6. fejezet - Mérőjelek idő és frekvencia tartományban

Tartalom
6.1. Jelek és felosztásuk
6.1.1. Periodikus jelek
6.1.2. Nem periodikus (tranziens) jelek
6.1.3. Diszkrét jelek
6.1.4. Folytonos sztochasztikus jelek
6.2. A Fourier sortól a Fourier és a Laplace transzformációig
6.3. A Fourier sor komplex alakja
6.4. A Hilbert transzformáció
6.5. Diszkrét Fourier transzformáció (DFT)
Irodalmak

A jeleket azért kell idő és frekvencia tartományban ábrázolni és értelmezni, mert mindkét tartománybeli kép más-más információt közöl. Ha a mérési hibákat formájuk szerint vizsgáljuk (Ld.: Hibák rendszerezését a 3. fejezet fejezetben: Eredet- jelleg – forma), akkor a mérőlánc tagjait és magát a teljes mérőláncot minősíthetjük átviteli tulajdonságaik alapján is, nevezetesen aszerint, hogy idő tartományban és frekvencia tartományban milyen hibákkal képesek „átvinni” a jeleket.

A legfontosabb jeltípus a harmonikus , azaz „tisztán” szinuszos jel, mert ez minden jeltípus „építőköve”. A harmonikus jel, idő tartományban, három információ segítségével tetszőleges időpillanatban rekonstruálható: Ismerni kell az „A” amplitúdót, az „ω0” körfrekvenciát és a „φ(t=0)” értéket. E háromból kettő különösen fontos szerepet játszik: az amplitúdó és a körfrekvencia. A frekvencia tartományban ugyanezt a harmonikus jelet úgy ábrázoljuk, hogy az amplitúdó (további formák: amplitúdó négyzet, komplex amplitúdó sűrűség, teljesítmény sűrűség) a körfrekvencia függvénye. Az amplitúdó és a fázis körfrekvenciától való függését nevezik spektrumnak . Ezt a kapcsolatot mutatja a következő ábra. A jobboldalon a harmonikus jel „A” nagyságú amplitúdója ω0 körfrekvenciánál egy spektrális „vonal”.

Harmonikus jel idő és frekvencia tartományban
6.1. ábra - Harmonikus jel idő és frekvencia tartományban


A spektrumot a Fourier transzformáció segítségével lehet meghatározni, ha a Dirichlet feltétel teljesül. A problémára a 6.1.2. szakasz fejezetben, a „Heaviside” függvény kapcsán visszatérünk.

A Fourier sor és a Fourier transzformáció közötti kapcsolat

 

F ( ω k ) = 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j ω k t d t

(6.1)

 

f ( t ) = k = F ( ω k ) e j ω k t

(6.2)

Egy tetszőleges, periodikus jel spektrum formái
6.2. ábra - Egy tetszőleges, periodikus jel spektrum formái


Az ábra részletes magyarázatával a 6.3. szakasz fejezetben szolgálunk, ezen a helyen csak a spektrum képének és formáinak érzékeltetése a cél.

Idő tartományban a lappangási idő, felfutási idő, beállási idő, időállandó, dinamikus hiba, tranziens hiba és az állandósult hiba jellemzik a műszerek, mérőláncok jelátviteli tulajdonságait. Frekvencia tartományban a jel spektrumának (vagy a spektrum legfontosabb összetevőinek) lehetőség szerint hibátlan átvitelét kell biztosítani a mérőeszközeinkkel.

Az időben változó mennyiségek mérése tehát azért igényes feladat, mert a mérendő mennyiség nagyságának előzetes (à priori) ismeretén kívül ismerni kell a mérendő mennyiség időbeli lefolyását is - legalább hozzávetőleges formában - hogy olyan mérőláncot tudjunk összeállítani, amely az adott jel rekonstruálásához elengedhetetlenül fontos harmonikus összetevők amplitúdóit minimális hibával képes átvinni.

6.1. Jelek és felosztásuk

A jel időben (esetenként térben) változó fizikai, kémiai, biokémiai folyamat. A jel hordozza a hírt, amely időben (és térben) korlátozott jel. A híradástechnikában a hír által „átvitt” információ mennyisége alatt a korábban meglévő ismerethiány (bizonytalanság) nagyságát értik, amelyet a hír megszüntetett.

A jelek idő és frekvencia tartományban történő elemzése előtt elengedhetetlen a jelek rendszerező bemutatása, annál is inkább, mert más fejezetben már jeleztük, hogy minden jeltípus alapvető építőköve a harmonikus jel, amelyet a következő táblázatban pirossal emeltünk ki.

A jelek felosztása
6.3. ábra - A jelek felosztása


A következőkben tömören összefoglaljuk a táblázatban látható fogalmak leírását, felülről lefelé haladó sorrendben.

Ha a determinisztikus jel pillanatnyi értéke t0 időpillanatban ismert, akkor értéke t0+Δt időpillanatban matematikai összefüggés segítségével meghatározható. A sztochasztikus jelek pillanatnyi értéke előre nem határozható meg, mert amplitúdója, frekvenciája és fázisa véletlen változó. Nagy szerepe van e jeltípusnak a gépészetben, a rezgés és akusztikai mérések esetében. Ezeket a véletlenszerű jeleket stacionárius sztochasztikus jeleknek tekintjük, és méréük során megfelelő „ablakozással” mintákat „vágunk” ki belőlük. Stacionárius sztochasztikus a jel, ha a sokaság szerinti momentumai idő-invariánsak (ti.: átlag és szórás a mérés pontossági előírásainak szempontjából lényeges mértékben nem ingadozik). Ergodikus a stacionárius sztochasztikus jel, ha időtartománybeli momentumai egyenlőek a sokaságszerinti momentumaikkal. Az ergodikus sztochasztikus jel jövőbeli alakjára a „múltbeli” jelek csak a jelenbeli állapoton keresztül gyakorolhatnak hatást. Az ergodikus sztochasztikus jelet ezért egyetlen, megfelelően választott időhosszúságú minta értékelésével lehet analizálni. A nem ergodikus, de stacionárius sztochasztikus jelet tetszőleges időpontokban vett „n” db pillanatnyi érték alapján lehet megismerni.

Az analóg jelre jellemző, hogy két szélsőérték – pl. ±15 V – között minden lehetséges jelszint előfordulhat. A diszkrét jelek csak meghatározott szinten és/vagy meghatározott időpillanatban vehetnek fel értékeket. A szint szerinti beosztást amplitúdó kvantálásnak, az idő szerinti beosztást idő kvantálásnak, gyakrabban mintavételezésnek nevezik. A periodikus jel pillanatnyi értéke meghatározott idő (periódusidő) eltelte után újra megjelenik. A harmonikus jel minden jeltípus építőköve, ezért van a táblázatban piros színnel jelölve. Az általános periodikus jel lehet bármilyen bonyolult időbeli lefutású, de olyan szabályosságot mutat, hogy esetében a periódusidő értelmezhető. Egyszerűbb esetben ilyen például egy fűrészfog, vagy egy folytonos négyszögjel. A kétoldalasan határolt jelekhez sorolhatjuk a változatos lefutású, impulzus formájú jeleket, így ide tartozik a fontos tesztfüggvény, a Dirac impulzus (régebbi nevén: egység lökés jel) is. Az egyoldalasan határolt jelek közül legfontosabb az egységugrás jel, amellyel a műszereket, rendszereket gerjesztve, kimenetükön az átmeneti függvényt kapjuk válaszként.

A bonyolultabb jelek többsége előállítható a fenti csoportosításban szereplő jeltípusok kombinációjaként.

A jelek frekvencia tartománybeli alakjának meghatározására alkalmazzuk a Fourier analízist. Ez a matematikai fogalmat a Fourier sorfejtésre és a Fourier transzformációra egyaránt alkalmazzák, sőt a mérnöki gyakorlatban a frekvencia analizátorokkal végzett műveleteket is ide sorolják.

A Fourier sor és a Fourier transzformáció áttekintő bemutatása megkönnyíti az a táblázat, amit összefoglalásként a következőkben bemutatunk.

A Fourier analízis összefoglaló bemutatása
6.4. ábra - A Fourier analízis összefoglaló bemutatása


A táblázatban legalul látható „sztochasztikus” jel alatt ergodikus sztochatikus jelet kell érteni, és nyilakkal jelöltük, hogy az egyes jeltípusokból milyen matematikai eljárással lehet az adott jeltípus spektrumát meghatározni. Különleges helyet foglalnak el azok a függvények, amelyek esetében nem teljesül a Dirichlet feltétel. Egy példát látunk erre a típusra, a „Heaviside” függvényt, régebbi nevén egységugrás függvényt. Az integrálási határok, vagy egyéb okok miatt nem integrálható függvények Fourier transzformálása nem közönséges feladat. A szakirodalomban, így például R. Unbehauen Systemanalyse 1. [6.1.] című művében több ilyen típusú függvény transzformálását mutatja be.

6.1.1. Periodikus jelek

A folytonos és kvázi folytonos periodikus jelek Fourier sorba fejthetők trigonometrikus és komplex formában, így tehát meghatározhatók a Fourier-együtthatók . Ha ezeket a Fourier együtthatókat grafikusan ábrázoljuk, a spektrum ot kapjuk. A Fourier sor spektruma valós együtthatókat tartalmaz. A függőleges tengely az együttható nagyságának, a vízszintes tengely a kiszámított körfrekvencia (frekvencia) értékének ábrázolását teszi lehetővé, így egy frekvencia-amplitúdó összefüggés szemléltetésére nyílik mód. Egy diszkrét (kör)frekvenciához húzott függőleges vonal magassága az amplitúdó. Ha viszont a teljesítmény spektrumot számítottunk ki, vagy erre van szükség, akkor a függőleges tengelyt természetesen a teljesítményre kell léptékezni.

A nehézkes és hosszadalmas sorfejtés helyett, ezek a jelek Fourier transzformálhatók is, ebben az esetben eredményül a komplex amplitúdó sűrűség spektrumot kapjuk, itt már, amint a neve is mutatja, komplex lesz a spektrum.

Hasznos gyakorlati tudnivaló, hogy a frekvencia analízis műszaki eszközei (real-time analizátor, FFT analizátor) által megjelenített, mért spektrumok ettől az elméleti függvényábrázolástól eltérnek. A grafikus kép vagy különböző magasságú keskeny oszlopokat mutat, vagy olyan függvényt, amely egy, vagy több, „sátorra” emlékeztető fel-és lefutású, és kiemelkedő csúcsokban végződő formával bír. Ez utóbbi forma folytonos függvény, és alakja műszaki okra vezethető vissza. Technikailag nem lehetséges olyan sávszűrők létrehozása, amelyek szelektivitása egy adott sáv mindkét oldalán „végtelen” meredekséget lehetővé tenne, ezért a szomszédos frekvencia sávokhoz tartozó összetevők – ha elnyomva is – de megjelennek a vizsgált sávban is. Ezért nem keskeny vonal, hanem csúcsban végződő, „sátorszerű” egy spektrális összetevő képi megjelenítése. Az analóg szűrés gyakorlati ismereteivel és a szűrő karakterisztikákkal foglalkozik a 7. fejezet fejezet.

6.1.2. Nem periodikus (tranziens) jelek

A nem periodikus jelek közül azok, amelyek kétoldalasan határoltak , és teljesítik a Dirichlet-féle feltételt, Fourier transzformálhatóak. Ilyen jelek a méréstechnikai gyakorlatban a négyszög vagy egyéb formájú impulzusok, és az impulzus-szerűen korlátozott periodikus jelek. A négyszög impulzus Fourier transzformáltjának kiszámítását a 3.4.4. szakasz fejezetben láthattuk. A jellegzetes impulzus-szerű jelek időbeli és frekvencia tartománybeli alakjának összehasonlító bemutatása a 6.2. szakasz fejezetben látható.

Méréstechnikában fontos szerepük miatt kiemelten kell foglalkozni az egyoldalasan határolt jelek közül azokkal, amelyeken nem lehet integrál-transzformációt (Fourier transzformáció) végrehajtani, amelyek nem abszolút, vagy négyzetesen integrálhatóak (Dirichlet-feltétel). Ilyen például az egység ugrás függvény. Újabban magyar szakkönyvekben is a „Heaviside” függvény elnevezést alkalmazzák erre a speciális, és a mérés-és híradástechnikában nagy szerepet játszó függvényre, amellyel egy bekapcsolása matematikailag szimulálható.

A függvény Fourier transzformáltja annak ellenére létezik, hogy a szabályok szerint nem lehetne alkalmazni a függvény transzformációt. Sokféle módon tárgyalja a megoldást a szakirodalom, de abban megegyeznek, hogy az eredeti időfüggvényt két részre bontják, egy időben konstans ½ értékű függvényre, és egy szignum függvényre, amelynek szintje ±½.

A Heaviside függvény felbontása
6.5. ábra - A Heaviside függvény felbontása


A Fourier transzformáció szabályai szerint az egységnyi, időben konstans jel transzformáltja egy 2π nagyságú impulzus az ω=0 helyen. Ha ez a jel csak ½ értékű, akkor a linearitási szabály miatt a transzformáltja π·δ(ω) lesz, továbbá a két időbeli függvényt külön-külön lehet transzformálni.

A szignum függvény sem integrálható, csak improprius integrálként. Többek mellett R. Unbehauen a Systemtechnik 1. című munkájában [6.1.] foglalkozik a „Heaviside” függvény Fourier transzformálásával, és a jel két részre bontása után a szignum függvény transzformálását a következők szerint mutatja:

 

F ( j ω ) = lim T T T sgn t e j ω t d t = 2 j lim T 0 T sin ω t d t

(6.3)

F(ω=0)=0. Ha ω nem zérus, akkor a fenti integrál a következő eredményt adja:

 

F ( j ω ) = 2 j ω 2 j ω lim T cos ( ω T )

(6.4)

A második tag határértéke disztribúciós elmélet szerint zérus, így a szignum függvény Fourier transzformáltja az alábbi lesz:

 

F ( j ω ) = { 0 h a ω = 0 2 j ω h a ω 0

(6.5)

A két részre bontott Heaviside függvény Fourier transzformáltja, figyelembe véve az ½-es szorzókat, végül a következő alakú lesz:

 

H ( t ) π δ ( ω ) + 1 j ω

(6.6)

A spektrum imaginárius része ω=0 helyen eltűnik, és itt a reális rész „π” nagyságú Dirac impulzus lesz. Ez természetes, hiszen ismert, hogy az f(t)=1 konstans időfüggvény Fourier transzformáltja ω=0 helyen „2π” nagyságú Dirac impulzusként van definiálva.

A spektrum imaginárius része ugyanakkor folytonos, tehát az 1/x-jellegű függvény alatti terület „ki van töltve” harmonikus összetevőkkel.

A Heaviside-függvény komplex spektruma
6.6. ábra - A Heaviside-függvény komplex spektruma


Ha Heaviside függvényt megszorozzuk egy e-σt konvergens függvénnyel, akkor megváltozik a transzformáció „törzsfüggvénye”, és a Fourier transzformáció e-jωt törzsfüggvényéből e-σt·e-jωt=e-st törzsfüggvény lesz, ami viszont már egy másik, nevezetesen a Laplace transzformáció törzsfüggvénye, és ahol s=σ±jω.

A Laplace transzformáció eredményeként azonban nem a spektrum valamilyen formáját, hanem a jel operátor (s) tartománybeli alakját kapjuk. Erről részletesen írunk a 6.2. szakasz fejezetben.

6.1.3. Diszkrét jelek

Az időben diszkrét (mintavételezett) jel , vagy más néven impulzus sorozat Fourier transzformálható, és eredményül a komplex amplitúdó sűrűség spektrumot kapjuk. A mintavételezett jel amplitúdósűrűség-spektruma a mintavételezés frekvenciájával periodikus. A hibákkal foglalkozó 3. fejezet fejezetben részletesen elemeztük a mintavételezésből származó hibákat. Itt csak emlékeztetnénk arra, hogy ha a mintavételezés frekvenciája kisebb, vagy egyenlő, mint az eredeti, nem mintavételezett jelben még éppen megtalálható legnagyobb harmonikus összetevő frekvenciájának kétszerese, akkor ez a periodikus amplitúdó sűrűség spektrum eltorzul, az átvitt jel nagy hibával lesz terhelt. A Shannon által adott mintavételezési szabály kimondja, hogy a mintavételezés frekvenciája legyen nagyobb, mint a jelben megtalálható, maximális frekvenciájú összetevő frekvenciájának kétszerese. Ez az elmélet, a méréstechnikai gyakorlatban ajánlatos a tízszeres szorzó alkalmazása .

A mintavételezés folyamatának elméleti hátterét foglalja össze a következő három ábra.

Először azt látjuk, hogy az „x(t)” (szakaszosan) folytonos analóg jel időbeli „kvantálása”, azaz mintavételezése eredményeként „nT” időpillanatokban megjelenik egy-egy Dirac impulzus, amelynek magassága a mintavételezett jel aktuális értéke nT időpillanatban.

A mintavételezés folyamatának matematikai modellje
6.7. ábra - A mintavételezés folyamatának matematikai modellje


A műveletet elektronikus áramkörrel valósítják meg, ennek elvi képét látjuk a (6.8. ábra) ábrán. A mintavételezett jelet, a diagram függőleges tengelyén látható módon megkülönböztetjük az eredeti analóg jeltől: x*(t)=x(nT). Az impulzus sorozat spektruma lényegesen különbözik az eredeti analóg jel spektrumától. Amíg annak vonalas, diszkrét spektruma van, addig az impulzus sorozaté folytonos és periodikus. Ezt már bemutattuk a 3. fejezet fejezetben, a mintavételezés hibáival kapcsolatos részben.

Mintavételező áramkör elvi képe
6.8. ábra - Mintavételező áramkör elvi képe


Az impulzus sorozat csak akkor helyettesítheti az eredeti függvényt, ha a mintavétel kellően sűrű, és az egyes Dirac impulzusok közötti „tér” ki van töltve. ezért az impulzus sorozatot egy speciális átviteli egységen kell átengedni, hogy annak kimenetén az eredeti analóg jel legjobb közelítését kaphassuk. Ebben a fejezetben később lesz szó a Laplace transzformáció műszaki alkalmazásairól. Egy ilyen ragyogó alkalmazási példa azon átviteli egység megtervezése, amely a Dirac impulzus aktuális értékét előírt ideig „tartani” képes. Tudott a Laplace transzformáció szabályai alapján, hogy a bemeneti jel Laplace transzformáltjának és az átviteli tag (egység) átviteli függvényének szorzata a kimeneti jel Laplace transzformáltját adja. Tudjuk, hogy a kimenő jel ideálisan egy függőleges téglalap, amelynek magassága a mintavételezett jel, szélessége pedig a minta tartásának ideje. Ez a függvény idő tartományban két Heaviside (egységugrás) függvénnyel valósítható meg. Az egyik egy normál egységugrás, amely nT időpillanatba van eltolva, a másik egy olyan egységugrás, amelyik (n+1)T időpillanatig eltolt, de éppen negatív előjelű. A két függvény összege éppen kiadja a keresett szélességű impulzust, ha összegüket megszorozzuk a mintavételezett jel aktuális értékével. Ez az időfüggvény az ábrán, jobb oldalon látható:

 

x ( t ) = n = 0 x ( n T ) [ 1 ( t n T ) 1 ( t ( n + 1 ) T ]

(6.7)

A megfelelő átviteli tag átviteli függvényének szintéziséhez (meghatározásához) szükség van ennek a kimeneti függvénynek a Laplace transzformáltjára. Ismeretes az is a speciális jelekkel foglalkozó disztribúciós elméletből, hogy az egységugrás (Heaviside) függvény a Dirac impulzus integrálásával jön létre. A Dirac impulzus Laplace transzformáltja közismerten „1”, ezt külön nem érzékeljük a kifejezésben, de a kimenő jelben lennie kell integrálásnak is. A következő Laplace transzformált függvényben felismerjük a bemenő jel nT időpillanatban vett értékét „x(nT)”, azt, hogy integráljuk a Dirac impulzust, és azt, hogy az integrálás útján kapott két egységugrás jelet két különálló, párhuzamos „úton” kell átvezetnünk, mielőtt előjelhelyes összegzésük megtörténik. Tehát az egyik ágon nT, a másik ágon ellentétes előjellel és (n+1)T idővel eltolva kell átereszteni, majd összegezni:

 

X k i ( s ) = n = 0 x ( n T ) 1 s e s n T ( 1 e s ( n + 1 ) T )

(6.8)

A kimenő jel Laplace transzformáltjában szerencsésen elkülöníthető egymástól a keresett átviteli tag átviteli függvénye és a bemenő jel Laplace transzformáltja, ami az ábrán, baloldalon legalul is látható. A bemenő jel Laplace transzformáltja könnyen meghatározható az impulzus sorozatból:

 

X b e = n = 0 x ( n T ) e s n T

(6.9)

Ebből következik, hogy a keresett átviteli függvény, amely integrál és két „úton” vezeti át a jelet, csak az alábbi lehet:

 

G ( s ) = 1 s e s n T s = 1 s ( 1 e s n T ) = 1 e s n T s

(6.10)

Az átviteli függvény alapján szintetizálható a keresett átviteli egység, amelyet a szakirodalom „nulladrendű tartótagként” ismer. Nulladrendű, mert a tartás alatt nem változik a jel szintje. Létezik elsőrendű tartótag is, ez további integráló elemet is tartalmaz, a tartási idő alatt a minta értékét integrálja, és így közelíti az analóg jelet.

A nulladrendű tartótag tömbvázlatos kapcsolása a következő ábrán látható.

Mintavételezést követő „értéktartás” nulladrendű tartótaggal
6.9. ábra - Mintavételezést követő „értéktartás” nulladrendű tartótaggal


6.1.4. Folytonos sztochasztikus jelek

A sztochasztikus jelek – minthogy ezekre éppen az jellemző, hogy semmilyen részletükben nem periodikusak – közvetlenül nem Fourier transzformálhatóak. Erre a jeltípusra az jellemző, hogy amplitúdója, frekvenciája (frekvencia összetevői és ezek fázisa) véletlenszerűen változik. Éppen ezért ez a jeltípus csak statisztikai jellemzőivel, írható le. Ilyenek lehetnek a jelszintek statisztikai eloszlásának típusa, továbbá a „kvantilisek”, mint pl. a tapasztalati szórás és az átlag. A mérendő mennyiség valószínűség számítási aspektusból ebben az esetben folytonos változó, a valószínűséggel kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat a 4. fejezet fejezetben foglaltuk össze. Ha az ezen a helyen a leírtakkal kapcsolatban kérdések merülnek fel, célszerű az említett fejezetben a kérdéses fogalmat megkeresni.

A téma tömör leírását többek között Fodor Gy. Lineáris rendszerek analízise című könyvében [6.2.] találhatjuk meg.

Egy sztochasztikus jelszint megjelenésének valószínűsége az f(x) valószínűségsűrűség-függvénnyel írható le. Ez azt mutatja meg, hogy egy „x” jelszint mekkora valószínűséggel fordul elő az „xi” és az „xi +Δx” tartományban:

A P(x) valószínűséget, az f(x) sűrűségfüggvényt és az F(x) eloszlásfüggvényt a szokásos módon kell értelmezni:

 

f ( x i ) = lim Δ x 0 P [ x i x x i + Δ x ] Δ x = d F ( x i ) d x i

(6.11)

Az elektronika eszközeivel, a komparálás révén, könnyen mérhető, hogy egy adott jel mikor halad meg egy bizonyos jelszintet, pontosabban azt, hogy a jel mennyi ideig „tartózkodik” egy megadott értéksávban.

Éppen ezért a fenti egyenlet ergodikus folyamatoknál átalakítható idő alapra:

 

P [ x i x x i + Δ x ] = lim Δ x 0 Δ t i T

(6.12)

Az ábrán az „x” jelszint ingadozását a lineáris átlagra vonatkoztatva vizsgáljuk. A sűrűségfüggvény azt mutatja, hogy a jel átlagértékéhez képest milyen a (jelszintek) amplitúdók eloszlása.

Sztochasztikus jel
6.10. ábra - Sztochasztikus jel


Ezzel a műszaki mérések szempontjából igazán lényeges ergodikus sztochasztikus jel sűrűségfüggvénye is megadható:

 

f ( x ) = lim Δ x 0 T 1 T i = 1 Δ t i Δ x

(6.13)

A sztochasztikus jelek sűrűségfüggvénye elvben sokféle lehet, a gyakorlati tapasztalatok mégis azt mutatják, hogy a Gauss-féle normál eloszlás modellezi ezt a jeltípust a legjobban.

A normál eloszlás tehát arra vonatkozik, hogy a jel átlagértékéhez viszonyított aktuális amplitúdók (jelszintek) mennyi időt „tartózkodnak” egy adott Δx szintsávban, a teljes „T” vizsgálati időre vonatkoztatva. A következő ábrán az előző ábrán látható sztochasztikus jelet használtuk fel, és belerajzoltuk a valószínűség sűrűség függvényét és a hozzá tartozó tengelyeket.

Normál jelszint-eloszlású sztochasztikus jel
6.11. ábra - Normál jelszint-eloszlású sztochasztikus jel


A sztochasztikus jel spektruma folytonos, és, ha kellő mértékben „lapos”, akkor keskenysávú szűréssel jól analizálható. Ez a méréstechnikai oldal. Elméletben a sztochasztikus jel spektruma Fourier transzformációval közvetlenül nem határozható meg, csak két lépésben.

Közvetett lépésként létre kell hozni az autókorrelációs függvényüket .

Az auto-korrelátor elvi vázlata
6.12. ábra - Az auto-korrelátor elvi vázlata


A Ψxx(τ) autókorrelációs függvény ideális sztochasztikus jel esetében kizárólag τ=0 időbeli eltolás esetében ad nullától eltérő eredményt. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy a jel négyzetét képezzük, tehát eljutottunk a jel teljesítményhez .

A sztochasztikus jel autókorrelációs függvénye ideálisan impulzus formájú, tehát csak akkor kapunk eredményt, ha a jelet eltolás nélkül önmagával szorozzuk. Ez az impulzus alakú autokorrelációs függvény ψxx(ω) azután természetesen már Fourier transzformálható, és eredményül a teljesítménysűrűség-spektrumot Sxx(ω) kapjuk.

 

S x x ( ω ) = Ψ x x ( τ ) e j ω τ d τ

(6.14)

Az eljárás a szakirodalomban Wiener-Hincsin tételként ismeretes, és segítségével az érzékeltethető, hogy a jel teljesítménye miként oszlik meg adott sávszélességre vonatkoztatva:

 

S x x ( ω ) = d P j e l d ω

(6.15)

6.2. A Fourier sortól a Fourier és a Laplace transzformációig

A Fourier és a Laplace transzformációk a függvény transzformációk csoportjába tartoznak, közöttük szoros a kapcsolat. A Laplace transzformáció a Fourier transzformáció ismeretében már megérthető.

A kulcs tehát a Fourier transzformációban rejlik, ennek elfogadásához egy gépész, vagy egy mechatronikus esetében, meglátásunk szerint, a Fourier sorból célszerű kiindulunk. Annál is inkább, mert tudománytörténeti tény, hogy a tudósok mechanikai rezgéstani és hőtani problémák megoldására kerestek megoldásokat, és ez vezetett a Fourier-féle leíráshoz.

A matematikatörténettel foglalkozó irodalomban előkelő helyet foglal el a Fourier-sorok elméletének kialakulása. Az elmélet létrejöttében két fizikai probléma játszott főszerepet: a rezgő húr problémája, és a hővezetés egyenlete.

Három vezető matematikus, d'Alembert, Bernoulli és Euler között az 1700-as évek végén vita folyt egy mechanikai probléma, a két végpontjában rögzített, kifeszített rugalmas húr rezgésének matematikai leírásáról. Meg is született a probléma egy mai szemmel nézve is korrekt megoldása, de ez nem vált széles körben elfogadottá. Nem törődve a kor kételyeivel Joseph Fourier francia matematikus az 1800-as évek elején igen sikeresen alkalmazta a három matematikus által kidolgozott, illetve vitatott eljárást a hő terjedésének matematikai leírására.

Egy 1822-ben megjelent művében Fourier azt elemezte, hogy a környezetétől elszigetelt rúd belsejében zajló hőmérséklet-változást hogyan írhatjuk le. A felvetés szerint a hő csak a rúdban áramlik; a rúd és a környezete között nem.

A matematikusok, beleértve korunk matematikusait is, rengeteg átgondolnivalót kaptak a Fourier-analízissel kapcsolatban. Akadnak még mindig nyitott kérdések, elméleti problémák. Ugyanakkor különösképpen a mérés-és híradástechnika számára a gyakorlati alkalmazásokban jól felhasználható módszerek, technikák jöttek létre.

A Fourier-sorokkal kapcsolatban már a kezdet kezdetén is számos kérdés vetődött fel, s ezek alapvetően megszabták az elméleti kutatások irányát. Dirichlet 1829-ben bebizonyította, hogy szakaszonként monoton függvények trigonometrikus Fourier-sora előállítja a függvényt. Ezzel igazolást nyert, hogy egy fontos függvényosztály elemei rekonstruálhatók Fourier-együtthatóikból, ha a végtelen sor összegét a szokásos módon, vagyis a részletösszegek sorozatának határértékeként határozzuk meg.

A trigonometrikus Fourier-együtthatók kiszámítását az a felismerés tette lehetővé, hogy a trigonometrikus rendszer bármely két különböző tagjának szorzatintegrálja nulla. Ha két függvény szorzatának integrálját a két függvény skaláris szorzatának tekintjük, akkor az imént említett tulajdonság azt jelenti, hogy ezek a függvények páronként merőlegesek (ortogonálisak) egymásra, ortogonális rendszert alkotnak. A függvény Fourier-sora pedig felfogható egy így létrejött végtelen dimenziós koordináta-rendszerben való megjelenítésnek. Ezen szemléletből kiindulva kezdték el vizsgálni a skaláris szorzattal ellátott vektortereket, és ezek fontos osztályát David Hilbert német matematikusról „Hilbert tereknek” nevezték el.

Hilbert a trigonometrikus rendszer szerinti Fourier-szintézis problémáival összefüggésben további elméleti kérdéseket vetett fel, többek között a Fourier-sor konvergenciájával kapcsolatosakat is.

Ahogy már említettük, a Fourier analízis a méréstechnikában alapvető fontosságú, mert a megfelelő átviteli tulajdonságokkal rendelkező technikai mérőláncot a vizsgált jel spektrumához kell illeszteni. Kérdés mi az elméleti háttere a jelek harmonikus összetevői, amplitúdó, vagy teljesítmény spektruma meghatározásának?

Az f(t) periodikus, állandó amplitúdójú jel harmonikus összetevőkre bontható, azaz elméletileg végtelen számú, különböző amplitúdójú és frekvenciájú szinusz és koszinusz jelek összegeként írható fel.

 

f ( t ) = A 0 + k = 1 ( A k cos k ω t + B k sin k ω t )

(6.16)

Az Ak és Bk együtthatókat a következő módon határozzuk meg:

 

A 0 = a 0 2 = 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) d t A k = 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) cos ( k ω t ) d t B k = 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) sin ( k ω t ) d t

(6.17)

Az Ak és Bk együtthatók meghatározása igen hosszadalmas, még akkor is, ha egy adott feladatban, a gyakorlatban nincsen szükség minden (végtelen számú) együtthatóra, csak bizonyos számú összetevő kiszámítására. Ezen kívül bonyodalmat jelenthet a trigonometrikus függvények és az adott f(x) jel szorzatának integrálása is.

Ez a probléma küszöbölhető ki azzal, hogy a trigonometrikus függvények helyett komplex exponenciális függvényeket alkalmazunk. Így csak egyetlen, C k együttható marad, ami azonban komplex, tehát most már nem a spektrum együtthatóiról, hanem komplex amplitúdó spektrumról beszélünk. A trigonometrikus függvények helyére az Euler-formula segítségével komplex exponenciális függvények írhatók.

A fentiek miatt a mérés-és híradástechnikában a Fourier analízis nem trigonometrikus függvényekkel, hanem forgó vektorok – „fazorok” segítségével történik. Ezért az első mozzanat, hogy bemutatjuk a kétdimenziós komplex vektort a komplex síkon, és ennek kapcsolódását a trigonometrikus alakokhoz.

 

F = a + j b a = | F | cos ϕ b = | F | sin ϕ | F | = a 2 + b 2 ϕ = A r c t g b a

(6.18)

 

F = | F | ( cos ϕ + j sin ϕ ) = | F | e j ϕ

(6.19)

A komplex vektor (fazor) ábrázolása, a szokásoshoz képest 90 fokkal pozitív irányba elforgatva
6.13. ábra - A komplex vektor (fazor) ábrázolása, a szokásoshoz képest 90 fokkal pozitív irányba elforgatva


 

cos k ω t = e j k ω t + e j k ω t 2 ; sin k ω t = e j k ω t e j k ω t 2 j ; e ± j k ω t = cos k ω t ± j sin k ω t

(6.20)

Az Euler formulák szemléltetése céljából egy általános „cos” időfüggvényt ábrázoltunk két formában a következő ábrán:

Egy általános, „ϕ” fázistolású cos függvény időbeli alakja és komplex formája
6.14. ábra - Egy általános, „ϕ” fázistolású cos függvény időbeli alakja és komplex formája


A fenti ábrán egy általános cos függvény időbeli és komplex alakját látjuk. A jel „A” amplitúdójú és „φ” fázistolású. Az ábrán a függvény t=0 időpillanatbeli értékéhez tartozó vektor piros színnel van jelölve. A jel Euler formula szerinti átírása az alábbi módon történt:

 

f ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) = A 2 ( e j ω t + j ϕ + e j ω t j ϕ )

(66.21)

Behelyettesítve az exponenciális alakot a trigonometrikus formába a Fourier sor komplex alakjához jutunk:

 

f ( t ) = A 0 + k = 1 ( A k e j k ω t + e j k ω t 2 + B k e j k ω t e j k ω t 2 j ) = A 0 + k = 1 ( A k e j k ω t + e j k ω t 2 j B k e j k ω t e j k ω t 2 )

(6.22)

A két exponenciális függvény összevonása, és az átrendezés után kétféle komplex együtthatót kapunk, ezek Ak és Bk:

 

f ( t ) = A 0 + k = 1 ( A k j B k 2 e j k ω t + A k + j B k 2 e j k ω t )

(6.23)

A cél az, hogy ezt a summát egy kompaktabb, és egyszerűbben számítható alakra hozzuk. Ehhez azonban egy megállapodás is szükséges:

Amint igaz az, hogy -(-1)=1, ugyanúgy legyen –k=k’, azaz –k’=k, ahol k’=-1,-2,-3,…

E megállapodás a Fourier együtthatók előjeleire nézve következményekkel jár:

 

A k ' = 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) cos ( k ' ω t ) d t = 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) cos ( k ' ω t ) d t = A k '

(6.24)

 

(páros függvény)

 
 

B k ' = 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) sin ( k ' ω t ) d t = 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) sin ( k ' ω t ) d t = B k '

(6.25)

 

(páratlan függvény)

Behelyettesítve, és az A 0 együtthatót is befoglalva, továbbá felhasználva, hogy –k=k’, két lépésben olyan alakhoz jutunk, amely lehetővé teszi az összevonást:

 

f ( t ) = k = 0 A k j B k 2 e j k ω t + k ' = 0 A k ' + j B k ' 2 e j k ' ω t

(6.26)

 

f ( t ) = k = 0 A k j B k 2 e j k ω t + k ' = 0 A k ' j B k ' 2 e j k ' ω t

(6.27)

Most már lehetséges egyszerűbb formában is felírni a komplex Fourier sort:

 

f ( t ) = k = A k j B k 2 e j k ω t = k = C k e j k ω t

(6.28)

Megjelenik viszont ezzel egy időben egy műszaki szemszögből bizarrnak tűnő jelenség is, ez a negatív körfrekvencia . Ilyen frekvenciák a valóságban természetesen nem léteznek, de bevezetésükért cserében, a kétféle, és elméletben végtelen sok együttható helyett, csupán egyféle, a Ck (persze ugyancsak végtelen sok) kiszámítására van szükség.

Mihez kezdünk azonban a negatív körfrekvenciákkal? Ezek bizonyos, numerikus úton meghatározott komplex amplitúdó spektrumok esetében úgy jelennek meg grafikus formában, hogy a zérus körfrekvenciára szimmetrikusan, kétoldalasan láthatók az együtthatók a körfrekvencia tengely mentén. Ilyen esetben nincs más teendő, mint bal oldali összetevőket a jobb oldali, pozitív körfrekvenciákhoz tartozó együtthatókhoz hozzáadni, és készen van a „műszakilag értelmezhető” spektrum.

A Ck komplex együtthatók kiszámításához ugyancsak felhasználjuk az Euler-formulákat.

 

C k = A k j B k 2 = 1 2 [ 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) cos ( k ω t ) d t j 2 T T / 2 T / 2 f ( t ) sin ( k ω t ) d t ]

(6.29)

 

C k = 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t + e j k ω t 2 d t j 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t e j k ω t 2 j d t

(6.30)

 

C k = 1 2 T [ T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t d t + T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t d t T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t d t + j 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t d t ]

(6.31)

 

C k = 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t d t

(6.32)

A C k komplex mennyiségek tehát a komplex Fourier sor együtthatóinak felelnek meg.

A periodikus jelek spektruma a k=1,2,3,… egész értékek miatt un. „vonalas” spektrum, más néven diszkrét spektrum.

Egy ilyen, képzeletbeli periodikus jel vonalas komplex spektrumát mutatja a 6.16. ábra ábra, három dimenzióban, érdemes a szemléletesség kedvéért „hátrább lapozni”. Adott körfrekvencián megjelenő komplex együttható valós és képzetes részre bontható. A legtöbb spektrum ábrázolás azonban nem 3D-s, hanem az együttható abszolút értékét mutatják a megfelelő körfrekvenciáknál: |F(ω)|.

A Fourier sor komplex alakjára és az ennek felírásához szükséges C k komplex együtthatókra különleges jelentőségük miatt a 6.3. szakasz fejezetben még visszatérünk. Ha ugyanis a C k együtthatók komplexek, akkor vektorként is felfoghatók, amint azt a (6.16. ábra) ábrán láthatjuk.

A Fourier transzformációhoz vezető úton azonban itt még nem állhatunk meg. Eddig ugyanis csak periodikus, vagy szakaszosan periodikus jelek sorát tudtuk meghatározni. A technikai jelek világában azonban nem csak összetett periodikus, hanem egy-és kétoldalasan határolt jelek is előfordulnak. Olyan nem periodikus jeleknek (függvények), amelyek teljesítik a Dirichlet-feltételt, tehát abszolút, vagy négyzetesen integrálhatóak nem a Fourier együtthatóit, hanem a Fourier transzformáltját határozzuk meg.

C k felhasználásával – és az amplitúdó sűrűség spektrum c(ω) bevezetésével - jön létre a Fourier transzformáció.

Bevezetjük elsőször is a diszkrét körfrekvenciákon megjelenő együtthatók helyett az amplitúdó sűrűség fogalmát. Ez alatt a Δω sávszélességre eső Ck együtthatókat kell érteni:

 

c ( ω ) = C k Δ ω k   és   Δ ω k = Δ ( k ω ) = Δ k 2 π T = 2 π T

  mert   Δ k = 1

(6.33)

Ha most Δωk helyére behelyettesítjük a 2π/T összefüggést, akkor a T→∞kiterjesztés révén, az impulzus-szerű, időben határolt, nem periodikus függvények is bevonhatók a vizsgálatba azzal, hogy ezek a függvényeket T→∞ időtartamban „legalább egyszer periodikusnak” tekintjük. Ck helyére a kiszámításához korábban meghatározott összefüggést helyettesítjük be.

 

c ( ω ) = lim T C k Δ ω k = lim T C k T 2 π = lim T T 2 π 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j ω t d t

(6.34)

A „T” periódusidő tehát eltűnik az összefüggésből, és átrendezés után kapjuk a komplex amplitúdó sűrűség spektrumot, aminek jelölése F(ω).

 

F ( ω ) = 2 π c ( ω ) = f ( t ) e j ω t d t

(6.35)

A Fourier transzformáció tehát minden olyan függvényre alkalmazható, amelyekre teljesül a Dirichlet feltétel, azaz általános periodikus és időben kétoldalasan határolt jelekre is.

A fejezet (6.5. ábra) ábráján látható Heaviside-függvény, és a hozzá hasonló, önmagában nem integrálható függvények Fourier transzformálása komoly apparátust igénylő matematikai feladat. A szakirodalomban található Fourier transzformációs táblázatok a gyakorlatban sokszor előforduló, továbbá jó néhány „kritikus” függvény transzformáltját tartalmazzák.

Már csupán az utolsó lépés hiányzik ahhoz, hogy a Laplace transzformációhoz eljussunk. A (6.4. ábra) ábrán látható táblázatos összefoglalásban az egységugrás, azaz Heaviside függvényt beszoroztuk egy olyan exponenciális függvénnyel, amely a kritikus egyoldalasan határolt, és nem integrálható függvényt konvergenssé teszi. Ez a függvény e-σt lesz, ahol |σ| egy zérustól eltérő, bármilyen kis szám.

 

F ( σ ± j ω ) = f ( t ) e j ω t e σ t d t = f ( t ) e ( σ ± j ω ) t d t F ( s ) = f ( t ) e s t d t

(6.36)

A fenti összefüggésben „s” a Laplace-operátor . Az f(t) időfüggvényt a transzformáció segítségével az operátor tartományba képezzük le, és az F(s) racionális törtfüggvényt kapjuk eredményül. A mérnöki gyakorlatban a Laplace transzformáció nélkülözhetetlen szerepet játszik a lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása során, valamint a mérés-és műszertechnikában az átviteli függvények meghatározásában, az amplitúdó és fázismenet kiszámításában. Erre látunk fontos gyakorlati példát egy másodrendű műszer dinamikai vizsgálatánál, a 3.4.3. szakasz fejezetben.

Befejezésül egy összefoglaló táblázatban mutatjuk be a legfontosabb jeltípusok Fourier együtthatóinak, illetve Fourier transzformáltjainak jellemző képeit. Az időben folytonos jelek spektruma vonalas (diszkrét), az időben kétoldalasan határolt jeleké pedig folytonos.

Determinált jelek Fourier összetevői
6.15. ábra - Determinált jelek Fourier összetevői


A táblázat csak a jelek felosztása során megjelenő, determinált jeltípusokat mutatja. A szakirodalomban közölt táblázatokban megtaláljuk valamennyi fontos időfüggvény Fourier transzformált alakjait.

6.3. A Fourier sor komplex alakja

Levezettük a Fourier sor trigonometrikus alakjából, hogy az Euler formula segítségével a Fourier sor komplex alakja tömörebben felírható:

 

f ( t ) = k = A k j B k 2 e j k ω t = k = C k e j k ω t

(6.37)

 

C k = 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t d t

(6.38)

A levezetésben a jelölések logikája világos: A trigonometrikus alak Ak és Bk együtthatóiból a komplex alakban Ck lesz.

A továbbiakban az egyszerűség kedvéért, és a (6.16. ábra) ábrán látható jelöléssel összhangban az időbeli jelet f(t)-vel és ennek Fourier transzformáltját F(ω)-val jelöljük. Ennek szellemében a komplex Fourier együtthatókat az alábbi általános jelölésekkel kapjuk:

 

C k ( ω ) = F k ( ω ) = 1 T T / 2 T / 2 f ( t ) e j k ω t d t

(6.39)

ahol a (6.16. ábra) ábrán ωk=kω1, azaz az alap harmonikus k-szorosa.

A Méréstechnika című [1.1.] elektronikus jegyzetben egy páratlan periodikus függvény Fourier sorfejtésének példáján megmutattuk, miként tűnnek el bizonyos összetevők együtthatói az integrálás eredményeként a sorból.

Ezt a jelenséget a komplex együtthatók és a komplex síkban forgó vektorok segítségével általános formában is le lehet írni.

Láttuk korábban, hogy az általános periodikus időfüggvény egy tetszőleges harmonikus (k-adik) összetevője két ellentétese forgó vektor összegeként, az alábbi formában írható fel:

 

a k ( t ) = A k cos ( k ω t + ϕ k ) = A k 2 ( e j k ω t + j ϕ k + e ( j k ω t + j ϕ k ) )

(6.40)

Ha az f(t) függvény tartalmaz egy olyan komponenst, mint a fenti egyenlet, akkor a komplex Fourier együttható kiszámításánál az alábbiakat tapasztalhatjuk:

 

F k ( ω ) = 1 T T / 2 T / 2 A k 2 ( e j k ω t + j ϕ k + e ( j k ω t + j ϕ k ) ) e j k ω t d t F k ( ω ) = A k 2 T T / 2 T / 2 e j k ω t e j ϕ k e j k ω t d t + A k 2 T T / 2 T / 2 e j k ω t e j ϕ k e j k ω t d t

(6.41)

Látjuk, hogy az adott integrálási határok miatt az első tag megmarad, mert a két komplex exponenciális függvény kompenzálja egymást, míg a második tag, tekintettel arra, hogy az

e-jkωt szorzó koszinusz és szinusz függvényekre bontható, tehát

 

e ± j k ω t = cos k ω t ± j sin k ω t

(6.42)

a teljes periódusra vett integráljuk zérust fog eredményezni, bármilyen függvény is álljon szorzandóként előttük. Ezért tehát az alábbi eredmény kapjuk:

 

F k ( ω ) = A k 2 T e j ϕ k T / 2 T / 2 d t = A k e j ϕ k 2 T t | T ! / 2 T / 2 = A k e j ϕ k 2 T [ T 2 ( T 2 ) ] = A k 2 e j ϕ k

(6.43)

Az Fk(ω) együttható értéke tehát az integrálás elvégzése után egy „kimerevített” (nem forgó) Ak/2 nagyságú, φk fázishelyzetű komplex vektor.

Az is látható a részletesen bemutatott integrálásból, hogy eltűnnek azok az együtthatók is, amelyek nem egész számú többszörösei az alap harmonikusnak, hiszen ezekben az esetekben az első tagban sem kompenzálják egymást a komplex exponenciális függvények.

A komplex Fourier sor tehát valóban az alábbi általános alakban írható fel:

 

f ( t ) = k = F k e j k ω t = k = F ( ω k ) e j k ω t

(6.44)

A komplex együtthatók képe a (6.16. ábra) ábrán látható, és korábban már jeleztük, hogy a probléma részletes bemutatására sor fog kerülni.

A komplex együtthatók meghatározásából két fontos következtetést kell levonni.

Az egyiket már említettük, nevezetesen azt, hogy a sorozatban csak az alap harmonikus egész számú többszörösei jelennek meg.

A másik az, hogy a valós fizikai jelek komplex együtthatókkal történő leírása esetében minden pozitív körfrekvenciájú együttható kell rendelkezzen egy negatív körfrekvenciájú párral is, hiszen azt láttuk a (6.13. ábra) ábrán, hogy az „A” amplitúdójú jel két A/2 amplitúdójú vektoriális összetevőre volt bontható.

Az általános periodikus jel (6.16. ábra) ábrán látható spektrumán igyekeztünk érzékeltetni azt is, hogy a pozitív körfrekvenciákhoz tartozó komplex együtthatók konjugált komplexei a negatív körfrekvenciákhoz tartozó együtthatóknak. Másként a két együttható összege nem adhatna ki reális eredményt, de így a konjugált komplex imaginárius részek kompenzálják egymást. A két reális együttható nagysága külön-külön Ak/2, tehát összegük kiadja a k-adik harmonikus Ak amplitúdóját.

Ennek viszont nagyon fontos általános következménye van, amit az alábbiak szerint lehet megfogalmazni:

 

F ( ω k ) = F ( ω k ) F ( ω ) = F ( ω )

(6.45)

ahol F* az F konjugált komplexe.

Ezt az összefüggést a Hilbert transzformáció ismertetése során is fel fogjuk használni.

A gyakorlatban két féle spektrális ábrázolás létezik. Az egyiken csak a pozitív körfrekvenciákhoz tartozó Ak együtthatókat látjuk, míg a másikon zérus körfrekvenciára szimmetrikusan, a pozitív és negatív körfrekvenciákhoz tartozó Ak/2 együtthatókat. Ezt láttuk a 6.15. ábra ábra összefoglaló táblázatában, a négyszögrezgés spektrumán.

A komplex Fourier együtthatók, illetve a Fourier transzformált szemléltetésére iktattuk be a már többszörösen is hivatkozott, következő, azaz 6.16. ábra ábrát.

(Néhány igen szemléletes ábra ötletét átrajzolva és némileg módosítva, a Brüel & Kjaer műszergyártó cég 1977-ben megjelent kézikönyvéből vettünk át [6.3.] . A hasznos kézikönyv a frekvencia analizátor műszerek felhasználói számára készült.)

Általános, folytonos periodikus jel diszkrét komplex spektruma
6.16. ábra - Általános, folytonos periodikus jel diszkrét komplex spektruma


A méréstechnikai szakirodalomban nagyon ritka a spektrum komplex megjelenítése. Helyette vagy a spektrum abszolút értékét, vagy a jel teljesítmény spektrumát ábrázolják.

A következő, összefoglaló ábrán négy olyan időfüggvény látható, amelyek vagy Fourier sorba fejthetők, vagy van Fourier transzformáltjuk, amelyeket az időfüggvények alatt találunk.

Az első páros egy időben diszkrét analóg (időben kétoldalasan határolt) jel képe, és Fourier transzformáltja, amely folytonos spektrumot eredményez. Fourier sorfejtés itt nem lehetséges.

A második páros egy időben periodikus analóg jel és annak diszkrét spektruma, amelyik Fourier transzformációval határozható meg, de amelynek Fourier együtthatói is kiszámíthatók.

A harmadik páros egy időben diszkrét (kétoldalasan határolt) jel mintavételezése (impulzus sorozat) és annak folytonos, periodikus spektruma, amelyet Fourier transzformációval lehet meghatározni.

A negyedik páros egy periodikus mintavételezett jel és annak diszkrét periodikus spektruma, amely diszkrét Fourier transzformációval (lásd 6.5. szakasz fejezetet) lett meghatározva.

A mérnöki gondolkodáshoz közel áll a képekben való összefüggés-keresés, ezért úgy gondoljuk, a megértésben sokat segíthet az ábra vizsgálata.

Láttuk, hogy az analóg jelek csoportjában, az időben kétoldalasan határolt jelek spektruma folytonos, míg időben folytonos, periodikus, stacionárius jelek spektruma diszkrét lesz.

A mintavételezett jelek esetében azt látjuk, hogy az időben korlátozott impulzus sorozat hagyományos módon meghatározott Fourier spektruma folytonos és a mintavétel körfrekvenciájával (ωm) periodikus.

A negyedik ábrán a mintavételezett jelet nem hagyományos Fourier transzformációnak vetettük alá, hanem a diszkrét Fourier transzformációt végeztük el.

Analóg és mintavételezett jelek idő és frekvencia tartományban
6.17. ábra - Analóg és mintavételezett jelek idő és frekvencia tartományban


Az ábrán bemutatott jelek időtartománybeli alakja szándékosan „rokon” egymással, légyeges pontokon mégis különbözőek.

6.4. A Hilbert transzformáció

A Hilbert transzformáció az egyoldalas Fourier transzformáció valós és képzetes részei közötti kapcsolatot reprezentálja. A kapcsolat a soron következő lépések bemutatásával nyilvánvalóvá válik.

A gyakorlatban előforduló válaszjelek un. „okozati” jelek függvényértéke negatív időtartományban zérus:

 

a ( t ) = 0 t 0

(6.46)

Erre a jeltípusra jellemző példa egy technikai (elsőrendű) rendszer impulzus válasza, hiszen a kimeneten csak akkor jelenhet meg válasz, ha a bemenetre került t=0 időpillanatban a gerjesztés.

Az általános válaszjelet, vagyis „okozati” jelet fel lehet írni úgy is, mint egy páros a**(t) és egy páratlan a*(t) függvény összegét. A két részre való bontást természetesen úgy értjük, hogy a pozitív időkhöz tartozó részek megegyeznek. A páros és páratlan részre való bontás a szignum függvény alkalmazásával is kifejezhető:

 

a ( t ) = a ( t ) + a ( t ) a ( t ) = a ( t ) sgn ( t ) a ( t ) = a ( t ) sgn ( t )

(6.47)

Tetszőleges válaszjel felbontása
6.18. ábra - Tetszőleges válaszjel felbontása


Ahhoz, hogy ezeket a páros és páratlan időfüggvényeket a Fourier transzformáció valós és képzetes részeivel kapcsolatba lehessen hozni, szükséges a Fourier transzformáció összefüggéseit felidézni:

 

F ( ω ) = f ( t ) e j ω t d t f ( t ) = 1 2 π F ( ω ) e j ω t d t

(6.48)

Látható, hogy a transzformáció törzsfüggvényében az „előre”- és „vissza”transzformálás közötti különbség az e-függvény kitevőjének előjelében jelentkezik. Ez a különbség eltűnik, ha az idő, mint független változó előjele ellentétesre változik. Így az f(t) függvény „előre” transzformálásánál megjelenő törzsfüggvény megegyezik az f(-t) függvény visszatranszformálásának törzsfüggvényével, ha az integrál kifejezés előtti 1/2π konstanstól eltekintünk.

 

F ( ω ) = f ( t ) e j ω t d t f ( t ) = F ( ω ) e j ω t d t

(6.49)

A fentiek alapján általánosságban felírható az alábbi gondolatsor:

 

f ( t ) F F ( ω ) F - 1 f ( t ) F F ( ω ) F - 1 f ( t )

(6.50)

Végezzük el a Fourier transzformációt az a(t) függvényre:

 

F { a ( t ) } = F ( ω ) = F R ( ω ) + j F I ( ω ) = F { a ( t ) } + F { a ( t ) }

(6.51)

 

F R ( ω ) = F { a ( t ) } j F I ( ω ) = F { a ( t ) }

(6.52)

Fontos az információelméleti átalakítások, szűrők tervezése, stb. szempontjából, hogy a spektrum reális és imaginárius része között kapcsolat van, tehát ezek nem függetlenek egymástól.

E kapcsolat matematikai kifejezése tulajdonképpen a Hilbert transzformáció , mint a függvény transzformáció egyik speciális formája.

Láttuk a fejezet bevezetőjében, hogy

 

a ( t ) = a ( t ) sgn ( t )

(6.53)

Behelyettesítve a fenti összefüggést a spektrum reális részére felírt egyenletbe látjuk, hogy a spektrum imaginárius része konvolucióval felírható a spektrum reális részeként:

 

F R ( ω ) = F { a ( t ) } = F { a ( t ) sgn t } = F { a ( t ) } F { sgn t }

(6.54)

A konvolució mindkét tagja Fourier transzformációból áll. Az első tagja tulajdonképpen a „j” komplex egységvektorral megszorzott imaginárius spektrum-rész, amint ez a néhány sorral feljebb bemutatott egyenletből látható. A második tag a szignum függvény Fourier-transzformáltja. Ezt a transzformáltat a Heaviside függvény kapcsán már tárgyaltuk. Ezeket az összefüggéseket behelyettesítve, a spektrum reális és imaginárius része közötti kapcsolatra az alábbi egyenletet kapjuk:

 

F R ( ω ) = j F I ( ω ) 2 j ω

(6.55)

Tekintettel arra, hogy a konvoluciós integrál elé „kihozhatók” a konstansok, esetünkben a „j”, végül az alábbi összefüggést kapjuk. Az egyenletben felhasználtuk az ω=2πf összefüggést is, mert a szakirodalom nem a körfrekvencia, hanem a frekvencia használatát preferálja a Hilbert transzfor-máció esetében:

 

F R ( f ) = F I ( f ) 1 π f

(6.56)

A Hilbert transzformáció általános formája frekvencia tartományban a következő:

 

H { F ( f ) } = F ˜ ( f ) = 1 π F ( Φ ) 1 f Φ d Φ

(6.57)

A Hilbert transzformáció a Fourier transzformációval ellentétben nem változtatja meg a független változót, az eredmény ugyanabban a tartományban marad. A transzformáció létezik természetesen az idő tartományban is, amint azt később látni fogjuk.

Azért a frekvencia tartománybeli összefüggést írtuk fel először, mert a Hilbert transzformáció lényege könnyebben megérthető a frekvencia tartományban, mint az idő tartományban. Ez a transzformáció ugyanis nem változtatja meg F(f), illetve F(ω) amplitúdóit, hanem csupán a fázisukat tolja el.

A Fourier transzformáció pozitív (kör)frekvenciákon vett értékeit „–j”-vel szorozzuk (ez a fázis „-π/2” nagyságú módosítását jelenti), míg a negatív (kör)frekvenciákhoz tartozó Fourier transzformált értékeket „j”-vel szorozva „+π/2” fázismódosítást kapunk.

Lényegét tekintve a Hilbert transzformáció „kicseréli” F(ω) reális és a valós részeit, miközben ezek előjelét is megváltoztatja:

 

F ( ω ) = F R ( ω ) + j F I ( ω ) min d e n ω r a F ˜ ( ω ) = F I ( ω ) j F R ( ω ) h a ω 0 F ˜ ( ω ) = F I ( ω ) + j F R ( ω ) h a ω 0

(6.58)

Említettük korábban, hogy a Hilbert transzformáció idő tartományban is elvégezhető:

 

H { f ( t ) } = f ˜ ( t ) = 1 π f ( τ ) 1 t τ d τ = 1 π f ( t ) 1 t

(6.59)

A következő két ábrán a transzformáció folyamatát világítjuk meg.

A Fourier és a Hilbert transzformáció képi ábrázolása
6.19. ábra - A Fourier és a Hilbert transzformáció képi ábrázolása


A komplex spektrum fázisforgatása Hilbert transzformációval
6.20. ábra - A komplex spektrum fázisforgatása Hilbert transzformációval


6.5. Diszkrét Fourier transzformáció (DFT)

A modern méréstechnikában kiemelt szerepe van a számítástechnikának, és így nem meglepő, hogy a jól algoritmizálható matematikai műveletek viszonylag hamar megjelentek programok formájában.

Az előző fejezetekben elmondottakra alapozva bemutatjuk, hogy milyen összefüggések érvényesek, ha mind a mintavételezett jel, mind pedig a spektruma diszkrét. Ez az eset a (6.17. ábra) ábrán látható változatok közül az alsó, sorrendben a negyedik.

A jel tehát periodikus, a digitális technikában, ebben az esetben frekvencia helyett szekvenciát, sorrendet emlegetnek, és impliciten periodikus a spektrum is.

A Fourier sor képe a 6.3. szakasz fejezetben látható komplex alakhoz hasonló, de természetesen itt nem a folytonos időfüggvény, hanem annak „n” időpillanatban történő mintavételezéséből származó impulzus-sorozat szerepel. A transzformáció törzsfüggvényében az „ωt” folytonos fázis helyett k·n/N diszkrét fázisértékek szerepelnek. Az összefüggésben „N” azt jelzi, hogy a komplex egységvektor egy körülfordulása (2π) hány részre van felosztva. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy a periodikus jel egy periodusából „N” mintát veszünk, egyenletes mintavételezéssel. Az összefüggésben „k” a diszkrét körfrekvenciákra utal, míg „f(n)” az n-edik időpillanathoz tartozó minta értéke.

A diszkrét Fourier transzformáció képlete:

 

F ( k ) = 1 N n = 0 N 1 f ( n ) e j 2 π n N k

(6.60)

Az inverz diszkrét Fourier transzformáció képlete segítségével természetesen az időfüggvény n-edik időpillanatban vett értékét kapjuk:

 

f ( n ) = k = 0 N 1 F ( k ) e j 2 π n N k

(6.61)

Az integrálok helyére szummák kerültek, innen már csak egy lépés a számítás algoritmizálása a digitális számítógépes feldolgozáshoz. Ahhoz, hogy az N darab mintából N frekvencia komponenst kapjunk (vagy fordítva), N2 komplex szorzásra van szükség. Maga a számítási eljárás a „Gyors Fourier Transzformáció”, „Fast Fourier Transformation – FFT”, néven ismert, amely elvégzéséhez N·log2N komplex szorzási művelet szükséges.

Bár az FFT bemutatására a 11. fejezet fejezetben kerül sor, a jelekkel való műveletek teljessége érdekében, a bemutatásból nem hiányozhat a DFT sem.

A diszkrét Fourier transzformáció fentebb látható képlete felírható mátrix-vektor egyenlet formájában is, hiszen szorzásokról és összeadásokról van szó:

 

F _ k = 1 N A _ _ f _ n

(6.62)

Nézzük egy áttekinthető méretű mátrix esetén, mit is jelent ez a formula. Legyen N=8.

A négyzetes „A” mátrix minden eleme egy egységvektort jelent, különböző szöghelyzetekben:

 

e j 2 π n N k = ϕ n , k

(6.63)

Minden mátrix sor k=0…7 (kör)frekvenciát tartalmaz, míg az oszlopok n=0…7 időpillanatnak felelnek meg. Ha k=0 és n=0, akkor a szög zérus, és ez a mátrixban +1 értékű elemet eredményez.

Mivel a mátrix első sora a k=0 körfrekvenciához van rendelve, azt mondhatjuk, hogy az így kiadódó F0 az fn időpillanatokban mintavételezett jel szintjei összegének 1/8 része, hiszen N=8.

A második mátrix sor a k=1 miatt a legalacsonyabb frekvenciájú összetevőt adja. Az „előre” transzformálásnál az exponenciális függvény kitevőjének negatív előjele az óramutató járásával megegyező vektor forgásirányt jelöl.

 

[ F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 ] = 1 8 [ e j 0 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e j 2 π 1 8 1 e j 2 π 2 8 1 e j 2 π 3 8 1 e j 2 π 4 8 1 e j 2 π 5 8 1 e j 2 π 6 8 1 e j 2 π 7 8 1 1 e j 2 π 1 8 2 e j 2 π 2 8 2 e j 2 π 3 8 2 e j 2 π 4 8 2 e j 2 π 5 8 2 e j 2 π 6 8 2 e j 2 π 7 8 2 1 e j 2 π 1 8 3 e j 2 π 2 8 3 e j 2 π 3 8 3 e j 2 π 4 8 3 e j 2 π 5 8 3 e j 2 π 6 8 3 e j 2 π 7 8 3 1 e j 2 π 1 8 4 = 1 1 1 1 1 1 1 1 e j 2 π 1 8 5 e j 2 π 2 8 5 e j 2 π 3 8 5 e j 2 π 4 8 5 e j 2 π 5 8 5 e j 2 π 6 8 5 e j 2 π 7 8 5 1 e j 2 π 1 8 6 e j 2 π 2 8 6 e j 2 π 3 8 6 e j 2 π 4 8 6 e j 2 π 5 8 6 e j 2 π 6 8 6 e j 2 π 7 8 6 1 e j 2 π 1 8 7 e j 2 π 2 8 7 e j 2 π 3 8 7 e j 2 π 4 8 7 e j 2 π 5 8 7 e j 2 π 6 8 7 e j 2 π 7 8 7 ] [ f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 ]

(6.64)

Példaként nézzük egy ábrán az F1 komplex együtthatót kiadó vektorok forgását, ha az fn mintavételi értékek állandók:

Az F1 komplex együttható részvektorainak forgása
6.21. ábra - Az F1 komplex együttható részvektorainak forgása


A mintavételezett jelek spektrumának periodicitása világossá válik, ha a mátrix-vektor egyenletet nézzük. A mátrix első sora az fm mintavételi frekvenciát jól reprezentálja, hiszen a vektor egy teljes körülfordulása tartozik egy időbeli mintához, majd következik a 2fm mintavételi frekvencia, és így tovább. Mivel a forgó vektorok diszkrét időpillanatokhoz tartoznak, a köztes információk „elvesznek”, így azt sem lehet tudni, hogy egy adott szöghelyzet eléréséig a vektor hányszor forgott körbe. Ezt a problémát a 3.4.4. szakasz fejezetben taglalt, Shannon-féle mintavételezési szabállyal lehet kiküszöbölni.

A fent bemutatott mátrix-vektor egyenlet képezi az FFT (Gyors Fourier Transzformáció) alapját azzal, hogy a korszerű rendszerekben N=1024, vagy ennél nagyobb érték. Az algoritmus igen bonyolult, az első fázisban az „A” mátrixot szorzatokra bontják, ami a mátrix műveleteket leegyszerűsíti.

A 11.5. szakasz fejezetben az itt leírt algoritmusok gyakorlati alkalmazását találhatja meg.

Irodalmak

[6.1.] Unbehauen, R.. Systemanalyse 1.. Oldenburg Verlag. 2002.

[6.2.] Fodor, Gy.. Lineáris rendszerek analízise. Műszaki Könyvkiadó. 1967.

[6.3.] Randall, R. B. . Application of B&K Equipment to Frequency Analysis. Brüel & Kjaer. 1977.