + f k = f

A két energiatároló meghatározza az állapotjelzőket, amelyek ebben az esetben „kanonikus” állapotjelzők [3.1.]:

x _ = [ v f k ] T

A főegyenlet az állapotjelzők alkalmazásával az alábbi formát ölti:

x ˙ _ = [ b m 1 m k 0 ] x _ + [ 1 m 0 ] f

Az alábbiakban az állapotegyenlet megoldására, az állapotváltozók időbeli lefolyásának meghatározására két utat mutatunk be. Az egyik út az időtartományban szemlélteti a lépéseket, a másik az operátor tartományban, ahonnan inverz Laplace transzformáció révén jutunk újra az időtartományba.

A műszaki gyakorlatban ezt a feladatot – lineáris esetben – a másodikként említett „kerülő úton”, az operátor tartományt igénybe véve szokás megoldani. A teljesség kedvéért azonban bemutatjuk az időtartománybeli megoldás folyamatát is, világossá téve, hogy még egy egyszerűnek mondható feladat esetében is milyen vesződségesen járható az „egyenes” út.

A feladatban annyi egyszerűsítést hajtunk végre, hogy a csillapítást kiiktatjuk a rendszerből. ha ezt nem tennénk, a megoldást rendkívül megnehezítené a periodikus és aperiodikus sorozat elemek szétválasztása.

5.1. Megoldás idő tartományban sorfejtéssel

Első lépésben emlékeztetünk arra, hogy egy változó esetében miként kapjuk időtartományban a megoldást.

Kiindulás az egyváltozós elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenlet:

T d x d t + x = 1 a d x d t + x = 0 d x d t = a x d x x = a d t

Az x(t) megoldáshoz integrálni kell mindkét oldalt, majd az „lnx” függvényt x-re kifejezni:

1 x d x = a d t ln x = a t + C x ( t ) = e ( a t + C ) = e C e a t = x 0 e t T

A fenti megoldás műszaki értelmezésében az integrálásból származó „C” konstans az x(t) függvény kezdeti értékének meghatározására szolgálhat.

Kihangsúlyozzuk, hogy az időfüggvények helyes megadásához nélkülözhetetlenek a jobboldali kezdeti értékek. Ha ezek nem állnak rendelkezésre, mert csak a baloldali, un. kiindulási értékek ismertek, akkor a kezdeti értékeket bizonyos gerjesztés típusok esetén ki kell számítani. A műszaki gyakorlatban általánosan elfogadható, hogy a kiindulási és a kezdeti értékek megegyeznek, hiszen a valóságban t(0-) és t(0+) „időtartam” alatt nem tudunk egy valós rendszer állapotjelzőinek feltöltöttségén változtatni. Más kérdés, hogy elméletben a Dirac-impulzus révén létrejövő x(0+) érték kiszámítható. A kérdéssel, Fodor György [3.1.]útmutatása alapján, részletesen foglalkozunk a 6.3. szakasz fejezetben.

Az egyváltozós differenciálegyenletre kapott megoldás analógiájaként az állapotegyenlet homogén megoldása a következő formájú lesz:

x _ ( t ) = e A _ _ t x _ ( 0 + )

A fenti exponenciális függvény ebben az alakjában a „reménytelen esetek” kategóriájába tartozik. Az exponenciális mátrix helyett, a „használható” formában való alkalmazást a Taylor sorfejtés teszi lehetővé. Ennek segítségével az exponenciális mátrixot végtelen hatványsorrá lehet átalakítani.

e A _ _ t = I _ _ + A _ _ t 1 ! + A _ _ 2 t 2 2 ! + A _ _ 3 t 3 3 ! + ... + A _ _ n t n n !

Ugyanakkor sajnálatos dolog, de hatványsorból csak kellően nagy gyakorlattal lehetséges a megfelelő harmonikus és aperiodikus összetevők szétválasztása. Ezért jeleztük már korábban, hogy a modellben a csillapítási tényezőt nullának választjuk, és így kapott sor csak periodikus függvényhez tartozó elemeket fog tartalmazni. A befektetendő munka mennyisége könnyen elképzelhető, ha a feladatunkban megadott 2x2-es mátrixnál nagyobbakat kell hatványozni.

Ezen a helyen érdemes megjegyeznünk, hogy az állapotszabályozások esetében döntően fontos irányíthatósági feltétel hipermátrixában ugyancsak az alapmátrix hatványai jelennek meg, ennek oka a Taylor sorban rejlik. Ez természetes, hiszen az irányíthatóság esetében azt vizsgáljuk, hogy a bemenetek segítségével (a hatványsor szorzója „ B _ _ ”) lehetséges-e az állapotjelzőket megadott kezdeti értékről tetszőleges értékre vezérelni, miközben figyelembe vesszük a rendszer dinamikai tulajdonságait is. A dinamikai tulajdonságok pedig éppen az „ A _ _ ” rendszermátrixba vannak „bekódolva”.

Q _ _ I = [ B _ _ A _ _ B _ _ A _ _ 2 B _ _ ... A _ _ n 1 B _ _ ]

Az eredeti feladat rendszermátrixában zérussá tesszük a „b” csillapítási tényezőt, és ezzel átalakul a mátrix is, amint azt a jobboldali mátrixnál látjuk:

A _ _ = [ b m 1 m k 0 ] A _ _ = [ 0 1 m k 0 ]

A sorozat felírásához szükséges mátrix hatványozást az alábbiakban mutatjuk be:

A _ _ 2 = [ 0 1 m k 0 ] [ 0 1 m k 0 ] = [ k m 0 0 k m ]

valamint

A _ _ 3 = [ k m 0 0 k m ] [ 0 1 m k 0 ] = [ 0 k m 2 k m 2 0 ]

illetve

A _ _ 4 = [ 0 k m 2 k m 2 0 ] [ 0 1 m k 0 ] = [ k 2 m 2 0 0 k 2 m 2 ]

és

A _ _ 5 = [ k 2 m 2 0 0 k 2 m 2 ] [ 0 1 m k 0 ] = [ 0 k 2 m 3 k 3 m 2 0 ]

A kiszámított együtthatókkal már felírható a négy hatványsor első néhány tagja, amiből azonban már következtetni lehet a sor által helyettesített függvényre.

Φ _ _ ( t ) = [ 1 k m t 2 2 + ( k m ) 2 t 4 24 ... 1 m t + k m 2 t 3 6 k 2 m 3 t 5 120 + ... k t k 2 m t 3 6 + k 3 m 2 t 5 120 ... 1 k m t 2 2 + ( k m ) 2 t 4 24 ... ]

A mátrix Φ12 elemének sorozatából kiemelhető 1 / m k , a Φ21 elemének sorozatából pedig m k .

Tekintettel arra, hogy az átalakítás nem egyszerű, néhány fontos lépését bemutatjuk. Ismeretes, hogy a csillapítatlan rendszer rezonancia körfrekvenciája a következő módon definiált: α = k m .

A Φ12 elemet alkotó sorozatot úgy kell átalakítani, hogy a sorozat minden tagjában megjelenjék az „α” érték a „t” változónak megfelelő hatványon. Ha a hatványsort beszorozzuk α-val, és kiemeljük a 1 m 1 α = 1 m m k = 1 m k szorzatot, akkor a Φ12 elemet alkotó sorozat az alábbi formájú lesz:

Φ 12 = 1 m k ( α t α 3 t 3 6 + α 5 t 5 120 ... )

Hasonlóképpen járunk el a Φ21 elemben található sorozattal is, de itt a kiemelés k 1 α = k m k = m k formát ölt:

Φ 21 = m k ( α t α 3 t 3 6 + α 5 t 5 120 ... )

A kiemelés után felismerhető, hogy a mellékátló mindkét sorozata sinus, míg a főátló sorozatai cosinus függvény tagjait alkotják. Ezzel megkaptuk az alapmátrixot, vagy rezolvens mátrixot idő tartományban:

Φ _ _ ( t ) = [ cos k m t 1 m k sin k m t m k sin k m t cos k m t ]

Az időtartománybeli megoldást az alapmátrix segítségével és a kezdeti értékek ismeretében kapjuk. Ez a megoldás a differenciálegyenlet- rendszer homogén megoldásait tartalmazza:

x _ ( t ) = Φ _ _ ( t t 0 ) x _ ( t 0 )

Egyszerűség kedvéért kezdődjön a vizsgálat t 0 = 0 + időpillanatban (azaz zérus kiindulási értékekkel), és így az alábbi formát kapjuk:

x _ ( t ) = Φ _ _ ( t ) x _ ( 0 + )

A kijelölt mátrix-vektor műveleteket kifejtve látható lesz az állapotjelzők időbeli viselkedése, ha a vizsgálatot a jobboldali kezdeti értékekről indítjuk:

v ( t ) = v ( 0 + ) cos k m t f k ( 0 + ) 1 m k sin k m t

és

f k ( t ) = v ( 0 + ) m k sin k m t + f k ( 0 + ) cos k m t

Az eredményt a szokásos módon dimenzió ellenőrzésnek vetjük alá, és megállapíthatjuk, hogy az eredmény helyes.

5.2. Megoldás operátor tartományban a kezdeti érték probléma figyelembe vételével

Nézzük ezek után, hogyan kell eljárni, ha az állapotjelzők időfüggvényét a Laplace transzformáció alkalmazásával határozzuk meg.

Az állapottér modell főegyenletének homogén részét Laplace transzformáljuk, és megfelelő átrendezés után kapjuk a megoldást. A deriválás Laplace transzformációs tétele tartalmazza az x _ ( 0 ) kiindulási értéket. A későbbiekben látjuk majd, hogy éppen ez a tétel teszi lehetővé a kezdeti értékek „automatikus” meghatározását a transzformáció alkalmazása révén [3.1.].

x ˙ _ = A _ _ x _ a z a z s X _ ( s ) x _ ( 0 ) = A _ _ X _ i n n e n s X _ A _ _ X _ = x _ ( 0 )

Ügyelni kell a mátrix-vektor műveletek sorrendjére, mert a sorrend nem felcserélhető.

[ s E _ _ A _ _ ] X _ = x _ ( 0 ) a z a z X _ ( s ) = [ s E _ _ A _ _ ] 1 x _ ( 0 ) = Φ _ _ ( s ) x _ ( 0 )

A szakirodalomban az [ s E _ _ A _ _ ] 1 inverz mátrixot gyakran „alapmátrixnak” nevezik, és Φ _ _ ( s ) -vel jelölik. Szerepe a dinamikai tulajdonságok leírásában igen jelentős, mert a nevezője a gyököket (pólusokat) meghatározó karakterisztikus polinom. Amikor az állapottér modell (ÁTM) rendszermátrixát vizsgáltuk, megjegyeztük, hogy a stabilitás egyik feltétele a főátló elemeinek negatív előjele. Íme, a magyarázat az állításra, ami az [ s E _ _ A _ _ ] kifejezésben rejlik. A rendszermátrix negatív előjelet kap, és így, az operátorral megszorzott egységmátrixból kivont, negatív előjelű főátló elemek mind pozitív előjelűek lesznek (lásd lejjebb, a példán). A Hurwitz stabilitási kritérium alapján ismert, hogy karakterisztikus polinom stabil esetben nem tartalmazhat nullánál kisebb együtthatót.

A feladat már ismert rendszermátrixával elvégezzük az első kijelölt műveletet:

s E _ _ A _ _ = [ s 0 0 s ] [ 0 1 m k 0 ] = [ s 1 m k s ]

A következő lépésben invertáljuk a kapott mátrixot! Ehhez meg kell határozni az adjungáltját és a determinánsát:

a d j [ s E _ _ A _ _ ] = [ s 1 m k s ]

det [ s E _ _ A _ _ ] = det [ s 1 m k s ] = s 2 + k m

Ezekkel az inverz mátrix, és tulajdonképpen az állapotjelzők operátortérbeli függvényei is adottak. A keresett időtartománybeli alakhoz már csupán végre kell hajtani az inverz Laplace transzformációt.

X _ ( s ) = 1 s 2 + k m [ s 1 m k s ] x _ ( 0 )

tehát

V ( s ) = s s 2 + k m v ( 0 ) 1 m 1 s 2 + k m f k ( 0 )

Inverz Laplace transzformálás után a következő időfüggvényt kapjuk:

v ( t ) = v ( 0 ) cos k m t f k ( 0 ) 1 m m k sin k m t a z a z v ( t ) = v ( 0 ) cos k m t f k ( 0 ) 1 m k sin k m t

Látható, hogy a „kerülő út” használata ugyanazt az eredményt hozta, de lényegesen egyszerűbben. Ismételten le kell szögezni, hogy csillapított rendszer esetében – tehát, ha „b” nem zérus - az időtartományban az jelentene nagy gondot, hogy két sorozat szorzatának tagjaiból kellene szétválogatni, visszaállítani a harmonikus és az aperiodikus sor tagjait.

A másik állapotjelzővel is hasonlóan járunk el:

F k ( s ) = k 1 s 2 + k m v ( 0 ) + s s 2 + k m f k ( 0 )

Végül a visszatranszformálás után ugyanazt a függvényt kapjuk, mint a sorfejtéssel:

f k ( t ) = v ( 0 ) m k sin k m t + f k ( 0 ) cos k m t

A magyarázatot a kezdeti érték és a kiindulási érték közötti különbségre Fodor György többször idézett művében [3.1.]találjuk.

Láttuk, hogy a Laplace transzformáció alkalmazásával lényegesen egyszerűbben jutunk eredményhez. Fodor György a Laplace transzformáció további előnyeként mutatja be, hogy a transzformáció mintegy „automatikusan” előállítja az időtartománybeli megoldáshoz szükséges t(0+) kezdeti feltételeket is, elegendő a kiindulási értékeket ismerni.