Rendszertechnika

Dr. Korondi, Péter

Dr. Huba, Antal

Graff, József

Dr. Aradi, Petra

Czmerk, András

Bojtos, Attila

Dr. Fekete, Róbert

Dr. Lakatos, Béla

A tananyag a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0042 azonosító számú „ Mechatronikai mérnök MSc tananyagfejlesztés ” projekt keretében készült. A tananyagfejlesztés az Európai Unió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

Lektorálta: Dr. Bars Ruth

A kiadásért felel a(z): BME MOGI

Felelős szerkesztő: BME MOGI

2014


Tartalom
1. Bevezetés
1.1. Jelölési és rövidítési jegyzék
2. Alapfogalmak, a fizikai jelenségek matematikai leírása
2.1. Valós fizikai rendszer fogalma
2.2. A jel fogalma
2.3. A be- és kimenetek fogalma
2.4. Az absztrakt rendszer fogalma
2.5. Lineáris és nemlineáris rendszerek fogalma
2.6. Determinisztikus, sztochasztikus és kaotikus rendszerek fogalma
2.7. Kauzalitás fogalma
2.8. Paraméter és változó fogalma
2.9. Elosztott és koncentrált paraméterű leírás fogalma
2.9.1. Vektormezővel leírható rendszerek koncentráltparaméterű modellje
2.9.2. Villamos jelenségek elosztott paraméterű leírása a Maxwell egyenletekkel
2.9.3. Kirchhoff egyenletek származtatása (koncentrált paraméterű modellekhez)
2.9.4. Kétpólusokkal modellezett stacioner állapotú villamos és mágneses áramkörök
2.9.4.1. Elektrosztatika
2.9.4.2. Stacionárius (rezisztív) áramlási tér
2.9.4.3. Stacionárius mágneses tér
2.9.5. Hálózatszámítási analógiák
2.9.5.1. A kétpólusú elemeknek
2.10. Lineárisan független egyenletek kiválasztása
2.10.1. Gráfelméleti alapok:
2.10.1.1. Gráf:
2.10.1.2. Irányított gráf:
2.10.1.3. Egyszerű gráf:
2.10.1.4. Részgráf:
2.10.1.5. Út:
2.10.1.6. Összefüggő gráf:
2.10.1.7. Kör (műszaki megfelelője: hurok):
2.10.1.8. Fa:
2.10.1.9. Feszítőfa:
2.10.1.10. Vágat
2.10.2. Áramköri hálózatok leírása gráfokkal
2.10.3. Hálózatot jellemző mátrixok
2.10.4. Áramkörök számítása
2.10.5. Módszerek az invertálandó mátrix méretének lecsökkentésére:
2.10.5.1. Hurokáramok módszere
2.10.5.2. Vágatfeszültségek módszere
2.10.5.3. Csomóponti potenciálok módszere
2.10.6. Kidolgozott feladatok áramkörök számítására
2.11. Koncentrált paraméterű determinisztikus leírás
2.11.1. Statikus rendszerek fogalma
2.11.2. Dinamikus rendszerek fogalma
2.11.2.1. A rendszer jeleinek értelmezési tartománya, illetve a folytonos és diszkrét idejű rendszerek fogalma
2.11.2.1.1. Folytonos idejű rendszerek
2.11.2.1.2. Diszkrét idejű rendszerek
2.11.2.1.3. A rendszerek jeleinek ablakozása
2.11.2.2. A rendszer jeleinek értékkészlete, folytonos és kvantált értékű rendszerek
2.11.2.2.1. Folytonos értékű rendszerek
2.11.2.3. A rendszer csoportosítása a jeleinek értelmezési tartománya és értékkészlete alapján
2.11.3. Rendszerek simasága
2.11.4. Időinvariáns és autonóm rendszerek fogalma
2.12. Dinamikus rendszerek általános összefüggései
2.12.1. Állapot, állapotjelző, állapotváltozó és állapotegyenletek fogalma
2.12.1.1. Diszkrét állapotú rendszerek
2.12.1.2. A modellek kategorizálásának néhány problémája
2.12.1.3. Véges dimenziójú rendszerek
2.12.2. Lineáris, egy bemenetű egy kimenetű diszkrét idejű rendszer
2.12.3. Állapottér-reprezentáció
2.12.4. Változó struktúrájú rendszerek
2.12.5. Lineáris, egy bemenetű egy kimenetű folytonos idejű rendszer
2.12.6. Általánosított derivált
2.12.6.1. A disztribúció elmélet alapjai
2.12.7. Differenciálegyenletek megoldása analóg számítógépes megközelítéssel
2.13. A stabilitás fogalma
2.13.1. Statikus egyensúlyi állapot
2.13.2. Aszimptotikus stabilitás
2.13.3. Ljapunov stabilitás
2.13.4. Dinamikus egyensúlyi, illetve állandósult állapot
2.13.5. BIBO stabilitás
2.14. Kidolgozott feladatok koncentrált paraméterű rendszerekhez kapcsolódóan
2.15. Alapvető vizsgálati módszerek
3. Matematikai eszközök SISO LTI rendszerek vizsgálatához
3.1. Vizsgálat (komponensekre bontás) az időtartományban
3.1.1. Dirac-impulzus és egységugrás
3.1.2. Impulzusokra bontott bemenőjel hatásának összegzése
3.2. Vizsgálat a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban
3.2.1. Fourier-sorfejtés
3.2.2. Kidolgozott feladatok Fourier sorokhoz kapcsolódóan
3.2.3. Fourier-transzformáció
3.2.3.1. Teljesítmény spektrum
3.2.3.2. Frekvenciaátviteli függvény (frekvenciakarakterisztika)
3.2.4. Laplace-transzformáció
3.2.5. Fourier-sorfejtés, Fourier- és Laplace-transzformáció áttekintő táblázat
3.2.6. Laplace-transzformáció alkalmazása
3.2.6.1. Azonosságok összefoglalása
3.2.6.2. Végérték-tételek:
3.2.6.3. Néhány függvény Laplace-transzformáltja
3.2.7. Kifejtési (reziduum) tétel (s-re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvények inverz Laplace-transzformációja)
3.2.7.1. Egyszeres gyökök esetén
3.2.7.2. Többszörös pólusok esetén
3.2.8. Időállandó
3.2.9. Kidolgozott feladatok Laplace-transzformáció alkalmazására
3.3. Közönséges állandó együtthatós elsőrendű differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval
3.3.1. Kidolgozott felagatok közönséges állandó együtthatós elsőrendű differenciálegyenletekkel kapcsolatban
3.4. Kapcsoló üzemmód
4. SISO LTI rendszerek vizsgálata a Laplace-operátoros tartományban
4.1. Átviteli függvény
4.1.1. Közönséges állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása átviteli függvény segítségével
4.1.2. Kidolgozott feladatok átviteli függvény alkalmazására
4.2. Átviteli függvény meghatározása hatásvázlat segítségével
4.2.1. Hatásvázlatok
4.2.2. Jelölések
4.2.3. Soros kapcsolás
4.2.4. Párhuzamos kapcsolás
4.2.5. Visszacsatolás
4.2.6. Hatásvázlat átalakítása
4.2.6.1. Elágazási pont áthelyezése tag elől tag mögé
4.2.6.2. Elágazási pont áthelyezése tag elé
4.2.6.3. Összegzési pont áthelyezése tag mögé
4.2.6.4. Összegzési pont áthelyezése tag elé
4.2.6.5. Összegzési pont és elágazási pont felcserélése
4.2.7. Kidolgozott feladatok hatásvázlat átalakításra
4.3. Átviteli függvény alkalmazása
4.3.1. Kidolgozott feladatok átviteli függvények felírására
4.4. Lineáris rendszerek stabilitás vizsgálata
4.4.1. Routh-Hurwitz stabilitási kritérium
4.4.2. Kidolgozott feladatok stabilitásvizsgálatra nem visszacsatolt rendszerek esetén
4.5. Frekvencia átviteli függvény megjelenítése
4.5.1. Az átviteli és a frekvencia átviteli függvény kapcsolata
4.5.2. Nyquist-diagram
4.5.3. Bode-diagram
4.6. Alaptagok átviteli függvénye, Nyquist és Bode diagramja
4.6.1. Arányos tag (P)
4.6.2. Differenciáló tag (D)
4.6.3. Integráló tag (I)
4.6.4. Arányos differenciáló tag (PD)
4.6.5. Arányos tag egy tárolóval (PT1)
4.6.6. Arányos tag két tárolóval (PT2)
4.7. Holtidős tagok
4.7.1. Arányos holtidős tag (PH)
4.7.2. Holtidős integráló tag (HI)
4.7.3. Holtidős tag egy tárolóval (PHT1)
4.8. Alaptagokból előállítható összetett tagok
4.8.1. Arányos, integráló tag (PI)
4.8.2. Ideális arányos integráló differenciáló tag (PID)
4.8.3. Arányos differenciáló tag egy tárolóval (valóságos PD)
4.9. Kidolgozott feladatok Bode és Nyquist diagram megrajzolására
4.9.1. Nyquist diagram
4.9.1.1. Bode diagram
4.9.1.2. Nyquist diagram
4.9.1.3. Bode diagram
4.9.1.4. Nyquist diagram
4.9.1.5. Bode diagram
4.9.1.6. Nyquist diagram
4.9.1.7. Bode diagram
4.9.2. MATLAB feladatok
4.10. Szűrő típusok Bode diagramja
4.10.1. Aluláteresztő szűrő
4.10.2. Felüláteresztő szűrő
5. Komplex számok
5.1. Komplex számok bevezetése
5.2. Műveletek komplex számokkal
5.2.1. Összeadás
5.2.1.1. Kivonás
5.2.1.2. Szorzás
5.2.1.3. Osztás
5.2.1.4. További szokásos jelölések
5.3. A komplex szám ábrázolása
5.4. Néhány a komplex számokra vonatkozó azonosság
5.5. Műveletek a trigonometrikus alakkal
5.5.1. Szorzás
5.5.1.1. Osztás
5.6. A matematikai műveletek geometriai szemléltetése
5.6.1. Szorzás
5.6.1.1. Osztás
5.7. A komplex számok exponenciális alakja
5.8. Gyökvonás komplex számok esetén
5.9. Néhány komplex függvény ábrázolása
5.10. Javasolt feladatok
5.11. Megoldások
6. A közönséges differenciálegyenlet
6.1. A közönséges differenciálegyenletek osztályozása
6.2. A differenciálegyenletek megoldásai
6.3. Megoldás keresése próbafüggvény módszerével
6.3.1. Állandó együtthatós, homogén, n-ed rendű lineáris differenciálegyenletek megoldása
6.3.1.1. Egyszeres valós gyökök
6.3.1.2. Többszörös valós gyökök
6.3.1.3. Komplex gyökök
6.3.2. Állandó együtthatós, inhomogén, n-ed rendű lineáris differenciál-egyenletek megoldása próbafüggvény módszerrel
6.4. Mintapéldák
6.5. Műszaki példák
7. Rendszerek és modellezési analógiák
7.1. Energia reprezentáció, extenzív és intenzív mennyiségek
7.2. Rendszermodellezés teljesítmény-konjugált változókkal
7.3. Konzervatív rendszerelemek és karakterisztikáik
7.4. Disszipatív rendszerelemek és karakterisztikáik
7.5. Transzformátorok, zsirátorok, hajtóerő- és áramforrások
7.5.1. Transzformátorok és zsirátorok.
7.5.2. Ideális hajtóerők és áramforrások
7.6. Elektromechanikai Lagrange függvény
8. Véletlen hatások és sztochasztikus folyamatok
8.1. Valószínűség, valószínűségi változók és valószínűségi eloszlások
8.1.1. Eseményalgebra és a valószínűség definíciója
8.1.2. Valószínűségi változók és valószínűségi eloszlások
8.1.3. A valószínűségi változók jellemző paraméterei
8.1.4. Többdimenziós valószínűségi vektor-változók és eloszlások
8.1.5. A többdimenziós valószínűségi vektor-változók jellemző paraméterei
8.1.6. Gyakran használt diszkrét és folytonos eloszlások
8.1.7. Valószínűségi változók függvényei
8.1.8. Valószínűségi változók entrópiája és információ-tartalma
8.2. Sztochasztikus folyamatok
8.2.1. A sztochasztikus folyamatok fogalma
8.2.2. Momentumok és korreláció függvények
8.2.3. Stacionárius folyamatok
8.2.4. Harmonikus analízis és teljesítménysűrűség spektrum
8.2.5. Folytonos idejű lineáris dinamikus rendszerek
8.2.6. Diszkrét idejű sztochasztikus folyamatok és lineáris rendszerek
9. Laplace-transzformációhoz kapcsolódó levezetések
9.1. Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja
9.1.1. Az egységugrás Laplace-transzformáltja
9.1.2. Az egységnyi sebességugrás Laplace-transzformáltja
9.1.3. Az exponenciális függvény Laplace-transzformáltja
9.2. Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek)
9.2.1. LINEARITÁSI szabály
9.2.2. ELTOLÁSI szabály
9.2.3. HASONLÓSÁGI szabály
9.2.4. DIFFERENCIÁLÁS az időtartományban
9.2.5. INTEGRÁLÁS az időtartományban
9.2.6. Végérték tételek
10. Ellenőrző kérdések
Irodalmi hivatkozások
Az ábrák listája
1.1. A rendszertechnika tantárgy helye a mérnöki tantárgyak között
1.2. Az erők komponensekre bontása
2.1. Valós fizikai rendszer
2.2. A rendszer általános grafikai jele
2.3. Rendszerek csoportosítása a be- és kimenetek száma szerint
2.4. Szuperpozíció elve SISO rendszer esetén
2.5. Homogén elektromos tér
2.6. Homogén stacionárius áramlási tér
2.7. Villamos helyettesítő kapcsolás
2.8. Homogén mágneses tér
2.9. Mágneses kör villamos helyettesítő kapcsolása
2.10. Gráfok grafikai megjelenítése
2.11. Irányított gráf
2.12. Hurokél
2.13. Gráf és részgráfja
2.14. Gráf és egy út
2.15. Gráf és egy kör
2.16. Gráf és egy fája
2.17. Gráf és egy feszítőfája
2.18. Gráf és egy vágata
2.19. Lineárisan független hurkok generálása
2.20. Lineárisan független vágatok generálása
2.21. A k-adik ág feszültségeinek és áramainak jelölései
2.22. Hurokáramok
2.23. Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 4, 5 és 6)
2.24. Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 1 és 2)
2.25. Áramkör
2.26. Időinvariáns rendszer
2.27. Fűtésszabályozó diszkrét állapotai
2.28. Jegykiadó automata diszkrét állapotai
2.29. Jegykiadó automata bővített diszkrét állapotai
2.30. Egy nyerő automata diszkrét állapotai
2.31. Diszkrét állapotok és folytonos értékű állapotváltozó
2.32. Dinamikus rendszer általános állapotváltozós ábrázolása időtartományban
2.33. ARMA rendszer
2.34. ARMA rendszer MATLAB Simulink megfelelője és esetén
2.35. grafikus megjelenítése
2.36. Analóg számítógép modell MATLAB Simulink megfelelője és esetén
2.37. Hőátadás
2.38. Vezető melegedése
2.39. Hőátadás
2.40. Ideális transzlációs telemanipulációs rendszer
2.41. Diszkrét idejű modell
2.42. Folytonos idejű modell
2.43. Szimulációs eredmények
2.44. Szimulációs eredmények
2.45. feladat analóg számítógépes modellje
2.46. feladat analóg számítógépes modellje
2.47. Egy tamagoccsi (たまごっち) érzelmi állapotai
2.48. Egy tamagoccsi (たまごっち) viselkedés állapotai
2.49. Egy lifthívó-rendszer diszkrét állapotai
2.50. Egy kombinált (fűtés. melegvíz) kazán szabályozójának diszkrét állapotai
3.1. Jelek felbontása az időtartományban
3.2. Diszkrét idejű egységugrás
3.3. Diszkrét idejű egységimpulzus
3.4. Diszkrét idejű jelek komponensekre bontása
3.5. Diszkrét idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)
3.6. A kimenőjel meghatározása diszkrét idejű konvolúcióval
3.7. Folytonos idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)
3.8. A kimenőjel meghatározása folytonos idejű konvolúcióval
3.9. idejű átmeneti függvény
3.10. Folytonos idejű átmeneti függvény
3.11. Folytonos idejű átmeneti (ugrásválasz)
3.12. Lineáris rendszerek válasza szinuszos gerjesztésre
3.13. Egy síkvektor felbontása merőleges komponensekre
3.14. Egy periodikus függvény
3.15. Egy négyszögjel alapharmonikusának és felharmonikusainak amplitúdói
3.16. Négyszögjel
3.17. Szünetmentes áramforrás
3.18. Szimmetrikus impulzus jel
3.19. Amplitúdó arányok a nagyság függvényében
3.20. Impulzus jel
3.21. Egy lecsengő függvény
3.22. értelmezése
3.23. t=0, T és 2T időpontban (látható, hogy minden érintő az időtengelyt idő elteltével metszi)
3.24. Inverz-Laplace-transzformált komplex konjugált póluspár esetén a) esetben
3.25. Inverz-Laplace-transzformált komplex konjugált póluspár esetén b) esetben
3.26. Azonos domináns pólussal renndelkező rendszerek
3.27. RL kör átkapcsolása
3.28. Időfüggvények az RL kör átkapcsolása után
3.29. Szinuszos gerjesztés bekapcsolása
3.30. Szinuszos gerjesztés bekapcsolása, ha az időállandó összemérhető a periódus idővel
3.31. Szinuszos gerjesztés bekapcsolása, ha az időállandó kisebb a periódus időnél
4.1. Exponenciálisan lecsngő jel
4.2. Tömeg-rugó rendszer
4.3. Átviteli függvény meghatározásának két módja
4.4. A legfontosabb hatásvázlat elemek
4.5. Hat bemenet összegzése klasszikusan és egyetlen négyszög összegzővel
4.6. Soros kapcsolás
4.7. Párhuzamos kapcsolás
4.8. Visszacsatolás
4.9. Elágazás áthelyezése a tag mögé
4.10. Elágazás áthelyezése a tag elé
4.11. Összegzési pont áthelyezése tag mögé
4.12. Összegzési pont áthelyezése tag elé
4.13. Összegzési pont elé kerülő elágazási pont
4.14. Elágazási pont elé kerülő összegzési pont
4.15. A 4-8. feladat hatásvázlata
4.16. A 4-8. feladat megoldása
4.17. A 4-9. feladat
4.18. A 4-9. feladat megoldása
4.19. A 4-10. feladat
4.20. A 4-10. feladat megoldása
4.21. A 4-11. feladat
4.22. A 4-11. feladat megoldása
4.23. A 4-12. feladat
4.24. A 4-12. feladat megoldása
4.25. A 4-13. feladat
4.26. A 4-13. feladat megoldása csomópont áthelyezéssel
4.27. A 4-13. feladat megoldása összegzési pont áthelyezéssel
4.28. A 4-14. feladat megoldása összegzési pont áthelyezéssel
4.29. A 4-14. feladat megoldása hatásvázlat átalakítással
4.30. 4-14. feladat megoldása algebrai egyenletekkel
4.31. A külső gerjesztésű egyenáramú motor helyettesítő vázlata
4.32. Egyenáramú motor hatásvázlata
4.33. Átmeneti és súlyfüggvény
4.34. 4-24. feladat
4.35. Frekvencia átviteli függvény értelmezése
4.36. Frekvencia átviteli függvény mérésének szimulációja MATLAB Simulink programmal
4.37. (ω=0.01/T1)
4.38. (ω=0.1/T1)
4.39. (ω=1/T1)
4.40. (ω=10/T1)
4.41. (ω=100/T1)
4.42. Frekvencia átviteli függvény meghatározása
4.43. n>m esetben
4.44. Nyquist diagram
4.45. Nyquist diagram
4.46. Nyquist diagram
4.47. Bode diagram
4.48. Bode diagram
4.49. Nyquist diagramja
4.50. Bode diagramja
4.51. Példa arányos tagra
4.52. Nyquist diagramja
4.53. Bode diagramja
4.54. Nyquist diagramja
4.55. Bode diagramja
4.56. Példa integráló tagra
4.57. Nyquist diagramja
4.58. Bode diagramja
4.59. Bode diagram
4.60. Nyquist diagramja
4.61. Bode diagramja
4.62. -energiatárolós tag átmeneti és súlyfüggvénye
4.63. Nyquist diagram
4.64. Két-energiatárolós tag Nyquist diagramja
4.65. -energiatárolós tag Nyquist diagramja, ha alacsony frekvenciákon az abszolút érték a frekvenciával fordítottan arányos
4.66. Két-energiatárolós tag Bode diagramja, ha két különböző töréspont van
4.67. Két-energiatárolós tag Bode diagramja, ha két azonos töréspont van
4.68. -energiatárolós tag valóságos (nem közelítő) Bode diagramja, ha 0<D≤1
4.69. Két tartály
4.70. Csillapított rugó tömeg rendszer
4.71. Nyquist diagramja
4.72. Bode diagramja
4.73. Nyquist diagramja
4.74. Bode diagramja
4.75. tag egy tárolóval (PHT1), Nyquist diagram
4.76. tag egy tárolóval (PHT1), Bode diagram
4.77. Arányos, integráló tag (PI)
4.78. diagramja
4.79. Arányos, integráló tag (PI) Bode diagramja
4.80. Arányos integráló differenciáló tag (PID)
4.81. diagramja
4.82. diagramja
4.83. rányos differenciáló tag (PD)
4.84. Valóságos arányos differenciáló tag (PD) Nyquist diagramja
4.85. diagramja
4.86. Bode diagram
4.87. Bode diagram
4.88. Bode diagram
4.89. Bode diagram
4.90. Bode diagram
4.91. Nyquist diagram
4.92. Bode diagram
4.93. Nyquist diagram
4.94. Bode diagram
4.95. Párhuzamosan kapcsolt rendszerek
4.96. Nyquist diagram
4.97. Nyquist diagram
4.98. Bode diagram
4.99. Sorosan kapcsolt rendszerek
4.100. Nyquist diagram
4.101. Nyquist diagram
4.102. Nyquist diagram
4.103. Bode diagram
4.104. Bode diagram
4.105. Bode diagram
4.106. Bode diagram
4.107. Bode diagram
4.108. Bode diagram
4.109. Bode diagram
4.110. Bode diagram
4.111. Bode diagram
4.112. Bode diagram
4.113. Bode diagram
4.114. Bode diagram
4.115. Bode diagram
4.116. Bode diagram
4.117. Bode diagram
4.118. Bode diagram
4.119. Pontos és közelítő megoldás u1 esetén
4.120. Pontos és közelítő megoldás u2 esetén
4.121. Pontos és közelítő megoldás u3 esetén
4.122. Bode diagram
4.123. Bode diagram
4.124. Bode diagram
4.125. Ideális passzív szűrők amplitúdó Bode diagramja
4.126. Ideális aluláteresztő szűrő súlyfüggvényének Fourier spektruma
4.127. Különböző fokszámú szűrők közelítő amplitúdó Bode diagramja
4.128. Alapvető passzív szűrő struktúra
4.129. Aluláteresztő szűrő
4.130. Aluláteresztő szűrő átmeneti függvénye
4.131. Felüláteresztő szűrő
4.132. Felüláteresztő szűrő átmeneti függvénye
5.1. Összeadás
5.2. Kivonás
5.3. Gyökök
7.1. Egy rendszer energiájának eloszlása
7.2. A rendszer koncentrált paraméterű hálózata
7.3. A teljesítmény-konjugált változók ok-okozati kapcsolatai egy rendszerelemen
7.4. Energia és koenergia lineáris és nemlineáris karakterisztikájú rendszerekben
7.5. Disszipatív elemek karakterisztikái lineáris és nemlineáris esetben
7.6. Villamos hálózat a) hurokáramai és b) csomóponti feszültségei
8.1. A geometriai valószínűség magyarázatához
8.2. Nem-negatív, szakadással rendelkező folytonos változók a) sűrűségfüggvénye és b) eloszlásfüggvénye
8.3. A a) valószínűségi sűrűségfüggvénye és b) elsoszlásfüggvénye
8.4. Két-dimenziós egyenletes eloszlás egy ellipszisen
8.5. A degenerált valószínűségi eloszlás a) sűrűségfüggvénye és b) eloszlásfüggvénye
8.6. Bináris valószínűségi változó a) sűrűségfüggvénye és b) elsoszlásfüggvénye
8.7. A valószínűségi változók Y=g(Y) leképezésének magyarázatához
8.8. Három sztochasztikus folyamat realizációi
8.9. . Határozzuk meg az
8.10. Folytonos és diszkrét idejű a) idővariáns és b) időinvariáns dinamikus rendszerek súlyfüggvényeikkel ábrázolva
8.11. Mérési elrendezés egy lineáris dinamikus rendszer kovariancia-függvényeinek meghatározásához
8.12. Aluláteresztő RC-szűrő ()
9.1. Laplace transzformáció eredménye

1. fejezet - Bevezetés

A rendszertechnika tananyag célja az, hogy különböző fizikai jelenségeket, műszaki objektumok működését egy egységesített matematikai eszköztárral írja le, hogy feltárhatóvá tegye a teljesen különböző fizikai jelenségek és műszaki objektumok működésbeli hasonlóságát. E működésbeli hasonlóságok alapján a fizikai jelenségek és a műszaki objektumok a konkrét megjelenésüktől függetlenül kategorizálhatók. Ez azzal az előnnyel jár, hogy az azonos kategóriába tartozó, egymástól teljesen eltérő fizikai jelenségeknek, műszaki objektumok működésének akár passzív elemzésekor vagy akár a működés aktív szabályozásakor a konkrét objektumtól független, általános matematikai módszerek lesznek alkalmazhatók. Gyakori eset, hogy egy műszaki részterületen pl. a villamos áramkörök számítására kidolgoznak egy matematikai eljárást és azt egy más területen. pl. mágneses körök számítására, csőhálózatokban folyadékáramok leírására vagy hőtani problémákra alkalmazzák. Az impedancia fogalma leginkább az áramkörök számításánál fordul elő, de használatos a robotok erőszabályozásánál is. Ezek a példák bizonyítják legjobban a rendszertechnika létjogosultságát. E tananyagban olyan matematikai technikákat kívánunk bemutatni, amelyek a mérnöki gyakorlatban előforduló bizonyos típusú problémák megoldását segítik.

A világ folyamatosan változik. Volt olyan időszak, amikor a tömegtermelés kicsit elnyomta a mérnökök matematika iránti igényét. A 21. században ismét olyan időket élünk, amikor a matematikatudás a mérnöki munkában felértékelődik. Az ún. hightech (repülőgép, robot, alakfelismerés stb.) matematika igénye talán közismert. Ahhoz, hogy a humanoid robotok most még furcsa járásán csiszoljunk, és pl. megtanítsuk őket balettozni, az irányítási algoritmusok matematikai mélységeit kell növelni. De a matematikai algoritmusok továbbfejlesztése kell ahhoz, hogy a robot a képi információ alapján fel tudja ismerni, hogy mi történik körülötte. De ki gondolná, hogy a liftekben a hangtalan és gyors működés érdekében egy egyszerű behúzó mágnes (amelyiknek az a feladata, hogy a liftszekrényt rögzítse, ha megáll egy emeleten) mellé is néha odatesznek egy mikroprocesszort, amelyik a mágnes differenciálegyenletét folyamatosan számítva gondoskodik az optimális működésről. Régen a tekercsre rákapcsolták a feszültséget, és az áram által keltett mágneses tér végezte a dolgát, persze közben mi hallottunk egy csattanást, amikor a liftszekrényt rögzítő fémpofák felütköztek a tartókeretre. Most tranzisztorok kapcsolgatásával az áramot és ezen keresztül a rögzítő fémpofák mozgását folyamatosan kézben tartjuk és nincs ütközési hang, de ehhez folyamatosan számolni kell a szerkezet differenciálegyenletét. Ez nem lenne bonyolult, ha minden paramétert pontosan tudnánk, de valamilyen mértékű paraméter bizonytalanság mindig van, ráadásul több paraméter változik a működés közben, ezért mérésekből a differenciálegyenlet paramétereit is folyamatosan becsülni kell, és korábban nagyon egyszerűnek számító tervezési rutinfeladatból egy egész komoly matematikai probléma kerekedett. Az elektronika és a mikroprocesszorok ára annyira lecsökkent, hogy egészen hétköznapi olcsó (tömegtermeléssel gyártott) eszközökben is megjelenhetnek a bonyolultabb matematikai algoritmusok. A differenciálegyenletekre a mindennapos mérnöki gyakorlatban is szükség lehet, és megszűnőben van az a helyzet, amikor matematikára igazán csak a mérnök társadalom elitrétegének volt szüksége. Hidat kell építeni a matematika és a mérnöki tudományok között, és ennek a hídnak a legfontosabb eleme a rendszertechnika tárgy.

A fentiekből következően e tananyag felépítése a következő. Először a mérnöki gyakorlatban előforduló fizikai jelenségek matematikai leírásának lehetséges módjait tekintjük át röviden, majd ezt követi annak a matematikai eszköztárnak a számbavétele, amellyel az absztrakt modellek viselkedése elemezhető, általános érvényű összefüggései kimutathatók. A mérnöki munkának sokszor kulcseleme a fizikai valóság és az elvont matematika közötti kapcsolat megteremtése. A tananyag törekszik arra, hogy mind a két oldalról rávilágítson erre a kapcsolatra. Pl. ha egy matematikai képletben mód van egyfajta egyszerűsítésre, akkor annak mi lehet a fizikai háttere, és fordítva, a fizikai modell megváltoztatása milyen matematikai következménnyel járhat. Mivel a célunk az, hogy a mérnökök kezébe a mérnöki gyakorlatban használható matematikai eszközöket adjunk, ezért a matematikai tárgyalásban olyan mélységig ásunk le, amely mélység szükséges az adott eszköz pontos használatához, az alkalmazás feltételeinek és korlátainak megértéséhez. Ahogy egy lézeres távolságmérő használati útmutatójában sem mellékelik a teljes lézerfizikai hátteret, úgy terjedelmi okokból itt sincs mód arra, hogy minden érintett matematikai területet (pl. lineáris algebra, valós és komplex függvénytan, közönséges és parciális differenciálegyenletek elmélete, funkcionálanalízis, mértékelmélet, disztribúcióelmélet, gráfelmélet, stb.) az alapoktól kezdve részletesen leírjunk. Ha ezt megtennénk, akkor ez a tananyag sok ezer oldalasra duzzadna, és azért válna kezelhetetlenné. Általában azt feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a mérnöki alapképzésben oktatott matematikát. Az ezen túlmutató matematikai ismereteket megpróbáljuk egzakt, de egyszerűsített formában, a lényeget kiemelve leírni és a részletes bizonyításokat és levezetéseket mellőzzük.

A rendszertechnika tantárgy a mérnöki tantárgyak közé tartozik, de nagyon közel áll a matematika tantárgyakhoz, mivel a legtöbb mérnöki tantárgynál jelentősebb absztrakciót igényel, és bizonyos értelemben közelebb áll sok villamosmérnöki tantárgyhoz, mivel a villamosmérnöki tantárgyak is több absztrakciót igényelnek, mint a gépészmérnöki tantárgyak. Egy másik megközelítésben a gépészmérnöki tantárgyakban a nem lineáris jelenségek nagyobb szerepet játszanak, kevésbé lehet azokat lineáris megkötések mellett tárgyalni, mint ahogy ezt a villamosmérnöki tárgyakban megtesszük (ld. 1-1. ábra). Tipikus példa lehet villamos feszültségek és áramok, valamint a csőhálózatban kialakuló nyomások és a keringő víz összehasonlítása. Egy akkumulátor által táplált zseblámpa izzón áthaladó áram nem annyira kézzel fogható, mint a csőhálózatban szivattyúval keringtetett folyadék. Viszont az ellenállás hálózat számításához lineáris egyenletek általában elegendőek, ezzel szemben a csőhálózatok esetén a legegyszerűbb esetben is számolni kell nem-lineáris jelenségekkel.

A rendszertechnika tantárgy helye a mérnöki tantárgyak között
1.1. ábra - A rendszertechnika tantárgy helye a mérnöki tantárgyak között


A rendszerek vizsgálatában nagyon fontos szerepet tölt be a frekvencia- és Laplace-operátoros tartomány. Korábbi tanulmányainkból megszokott lehet, hogy bizonyos fizikai mennyiségeket (jeleket) a számítás megkönnyítése érdekében komponensekre bontunk (ld. 1-2. ábra)

Az erők komponensekre bontása
1.2. ábra - Az erők komponensekre bontása


Ezzel szemben egy általános időfüggvény komponensekre bontása a frekvencia- és Laplace-operátoros tartományban egy olyan absztrakciót igényel, ami nehezen építhető a korábbi mindennapi tapasztalatokra.

Egy komoly szemléletváltásnak lehetünk tanúi. Korábban egy probléma egzakt megoldásának azt tekintettük, ha matematikailag zárt alakú megoldást tudtunk előállítani. Napjainkban a mérnöki területen egyre nagyobb szerepet játszanak a numerikus módszerek és egyre kevésbé törekszünk az analitikus megoldásokra. Egyre inkább elfogadott, hogy egy rendszer működőképességét numerikus szimuláció igazolja. Teljesen természetes, hogy egy összetett új berendezés tervezése a szimulációs modell elkészítésével kezdődik. Bármiféle hardver megépítésére csak akkor gondolunk, ha a szimuláció biztató eredményeket mutat. A szimulációs modell elkészítését a rendszertechnikai elemzés előzi meg.

1.1. Jelölési és rövidítési jegyzék

Különböző tudományterületen a jelölésekre különböző konvenciók léteznek, e tananyag több területet fog át és így szinte lehetetlen tekintettel lenni minden, időnként egymásnak ellentmondó konvencióra, így előfordul, hogy egy betű különböző fejezetekben mást és mást jelent. Ahol lehetséges, ott indexeléssel próbáljuk feloldani ezt az ellentmondást. Igyekszünk azt a konvenciót tartani, hogy a változókat kisbetűvel, a konstansokat nagybetűvel, a skaláris mennyiségeket dőlt betűvel és a vektorokat vastag betűvel jelöljük. Kivételt olyan esetekben teszünk, ahol a szakirodalom is többé-kevésbé egységesen eltér ettől a konvenciótól. A numerikus példákban számítógéppel számított eredményeket közlünk, melyek tizedespontot és nem tizedes vesszőt használnak.

A rövidítéseknél mindig az angol megfelelőt használjuk, mert ezeket önálló jelentéssel bíró magyarrá váló jövevény szakszavaknak tekintjük, így a magyar kiejtés és magyar ragozás szabályai szerint használjuk.

rendszerre jellemző mátrix

  • állapottér-modellben rendszermátrix

  • gráfelméletben csomóponti (vagy adjacencia) mátrix

Fourier-sorokban a fázistolás nélküli i-edik szinuszos felharmonikus amplitúdója

polinom együtthatója

mágneses indukció vektor

rendszerre jellemző mátrix

  • állapottér-modellben bemeneti mátrix

  • gráfelméletben hurokmátrix

Fourier-sorokban a fázistolás nélküli i-edik koszinuszos felharmonikus amplitúdója

polinom együtthatója

rendszerre jellemző mátrix

  • állapottér-modellben kimeneti mátrix

Fourier-sorokban a fázistolásos i-edik koszinuszos felharmonikus amplitúdója

eltolási vektor

rendszerre jellemző mátrix

  • állapottér modellben a bemenet követlen hatása a kimenetre

egy rendszer zavaró jele (disturbance) folytonos időben

indexben: diszkrét idejű rendszerre utal

Elektromos térerősség vektor

folytonos idejű skalár időfüggvény

az függvény baloldali határértéke helyen

az függvény jobboldali határértéke helyen

olyan folytonos idejű skalár időfüggvény, amelynek az értelmezési tartománya

folytonos idejű skalár időfüggvény értéke a időpillanatban

folytonos idejű skalár időfüggvény Fourier-transzformáltja

folytonos idejű skalár időfüggvény Fourier-transzformáltjának értéke az frekvencia esetén

folytonos idejű skalár időfüggvény Laplace-transzformáltja

folytonos idejű skalár időfüggvény Laplace-transzformáltjának értéke helyettesítéssel

diszkrét idejű skalár időfüggvény

olyan diszkrét idejű skalár időfüggvény, amelynek az értelmezési tartománya

diszkrét idejű skalár időfüggvény értéke a K-adik lépésben

frekvencia

mágneses térerősség vektor

i

  • indexben és index nélkül: a futó sorszám,

  • indexszel: áramerősség

jképzetes egység

diszkrét időlépések

természetes számok halmaza

egy racionális törtfüggvény i-edik pólusa

valós számok halmaza

Laplace operátor

taz idő

T0a vizsgálat kezdő időpontja, általában T0=0

TKa K-dik időlépés

Tsa mintavételezési időlépés

Thaz időkéseltetés nagysága

Tpiracionális törtfüggvénnyel leírható rendszer i-dik pólusához tartozó töréspont reciproka

Tziracionális törtfüggvénnyel leírható rendszer i-dik zérusához tartozó töréspont reciproka

index nélkül, vagy sorszámra utaló indexszel: egy rendszer beavatkozó jele folytonos időben

index nélkül, vagy sorszámra utaló indexszel: egy rendszer beavatkozó jele diszkrét időben

egy nem sorszámra utaló indexszel: egy feszültség

egy rendszer átmeneti függvénye (ugrásválasza)

egy rendszer súlyfüggvénye (impulzusválasza) folytonos időben

egy rendszer súlyfüggvénye (impulzusválasza) diszkrét időben

egy rendszer állapotváltozója folytonos időben

egy rendszer állapotváltozója diszkrét időben

X0az állapotváltozó kezdeti értéke, ha az állapot

X-0az állapotváltozó kezdeti értékének baloldali határértéke

X+0az állapotváltozó kezdeti értékének jobboldali határértéke

egy rendszer kimenőjele folytonos időben

egy rendszer kimenőjele diszkrét időben

egy racionális törtfüggvény i-edik zérusa

egész számok halmaza

pozitív egész számok halmaza

negatív egész számok halmaza

0 vagy 1 értéket felvevő változó

diszkrét idejű egységimpulzus

folytonos idejű egységimpulzus (Dirac-impulzus)

permittivitás

diszkrét idejű egységugrás

folytonos idejű egységugrás

mátrixok sajátértéke

permeabilitás

körfrekvencia

egy motor szögsebességeánek folytonos idejű időfüggvénye

ARMAautoregresszív mozgó átlag (AutoRegressive Moving Average)

BIBO(Bounded Input Bounded Output)

EMFelektromotoros erő (Electro Motive Force)

FIRvéges impulzusválaszú (Finite Impulse Response)

IIRvégtelen impulzusválaszú (Infinite Impulse Response)

MIMO több bemenetű több kimenetű rendszer (Multiple Input Multiple Output)

MISO több bemenetű egy kimenetű rendszer (Multiple Input Single Output)

MMFmagnetomotoros erő (Magneto Motive Force)

LPVlineáris változó paraméterű rendszer (Linear Parameter Varying)

LTI lineáris időinvariáns rendszer (Linear Time Invariant).

LTVlineáris idő variáns (időben változó) rendszerek (Linear Time Varying).

SIMOegy bemenetű több kimenetű rendszer (Single Input Multiple Output)

SISOegy bemenetű egy kimenetű rendszer (Single Input Single Output)

2. fejezet - Alapfogalmak, a fizikai jelenségek matematikai leírása

Tartalom
2.1. Valós fizikai rendszer fogalma
2.2. A jel fogalma
2.3. A be- és kimenetek fogalma
2.4. Az absztrakt rendszer fogalma
2.5. Lineáris és nemlineáris rendszerek fogalma
2.6. Determinisztikus, sztochasztikus és kaotikus rendszerek fogalma
2.7. Kauzalitás fogalma
2.8. Paraméter és változó fogalma
2.9. Elosztott és koncentrált paraméterű leírás fogalma
2.9.1. Vektormezővel leírható rendszerek koncentráltparaméterű modellje
2.9.2. Villamos jelenségek elosztott paraméterű leírása a Maxwell egyenletekkel
2.9.3. Kirchhoff egyenletek származtatása (koncentrált paraméterű modellekhez)
2.9.4. Kétpólusokkal modellezett stacioner állapotú villamos és mágneses áramkörök
2.9.4.1. Elektrosztatika
2.9.4.2. Stacionárius (rezisztív) áramlási tér
2.9.4.3. Stacionárius mágneses tér
2.9.5. Hálózatszámítási analógiák
2.9.5.1. A kétpólusú elemeknek
2.10. Lineárisan független egyenletek kiválasztása
2.10.1. Gráfelméleti alapok:
2.10.1.1. Gráf:
2.10.1.2. Irányított gráf:
2.10.1.3. Egyszerű gráf:
2.10.1.4. Részgráf:
2.10.1.5. Út:
2.10.1.6. Összefüggő gráf:
2.10.1.7. Kör (műszaki megfelelője: hurok):
2.10.1.8. Fa:
2.10.1.9. Feszítőfa:
2.10.1.10. Vágat
2.10.2. Áramköri hálózatok leírása gráfokkal
2.10.3. Hálózatot jellemző mátrixok
2.10.4. Áramkörök számítása
2.10.5. Módszerek az invertálandó mátrix méretének lecsökkentésére:
2.10.5.1. Hurokáramok módszere
2.10.5.2. Vágatfeszültségek módszere
2.10.5.3. Csomóponti potenciálok módszere
2.10.6. Kidolgozott feladatok áramkörök számítására
2.11. Koncentrált paraméterű determinisztikus leírás
2.11.1. Statikus rendszerek fogalma
2.11.2. Dinamikus rendszerek fogalma
2.11.2.1. A rendszer jeleinek értelmezési tartománya, illetve a folytonos és diszkrét idejű rendszerek fogalma
2.11.2.1.1. Folytonos idejű rendszerek
2.11.2.1.2. Diszkrét idejű rendszerek
2.11.2.1.3. A rendszerek jeleinek ablakozása
2.11.2.2. A rendszer jeleinek értékkészlete, folytonos és kvantált értékű rendszerek
2.11.2.2.1. Folytonos értékű rendszerek
2.11.2.3. A rendszer csoportosítása a jeleinek értelmezési tartománya és értékkészlete alapján
2.11.3. Rendszerek simasága
2.11.4. Időinvariáns és autonóm rendszerek fogalma
2.12. Dinamikus rendszerek általános összefüggései
2.12.1. Állapot, állapotjelző, állapotváltozó és állapotegyenletek fogalma
2.12.1.1. Diszkrét állapotú rendszerek
2.12.1.2. A modellek kategorizálásának néhány problémája
2.12.1.3. Véges dimenziójú rendszerek
2.12.2. Lineáris, egy bemenetű egy kimenetű diszkrét idejű rendszer
2.12.3. Állapottér-reprezentáció
2.12.4. Változó struktúrájú rendszerek
2.12.5. Lineáris, egy bemenetű egy kimenetű folytonos idejű rendszer
2.12.6. Általánosított derivált
2.12.6.1. A disztribúció elmélet alapjai
2.12.7. Differenciálegyenletek megoldása analóg számítógépes megközelítéssel
2.13. A stabilitás fogalma
2.13.1. Statikus egyensúlyi állapot
2.13.2. Aszimptotikus stabilitás
2.13.3. Ljapunov stabilitás
2.13.4. Dinamikus egyensúlyi, illetve állandósult állapot
2.13.5. BIBO stabilitás
2.14. Kidolgozott feladatok koncentrált paraméterű rendszerekhez kapcsolódóan
2.15. Alapvető vizsgálati módszerek

2.1. Valós fizikai rendszer fogalma

Definíció

Valós fizikai rendszer egy olyan fizikai objektum, amely mérhető külső kényszer hatására mérhető módon megváltozik.

Értelmezés

Számos esetben találkozunk olyan műszaki problémával, ahol van valamilyen külső kényszer és ennek hatására valami megváltozik. A későbbi szóhasználat egyszerűsítésére bevezetjük a „valós fizikai rendszer” fogalmát: ez egy olyan fizikai objektum, amely mérhető külső kényszer hatására mérhető módon megváltozik (ld. 2-1. ábra). E tananyag fókuszában az áll, hogy miként lehet a valós fizikai rendszereket matematikailag leírni.

Valós fizikai rendszer
2.1. ábra - Valós fizikai rendszer


A műszaki életben előforduló valós fizikai rendszereket többféle szempont szerint lehet kategóriákba sorolni és egy valós fizikai rendszernek többféle matematikai leírása létezhet. A megfelelő leírási mód nemcsak magán a valós fizikai rendszeren múlik, hanem függ a vizsgálat tárgyától is. Például nem mindegy, hogy a valós fizikai rendszer változási folyamataira (tranziens viselkedésére) vagy csak a végállapotára (állandósult állapotára) vagyunk kíváncsiak. Ugyanazon valós fizikai rendszer esetén más-más matematikai eszközt használhatunk e két különböző vizsgálatra. Ezért nagyon fontos, hogy a mérnöki munkában először a vizsgálat tárgyát és célját pontosan definiáljuk, és csak utána válasszunk alkalmas matematikai eszközt a probléma elemzésére és megoldására.

2.2. A jel fogalma

Definíció

A jel egy változó fizikai mennyiség absztrakt információ tartalma.

Értelmezés

A jel egy változó fizikai mennyiség absztrakt információtartalma, jellemzően egy időfüggvény, de mint később a 2.11.2 fejezetben látni fogjuk, bizonyos jelek értelmezéséhez a függvény fogalom általánosítását is meg kell engednünk. Ebből következik, hogy a jel elveszíti az eredeti fizikai mennyiség mértékegységét, sőt még az abszolút nagyságát is elveszítheti, ha áttérünk az ún. relatív egységre. A relatív egységet úgy kapjuk, ha a jelet elosztjuk egy jellemző értékével (általában a névleges értékével), így az értékét százalékosan tudjuk kifejezni. Azonos funkciójú, de különböző fizikai kapacitású, illetve teljesítményű rendszerek ilyen módon válhatnak összehasonlíthatóvá. Ha van például két motorom és mindegyikre 100V feszültséget kapcsolok, akkor ez így nem mond semmit, nem sokat tudok a motor üzemállapotáról, mert lehet, hogy az egyik motor tönkremegy (mert egy eredetileg 10 voltra tervezett kis motor), a másik el sem tud indulni (mert több kV-ra tervezett hatalmas motor). Két motor túlterhelhetősége annak alapján hasonlítható össze, hogy a névleges értékük hányszorosát viselik el. A relatív egység használata számos előnnyel jár a mérnöki gyakorlatban.

A jeleket különböző szempontok szerint szokás osztályozni. Jelen tananyag a nevéből adódóan a rendszerekre fókuszál, ezért a jelek osztályozását a rendszerek osztályozásához kapcsolódóan végezzük el.

2.3. A be- és kimenetek fogalma

Definíció

A valós fizikai rendszerre ható és időben változni képes kényszereket nevezzük fizikai bemeneteknek.

A valós fizikai rendszernek a fizikai kényszerek hatására bekövetkező bármely változása lehet fizikai kimenet, ezek közül azt tekintjük fizikai kimenetnek, amelyet az adott vizsgálatban közvetlenül vagy közvetve mérünk.

Értelmezés

A valós fizikai rendszerre ható és időben változni képes kényszereket nevezzük fizikai bemeneteknek, ezek közül megkülönböztetjük az irányított (mesterségesen változtatható) és a környezet által meghatározott (ezért sokszor nem ismert) fizikai bemenetet. A fizikai bemenetekhez tartozó jelet (a bemenőjelet) gerjesztésnek is nevezzük. Az előbbi felosztásnak megfelelően a gerjesztéseken belül megkülönböztethetünk beavatkozó és zavaró jelet. Ez utóbbiról sokszor nincs pontos információnk, de valós fizikai rendszereknél ezzel mindig számolni kell. A zavaró jeleket is két nagy csoportra bonthatjuk, nevezetesen a zaj- és terhelésjellegű jelekre. Ha a terhelést ismerjük, akkor azt bemenőjelnek is tekinthetjük. Szokásosan a beavatkozó jelet az u, míg a zavaró jelet (az angol disturbance után) a d betű jelöli.

A valós fizikai rendszernek a fizikai kényszerek hatására bekövetkező bármely változása lehet fizikai kimenet, ezek közül azt tekintjük fizikai kimenetnek, amelyet az adott vizsgálatban közvetlenül vagy közvetve mérünk. A fizikai kimenethez tartozó kimenőjelet sokszor válaszjelnek nevezzük, és szokásosan y betűvel jelöljük. Meg kell jegyeznünk, hogy a fizikai kimenet definíciójában semmilyen megkötés vagy útmutatás nincs arra vonatkozóan, hogy miként válasszuk ki a mérendő fizikai mennyiséget, ezért azzal később külön kell foglalkozni, hogy a mérésekből a valós fizikai rendszer teljes (vagy az adott vizsgálat szempontjából érdekes részleges) működése rekonstruálható-e. Más szavakkal a mérés tartalmazza-e a számunkra érdekes információt.

A valós fizikai rendszer vizsgálatának az első lépése a fizikai be- és kimenetek meghatározása. Egy rendszernek az adott használattól vagy a vizsgálat tárgyától függően más és más fizikai bemenetei, illetve kimenetei lehetnek. Csak egy nagyon egyszerű példát alapul véve: egy kerékpár kanyarodását első közelítésben a kormány elforgatásával tudjuk elérni. Már abban is van különbség, hogy hol van a kezünk a kormányon, minél szélesebben fogjuk, annál kisebb erővel (kényszerrel) tudjuk elforgatni. Kis sebességeknél biztosan elegendő a kormányra koncentrálni, de aki nagy sebességnél pusztán a kormányt forgatja, az hamar rájön, hogy kanyarodáshoz a súlypontáthelyezés is elengedhetetlen. Vannak, akik úgy is tudnak kanyarodni, hogy közben nem fogják a kormányt. Az ő esetükben a kerékpár haladási iránya szempontjából a súlypontáthelyezést lehet bemeneti kényszernek tekinteni, ugyanakkor a kormány elfordulása a kiadódó mennyiségek közé sorolandó, így lehet fizikai kimenet. Azt is sok kerékpáros tapasztalhatta, hogy egy kavics, vagy az útpadka ugyancsak eltérítheti a kerékpárt eredeti irányából. Így ha nem sima úton haladunk, akkor a talaj egyenetlenségeit is bemeneti kényszernek (zavarójelnek) kell tekinteni. Ismét más kényszert és kiadódó változó mennyiséget kapunk, ha pl. a kerékpár által megtett utat vizsgáljuk.

A mechatronikában gyakran egyenáramú szervomotort alkalmazunk mozgatásra. Gyakori ipari előfordulása és egyszerűsége miatt e tananyagban is több példában alkalmazzuk az egyenáramú motort. A motort, mint valós fizikai rendszert vizsgálva az egyértelmű, hogy a motor működését az armatúra tekercsen keresztül tudjuk befolyásolni, de nem mindegy, hogy az armatúra tekercs áramát vagy feszültségét írjuk-e elő. Az áramvezérlés esetén az armatúra-áram a kikényszerített mennyiség és az armatúra-feszültség a motor fordulatszámától függően kiadódik. A feszültségvezérlés esetén az armatúra-feszültség a kikényszerített mennyiség, és az armatúraáram a terheléstől függően fog kiadódni. Ugyancsak a motornak kiadódó mennyisége lehet a nyomatéka, fordulatszáma és szögelfordulása. Az is világos, hogy ezek a kiadódó mennyiségek egymástól nem függetlenek. A motor enkóder jeléből a szögelfordulásást közvetlenül a szögsebességet közvetve ki tudjuk számítani, és fordítva.

A fenti példák annak szemléltetésére szolgálnak, hogy a fizikai be- és kimenetek meghatározása nem mindig triviális, ezért bármilyen vizsgálatot ezek pontos elemzésével kell kezdeni.

2.4. Az absztrakt rendszer fogalma

Definíció

A rendszer egy valós fizikai rendszer valamilyen pontosságú és meghatározott működési tartományra érvényes absztrakt modellje, amely a bemenőjelek és a kimenőjelek között teremt matematikai kapcsolatot

Értelmezés

A rendszer egy valós fizikai rendszer valamilyen pontosságú és meghatározott működési tartományra érvényes absztrakt modellje, amely a bemenőjelek és a kimenőjelek között teremt matematikai kapcsolatot (ld. 2-2. ábra). Megjegyezzük, hogy a rendszerhez választhatunk olyan bemenőjelet, amely a valós fizikai rendszert tönkretenné, és a rendszer matematikailag kiszámíthat olyan kimenőjelet, amelynek kiadására a valós fizikai rendszer fizikailag képtelen. Ezért fontos, hogy egy rendszer vizsgálatakor meggyőződjünk annak érvényes működési tartományáról.

Az előző fejezetben leírtaknak megfelelően a bemenőjelek közül a 2-2. ábran megkülönböztettük a zavaró és a beavatkozó jelet. A zavaró jelet sok esetben elhanyagoljuk. Ha erről külön nem teszünk említést, akkor a beavatkozó jel megegyezik a bemenőjellel. A be- és a kimenőjeleken kívül a rendszernek lehetnek további belső jelei. Ha a későbbiekben a rendszer, be- és kimenet szavakat a „fizikai” jelző nélkül használjuk, akkor mindig az absztrakt matematikai értelmükre gondolunk.

A mérnöki munkában valós fizikai rendszereket kell alkotnunk, és ehhez ismernünk kell azok működését, valahogy le kell tudni írni a belső változásokat. A valós fizikai folyamatok lezajlásáról részben a korábbi tapasztalatunk (fogalmazhatunk úgy, hogy a mérnöki ösztön) alapján, részben a folyamatokat leíró egyenletek alapján nyilatkozunk. Tisztán matematikai egyenletekkel sohasem tudjuk teljes pontossággal leírni a körülöttünk lévő világot, mindig szükség lesz a mérnöki tapasztalatra. A mérnöki munka szépsége e két megközelítés összhangjának megteremtésében rejlik. A Rendszertechnika tárgy pusztán a matematikai megközelítéssel foglalkozik.

A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy milyen matematikai kapcsolat adható meg a bemenetek és a kimenetek között.

A rendszer általános grafikai jele
2.2. ábra - A rendszer általános grafikai jele


A rendszereket szokás a be- és kimenetek száma szerint csoportosítani (ld. 2-3. ábra). A klasszikus szabályozástechnikában elsősorban egy bemenetű egy kimenetű rendszerekkel (angolul Single Input Single Output SISO) találkozunk. A modern szabályozáselmélet foglalkozik több bemenetű több kimenetű rendszerekkel (angolul Multiple Input Multiple Output MIMO). Természetesen beszélhetünk egy bemenetű több kimenetű (SIMO) és több bemenetű egy kimenetű (MISO) rendszerekről is.

Rendszerek csoportosítása a be- és kimenetek száma szerint
2.3. ábra - Rendszerek csoportosítása a be- és kimenetek száma szerint


2.5. Lineáris és nemlineáris rendszerek fogalma

Definíció

A lineáris rendszerek legfontosabb tulajdonsága, amely egyben definícióként is használható, hogy érvényes rájuk a szuperpozíció elve.

Értelmezés

Ez az egyik legfontosabb tulajdonság, amelyet minden vizsgált rendszerről el kell dönteni. A lineáris rendszerek matematikailag sokkal könnyebben kezelhetők, mint a nemlineáris rendszerek. Kézenfekvő, hogy a lineáris rendszereket lineáris egyenletekkel (algebrai, közönséges és parciális differenciálegyenletekkel) írhatunk le. A lineáris rendszerek leggyakrabban kihasznált tulajdonsága a bemeneti hatások szuperponálhatósága (ld. 2-4. ábra). Ezt használhatjuk ki, ha méréssel kell eldönteni egy valós fizikai rendszerről, hogy lineáris-e. Pl. egy ellenállás esetén rákapcsolunk egy feszültséget (mint bemenőjelet), és megmérjük az ennek hatására kialakuló áramot (mint kimenő jelet). Ha az adott feszültséget felére, illetve kétszeresére változtatjuk, és azt tapasztaljuk, hogy ekkor az áram is felére, illetve kétszeresére nő, akkor az ellenállás az adott működési tartományban lineáris. Hasonlóan, ha egy rugót megterhelünk egy erővel, és az erőt felére vagy kétszeresére változtatjuk, akkor a rugó megnyúlása is a fele, illetve a kétszerese lesz. Gyakori, hogy egy rendszer csak egy adott működési tartományban lineáris (csak egy adott működési tartományban érvényes rá a szuperpozíció elve.) Pl. ha a rugót teljesen összenyomtuk, vagy teljesen kinyújtottuk, akkor az erő további növelése nem okoz változást.

Könnyen belátható, hogy két lineáris rendszer soros vagy párhuzamos kapcsolásából keletkező eredő rendszer is lineáris. Ezt a tulajdonságot is gyakran kihasználjuk.

Szuperpozíció elve SISO rendszer esetén
2.4. ábra - Szuperpozíció elve SISO rendszer esetén


Azok a rendszerek, amelyek nem írhatók le lineáris egyenletekkel, nemlineárisak. A nemlineáris rendszerek is osztályozhatók annak függvényében, hogy miben rejlik a nemlineáris jelleg. A továbbiakban elsősorban lineáris rendszerekkel foglalkozunk.

MIMO rendszerek esetén a 2-4. ábraán látható bemeneti és kimeneti mennyiségek általános esetben vektorosan értendők. A vizsgálati módszer gyakran az, hogy csak az egyik bemenetre adunk gerjesztést és megvizsgáljuk a rendszer válaszát, majd egy másik bemenetre adunk gerjesztést annak a válaszát is megvizsgáljuk, végül a két bemenetre együttesen adunk gerjesztést. Ha a rendszer lineáris, akkor a két benetet együttesen gerjesztve a rendszer válasza a két külön válasz összege.

A valós fizikai rendszerek működésében valahol biztosan jelentkezik a nemlineáris jelleg. Elég arra gondolnunk, hogy mindig található olyan nagy fizikai bemenőjel, amely tönkre tudja tenni a valós fizikai rendszert, és ekkor a linearitás értelemszerűen megszűnik. Így a linearitás egy működési tartományra és pontossági követelményre jellemző tulajdonság. Fordított megközelítésben, a nemlineáris valós fizikai rendszert vizsgálva a legtöbb esetben egy munkapont körül kijelölhető egy olyan tartomány, ahol a működés lineárisnak tekinthető. Legyen a munkaponti egyenlet, amely az munkaponti bemenőjel és az munkaponti kimenőjel között adja meg a kapcsolatot:

(2.1)

Módosítsuk a bemenőjelet a munkapont körül

(2.2)

(2.3)

A rendszer az adott munkapontban lineáris, ha

(2.4)

Sok esetben a rendszer a munkapontban sem lineáris, de lineárisan közelítjük. Ezt nevezik munkaponti linearizálásnak, és gyakran élünk ezzel a lehetőséggel. Megjegyezzük, hogy léteznek más linearizálási módszerek is. Mechanikai rendszereknél általában az egyesúlyi helyzetet keressük meg, és e körül linearizálunk. A Rezgéstanban számos ilyen feladattal találkozhattak.

Néhány gyakori oka a nemlineáris viselkedésnek: mágneses köröknél a telítődés és a hiszterézis, mechanikai rendszereknél a súrlódás, kotyogás és a mozgás korlátozása, teljesítményelektronikai berendezések esetén a kapcsoló üzemmód, elektronikai áramkörökben az offszet, valamint bármely irreverzibilis változás.

2.6. Determinisztikus, sztochasztikus és kaotikus rendszerek fogalma

Definíció

Determinisztikus rendszerről akkor beszélünk, ha egy konkrét bemenőjelre a rendszer teljes ismeretében mindig egy konkrét kimenőjel analitikusan kiszámítható.

Definíció

Sztochasztikus rendszer egy konkrét bemenőjelre adott válaszát nem tudjuk pontosan meghatározni, csak annak a valószínűségi eloszlását. A rendszer tartalmaz valamilyen véletlenszerűségen alapuló elemet.

Definíció

Olyan nemlineáris dinamikával rendelkező determinisztikus rendszereket nevezünk kaotikusnak, amelyek hosszú távú viselkedése csak statisztikailag írható le.

Értelmezés

Kihangsúlyozzuk, hogy sokszor nem az a kérdés, hogy maga a valós fizikai rendszer determinisztikus vagy sztochasztikus, sokkal inkább a leírási mód a kérdés. Számos esetben egy valójában determinisztikus, de összefüggéseiben nagyon bonyolult folyamatot egyszerűbb sztochasztikus szabályokkal leírni. A véletlen számok generálásának egy tipikus eszköze a dobókocka. Ha egy geometriailag pontosan megmunkált, homogén anyag kitöltésű dobókockát elgurítunk, akkor az azonos valószínűséggel áll meg bármely oldalán. Ez így egy tipikus sztochasztikus folyamat. Kisgyerekek gyakran azzal próbálják a „hatos” dobásának az esélyét megnövelni, hogy a dobókockát úgy fogják a kezükbe, hogy a „hatos” felfelé legyen. Ez nem sokat szokott segíteni, ha csak azt a dobást tekintjük érvényesnek, amikor a dobókocka ténylegesen gurul egy keveset. Az eldobás erejét nem tudjuk olyan pontosan szabályozni, hogy a dobókocka mindig ugyanúgy álljon meg. A folyamatot a kezünk pontatlansága teszi sztochasztikussá. Ezzel szemben, ha pontosan tudjuk, hogy egy robot miként fogta meg a dobókockát (vagyis tudjuk a kezdeti állapotot) és pontosan tudjuk, hogy milyen irányba, milyen erővel az asztaltól milyen távolságban dobta el a dobókockát (vagyis pontosan tudjuk a rendszer bemenőjelét), továbbá ismerjük a dobókocka fizikai paramétereit (vagyis ismerjük a rendszeregyenleteket), akkor a folyamat determinisztikussá válik. Meg van az elvi esély, hogy előre ki tudjuk számítani, hogy mit fog egy robot dobni. Hasonlítsuk össze egy labda és egy dobókocka elgurítását. Egy labda és egy nagy síkfelület esetén, ha egy kicsivel megváltoztatjuk a labda kezdeti helyzetét a gurítás pillanatában, akkor mindig ugyanennyivel fog megváltozni a végállapot. Ezzel szemben, ha egy dobókockának kicsivel megváltoztatjuk a kiindulási állapotát, akkor ez lehet, hogy nincs hatással a végső állapotra, de előfordulhat, hogy a kezdeti feltételek apró megváltoztatása miatt a dobókocka eggyel többször billen át, vagy elmarad az utolsó átbillenése. Lineáris rendszerek esetén a szuperpozíció elvéből következően, a bemenőjel megváltoztatásával arányos lesz a kimenőjel megváltozása. Egy periodikusan működő nemlineáris rendszer esetén is tetszőleges időtávra pontosan meg tudjuk mondani a kimenőjel értékét. Vannak olyan rendszerek, ahol a kezdeti érték minimális megváltozása is teljesen megváltoztatja a jel későbbi alakulását. Ilyen rendszerek válhatnak kaotikus működésűvé. A kaotikus jelenségek tipikus példája az időjárás. Ahogy az időjárást befolyásoló változókat egyre pontosabban tudjuk mérni, és egyre bonyolultabb számításokat tudunk végezni, úgy egyre pontosabb rövidtávú prognózisokat tudunk készíteni (ebből látszik a rendszer determinisztikus volta), de minél hosszabb távra próbálunk előretekinteni, úgy a prognózis egyre bizonytalanabbá válik.

Valós fizikai rendszerek esetén mindig szükség van valamilyen mérésre és a méréshez mindig társul zaj. Tipikusan a zajok és azok hatása tekinthető sztochasztikusnak. Vagyis sok esetben a determinisztikus és sztochasztikus jel együtt jelenik meg. Fontos feladat lehet ezek szétválasztása. Ennek egyik módja a jel szűrése. A szűrést elvégző szűrőre úgy tekinthetünk, mint matematikai eljárást megvalósító rendszerre, ahol a bemenet a zajos jel, a kimenet a szűrt jel. A mérnöki gyakorlatban sokszor előbb készül el az absztrakt matematikai modell, és ahhoz keresünk valós fizikai rendszert. Ennek kapcsán egy újabb fontos fogalmat kell tisztázni. Külön megkell említeni a kaotikus rendszereket, amelyek valójában deteminisztikusak, de bizonyos szempontból sztochasztikusnak látszanak.

2.7. Kauzalitás fogalma

Definíció

Egy rendszert akkor nevezünk kauzálisnak, ha a rendszer kimenőjele bármely időpillanatban nem függ az adott időpont utáni bemenőjelektől (gerjesztésektől), vagyis a jövőbeni események nem hatnak a jelenre.

Értelmezés

Természetesen minden valós fizikai rendszer és minden a méréssel azonos időben működő jelfeldolgozó algoritmus kauzális. A kauzalitás lehet a kritériuma annak, hogy egy adott matematikai algoritmus megvalósítható-e a vizsgálattal, vagy a méréssel egy időben (valós időben) pl. később látni fogjuk, hogy egy ideális aluláteresztő szűrő nem kauzális, ezért elvileg lehetetlen, hogy a méréssel egy időben működve megvalósítsuk. Egy mérési adatsoron elvégzett utólagos jelfeldolgozó algoritmus esetén a kauzalitás nem feltétlenül szükséges, mivel ezeket az algoritmusokat egy múltbeli időpontban úgy alkalmazzuk, hogy ahhoz a múltbeli időponthoz képest a vizsgálandó jövő ismert. Példaként könnyen beláthatjuk, hogy ha különböző frekvenciájú és különböző amplitúdójú szinuszos jeleket kívánunk szűrni egy ideális aluláteresztő szűrővel, és egy nullátmenet után azt tapasztaljuk, hogy a jel meredeken nő, akkor ez lehet egy nagy amplitúdójú kis frekvenciájú jel, amelyet át kell engedni, vagy lehet egy nagy frekvenciájú kis amplitúdójú jel, amelyet el kell nyomni. A nullátmenetnél nem tudjuk, hogy mit kell tennünk, de a jel egészét áttekintve könnyen eldönthetjük, hogy az adott jelet átengedni, vagy elnyomni kell.

Sociális, illetve társadalmi rendszerek lehetnek jövőbelátók (anticipatívak), pl. a jelen tőzsdei folyamatait a jövő vélt vagy valós ismerete befolyásolja.

2.8. Paraméter és változó fogalma

Definíció

A valós fizikai rendszert leíró egyenletek együtthatói a paraméterek.

Értelmezés

Első közelítésben azt mondhatjuk, hogy egy valós fizikai rendszer matematikai leírásában szereplő állandókat paraméternek, az időben változni képes mennyiségeket változóknak nevezzük. Az előbbire példa az ellenállás (első közelítésben), az utóbbira a feszültség és az áram.

(2.5)

Sokan ragaszkodnak ehhez a szigorú megkülönböztetéshez, azonban a szakirodalomban találkozunk időben változó paraméter kifejezéssel is. A paramétert abban az értelemben használjuk, hogy azok a valós fizikai rendszert leíró egyenletek együtthatói. A változó paraméterű rendszer változó együtthatójú egyenletekkel leírható rendszert jelent.

Gyakran előfordul, hogy egy valós fizikai rendszernek létezik egy közmegegyezésen alapuló paraméteres leírása, amely bizonyos pontossággal, bizonyos működési tartományban jól használható (ld. Ohm törvény (2.5)). Ha a pontosságot vagy a működési tartományt növelni kívánjuk, akkor előfordulhat, hogy az egyszerűbb leírásban állandónak tekintett és állandó értékű paraméterként viselkedő mennyiség változásait is figyelembe kell venni, pl. egy áramkörben a hőmérséklettől függően változhat az ellenállás értéke. Tegyük fel, hogy (2.5) egy aszinkronmotor forgórészköri tekercs ellenállásán eső feszültséget írja le. Ez az ellenállás üzemi hőmérsékleten akár 50%-kal is megnövekedhet a szobahőmérsékleten mért értékhez képest. Ha a számításainkat pontosítani akarjuk, akkor a hőmérsékletet tekinthetjük egy új változónak, amelynek értékét egy meglehetősen bonyolult f hőtani függvény segítségével számíthatjuk ki. A hőmérsékletet megadó f függvény függ az áramtól, a külső hőmérséklettől, a motor fordulatszámától és számos egyéb körülménytől.

(2.6)

A hőmérséklet meghatározása nagy számítási kapacitást igényel, különösen, ha arra is tekintettel kívánunk lenni, hogy a hőmérséklet nem egyenletes eloszlású a tekercsen belül. Ugyanakkor a (2.5) egyenletre nem önmagában van szükség, ez beépül egy nagyobb, a motor működését leíró rendszerbe. Általában törekszünk lineáris rendszerek használatára. Ha a (2.6) egyenletet alkalmazzuk, akkor a motor működését leíró rendszer biztosan elveszíti a linearitását. E rendszert felhasználhatjuk a motor működésének szabályozásakor. Pl. mérjük a motor aktuális áramait és fordulatszámát, majd ezekből a mérési eredményekből és a motor működését leíró rendszer segítségével kell kiszámítanunk, hogy mekkora feszültségeket kell a motor kapcsaira kapcsolni a kívánt működés elérése érdekében. Ha bonyolult a rendszer, sokat kell számolni, akkor mire kiszámítjuk a motorra kapcsolandó feszültséget, a mérési eredmények érvényüket vesztik. Pl. ha egy autóban van ez a motor, akkor rég nekimentünk a falnak, mire kiszámítjuk, hogy fékezni kellene. Természetesen, ahogy egyre olcsóbban, egyre nagyobb kapacitású számítástechnikai eszközöket tudunk vásárolni, úgy egyre bonyolultabb modelleket tudunk a méréssel egy időben számolni. De a rendszer bonyolultságának mindig lesz egy határa, és elképzelhető, hogy a méréssel egy időben számítható modell még mindig nem ad kellő pontosságú eredményt.

Egy kompromisszumos megoldás lehet, hogy egy tipikus működést feltételezve offline módon kiszámítjuk, hogy az R ellenállás az időben miként változik, azaz egyszerűen időben változó paraméterként kezelhetjük.

(2.7)

A pontosságot úgy tudtuk megnövelni a (2.5) összefüggéshez képest, hogy nem veszítettük el a linearitást, a számítási igényt sem növeltük meg jelentősen, de (2.7) csak akkor ad jobb eredmény, ha a tipikus működéstől nem térünk el jelentősen.

Az időben változó paraméter használatának van egy másik fontos előnye, miszerint megőrizhető a rendszer linearitása. A példánkban (2.6) egy pontosabb, mindig érvényes, de nemlineáris modell, (2.7) csak egy tipikus működés esetén érvényes, de lineáris modell.

2.9. Elosztott és koncentrált paraméterű leírás fogalma

Definíció

Az elosztott paraméterű leírás esetén a tér minden pontjában meghatározunk valamilyen matematikai összefüggést, leginkább parciális differenciálegyenletek formájában.

Koncentrált paraméterű leírás esetén a vizsgált valós fizikai rendszer összefüggéseit egy adott térrészben kiátlagoljuk, és egyetlen egyenlettel helyettesítjük.

Értelmezés

Talán ez az első és legnagyobb elágazás, de addig nem foglalkozhattunk ezzel, amíg a paraméter fogalmát nem tisztáztuk. Az elosztott szó itt a térbeli eloszlásra utal. Az elosztott paraméterű leírás esetén a tér minden pontjában meghatározunk valamilyen matematikai összefüggést, leginkább parciális differenciálegyenletek formájában. Tipikusan a hullámjelenségek (akár elektromágneses, akár mechanikai), anyagon belüli hő- és belsőfeszültség-eloszlások tartoznak ide. Ezeket az egyenleteket leginkább végeselem módszerrel oldjuk meg. Ez a témakör más tananyagokba tartozik.

Koncentrált paraméterű leírást akkor alkalmazhatunk, ha a vizsgált valós fizikai rendszer összefüggései egy adott térrészben kiátlagolhatók és összevont egyenlettel helyettesíthetők. Ezzel az egyszerűsítéssel a mérnöki gyakorlatban nagyon gyakran élünk. Pl. Ha egy rúd tartó szerepet tölt be, akkor egy térfogattal és tömeggel jellemezhető merev test. Ha hangvillaként használjuk, akkor a hullámok vizsgálatához minden pontját külön kell számítani, ezért az elosztott paraméterű modellre van szükség. Akkor is elosztott paraméterű modell szükséges, ha azt számítjuk ki, hogy erő hatására hol törik el a rúd.

Ebben a tananyagban - a továbbiakban - csak koncentrált paraméterű leírást alkalmazunk. Ettől függetlenül néhány később tárgyalt kategória alkalmazható elosztott paraméterű leírás esetén is. A koncentrált paraméterű leírásnak oka lehet, hogy rövidebb számítási időt igényel. Pl. egy robot tervezésekor azt szeretnénk tudni, hogy akár statikus, akár dinamikus terhelés esetén hol lépnek fel a legnagyobb belső feszültségek, ezért hol kell erősíteni, vagy hol lehet még biztonsággal gyengíteni a mechanizmust, akkor biztosan elosztott paraméterű leírást kell alkalmazni, és előfordulhat, hogy egy dinamikai vizsgálatnál egy 10 perces mozgás közben ébredő erők kiszámítása egy órán keresztül tart. A tervezési fázisban ez megengedhető. Ezzel szemben, a robot szabályozásánál, mérünk valamit és a lehető legrövidebb időn belül valahogy be kell avatkoznunk a robot mozgására vonatkozó céljaink elérése érdekében. Nem engedhető meg, hogy percekkel később számítsuk ki, hogy valamikor a múltban hogy kellett volna beavatkozni. A gyorsabb beavatkozás érdekében kénytelenek vagyunk lemondani a pontosságról.

2.9.1. Vektormezővel leírható rendszerek koncentráltparaméterű modellje

Ebben a fejezetben koncentrált paraméterű rendszert leíró egyenletek strukturális hasonlóságát, pontosabban hálózatok számítási módszereit vizsgáljuk. A koncentrált paraméterű leírás mindig valamilyen közelítést, illetve elhanyagolásokat jelent. Az elhanyagolások a villamos áramkörök számításánál (ott is inkább az alacsony frekvenciás gerjesztések esetén) a legkisebbek. Talán ez az oka, hogy a villamos áramkörök számítása van a legjobban kidolgozva, így más fizikai jelenségek leírására sokszor villamos analógiát használunk. E jegyzetben is a villamos áramkörök számítását vizsgáljuk meg részleteiben és a kapott eredményeket általánosítjuk.

Sok fizikai jelenséget egy vektormező divergenciájával és rotációjával lehet a legtömörebben leírni. Ezekből az egyenletekből koncentrált paraméterű modelleket alkothatunk, és ehhez kapcsolódóan származtathatunk fizikai mennyiségeket, létrehozhatunk hálózatokat.

Definíció

A megmaradási törvényekből származtatott koncentrált paraméterű fizikai mennyiségeket extenzív fizikai mennyiségeknek nevezzük. Sok esetben az extenzív fizikai mennyiségek egy vektormező divergenciájából származtathatók. Tipikusan extenzív fizikai mennyiségek a különböző típusú energiák és anyagmennyiségek, de ide tartozik a térfogat (hidrosztatika), az impulzus és impulzus momentum is.

Értelmezés

Elosztott paraméterű modellekben a megmaradási törvények divergencia egyenletek formájában írhatók fel, amelyek a forrásokra és a nyelőkre vonatkoznak, és azt fejezik ki, hogy a tér egy adott pontjában a legkülönbözőbb típusú anyag és energiákhoz köthető áramok átfolynak (befolynak és/vagy kifolynak), vagyis a tér minden pontjához a forrás értékére vonatkozó skalár értéket rendelünk, így a tér forrás sűrűségét kapjuk. Szokásos még az a megközelítés, hogy ha két térrészt egyesítünk, akkor (linearitást feltételezve) az eredő térrészben az extenzív fizikai változót jellemző érték a két térrész extenzív fizikai változói értékének az összege. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a térrészek egyesítésekor a extenzív fizikai változók additívak (linearitást feltételezve). A forrás sűrűségből összegzéssel számíthatjuk egy adott térrészre az összesített forrásokat (nyelőket). Az így kapott érték csak egy adott pillanatra vonatkozik, és ebből adódik, hogy egy újabb típusú fizikai változót definiáljunk.

Definíció

Extenzív fizikai mennyiségek rátájának nevezzük az adott extenzív fizikai mennyiség egy adott felületen mérhető időegység alatti változását.

Értelmezés

A jelenségek leírásánál általában a változásokra, pontosabban áramlására vagyunk kiváncsiak. Pl. töltésáram, térfogatáram, hőáram stb.

Az extenzív fizikai mennyiségek változásának két oka lehet, az egyik egy forrás vagy nyelő jelenléte, a másik a fizikai mennyiség vándorlása, illetve áramlása. Ez utóbbinak oka a vektormező örvényességében (illetve örvénymentességében) keresendő. Az extenzív fizikai mennyiségekhez találhatunk egy másik fizikai mennyiséget, amely az extenzív fizikai mennyiségek áramlását okozza.

Definíció

A vektormező örvényességi tulajdonságából származtatott fizikai mennyiségeket nevezzük intenzív fizikai mennyiségnek. Tipikusan intenzív fizikai mennyiség a nyomás, villamos feszültség és hőmérséklet.

Értelmezés

A rotáció a vektormező örvényességére, vagyis az áramlások okára vonatkozik. A tér minden pontjához egy vektor rendelhető, amely tekinthető egy általánosított erőnek, vagyis az egységnyi nagyságú extenzív mennyiségre gyakorolt hatásnak az adott pontban. Szokásos az a megfogalmazás, hogy a térrészek egyesítésekor az eredő térrészben az intenzív fizikai változó kiegyenlítődik, ez az egyesített térrészek súlyozott átlaga. Természetesen az örvényesség okára nézve az intenzív fizikai változók is additívak, vagyis, ha egy újabb örvényességi forrást iktatunk be, akkor a két forrás hatása valamely intenzív fizikai változók esetén is összegződnek (linearitást feltételezve). Az analóg mennyiségeket a 2.2 táblázat első felében foglaltuk össze.

Az extenzív és intenzív fizikai mennyiség fogalma erősen kötődik ahhoz, hogy két térfogatot egymás mellé helyezve egyesítünk, és ekkor igaz az, hogy az intenzív mennyiségek összeadódnak és az extenzív mennyiségek kiegyenlítődnek. Az absztrakt mezőket nem csak egymás mellé tehetjük, hanem egymásba is helyezhetjük (ennek elképzelése sok esetben nem egyszerű). Egy ilyen absztrakt mező egyesítés megvalósítható úgy, hogy az extenzív fizikai mennyiségek egyenlítődnek ki, és az intenzív fizikai mennyiségek adódnak össze. Tipikus koncentrált paraméterű példaként említhetjük az áramköri elemek soros és párhuzamos kapcsolását. Párhuzamos kapcsolásnál a feszültség egyenlítődik ki, és az áramok adódnak össze, soros kapcsolódásnál megfordítva, az áramok egyenlítődnek ki és a feszültségek adódnak össze. Később a 2.2 táblázatban is látni fogjuk, hogy értelmezéstől függően bizonyos fizikai mennyiségek szerepe felcserélhető.

2.9.2. Villamos jelenségek elosztott paraméterű leírása a Maxwell egyenletekkel

(elsősöknek nem ajánlott)

E pontban az elektromágneses mezőt, mint egy elosztott paraméterű modellt mutatjuk be. A (2.8), (2.9), (2.10) és (2.11) egyenleteket szokás differenciális Maxwell egyenleteknek nevezni.

(2.8)

ahol H a mágneses térerősség és J a vezetési áramsűrűség vektora, valamint D az eltolási vektor. ( tag az ún. eltolási áram). Az üzenet a következő: A mágneses tér mindig örvényes és ennek forrása valamilyen áram: vezetési vagy eltolási.

(2.9)

ahol E az elektromos térerősség és B a mágneses indukció vektora.

ahol a töltéssűrűség.

Lineáris, homogén és izotróp közeget feltételezve

ahol és a közeg permittivitása és permeabilitása (az index nélküli érték az egy adott közegre vonatkozik, amely felbontható a vákuumra vonatkozó értékre (0 indexszel jelölve) és annak szorzójaként megjelenő relatív értékre.), a nem villamos eredetű elektromotoros-erő, amely szintén oka lehet az elektronok áramlásának, pl. egy akkumulátorban kémiai hatások tartják fent a villamos áramot.

2.1 Táblázat Időben állandó elosztott paraméterű elektromos jelenségek formális analógiája

Elektrosztatika

Stacionárius (rezisztív) áramlási tér

*

Stacionárius mágneses tér

* Származtatott egyenlet:

Stacionárius jelenségek statikai egyenletekkel írhatók le, és ilyen esetben rendszertechnikai értelemben nem beszélhetünk állapotváltozóról. A rendszertechnikában az állapotváltozó mindig valamilyen dinamikai tulajdonsághoz (tároló elemhez) köthető és az állapotváltozókra mindig valamilyen differenciálegyenlet írható fel. Ugyanakkor a stacioner állapot leírására is szükségünk van valamilyen fizikai mennyiségekre és ezeknek megfelelő matematikai változókra. A 2.1 táblázat kiegészíthető nem villamos jelenségekkel is.

2.9.3. Kirchhoff egyenletek származtatása (koncentrált paraméterű modellekhez)

(elsősöknek nem ajánlott)

Ebben a pontban időben állandó jelenségekkel foglalkozunk. A cél az, hogy a 2.1 táblázatban megadott differenciális törvényekből (elosztott paraméterű modellből), koncentrált paraméterű modellt alkossunk.

  • Csomóponti egyenletek

A divergencia egyenleteket a Gauss–Osztrogradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével a vektor felületi integráljává alakítjuk át. A zárt felületet részekre bonthatjuk és az adott felületen a vektort egyszerűen kiátlagolhatjuk. Így jutunk el a koncentrált paraméterű Kirchhoff I. (csomóponti) törvényhez.

Elektrosztatika

Stacionárius (rezisztív) áramlási tér

Stacionárius mágneses tér

  • Hurokegyenletek

A rotáció egyenleteket a Stokes tétel segítségével a vektor vonal integráljává alakítjuk át. A zárt görbét görbeszakaszokra bonthatjuk és az adott görbeszakaszok mentén a vektort egyszerűen kiátlagolhatjuk. Így jutunk el a koncentrált paraméterű Kirchhoff II. (hurok) törvényhez.

Elektrosztatika

Stacionárius (rezisztív) áramlási tér

Mivel nem villamos eredetű, így nem szokás szerepeltetni a (2.9) Maxwell egyenletben. Ugyanakkor oka az elektronok áramlásának az áramkörben, vagyis oka az örvényességnek, ahogy egy szivattyú is keringetni tudja a folyadékot egy zárt csőhálózatban. Így célszerű figyelembe venni az örvényességre vonatkozó egyenletben. A szuperpozíció elvét kihasználva

Értelmezés

A szummában szereplő egy adott hosszegység végpontjai között mérhető feszültségkülönbség, ugyanakkor az értékhez tartozó távolságot nullának kell tekintenünk. Vagyis a szummában szereplő nullától különböző , illetve értékek mind villamos jellegűek, ezért azt mondhatjuk, hogy a külső elektromotoros erőből származó feszültséggel az áramkör villamos jellegű feszültségei tartanak egyensúlyt. Az ideális vezetőn belül az elektromos térerősség ugyancsak nulla. tipikusan egy akkumulátor (szárazelem) sarkai között üresjárásban mérhető feszültség különbség. Ha a szárazelemet terheljük, akkor a sarkain mérhető feszültség csökken a szárazelem belső villamos ellenállásán eső feszültség miatt. az összegzés jobb oldalán található, ezért általában ténylegesen az iránya ellentétes az áramkörben folyó áram irányával. Ezért tud az akkumulátoron belül az elektron a pozitív kimenettől a negatív kimenet felé vándorolni. Váltakozó áramú körökben az indukált feszültség -hez hasonló szerepet tölt be.

Stacionárius mágneses tér

-hez hasonlóan, úgy tekinthetjük, hogy az , magneses motoros erőt is egy nulla hosszúságú szakaszon iktatjuk be a mágneses körbe.

2.9.4. Kétpólusokkal modellezett stacioner állapotú villamos és mágneses áramkörök

Ebben a pontban időben állandó jelenségekkel foglalkozunk, így a tároló elemek kívül esnek e pont tárgykörén. Az előző pontban egy adott felület részre, illetve görbeszakasz mentén kiátlagoltuk az aktuális vektoriális mennyiséget, ebben a pontban a kiátlagolás után egy adott térrészben mind a keresztmetszet mentén, mind egy hosszúság mentén homogén eloszlást feltételezünk, továbbá az anyagminőséget is azonosnak tekuntjük a tér minden pontjában, és ezért az adott térrészt egyetlen koncentrált paraméterel jellemezzük.

2.9.4.1. Elektrosztatika

Tegyük fel, hogy egy adott henger alakú térrészben minden pontjában az és vektorok a henger palástjával párhuzamosan azonos irányba mutatnak, nagyságuk a henger minden pontjában azonos, és , továbbá a henger anyaga homogén, permittivitása a tér minden pontjában azonos. Legyen a henger hossza , egy merőleges keresztmetszetének területe . Egy ilyen homogén elektrosztatikus tér csak egy kondenzátor fegyverzetei között alakítható ki.

Homogén elektromos tér
2.5. ábra - Homogén elektromos tér


A homogén elektromos tér esetén (2.13) alapján:

A hengeren áthaladó villamos (eltolási) fluxus (2.15) és a hengeren eső feszültség (2.19) alapján

;

(2.22)

(2.21) egyenletet átalakítva kapjuk a kondenzátorokra vonatkozó ismert összefüggéseket

2.9.4.2. Stacionárius (rezisztív) áramlási tér

Tegyük fel, hogy egy adott henger alakú térrészben minden pontjában az és vektorok a henger palástjával párhuzamosan azonos irányba mutatnak, nagyságuk a henger minden pontjában azonos, és , továbbá a henger anyaga homogén és vezetőképessége . Legyen a henger hossza , egy merőleges keresztmetszetének területe .

Homogén stacionárius áramlási tér
2.6. ábra - Homogén stacionárius áramlási tér


Az elektromotoros erő hatását különválasztva, tisztán az elektromos térerősség hatására kialakuló áramsűrűség nagysága (2.14) alapján:

A hengeren átfolyó áram (2.16) és a hengeren eső feszültség (2.19) alapján

(2.25)

(2.24) egyenletet átalakítva kapjuk az ismert Ohm törvényt

Külön kell figyelembe venni az adott szakaszon esetlegesen megjelenő elektromotoros erő hatását, ennek megfelelően a henger általános helyettesítő kapcsolása a 2-7. ábraán látható.

Villamos helyettesítő kapcsolás
2.7. ábra - Villamos helyettesítő kapcsolás


2.9.4.3. Stacionárius mágneses tér

Hasonló egyenletek írhatók fel mágneses tér esetén is

Tegyük fel, hogy egy adott henger alakú térrész minden pontjában az és vektorok a henger palástjával párhuzamosan azonos irányba mutatnak, nagyságuk a henger minden pontjában azonos, és , továbbá a henger anyaga homogén és mágneses permeabilitása . Legyen a henger hossza , egy merőleges keresztmetszetének területe .

Homogén mágneses tér
2.8. ábra - Homogén mágneses tér


A gerjesztés (mágneses motoros erő) hatását különválasztva, tisztán az elektromos térerősség hatására kialakuló áramsűrűség nagysága (2.13) alapján

A hengeren áthaladó fluxus (2.17) és a hengeren eső gerjesztés (2.20) alapján

(2.28)

(2.27) egyenletet átalakítva kapjuk a mágneses Ohm törvényt

Külön kell figyelembe venni az adott szakaszon esetlegesen megjelenő gerjesztés (mágnesesmotoros erő) hatását, ennek megfelelően a henger helyettesítő kapcsolása a 2-9. ábraán látható.

Mágneses kör villamos helyettesítő kapcsolása
2.9. ábra - Mágneses kör villamos helyettesítő kapcsolása


2.9.5. Hálózatszámítási analógiák

Két rendszer közötti analógia abból a tényből származtatható, hogy a rendszer működése hasonló alakú egyenletek segítségével írható le. Rendszerek közötti átjárhatóságról, analógiáról Harry F. Olson írt először (Dynamical Analogies, 2. kiadás, Van Nostrand, pp. 27–29, 1958) azzal a céllal, hogy segítséget nyújtson a mérnökök számára különböző rendszerek elemzéséhez és teljesítményeinek meghatározásához. Sok esetben a vizsgált rendszert kétpólusú, koncentrált paraméterű elemekből álló hálózatként írhatjuk le. Minden elemet egy paraméterrel, valamint az átmenő és keresztváltozó kapcsolatát leíró egyenlettel adhatunk meg. Az átmenő változó értéke a kétpólus két kivezetésén azonos, a keresztváltozó a két kivezetés különbségi értéke.

Definíció

Átmenő változó: Egy extenzív fizikai mennyiség rátája egy kétpólusra vonatkoztatva, ahol a kétpólusnak van egy belépő és egy kilépő felülete. Tipikus példa az elektronok, mint extenzív fizikai mennyiség áramlását leíró villamos áram, .

Értelmezés

A megmaradási tételből logikailag is levezethető, hogy ha egy adott térrészben nem változik egy adott extenzív fizikai mennyiség értéke, akkor a térrészt határoló felületen a be- és kiáramló extenzív fizikai mennyiség előjeles összegzése nullát ad. Elosztott paraméterű rendszerek esetén a divergencia egyenletből Gauss–Osztrogradszkij-tétel segítségével jutunk hasonló eredményre. Ebből vezethető le Kirchhoff I. (csomóponti) törvénye. Általánosságban kimondhatjuk: a koncentrált paraméterű modellek esetén az átmenő változók számítására a Kirchhoff I. törvényével analóg csomóponti egyenletet használhatjuk.

Definíció

Keresztváltozó: Az intenzív fizikai mennyiségnek egy kétpólus sarkain mérhető különbségét nevezzük keresztváltozónak. Tipikus példa a villamos feszültség, .

Értelmezés

Az elosztott paraméterű rotációs egyenletből a Stokes tétellel kaphatunk vonalintegrállal számított mennyiséget. A rotációból származtatott koncentrált paraméterű keresztváltozók közös jellemzője, hogy Kirchhoff II. törvényével analóg hurokegyenlet írható fel rájuk. Külön kell tárgyalni az örvénymentes mezőket, ezeket szokás potenciálos vagy konzervatív mezőnek nevezni.

2.9.5.1. A kétpólusú elemeknek

A kétpólusú elemeknek három típusát különböztethetjük meg

Definíció

  • Á-típusú tároló: olyan tároló, amely átmenő változó révén tárolja az energiát (általánosított értelmű energiát). A kétpólus két kivezetésén az átmenő változó időszerinti deriváltja arányos a két kivezetésen mért keresztváltozó különbségével. Tipikus példa az induktivitás. A tárolt energia és a kétpólusra felírható egyenlet

  • K-típusú tároló: olyan tároló, amely keresztváltozó révén tárolja az energiát (általánosított értelmű energiát). A kétpólus két kivezetésen mért keresztváltozó különbségének deriváltja arányos az átmenő változóval. Tipikus példa a kapacitás. A tárolt energia és a kétpólusra felírható egyenlet:

  • P-típusú elem: olyan elem, amely esetén a kétpólus két kivezetésen mért keresztváltozó különbsége arányos az átmenő változóval (Proporcionális-elem). Általában nem tárol energiát, hanem általában épp ellenkezőleg, elnyeli azt, más szavakkal hatására energia disszipálódik a rendszerből. De az elektrosztatikus és mágneses körök esetén pont ez az elem tárolja az energiát. Tipikus példa az ellenállás. Az energiára (ellenállás esetén a disszipált energiát jelent), és a kétpólusra felírható egyenlet:

2.2 Táblázat analógiák

Extenzív mennyiség

Intenzív mennyiség

Koncentrált paraméterű leírás kétpólus elemekkel (az . elemre felírva )

vektormező

koncentrált forrás

vektormező

koncentrált

örvényesség

átmenő változó

keresztváltozó

P-típusú elem

K-típusú tároló

Á-típusú tároló

extenzív mennyiségből származtatva

(eredő mennyiség)

Elektrosztatika

eltolási vektor

elektromos töltés

elektromos térerősség

nulla potenciálos

villamos fluxus

nem töltés rátája!!!

feszültség különbség

kondenzátor, helyén annak reciproka szerepel

nem definiált

nem definiált

Elektromos áramkör

eltolási vektor

elektromos töltés

elektromos térerősség

elektro-motoros erő

elemen átfolyó elektromos áram

feszültség esés

ellenállás

kondenzátor

önindukciós tekercs

Mágneses kör*

mágneses indukció

nulla, forrásmentes

mágneses térerősség

gerjesztés

(magneto-motoros erő)

elemen áthaladó mágneses fluxus

elemre jutó gerjesztés

mágneses ellenállás

nem definiált

hiszterézises és örvényáramú veszteséges vasmag

Hidraulikai

rendszer

Összenyomhat-atlan folyadék

sebesség mező

nulla

forrásmentes

sebesség mező

szivattyú hatása

térfogatáram

nyomás esés

csővezeték elem

(nem lineáris)

térfogat tartály

hidraulikus tömeg

Pneumatikus rsz. összenyomható közeg

sebesség mező

sebesség mező

szivattyú hatása

levegő térfogatáram

nyomás esés

csővezeték (fojtó) elem

(nem lineáris)

térfogat tartály

nem definiált

Lineáris mechanikai rsz.

nem használt

távolság

nem divergenciából származtatott

erő gradiens

nulla, (potenciálos)

relatív sebesség

eredő erő

csillapított mozgású

elem

rugó

két ponton kapcsolódó tömeg

Forgó mechanikai rsz.

nem használt

szögelfordulás nem divergenciából származtatott

nyomaték

gradiens

nulla, (potenciálos)

szögsebesség

eredő nyomaték

csillapított mozgású

elem

rugó

két ponton kapcsolódó inercia

Lineáris mechanikai rsz.

normált

Dirac impulzus

impulzus

gyorsulás

mező

nulla, (potenciálos)

erő

relatív sebesség

csillapított egyenes mozgású

elem**

két ponton kapcsolódó tömeg

rugó

Forgó mechanikai rsz.

normált

Dirac impulzus momentum

impulzus momentum

szög-gyorsulás

mező

nulla, (potenciálos)

nyomaték

relatív szögsebesség

csillapított forgó mozgású

elem**

két ponton kapcsolódó forgó tömeg

rugó

Tisztán termikus

hőmennyiség

hőmérséklet gradiens

hő-áram

hőmérséklet esés

hővezető elem

hő-kapacitás

nem definiált

* A mágneses kör esetén a többi példával ellentétben a D disszipatív elem tárolja és a K-típusú tároló disszipálja az energiát

**értéke a fenti elemek értékének reciproka

Megjegyzés: látható, hogy az elektromos és a mágneses jelenségek esetén az extenzív és intenzív fizikai változókat két-két különböző vektormezőből származtatjuk, ezzel szemben az áramlási problémáknál ugyanannak a vektortérnek vesszük a divergenciáját és a rotációját. Matematikailag az elektromos, illetve a mágneses jelenségek leírásakor elegendő lenne egy-egy vektormezőt definiálni. Vákuum jelenlétében nincs értelme ennek a szétválasztásnak. Ezt a szétválasztást az anyag tulajdonságai indokolják. Az elektromos tér forrása a töltés, de az anyagon belül több különböző módon létrejöhet töltés szétválasztás. Az eltolási vektor és az elektromos térerősség megkülönböztetésének pont az az alapja, hogy az előbbi figyelembe veszi, az utóbbi figyelmen kívül hagyja az anyagon belül az elektromos tér hatására kialakult töltésszétválasztás hatását. Hasonlóan, az anyagon belül az atomi szinten található párosítatlan elektronoknak (az adott elektronpályákon csak egy-egy elektron kering, a részletek a kvantum fizika tárgykörébe tartoznak) van egy állandó mágneses momentuma, amely erősítheti a küldő mágneses tér hatását. Ez modellezhető az anyagon belüli elemi köráramokkal (pl. ahogy az elektron kering az atommag körül), s ez a hatás a mágneses indukcióban megjelenik, de a mágneses térerősségben nem. Ez azt jelenti, hogy a mágneses indukció a teljes mágneses teret (a külső és belső áramok hatását együttesen) írja le, ezzel szemben a mágneses térerősséget kizárólag a külső áramokból számítjuk a gerjesztési törvény alapján, vagyis a külső áramok hatását írjuk le.

További analógiák Függelék Rendszerek és modellezési analógiák című fejezetében találhatók.

2.10. Lineárisan független egyenletek kiválasztása

Összetett rendszereknél, ahol az egyenleteket többféle módon lehet felírni, gondot jelenthet a lineárisan független egyenletek kiválasztása. Tipikusan ilyen rendszerek a különböző hálózatok, beleértve a mágneses és áramköröket, a víz, gáz és egyéb csőhálózatokat, de ide tartozik több koncentrált paraméterű hővezetési probléma is. Ezekre jellemző, hogy csomóponti és hurokegyenletet írhatunk fel. Elsősorban a lineárisan független hurkok kiválasztása okoz gondot, melyhez a gráfelmélet nyújthat segítséget.

2.10.1. Gráfelméleti alapok:

A gráfelmélet a kombinatorika egy fontos ága, amelynek létezik tisztán halmazelméleti megközelítése. A műszaki életben azért népszerű, mert a gráfelméleti fogalmak szemléletesen megjeleníthetők, és a gráfokkal könnyen leírható az áramkörök, csőhálózatok topológiája. A gráfelméleti terminológiák csekély mértékben eltérnek a műszaki életben használt terminológiáktól, ezért a gráfelméleti tárgyalásnál mindkettőt megadjuk, a későbbi alkalmazási példáknál csak a műszaki terminológiákat használjuk. Ebben a megközelítésben a következő definíciókat vezethetjük be:

Gráfelméleti definíciók

2.10.1.1. Gráf:

Csúcsok (műszaki megfelelője: csomópontok) és élek (műszaki megfelelője: ágak) halmazának egymáshoz rendelése oly módon, hogy egy él két csúcsot köt össze és egy csúcshoz több él is csatlakozhat. A csúcsokat pontokkal, az éleket vonalakkal jelöljük (ld. 2-10. ábra). Rajztechnikailag előfordulhat, hogy két él a kétdimenziós papíron keresztezi egymás, valójában az élek csak egy csúcsban találkozhatnak.

Gráfok grafikai megjelenítése
2.10. ábra - Gráfok grafikai megjelenítése


2.10.1.2. Irányított gráf:

Olyan gráf, amelyben az élekhez irányt rendelünk, vagyis megkülönböztetjük az élek kezdő- és végpontját. (ld. 2-11. ábra). A továbbiakban csak irányított gráfokkal foglalkozunk.

Irányított gráf
2.11. ábra - Irányított gráf


2.10.1.3. Egyszerű gráf:

Olyan gráf, amelyben bármely két csúcsot legfeljebb egy él köt össze, továbbá nem tartalmaz olyan élt, amelynek a kezdete és vége is ugyanahhoz a csúcshoz csatlakozik (ld. 2-12. ábra). A továbbiakban az első eset előfordulását megengedjük, de kizárjuk a második esetet.

Hurokél
2.12. ábra - Hurokél


2.10.1.4. Részgráf:

Olyan gráf, amelyet úgy kapunk, hogy egy gráfból kiemelünk csúcsokat és éleket. (ld. 2-13. ábra).

Gráf és részgráfja
2.13. ábra - Gráf és részgráfja


2.10.1.5. Út:

Olyan részgráf, amelyet úgy kapunk, hogy első lépésben a gráfból kiválasztunk egy élt és annak két végén található két csúcsot. Így egy út legalább egy élből és két csúcsból áll. Ezt tovább bővíthetjük úgy, hogy minden lépésben az utat bővítjük egy éllel és egy ahhoz csatlakozó csúccsal. Az élnek olyan csúcsból kell indulnia, amelyhez csatlakozó élek közül e lépést megelőzően csak egy szerepelt az út részgráfban, és az újonnan kiválasztott él másik vége egy olyan csúcs, amely korábban nem szerepelt az útban (ld. 2-14. ábra). Ebből következik, hogy ha egy gráfnak m db csúcsa van, akkor egy olyan útnak, amely tartalmazza a gráf minden csúcsát m-1 db éle van.

Gráf és egy út
2.14. ábra - Gráf és egy út


2.10.1.6. Összefüggő gráf:

Olyan gráf, amelynek bármely két csúcsa között található legalább egy út. Az út fenti definíciójából következik, hogy az út is mindig összefüggő gráf.

2.10.1.7. Kör (műszaki megfelelője: hurok):

Olyan összefüggő részgráf, amelyben minden csúcshoz pontosan két él csatlakozik (ld. 2-15. ábra). Látható, hogy egy körből bármely élt elhagyva utat kapunk.

Gráf és egy kör
2.15. ábra - Gráf és egy kör


2.10.1.8. Fa:

Olyan összefüggő részgráf, amelyikben nincs kör, azaz bármely két csúcsa között csak egy út található (ld. 2-16. ábra). Az út a fának egy speciális este. A fa hasonlóan generálható, mint az út, az egyetlen különbség az, hogy amikor egy új éllel és csúccsal bővítjük a fát, akkor annak a feltételnek nem kell teljesülnie, hogy az élnek olyan csúcsból kell indulnia, amelyhez csatlakozó élek közül e lépést megelőzően csak egy szerepelt a fa részgráfban. Vagyis egy csúcsból tetszőleges számú él indulhat ki, ahogy az élő fatörzs is több felé ágazhat el.

Gráf és egy fája
2.16. ábra - Gráf és egy fája


2.10.1.9. Feszítőfa:

Egy összefüggő gráfban egy olyan fa, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza (ld. 2-17. ábra). A feszítőfára is igaz, hogy ha egy összefüggő gráfnak m db csúcsa van, akkor egy feszítőfának m-1 db éle van. Lineárisan független egyenletek generálásában fontos szerepe van a feszítőfának.

Gráf és egy feszítőfája
2.17. ábra - Gráf és egy feszítőfája


2.10.1.10. Vágat

Egy összefüggő gráfban az élek olyan halmaza, amelyet ha kiveszünk egy összefüggő gráfból az 2 független, de magában összefüggő gráfra esik szét (ld. 2-18. ábra). Más megközelítésben az összefüggő gráf csúcsait két részre osztjuk, és vesszük azokat az éleket, amelyek a két részt kötik össze. Speciális eset, amikor a csúcsokat úgy osztjuk szét, hogy az egyik részbe egy csúcs kerül, a másik részbe az összes többi.

Gráf és egy vágata
2.18. ábra - Gráf és egy vágata


2.10.2. Áramköri hálózatok leírása gráfokkal

Ahogy a bevezetőben is említettük az itt leírt módszer a műszaki élet számos más területén is használható. A továbbiakban áttérünk a műszaki szóhasználatra.

Az első lépés a formális analógia alapján a hálózatgráf felrajzolása. Ehhez a csomópontokat és az azokat összekötő ágakat kell meghatároznunk. Az 2-1 és 2-2 feladatban találunk példát villamos áramkörök és hálózat gráfjára (ld. 2-23. ábra és 2-24. ábra).

2.10.3. Hálózatot jellemző mátrixok

Ha ismerjük a hálózat struktúráját, definiálhatjuk a hálózatot jellemző mátrixokat:

Hurokmátrix (Körmátrix): lineárisan független hurkokra vonatkozó információt tartalmazza. Többféleképpen felírható. Első lépésben kijelölünk egy feszítőfát. Ha a feszítőfához bármely fennmaradó ágat hozzávesszük, akkor garantáltan keletkezik egy hurok. A nem feszítőfa ágak kapják az alacsonyabb sorszámokat és a hurkokat úgy generáljuk, hogy veszünk egy nem feszítőfa ágat és megnézzük, hogy ez a faágakkal hogyan képez egy hurkot úgy, hogy a hurok irányítása egyezzen meg a hurokban szereplő nem faág irányításával. Ezt mátrixosan is felírjuk, úgy, hogy a mátrix oszlopai az egyes ágakat jelölik, a sorai a hurkokat. Az egyes hurkokban az ágakra vonatkozóan a következő értékeket írjuk

  • 0, ha az adott ág nincs benne a hurokban

  • -1, ha az adott ág szerepel a hurokban, a hurokkal ellentétes irányítással

  • 1, ha az adott ág szerepel a hurokban, a hurokkal megegyező irányítással

példa az 2-19. ábra alapján, ahol a kiválasztott feszítőfa élei pirosak :

(2.33)

Itt: Az 1, 2 és 3 ágak nem részei a feszítőfának. Egy adott sorban a nem feszítőfa ágak közül mindig egynek lesz az értéke 1, a másik kettőé pedig 0, így a hurokmátrixban kialakul esetünkben egy 3x3-as egységmátrix.

Lineárisan független hurkok generálása
Lineárisan független hurkok generálása
Lineárisan független hurkok generálása
2.19. ábra - Lineárisan független hurkok generálása


Vágatmátrix: azt az információt tartalmazza, hogy az összefüggő mátrixot milyen ághalmazok kihagyásával lehet két részre osztani. Egy gráfot általában többféleképpen lehet két részre bontani, de ezek a felbontások nem mindig függetlenek egymástól. Lineárisan független vágatokat is a feszítőfa segítségével lehet generálni. A feszítőfa bármely ágát elvágva, két egymástól független, de külön-külön összefüggő részgráfot kapunk. A feszítőfával együtt az összes többi ágat is elvágjuk, amelyek összekötik a kialakuló két részgráfot. A vágatmátrixban az elvágott ágakat szerepeltetjük.

A vágatmátrixnak n-1 sora van (feszítőfa ágainak száma) és m oszlopa (ágak száma). A mátrixba írt értékek a következőképpen értelmezhetőek az elvágott ág iránya szerint:

  • 0 – nincs elvágva (nem tartozik a vágathoz)

  • (-1) – ellenkező irányú az elvágott feszítőfa ágával

  • 1 – egyirányú az elvágott feszítőfa ágával

példa az 2-20. ábra alapján, ahol a kiválasztott feszítőfa élei pirosak:

(2.34)

Itt: 4-5-6-7 a feszítőfa ágai. Az ezek közül éppen elvágott ág viseli az 1-es értéket közöttük, így egy egységmátrix alakul ki.

Lineárisan független vágatok generálása
Lineárisan független vágatok generálása
Lineárisan független vágatok generálása
Lineárisan független vágatok generálása
2.20. ábra - Lineárisan független vágatok generálása


Csomóponti mátrix: A vágatmátrix speciális esete. A lineárisan független vágatokat nem a feszítőfa segítségével generáljuk. Helyette az összefüggő gráfot úgy osztjuk két részletre, hogy a csomópontokat egyenként kiemeljük a gráfból, és az adott csomóponthoz tartozó ágakat vágjuk el.

(2.35)

2.10.4. Áramkörök számítása

A hurok és csomóponti egyenleteket szeretnénk felírni, a csomóponti mátrix és hurok mátrix segítségével. Legyen az ágak száma és a csomópontok száma , így a feszítőfa ágak (egyben a lineárisan független csomópontok, illetve vágatok) száma és a nem feszítőfa ágak (egyben a lineárisan független hurkok) száma .

Minden ágban van egy ellenállás (általános esetben impedancia) és azzal lehet sorba kapcsolva egy feszültség generátor vagy párhuzamosan egy áramgenerátor (ld. 2-21 ábra).

A k-adik ág feszültségeinek és áramainak jelölései
2.21. ábra - A k-adik ág feszültségeinek és áramainak jelölései


Az ágak, illetve az ellenállások áramát valamint feszültségét rendezzük egy-egy oszlopvektorba:

és , illetve és

Hasonlóan rendezzük egy-egy oszlopvektorba a generátor-feszültségeket és generátor-áramokat:

Az ellenállásokat rendezzük egy négyzetes mátrix átlójába:

Csomóponti mátrixot jelölje: ,

A hurokmátrixot jelölje:

Tegyük fel, hogy valamint ismert, és kiszámítandó és , így összesen ismeretlenünk van, vagyis egyenletre van szükség. Ohm törvény alapján egyenletet írhatunk fel. A csomóponti és hurok egyenletek száma , illetve . Ez összesen egyenlet.

A csomóponti és hurok egyenleteket mátrixos alakba rendezhetjük:

Az Ohm törvény mátrixos alakban:

(2.36) egyenletet átalakítva:

(2.37) egyenletet átalakítva és (2.38) behelyettesítéssel :

Mind (2.39), mind (2.40) egyenlet bal oldalán egy mátrixszal van megszorozva. Formálisan a mátrix inverzével kell balról beszorozni, hogy megkapjuk értékét. Ez a művelet akkor ad egyértelmű eredményt, ha a mátrix négyzetes. Az mátrix szorzóját úgy tehetjük négyzetessé, ha a (2.39) és (2.40) egyenleteket egymás alá írjuk

Most már nincs akadálya a mátrixinverziónak.

ismeretéeben a (2.38) Ohm törvény segítségével könnyen megkapható, de a fenti levezetéshez hasonlóan közvetlenül felírható. Ebben a kifejezésben megjelenik az ellenállás mátrix inverze. Mivel diagonális, így elemenként invertálható. Az impedancia reciproka az admittancia, amelynek a jele , ezért az ellenállás mátrix inverzét szokás admittancia mátrixnak nevezni és betűvel jelölni.

Felmerül a kérdés:mi a feltétele annak, hogy a (2.44) illetve (2.45) egyenletben található mátrixinverzió elvégezhető legyen. A mérnöki válasz: Ha egyetlen ellenállás, illetve admittancia értéke sem nulla, akkor az áramkör minden ágában kialakul egy áram és feszültség, a feladatnak egyértelműen megoldhatónak kell lennie. Így fizikai megfontolások alapján állítjuk, hogy az adott mátrixnak invertálhatónak kell lennie. Ezzel szemben, ha van két párhuzamosan kapcsolt olyan ág, amelyek különböző értékű feszültséggenerátort tartalmaznak és a velük sorba kapcsolt ellenállás értéke nulla, illetve van két sorban kapcsolt különböző értékű áramgenerátor és a velük páruzamosan kapcsolt ellenállás admittanciájának értéke nulla, akkor egy fizikailag értelmezhetetlen állapot alakul ki. Ezért a feladatnak matematikailag is megoldhatatlannak kell lennie.

Matematikailag az szükséges, hogy az invertálandó mátrix rangja legyen . Ha a csomóponti egyenletek helyett vágat egyenleteket írunk fel és a 2.10.3 pontban leírtak szerint sorszámozzuk az ágakat, akkor könnyen belátható, hogy az mátrixnak a második felében a mátrixnak az első felében van egy-egy egységmátrix (példaként ld. (2.33) és (2.34)). Ha a mátrixot meg szorozzuk az diagonális mátrixszal, akkor a mátrixban található 1-esek helyére az adott ág ellenállásának értéke kerül (természetesen a megfelelő előjellel), hasonlóan ha a mátrixot meg szorozzuk az diagonális mátrixszal, akkor a mátrixban található 1-esek helyére az adott ág admittanciájának értéke kerül (természetesen a megfelelő előjellel). Mindez nem befolyásolja a mátrix alapvető struktúráját, így ha az , illetve mátrix diagonáljában nincsenek nullák, akkor az invertálandó mátrix sorai garantáltan lineárisan függetlenek. Ha egy-két ellenállás értéke nulla, az nem jelenti automatikusan azt, hogy a mátrix nem invertálható. Az áramkörbe elhelyezhető néhány új ideális feszültséggenerátor, illetve áramgenerátor úgy, hogy az ne okozzon gondot. Az állítás csupán annyi, ha vannak olyan ágak, amelyekben nincs a feszültséggenerátorral sora kapcsolt nem nulla értékű ellenállás, illetve az áramgenerátorral nincs párhuzamosan kapcsolt nem nulla értékű admittancia, akkor tetszőleges elrendezésnél nem garantálható, hogy van egyértelmű megoldás. Így az adott mátrixok sem invertálhatóak.

2.10.5. Módszerek az invertálandó mátrix méretének lecsökkentésére:

2.10.5.1. Hurokáramok módszere

A 2-22. ábrán két hurok található. A hurokban keringő áramot nevezzük hurokáramnak. Az 2-22. ábráról leolvasható, hogy az 1. hurok árama megegyezik az 1. ellenállás áramával. A 2. hurok árama ellentétes a 3. ellenállás áramával, továbbá a 2. ellenállás áram a két hurokáram összege.

Hurokáramok
2.22. ábra - Hurokáramok


Általánosságban a hurokáramok és az ágáramok között a hurokmátrix segítségével teremthetünk kapcsolatot. A hurok mátrix oszlopai azt az információt tartalmazzák, hogy az adott ág melyik hurokban és milyen irányítással szerepel. Ha a hurokmátrix egy oszlopát összeszorozzuk a hurokáramok oszlopával, akkor megkapjuk az adott oszlopnak megfelelő ág áramát. Természetesen ehhez a mátrix művelethez a hurokmátrixot transzponálni kell.

(2.46)

ahol

a hurokmátrix transzponáltja

- az adott hurokban keringő áramok vektora

A hurokmátrix transzponálására azért van szükség, mert az ágakban akarunk összegezni.

A csomóponti egyenletből tudjuk, hogy:

ezt felhasználva, és behelyettesítve (2.47) alakját:

(2.50) mindig teljesül, mert a kiválasztott csomópontokról és a kiválasztott hurkokról tartalmaz információt. Az mátrix egy sora egy csomópontra, a mátrix egy oszlopa egy hurokra vonatkozik. A mátrixszorzásnál egy csomópontot egy hurokkal szorzunk össze áganként. Ha az adott csomópont nem szerepel az adott hurokban, akkor biztosan nullát kapunk. Ha az adott csomópont szerepel az adott hurokban, akkor a csomóponthoz tarozó ágak közül pontosan 2 található meg a hurokban. Ha ennek a két ágnak a csomópont szerint azonos az irányítása (mindkettő a csomópontba mutat, vagy mindkettő kifelé mutat), vagyis a két ághoz tartozó érték az mátrixban azonos előjelű, akkor az egyik ág irányítása megegyezik a hurokirányítással, a másik pedig garantáltan nem. Vagyis az adott sor és oszlop összeszorzásakor garantáltan értéket kapunk. Ha a két ág a hurokban kap azonos előjelet (irányítást), akkor a csomópontnál lesz ellentétes az előjelük. Tehát ebben az esetben is nullát kapunk.

Hurokegyenletek:

Nekünk a hurokáramokra van szükségünk, ezért helyettesítsük (2.51) egyenletbe először értékét (2.38) Ohm törvény alapján, majd értékét (2.47) alapján, végül az egyenletet átrendezve fejezzük ki a hurokáramok oszlopvektorát:

Végül kifejezhetjük az ellenállások áramát:

Hurokellenállás mátrix:

ez közvetlenül felírható (számításnál hasznos), az átlóban lévő elemek az egyes hurkokban lévő ellenállások összegei. Az adott sorban és oszlopban lévő elemek pedig az adott hurkok közös ágakhoz tartozó ellenállások előjeles összegei. Az előjel a hurkok irányításától függ, ha a két hurok irányítása ellentétes, akkor negatív, ha megegyező, akkor pozitív (ld. (2.56)).

Megjegyzés

A hurkok köszös ágai csak a feszítőfa ágak közül kerülhetnek ki. A hurokáramok módszerének nem csak az az előnye, hogy kisebb mátrixot kell invertálnunk, hanem a hurkok megfelelő kiválasztásával befolyásolni tudjuk az invertálandó mátrix kondícióját, és ezzel numerikus problémákat kerülhetünk el. Pl. van néhány ág, amelynek az ellenállása nagyságrendekkel kisebb a többi ág ellenállásánál, akkor azokat az ágakat nem választjuk be a feszítőfába.

2.10.5.2. Vágatfeszültségek módszere

A vágatfeszültségek módszere hasonlít a hurokáramokéhoz, de itt nem egyes hurkokhoz rendeljük a bennük keringő áram értékét, hanem az egyes vágatokhoz a bennük fellépő feszültséget. Ezekből feszültségekből képezünk egy vágatfeszültség-vektort (vQ). Ha ezzel megszorozzuk a vágatmátrix transzponáltját (QT) megkapjuk az ágfeszültségek vektorát.

A hurok egyenletből tudjuk, hogy:

ezt felhasználva, és behelyettesítve alakját (2.57) alapján

(2.60) mindig teljesül, ennek belátását az olvasóra bízzuk.

Vágategyenletek:

Nekünk a vágatfeszültségekre van szükségünk, ezért helyettesítsük (2.61) egyenletbe először értékét (2.38) Ohm törvény alapján, majd értékét (2.59) alapján, végül az egyenletet átrendezve fejezzük ki a vágatfeszültségek oszlopvektorát:

Végül kifejezhetjük az ellenállások feszültségét:

2.10.5.3. Csomóponti potenciálok módszere

A vágatfeszültségek módszeréhez hasonlóan alkotunk egy csomóponti potenciálvektort (φ) oly módon, hogy egy tetszőleges csomópontot zérusnak választva, az összes többinek az ehhez viszonyított potenciálját összeírjuk. Mivel sorba haladunk a csomópontokon, a vektorban szomszédos értékek a rendszerben is szomszédos csomópontokhoz tartoznak, így ha bármelyik két szomszédos értéket kivonjuk egymásból, akkor a hozzájuk tartozó két csomópont közötti potenciálkülönbséget (feszültséget) kapjuk.

A kapott csomóponti potenciálvektorral megszorozva a rendszer csomóponti mátrixát megkapjuk a rendszer ágfeszültség vektorát.

A vágatfeszültségek módszeréhez hasonlóan, formálisan a vágatmátrix helyére az csopóponti mátrixot helyettesítve kapjuk:

2.10.6. Kidolgozott feladatok áramkörök számítására

2-1 feladat

Adott a 2-23. ábrán látható áramkör. Tegyük fel, hogy az összes ellenállás, valamint a feszültség generátor értéke ismert. ( , az ággal ellentétes irányítású). Számítsuk ki az összes ág áramát.

Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 4, 5 és 6)
Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 4, 5 és 6)
2.23. ábra - Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 4, 5 és 6)


Írjuk fel a hurok- és csomóponti mátrixot a 2-23. ábrán látható hálózatgráf alapján.

A feszültség generátorok oszlopvektora és az ellenállások diagonál mátrixa

A hurokellenállás mátrix

A hurokellenállás mátrixot invertálva

Mivel nincs áramforrásunk, ig (a generátoráram) kiesik a (2.55) képletből.

Megoldás:

2-2 feladat

Adott a 2-24. ábrán látható R-L-C áramkör. Tegyük fel, hogy az összes ellenállás, kondenzátor, induktivitás, valamint a váltakozó áramú feszültség és áramgenerátor értéke ismert. ( , ). Számítsuk ki az összes ág áramát.

Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 1 és 2)
Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 1 és 2)
2.24. ábra - Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 1 és 2)


Az egyes ágak impedanciái

Írjuk fel a hurok- és csomóponti mátrixot a 2-24. ábrán látható hálózatgráf alapján. A feszítőfa két ága az 1. és 2. ág.

A feszültség és áramgenerátorok oszlopvektora valamint az impedancia diagonál mátrixa

A hurokimpedancia mátrix

Ebben az esetben komplex értékű mátrixot kell invertálni. A hurokáramok

Az ágáramok

2-3 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Az ábrán látható ellenállás hálózat tartalmaz még egy állandó értékű ideális Ug feszültség- és egy Ig áramgenerátort. A generátorok helyzete az Ön sorszámától függ, ezért ezeket csak az ellenállás hálózat mellé rajzoltuk le.

Áramkör
2.25. ábra - Áramkör


Feladatok:

  • Rajzolja fel az áramkör hálózat-gráfját (jelölje ki a pozitív irányokat).

  • A gráfban jelöljön ki egy feszítőfát, és ennek segítségével írjon fel egy-egy lehetséges csomóponti és hurokmátrixot.

  • Írja fel a hurokellenállás mátrixot

  • Írja fel a feszültég- és áramgenerátor oszlopvektorát.

  • Hurokáramok módszerét alkalmazva határozza meg az ágáramokat.

Adatok

Rk=k Ohm

Ug= sorszám*10 V Helye: sorba kapcsolva az Rn ellenállással, ahol n=1+Mod14(sorszám).

Ig= sorszám*10 A Helye: párhuzamosan kapcsolva az Rn ellenállással, ahol n=1+Mod14(sorszám).

2.11. Koncentrált paraméterű determinisztikus leírás

A továbbiakban koncentrált paraméterű determinisztikus rendszereket feltételezve azt vizsgáljuk, hogy a bemenetek és a kimenetek közötti kapcsolat milyen típusú egyenletekkel írható le. A rendszereket az őket leíró egyenletek szerint csoportosítjuk.

2.11.1. Statikus rendszerek fogalma

Definíció

Ha bármely pillanatban a bemenőjelek pillanatnyi értékei egyértelműen meghatározzák az adott pillanatban a kimenőjelek értékeit, akkor statikus rendszerről beszélünk.

Értelmezés

A statikus rendszernek nincs memória jellege, nincs szükség a bemenőjelektől eltérő belső állapotok definiálására, sem a múltbéli, sem a jövőbeni történések nem befolyásolják a jelent. Ezekben a rendszerekben az idő nem jelenik meg. Lineáris statikus rendszerek esetében a bemenetek és kimenetek között algebrai egyenletek írhatók fel.

Idetartoznak az ellenállás hálózatok, ha a feszültség- és áramgenerátorok ismeretében az egyes ellenállások feszültségét és áramait számítjuk, a robotok kinematikai vizsgálatai, a digitális technikában a kombinációs hálózatok. Nem véletlen az elnevezés, idetartoznak a mechanika statikai problémái. Az erők, mint bemenetek hatására ellenerők, mint kimenetek alakulnak ki. Kicsit más a helyzet, ha lehajlásokat is kell számolni, mint pl. a szilárdságtanban. A lehajlások kialakulásához idő kell, de sok esetben bennünket csak a végállapot érdekel, és abban értelemszerűen az idő már nem játszik szerepet.

2.11.2. Dinamikus rendszerek fogalma

Definíció

A dinamikus rendszerek a valós fizikai rendszerek működésének időbeni lefolyását is leírják, jellemzően idő szerinti differenciálegyenletek segítségével. Memória jelleggel rendelkeznek és ennek különböző formái lehetnek.

Értelmezés

Példaként könnyen beláthatjuk, hogy ha egy autót, mint rendszert vizsgálunk úgy, hogy bemeneteinek a gáz és fékpedál helyzetét tekintjük, akkor e bemeneti értékek egy adott pillanatbeli értékéből (az autó további paramétereinek ismeretében) az autó gyorsulása az adott pillanatban kiszámítható. Vagyis ha a fék és gázpedál a rendszer bemenete, valamint a gyorsulás a kimenet, akkor statikai egyenletet kapunk. Ezzel szemben, ha a kimenetnek a gyorsulás helyett a sebességet, vagy az elmozdulást választjuk, akkor ismernünk kell a múltbeli történéseket. Pusztán pl. a fékpedál egy pillanatbeli helyzetéből nem tudjuk kiszámítani az aktuális sebességet, illetve helyzetet. Tudnunk kell, hogy milyen sebességről indultunk, és mennyi ideje nyomjuk a féket. Külön kell kezelni az időkésleltetett dinamikus rendszereket. Legegyszerűbb esetben , ahol az időkéseltetés nagysága. Az időkésleltetett rendszerekkel külön fejezetben foglalkozunk. A dinamikai egyenletek felírása előtt további fogalmakat kell bevezetnünk

2.11.2.1. A rendszer jeleinek értelmezési tartománya, illetve a folytonos és diszkrét idejű rendszerek fogalma

Definíció

2.11.2.1.1. Folytonos idejű rendszerek

Folytonos idejű rendszerek esetén a be- és kimenőjel, és a vizsgált időintervallum minden időpontban értelmezve van, .

2.11.2.1.2. Diszkrét idejű rendszerek

Diszkrét idejű rendszerek esetén a be- és kimenőjel és a vizsgált időintervallumon csak diszkrét időpontok sorozatában van értelmezve , ahol és .

Értelmezés

Általában a jelfeldolgozó algoritmusok olyan esetekre vonatkoznak, ahol , vagyis a rendszerről csak meghatározott időlépésenként van információnk. A időlépést mintavételezési időnek is nevezzük, ugyanakkor a méréseknél nem mindig biztosítható az állandó és pontos mintavételezési idő. Gyakran számítógépes rendszerrel mérünk, és pl. a Windows operációs rendszer nincs felkészítve arra, hogy bármelyik taszkot (esetünkben a mintavételező taszkot) egy jól meghatározott időben futtassa le (megjegyezzük, hogy drágább kártyák a pontos mintavételezést hardware szinten meg tudják oldani). Azokat az operációs rendszereket, amelyek lehetővé teszik a taszkok időzített lefutását, valós-idejű (real-time) operációs rendszernek nevezzük. Alapbeállításban a legtöbb szimulációs program is változó nagyságú időlépést használ. Erre tekintettel kell lennünk az utólagos digitális jelfeldolgozásnál. Az egyszerűbb leírási mód kedvéért a diszkrét idejű rendszerekre bevezetjük a következő jelöléseket: az és időfüggvények értékeit diszkrét időben és jelöli. Az időfüggvény időpontbeli értékére az alábbi jelölést használjuk: és . A diszkrét idejű rendszerek leírásában a differenciálegyenletek helyett differencia egyenleteket kapunk. Ezek matematikai kezelése egyszerűbb, az egyenleteket lépésről lépésre meg lehet oldani. Sokszor didaktikailag hatékonyabb, ha először diszkrét idejű rendszert vizsgálunk, és ezt általánosítva jutunk el a folytonos idejű rendszerekhez.

2.11.2.1.3. A rendszerek jeleinek ablakozása

Egy ideális rendszer az idők kezdete óta az idők végezetéig működik, így jelei a teljes tartományban értelmezve vannak. Mi méréssel vagy szimulációval csak egy tartományban tudunk információt szerezni a jel változásáról, e tartományon kívül a jelről nem tudunk semmit. Az elnevezés onnan ered, hogy van egy az idők kezdetétől az idők végezetéig tartó jel, és ezt mi egy ablakon át csak egy tartományban látjuk. Sok esetben e tartományon kívül a jel számunkra érdektelen, de vannak olyan esetek, amikor az ablakozás hatását is valamilyen módon figyelembe kell venni.

2.11.2.2. A rendszer jeleinek értékkészlete, folytonos és kvantált értékű rendszerek

Definíció

2.11.2.2.1. Folytonos értékű rendszerek

Ha a rendszer jeleinek értéke egy tartományban folytonosan változhat , és , akkor folytonos értékű rendszerről beszélünk.

Diszkrét értékű (kvantált) rendszerek

Ha a rendszer jelei csak diszkrét értékeket vehetnek fel és , akkor diszkrét értékű (kvantált) rendszerről beszélünk.

Értelmezés

2.11.2.3. A rendszer csoportosítása a jeleinek értelmezési tartománya és értékkészlete alapján

Mind a folytonos idejű, mind a diszkrét idejű rendszer lehet folytonos értékű és kvantált. Ennek megfelelően a négy lehetőség

  • Folytonos idejű és folytonos értékű rendszer

  • Folytonos idejű és diszkrét értékű rendszer

  • Diszkrét idejű és folytonos értékű rendszer

  • Diszkrét idejű és diszkrét értékű rendszer.

Egy egyenletekkel felírt ideális rendszer lehet folytonos idejű és folytonos értékű, de akár mérjük, akár szimuláljuk a rendszer működését, pusztán a számábrázolás korlátossága miatt van egy olyan elvi határ, amelyen belül a változást már nem tudjuk kifejezni, így szigorúan nézve a rendszer diszkrét idejűvé és diszkrét értékűvé válik. Ha a jel változási sebességéhez és a változás mértékéhez képest sokkal kisebb az időlépés és sokkal kisebb a számábrázolásból eredő korlát, akkor a rendszert tekinthetjük folytonos idejű folytonos értékű rendszernek.

Diszkrét idejű és kvantált rendszereket inkább akkor használunk, ha mérésből nyerjük a rendszerről az információt.

2.11.3. Rendszerek simasága

Mind a mintavételezési idő, mind a kvantálási határok megválasztásánál tekintettel kell lennünk arra, hogy a rendszer jelei milyen gyorsan és milyen mértékben változnak.

2.11.4. Időinvariáns és autonóm rendszerek fogalma

Definíció

Az időinvariáns rendszer esetén, ha a rendszer egy gerjesztésre adott válasza , akkor az időben eltolt gerjesztésre adott válasz is egyszerű időbeni eltolással megkapható (ld. 2-26. ábra).

Értelmezés

Más megközelítésben az időinvariancia azt jelenti, hogy a rendszer válasza nem függ attól, hogy mikor adtuk a rendszerre a gerjesztést. Ez természetesen nem mondható el egy változó paraméterű rendszerről, amelyet időben változó (idővariáns) rendszernek nevezünk.

Időinvariáns rendszer
2.26. ábra - Időinvariáns rendszer


Az időinvarianciával rokon fogalom az autonómia.

Definíció

Matematikai értelemben akkor beszélünk autonóm rendszerről, ha a rendszer működését ún. autonóm differenciálegyenlet-rendszerrel lehet leírni. A alakú közönséges differenciálegyenlet-rendszert akkor nevezzük autonómnak, ha jobb oldala nem függ közvetlenül az időtől (azaz a változótól), vagyis átírható a következő alakúra: .

Értelmezés

Az autonóm differenciálegyenletek számos olyan tulajdonsággal rendelkeznek, ami miatt érdemes ezt a megkülönböztetést megtenni. A fenti megfogalmazásban nincs szó a bemenetről, e fogalom a rendszer aktuális működésére vonatkozik, amelynek a bemenőjel is része. Műszaki nyelvre lefordítva az autonóm rendszer azt jelenti, hogy sem maga a rendszer, sem a külső hatások nem változnak az időben. A rendszertechnikában a rendszert úgy definiáltuk, mint a bemenő- és kimenőjel közötti matematikai kapcsolatot, és ez ilyen formában független a gerjesztés minőségétől. Vagyis az időinvariancia magára a rendszerre vonatkozó és a bemenőjeltől független fogalom, az autonómia a működésre vonatkozik, és ezért függ a bemenőjeltől. Csak egy időinvariáns rendszer működhet autonóm üzemmódban, ennek az a feltétele, hogy a bemenőjel konstans legyen. Pl. egy magára hagyott időinvariáns rendszert leíró differenciálegyenlet lehet autonóm. Ha a bemenőjel időben változik, akkor a rendszer működése nem lehet autonóm.

Ismételten nem az a kérdés, hogy maga a valós fizikai rendszer időinvariáns-e/autonóm-e vagy sem, kérdés az, hogy miként írjuk le. Szigorúan véve a legtöbb valós fizikai rendszer idővariáns, mert az öregedés, kopás és végül a tönkremenetel idővariánssá teszi azt.

Itt visszautalunk a 2.6. fejezetre. Ha az áramot bemenőjelnek, a feszültséget kimenőjelnek tekintjük, akkor a (2.6) által definiált rendszer nemlineáris, de autonóm, a (2.7) által definiált rendszer lineáris, de nem autonóm.

Tegyük fel, hogy R(t) kiszámításakor azt feltételeztük, hogy a motort a t=0 időpillanatban kapcsoltuk be, és ehhez tartozik egy i(t) áram, mint bemenőjel és , mint kimenőjel, valamint R(t), mint a rendszer egyetlen paramétere. Ha a motort nem a t=0 időpillanatban kapcsoljuk be, akkor ez az áramnak, mint bemenőjelnek az időbeni eltolását eredményezi (feltételezve, hogy az egyéb működési körülmények nem változnak). Ha ehhez az időben eltolt i(t-τ) bemenőjelhez az eredeti (időben nem eltolt) rendszert, nevezetesen az R(t) együtthatót használjuk, akkor triviális, hogy a rendszer válaszát nem kaphatjuk meg egyszerű időeltolással. Röviden, ha , akkor a speciális esetektől eltekintve .

2.12. Dinamikus rendszerek általános összefüggései

Először az egyenletek szintjén egy egyszerű példából kiindulva jutunk el az általános rendszeregyenletekhez, és áttekintő képet adunk a kapcsolódó mérnöki feladatokról. Amikor az átfogó kép után a konkrétumokat tárgyaljuk, akkor természetesen ismét vissza kell térnünk az egyszerűbb esetekhez. Először a diszkrét idejű rendszereket vizsgáljuk, és ezt terjesztjük ki folytonos idejű rendszerekre. (Az időkésleltetett rendszerekkel nem foglalkozunk ebben a fejezetben.)

2.12.1. Állapot, állapotjelző, állapotváltozó és állapotegyenletek fogalma

Az állapot szót köznapi értelemben is gyakran használjuk és megjelenik több különböző tudományterületen is, így az állapot szónak több különböző értelmezése létezik. Az állapot rendszerelméleti megközelítésénél a dinamikus rendszerek definíciójából indulunk ki, miszerint azok memória jelleggel rendelkeznek, ezt a memóriát többféleképpen meg lehet valósítani, általánosságban a következőt lehet kimondani.

Definíció

Az állapot a múlt összesített hatása. A rendszer állapotának a következő két tulajdonsággal kell rendelkeznie

  • Bármely T időpillanatban a kimenőjel az adott pillanatbeli állapot és bemenőjel együttes ismeretében egyértelműen meghatározható legyen.

  • Az állapot egy adott T időpillanatban egyértelműen meghatározható legyen a bemenőjel a t≤T időtartománybeli értékének ismeretében.

Az állapotváltozók az állapot egyértelmű leírására szolgálnak.

Értelmezés

Különösen a német szakirodalom megkülönbözteti az állapotjelző és állapotváltozó fogalmát. Az állapotjelző mindig valamilyen energiához tartozó valós fizikai változó, amely közvetlenül vagy közvetve az adott energia nagyságát írja le. Az extenzív és intenzív fizikai változók egyaránt lehetnek állapotjelzők, ha valamilyen tárolóelemhez köthető mennységet írnak le, ezért maga az állapotjelzővel leírt tárolt mennyiség mindenképp additív, vagyis az állapotjelzőkre vonatkozó összegződés és kiegyenlítődés említése zavaró lehet, ez a két kifejezés maradjon meg magára a fizikai változóra. Az állapotváltozókat tágabb értelemben használjuk. Megválasztásában viszonylag nagy szabadságunk van, az egyetlen feltétel, hogy a definícióban megadott két feltételt teljesítsük. A német rendszertechnika könyvekben minden állapotjelző egyben állapotváltozó, de nem minden állapotváltozó állapotjelző. Ezért az állapot fogalma széles körben alkalmazható. Az állapotváltozókat nem kell konkrét fizikai mennyiséghez, illetve energiához kötni, de a definícióból következően mindenképp valamilyen általánosított tároló elemhez kötjük. Ezért felmerül a következő kérdés: minimálisan hány állapotváltozóra van szükség egy rendszer állapotának leírására?

Definíció

Egy rendszer állapotának egyértelmű leírásához minimálisan szükséges állapotváltozók számát a rendszer dimenziójának szokás nevezni.

  • Véges dimenziójú: véges számú állapotváltozóval leírható rendszer. Az állapotváltozók szokásos jelölése:.

  • Végtelen dimenziójú: végtelen számú állapotváltozóval leírható rendszer.

  • Diszkrét állapotú rendszerek: Ha egy véges dimenziójú rendszer állapotváltozói véges számú értéket vehetnek fel, akkor a rendszer lehetséges állapotainak száma is véges.

Értelmezés

Az állapotváltozók valamilyen általánosított értelmű tárolóelemekhez köthetők, és az állapot a diszkrét idejű rendszereknél valamilyen összegzés, a folytonos idejű rendszereknél integrálás eredménye. Egy dinamikai rendszerben az elmozdulás is lehet állapotváltozó, itt a tároló jelleg abból adódik, hogy a nulla ponttól mért távolságot tároljuk és az is világosan látszik, hogy a nulla ponttól mért távolság kis elmozdulások összegzéséből határozható meg. Tovább gondolva, ebből következik, hogy a rendszeregyenleteket a diszkrét időben differencia, a folytonos időben differenciálegyenletekkel írjuk le. A differenciálegyenletek rendszáma megegyezik a tárolóelemek számával. A véges dimenziójú rendszereknél véges számú tároló elem van. Szokás a rendszer dimenzióját a tároló elemek számával megadni. Pl. a későbbiekben külön foglalkozunk egy- és kéttárolós rendszerekkel. A továbbiakban csak véges dimenziójú rendszereket tárgyalunk.

Sokszor olyan fizikai változókat leíró jeleket választunk állapotváltozónak, amelyek valamilyen energiával, vagy annak változásával hozhatók kapcsolatba, ezek az állapotjelzők. Számtalanszor az állapotváltozónak nincs semmilyen fizikai megfelelője, ezek az állapotváltozók. A 2.9.1 pontban definiált Á-típusú tárolók átmenő változóját, a K-típusú tárolók keresztváltozóját célszerű állapotváltozónak választani. A P-típusú elem nem tárol, így ehhez kapcsolódóan nem tudunk állapotváltozót definiálni. Természetesen mindig a valós fizikai rendszerből indulunk ki, és először a valós fizikai rendszer egyenleteit írjuk fel, de sok esetben az így természetes módon felírt egyenletek rendszertechnikai szempontból nem elég rendszerezettek. A természetes módon felírt egyenletek általában magukra a jelenségre koncentrálnak. A rendszertechnikai szemléletben a konkrét beavatkozás és annak hatása, vagyis a bemenőjel és a kimenőjel áll a fókuszban és e két jel között kívánunk matematikai kapcsolatot teremteni. Amikor az alapjelenségből felírjuk az adott problémában szereplő be- és kimenőjel közötti matematikai kapcsolatot, akkor a matematikai egyszerűsítések miatt a fizikai tartalom a konkrét leírásból elveszhet, de pont az a cél, hogy a fizikai jelenségtől független, egységesen használható matematikai eszköztárat alapozzunk meg.

2.12.1.1. Diszkrét állapotú rendszerek

A diszkrét állapotú rendszerek esetén az állapotbeli változások nem az időben folytonosan, hanem egy-egy esemény hatására ugrásszerűen mennek végbe. A digitális technikában a szekvenciális hálózatok tipikusan idetartoznak, ahol minden logikai változó csak két különböző érték egyikét veheti fel.

A legegyszerűbb példa egy olyan fűtésszabályozás lehet, ahol két állapot (fűtés bekapcsolva és fűtés kikapcsolva) között a szerint váltunk, hogy a szoba hőmérséklete nagyobb-e a felső hőmérsékleti korlátnál, vagy kisebb-e a alsó hőmérsékleti korlátnál (ld. 2-27. ábra). (Természetesen )

Fűtésszabályozó diszkrét állapotai
2.27. ábra - Fűtésszabályozó diszkrét állapotai


Kicsit összetettebb példa lehet egy jegykiadó automata. Be kell dobni a pénzt, majd meg kell nyomni egy gombot és az automata kiadja a jegyet. A legegyszerűbb esetben csak egyfajta pénzt fogad el az automata (legyen ez a 100 Ft-os), minden más pénzérme átesik az automatán és azokkal az esetekkel nem foglalkozunk, továbbá a jegy ára 100 Ft, vagyis a 100 Ft bedobása után jár a jegy. Az automatának két állapota van, és kétféle esemény következhet be mindkét állapotban (ld. 2-28. ábra).

Jegykiadó automata diszkrét állapotai
2.28. ábra - Jegykiadó automata diszkrét állapotai


A „várakozás” állapotban hiába nyomkodjuk a gombot, nem történik semmi. Ha bedobunk egy 100 Ft-os érmét, akkor átkerülünk a „kiadásra kész” állapotba. A „kiadásra kész” állapotban, ha megnyomjuk a gombot, akkor az automata kiadja a jegyet és visszakerülünk a „várakozás” állapotba. A „kiadásra kész” állapotban maradunk, ha újabb pénzt dobunk be. Ez a pénz így elveszett. Nyilvántarthatjuk, hogy hány pénzt dobtak be, de ahhoz egy számláló kell, amely további állapotok bevezetését igényelné. Pl. bevezethetnénk a „kétjegy kiadására kész” állapotot, de ekkor a „kiadására kész” állapot nevét is célszerű pontosítani (ld. 2-29. ábra), és ez a sor folytatható.

Jegykiadó automata bővített diszkrét állapotai
2.29. ábra - Jegykiadó automata bővített diszkrét állapotai


Egy más jellegű bővítést jelent, hogy ha azt is figyelembe akarjuk venni, hogy időnként a jegy kiadása nem sikerül. Visszatérve a 2-28. ábrahoz, ha a „kiadásra kész” állapotban megnyomjuk a gombot, akkor az automata megpróbálja kiadni a jegyet. Ha sikerül a jegykiadás, akkor visszakerülünk a „várakozás” állapotba, ha nem, akkor „kiadásra kész” állapotban maradunk. Így egy eseménynek bizonyos valószínűséggel két kimenetele lehet. Ebben a példában a valószínűséget a hibás működés hozza be, de bizonyos esetekben a működés lényeges tulajdonsága, hogy egy esemény kimenetele véletlenszerűen alakul.

A 2-28. ábraához nagyon hasonlóan írhatunk le egy nyerő automatát. Első lépésben a jegyet a nyereménnyel helyettesítjük (ld. 2-30. ábra).

Egy nyerő automata diszkrét állapotai
2.30. ábra - Egy nyerő automata diszkrét állapotai


A legnagyobb különbség abban rejlik, hogy a pénz bedobásával nem minden esetben kerülünk át a nyeremény „kiadásra kész” állapotba. Ennek van valamekkora valószínűsége (esetünkben 10%), de a pénz bedobása nem determinálja az állapotváltást, vagyis ez nem egy determinisztikus rendszer. Ebben a példában a nyeremény összege fix. A 2-30. ábraán figyelembe vettük azt is, hogy a nyeremény kiadását valami megakadályozhatja (az esetek 1%-ában), de ekkor nem akarjuk elvenni a nyereményt.

2.12.1.2. A modellek kategorizálásának néhány problémája

Az előző példában a sztochasztikus jelleget megvalósíthatjuk úgy, hogy minden pénzbedobás után generálunk egy egyenletes eloszlású véletlen számot 0 és 1 között. Ha azt szeretnénk, hogy a nyerési esély 10% legyen, akkor 0 és 1 között kijelölünk egy 0.1 hosszúságú intervallumot. Ha a generált véletlenszám ebbe az intervallumba esik, akkor a „várakozás” állapotból átlépünk a „kiadásra kész” állapotba. Ha nem az adott intervallumba esik a generált szám, akkor nem változik az állapot. Az ilyen rendszereket joggal nevezzük sztochasztikusnak. Vannak olyan esetek, amikor nem teljesen egyértelmű, hogy a rendszer determinisztikus vagy sztochasztikus-e. Az előző példában számlálhatjuk, hogy eddig hányszor dobtak be pénzt az automatába, és egy előre meghatározott számsor szerint döntjük el, hogy hányadik pénzbedobó fog nyerni. Ekkor a rendszerünk determinisztikus, de a felhasználó számára sztochasztikusnak tűnik. Itt meg kell jegyezni, hogy maga a számláló is egy végesállapotú rendszer. Ha előre eldöntjük, hogy pl. az első 1000 pénzbedobás közül, melyik fog nyerni, akkor ezzel 1000 állapotot definiálunk. Sok esetben egy bonyolult determinisztikus rendszert egy lényegesen egyszerűbb struktúrájú sztochasztikus rendszerrel írunk le. Bizonyos bonyolult és összetett részek pontos működését statisztikákkal modellezzük.

Sok esetben ugyanazt a fizikai rendszert leírhatjuk néhány diszkrét állapottal, vagy folytonos értékű állapotváltozóval. Példaként egy gyomor állapotát leírhatjuk a két legfontosabb állapottal, jóllakottsággal és éhséggel. Az egyik állapotból a másikba egy-egy esemény bekövetkeztével jut a rendszer. Az éhes állapotból az evéssel lehet a jóllakott állapotba kerülni, és elegendő idejű nem evéssel vissza az éhségbe. Más megközelítésben, a gyomor telítettségére bevezethetünk egy folytonos állapotváltozót, amely értékét a bevitt és a megemésztett táplálék különbségének integráljával számíthatjuk (ld. 2-31. ábra).

Diszkrét állapotok és folytonos értékű állapotváltozó
2.31. ábra - Diszkrét állapotok és folytonos értékű állapotváltozó


2.12.1.3. Véges dimenziójú rendszerek

Az állapotváltozós leírás nagy előnye az, hogy használható nemlineáris, idővariáns (nem autonóm) MIMO rendszerek esetén is

ahol az állapotváltozók vektora, a beavatkozó jelek vektora, a zavaró jelek vektora, a kimenőjelek vektora, a rendszer működését leíró függvény, kimenőjelet leképező függvény.

A rendszer általános definíciójában (ld. 2.1 pont) a rendszerre vonatkozóan nem szerepelt az idő, a 2.1 pontban megadott definíció nem nyilatkozik arról, hogy maga a rendszer időben változó-e vagy változatlan. Természetesen a be- és kimenőjelek a rendszertől függetlenül időben változhatnak. Ezzel szemben a dinamikai rendszereknél az idő a rendszerre vonatkozóan is fontos szerepet tölt be. Akár közvetlenül is megjelenhet a rendszeregyenletben (ld. változó paraméterű rendszerek), de a memória jelleg csak egy időintervallumban értelmezhető. A memória jelleg miatt a rendszert elvileg az idők kezdetétől meg kellene figyelni, de pont ennek elkerülésére vezettük be az állapot fogalmát. Általában a rendszereket csak egy meghatározott T0 időponttól kezdődően ( tartományban) vizsgáljuk. A legtöbb esetben az egyszerűség kedvért T0=0. A múlt hatását az állapotváltozók kezdeti értékében összegezzük. Ennek fényében a rendszer általános egyszerűsített ábráját (ld. 2-2. ábra) is ki kell egészíteni és a (2.95)-(2.96) rendszer is kiegészítendő az kezdeti értékkel. Tekintettel kell lenni az időre (ld. 2-32. ábra).

Dinamikus rendszer általános állapotváltozós ábrázolása időtartományban
2.32. ábra - Dinamikus rendszer általános állapotváltozós ábrázolása időtartományban


Megjegyzések:

  • Sok esetben a rendszer minden állapotváltozóját mérni tudjuk, ekkor

  • Sok esetben ún. energiamentes kezdeti állapotból indulunk ki, vagyis az állapotváltozók kezdeti értéke nulla. Ha az bemenetet külön nem jelöljük, illetve nem adjuk meg, akkor az azt jelenti, hogy energiamentes állapotban kezdődik a rendszer vizsgálata. Időinvariáns rendszerek esetén nincs szükség a bemenetre. Sokszor a zavaró jelet is elhanyagoljuk, és nem rajzoljuk fel az ábrára.

  • is lehet nulla, ekkor a magára hagyott rendszerről beszélünk.

  • 2.9.1. pont alapján sok fizikai jelenség leírásában nagy szerepet játszik egy vektormező divergenciája és rotációja.

A divergenciából származtatott (általános értelmű áramlással kapcsolatos) változók esetén Kirchhoff I. törvényével analóg csomóponti egyenletet kapunk.

A rotáció a vektormező örvényességére, vagyis az áramlások okára vonatkozik. A tér minden pontjához egy vektor rendelhető. A rotációból származtatott fizikai változók közös jellemzője, hogy Kirchhoff II. törvényével analóg hurokegyenlet írható fel rájuk. A csomóponti és hurok egyenletek általában nem tekinthetők állapotegyenletnek, de alapjai lehetnek egy analóg számítási módszer leírásának. Ezzel a 2.9.1. pontban foglalkozunk.

  • A termodinamikában nem szokás a (2.95) alakú állapotegyenleteket felírni, továbbá állapotváltozó helyett az állapotjelző fogalmát használják, mert az egyenleteikben mindig valamilyen energiához tartozó valós fizikai változó jelenik meg. A termodinamikában definiált állapot az adott fizikai jelenség egy pillanatfelvétele, amelyet az intenzív és extenzív állapotjelzőkkel írnak le. Az előbbiek homogén eloszlása sok esetben a termodinamikai rendszer stabil egyensúlyát jelentik. Ezt úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az intenzív változók kiegyenlítődésre törekednek és ez kiváltója valamilyen anyag, illetve energiaáramlásnak. Az extenzív mennyiségek általában a rendszer anyag-, illetve energiamennyiségével arányosak.

Ha f folytonos és az állapotváltozók értéke egy T0 időpillanatban ismert, akkor a (2.95) egyenlet állapotváltozóra vonatkozó megoldása a következő alakot ölti.

Az egyszerűség kedvéért . Ha relé típusú bemenőjelet is megengedünk, akkor -re nézve nem lesz mindenütt folytonos ( –re nézve megmarad a folytonosság). A legtöbb gyakorlati esetben a (2.95) egyenletből kifejezhető (2.97) alakban, ennek feltétele az, hogy teljesítse az ún. Carathéodory-feltételeket (-nek integrálhatónak kell lennie). Ez a feltétel változó struktúrájú rendszerek esetén nem mindig teljesül. A későbbiekben folytonosságát nem követeljük meg.

2.12.2. Lineáris, egy bemenetű egy kimenetű diszkrét idejű rendszer

A dinamikus rendszerekre jellemző memória jelleg legközvetlenebbül a diszkrét idejű ún. ARMA rendszereknél figyelhető meg.

Definíció

Azt feltételezzük, hogy a kimenőjel a k-adik időlépésben függ a kimenőjel utolsó n értékének lineáris kombinációjától (autoregressziójától (AR)), valamint a bemenőjel utolsó r értékből számított mozgó átlagától (MA). (ld. 2-33. ábra). A mindkét típusú emlékezettel rendelkező rendszereket szokás ARMA rendszereknek nevezni.

ARMA rendszer
2.33. ábra - ARMA rendszer


A 2-33. ábrak megfelelő ARMA rendszert a (2.98) alakú egyenlettel írhatjuk le.

Ebben a formában a rendszernek n+r számú belső tároló elemmel kell rendelkeznie (ld. 2-33. ábra). Egy-egy tároló elem tartalmát matematikai értelemben változónak, rendszertechnikai értelemben jelnek kell tekinteni. Ennek megfelelően a múlt összesített hatását db értékkel tudjuk megadni. Így, ha ismerjük a kimenőjel db egymás utáni (kezdeti) értékét, valamint ugyanezen időpontok közül az utolsó db időponthoz tartozó és jelenlegi bemenőjel értékét, akkor az kimenőjel (2.98) segítségével lépésről lépésre kiszámítható.

Megjegyzések:

1. Ha , az azt jelenti, hogy a bemenőjel a dinamikus rendszert megkerülve közvetlenül is hat a kimenőjelre,

2. A fizikai megvalósíthatóság feltétele .

3. Matematikai átalakításokkal (2.98) átrendezhető úgy, hogy elegendő legyen legfeljebb n db belső tároló elem.

A későbbiekben a MATLAB Simulink szimulációs szoftvert használjuk. A 2-33. ábra ARMA rendszerének MATLAB Simulink megfelelője a 2-34. ábran látható.

ARMA rendszer MATLAB Simulink megfelelője és esetén
2.34. ábra - ARMA rendszer MATLAB Simulink megfelelője és esetén


2.12.3. Állapottér-reprezentáció

Az irányításelméletben az időtartománybeli vizsgálatok esetén a (2.95) és (2.96) forma helyett a mátrixos formalizmuson alapuló az ún. állapottér-leírás a legelterjedtebb. Lineáris és időinvariáns (ún. LTI) rendszerek esetén ez az átalakítás könnyen megtehető. Az állapotváltozókat, a be- és kimenőjeleket egy-egy oszlopvektorba rendezzük, így (2.95) és (2.96) helyett két mátrixegyenletet kapunk. Egy LTI rendszer állapottér-egyenletei a következő alakúak.

ahol az állapotváltozók oszlopvektora, a bemenetek oszlopvektora, a kimenetek oszlopvektora , és a rendszert leíró konstans elemű mátrixok. A (2.99) és (2.100) egyenletek szokásos grafikai megjelenítése a 2-35. ábrán látható.

grafikus megjelenítése
2.35. ábra - grafikus megjelenítése


A mátrixos formalizmus nagymértékben megkönnyíti a rendszerrel kapcsolatos számításokat és tervezési feladatok megoldását, azok lineáris időinvariáns esetre nagyon jól kidolgozottak. A 2.6 fejezetben láttuk, hogy a nemlineáris rendszerek is valamilyen kompromisszummal és megkötésekkel (illetve a működéssel kapcsolatos további ismeretek beépítésével a modellbe) kezelhetők lineárisként. Ilyen kompromisszum eredménye a lineáris időben változó rendszerek. Az általános rövidítése, az angol név alapján LTV (Linear Time Varying).

ahol az állapotváltozók oszlopvektora, a bemenetek oszlopvektora, a kimenetek oszlopvektora , és a rendszert leíró mátrixok, amelyek elemei között van olyan, amelyik időben változik .

A kilencvenes években került a kutatók érdeklődésének középpontjába a lineáris változó paraméterű rendszerek. A rövidítés itt is az angol névből származik LPV (Linear Parameter Varying)

ahol az állapotváltozók oszlopvektora, a bemenetek oszlopvektora, a kimenetek oszlopvektora , és a rendszert leíró mátrixok, amelyek elemei között olyan, amelyik értéke egy paramétertől függ.

Az állapottér reprezentáció egyre szélesebb körben használható.

2.12.4. Változó struktúrájú rendszerek

A teljesítményelektronikai berendezések tipikusan a változó struktúrájú rendszerek (Variable Structure System: VSS) csoportjába tartoznak. A teljesítményelektronikai berendezések egyik legjellemzőbb közös tulajdonsága a kapcsoló üzemmód, vagyis a teljesítményelektronikai berendezésekben található félvezető elemeket ki- vagy bekapcsolhatjuk a veszteségek csökkentése érdekében, hiszen ha a kapcsolóelemnek vagy a feszültsége vagy az árama közel nulla, akkor a vesztesége is közel nulla. A változó struktúrájú rendszerek néhány érdekes szabályozástechnikai tulajdonsággal rendelkeznek. Ezt azért kell kiemelnünk, mert a változó struktúrájú rendszerek bizonyos eseteiben a (2.95) egyenletből nem fejezhető ki (2.97) alakban. A problémát az okozza, hogy létezik olyan szabályozási stratégia, amikor a félvezetőelemekkel előállított bemenőjel minden időpillanatban átkapcsol, ezért , ebből következően sehol sem lesz folytonos és nem integrálható, így (2.97) sem létezhet. Természetesen egy valóságos rendszernél ez nem fordulhat elő, ennek ellenére ez az idealizált állapot fontos szerepet játszik a szabályozáselméletben. Gondoljunk arra, hogy a teljesítményelektronikai eszközök mindig kapcsoló üzemmódban működnek. Ilyen esetekkel későbbi tananyagokban külön foglalkozunk. Ekkor a differenciálegyenletek klasszikus elmélete helyett az ún. jobb oldalán nem folytonos differenciálegyenletek elméletét kell alkalmazni.

Egy VSS akkor is lehet aszimptotikusan stabilis, ha a VSS –t alkotó valamennyi struktúra önmagában instabil. A VSS további fontos tulajdonsága, hogy – megfelelő szabályozással ellátva – olyan állapotba kerülhet, amikor a rendszer dinamikája az eredetihez képest csökkentett szabadságfokú differenciálegyenlettel írható le. Ebben az állapotban a rendszer elméletileg teljesen független bizonyos típusú paraméterek változásától és bizonyos típusú külső zavarok (pl. nemlineáris terhelés) hatásától. Ezt az állapotot csúszómódnak (sliding mode) és az erre alapozott szabályozást csúszómód-szabályozásnak nevezik, ami kiemelten fontos szerepet játszik a teljesítményelektronikai eszközök szabályozása területén.

2.12.5. Lineáris, egy bemenetű egy kimenetű folytonos idejű rendszer

Diszkrét időből folytonos időbe kétféle megközelítéssel lehet átlépni. A diszkrét időben lépésről lépésre végzett számítás helyett folytonos időben az integrálás műveletére van szükség. Ez elvezethet az integrális alakhoz, amely a (2.98) egyenlethez hasonlóan közvetlenül megadja az y(t) időfüggvényt. Általában az integrális alakot az időtartományban nem használjuk. Írjuk át a (2.98) egyetletet a következő alakra

Egy másik megközelítésben, ha ismerjük egy változó két egymást követő értékét és az időlépést, akkor ismerjük a differenciahányadost, ha egy harmadik értéket is ismerünk, akkor két egymást követő differenciát is ismerünk, és ebből eggyel magasabbrendű differenciahányadost is kiszámíthatunk. A (2.105) egyenletben az kimenőjelnek összesen n+1 számú és az bemenőjelnek összesen r+1 számú egymás utáni értéke szerepel. esetre: van 3+1 db értékünk, 3 db differenciahányadosunk, 2 db differenciahányadosok differenciahányadosa és végül 1 db differenciahányados, melyet differenciahányadosok differenciahányadosából kapunk (ld. (2.106)).

Ha , akkor (2.105) helyett (2.106) alapján egy harmadrendű differenciálegyenletet írhatunk fel. Ha az előbbi elvet követjük, akkor általános esetben a kimenőjelnek n-ed és a bemenőjelnek r-ed rendű differenciahányadosát tudjuk felírni. A folytonos időben a differenciahányados megfelelője a differenciálhányados, így (2.98) (pontosabban (2.105)) megfelelője a folytonos időben az alábbi típusú differenciálegyenlet:

ahol az idő szerinti i-edik deriváltat jelöli. Az általánosságot nem csökkenti, ha az feltételezéssel élünk. A fizikai megvalósíthatóság feltétele folytonos időben is . Bármely lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszer átírható (2.107) alakúra.

Később látni fogjuk a (2.107) alakú felírás előnyét, de a mögöttes fizikai tartalom értelmezése ebben a formában nehézkes. Ismert, hogyha egy valós fizikai rendszer működését a fizikai törvényekből kiindulva n db lineáris, állandó együtthatójú elsőrendű differenciálegyenletből álló egyenletrendszerrel írhatjuk le, akkor az átírható egyetlen n-ed rendű differenciálegyenletté. Ebben az átírásban a közvetlen fizikai tartalom általában elvész. Képzeljük el, hogy van egy motor, az egy rugalmas tengelyen keresztül mozgat egy terhet, és bennünket a teher fordulatszáma érdekel, azt választjuk kimenőjelnek. A fizikából kiindulva a motor tekercsének áramára, a motor forgórészének mozgására, a tengely deformálódására és a deformációból a teher mozgására (ld. 2-16-2-19 feladatok). Ha az egyenleteket átírjuk (2.107) formára, akkor nyilvánvalóan a teher fordulatszámának n-edik deriváltja nem lesz azonos pl. a motor áramával.

Még két alapvető problémáról kell szólni (2.107) kapcsán.

  • A (2.107) egyenletből kiolvasható, hogy elő kell írnunk n-szeres és r-szeres differenciálhatóságát, főleg az utóbbi túlzottan szigorú megkötés (a megoldást ld. a 2.12.5 pontban).

  • Továbbá n+r db (i=0,1, … , n-1) és (i=1, … , r) változót kell definiálni, és ugyanennyi (i=1, … , n) és (i=1, … , r) kezdeti értéket kell megadnunk. Később a kezdeti érték fogalmát is pontosítanunk kell. Kérdés, hogy a változók és a kezdeti értékek számát nem csökkenthetjük-e. Később látni fogjuk, hogy (2.107) többféleképpen átrendezhető úgy, hogy elegendő legyen legfeljebb n db változó és n db kezdeti érték bevezetése. (A megoldást ld. 2.12.1. pontban az állapotváltozókra és kimenőjelre vonatkozó egyenletek szétválasztása, (2.95) és (2.96))

2.12.6. Általánosított derivált

A továbbiakban a (2.107) alakú differenciálegyenletekkel leírható rendszerekkel fogunk foglalkozni. Ha r-szeres differenciálhatóságát szigorúan vesszük, és nem akarjuk a rendszereinket túlzottan elbonyolítani, akkor olyan egyszerű működést sem tudunk vizsgálni, hogy valamit be- és kikapcsolunk, vagy a valós fizikai rendszerben valamire kalapáccsal ráütünk. Egy pontosabb modellel ezek a problémák elvileg megoldhatók, figyelembe vehetjük, hogy egy motor bekapcsolásakor a tekercsben az áram hullámként kb. fél fénysebességgel terjed, a kalapács és megütött anyag az ütéskor egy kicsit deformálódik és valójában nem pillanatszerűen csökken a kalapács sebessége nullára. Ha a rendszert nem akarjuk szükségtelenül elbonyolítani, de az alapvető működések vizsgálatáról sem akarunk lemondani, akkor a matematikához kell fordulnunk. Ahhoz, hogy egy nem folytonos függvényt deriválni tudjunk, a függvény fogalmát ki kell terjeszteni. A kiterjesztett értelmű függvény neve disztribúció, amely a hagyományos függvényfogalommal szemben szingularitásokat is megenged (pontos definíciót ld. később).

Definíció

Ha majdnem mindenütt folytonos, akkor az általános értelmű deriváltja az az disztribúció, amely kielégíti a (2.108) egyenletet.

ahol az integrálás alsó határánál a azt fejezi ki, hogy az integrálást úgy kell elvégezni, hogy esetleges szakadását a időpillanatban figyelembe tudjuk venni. Ez egyben azt is jelenti, hogy meg kell különböztetni a kezdeti érték jobb és baloldali határértékét.

Értelmezés

Tegyük fel, hogy az időfüggvény folytonos, az idő szerint differenciálható és felírható a következő alakban

Ha folytonos és függvény kezdeti értéke a T0 időpillanatban az ismert érték (a múltbeli változások összesített hatása), akkor (2.108) megoldása a (2.108) alakot ölti. és az a cél, hogy (2.108) akkor is megoldása legyen a (2.108) differenciálegyenletnek, ha sem sem folytonosságát nem írjuk elő. Ha megengedjük, hogy az időfüggvénynek szakadása legyen, akkor ez a szakadás a T0 időpillanatban is lehet. Ez azt jelenti, hogy a kezdeti érték fogalmát is pontosítanunk kell.

Definíció

Az nem folytonos függvény T0 időpillanatbeli kezdeti értékén az függvény T0 időpillanatbeli baloldali határértékét értjük.

Értelmezés

Mérnöki terminológiával ez bekapcsolás előtti értéke. Megjegyezzük, hogy minden olyan függvény, amely bármely véges szakaszon integrálható, értelmezhető disztribúcióként, és akkor deriválható is, mint disztribúció. Akkor van gond, ha nem integrálható, mert pl. minden pontjában szakadása van. Természetesen a valóságban ilyen nem fordulhat elő, de egy amúgy jól használható egyszerűsített rendszer produkálhat ilyet. Ebben az esetben ismét két út áll előttünk, vagy a valósághoz közelítve elbonyolítjuk a rendszert, hogy egy ilyen eset ne következhessen be, vagy újabb matematikai eszközöket keresünk, hogy ezt a furcsa esetet is kezelni tudjuk. Mindkét útnak megvan a maga előnye és hátránya. Ezzel a problémakörrel később foglalkozunk, most maradjon itt az a konklúzió, hogy vannak olyan függvények, amelyek a disztribúciók körében sem deriválhatók, és a mérnöki gyakorlatban is találunk olyan rendszereket, amelyeknél (2.108) sem vezet eredményre. Az általános értelmű deriváltra is használjuk a szokásos jelölést (ld. (2.109)). Egy disztribúció is deriválható, és a disztribúció deriváltja is disztribúció. A disztribúcióelmélet túlmutat e tananyag keretein. Bizonyítás nélkül fogadjuk el, hogy e tananyagban a disztribúciókkal elvégzett műveletek hasonló eredményt adnak, mintha az adott műveletet hagyományos függvényeken végeznénk el. Az esetleges eltérésekre mindig külön megjegyzést teszünk.

2.12.6.1. A disztribúció elmélet alapjai

(elsősöknek nem ajánlott)

A disztribúció pontos definíciójához be kell vezetni a próbafüggvényt, amelynek értéke csak egy véges intervallumon különbözik nullától és létezik tetszőleges számú hagyományos értelmű deriváltja (ebből következik, hogy folytonos és korlátos, de még a negatív végtelentől a pozitív végtelenig vett integrálja is véges).

Egy tipikus próbafüggvény

Fogalmazhatunk úgy, hogy matematikai értelemben nagyon jól viselkedő függvény (a szokásos függvény műveletet nehézség nélkül el tudjuk végezni függvényen). Az disztribúció, mint általánosított értelmű (ezért matematikailag nehezen kezelhető) függvény definícióját és számunkra legfontosabb tulajdonságait ehhez a matematikailag jól kezelhető függvényhez kötjük. Az disztribúciót a következő integrál segítségével definiáljuk

ahol egy tetszőleges disztribúció segítségével a függvényhez hozzárendelünk egy konkrét számértéket. (Megjegyezzük, hogy azt a matematikai műveletet, amikor egy függvényhez egy számértéket rendelünk, funkcionálnak nevezzük.) Bizonyos esetekben bármely t időponthoz hozzárendelhetünk egy konkrét értéket, ezt nevezzük reguláris disztribúciónak. Pl. ha bármely függvényhez hozzárendeljük egy adott intervallumon vett határozott integráljának értékét (hangsúlyozottan egy konkrét számértéket)

akkor könnyen beláthatjuk, hogy

Ezzel szemben léteznek olyan disztribúciók, amelyeknél bizonyos t időpontokhoz nem rendelhetünk egy konkrét értéket, ezeket nevezzük szinguláris disztribúciónak. Igazán csak ez utóbbiak miatt van értelme bevezetni a disztribúció fogalmát. Legyen erre példa a következő

Azt beláthatjuk, hogy (2.114) esetén , ha , de nem tudjuk egy konkrét számmal megadni értékét. A (2.114) által definiált disztribúció fontos szerepet tölt be a rendszertechnikában, ezzel a 3.1.1 pontban fogunk foglalkozni.

A definíció után térjünk vissza a deriváláshoz. Ha (2.111) mindkét oldalát deriváljuk, akkor a jobb oldal nulla, így

(2.115) legfontosabb üzenete: Ha egy lehetséges próbafüggvény, akkor is az, ezért ha (2.111) leír egy disztribúciót, akkor (2.115) annak deriváltját írja le. Konklúzióként megállapíthatjuk, hogy minden olyan függvény, amely bármely véges szakaszon integrálható, értelmezhető disztribúcióként, és akkor deriválható is, mint disztribúció. A fenti definíció és konklúzió birtokában már közvetlenül is megadhatjuk egy függvény általánosított deriváltját.

2-4 feladat Disztribúció deriváltjának meghatározása

Határozza meg a (2.112) segítségével definiált (2.113) disztribúció deriváltjára vonatkozó összefüggést.

Megoldás

Látható, hogy a keresett disztribúció szinguláris. Ennél fontosabb megállapítás: Az egység-ugrás függvény általánosított deriváltja alkalmas mintavételezésre.

2-5 feladat Egységugrás jel deriváltjának meghatározása

Határozza meg az egységugrásnak, mint disztribúciónak a deriváltját. Kiindulva a disztribúció definíciójából

Megjegyezzük, hogy a próbafüggvényre tett kikötésünk miatt garantáltan egy véges számérték. A disztribúció deriváltjára vonatkozó (2.115) összefüggés alapján és figyelembe véve, hogy a próbafüggvény definíciója értelmében

2.12.7. Differenciálegyenletek megoldása analóg számítógépes megközelítéssel

Napjainkban klasszikus analóg számítógépeket nem használunk, de a szemlélet formálásában fontos szerepet játszhat azok felépítésének megismerése. Diszkrét időben a (2.98) egyenlet grafikus megjelenítésének tekinthető a 2-33. ábra. Folytonos időben a (2.107) differenciálegyenlet átírható a (2.98) egyenletnek megfelelő alakúra (az általánosságot nem csökkenti az feltételezés)

Az első ötletünk lehet az, hogy kimenőjelet -szer és az bemenőjelet -szer deriválva majd a kapott deriváltak (2.119) egyenletnek megfelelő lineáris kombinációját képezve kimenőjelet előállítjuk és így 2-33. ábraához teljesen hasonló grafikai megoldást kapunk, ahol a léptetések helyére deriváló tagokat kell tennünk, de sajnos ez így nem működik. A helyett az jelet kell kifejeznünk (az általánosságot nem csökkenti az feltételezés)

A deriváló tagok helyett integrátorokat kell alkalmaznunk. Az jelet -szer integrálva kapjuk meg az jelet. Közben tagok is előállnak, így azok lineáris kombinációját is képezhetjük (2.120) második összegzésének megfelelően. De ez a módszer is csak esetben működik, mert a bemenőjel deriváltját nem tudjuk megkapni. Ha , akkor valamilyen módon segédváltozókat kell bevezetni. A segédváltozókról belátható, hogy állapotváltozónak tekinthetők. Legyen , és vezessük be a következő jelölést

Ha , akkor

A (2.121) és (2.122) egyenletet megvalósító MATLAB Simulink program:

Analóg számítógép modell MATLAB Simulink megfelelője és esetén
2.36. ábra - Analóg számítógép modell MATLAB Simulink megfelelője és esetén


2.13. A stabilitás fogalma

Rendszerek vizsgálata során kulcsfontosságú feladat a stabilitás eldöntése. A későbbi fejezetekben több olyan konkrét módszert mutatunk be, amelyek segítségével a stabilitás eldönthető. Ebben az alfejezetben csak a legfontosabb definíciókat adjuk meg. A stabilitás megítélésében apró szemléletbeli különbségek tapasztalhatók akár annak függvényében is, hogy milyen jellegű feladatot kell megoldani. Ebben a tárgyban a végső cél a szintézis, egy szabályozó tervezése. Az elvárás az, hogy az elkészült rendszer minden üzemállapota stabilis legyen, így a rendszer stabilitásáról beszélünk. Ha analízis a feladatunk, akkor a rendszernek a különböző üzemállapotait néha csak külön-külön vizsgáljuk, ekkor azt hangsúlyozzuk, hogy a stabilitás nem a rendszer, hanem az adott üzemállapot tulajdonsága. Az irányítási feladatok fontos sajátossága, hogy e tárgykörben általában visszacsatolt rendszerekkel találkozunk, ezért legtöbbször a visszacsatolt rendszer stabilitását kell vizsgálnunk. Az a kérdés, hogy a visszacsatolás miként befolyásolja a visszacsatolt rendszer stabilitását.

A stabilitás mérnöki értelemben alapvetően két megközelítésben vizsgálható. Az irodalomban találkozhatunk a gerjesztetlen rendszer, illetve a gerjesztett rendszer stabilitásával. Matematikai értelemben pontosabb az a megfogalmazás, ha autonóm működésű és nem autonóm működésű rendszerek stabilitásáról beszélünk, vagyis matematikai értelemben a ténylegesen gerjesztetlen (az összes bemenet nulla értékű) és konstans gerjesztésű rendszereket azonos módon lehet kezelni. Az időben változó rendszerek a stabilitás szempontjából matematikailag az ún. „gerjesztett” kategóriába sorolandók, még akkor is, ha a bemenetre effektíven nulla értéket kapcsolunk. Talán ezért terjedt el a paraméteresen gerjesztett rendszer kifejezés, amely egyszerűen időben változó, vagyis nem autonóm működésű rendszert jelent. Természetesen autonóm működésű és nem autonóm működésű rendszerek egyaránt lehetnek lineárisak és nemlineárisak, ez a problémakör teljesen más megközelítése.

Lineáris, invariáns rendszerek esetén viszonylag egyszerűbb a helyzet, de nemlineáris rendszerek esetén a stabilitás egy összetett fogalom, és többféle definíció létezik rá. Az is előfordulhat, hogy egy rendszer az egyik definíció szerint stabil, a másik szerint pedig nem. Nemlineáris rendszerek esetén a stabilitás lehet gerjesztés és munkapont függő is.

A stabilitással rokon fogalom az egyensúlyi állapot. A gerjesztetlen és konstans gerjesztésű rendszer stabilitása az egyensúlyi állapot segítségével egyszerűen definiálható, így ezzel gyakran élünk. A gerjesztett, pontosabban a nem autonóm működésű rendszer egyensúlyi állapota összetettebb definíciót igényel, ezért a gerjesztett rendszer stabilitását általában a korlátos működésre alapozva definiáljuk.

2.13.1. Statikus egyensúlyi állapot

Definíció

Egy autonóm rendszer akkor van statikus egyensúlyi állapotban, ha az állapotváltozók értéke konstans.

Értelmezés

Megjegyzés. Ez a definíció kizárja a statikus rendszereket (amelyeknek nincs állapotváltozójuk), ugyanakkor a konstans gerjesztést megengedi. Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszernek egy adott konstans gerjesztés mellett csak egyetlen egyensúlyi állapota létezhet (ellenkező esetben nem lenne érvényes a szuperpozíció elve). Egy nemlineáris rendszernek adott konstans gerjesztés mellett lehet több egyensúlyi állapota is.

Példaként, ha van egy golyónk és egy kanalunk, akkor a kanál helyzetétől függően a golyót többféle módon tudjuk a kanálra helyezni úgy, hogy a golyó ne mozduljon el, vagyis statikus egyensúlyi állapotba kerüljön. Alapvető különbség van két eset között

  • A kanalat szokásosan fogjuk és a golyót a kanál mélyedésébe helyezzük.

  • A kanalat fordítva fogjuk, és a golyót a kanál domborulata tetejére helyezzük.

A különbséget azonnal észrevesszük, ha egy kicsit remeg a kezünk. Az első esetben a golyó kicsit ide-oda gurul, de ismét megáll, ha a kéz remegése megszűnik. A második esetben a golyó legurul a kanálról és sohasem gurul vissza a kanál tetejére. E gondolatkísérlet alapján fogalmazhatjuk meg az első stabilitási definíciót.

2.13.2. Aszimptotikus stabilitás

Definíció

Egy autonóm lineáris differenciálegyenlettel leírható rendszert tetszőlegesen kitérítjük az egyensúlyi állapotából. Az egyensúlyi állapotban ható esetleges konstans gerjesztést nem változtatjuk meg, és magára hagyjuk a rendszert. Ha a rendszer állapotváltozói konvergálnak az egyensúlyi állapotban felvett értékekhez, akkor a rendszert aszimptotikusan stabilisnak nevezzük.

Értelmezés

Ha egy rugóval függőlegesen felfüggesztünk egy tömeget, akkor a tömegre a gravitáció állandó gerjesztésként hat, és kialakul egy egyensúlyi állapot. Ha ebből az állapotból kimozdítjuk a tömeget és elengedjük, akkor a csillapítás miatt egyre csökkenő amplitúdójú lengések után beáll egy új egyensúlyi állapotba. Ha a rendszer lineáris, akkor az új egyensúlyi állapot megegyezik az eredeti egyensúlyi állapottal. Lineáris rendszerek esetén az egyensúlyi állapotra alapozott stabilitás vizsgálata egyszerű, mert csak egy egyensúlyi állapota lehet, és ha az stabilis, akkor aszimptotikusan is stabilis. Nemlineáris rendszerek esetén a fenti definíción enyhíteni kell. Mivel a nemlineáris rendszernek több egyensúlyi állapota is lehetséges, ezért nem követelhetjük meg, hogy tetszőlegesen nagy kitérítés után is mindig az eredeti egyensúlyi állapothoz konvergáljon a rendszer, vagyis az aszimptotikus stabilitás csak egy tartományon belül érvényes. Általában magát az „aszimptotikusságot” sem írhatjuk elő egy nemlineáris rendszer esetén, vagyis nem követelhetjük meg azt, hogy a kitérített rendszer konvergáljon az eredeti egyensúlyi állapothoz. Az egyik tipikus nemlinearítás a súrlódás. Ha a fenti példa tömeg-rugó rendszerében a tömeg pl. egy fal mellett mozog és mozgás közben a tömegre a faltól származó súrlódási erő is hat, akkor a tapadási súrlódás miatt a tömeg általában az eredeti egyensúlyi állapot előtt vagy után beragad.

Így a rendszer szigorúan nézve nem elégíti ki az aszimptotikus stabilitás kritériumát, de műszaki értelemben valahol ezt is stabilisnak érezzük, ezért szükséges az aszimptotikusnál megengedőbb definíció.

2.13.3. Ljapunov stabilitás

Definíció

Egy nemlineáris autonóm működésű rendszert akkor mondunk Ljapunov érelemben stabilisnak, ha az egyensúlyi állapot bármely környezetéhez találunk egy olyan nullánál nagyobb maximális kitérítést, amelynél kisebb kitérítések esetén a rendszer garantáltan visszatér az eredetileg meghatározott környezetbe.

Értelmezés

Ez a definíció egyrészt feltételezi, hogy az állapotváltozóknak van normája, vagyis értelmezhető az egyensúlyi állapot környezete, másrészt nem követeli meg, hogy a rendszer visszatérjen a kiindulási állapotba, csak annak környezetébe. A nemlineáris súrlódással terhelt tömeg-rugó rendszer Ljapunov értelemben stabilis, de nem aszimptotikusan stabilis.

2.13.4. Dinamikus egyensúlyi, illetve állandósult állapot

A statikus egyensúlyi állapot fogalma kiterjeszthető az egyensúlyi mozgásállapotra, tipikusan állandó amplitúdójú, állandó frekvenciájú periodikus lengésekre, ilyen esetben dinamikus egyensúlyi állapotról beszélünk. A mérnöki gyakorlatban az általános értelemben vett egyensúlyi állapotot szokás állandósult állapotnak nevezni.

Hasonlóan nem az eredeti egyensúlyi állapotba tér vissza a tömeg, ha időközben megváltozik a rugó rugalmassági együtthatója.

2.13.5. BIBO stabilitás

Definíció

Korlátos bemenőjelre minden esetben korlátos kimenőjel a válasz. Ezt a feltételt teljesítő rendszert ismételten az angol név után BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilis rendszernek hívjuk.

Ha egy lineáris rendszer valamilyen értelemben stabilis, akkor a többi értelemben is az.

2.14. Kidolgozott feladatok koncentrált paraméterű rendszerekhez kapcsolódóan

2-6 feladat Rendszerek csoportosítása

A definícióból kiindulva adja meg, hogy az alábbi rendszerek közül, melyek lineárisak, kauzálisak, statikusak vagy dinamikusak, továbbá időinvariánsak, illetve autonómak. Ahol ez nem dönthető el egyértelműen, ott adja meg a feltételét annak, hogy a rendszer az adott osztályba tartozzon, ahol

Az első 12 rendszerre vonatkozó megoldások

rendszer sorszáma

lineáris

statikus

kauzális

időinvariáns

1.

igen

igen

igen

igen

2.

igen

nem

igen

igen

3.

igen

nem

nem

igen

4.

nem

igen

igen

igen

5.

nem

igen

igen

igen

6.

nem

igen

igen

igen

7.

nem

igen

igen

igen

8.

igen

nem

igen

igen

9.

igen

nem

nem

igen

10.

igen

igen

igen

igen

11.

nem

igen

igen

nem

12.

igen

igen

igen

nem

Rövid magyarázatok

Ha és , akkor ebből következik, hogy

Vagyis a szuperpozíció elve érvényes, ezért a rendszer lineáris.

A linearitás hasonlóan belátható a 2., 3., 8. és 12. rendszer esetén.

Legyen és , mivel

Vagyis a szuperpozíció elve nem érvényes, ezért a rendszer nemlineáris.

A kétbemenetű rendszer esetén:

Ha és , akkor ebből következik, hogy

Vagyis a szuperpozíció elve érvényes, ezért a rendszer lineáris.

Ha és, akkor a speciális esetet leszámítva

Vagyis a szuperpozíció elve nem érvényes, ezért a rendszer nem lineáris.

Az és rendszer nem kauzális, mert e két rendszer esetén a kimenet tetszőleges időponthoz tartozó értéke függ a bemenet értékétől. Az első 12 rendszer közül az összes többi rendszer kauzális.

A 12-nél nagyobb sorszámú rendszerek: Házi feladat, megoldását nem közöljük

2-7 feladat RL kör bekapcsolása

Írja fel egy soros RL kör differenciálegyenletét, ha a bemenőjel az feszültség ( az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültség), a kimenőjel az induktivitás árama.

Megoldás

Az áramkörre felírható Kirchhoff hurokegyenlet:

, , és

2-8 feladat Hőátadás

Egy tömegű, felületű testre hőáramot kapcsolunk. A tömeg intenzív hőcserében van a környezetével (mint például a radiátor). Tegyük fel, hogy a hőmérséklet kezdeti értéke nulla () Írjuk fel a tömeg hőmérsékletváltozását leíró egyenletet. Legyen a bemenőjel a (t) hőáram és a kimenőjel a radiátor hőmérséklete. További paraméterek: α hőátadási tényező, c fajhő.

Hőátadás
2.37. ábra - Hőátadás


Megoldás

A kilépő hőáram:

A be- és kilépő hőáram különbsége a test hőmérsékletét változtatja:

2-9 feladat Vezető melegedése

Egy tömegű, hosszúságú keresztmetszetű és felületű vezetőn áram folyik. A vezető anyaga legyen réz. Az áram hatására a vezetőben hő keletkezik, amely a felületen hősugárzással, hővezetéssel és hőáramlással távozik. Tegyük fel, hogy a hőmérséklet kezdeti értéke nulla () Írjuk fel a vezető hőmérsékletváltozását leíró egyenletet. Legyen a bemenőjel a vezető áramának négyzete és a kimenőjel a vezető hőmérséklete. További paraméterek: az anyag fajlagos vezetőképessége, α hőátadási tényező, c fajhő.

Vezető melegedése
2.38. ábra - Vezető melegedése


Megoldás

A kilépő hőáram:

A be- és kilépő hőáram különbsége a test hőmérsékletét változtatja:

2-10 feladat Folyadéktartály

Határozza meg a 2-39. ábrán látható tartály folyadékszintjének változását leíró egyenletet veszteségmentes kifolyást feltételezve, és egy adott vízszintmagasságból kiindulva. Legyen a bemenőjel a beáramló térfogatáram és a kimenőjel a folyadékszint.

Hőátadás
2.39. ábra - Hőátadás


Megoldás

A kilépő térfogatáramot a kiáramlási sebesség felhasználásával tudjuk meghatározni:

A be- és kiáramlás különbsége a tartályban lévő folyadék térfogatát változtatja:

Mint látható, az egyenlet nemlineáris. Tegyük fel, hogy a tartályban a folyadékszint csak kismértékben ingadozik (h0 körül). Ekkor értéke jól közelíthető lineáris függvénnyel (linearizálás). Kétféleképpen is próbálkozhatunk:

  • felírhatjuk a függvény h0 pontbeli érintőjének egyenletét, vagy

  • vehetjük h0 pont körül felírt Taylor sorának első két tagját.

Az eredmény természetesen mindkét esetben ugyanaz lesz:

Ennek felhasználásával a differenciálegyenlet:

Megjegyzés: tartályos feladatra az integráló tagnál is láthatunk példát (4.6.3). A kettő közti lényegi különbség az, hogy míg ott a kiáramló térfogatáram az időtől függ, itt a tartályban lévő folyadékszinttől.

2-11 feladat ARMA rendszer paraméterei (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Adja meg a 2-7, 2-8 és 2-10 feladatban ismertetett rendszer diszkrétidejű ARMA modelljének paramétereit.

2-12 feladat Rendszerekegyenletek felírása (Ideális transzlációs telemanipulációs rendszer)

Írja fel a 2-40. ábraán látható ideális transzlációs telemanipulációs rendszer egyenletét a következő esetekben, mind diszkrét, mind folytonos időben:

  • Legyen a rendszer bemenete a mester oldalon a fogantyú elmozdulása, és a rendszer kimenete a szolga oldali fogantyú elmozdulása. A mester és szolga oldali fogantyút egy merev rúd kapcsolja össze. Ebben a megközelítésben ez egy statikai rendszer. A bemenet egyértelműen meghatározza a kimenetet.

  • Hogy módosul az a) eset, ha az pozícióban eltörik a rúd?

  • Más a helyzet, ha az erőhatást tekintjük a bemenetnek, a szolga oldali erőhatást elhanyagoljuk, és először legyen a kimenet a rúd sebesssége a szolga oldalon. Ekkor egy dinamikai rendszerhez jutunk. Legyen a rendszer tömege és tudjuk, hogy és rúd kezdeti sebessége szintén nulla, továbbá

  • Tovább bővítve, ha az erőhatást tekintjük a bemenetnek, a szolga oldali erőhatás nulla, és a kimenet a rúd pozíciója a szolga oldalon. Ekkor egy másodrendű dinamikai rendszerhez jutunk. A súrlódást elhanyagoljuk. Legyen a rendszer tömege és tudjuk, hogy és a rúd kezdeti sebessége szintén nulla, továbbá

  • Továbbra is az erőhatást tekintjük a bemenetnek, a szolga oldali erőhatás nulla, és a kimenet a rúd pozíciója a szolga oldalon. Ekkor egy másodrendű dinamikai rendszerhez jutunk. A súrlódást vegyük figyelembe egy sebességtől függő erőhatással (ezt nevezik viszkózus súrlódásnak). A viszkózus súrlódási együtthatót jelöljük -vel. Legyen a rendszer tömege és tudjuk, hogy és a rúd kezdeti sebessége szintén nulla, továbbá

Ideális transzlációs telemanipulációs rendszer
2.40. ábra - Ideális transzlációs telemanipulációs rendszer


Megoldás

Bemenet

Kimenet

Diszkrét idejű rendszeregyenletek

Bemenet

Kimenet

Folytonos idejű rendszeregyenletek

Az a) és b) eset nem szorul további magyarázatra. A c) esetben abból indulhatunk ki, hogy állandó erőt és tömeget feltételezve, a középiskolában tanultak alapján,

ahol a szolga oldal gyorsulása. A manipulátor kar sebességét az idő függvényében a következőképp számíthatjuk, ha és .

(2.140) minden időpillanatban érvényben marad akkor is, ha az erő meváltozik. Tegyük fel, hogy az erő diszkrét időlépésenként lépcsősen változik. Tegyük fel, hogy egy adott t időpillanatban vizsgáljuk a rendszer viselkedését. Ehhez az időponthoz db nagyságú időlépéssel jutunk el

Térjünk át a diszkrét idejű felírásra

Ha az erő adott egy időpontban adott, akkor az időlépésben a sebesség megváltozása

Ezt a változást hozzá kell adnunk a sebesség pontbeni értékéhez, így megkapjuk a sebesség pontbeni értékét

A sebesség bármely időpontban összegzéssel számítható ki (a sebesség kezdeti értéke )

Ha a sebesség egy adott időpontban ismert, akkor az adott időlépésben a pozíció megváltozása a (2.144) kifejezéshez hasonló gondolatmenettel számítható.

Itt is elmondható, hogy a változást hozzá kell adnunk a pozíció pontbeli értékéhez, így megkapjuk a pozíció pontbeli értékét

Ismert, hogy a sebességből a pozíció ugyancsak összegzéssel állítható elő, a pozíció kezdeti értéke . Ha egy időpontban vagyunk kíváncsiak értékére, akkor a (2.147) kifejezésben leírt változásokat kell összegezni, de értéket helyettesítsük (2.146) alakjával. Így kettős szummát kapunk

Az erő hatására az első időlépésben csak a sebesség változik meg, és csak a második lépésben jelenik meg az erő hatása a pozíciójelben. Ugyanakkor a kezdeti értékek hatását az első két lépésben is figyelembe kell venni. Ez azt jelenti, hogy a (2.149) kifejezés csak a tartományban értelmezhető. Ezzel kapcsolatban egy kérdés merül fel. Honnan kezdjük számolni az időt. Mondhatjuk azt, hogy legyen az idő kezdőpontja az, ahonnan a (2.149) kifejezés él, ekkor néhány negatív időpontban is ismernünk kell az erő, pozíció és a sebesség értékét.

Adott esetben mindkét megközelítés lehet helyes. Ez a konkrét esettől és szituációtól függ. A fenti példa legfontosabb üzenete az, hogy attól az időponttól, ahonnan (2.149), illetve (2.150) érvényes, jelnek visszamenőleg két értékét ismernünk kell. Természetesen ez a két érték lehet nulla, de akkor azt kell tudnunk, hogy nulla. Ha nullához tart, akkor e két megközelítéssel számított sorozat különbsége is nullához tart, és ekkor az összegzés helyett integrálni kell, továbbá (2.149), illetve (2.150) azonossá válik, és az egyértelmű számításhoz és ) értékét kell ismerünk.

A (2.149) kifejezést kiszámító matlab program a következő, ahol az idő 10 egység, az erő nagysága 1. A időlépés nagyságát DT jelöli.

K=10/DT;
 
 for i = 1:K-1
        F(i)=1;
 end
sum=0;
 
 for k1 = 1:K-1  
     sum=sum+F0*DT*DT;
     for i = 1:k1-1
            sum= sum+ F(i)*DT*DT;
     end
 end
 
 sum=sum/m

Ha viszkózus (sebességgel arányos)

súrlódás fékezi a mozgást, akkor e súrlódási erővel csökkenteni kell a tömegre ható gyorsító erőt

(2.152) alapján (2.145) és (2.146) is módosítandó

Súrlódás esetén (2.149) is módosul

Mivel a (2.155) képletben szerepel a sebesség is, ezért a (2.154) és (2.155) képletben párhuzamosan kell számolnunk. A kettőt egy képletbe összevonni nehézkes. Ugyanakkor a sebesség implicite szerepel a (2.155) képletben is, így célszerűbbnek látszik egy rekurzív formula felírása. Helyettesítsük a (2.148) kifejezésbe (2.153) megfelelően eltolt változatát.

Használjuk ki, hogy

(2.156) és (2.157) alapján

A (2.158) kifejezésből világosan látszik, hogy a kimenőjel egy új értékének kiszámítáhához mind a kimenőjelnek, mind a bemenőjelnek két visszamenő értékét kell ismerni. Ehhez a megállapításhoz logikai úton is eljuthatunk, ha az erő egy tetszőleges -edik időpontban megváltozik, akkor a következő -adik időlépésben a sebesség változik meg, és csak a rákövetkező -dik lépésben jelenik meg az erőváltozás hatása a pozíciójelben. A (2.158) kifejezést megvalósító MATLAB Simulink program a 2-41. ábran látható.

Diszkrét idejű modell
2.41. ábra - Diszkrét idejű modell


(2.140) minden időpillanatban érvényben marad akkor is, ha az erő folyamatosra változik

Ebben az esetben bármely időpontban az összegzés helyett integrálással lehet értékét kiszámítani, ha és .

Ismert, hogy a sebességből a pozíció ugyancsak integrálással állítható elő, ismét zérus kezdeti feltétellel és .

(2.160) és (2.161) alapján

Ha viszkózus (sebességgel arányos)

súrlódás fékezi a mozgást, akkor e súrlódási erővel csökkenteni kell a tömegre ható gyorsító erőt

(2.164) alapján (2.160) is módosítandó.

Súrlódás esetén (2.162) is módosul

A kezdeti értékeket is figyelembe véve legyen és

A nehézséget az okozza, hogy a sebesség kiszámításához ismernünk kell a sebességet. Az integrál alaknál sok esetben célszerűbb a differenciális alakot használni. Induljunk ki a (2.164) összefüggésből és helyettesítsük a gyorsítás és a sebesség helyére a pozíció első illetve második deriváltját

A (2.168) kifejezés csak a kezdeti értékek megadásával válik egyértelművé. A (2.168) kifejezés kétszeres integrálásával a (2.167) kifejezéshez jutunk. Az eredményt a 2-42. ábraán látható analóg számítógéppel is megkaphatjuk.

Folytonos idejű modell
2.42. ábra - Folytonos idejű modell


Válasszuk a következő paramétereket:

Tmax=0;
DT=1;
K=Tmax/DT;
nu=0;
X0=0;
V0=0;
F0=1;
m=1;

Az erő egy egység és a szimuláció időtartama Tmax=10 egység. Könnyen kiszámítható, hogy az elmozdulás

A 2-43. ábran a folytonos idejű modell (kék folytonos görbe) és a diszkrét idejű modell (lépcsős görbék) szimulációs eredményeit hasonlítottuk össze. Látható, hogy (2.149) és (2.150) összefüggés ez alsó és egy felső becslését adja a folytonos idejű eredménynek. (2.149) és (2.150) összefüggés között két időlépésnyi eltérés van, ha a kettő között egy időlépés eltolással számítjuk a diszkrét idejű rendszert, akkor az a folytonos idejű megoldás körül oszcillál.

Szimulációs eredmények
2.43. ábra - Szimulációs eredmények


Ahogy az időlépés nagyságát csökkentjük, úgy a diszkrét idejű és folytonos idejű megoldás különbsége egyre kisebb lesz (ld. 2-44. ábra). Ha , akkor a három változat határértékben ugyanahhoz a függvényhez tart. Itt emlékeztetünk arra, hogy egy függvény integrálhatóságának feltétele az, hogy az alsó és felső becslés ugyanahhoz a határértékhez tartson.

Szimulációs eredmények
2.44. ábra - Szimulációs eredmények


2-13 feladat Rendszeregyenletek felírása (Kerékpár) (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Adott egy direkt hajtású (a hátsó agyban nem racsnis) kerékpár, nyúlás és kotyogás mentes lánccal (válasszon valóságos adatokat a kerékméretre, az első és hátsó fogaskerékre és a pedál kar hosszára). A kerékpár egyenesen halad.

  • Írja fel a kerékpár rendszeregyenletét. Legyen a rendszer bemenete a pedál elfordulása. Legyen a kimenet a megtett út.

  • Írja fel a kerékpár rendszeregyenletét. Legyen a rendszer bemenete a kerékpáros által a pedálra kifejtett nyomaték. Legyen a kimenet a megtett út. Ismert a kerékpáros és a kerékpár tömege.

  • Hogy módosul a rendszeregyenlet, ha a hátsóagy racsnis a b) esetben

2-14 feladat Ideális transzlációs telemanipulációs rendszer ARMA alakja

Adja meg a

2-12 feladat c), d) és e) pontjában ismertetett rendszer diszkrét idejű ARMA modelljének paramétereit.

c) pont

A (2.153) alapján

A 2-33. ábra és (2.170) alapján

d) pont

A (2.158) kifejezés alapján helyettesítéssel

A 2-33. ábra és (2.172) alapján

e) pont

A (2.158) kifejezés alapján

A 2-33. ábra és (2.174) alapján

2-15 feladat Kerékpár rendszeregyenleteinek ARMA alakja (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Írja fel a

2-13 feladat b) pont esetében a rendszer ARMA modelljét 0.1s-os mintavétellel.

2-16 feladat Egyenáramú motor és merev tengellyel forgatott tömeg

Adott egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor, amely egy merev tengelyen keresztül egy terhelést mozgat. A motor villamos áramának dinamikáját elhanyagoljuk, más szavakkal az időállandóját (definíciót ld. 161. oldal) nullának tekintjük. Jelölések: a motor szögsebessége és az elfordulása, , , , , pedig értelemszerűen a motor illetve a teher másodrendű nyomatéka, illetve a viszkózus súrlódást figyelembe vevő paramétere. a motor kapocsfeszültsége, a motor paramétere, Ra az armatúra ellenállása. A rendszer egyenletei:

  • Írja át a differenciálegyenlet-rendszert (2.107) alakúra, ha a rendszer bemenete a motor kapocsfeszültsége és kimenete a motor fordulatszáma.

  • Rajzolja fel a (2.176) egyenlettel leírt rendszer analóg számítógépes vázlatát integrátorok segítségével

Megoldás

a) feladat

A 2-17 feladat speciális esete.

b) feladat

Fejezzük ki a deriváltakat

Vezessük be a következő jelölést

Az analóg számítógépes modell a 2-45. ábran látható.

feladat analóg számítógépes modellje
2.45. ábra - feladat analóg számítógépes modellje


2-17 feladat Egyenáramú motor és terhelő nyomaték

Adott egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor, amelyet nyomaték terhel. Jelölések: a motor szögsebessége és az elfordulása, és pedig a motor másodrendű nyomatéka, illetve a viszkózus súrlódást figyelembe vevő paramétere. a motor kapocsfeszültsége, a motor paramétere, az armatúra ellenállása, az armatúra tekercs induktivitása. A rendszer egyenletei:

Írja át a differenciálegyenlet-rendszert (2.107) alakúra,

  • Legyen az bemenet a motor kapocsfeszültsége és az kimenet a motor fordulatszáma. Az terhelőnyomatékot ebben az esetben tekintsük nullának.

  • Legyen az bemenet a motor kapocsfeszültsége és az kimenet a motor elfordulása. Az terhelőnyomatékot ebben az esetben tekintsük nullának.

  • Legyen az bemenet a motor terhelőnyomatéka és az kimenet a motor fordulatszáma. A motor kapocsfeszültségét ebben az esetben tekintsük nullának.

  • Legyen az bemenet a motor terhelőnyomatéka és az kimenet a motor elfordulása. A motor kapocsfeszültségét ebben az esetben tekintsük nullának.

  • Rajzolja fel (2.179) egyenlettel leírt rendszer analóg számítógépes vázlatát integrátorok segítségével.

Megoldás

e) feladat

Fejezzük ki a deriváltakat

Vezessük be a következő jelöléseket

Az analóg számítógépes modell a 2-46. ábran látható.

feladat analóg számítógépes modellje
2.46. ábra - feladat analóg számítógépes modellje


2-18 feladat Egyenáramú motor és rugalmas tengellyel forgatott tömeg

Egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor egy rugalmas tengelyen keresztül egy terhelést mozgat. A motor villamos áramának dinamikáját elhanyagoljuk, más szavakkal az időállandóját (definíciót ld. 161. oldal) nullának tekintjük. A jelölések: a motor szögsebessége és az elfordulása, és a teher szögsebessége és elfordulása. a tengely torziós rugómerevsége, a tengely elcsavarodása (, , , , , pedig értelemszerűen a motor illetve a teher másodrendű nyomatéka, illetve a viszkózus súrlódást figyelembe vevő paraméter. a motor kapocsfeszültsége, a motor paramétere, Ra az armatúra ellenállása a villamos nyomaték. A rendszer egyenletei:

; ;

;

(2.184)

Írjuk át a differenciálegyenlet-rendszert (2.107) alakúra.

  • Legyen az bemenet a motor kapocsfeszültsége és az kimenet a teher fordulatszáma.

  • Legyen az bemenet a motor kapocsfeszültsége és az kimenet a teher elfordulása.

Megoldás

A 2-19 feladat speciális esete.

2-19 feladat Egyenáramú motor és terhelő nyomaték rugalmas tengelyen keresztül

Egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor egy rugalmas tengelyen keresztül egy terhelést mozgat és a terheléshez további terhelő nyomaték kapcsolódik. A motor villamos áramának dinamikáját elhanyagoljuk, más szavakkal az időállandóját (definíciót ld. 161. oldal) nullának tekintjük. A jelölések: a motor szögsebessége és az elfordulása, és a teher szögsebessége és elfordulása. a tengely torziós rugómerevsége, a tengely elcsavarodása (, , , , , pedig értelemszerűen a motor, illetve a teher másodrendű nyomatéka, illetve a viszkózus súrlódást figyelembe vevő paraméter. a motor kapocsfeszültsége, a motor paramétere, Ra az armatúra ellenállása, valamint a villamos nyomaték. A rendszer egyenletei:

Írjuk át a differenciálegyenlet-rendszert (2.107) alakúra.

  • Legyen az bemenet a motor kapocsfeszültsége és az kimenet a motor fordulatszáma. Az terhelőnyomatékot ebben az esetben tekintsük nullának.

  • Legyen az bemenet a motor kapocsfeszültsége és az kimenet a motor elfordulása. Az terhelőnyomatékot ebben az esetben tekintsük nullának.

  • Legyen az bemenet a motor terhelőnyomatéka és az kimenet a motor fordulatszáma. A motor kapocsfeszültségét ebben az esetben tekintsük nullának.

  • Legyen az bemenet a motor terhelőnyomatéka és az kimenet a motor elfordulása. A motor kapocsfeszültségét ebben az esetben tekintsük nullának.

Megoldás

a) feladat

Ebben az esetben . A (2.185) egyenletből az áramot kifejezve és behelyettesítve a (2.186) egyenletbe:

Az így kapott kifejezését helyettesítsük a (2.187) egyenletbe:

A (2.188) egyenletből következik

A motor fordulatszámára és gyorsulására vonatkozó (2.192) kifejezéseket a (2.191) egyenletbe helyettesítve:

kifejezhető a (2.189) egyenletből

A (2.194) összefüggéseket felhasználva (2.193) alapján (2.107) alakú kifejezést kapunk

    

  

(2.195)

 

b) feladat

Mivel , így (2.195) alapján

    

  

(2.196)

 

c) feladat

Ha , akkor (2.190) a következőképp módosítható

Hasonlóan (2.191) helyett a következőt írhatjuk

értékét (2.189) egyenletből kifejezve () és behelyettesítve a (2.198) egyenletbe

A motor fordulatszámát ismét a (2.192) alapján küszöböljük ki

Mivel ebben az esetben , így a (2.194) kifejezést is módosítani kell

A (2.201) összefüggéseket felhasználva (2.200) alapján (2.107) alakú kifejezést kapunk

    

  

(2.202)

 

d) feladat

Mivel , így (2.202) alapján

    

  

(2.203)

 

2-20 feladat Diszkrét állapotú érzelmi modell

Tegyük fel, hogy egy tamagoccsi (たまごっち) a teljes életét egy szobában tölti, ahová csak a gazdája és egy idegen léphet be és távozhat (egymástól függetlenül). A tamagoccsinak alapvetően négyféle érzelmi állapota lehet. Szomorú, ha egyedül van a szobában, boldog, ha a gazdájával ketten vannak a szobában, ideges, ha az idegennel ketten vannak a szobában, végül nyugodt, ha az idegen és a gazdája is a szobában van.

Rajzolja le a tamagoccsi diszkrét állapotú érzelmi modelljét.

Megoldás

A feladat kiírása szerint négy állapotunk van, és négy eseményt definiálhatunk (a gazda is és az idegen is érkezhet és távozhat). Ezek az események nem függetlenek egymástól: egy adott szereplő esetében az érkezés után csak távozás következhet, a távozást érkezés követi.

Egy tamagoccsi (たまごっち) érzelmi állapotai
2.47. ábra - Egy tamagoccsi (たまごっち) érzelmi állapotai


2-21 feladat Diszkrét állapotú viselkedésmodell

Tegyük fel, hogy egy tamagoccsi (たまごっち) négyféle tevékenységet folytathat: étkezik, alszik, játszik és unatkozik. A viselkedés szabályai

  • Az étkezés és alvás ideje kötött (ez alatt az idő alatt más tevékenység nem folytatható)

  • Az étkezés és alvás ideje nem követi egymást (alvás után nem következhet étkezés és fordítva)

  • Ha nem alszik és nem étkezik, akkor vagy játszik, vagy unatkozik attól függően, hogy a gazda jelen van-e, vagy sem.

Rajzolja le a tamagoccsi diszkrét állapotú viselkedés modelljét.

Megoldás

Egy tamagoccsi (たまごっち) viselkedés állapotai
2.48. ábra - Egy tamagoccsi (たまごっち) viselkedés állapotai


2-22 feladat Lifthívó-rendszer diszkrét állapotú modellje

Tegyük fel, hogy három szint és három nyomógomb van. Ha pl. megnyomjuk a 3. gombot, akkor a lift a 3. szintre megy.

Rajzolja le a lifthívó-rendszer diszkrét állapotú modelljét.

Megoldás

Egy lifthívó-rendszer diszkrét állapotai
2.49. ábra - Egy lifthívó-rendszer diszkrét állapotai


2-23 feladat Kombinált (fűtés. melegvíz) kazán szabályozójának diszkrét állapotú modellje

Tegyük fel, hogy a fűtésszabályozó alrendszernek két állapota (fűtés bekapcsolva és fűtés kikapcsolva) van, amelyek között a szerint vált, hogy a szoba hőmérséklete nagyobb-e a felső hőmérsékleti korlátnál, vagy kisebb-e a alsó hőmérsékleti korlátnál. (Természetesen ). A vízcsapok megnyitásakor a melegvíz szolgáltatásnak nagyobb prioritása van.

Rajzolja le a kombinált (fűtés. melegvíz) kazán szabályozójának diszkrét állapotú modelljét.

Megoldás

Egy kombinált (fűtés. melegvíz) kazán szabályozójának diszkrét állapotai
2.50. ábra - Egy kombinált (fűtés. melegvíz) kazán szabályozójának diszkrét állapotai


2.15. Alapvető vizsgálati módszerek

Megismerkedtünk a rendszer fogalmával, és annak típusaival. Fel tudjuk írni a rendszer egyenleteket, megismertük az alapvető matematikai műveleteket a rendszeregyenletek megoldására. Áttekintettük a legfontosabb problémaköröket. A következő fejezetben olyan matematikai módszereket ismerünk meg, amelyek leegyszerűsítik a rendszer differenciálegyenleteinek megoldását, illetve amelyek segítségével a rendszer differenciálegyenleteinek megoldásnélkül is következtetni tudunk a rendszer viselkedésére.

A két legfontosabb megközelítés

  • A bemenőjel komponensekre bontása és a kimenőjel kiszámítása konvolúció alkalmazásával (Klasszikus szabályozáselmélet alapja) (ld. 3. és 4. fejezet). A bemenőjel komponensekre bontása történhet az időtartományban is és a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban is. Mivel a konvolúció a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban számítható könnyebben, ezért ezt a megközelítést általában a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban használjuk.

  • Mátrixos formalizmus (Ennek speciális és széles körben elterjedt esete az állapottér-módsze. (A mátrixos formalizmus az idő- és frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban egyaránt alkalmazható)

3. fejezet - Matematikai eszközök SISO LTI rendszerek vizsgálatához

Adottnak tekintjük a rendszer differenciálegyenletét, amelyről azt feltételezzük, hogy az (2.107) alakú. A differenciálegyenletből (az együtthatók értékéből) kiindulva kívánunk következtetni a rendszer általános tulajdonságaira.

Vizsgálati módszer: A bemenőjelet komponensekre bontjuk, az elemi komponensek elemi hatását meghatározzuk, majd az időinvariancia és szuperpozíció elvének kihasználásával az elemi hatásokat összegezzük.

Világosan kitűnik, hogy a jelen fejezetben leírtak csak lineáris, időinvariáns rendszerek esetén alkalmazhatók.

A bemenőjelet mind az idő-, mind a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban komponensekre lehet bontani.

3.1. Vizsgálat (komponensekre bontás) az időtartományban

Ebben a fejezetben a 2.12.4 fejezetben leírt lineáris, időinvariáns, kauzális egy bemenetű egy kimenetű rendszerekkel találkozunk. A felbontás alapvetően két módon történhet. A jeleket az időben függőleges impulzusokra bonthatjuk az időtengely mentén, vagy vízszintes ugrások sorozatára bonthatjuk a függőleges tengely mentén (ld. 3-1. ábra). A felbontáshoz az impulzus és ugrás függvényeket kell definiálnunk.

Impulzusokra és lépésekre bontás

Jelek felbontása az időtartományban
Jelek felbontása az időtartományban
3.1. ábra - Jelek felbontása az időtartományban


3.1.1. Dirac-impulzus és egységugrás

(2.107) megoldása tetszőleges mellett meglehetősen nehézkes. Ehelyett az jelet megpróbáljuk komponensekre bontani, majd a szuperpozíció elvét kihasználva a komponensek hatását összegezzük. Az jel impulzusok sorozatára bontható. Először diszkrét időben adjuk meg a definíciókat, mert diszkrét időben sok olyan tulajdonság egyszerűen belátható, amelyek folytonos időben komoly matematikai nehézségek elé állítanak bennünket. Természetesen folytonos időben is törekszünk a matematikai egzaktságra, de a diszkrét idejű összefüggés összegzését a folytonos időben integrálra cserélve megsejthetjük, hogy folytonos időben milyen összefüggéseket kell belátnunk.

Diszkrét időben

A rendszerek bekapcsolásának modellezéséhez szükséges a diszkrét idejű egységugrás fogalma, amelynek a definíciója (ld. 3-2. ábra):

(3.1)

Diszkrét idejű egységugrás
3.2. ábra - Diszkrét idejű egységugrás


A (3.1) definícióból következik

(3.2)

A diszkrét idejű egységimpulzus definíciója (ld. 3-3. ábra):

(3.3)

Diszkrét idejű egységimpulzus
3.3. ábra - Diszkrét idejű egységimpulzus


Az eltolást a diszkrét idejű egységimpulzus esetén is értelmezhetjük

(3.4)

továbbá

(3.5)

(3.3) definíciójából triviálisan következik, de később fontos szerepe lesz:

(3.6)

Könnyen belátható, hogy egy diszkrét idejű függvény konvolúciója az egységimpulzussal egy adott K érték mellett a függvény K helyen felvett értékét adja vissza.

(3.7)

A diszkrét idejű egységugrás és egységimpulzus kapcsolatát kétféleképpen adhatjuk meg:

  • Az egységugrás értéke a k helyen kiszámítható az egységimpulzus függvényből.

(3.8)

  • Az egységugrás két szomszédos helyen felvett értékének különbsége megegyezik az egységimpulzus függvény megfelelő helyen felvett értékével

(3.9)

Folytonos időben

Az egységugrás definíciója

Az eltolást a folytonos időben is értelmezhetjük

A definícióból látható, hogy az függvénynek nincs határozott értéke a helyen. Vannak szerzők, akik 0, 0.5 vagy 1 értéket adnak neki. Ennek nincs jelentősége, mert az egységugrás általában a bemeneten jelenik meg, bennünket általában a kimenet érdekel, és valós rendszereknél a kettő között integráló hatás van, így a kimenőjelre matematikai értelemben nincs hatása annak, hogy a időpontban -nak milyen véges értéket választunk. Azért érdemes a 0.5 értéket választani, mert pl. az ugrásokból álló négyszögjel Fourier-sora a szakadásnál a kétoldali határérték számtani középértékét adja vissza. Mérnöki megközelítésben nincs ennek jelentősége. Célunk a valós fizikai rendszer működésének leírása. A valós fizikai rendszer bekapcsolásakor lezajló fizikai jelenségeket az egyszerűség kedvéért nem modelleztük, így a rendszer időpontbeli matematikai viselkedése intuíciókat adhat, hogy a fizikai rendszer bekapcsolási jelenségeit hogyan képzelhetjük el, de ez inkább csak egy szellemi kaland lehet. Amennyiben a matematikai egzaktságot úgy is meg tudjuk tartani, hogy értékét nem definiáljuk a helyen, akkor a legjobb, ha azzal is kifejezzük a bekapcsolási folyamatokkal kapcsolatos bizonytalanságot, hogy erre vonatkozóan nem adunk esetlegesen félrevezető információt.

A diszkrét idejű egységimpulzus megfelelőjének matematikai értelmezése a folytonos időben még ennél is nehezebb. A mechanikában az impulzus definíciója egyértelmű. A tömegre ható erő integrálja. Állandó tömeget feltételezve ugyanazt az impulzust érhetjük el, ha kisebb az erő, de tovább hat, vagy ha nagyobb erővel, de rövidebb ideig hatva. Ezt általánosítva definiáljunk egy egységimpulzus függvényt:

(3.12) azért egységimpulzus, mert idő szerint integrálja 1 lesz az eredmény, hasonlóan, mint (3.6) diszkrét időben.

Formálisan a helyettesítéssel:

(3.14) hagyományos értelemben nem tekinthető függvénynek, mert 1/0 nem egy valós számérték. Az sem elegendő, ha azt mondjuk rá, hogy végtelen, mert pl. a 7/0 és a 0.2/0 is végtelen. Fordítsuk meg a dolgot és használjuk fel (3.13)-at és (3.14)-et definícióként: egységimpulzusnak (további elnevezések: Dirac-delta, Dirac-impulzus) nevezzük azt a kiterjesztett értelmű függvényt (disztribúciót), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban pedig olyan értéket vesz fel, hogy

teljesüljön. Az egységugráshoz hasonlóan a Dirac-impulzus hatását is általában egy integrálási művelet után vizsgáljuk, így a fenti definíció egy jó gyakorlati megközelítés. Azt fejezi ki, hogy a Dirac-impulzus mechanikai rendszereknél egy kalapácsütést jelent. E definíciót (2.108) segítségével kiterjeszthetjük az egységimpulzus deriváltjára: egy olyan kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban pedig olyan értéket vesz fel, hogy teljesüljön. Hasonló módon magasabb rendű deriváltakat is definiálhatunk.

definíciójából következik (vö. (3.8)):

A (3.16) integrál értéke a időpontban nincs meghatározva, hasonlóan a (3.10) definícióhoz. Így kijelenthetjük, hogy a disztribúciót értelmezhetjük úgy, mint általános értelemben vett deriváltja.

A (3.4) és (3.5) is könnyen általánosítható folytonos időben. A egy olyan kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban egy olyan értéket vesz fel, hogy teljesüljön.

A pedig olyan kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban pedig olyan értéket vesz fel, hogy teljesüljön.

A (3.7) formális általánosítása is egyszerű a folytonos időben. A folytonos függvény konvolúciója kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció) -val vett eltoltjával a függvény pontbeli értékével egyezik meg. Mivel páros függvény, ezért a konvolúció számításában az argumentumának előjelét megcserélhetjük.

Számunkra (3.17) azért kiemelt jelentőségű, mert (3.17) segítségével egy folytonos függvényhez hozzá tudjuk rendelni egy adott pontbeli értékét. A mérnöki gyakorlatban ezt nevezzük (mérésnek) mintavételezésnek. Ha (3.17)-t elvégezzük a (ahol és rögzített szám) mintavételi pontok sorozatára, akkor egy folytonos idejű jelnek előállíthatjuk a diszkrét idejű megfelelőjét.

A fentiekből következik, hogy a Dirac-impulzus nem tekinthető hagyományos értelemben vett függvénynek, de a Dirac-impulzusnak a fenti származtatása az egységimpulzusból fizikailag könnyen értelmezhető, a mérnöki gyakorlatban ezt az értelmezést alkalmazzuk. Ugyanakkor a (3.15) definíció nem ad támpontot több alapvető matematikai művelet elvégzésére. A Dirac-impulzus egzakt matematikai kezelésére vezettük be a 2.12.5 pontban a disztribúció fogalmát. A Dirac-impulzussal kapcsolatos intuitív megállapításaink egzakt matematikai eszközökkel is bizonyíthatók, a további elemzést az olvasóra bízzuk.

A diszkrét idejű jelek felbontása a 3-4. ábra látható

Impulzusokra és lépésekre bontás

Diszkrét idejű jelek komponensekre bontása
Diszkrét idejű jelek komponensekre bontása
3.4. ábra - Diszkrét idejű jelek komponensekre bontása


3.1.2. Impulzusokra bontott bemenőjel hatásának összegzése

Először a diszkrét idejű rendszereket vizsgáljuk, majd ezt kiterjesztjük folytonos idejű rendszerekre. A továbbiakban általában a bemenőjel egy ún. belépő függvény. Ez azt jelenti, hogy létezik egy olyan K, illetve érték, amelyre , illetve . Az egyszerűség kedvéért azt feltételezzük, hogy ha egyéb megjegyzést nem teszünk, akkor , illetve . A legtöbb esetben mindez formálisan csak annyit jelent, hogy az időre vonatkozó összegzésben és integrálok számításában a helyett a 0 az alsó határ. A kauzalitás miatt a rendszer válasza is csak a bekapcsolás után indulhat, de az állapotváltozó jellegű változóknak lehet nullától eltérő kezdeti értéke. Ebben a 3.1.2 pontban matematikai szempontból nincs szükség a belépő jelekre tett kikötésre, de a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban (Laplace-transzformált jelek esetén, ld. 3.2.4, 3.2.6, 3.2.7, 3.2.8 pontok) élnünk kell ezzel a feltételezéssel.

Diszkrét időben

A 2.1.11. fejezetben leírt (2.98) alakú ARMA rendszerekkel foglalkozunk.

A (2.98) jobb oldalán az összegzés r-ig tart. (i=r+1, …, n) bevezetésével egyszerűbbé tehetjük a későbbi tárgyalást, megjegyezzük, hogy a i<r sorszámú együtthatók között is lehet nulla. Ha első n számú () és r számú () értéke ismert, akkor (3.19) segítségével a további kimenőjel kiszámítható.

A lépésről lépésre számítás helyett kiszámoljuk, hogy a rendszer miként reagál egyetlen bemenőjelre, vagyis egyetlen „ütésre”. Amikor a diszkrét idejű rendszerek bemenőjele egy diszkrét idejű egységimpulzus, akkor a kimenőjelet súlyfüggvénynek vagy impulzusválasznak nevezzük (az irodalomban mindkét elnevezés elterjedt) és -val jelöljük (ld. 3-5. ábra) (megjegyezzük, hogy az irodalomban használják még a jelölést is).

Diszkrét idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)
3.5. ábra - Diszkrét idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)


Tegyük fel, hogy és ismert. Kihasználjuk azt, hogy

Ez azt jelenti, hogy egy adott i –edik időpontban egy nagyságú és i lépéssel eltolt impulzussal gerjesztjük a rendszert. E bemenőjelre a rendszer válasza egy arányosan megnövelt és időben eltolt súlyfüggvény: (ld. 3-6. ábra).

A kimenőjel meghatározása diszkrét idejű konvolúcióval
3.6. ábra - A kimenőjel meghatározása diszkrét idejű konvolúcióval


Bármely k-adik időlépésben az időinvarianciát és a szuperpozíció elvét kihasználva időeltolással összegezzük ezeket a hatásokat

A (3.21) úgy is értelmezhető, hogy a kimenőjel értéke egy k-adik időpillanatban a rendszerre az összes múltbeli időpontban ható bemenőjel súlyozott átlaga, innen a súlyfüggvény elnevezés. A (3.21) kifejezésben nincsenek állapotváltozók, így kezdeti értékek sem adhatók meg, csak a rendszer tulajdonsága és az bemenőjel határozza meg az kimenőjelet. Itt az összegzés csak az tartományra szorítkozik, de nincs elvi akadálya, hogy akár -ből induljon.

Az impulzusnak véges energiája van, így egy valós fizikai rendszernél a kauzalitás miatt csak belépő függvény lehet (a bemenő jel csak a jövőre hathat), a linearitás miatt nem lehet irreverzibilis változás, minden valós rendszer működése közben van valamilyen energiaveszteség, így valós rendszer esetén biztosan lecsengő, értékei nullához tartanak.

Ha létezik olyan K időpont, amelyre igaz az, hogy , akkor a rendszert „véges impulzus válaszú” rendszernek nevezzük, és ezekre a rendszerekre az angol név alapján a FIR (Finite Impulse Response) rövidítést használjuk. Értelemszerűen definiálhatjuk az IIR végtelen impulzusválaszú (Infinite Impulse Response) rendszereket is.

Folytonos időben

(2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerekkel foglalkozunk. A (2.107) egyenletben alkalmazott jelölésekkel n=r ( (i=r+1, …, n)) és

A (3.22) megoldása tetszőleges mellett meglehetősen nehézkes. Ehelyett az jelet a diszkrét idejű rendszereknél alkalmazott eljáráshoz hasonlóan komponensekre (impulzusok sorozatára) bontjuk, majd a szuperpozíció elvét kihasználva a komponensek hatását összegezzük. A diszkrét idejű rendszerhez hasonlóan bevezethetjük a súlyfüggvényt (impulzusválaszt) ld. 3-7. ábra. (Az irodalomban használatos még a jelölés is)

Folytonos idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)
3.7. ábra - Folytonos idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)


Valós fizikai rendszer esetén w(t) lecsengő belépő időfüggvény (ezt a tulajdonságát később kihasználjuk)

Tegyük fel, hogy w(t) ismert (például mérés alapján). Formálisan (3.21) összegzést kell átírni folytonos időbe, k helyére t kerül és az összegzés helyett integrált kell írnunk, továbbá tekintettel kell lenni arra, hogy akár Dirac-impulzus is lehet, így az összegzésben, illetve integrálszámításban a t=0 pontot is figyelembe kell venni, ahol nem folytonos és az értékét csak az integrálja határozza meg. Ebből következik, hogy az integrál alsó határának a 0 bal oldali közelítését kell választani, ezt jelöljük 0-val.

A (3.23) úgy is értelmezhető, hogy az u(t) bemenőjel értelmezési tartományát nagyságú időintervallumokra osztjuk, minden időintervallumot egy impulzusnak tekintjük, amelynek a nagysága . Ezt az impulzust egy, az impulzussal megegyező nagyságú Dirac-impulzussal helyettesítjük. Ennek megfelelően a τ időpillanatban a rendszer bemenőjele lesz. Erre a -val eltolt és nagyságú impulzusra a válasz egy eltolt és arányosan lecsökkentett súlyfüggvény (ld. 3-8. ábra). Meg kell jegyezni, hogy ha tart nullához, akkor a nagyságú impulzus is tart nullához, így a rendszer válasza végtelen sok végtelenül kicsi impulzus hatásából adódik össze.

A kimenőjel meghatározása folytonos idejű konvolúcióval
3.8. ábra - A kimenőjel meghatározása folytonos idejű konvolúcióval


idejű átmeneti függvény
3.9. ábra - idejű átmeneti függvény


Az u(t) bemenőjelet nem csak függőlegesen, hanem vízszintesen is feloszthatjuk, ekkor elemi ugrásfüggvényeket kapunk. A rendszer válaszát az egységugrás bemenőjelre átmeneti függvénynek nevezzük és -vel jelöljük (ld. 3-10. ábra). Valós fizikai rendszerek esetén .

Folytonos idejű átmeneti függvény
3.10. ábra - Folytonos idejű átmeneti függvény


Formálisan, ha a bemenőjelet integráljuk, akkor a kimenő jelet is integrálni kell, így az egységugrás bemenőjelre adott válasz a súlyfüggvény integrálja lesz.

Természetesen a (3.25) átfogalmazható úgy, hogy az átmeneti függvény időszerinti deriváltja a súlyfüggvény. A kimenőjel az átmeneti függvény és a bemenőjel ismeretében is meghatározható. A időpillanatban a bemenőjel mértékben változik meg. Ezt a változást nagyságú ugrásfüggvénnyel, vagyis bemenőjellel modellezzük. E bemenőjelre a rendszer válasza egy olyan átmeneti függvény, amelynek a nagysága meg van szorozva -val és az időben el van tolva -val. Ennek az átmeneti függvénynek az értéke egy adott T időpontban . Ezeket az elemi átmeneti függvényeket kell összegezni, de figyelembe kell venni, hogy u(t)-nek lehetett egy kezdeti ugrása is a t=0 időpontban. Az összegzés eredménye:

Folytonos idejű átmeneti (ugrásválasz)
3.11. ábra - Folytonos idejű átmeneti (ugrásválasz)


Összefoglalásul megállapíthatjuk, hogy folytonos idejű modell esetén az u(t) bemenőjel az időtartományban felbontható impulzusok vagy ugrások sorozatára, továbbá definiálhatók a rendszer működését általánosan leíró időfüggvények (súly- és átmeneti függvény). Az időtartományban a bemenőjel felbontásával és az időtartománybeli rendszerfüggvények segítségével egy konvolúciós integrállal ((3.23), illetve (3.26)) a rendszer kimenőjele kiszámítható. A probléma az, hogy a konvolúciós integrál számítása folytonos időben továbbra is bonyolult, ez a matematikai művelet lényegesen leegyszerűsödik a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban, és részben ez az oka (de nem az egyetlen), hogy folytonos idejű rendszerek esetén áttérünk a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományra.

3-1 feladat Diszkrét idejű konvolúció

Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű impulzusválasza (súlyfüggvénye) legyen

, , és , ha

  • Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a bemenőjel diszkrét idejű egységugrás.

  • Mekkora a rendszer erősítése?

Megoldás

A diszkrét idejű az egységugrásra úgy tekintünk mint diszkrét idejű az egységimpulzusok sorozatára. Jelölje az egységugrás -edik időpillanatbeli értékére adott impulzusválasz függvényének -adik időlépésbeli értékét. Írjuk be egy táblázatba és első öt értékét.

k

0

1

1

1

3

1

4

2

2

3

1

6

3

0

2

3

1

6

4

0

0

2

3

1

6

Látható, hogy túllendülés nélkül a lépésben beáll az állandósult értékre. Így a táblázatból kiolvasható, hogy a rendszer erősítése 6.

3-2 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű impulzusválasza (súlyfüggvénye) legyen

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

  • Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a bemenőjel diszkrét idejű egységugrás.

  • Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a diszkrét idejű bemenőjel a következő:

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

  • Mekkora a rendszer erősítése?

3-3 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Egy diszkrétidejű rendszer diszkrétidejű ugrásválasza (átmenetifüggvénye) legyen

, , és , ha

  • Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a diszkrét idejű bemenőjel a következő:

  • és , ha

  • Mekkora a rendszer erősítése?

3-4 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű ugrásválasza (átmeneti függvénye) legyen

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

  • Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a bemenőjel diszkrét idejű egységugrás.

  • Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a diszkrét idejű bemenőjel a következő:

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

  • Mekkora a rendszer erősítése?

3.2. Vizsgálat a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban

Tapasztalat:

Ha egy függőleges helyzetű rugó alsó végére egy tömeget akasztunk és a rugót ugyancsak függőlegesen szinuszosan mozgatjuk a felső végénél fogva, akkor a tömeg is szinuszosan fog lengeni a gerjesztéssel azonos frekvenciával, de a gerjesztéstől eltérő fázisban és amplitúdóval. Azt is érezzük, hogy ha a gerjesztés amplitúdója állandó marad, de a frekvenciáját növeljük, akkor a tömeg mozgásának amplitúdója fokozatosan csökken, és a fáziskésése növekszik. Tendenciájában ez a legtöbb valós rendszerre igaz.

E tapasztalat indít arra, hogy a jeleket nem az időben, hanem a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban bontjuk komponensekre. A frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban a felbontás matematikai alapja az, hogy szinuszos gerjesztés esetén egy lineáris differenciálegyenlet inhomogén megoldása a gerjesztő függvénnyel azonos frekvenciájú szinuszos függvény (ld. 3-12. ábra). Ez egyben rámutat az alkalmazás korlátaira, az itt leírtak nemlineáris rendszerekre általában nem (vagy csak nagyon körülményesen) alkalmazhatók. Meg kell jegyezni, hogy mérnöki szemmel a differenciálegyenletek infomogén megoldása egy gerjesztés hatására kialakuló állandósult állapot. A 3-12. ábra úgy értelmezhető, hogy ha a lineáris rendszert szinuszosan gerjesztjük, akkor a tranziens lezajlása után, az állandósult állapotban a kimenőjel szinuszosan fog változni.

Lineáris rendszerek válasza szinuszos gerjesztésre
3.12. ábra - Lineáris rendszerek válasza szinuszos gerjesztésre


Kihasználjuk még, hogy a periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők. A Fourier-sorba fejtés általánosítható első lépésben véges energiájú nem periodikus, majd belépő függvényekre. A függvényeknek e három típusú felbontása különböző frekvenciájú komponensekre formális analógiát mutat a sík és térvektorok merőleges (ortogonális) komponensekre bontásával. E formális analógia mélyebb matematikai összefüggéseinek a feltárása olyan matematikai hátteret igényelne, amely messze túlmutatna e tananyag keretein. Ennek ellenére didaktikai szempontból építünk erre a formális hasonlóságra, mert a vektorok felbontásának szemléletessége nagymértékben segítheti a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartománybeli összefüggések könnyebb megértését és tán a képletek megjegyzését is. A frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartománybeli gondolkodás képessége számos villamosmérnöki és szabályozástechnikai probléma megoldását segítheti.

Idézzük fel, amit a síkvektorok komponensekre bontásáról tudunk.

  • A síkvektorok esetén definiálva van a skaláris szorzás.

  • Egy v síkvektor abszolút értékének (hosszának) négyzete egyenlő a vektor önmagával vett skaláris szorzatával (3.27), itt megjegyezzük, hogy ha a síkvektort komplex számokkal írjuk le, akkor a vektor (komplex szám) abszolút értékét úgy kapjuk, hogy a komplex számot a komplex konjugáltjával szorozzuk.

Legyen v egy síkvektor, valamint és két egymásra merőleges egységvektor. és a sík ortonormált bázisa, mivel bármely v vektor egyértelműen kifejezhető és segítségével a következő alakban (ld. 3-13. ábra)

ahol az együtthatókat skaláris szorzással számíthatjuk ki.

Egy síkvektor felbontása merőleges komponensekre
3.13. ábra - Egy síkvektor felbontása merőleges komponensekre


Az ortogonalitás feltétele, hogy és vektorok skaláris szorzata 0, . A normáltsághoz az kell, hogy és vektorok egységvektorok legyenek, vagyis az önmagukkal vett skaláris szorzatuk 1 legyen, . A sík, mint a síkvektorok tere teljes, ha tetszőleges és értékekkel (3.28) egy síkban létező vektort ír le.

További fontos és jól ismert összefüggés, hogy a vektor hosszának (a vektor abszolút értékének) négyzetét az együtthatók négyzetösszegével is kiszámíthatjuk (a keresztszorzatok az ortogonalitás miatt kiesnek).

A fenti állítások triviálisnak hatnak és könnyen általánosíthatjuk 3D térvektorokra. Azt szeretnénk, ha hasonló könnyedséggel tudnánk a függvények felbontását is kezelni.

A fentiekből látható, hogy a kulcselem a skaláris szorzás, ennek segítségével definiálhatjuk a vektorok nagyságát (hosszát, mértékét), az ortogonalitást, továbbá a komponensek együtthatóit is skaláris szorzással számíthatjuk ki.

Általános értelemben vett vektorok lineáris terét Hilbert-térnek nevezzük, ha a térben értelmezve van a skaláris szorzás, és a tér teljes a skaláris szorzásból származó normára nézve.

Egy tér teljes, ha minden benne haladó Cauchy-sorozat konvergens. A tér pontjaiból álló sorozatot akkor nevezzük Cauchy-sorozatnak, ha minden pozitív valóstávolság értékhez találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint a megadott távolság.

Ha tekintettel szeretnénk arra lenni, hogy egy komplex függvény normája is valós szám legyen (ld. (3.27) egyenlettel kapcsolatos megjegyzést), akkor a intervallumon értelmezett és abszolút integrálható valós vagy komplex függvények skaláris szorzatát a következő módon definiálhatjuk

ahol a felülvonás a komplex konjugáltat jelöli (a valós függvényeket (3.31) speciális esetének tekintjük). Folytonos függvények esetén (3.31) minden további megkötés nélkül kielégíti a skaláris szorzás definícióját, de részben a mérnöki gyakorlat miatt, részben azért, hogy a vizsgált függvénytér teljes legyen, meg kell engednünk nem folytonos függvényeket is. Ebben az esetben (3.31) csak akkor elégíti ki a skaláris szorzás minden feltételét, ha az olyan függvényeket, amelyek csak nullamértékű halmazon különbözőek, más megfogalmazásban majdnem mindenütt megegyező értékűek, azonosnak tekintjük. A mérnöki gyakorlatban mindig élhetünk ezzel a megkötéssel és az integrál értékére sincs hatása, ha a függvényértékek nulla mértékű halmazon különböznek (az integrálszámításra a skaláris szorzásban betöltött szerepe miatt kell tekintettel lennünk). A függvények értelmezési tartománya nem csak véges zárt intervallum lehet, hanem nyílt vagy akár végtelen intervallum. Az abszolút integrálhatóságot azért kell kikötni, hogy (3.31) véges értéket adjon.

A (3.31) skaláris szorzatból számított norma (ezt szokás -normának is nevezni)

Azokat a függvényeket, amelyekre a (3.32) norma véges értéket ad, szokás az osztályba tartozó függvényeknek nevezni, amelyekről belátható, hogy Hilbert-teret alkotnak.

Az függvény (3.28) kiterjesztéseként értelmezett felbontásához szükség van a (3.28)-ban szereplő és vektorok megfelelőjére a függvényosztályban. Matematikai megfogalmazásban szükségünk van egy ortonormált bázisra. Ehhez intuícióul szolgálhat a Fourier-sorfejtés, ezért idézzük fel az erről tanultakat.

3.2.1. Fourier-sorfejtés

Az olyan periodikus függvényeket (ld. 3-14. ábra) lehet Fourier-sorba fejteni, amelyek abszolút integrálja egy hosszúságú periódusra véges (A gyakorlatban előforduló esetekben ezzel egyenértékű feltétel, hogy (3.32) szerinti normája legyen véges).

Egy periodikus függvény
3.14. ábra - Egy periodikus függvény


Ismertnek tekintjük a Fourier-sorok első szokásos, inkább csak matematikusok által használt alakját

Ha folytonos és véges sok differenciálható darabból áll, akkor (3.34) rekonstruálja az eredeti függvényt. Olyan eseteket is megengedünk, amikor szakaszosan folytonos (-nek véges számú ugrása van, (példaként ld. 3-14. ábra)), ilyen függvények esetén (3.34) a szakadás helyén a kétoldali határérték számtani közepét adja vissza. Ez a megjegyzés a matematikai korrektség miatt fontos, de a mérnöki gyakorlatban nincs jelentősége, mert valós fizikai folyamatot leíró jelnek akkor van ugrása, ha rövid tranziensű jelenségeket elhanyagolva idealizáljuk a rendszer működését. Ez a tulajdonság öröklődik a később tárgyalandó inverz Fourier és Laplace-transzformáltakra is.

Megjegyezzük, hogy az ún. alapharmonikus körfrekvenciája, az alapharmonikus frekvenciája értelem szerűen adódik: .

(3.34) könnyen átírható arra az alakra, amely a mérnöki gyakorlatban a legelterjedtebb.

A későbbiek szempontjából fontos kitérni a (3.35) fizikai értelmezésére. Egy periodikus függvény, amely kielégíti a (3.33) feltételt előállítható úgy, hogy először vesszük a függvény átlagát, majd ehhez hozzáadjuk amplitúdójú és körfrekvenciájú koszinuszos alapharmonikust a fáziseltolással, majd sorra a koszinuszos felharmonikusokat amplitúdóval, felharmonikus körfrekvenciával és fáziseltolással. Így a periodikus jelet megszámlálhatóan végtelen koszinuszos függvényből állítjuk elő. Hogy az alap- és felharmonikusok a jelben jelen vannak, azt onnan is láthatjuk, hogy ezek megfelelő szűrővel kinyerhetők a jelből, rezonanciára hajlamos rendszereknél rezonanciát okozhatnak. Villamos áramkörök esetén az értéket egyenáramú összetevőnek is szokás nevezni. A (3.35)-ból kiolvasható, hogy egy periodikus jelben az alapharmonikus és a felharmonikusok milyen amplitúdóval és fázisszöggel szerepelnek. Az amplitúdóértékeket szokás a frekvencia (esetenként a körfrekvencia) függvényében ábrázolni. A 3-15. ábra példaként egy négyszögjel alap- és felharmonikusainak az amplitúdóit ábrázoljuk (A periódusidő 10s, a négyszögjel nagysága 1, a számítás részleteit ld. 3-5 mintafeladatban)

Egy négyszögjel alapharmonikusának és felharmonikusainak amplitúdói
3.15. ábra - Egy négyszögjel alapharmonikusának és felharmonikusainak amplitúdói


Bár a fizikai tartalmat (3.35) mutatja a legjobban, az általánosításhoz át kell térni a Fourier-sorok komplex alakjához. Abból indulunk ki, hogy

A (3.36) segítségével (kihasználva, hogy =1) (3.35) a következő komplex alakra írható

ahol az komplex együtthatók és a amplitúdók összefüggése a következő

Látható, hogy egy valós függvényt komplex függvények összegével állítunk elő, így a komplex komponensek fizikailag önmagukban nehezen értelmezhetők, különösen a negatív előjellel szereplő körfrekvenciát nem tudjuk megmagyarázni, de az azonos abszolút értékű pozitív és negatív sorszámú komponensek egymástól függetlenül nem léteznek, egymástól függetlenül nem változnak, az információt együtt hordozzák. A (3.38)-ből kitűnik, hogy és egymásnak komplex konjugáltja, az komplex együtthatók abszolút értéke és fázisszöge szoros kapcsolatban van az adott komponens amplitúdójával és fáziseltolásával. Hangsúlyozzuk, nincs negatív körfrekvencia, csak a (3.36) felbontás miatt a mindig pozitív értékű körfrekvencia negatív előjellel is szerepel a függvény komplex felbontásában. A negatív frekvenciáknak az Euler forma miatt matematikailag van jelentőségük. A (3.37) előnye az, hogy formális hasonlóságot mutat a (3.28) kifejezéssel.

Így már kimondhatjuk: az függvényosztálynak az komplex függvények (ahol és ) ortonormált bázisát alkotják, ha ezen osztályba tartozó két függvény (jelölje ezeket és ) skaláris szorzatát a következő módon definiáljuk:

Az együttható azért kell, hogy a bázis ne csak ortogonális legyen, hanem normált is.

Az ortogonalitás azt jelenti:

(3.29) általánosításaként (3.39) alapján az komplex együtthatók közvetlenül számíthatók

A későbbiek miatt hangsúlyozzuk ki, hogy az komplex együttható függvénye -nak.

Ha az függvényosztályról beszélünk, akkor (3.36) szigorúan véve csak a intervallumra vonatkozik,

Természetesen (3.43) ezen az intervallumon kívül is visszaadja a periodikus függvényt.

A (3.27) és (3.30) általánosítása is fontos szerepet játszik a mérnöki gyakorlatban. A fizikai összefüggések feltárásához alkalmazzuk a (3.35) alakot

Periodikus jelek leginkább a villamosmérnöki gyakorlatban fordulnak elő. A (3.44) fizikai tartalmára egy nagyon egyszerű villamos áramköri példán keresztül világítunk rá. A példa megértéséhez elegendő az Ohm törvényt ismerni és azt tudni, hogy a feszültség és áram szorzata a teljesítmény. Legyen és az ellenállás feszültsége, árama és pillanatnyi teljesítménye. Ismert:

Tegyük fel, hogy az ellenállást fűtésre használjuk. A feszültség és az áram időfüggvényét egyetlen számmal (normával) szeretnénk jelölni. A szoba hőmérsékletére az átlagteljesítménynek van hatása, így célszerű olyan normát választani, hogy abból az átlagteljesítmény könnyen számítható legyen, ezt a normát a villamos mérnökök effektív értéknek hívják. A (3.45) helyébe a következő egyszerűsített formát szeretnénk felírni:

A (3.45) és (3.46)-ból az következik, hogy a feszültség és áram esetén az effektív értéket a következőképpen kell definiálni:

ahol lehet vagy . Azt feltételezzük, hogy és periodikus, a periódusidő . Vegyük észre, ha a skaláris szorzás definíciója (3.39) alakú, akkor a villamos jeleknél bevezetett effektív érték megegyezik a jel normájával. Az effektív értéket az átlagteljesítményből származtattuk, így egy villamos jel átlagteljesítménye normájának négyzetével arányos (kiemeljük, hogy ez nem jelent egyenlőséget). (3.44)-ből következik, hogy egy villamos jel effektív értékének négyzete megegyezik az összetevők effektív értékének négyzetösszegével, vagyis (3.44) üzenete az, hogy a jel átlagteljesítménye a komponensek átlagteljesítményének összege. Szokás a jelösszetevők amplitúdónégyzetét is ábrázolni a frekvencia függvényében, ezt szokás teljesítményspektrumnak is nevezni (ismét hangsúlyozzuk, bizonyos jelek esetén ez csupán arányosságra utal, bizonyos jeleknél ez fizikailag nem értelmezhető), periodikus függvényeknek az amplitúdóérték spektrumához hasonlóan a teljesítményérték-spektrumuk is vonalas.

A (3.35) alakú felbontásban a koszinuszos komponensek ortogonálisak, de nem normáltak, ezért kell az ½ szorzó a összegzésénél. Ezzel szemben a (3.43) felbontás ortonormált, így

3.2.2. Kidolgozott feladatok Fourier sorokhoz kapcsolódóan

3-5 feladat négyszögjel Fourier sora

Határozza meg a 3-16. ábraán látható négyszögjel Fourier sorát

Négyszögjel
3.16. ábra - Négyszögjel


Megoldás

A jel szimmetriájából következik, hogy a Fourier-sor csak páratlan szinuszos tagokat tartalmaz, ezért célszerű a Fourier sor (3.34) alakját használni a következő formában:

ahol és a bázis függvényekből áll. Az ábráról leolvasható a periódus idő és az alapharmonikus értéke

Az együtthatókat ebben az esetben is skaláris szorzással határozhatjuk meg. A villamosmérnöki gyakorlatban a periodikus függvényeket általában a idő helyett szög függvényében ábrázoljuk és a Fourier sor együtthatóinak kiszámítása is egyszerűbb, ha helyett szerint integrálunk.

Rajzoljuk meg a következő függvényt, különböző számú felharmonikust figyelembe véve

Alap-harmonikus

Alap- és az első felharmonikus

Alap- és az első két felharmonikus

Alap- és az első kilenc felharmonikus

Alap- és az első száz felharmonikus

Alap- és az első ezer felharmonikus

3-17. ábra Négyszögjel Fourier sorfejtése

A fenti számítások a következő MATLAB program segítségével végezhetők el.

t=0:0.01:10;
max=size(t);
max=max(2);
 
for i=1:max
f(i)=sign(sin(t(i)/5*pi));
end
 
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it u_n(t)} függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [s]');
title('Négyszögjel függvény');
axis([0 10 -1.1 1.1]);
grid
 
pause
 
for ib=1:10
ii=2*ib-1; 
af(ib)=4/pi/ii;
end
 
for is=1:max
fi(is)=0;
for l=1:10
ii=2*l-1;
fi(is)=fi(is)+af(l)*sin(is/max*2*pi*ii);
end    
end
 
plot(t,f,t,fi)
axis([0 10 -1.3 1.3]);
grid
 
pause
 
bar( [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9  1.1 1.3 1.5 1.7 1.9],af, 0.07)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('Amplitúdók [relatív egység]');
xlabel('Frekvencia [Hz]');
title('Négyszögjel vonsalas spektruma')
grid

3-6 feladat Fourier sorfejtés gyakorlati alkalmazása

A 3-18. ábra egy szünetmentes áramforrás egyszerűsített rajzát szemlélteti.

Szünetmentes áramforrás
3.17. ábra - Szünetmentes áramforrás


A szünetmentes áramforrás részei:

  • vezérelt egyenirányító

  • simító szűrő

  • akkumulátor

  • inverter (K1…K4)

  • kimeneti szűrő .

Mindaddig, míg van hálózati feszültség, a vezérelt egyenirányító táplálja az invertert, és gondoskodik arról, hogy az akkumulátor feltöltött állapotban legyen. Hálózati feszültség kimaradásakor az akkumulátor a benne tárolt energia révén szünetmentesen tudja tartani az inverter, illetve a fogyasztó táplálását.

Az inverter – működési elvéből adódóan – csak különböző előjelű négyszög alakú impulzusok kiadására képes. Tegyük fel, hogy mindkét fél-periódusban szimmetrikusan kiadunk egy szélességű impulzust. Az egyszerűség kedvéért az impulzust relatív egységben, az függvényében ábrázoljuk (az időt radiánban mérjük, ld. 3-19. ábra)

A fogyasztók többsége azonban szinuszos feszültséget igényel, ezért szükséges a kimeneti szűrőkör.

Szimmetrikus impulzus jel
3.18. ábra - Szimmetrikus impulzus jel


Az alapharmonikus feszültség szabályozása, de nem utolsó sorban a szűrőkör árának és méretének csökkentése érdekében is, úgynevezett PWM (Pulse Width Modulation = impulzus szélesség moduláció) eljárást szokás alkalmazni. Az egyik legegyszerűbb PWM-módszer a 3-19. ábra látható. Az áramforrás kimenő feszültségének effektív értékét az inverter által előállított szimmetrikus impulzus jel szélességének változtatásával lehet módosítani. Ha egy félperióduson belül az impulzusok számát növeljük, akkor egyidejűleg változtathatjuk a kimenő feszültség effektív értékét és felharmonikus tartalmát. A PWM lényege a szűrés szempontjából bban áll, hogy változatlan effektív érték mellett az alapharmonikushoz képest az alacsony rendszámú felharmonikusok nagyságát lecsökkentjük vagy teljesen megszüntetjük azon az áron, hogy közben a nagyobb rendszámú felharmonikusokat relatívan megnöveljük; a nagyobb rendszámú felharmonikusok pedig kisebb méretű, és ezért olcsóbb szűrőkörrel csökkenthetők, mint az alacsony rendszámúak.

  • Határozza meg a feszültség jel effektív értékét az impulzus időben kifejezett szélességének függvényében.

  • Ábrázolja függvényében az első három felharmonikus nagyságának alakulását!

  • Mekkorára kell -t választani, ha az rendszámú felharmonikust meg akarjuk szüntetni?

Megoldás

  • Az effektív érték (3.47) definíciója alapján

  • A jel szimmetriájából következik, hogy a Fourier-sor csak páratlan szinuszos tagokat tartalmaz, ezért célszerű a Fourier sor (3.34) alakját használni a következő formában:

ahol és a bázis függvényekből áll. Az együtthatókat ebben az esetben is skaláris szorzással határozhatjuk meg.

Felhasználva a

azonosságot:

A 3-20. ábra az és együtthatók vonatkoztatott abszolút értékét mutatja nagyság függvényében. Az a teljes kitöltésű négyszög alakú jel alapharmonikusa. Az előjele a -edik felharmonikus fázisával van kapcsolatban.

Amplitúdó arányok a nagyság függvényében
3.19. ábra - Amplitúdó arányok a nagyság függvényében


  • Az kifejezéséből látható, hogy megfelelő választásával tetszőleges rendszámú felharmonikus megszüntethető. A rendszámú felharmonikus megszűnését jelentő

egyenlőség akkor teljesül, ha

Mivel , ezért

impulzus szükséges.

Megjegyezzük, hogy ha egy félperiódusban több impulzust adunk ki, akkor az impulzusokat egyenként Fourier-sorba fejthetjük és ezeket a sorokat tagonként összegezhetjük. Belátható, hogy az impulzusok helyének megfelelő választásával annyi felharmonikus küszöbölhető ki, ahány impulzus esik egy félperiódusra. Ugyanakkor nem szabad megfeledkezni arról, hogy az impulzusszélesség moduláció közben az alapharmonikus értéke is csökken, így néhány felharmonikus értéke relatívan növekedhet.

3-7 feladat Fourier sorfejtés MATLAB programmal

Készítse el az előző feladat számításait MATLAB programmal a következő adatokkal

és

Megoldás

t=0:0.01:2*pi;
max=size(t);
max=max(2);
 
for i=1:max
if abs(sin(t(i)))>0.64
f(i)=sign(sin(t(i)));
else
    f(i)=0;
end
end
 
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it u_b(\omega_at)} függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [rad]');
title('Impulzus függvény');
axis([0 2*pi -1.1 1.1]);
 
 
text(0.2,-0.1,['{\fontsize{17}(\pi-psz)/2}'])
text(2,-0.1,['{\fontsize{17}(\pi+psz)/2}'])
grid
 
a1max=4/pi*sin(pi/2);
for i=1:max
a1(i)=abs(4/pi*sin(pi/2)*sin(i/max*pi/2))/a1max;
a3(i)=abs(4/pi/3*sin(pi/2*3)*sin(i/max*pi*3/2))/a1max;
a5(i)=abs(4/pi/5*sin(pi/2*5)*sin(i/max*pi*5/2))/a1max;
a7(i)=abs(4/pi/7*sin(pi/2*7)*sin(i/max*pi*7/2))/a1max;
end
 
pause
plot(t/2,a1,t/2,a3,t/2,a5,t/2,a7)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it a_i/a_{1max}} [relatív egység]');
xlabel('Impulzus szélesség [rad]');
title('Felharmonikusok amplitúdói');
axis([0 pi 0 1.1]);
grid
text(pi,1,['{\it \fontsize{17} i=1}'])
text(pi,a3(max),['{\it \fontsize{17} i=3}'])
text(pi,a5(max),['{\it \fontsize{17} i=5}'])
text(pi,a7(max),['{\it \fontsize{17} i=7}'])
 
pause
 
psz=pi-2*asin(0.64);
 
for ib=1:10
ii=2*ib-1; 
af(ib)=4/pi/ii*sin(ii*psz/2)*sin(pi/2*ii);
end
 
for is=1:max
fi(is)=0;
for l=1:10
ii=2*l-1;
fi(is)=fi(is)+af(l)*sin(is/max*pi*2*ii);
end
end
 
plot(t,f,t,fi)
axis([0 2*pi -1.3 1.3]);
grid

Alap-harmonikus

Alap- és az első felharmonikus

Alap- és az első két felharmonikus

Alap- és az első kilenc felharmonikus

Alap- és az első száz felharmonikus

Alap- és az első ezer felharmonikus

3-21. ábra Szimmetrikus impulzus Fourier sorfejtése

3-8 feladat Egy impulzusjel Fourier sora (komplex együtthatókkal)

Határozza meg a 3-22. ábraán látható impulzus jel Fourier sorát. Legyen a periódus idő, és az impulzus szélessége, az impulzus nagysága az egyszerűség kedvéért legyen 1. Az ábráról leolvasható a periódus idő és az impulzus szélessége ( és ). Az alapharmonikus értéke:

Impulzus jel
3.20. ábra - Impulzus jel


Megoldás

Használjuk a Fourier sorok (3.37) komplex alakját, az együtthatók (3.42) alapján számítva, és kihasználva a sorfejtendő függvény 0 vagy 1 értéket vehet fel.

ahol . , -a jel egy periódusra vonatkozó átlagértéke- a 3-22. ábraáról közvetlenül kiolvasható, de (3.60) összefüggésből l'Hopital szabállyal is ugyanazt az eredményt kapjuk

Látható, hogy az összes együttható valós, ez (3.37) és (3.38) alapján azt jelenti, hogy a Fourier sorok (3.35) alakja esetén a koszinuszos tagok fáziseltolása nulla.

Alap-harmonikus

Alap- és az első felharmonikus

Alap- és az első két felharmonikus

Alap- és az első kilenc felharmonikus

Alap- és az első száz felharmonikus

Alap- és az első ezer felharmonikus

3-23. ábra Egy impulzus Fourier sorfejtése

A MATLAB fájl

t=-5:0.01:5;
max=size(t);
max=max(2);
Tsz=4;
Tp=10;
dr=Tsz/Tp;
 
for i=1:max
    f(i)=0; 
    if t(i)>-(dr)*5
    f(i)=1;
    end
    if t(i)>(dr)*5 
    f(i)=0; 
    end
end
 
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it u_i(t)} függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [s]');
title('Impulzusjel függvény');
axis([-5 5 -0.1 1.1]);
grid
 
pause
 
nn=1001;
 
for ib=1:nn 
af(ib)=sin(ib*pi*dr)/ib/pi;
end
 
for is=1:max
fi(is)=dr;
for l=1:nn
fi(is)=fi(is)+af(l)*2*cos((-max/2+is/max)*2*pi*l);
end    
end
 
plot(t,f,t,fi)
axis([-5 5 -0.3 1.3]);
grid

3-9 feladat Egy impulzusjel vonalas spektruma

Vizsgáljuk meg, hogy miként változik az impulzus jel spektruma, ha az impulzus szélessége állandó (), ugyanakkor a periódusidő növekszik. Csak a pozitív tartományt ábrázoljuk (a negatív tartomány ennek tükörképe).

Megoldás

Tsz=1;
Tp=4;
dr=Tsz/Tp;
 
nn=15/4*Tp;
 
fr(1)=0;
af(1)=dr;
 
for ib=2:nn 
fr(ib)=(ib-1)/Tp;
af(ib)=sin((ib-1)*pi*dr)/(ib-1)/pi;
end
 
bar( fr,af, 0.2)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('Amplitúdók [relatív egység]');
xlabel('Frekvencia [Hz]');
title(['{\it T_{sz}}=1 és {\it T_p}=' int2str(Tp)])
grid
axis([-0.1 3.8 -0.1 0.26]);

3-24. ábra Egy impulzus jel vonalas amplitúdó spektruma

A 3-24. ábra szemléletesen mutatja, hogy a növelésével az amplitúdók egyre csökkennek és a vonalak (a felharmonikusok) egyre sűrűbben lesznek. Ez természetesen a (3.60) képletből is kiolvasható, ahol az is látszik, hogy ha az amplitúdó értékeket megszorozzuk -vel, akkor az aktuális értéktől függetlenül az amplitúdó spektrum burkológörbéje egy függvény.

Más szavakkal, a vonalas amplitúdó spektrum nem más, mint a mintavételezése, ahol a mintavételezés sűrűsége növekszik, ha a periódus időt növeljük.

3.2.3. Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformáció megértéséhez célszerű a 3-9 feladatot tanulmányozni, ahol egy állandó nagyságú impulzus periodikusan ismétlődött. Minél nagyobb a periodusidő, annál távolabb kerülnek egymástól az impulzusok. Ha azt akarjuk, hogy egyetlen impulzusunk legyen, akkor a periódus időt végtelenre kell növelni. Ezt általánosítva, nem periodikus jelek esetén szokás azzal a szemléletes képpel élni, miszerint tegyük fel, hogy a jel periodikus, csak a periódus ideje végtelen, amikor a végtelenben befejeződött egy periódus, akkor kezdődik a következő, ugyancsak végtelen hosszú periódus. Vegyük észre, hogy (3.43) és (3.40) sehol sem használja ki a jel periodikusságát, így formálisan kiterjeszthető olyan abszolút integrálható (lecsengő) nem periodikus jelekre (ld. 3-25. ábra), ahol , de itt kell tennünk néhány megjegyzést.

Egy lecsengő függvény
3.21. ábra - Egy lecsengő függvény


  • Ha , akkor az alapharmonikus nulla,

  • Az 1. megjegyzésből az következik, hogy az kitevőjében alakban tetszőleges körfrekvencia megjelenik, ezért a (3.43) összegzés nem mehet sorszám szerint formálisan, a (3.43) összegzésben megszámlálhatatlanul sok összeget kellene figyelembe venni, ami ilyen formában nem működik. Így nem az -t léptetjük, helyette lépésekben kell az összegzést elvégezni, a (3.43) összegzés helyett egy szerinti integrált kell felírni.

  • Ha és abszolút integrálható, akkor (3.42) minden -ra nullát ad, ezért a formálisan az így kiszámított értékeknek önmagukban nincs semmilyen információtartalma. Fizikailag ezt úgy magyarázhatjuk, hogy a nem periodikus jel megszámlálhatatlanul végtelen, nulla amplitúdójú koszinuszos összetevőből áll. Mivel megszámlálhatatlanul sok nullaértékű tagot összegezünk, ezért az összeg lehet nem nulla. Az információt nem az amplitúdóban kell keresnünk. Ezért az amplitúdóérték helyett bevezetjük az amplitúdósűrűség fogalmát. Ha pusztán formálisan nézzük, akkor a (3.42) összefüggésben kiszámított nulla nagyságú amplitúdókat elosztjuk az alapharmonikus frekvenciájával, vagyis megszorozzuk a végtelen nagyságú periódus idővel és így alakban véges értékeket kapunk. Az amplitúdósűrűséget is ábrázolhatjuk akár a frekvencia, akár a körfrekvencia függvényében. Ekkor egy folytonos amplitúdósűrűség spektrumot kapunk. De itt ennél sokkal több van, így egy alapvetően más művelethez jutunk. Ahelyett, hogy egy függvényt komponensek összegére bontanánk, a függvényt leképezzük egy másik függvényre. Más megfogalmazásban egy függvény transzformációt végezünk el.

E megjegyzésekre tekintettel (3.42) és (3.43) általánosítását abszolút integrálható nem periodikus jelek esetén Fourier-transzformációnak és inverz transzformációnak nevezzük. Ezekk a következő alakban írhatók fel:

Pusztán jelöléstechnikai kérdés, (3.64) és (3.65) helyett szokásos a következő jelölés

Megjegyezzük, hogy bizonyos szerzők a körfrekvencia helyett a frekvenciát használják, ekkor

Mivel a Fourier-transzformációt a Fourier-sorokból származtattuk, ezért a komplex amplitúdósűrűség függvénynek a fizikai tartalmát is a Fourier-sorokból érthetjük meg.

Ugyan minden frekvenciához tartozó komponens önmagában nézve nulla amplitúdóval szerepel az összegzésben, de ha sávokat nézünk, akkor az egyes frekvenciasávok súlya már mérhető. Ha összehasonlítjuk két értékét, Pl. az és helyettesítési értéket, és azt találjuk, hogy , akkor azt mondjuk, hogy ugyan mind az és mind az körfrekvenciájú összetevő nulla amplitúdójú, de az körfrekvenciájú összetevő súlya még is kétszerese az körfrekvenciájú összetevő súlyának az jelben. Az komplex szám argumentuma az adott frekvenciájú összetevő fáziseltolását adja meg. Hogy ezek az összetevők jelen vannak a jelben azt onnan is tapasztalhatjuk, hogy lengésre hajlamos rendszereknél rezonanciajelenséget is megfigyelhetünk. Ezt az alkalmazástól függően vagy ki akarjuk használni, vagy el akarjuk kerülni, pl. szabályozásnál instabilitást nem engedünk meg.

3.2.3.1. Teljesítmény spektrum

Az amplitúdósűrűséghez hasonlóan bevezethetjük a teljesítménysűrűséget, talán ez az, ami fizikailag legjobban értelmezhető és mérhető. Ennek segítségével meghatározhatjuk, hogy egy frekvencia sávra a jel teljes átlagteljesítményéből mennyi jut. Csak arra kell ügyelnünk, hogy formálisan a negatív előjelű frekvencia tartományban is integrálni kell, különben a komplex függvény integrálásakor nem kaphatunk valós teljesítmény értéket (ld. (3.36) ). Egy jel effektív értékének négyzete a Fourier-transzformált jelből közvetlenül kiszámítható. xxxxxx

3.2.3.2. Frekvenciaátviteli függvény (frekvenciakarakterisztika)

A Fourier-transzformációt széles körben alkalmazzuk, egyrészt ennek segítségével határozhatjuk meg a jelek spektrumát, másrészt a rendszerek leírására is használhatjuk. A 3-12. ábraból kiindulva kiszámíthatjuk, hogy egy konkrét frekvenciájú gerjesztés válasza (az inhomogén differenciálegyenlet megoldása) mi lesz, hogyan változik meg az amplitúdó és a fázisszög a gerjesztés frekvenciája (pontosabban körfrekvenciája) függvényében. Sok esetben ezt nem direktben számítjuk, mert bizonyos közbenső számításoknál a Fourier-transzformált nem értelmezhető. Fourier-transzformációnak van egy fontos korlátja. A gyakorlatban előforduló olyan egyszerű jelek esetén sem alkalmazható, mint az egységugrás jel. A megoldás a következő fejezetben olvasható.

3.2.4. Laplace-transzformáció

A Fourier-transzformáció alkalmazásakor akkor ütközünk akadályba, ha olyan nem periodikus jelekre is ki akarjuk terjeszteni a frekvencia tartománybeli vizsgálatot, amelyek nem abszolút integrálhatóak. Ennek az a módja, hogy ezeket a függvényeket is abszolút integrálhatóvá tesszük, ezt azzal érjük el, hogy egyszerűen beszorozzuk az függvényt egy függvénnyel (ahol egy megfelelően megválasztott érték és csak úgynevezett belépő függvényeket engedünk meg. Szemléletesen a tartományban lenullázzuk a függvényt és a tartományban lekalapáljuk, hogy lecsengő legyen. A Laplace-transzformálhatóság feltétele így:

Ezt követően már az függvényt formálisan Fourier-transzformálhatjuk és visszatranszformálhatjuk azzal a kikötéssel, hogy a tartományban a függvény nulla:

Az eredeti függvényt is könnyen visszakaphatjuk

A tartományban a függvény nulla, ezért (3.64)-ban az alsó integrálási határ is nulla, továbbá az helyettesítéssel élünk

A -0 azt fejezi ki, hogy az integrálást úgy kell elvégezni, hogy az esetlegesen a időpillanatban fellépő Dirac-impulzus hatását figyelembe tudjuk venni. Alkalmazzuk formálisan az inverz Fourier-transzformációt, ekkor az függvényt kapjuk vissza, amelyet az függvénnyel meg kell szorozni, hogy az eredeti függvényt kapjuk. Mivel nem függ a körfrekvenciától, így bevihető az integráljel alá. Kihangsúlyozzuk, hogy a (3.75) képletben csak a 0≤t tartomány szerepel, így az inverz Laplace-transzformációval is csak ezt a tartományt tudjuk visszaállítani.

A Laplace- és az inverz Laplace-transzformáció szokásos jelölése még:

A Laplace-transzformált függvény fizikai tartalmát nehéz lenne megmagyarázni, ugyanakkor ez egy nagyon jól használható matematikai eszköz. Gyakran előfordul, hogy olyan jelekkel végzünk műveletet, amelyeknek nem létezik a Fourier-transzformáltja, ezért kénytelenek vagyunk a Laplace-transzformációhoz folyamodni. De a végeredményről egyéb fizikai megfontolásokból tudjuk, hogy Fourier-transzformálható, így a végső lépésben a helyettesítéssel megkapjuk a jel spektrumát (Fourier-transzformáltját). Nagyon fontos, hogy a mérnöki gyakorlatban sokszor a jel fizikai tulajdonságai alapján mondjuk ki, hogy a jel matematikai értelemben eleget tesz-e a Fourier-, illetve Laplace-transzformálhatóság feltételének.

3.2.5. Fourier-sorfejtés, Fourier- és Laplace-transzformáció áttekintő táblázat

3.1 Táblázat

Függvény típusok

Periodikus függvények

Lecsengő függvények

Belépő függvények

Feltétel

Komponensre bontás (skaláris szorzással)

Jel visszaállítása a komponensekből

„Pütagorász-tétel” általánosítása Parseval-tétel

3.2.6. Laplace-transzformáció alkalmazása

E fejezetben közölt szabályok, állítások bizonyítása a függelékben található.

3.2.6.1. Azonosságok összefoglalása

Tegyük fel, hogy

akkor érvényesek a következő szabályok

Hasonlósági szabály

Csillapítási szabály

Eltolási szabály

Konvolúciós szabály

Szorzás idővel

Integrálási szabály

Differenciálási szabály ,

ahol baloldali határértéke helyen

Többszörös differenciálási szabály:

ahol az függvény -dik deriváltjának baloldali határértéke a helyen

Megjegyzések

  • Ha van egy függvény, amely folytonos és hagyományos értelemben deriválható a teljes tartományban, és ezt a függvényt Laplace-transzformáljuk, akkor az csak a tartományra vonatkozik, vagyis formálisan a tartományban a függvényt lenullázzuk és a tartományról miden információt elveszítünk, így pl. nem tudunk különbséget tenni a konstans 1 és az egységugrás függvény között. Mindkettőnek a Laplace-transzformáltja. Általában, ha , akkor a Laplace-transzformácó alkalmazásával az függvényt belépő függvénnyé alakítjuk, vagyis a Laplace-transzformáció szempontjából figyelembe vett függvénynek ugrása van a helyen. (ld. 3-26. ábra) Ez az ugrás kihat Laplace-transzformáltjának értékére, hiszen a Laplace-transzformáció a esetre vonatkozik. Szemléletesen azt is mondhatjuk, hogy a Laplace-transzformációból hiányzó értékre vonatkozó információt kell pótolni a deriválási szabálynál.

értelmezése
3.22. ábra - értelmezése


Ha a deriválási szabályból kapott eredményt inverz Laplace-transzformáljuk,

A Laplace-transzformáció kizárólag belépő függvényekre vonatkozik, ha egy nem nulla értékből induló belépő függvényt deriválunk, akkor az mindenképp generál egy Dirac-impulzust. Ha a függvény mégsem belépő, hanem folytonos, akkor ez a Dirac-impulzus felesleges és le kell vonnunk.

Visszatérve a példánkhoz, a konstans 1 függvénynek és az egységugrás függvény Laplace-transzformáltja egyaránt . Mindkettő esetén , de értéke különbözik, ahogy a két függvény deriváltja sem azonos.

Az első esetben a derivált azonosan nulla, a második esetben egy Dirac-impulzus és ez megfelel az előzetes elvárásainknak. További példák a deriválási szabály alkalmazására folytonos és ugrásfüggvény esetén a 3.2.9 pontban kidolgozott feladatok között találhatók.

  • A mérnöki gyakorlatban a Laplace-transzformációt bekapcsolási jelenségek vizsgálatára használjuk. Mérnöki szempontból fontos, hogy a fenti matematikai megfontolások gyakorlati alkalmazásakor a fizikai hátteret is tisztázzuk. Ha (2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerek megoldását keressük Laplace-transzformáció segítségével, akkor a gerjesztés általában egy ugrás függvény, ahol . Ha véletlenül olyan esettel találkozunk, ahol , akkor valószínűsíthetően célszerű átgondolni a rendszermodellt, és új állapotváltozót bevezetni. Hasonlóan a gerjesztés magasabb rendű deriváltjainak baloldali határértéke a 0 pontban általában 0. Ezzel szemben és az idő szerint az első derviáltja, pontosabban az állapotvállozók, általánosított értelembe vett energia jellegű mennyiséget írnak le, így valóságos esetben (véges gerjesztés mellett) folytonosak. Ha egy rendszer alakú differenciálegyenletének mindkét oldalát Laplace-transzformáljuk és feltételezzük, hogy folytonos és , akkor

(3.81)

Ha ezt követően a kapott eredményt inverz Laplace-transzformáljuk, akkor -t csak a tartományban belépő függvényként kapnánk vissza. A folytonosságot úgy tudjuk visszaállítani, ha visszacsempésszük az értéket

Ilyen formában a kezdeti értéket expliciten is megjeleníthetjük a rendszer differenciálegyenletében. Ezt később kihasználjuk a hatásvázlat készítésekor is.

  • A fenti matematikai fejtegetés fizikai háttere a következő. Laplace-transzformációval mindig bekapcsolási jelenségeket vizsgálunk, és mindig energiamentes

kezdeti állapotból indulunk ki. Ha a rendszer mégsem energiamentes a vizsgálódásunk kezdetén, akkor egy pillanatszerű energiaközléssel (végtelenül nagy teljesítményű beavatkozással), vagyis egy Dirac-impulzussal beállítjuk a megfelelő kezdeti értéket. Pl. egy motor fordulatszámát egy olyan esetben vizsgáljuk, amikor a motor üresjárásban elérte az üresjárási fordulatszámot, majd ugrásszerűen megváltoztatjuk a terhelést, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy a terhelésrádobás hatására miként változik a fordulatszám, akkor úgy kell eljárnunk, hogy először egy pillanatszerű mozgási energiaközléssel, vagyis egy Dirac-impulzussal beállítjuk az üresjárási fordulatszámot, és ezt követően jöhet a terhelésrádobás. További magyarázat található a 3.3 alfejezetben.

  • Különbséget kell tenni a következő három eset között , , és az eltolási szabály csak az utolsó esetre vonatkozik. Az első két esetben valamilyen trükkre van szükség, hogy a Laplace-transzformálandó függvényt az első esetben (ld. 3-11 feladat függvény), a második esetben alakúra alakítsuk át (ld. 3-12 feladat)

  • Az eltolási szabály határeseteként , ekkor

3.2.6.2. Végérték-tételek:

A kezdetiérték-tétel alkalmazhatóságának feltétele az, hogy az függvénynek létezzen a nulla körüli Taylor-sora

Ha Taylor-sorának első tagja nulla , akkor a kezdeti érték tétel segítségével a kezdeti meredekség meghatározható

Az állandósult érték tétel alkalmazhatóságának feltétele az, hogy létezzen az állandósult érték

Pl. ha valós együtthatójú racionális törtfüggvény és részlettörtre bontható, akkor (3.86) tétel a következő esetekben alkalmazható:

  • Ha minden pólus valós része negatív, akkor (3.86) mindkét oldala nullához tart.

  • Ha csak az egyik pólus értéke nulla és a többi pólus valós része negatív, akkor (3.86) mindkét oldala az részlettört együtthatójával megegyező értékhez tart.

  • Ha van legalább két olyan pólus, amelynek az értéke nulla, akkor a többi pólustól függetlenül (3.86) mindkét oldala a végtelenhez tart.

3.2.6.3. Néhány függvény Laplace-transzformáltja

Megjegyzés: a fenti Laplace-transzformáltak a 0≤t tartományra vonatkoznak, így az időfüggvények elé ε(t) szorzótényező írható. Erre az inverz Laplace-transzformációnál is tekintettel kell lennünk. Hangsúlyozzuk, a Laplace-transzformáció a bekapcsolási jelenségek vizsgálatára szolgál.

3.2.7. Kifejtési (reziduum) tétel (s-re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvények inverz Laplace-transzformációja)

A legtöbb gyakorlati esetben egy s-re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvényt kell inverz Laplace-transzformálni és ehhez nem szükséges a (3.76) egyenletet közvetlenül felhasználni. Legyen alakú és azt is feltételezzük, hogy a számlálóban lévő polinom fokszáma kisebb a nevezőben lévő polinom fokszámánál (ha ez nem teljesülne, akkor polinom osztással valódi törteket kell kapnunk).

3.2.7.1. Egyszeres gyökök esetén

Ha Den(s)-nek csak egyszeres gyökei vannak és a pólusok száma n, akkor az függvény felírható a következő alakban:

ahol pi a nevező polinomjának i-dik gyöke (az átviteli függvény pólusa). A gyökök között lehet nulla, és komplex konjugált pár is. Szorozzuk meg (3.93) mindkét oldalát -vel, és végezzük el az határátmenetet.

Mivel az összeg minden tagja – kivéve az L-ediket- zérushoz tart. (3.94) alapján:

Általánosan felírhatjuk

Így exponenciális időfüggvények összegét kapjuk. Ha valós, akkor

és lehet komplex konjugált pár, ebből következően és is komplex konjugált párt alkot, így (3.97) összegzésben megjelennek komplex tag párok, amelyek összevonhatók valós függvénnyé. Vezessük be a következő jelölést:

Ebben az esetben az inverz Laplace-transzformáció eredménye:

3.2.7.2. Többszörös pólusok esetén

A részlettörtek számának meg kell egyeznie a pólusok számával. Ha a pólus Lm -szeres, akkor a következő részlettörteknek is szerepelniük kell:

A (3.100) inverz Laplace-transzformáltja

Az egyszeres gyökök együtthatóinak kiszámítását nem befolyásolja, hogy vannak többszörös gyökök.

Többszörös gyökök esetén általában valamilyen trükkre van szükség. Ha csak egy többszörös gyökünk van, akkor (3.100) összeg közös nevezőre hozásával a számláló -ed fokú polinom lesz, amelynek együtthatója van, így az számú együttható kiszámításához számú egyenletet lehet felírni.

Az egyszeres gyökökre bevezetett ötlet többszörös gyökök esetén csak a legnagyobb sorszámú együtthatóra alkalmazható. Ezt célszerű kiszámítani, mert ezzel csökkenthető a közös nevezőre hozáskor a megoldandó egyenletrendszer egyenleteinek száma.

3.2.8. Időállandó

A fentiek alapján az -re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvények inverz Laplace-transzformációjának eredményeként (ld. (3.97), (3.99) és (3.101)) exponenciális tagokat kapunk. A kitevőben a idő együtthatója a pólus, pontosabban az összevonás után (ld. (3.99)) a pólus valós része. Az alakú függvény esetén, ahol a értéket nevezzük az függvény időállandójának (ld. 3-16 feladat).

Az függvény néhány tulajdonsága (ha ):

  • A függvény bármely pontjában felrajzoljuk az érintőt, az az időtengelyt a időpontban metszi.

  • A függvény bármely pontjában felvett értékének kb. 37%-a lesz a függvény értéke egy időállandónyi idő elteltével a időpontban.

  • A függvény bármely pontjában felvett értékének kb. 5%-a lesz a függvény értéke három időállandónyi idő elteltével a időpontban.

  • A függvény bármely pontjában felvett értékének kb. 1%-a lesz a függvény értéke öt időállandónyi idő elteltével a időpontban.

t=0, T és 2T időpontban (látható, hogy minden érintő az időtengelyt idő elteltével metszi)
3.23. ábra - t=0, T és 2T időpontban (látható, hogy minden érintő az időtengelyt idő elteltével metszi)


Geometriailag könnyen értelmezhetjük a negatív időállandót. A függvény bármely pontjában felrajzoljuk az érintőt, akkor az az időtengelyt a időpontban metszi, ha (exponenciálisan növekszik, mert ). Ha a függvény érték konstans, akkor az időállandót tekinthetjük végtelennek. (konstans érték) alapján.

Komplex konjugált pólusok esetén (ld. (3.99) és 3-28. ábra) a szinuszosok lengések amplitúdója csökken, ha a pólus valós része negatív (illetve az amplitúdók exponenciálisan növekednek, ha a pólus valós része pozitív).

Definíció

Összegezve kijelenthetjük, hogy a (2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerek kimenő jelének változására, illetve olyan jelek esetén, amelynek a Laplace-transzformáltját egy -re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvény ír le, bevezethetjük az időállandó fogalmát, amelyet úgy definiálunk, mint a jel Laplace-transzformáltját leíró, -re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvény pólusai valós része reciprokának mínusz egyszerese. Ebből következik, hogy egy jelnek több időállandója is lehet, ha több pólusa van, és ahogy létezhetnek többszörös pólusok, így létezhetnek többszörös időállandók. Mivel egy rendszer kimenőjelének változása a rendszert leíró differenciálegyenlettől függ, így az időállandókat is a rendszerhez kötjük.

A (3.97), (3.99) és (3.101) kifejezéseket átírhatjuk úgy, hogy e kifejezésekben a pólus helyett az időállandó szerepeljen az -edik pólus, az és -edik komplex konjugált, illetve többszörös pólus esetén az adott pólushoz (pólusokhoz) tartozó exponenciális időfüggvény az időállandóval a következő alakot öltik:

Be kell vezetnünk a domináns időállandó fogalmát.

Definícó

Domináns időállandónak nevezzük a rendszer legnagyobb időállandóját, ha a rendszernek vagy csak egy időállandója van, vagy a legnagyobb időállandója legalább háromszor akkora, mint a második legnagyobb időállandó. Hasonlóan a beszélhetünk domináns pólusról, ha a második legkisebb pólus legalább háromszor akkora, mint a legkisebb pólus.

Sok esetben elegendő, ha csak a domináns időállandóval számolunk és a többi időállandót elhanyagoljuk. Értelemszerűen, ha a legnagyobb időállandó egy többszörös pólushoz, vagy komplex konjugált póluspárhoz tartozik, akkor nem beszélhetünk domináns időállandóról. Ilyen esetben használatos a domináns póluspár kifejezés.

A (3.145) rendszeregyenletet átírhatjuk a következő alakúra

ahol és

A (3.106) formának az az előnye, hogy a rendszer időállandója és erősítése közvetlenül megjelenik a differenciálegyenletben. Ha , akkor az adott kezdeti értékéről indulva időállandóval éri el a állandósult értéket.

3.2.9. Kidolgozott feladatok Laplace-transzformáció alkalmazására

3-10 feladat Függvényábrázolás

Készítsen egy Matlab programot, amely ábrázolja a következő két időfüggvényt. Határozza meg mindkét esetben a kezdeti értéket.

a) eset

b) eset

Megoldás

(3.99) alapján

a) eset

A kezdetiérték törvény alapján

b) eset

A kezdetiérték törvény alapján az előzővel azonos értéket kapunk

(3.109) és (3.111) alapján a MATLAB program

t=0:0.05:30;
% a) esetben
f=4*exp(-0.2*t).*cos(5*t+pi/4);
% b) esetben
f=4*exp(-0.2*t).*cos(0.2*t+pi/4);
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('f(t) függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [s]');
title('Komplex konjugált póluspár esete');
axis([0 30 -4 4]);
grid

Mindkét esetben az időállandó , ebből következően a lengések amplitúdója kb. 25 időegység alatt csökken az eredeti érték kb. 1%-ára. Az első esetben a lengések periódus ideje egység, ez kisebb az időállandónál, így jól látható, hogy több perióduson zajlik le, amíg az amplitúdó jelentősen csökken (ld 3-28. ábra). A második esetben nagyobb az időállandónál, így gyakorlatilag egy periódus alatt a lengések amplitúdója 1% alá csökken (ld. 3-29. ábra).

Inverz-Laplace-transzformált komplex konjugált póluspár esetén a) esetben
3.24. ábra - Inverz-Laplace-transzformált komplex konjugált póluspár esetén a) esetben


Inverz-Laplace-transzformált komplex konjugált póluspár esetén b) esetben
3.25. ábra - Inverz-Laplace-transzformált komplex konjugált póluspár esetén b) esetben


3-11 feladat a csillapítási tétel alkalmazására

Határozza meg az alábbi függvények Laplace-transzformáltját, ahol ezt kihangsúlyozandó a szorzót odaírtuk.

, emlékeztetőül:

Megoldás

A csillapítási tétel alapján:

esetén az idővel szorzás szabálya is alkalmazható

3-12 feladat az eltolási tétel alkalmazására

Vázolja fel az alábbi függvényeket és határozza meg a Laplace-transzformáltjukat.

Megoldás

Azonos átalakítással és az eltolási tétel alkalmazásával:

3-13 feladat az inverz Laplace-transzformáció alkalmazására

(ha a Laplace-operátoros tartományban nincs exponenciális tag)

Határozza meg az alábbi függvények inverz Laplace-transzformáltjait. Az összefüggések a intervallumban érvényesek.

Megoldás

Az inverz transzformáció részlettörtekre bontással, illetve a kifejtési tétel alkalmazásával végezhető el. Az összefüggések a intervallumban érvényesek.

3-14 feladat az inverz Laplace-transzformáció alkalmazására

(ha a Laplace-operátoros tartományban van exponenciális tag)

Határozza meg az alábbi, exponenciális tagot is tartalmazó függvények inverz Laplace-transzformáltját.

Megoldás

Az inverz transzformáció az eltolási tétel alkalmazásával, illetve a periodikus függvényre vonatkozó formula alapján végezhető el. Az összefüggések a intervallumban érvényesek.

3-15 feladat Végérték tétel alkalmazása

Határozza meg az alábbi Laplace-transzformált függvények kezdeti és állandósult értékét a végérték tételek alapján.

Megoldás

Kezdeti értékek

Állandósult értékek

az állandósult érték tétel alkalmazásának feltétele nem teljesül, ld. (3.86) tétel utáni megjegyzés.

az állandósult érték tétel alkalmazásának feltétele nem teljesül, ld. (3.86) tétel utáni megjegyzés.

3-16 feladat Kezdeti meredekség

A kezdeti érték tétel segítségével határozza meg meredekségét a időpontban.

Megoldás

Abból kell kiindulni, hogy a Laplace-transzformáció csak a tartományra érvényes, ezért szigorúan nézve csak a függvényt tudjuk Laplace-transzformálni, amelynek szakadása van a időpontban, ezt felfoghatjuk úgy, hogy a kezdeti meredekség végtelen.

Ha a tényleges meredekséget kívánjuk meghatározni, akkor a függvény eltolásával kell gondoskodni arról, hogy a időpontban a kezdeti érték nulla legyen. A és függvény kezdeti meredeksége megegyezik, ugyanakkor az utóbbi függvény folytonos és a kezdeti értéke nulla, ezért

A (3.113) összefüggésből az olvasható ki, hogy a függvény a időpontban 2 értékről indul és a időpontban berajzolt érintő 0.25 időegység után éri el az időtengelyt. Vagyis az időállandója .

3-17 feladat Deriválási szabály alakalmazhatóságának illusztrálása

Kiindulva a szinusz és koszinusz függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg a következő két függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját

Megoldás

A koszinusz függvény Laplace-transzformáltja

Ha ezt az időszerint deriváljuk, akkor ezt meg kell szorozni -sel és le kell vonni a kezdeti értéket, az függvény esetben 1-et, az függvény esetben 0-át

Inverz Laplace-transzformálva a táblázat alapján

3-18 feladat Deriválási szabály alakalmazhatóságának illusztrálása

Kiindulva a szinusz és koszinusz függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg a következő két függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját

Megoldás

A szinusz függvény Laplace-transzformáltja

Ha ezt az időszerint deriváljuk, akkor ezt meg kell szorozni -sel és le kell vonni a kezdeti értéket, amely mindkét függvény esetében 0-át

Inverz Laplace-transzformálva a táblázat alapján

3-19 feladat Deriválási szabály alakalmazhatóságának illusztrálása

Kiindulva a szinusz és koszinusz függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg a következő két függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját

Megoldás

Trigonometrikus azonosságok alpján

3-17 és 3-18 feladat alapján

Inverz Laplace-transzformálva a táblázat és ismert trigonometrikus azonosság alapján

3-20 feladat Deriválási szabály alakalmazása egység sebeségugrás Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva az egységugrás függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg az egység sebesség ugrás függvény Laplace-transzformáltját.

Megoldás

Induljunk ki, a következő ismertnek tekintett öszefüggésből

A deriválási szabályt alkalmazva helyettesítéssel

könnyen kifejezhető:

3-21 feladat Deriválási szabály alakalmazása koszinusz négyzet függvény Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva a szinusz függvény Laplace-transzformáltjából (ld. táblázat) határozza meg a következő Laplace-transzformált függvényt

Megoldás

Először határozzuk meg függvény deriváltját

Laplace-transzformáltját ismertnek tekintjük továbbá tudjuk, hogy ,

könnyen kifejezhető:

3-22 feladat Deriválási szabály alakalmazása szinusz négyzet függvény Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva a szinusz függvény Laplace-transzformáltjából (ld. táblázat) határozza meg a következő Laplace-transzformált függvényt

Megoldás

Először határozzuk meg függvény deriváltját

Laplace-transzformáltját ismertnek tekintjük továbbá tudjuk, hogy ,

könnyen kifejezhető:

3-23 feladat Idővel megszorzott függvény Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva a szinusz függvény Laplace-transzformáltjából (ld. táblázat) határozza meg a következő Laplace-transzformált függvényt

Megoldás

Bevezetve a következő jelölést

Alkalmazva az idővel szorzás szabályt

3-24 feladat Domináns időállandó vizsgálata

Ábrázoljuk függvényt, és határozzuk meg a függvények kezdeti meredekségét (mind a négy esetben ). A feladatban egy-, két- és három-energiatárolós tagokra kapcsolt egységugrás válaszainak (átmeneti függvények) Laplace-transzformáltja szerepel.

Megoldás

Látható, hogy a négy esetben minimális eltérés van a felfutásban, és a beállási idő praktikusan nem különbözik. pl. ha megvizsgáljuk, hogy mennyi idő alatt csökken az eltérés az állandósult értéktől 1% alá, akkor ebben alig van különbség. A 3-30. ábra nem látszik a különbség és között, mivel esetén a legkisebb 0.01 értékű időállandó hatása hamar megszűnik. A különbségek közvetlenül a bekapcsolás után vannak. Jól megfigyelhető, hogy az egy-energiatárolós tag egy határozott meredekséggel indul, és ha az időállandónál sokkal kisebb tartományt vizsgálunk, akkor a változás jól közelíthető egy egyenessel. A kettő vagy több energiatárolós tagok nulla meredekséggel indulnak, ezt a végérték tétellel könnyen beláthatjuk.

Azonos domináns pólussal renndelkező rendszerek
Azonos domináns pólussal renndelkező rendszerek
3.26. ábra - Azonos domináns pólussal renndelkező rendszerek


Kezdeti meredekségek meghatározása

behelyettesítve

3-25 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Ábrázolja és határozza meg az alábbi függvények Laplace-transzformáltját, ahol .

3.3. Közönséges állandó együtthatós elsőrendű differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval

A deriválási szabály miatt a differenciálegyenlet a Laplace-transzformációval algebrai egyenletté alakul.

Bevezető példaként adott egy (2.107) alakú elsőrendű differenciálegyenlet

ahol az állapotváltozó kezdeti értéke. Itt utalnunk kell a derivált függvény Laplace transzformálásának szabályára, továbbá (3.81) és (3.82) értelmezésére. Ha a (3.145) egyenletet Laplace-transzformáljuk, akkor azt feltételezzük, hogy folytonos és hagyományos értelemben deriválható, belépő-függvény. és értéke egyaránt nulla a tartományban. folytonosságáról úgy gondoskodhatunk, ha kielégítjük az kezdeti érték feltételt. A deriválási szabályt figyelembe véve :

Érdekes, és fizikailag értelmezhető eredményre jutunk, ha a (3.146) egyenletet inverz Laplace-transzformáljuk

ahol

(3.147)

Értelmezés

A (3.147) egyenletet elemezve arra a következtetésre juthatunk, hogy gondolkozhatunk úgy, hogy a Laplace-transzformáció energiamentes kezdeti állapottal foglalkozik, ezért egy impulzus segítségével tudjuk beállítani a szükséges kezdeti értéket, vagyis gondoskodni arról, hogy teljesüljön. Ez egy ugrást jelent a tárolt energia (állapotváltozó) értékében, szemléletesen azt mondhatjuk, hogy a Laplace-transzformáció a tartománnyal foglalkozik. A múlt hatását (az állapotváltozóban felhalmozott energiát) egy impulzusnyi ütéssel koncentráltan közöljük a rendszerrel, és ennek hatására alakul ki a szükséges kezdeti érték, hogy onnan folytatódjon a folyamat. Ha , akkor az egy újabb - nagyságú - kalapácsütés, így a két Dirac-impulzus közül az elős a múlt összegzése, a második egy a tartományban érkező új hatás, ezért . Ezzel megszüntetjük folytonosságát, de azért mert a múlt hatása mellett a tartományban érkezett egy új impulzusszerű hatás. Szemléletesen két részből álló kalapácsütéssel súlytunk a rendszerre. Az egyik rész a múltat jeleníti meg a tartományban, és a kezdeti értéket állítja be, a másik rész a tartományban érkező új külső gerjesztés. Természetesen, ha később érkezik a bemenetre egy időben eltolt Dirac-impulzus, akkor a időpillanatban jelent egy kalapácsütést és ugrást az állapotváltozó értékében. Ez a gondolatmenet kiterjeszthető magasabb rendű differenciálegyenletekre is.

kifejezhető a (3.146) egyenletből

Az állapotváltozó a (3.148) kifejezésében az első tag a kezdeti értéktől, a második tag a nulla kezdeti értékről indulva csak a gerjesztéstől függ. A (3.148) kifejezésből az is kiolvasható, hogy a (3.145) alakú, elsőrendű differenciálegyenletet esetén az együttható az állapotváltozó Laplace-transzformált kifejezésében a pólus mínusz egyszerese . A (3.148) kifejezés inverz Laplace-transzformációját elvégezve

Ha a (3.149) kifejezést összevetjük a (3.23) egyenlettel, akkor beláthatjuk, hogy a (3.145) differenciálegyenlettel leírt rendszernek a súlyfüggvénye (impulzusválasza) a következő

A (3.23) egyenlet kapcsán tett megjegyzésünk, (miszerint a (3.23) egyenlettel a rendszer válaszát csak energiamentes kezdeti állapotból kiindulva számíthatjuk ki), összhangban van azzal, hogy a (3.149) kifejezés második tagja nulla kezdeti értékről indulva csak a gerjesztéstől függ. Így a (3.145) differenciálegyenlet megoldását két részre bontottuk egy kezdeti érték és egy gerjesztés függő tagra. Ez egy teljesen más felbontás, mint ami általános a differenciálegyenletek elméletében, ahol homogén (mérnöki terminológiával tranziens) és inhomogén (mérnöki terminológiával állandósult) tagokat szokás megkülönböztetni. Ebben a megközelítésben (3.148) és (3.149) első tagja a múlt (a tartomány) hatására, a második tagja a tartományban érkező hatásokra adott választ tartalmazza, a homogén és inhomogén megoldás szétválasztása nélkül.

Néhány konkrét esetet megvizsgálva:

Ha , akkor a (3.148) helyett a következőt írhatjuk

Így az inverz Laplace-transzformált.

(3.152) úgy értelmezhető, hogy a időpillanatban az állapotváltozó értéke a Dirac-impulzus hatására az értékről értékre ugrik, majd időállandóval exponenciálisan lecseng.

Ha , akkor (3.148) helyett a következőt írhatjuk

Így az inverz Laplace-transzformált

Könnyen belátható, hogy , és ez egyben a (3.145) differenciálegyenlet inhomogén megoldása. A tag a homogén megoldás esetén, a tag a homogén megoldás kiegészítése esetben. Ennek megfelelően (3.154) úgy értelmezhető, hogy a kezdeti és állandósult érték különbsége időállandóval exponenciálisan tart a nullához. Más szavakkal, egy-energiatárolós rendszer esetén a rendszer bármilyen átkapcsolása után exponenciális időfüggvényt követve jut át az egyik állandósult állapotból a másikba. Például egy meleg nyári napon a hűtőszekrényből kiveszünk egy üveg sört, és ott felejtjük a konyhaasztalon, akkor annak a hőmérséklete jó közelítéssel exponenciálisan éri el a konyha levegőjének hőmérsékletét. Szintén exponenciálisan változik a szoba hőmérséklete, ha a fűtést be- illetve kikapcsoljuk. Hasonló mondható el, ha szinuszosan kezdjük el gerjeszteni a rendszert, akkor a szinuszos gerjesztéshez is tartozik egy szinuszos állandósult állapot (a differenciálegyenlet inhomogén megoldása), akkor a bármely kezdeti értékből kiindulva az aktuális és állandósult szinusz függvény különbsége exponenciálisan tart nullához. Mindez matematikailag következő módon vezethető le:

Ha az , akkor (3.148) helyett a következőt írhatjuk

A második tagot gyöktényezős alakra kell hozni

Így az inverz Laplace-transzformált felírásához a második tagot is részlettörtekre kell bontani. Maradva a komplex alaknál a második tag három pólusa:

A kifejtési tételt alkalmazva a második tagra

A komplex együtthatókat Euler formára átírva

Az időfüggvényt átalakítva

(3.161) valós alakban is felírható

Jobban látható az első, exponenciális tag szerepe, ha átírjuk a következő alakúra

A (3.163) második tagja az inhomogén (állandósult) megoldás. A időpillanatban tényleges és az állandósult érték különbsége

Ez a különbség tűnik el időállandóval exponenciálisan. Más szavakkal exponenciálisan simul az állandósult értékhez.

3.3.1. Kidolgozott felagatok közönséges állandó együtthatós elsőrendű differenciálegyenletekkel kapcsolatban

3-26 feladat elsőrendű differenciálegyenlet megoldására konkrét numerikus értékekkel

Adott a következő differenciálegyenlet

ahol az állapotváltozó kezdeti értéke . Legyen

Megoldás

(3.165) egyenletet Laplace-transzformálva, és figyelembe véve a kezdeti értékre vonatkozó deriválási szabályt

kifejezhető

állapotváltozó (3.167) kifejezésében az első tag a kezdeti értéktől függ, a második a gerjesztéstől. Az inverz Laplace-transzformációt elvégezve

3-27 feladat soros RL kör egyenáramú gerjesztésének megváltoztatása

Van egy soros RL áramkörünk és egy kapcsolónk (ld. 3-31. ábra). A kapcsolóval az egyik ellenállást rövidre tudjuk zárni. Tegyük fel, hogy a kapcsolót periodikusan kapcsolgatjuk és 0.2 időegységig nyitva, majd ugyanennyi ideig zárva tartjuk. Határozza meg az induktivitás áramát.

Legyen R1=5Ω, R2=5Ω, és L=0.1H, a generátor feszültsége V.

RL kör átkapcsolása
3.27. ábra - RL kör átkapcsolása


Megoldás

Jelülje az áramkörben található ellenállások eredő értékét

Legyen az áramkör eredő ellenállásán eső feszültség. Az áramkörre felírható Kirchhoff hurokegyenlet:

A (3.165) egyenletet Laplace transzformálva:

(3.166) átrendezése után (tetszőleges gerjesztés mellett):

Inverz Laplace-transzformálva

Ha a kapcsoló zárva van, akkor az áram állandósult értéke és az időállandója . Ha a kapcsoló nyitva van, akkor az áram állandósult értéke: és az időállandója . Van egy-egy állandósult érték a kapcsoló két állapotának megfelelően, és a kapcsoló minden egyes átkapcsolásakor a megfelelő időállandóval térhetünk át az egyik értékről a másikra (ld. 3-32. ábra).

Időfüggvények az RL kör átkapcsolása után
3.28. ábra - Időfüggvények az RL kör átkapcsolása után


3-28 feladat soros RL kör szinuszos gerjesztéssel

Adott a 3-33. ábrán látható soros RL kör.

Szinuszos gerjesztés bekapcsolása
3.29. ábra - Szinuszos gerjesztés bekapcsolása


Legyen R=5Ω és L=0.1H. A generátor feszültsége csúcsértékű 50Hz frekvenciájú váltakozó feszültség, a bekapcsolás pillanatában a kezdő fázishelyzet pedig 0 fok. Fizikai megfontolások alapján az induktivitás áramának kezdeti értéke nulla. Írja fel az induktivitás áramának időfüggvényét.

Megoldás

Az áramkörre felírható Kirchhoff hurokegyenlet:

A (3.176) egyenletet Laplace transzformálva:

(3.177) átrendezése után (tetszőleges gerjesztés mellett):

Legyen az RL kör gerjesztése szinuszos feszültség. A t=0 időpillanatban bekapcsoljuk a kapcsolót. A valóságban kicsi az esély arra, hogy pont egy nulla átmenetnél zárjuk a kapcsolót. Ezért legyen az RL körre kapcsolt feszültség alakú. Megjegyezzük, hogy az áramkör kikapcsolása fizikailag nem egyszerű, mert az induktivitásban tárolt energia fenntartja az áramot és egy egyszerű kapcsoló esetén az érintkezők eltávolításakor egy ív alakul ki, de e jelenség vizsgálata nem e tantárgy kereteibe tartozik.

Mivel a t=-0 időpillanatban a kapcsoló nyitott volt, ezért , a gerjesztő feszültség pedig

Behelyettesítve

(3.182)

 

Az első tag a tranziens összetevő, a második az állandósult megoldás

Szinuszos gerjesztés bekapcsolása esetén exponenciálisan tűnik el a különbség az aktuális érték és az állandósult érték között. (ld. 3-34. ábra). Esetünkben a gerjesztés periódus ideje megegyezik az RL kör időállandójával, ezért 5 periódus elteltével csökken a tranziens összetevő a kezdeti értékének kb. 1%-ára.

Szinuszos gerjesztés bekapcsolása, ha az időállandó összemérhető a periódus idővel
3.30. ábra - Szinuszos gerjesztés bekapcsolása, ha az időállandó összemérhető a periódus idővel


A feladatot megoldó MATLAB kód

t=-10/1000:0.05/1000:100/1000;
tm=t*1000;
R=5; L=0.1; Ug=100; omega=100*pi;
 
max=size(t); max=max(2);
 
Iall=Ug/(L*sqrt((R/L)^2+(omega)^2));
fi=atan(omega/(R/L));
 
f1=Ug*sin(100*pi*t)/25;
f2=Iall*sin(100*pi*t-fi);
f3=-Iall*sin(-fi)*exp(-t*R/L);
 
for I = 1:max
    if t(I) <0
        f2(I)=0;
        f3(I)=0;
    end
             
end
 
f4=f2+f3;
 
plot(tm,f1,'k',tm,f2,'g',tm,f3,'r',tm,f4,'b')
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('Áramerősség [A]');
xlabel('Idő [ms]');
title('Szinuszos feszültség bekapcsolása');
text(-3,3,'i_{tr}','FontSize',18)
text(-3,-3.7,'u_g/25','FontSize',18)
text(3,-2,'i_{áll}','FontSize',18)
text(13,4.5,'i_L','FontSize',18)
 
axis([-10 100 -4 5.5]);
 
grid

Természetesen, ha pl. az ellenállás értékét ötszörösére növelve ötödére csökkenmtjük az RL kör időállandóját, akkor egy perióduson belül hozzá simul az állandósult értékhez (ld. 3-35. ábra).

Szinuszos gerjesztés bekapcsolása, ha az időállandó kisebb a periódus időnél
3.31. ábra - Szinuszos gerjesztés bekapcsolása, ha az időállandó kisebb a periódus időnél


3.4. Kapcsoló üzemmód

A mérnöki gyakorlatban többször előfordul, hogy a rendszer kimenőjelének az értékét a bemenőjel folyamatos kapcsolgatásával tartjuk egy előírt értéktartományban. Tipikusan ilyen a legtöbb fűtésrendszer, továbbá a teljesítményelektronikai rendszerek Impulzus Szélesség Szabályozása (Pulse Width Modulation) idetartozik. A működés legfontosabb feltétele, hogy a kapcsolások ciklusideje lényegesen kisebb legyen a rendszer domináns időállandójánál.

3-29 feladat Kapcsoló üzemmód

Adott a következő differenciálegyenlet

ahol és egy 50% kitöltésű négyszög impulzus, amely értéke 0 és 2 lehet. Rajzolja fel az állapotváltozó időfüggvényét, ha a rendszer időállandója kisebb, illetve nagyobb, mint a négyszög impulzus periódusideje.

Megoldás

3-36. ábra A periódusidő ötszöröse az időállandónak

3-37. ábra A periódusidő megegyezik az időállandóval

3-38. ábra A periódusidő ötöde az időállandónak (a négyszög impulzus nincs kirajzolva)

3-39. ábra A periódusidő ötvenede az időállandónak (a négyszög impulzus nincs kirajzolva)

4. fejezet - SISO LTI rendszerek vizsgálata a Laplace-operátoros tartományban

Tartalom
4.1. Átviteli függvény
4.1.1. Közönséges állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása átviteli függvény segítségével
4.1.2. Kidolgozott feladatok átviteli függvény alkalmazására
4.2. Átviteli függvény meghatározása hatásvázlat segítségével
4.2.1. Hatásvázlatok
4.2.2. Jelölések
4.2.3. Soros kapcsolás
4.2.4. Párhuzamos kapcsolás
4.2.5. Visszacsatolás
4.2.6. Hatásvázlat átalakítása
4.2.6.1. Elágazási pont áthelyezése tag elől tag mögé
4.2.6.2. Elágazási pont áthelyezése tag elé
4.2.6.3. Összegzési pont áthelyezése tag mögé
4.2.6.4. Összegzési pont áthelyezése tag elé
4.2.6.5. Összegzési pont és elágazási pont felcserélése
4.2.7. Kidolgozott feladatok hatásvázlat átalakításra
4.3. Átviteli függvény alkalmazása
4.3.1. Kidolgozott feladatok átviteli függvények felírására
4.4. Lineáris rendszerek stabilitás vizsgálata
4.4.1. Routh-Hurwitz stabilitási kritérium
4.4.2. Kidolgozott feladatok stabilitásvizsgálatra nem visszacsatolt rendszerek esetén
4.5. Frekvencia átviteli függvény megjelenítése
4.5.1. Az átviteli és a frekvencia átviteli függvény kapcsolata
4.5.2. Nyquist-diagram
4.5.3. Bode-diagram
4.6. Alaptagok átviteli függvénye, Nyquist és Bode diagramja
4.6.1. Arányos tag (P)
4.6.2. Differenciáló tag (D)
4.6.3. Integráló tag (I)
4.6.4. Arányos differenciáló tag (PD)
4.6.5. Arányos tag egy tárolóval (PT1)
4.6.6. Arányos tag két tárolóval (PT2)
4.7. Holtidős tagok
4.7.1. Arányos holtidős tag (PH)
4.7.2. Holtidős integráló tag (HI)
4.7.3. Holtidős tag egy tárolóval (PHT1)
4.8. Alaptagokból előállítható összetett tagok
4.8.1. Arányos, integráló tag (PI)
4.8.2. Ideális arányos integráló differenciáló tag (PID)
4.8.3. Arányos differenciáló tag egy tárolóval (valóságos PD)
4.9. Kidolgozott feladatok Bode és Nyquist diagram megrajzolására
4.9.1. Nyquist diagram
4.9.1.1. Bode diagram
4.9.1.2. Nyquist diagram
4.9.1.3. Bode diagram
4.9.1.4. Nyquist diagram
4.9.1.5. Bode diagram
4.9.1.6. Nyquist diagram
4.9.1.7. Bode diagram
4.9.2. MATLAB feladatok
4.10. Szűrő típusok Bode diagramja
4.10.1. Aluláteresztő szűrő
4.10.2. Felüláteresztő szűrő

Az előző fejezetben a matematikai eszköztár volt a fókuszban, ebben a fejezetben magát a rendszert vizsgáljuk.

4.1. Átviteli függvény

Definíció

Az átviteli függvény a ki- és a bemenőjel és Laplace-transzformáltjának hányadosa, ha a bemenőjel (gerjesztés) egy ugrásfüggvény és a rendszer (állapotváltozók) energiamentes kezdeti állapotából indulunk ki (ez nem zárja ki azt, hogy ), szokásos jelölése: és , de előfordul a szakirodalomban és jelölés is. A továbbiakban a jelölést használjuk.

(4.1)

Értelmezés

Mivel a Dirac-impulzus Laplace-transzformáltja 1, ezért a Dirac-impulzusra adott válasz ( súlyfüggvény) Laplace-transzformáltja megegyezik az átviteli függvénnyel.

(4.2)

Ha a rendszer energiamentes kezdeti állapotból indul, valamint (2.107) alakú differenciálegyenlettel írható le, továbbá a gerjesztés ugrás függvény, akkor az átviteli függvény s-re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvény.

(4.3)

A megvalósíthatóság feltétele, hogy . Ha az egyenlőség áll fent, akkor (4.3) nem valódi tört, és polinom osztással átalakítható egy konstans plusz -re nézve valódi tört polinommá (kizárva azt a triviális esetet, amikor a számláló egyszerűen -szerese a nevezőnek, mert ebben az esetben nincs dinamikai összefüggés a kimenőjel és az bemenőjel között).

(4.4)

Felhasználva az átviteli függvény definícióját

(4.5)

Látható, hogy azt jelenti, hogy a bemenőjel közvetlenül (a dinamikát megkerülve) is megjelenik a kimeneten.

Mind a számláló, mind a nevező valós együtthatójú polinom, ezért az átviteli függvény zérusai, illetve pólusai vagy valósak, vagy komplex konjugált párok. Többszörös zérusok és pólusok is előfordulhatnak. Az átviteli függvény számlálóját és nevezőjét szokás gyöktényezős alakban felírni, mert ekkor a zérusok és pólusok közvetlenül látszanak,

(4.6)

Az átviteli függvény (4.6) alakja minden esetben felírható, egy másik szokásos alak leginkább akkor használatos, ha az összes pólus és zérus valós, továbbá nullától különböző.

(4.7)

A (4.7) alak előnye, hogy a rendszer erősítése és a időállandói közvetlenül látszanak. Ha egy (4.7) alakú átviteli függvénnyel rendelkező rendszerre egységugrás bemenőjelet kapcsolunk, akkor az állandósult érték a következő módon határozható meg

(4.8)

Irányítástechnikai problémák esetén sokat segít a közelítő Bode diagram, ennek felrajzolásához célszerű a zérusokat és a pólusokat három csoportra osztani

  • nulla értékűek

  • nullától különböző valós értékűek

  • komplex konjugált párok

A nullától különböző valós értékű pólusok és zérusok esetén vezessük be a következő jelölést

(4.9)

Látható, hogy ebben az esetben is a értékek a rendszer időállandói. A komplex konjugált pár értékű pólusok és zérusok esetén vezessük be a következő jelölést

ahol

ahol

A paramétert csillapítási tényezónek nevezzük. A valós értékű pólusok esetén megegyezik az időállandóval, de komplex konjugált pár esetén nem azonos az időállandóval, hanem a közelítő Bode diagram töréspontjának a helyét jelöli ki körfrekvencia értékben kifejezve

Felhívjuk a figyelmet, hogy (4.14) kifejezésben kapott érték mértékegysége rad/sec és nem Hz.

A nem nulla értékű pólusokat és zérusokat kiemeljük, tegyük fel, hogy a számlálónak számú 0 értékű zérusa és számú 0 értékű pólusa van és ezek a zérusok és pólusok kapják a nagyobb sorszámot. Először a komplex konjugált pár értékű zérusok és pólusok kapnak sorszámot, ezekből , illetve pár van. Egy (2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszer átviteli függvénye felírható az alábbi általános alakban

Természetesen előfordulhat, hogy a számláló és a nevező gyökei megegyeznek és a kifejezésében szereplő racionális törtfüggvény egyszerűsíthető. Egy ilyen matematikai egyszerűsítés hátterében fizikai okokat is kell keresnünk. Később látni fogjuk, hogy bizonyos esetekben a nem megfigyelhető alrendszerekhez tartozó pólusok esnek ki ilyen egyszerűsítéssel.

4.1.1. Közönséges állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása átviteli függvény segítségével

Korábban láttuk, hogy bármely lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszer átírható (2.107) alakúra.

ahol az idő szerinti i-edik deriváltat jelöli. Az általánosságot nem csökkenti, ha az feltételezéssel élünk. A fizikai megvalósíthatóság feltétele .

A gerjesztés fizikailag mindig csak belépő függvényként értelmezhető ezért

ahol . Ennek megfelelően minden gyakorlati esetben

Ugyancsak fizikai megfontolások alapján: véges gerjesztés esetén folytonos és hagyományos értelemben -szer deriválható.

ahol az függvény -edik deriváltjának baloldali határértéke a helyen.

Általános esetben átviteli függvények segítségével is felírható

ahol az függvény -edik deriváltjának helyen vett baloldali határértékétől a kimenetre vonatkozó átviteli függvénye. bevezetése elsősorban akkor célszerű, ha a rendszer differenciálegyenletét blokkdiagrammal szemléltetjük, ebben az esetben az átviteli függvények felírása sok esetben jelentősen leegyszerűsödik.

Energiamentes kezdeti állapot esetén

inverz Laplace-transzformációjával kifejezhető.

4.1.2. Kidolgozott feladatok átviteli függvény alkalmazására

4-1 feladat átviteli függvény

Írja fel az átviteli függvényt

  • a 2-7 feladat alapján, ha a bemenőjel és a kimenőjel.

  • a 2-8 feladat alapján, ha a hőáram a bemenőjel és hőmérséklet a kimenőjel.

  • a 2-10 feladat alapján, ha a beáramló folyadék a bemenőjel és folyadékmagasság a kimenőjel.

Megoldás

Mindhárom feladatban egy-energiatárolós tag szerepel, amelynek az átviteli függvénye általános alakban a (4.7) legegyszerűbb esete

4-2 feladat (2.107) alakú differenciálegyenlet megoldása

A 2-16-2-17 feladatokban bemutattuk, hogy különböző rendszerek differenciálegyenletei átírhatók (2.107) alakúra. Tegyük fel, hogy egy rendszert az alábbi (2.107) alakú lineáris differenciálegyenlet ír le:

A rendszert az u(t) ugrás időfüggvény gerjeszti, és keressük az y(t) függvényt éskezdeti feltételekkel

Megoldás

Laplace-transzformáljuk a rendszeregyenletet:

Fejezzük ki a kimenőjel Laplace-transzformáltját

eset

Helyettesítsük be a megadott gerjesztés Laplace-transzformáltját

A nevező gyökei ( pólusai): .

A megoldás alakú lesz. A negatív hatványkitevőkből látszik, hogy „lecsengő” függvény. A pólus reciprokának valós részét időállandónak nevezzük. Esetünkben a rendszernek két időállandója van.

Exponenciálisan lecsngő jel
4.1. ábra - Exponenciálisan lecsngő jel


Egy-energiatároló esetén a T időállandó értékét a kezdeti érintő metszi ki. (ld. 4-2. ábra)

A feladatban keresett és együtthatók kiszámítása (egyszeres pólusokat feltételezve):

takarjuk le (s+2) kifejezést a nevezőből majd a letakart kifejezésben szereplő pólust helyettesítjük be a megmaradó egyenletbe. Így megkapjuk értékét

Hasonlóan megkapjuk értékét is, csak most (s+4)-et takarjuk le és –et helyettesítünk be.

tehát a keresett megoldás:

Ellenőrzés a végérték tételek segítségével:

eset

Helyettesítsük be az adott gerjesztést! Hasonlóan a fentiekhez, a megoldás:

4-3 feladat Folytonos érzelmi modell pillanatszerű eseménnyel

Képzeljük el, hogy létezik egy olyan különleges állatfaj, amelynek minden puskalövés után a félelemérzését egy lineárisdifferenciál egyenlettel írhatunk le. Minden puskalövés után két elkülöníthető hatás tapasztalható. Az első, rövidtávú hatás esetében a puskalövés eldördülése után a félelemérzet ugrásszerűen 0.9 relatív egységre nő, majd a 0.9 relatív egységről időállandóval exponenciálisan csökken nullára. A második, hosszú távú hatás esetében a puskalövés eldördülése után a félelemérzet ugrásszerűen 0.1 relatív egységre nő, majd a 0.1 relatív egységről időállandóval exponenciálisan csökken nullára. Az állat félelemérzése a két hatás összege. Ha egy puskalövés után újabb puskalövés dörren, akkor annak hatása ismét hozzáadódik az előző hatáshoz (a hozzászokás jelenséget nem modellezzük).

Írja fel a rendszert leíró lineáris differenciálegyenleteket.

  1. A bemeneten milyen függvénnyel (disztribúcióval) modellezhető a puskalövés (figyelembe véve a két hatásról leírtakat)?

  2. Hány állapotváltozóra van szükség a jelenség leírásához? (válaszát indokolja)

  3. Írja fel a félelem alakulásának időfüggvényét egy puskalövés után.

  4. Írja fel a félelemérzésre vonatkozó átviteli függvényt.

  5. Milyen értékre nő az állat félelemérzete, ha periodikusan, időnként eldördül egy puskalövés?

Megoldás

Adatok:

Definíció alapján (ld. 161. oldal) az időállandó a pólus valós részének mínusz egyszeresének reciproka, esetünkben a két pólus értéke

1.

A puskalövés Dirac-delta (impulzus) disztribúcióval modellezhető, minthogy egyszeri kiugró értékű bemenetet (jelen esetben egy hangos durranást) jelent, előtte is és utána is az értéke nulla.

2.

Minthogy a puskalövés az állatból két különböző dinamikájú hatást vált ki, így ennek a két hatásnak a leírására két állapotváltozó bevezetésére van szükség:

3. A félelem alakulásának időfüggvénye a rendszer kimenőjele. A rövid és a hosszú távú hatást összegezni kell.

4.

A rendszer átviteli függvénye megegyezik a Dirac-impulzusra adott válasz Laplace-transzformáltjával:

A kezdeti és az állandósult értéket meghatározhatjuk az átviteli függvényből (a várakozásainknak megfelelő eredményt kapunk)

5.

Könnyen belátható, hogy a bemenőjel egy Dirac impulzusokból álló végtelen sor

A bemenőjel Laplace-transzformáltja

A (4.48) sor akkor ad véges értéket, ha a sor kvóciensének abszolút értéke egynél kisebb, ez tetszőleges frekvencián és tetszőleges érték mellett biztosan teljesül, ha valós része pozitív

Ezzel a feltétellel a bemenőjel Laplace transzformáltja zárt alakban is megadható.

Az is megállapítható, hogy a félelemérzet nem válik végtelenné, de ebben az esetben a végérték tétel nem alkalmazható. Az állandósult állapotra jellemző középértéket a következő gondolatmenettel számíthatjuk ki. A Dirac impulzust az egységterületű impulzusból származtattuk, most az ellenkezőjét kell tenni, vagyis a Dirac-impulzust átlagoljuk egy periódusra és egy nagyságú hosszúságú impulzussal helyettesítjük, amelyek folyamatosan érkeznek egymás után, vagyis a bemenőjel a következő átlag értékkel helyettesíthető

Ennek alapján a kimenőjel átlagértéke

4-4 feladat Folytonos érzelmi modell nem pillanatszerű eseménnyel

Tegyük fel, hogy van egy különleges állatfaj, amelyiknek az érzelmi állapotát egyetlen változóval lehet leírni, ha e változó értéke pozitív, akkor jókedvű, ha ez negatív, akkor rosszkedvű. Ez az állat egy olyan állatkertben él, ahol csak 3 különböző esemény történhet vele. Természetesen az itt leírt minta alapján több fajta érzelem (pl, öröm, bánat, félelem és düh), továbbá több esemény is megadható. Minden eseménynek van egy kezdete és egy vége, továbbá minden esemény hat az érzelmi állapotra, amelyben két elkülöníthető hatás tapasztalható. Az első - rövidtávú érzelem- az esemény kezdetekor gyors felfutási idővel, pontosabban rövid időállandóval a táblázatban megadott értékkel növeli meg az érzelmet leíró változó értékét, majd ez az érték az esemény befejezésekor időállandóval lecseng. A második, hosszú távú hatás jellegre hasonló, de a felfutás és lecsengés időállandója nagyobb a rövid távú hatásénál, továbbá a hosszú távú érzelem csak a táblázatban megadott érték ötödére fut fel. Az események hatásai szuperponálódnak (nincs telítődés és hozzászokási jelenség). Megengedett az is, hogy egy esemény hamarabb befejeződjön, mint ahogy az eseményhez tartozó érzelmi felfutás gyakorlatilag befejeződne (elvileg minden felfutás a végtelenben fejeződik be).

esemény sorszáma

esemény leírása

állandósult érték

1.

egyedül unatkozik

-1

2.

gondozó közelében van

1

3.

a gondozóval játszik

3

4.

a gondozó megbünteti

-3

5.

látogatók kedveskednek vele

2

6.

látogatók bosszantják

-2

  1. A bemeneten milyen függvénnyel modellezhető az esemény kezdete és vége?

  2. Hány állapotváltozóra van szükség a jelenség leírásához? (válaszát indokolja)

  3. Írja fel az érzésre vonatkozó átviteli függvényt.

  4. Tegyük fel, hogy csak egyetlen állandósult értékű esemény történik, és annak kezdete és vége ismert. Írja fel az érzelem alakulásának időfüggvényét.

Megoldás

1.

Az esemény kezdete és vége is egy-egy ugrásfüggvénnyel modellezhető. Jelölje az -dik esemény kezdetét és végét , valamint az eseményhez tartozó állandósult értéket . Célszerű az esemény kezdetét és végét mindig párban megadni, így az -dik eseményhez tartozó bemenőjel időfüggvénye és Laplace-transzformáltja

2.

Minthogy minden esemény az állatból két különböző dinamikájú hatást vált ki, így ennek a két hatásnak a leírására két állapotváltozó bevezetésére van szükség, amelyek hatását összegezni kell:

3.

A rövid és hosszú távú hatást egy-egy párhuzamosan kapcsolt egységnyi, illetve 0.2 erősítésű energiatárolóval modellezhetjük

4.

Az előző pontból ismert a rendszer átviteli függvénye és adott a bemenőjel

4-5 feladat Tömeg-rugó rendszer

Adott a 4-3. ábra látható tömeg-rugó rendszer, ahol a kimenőjel a tömeg elmozdulása, amelynek a nyugalmi állapotához rögzítjük a nulla elmozdulási szintet. A bemenőjel a második rugó végének az elmozdulása.

  • Írja fel a rendszer átviteli függvényét, és oldja meg a differenciálegyenletet egységugrás gerjesztéssel.

  • Végérték tétellel határozza meg az állandósult elmozdulás értéket.

  • Vizsgáljuk meg, hogy milyen gyorsan kell a rugó végét mozgatni, hogy az egységugrással lehessen közelíteni.

Tömeg-rugó rendszer
4.2. ábra - Tömeg-rugó rendszer


Adatok: m=10 [kg] ; R1=1000 [N/m]; R2=500 [N/m]; K=600 [Ns/m]

Megoldás

A mozgásegyenlet:

ahol a gerjesztés és a kimenőjel. Nyugalmi állapotban az állapotváltozók kezdeti értéke nulla. Laplace-transzformáljuk az egyenletet:

A kimenőjel Laplace-transzformáltja:

A rendszer átviteli függvénye:

Adatokat behelyettesítve:

Vizsgáljuk meg a rendszer viselkedését egységugrás bemenetre.

Egységugrás függvénnyel gerjesztett rendszer

A bemenet legyen egységugrás függvény. Ez fizikailag azt jelenti, hogy nagyon gyorsan megrántjuk a második rugó végét. Fontos kérdés az is, hogy mikor tekinthetjük a rugó mozgatását nagyon gyorsnak (erre később visszatérünk).

Az átviteli függvény nevezőjének szorzattá alakítása:

Az elmozdulás függvény pólusai:

A rendszer időállandói, a pólusok valós részének reciprokának mínusz egyszerese:

Az elmozdulás függvénye az időtartományban a következő alakot fogja felvenni:

A konstans szorzókat meghatározzuk a letakarásos módszerrel (ld. 3.2.7 pont):

A tömeg elmozdulásának (kimenőjelnek) időfüggvénye:

Elemezzük a kapott eredményt! A két rugó együttes hosszát egy egységnyivel növeltük meg. Mivel a két rugóállandó nem egyenlő, konkrétan az 1. rugó kétszer olyan erős, mint a 2. rugó, ezért állandósult állapotban a 2. rugó megnyúlása kétszerese lesz az 1. rugó megnyúlásának. Vagyis az egységnyi megnyúlás 1/3-2/3 arányban oszlik meg a két rugó között. A tömeg elmozdulása megegyezik az első rugó megnyúlásával. Ez kiolvasható a (4.60) átviteli függvényből. Egységugrás bemenőjelre a végérték tételt alkalmazva kapjuk

A tömeget a rugóerők eredője mozgatja, ebből következik, hogy a beállási időt a rugóállandók határozzák meg. Minél merevebb a rugó, a rugó végének adott elmozdulás annál nagyobb rugóerőt eredményez és annál gyorsabb lesz a beállás. A beállás idejét egy gyors fejszámolással is megbecsülhetjük. Esetünkben a kisebb pólus kb. két és fél körül van, annak reciproka kb. 0.4. Az állandósult érték 99% körüli megközelítéséhez kb. 0.4∙5=2s szükséges. Ha mindkét rugóállandót tizedére csökkentjük, akkor az átviteli függvény két pólusa . Látható, hogy a kisebb pólus kb. egy nagyságrenddel lecsökkent, így a beállási idő egy nagyságrenddel megnő.

A jelen adatok mellett a tömeg lengések nélkül áll be. Ez a kellően nagy csillapításnak köszönhető. Ha a csillapítást pl. tizedére csökkentjük, akkor az átviteli függvény pólusai konjugált komplex párrá válnak . Ez (3.99) alapján azt jelenti, hogy a tömeg 1/3s időállandóval lecsengő kb. 12 rad/sec körfrekvenciájú lengésekkel áll be az állandósult értékre. A lengések amplitúdója 5∙1/3≈1.7s környékén csökken 1% alá, ez alatt az idő alatt a periódusok száma 3-nál több, 4-nél kevesebb. Ismét csak fejben számolva a π értékét 3-mal közelítve a lengések periódusideje kb. 0.5s. Összefoglalva: a tömeg kb. három lengés (három jól kivehető lokális csúcs) után kb. 1.7s alatt áll be. A pontos számítást az olvasóra bízzuk.

Vizsgáljuk meg, hogy milyen gyorsan kell a rugó végét mozgatni, hogy az egységugrással lehessen közelíteni. Tegyük fel, hogy a rugó végét állandó sebességgel idő alatt mozgatjuk egységnyi távolságra. A rugó végének mozgását leíró egyenlet

A (4.75) gerjesztés Laplace-transzformáltja

Az elmozdulás függvénye az időtartományban a következő alakot fogja ölteni:

csak a tartományban jelenik meg, a tartományban nem játszik szerepet. kivételével a konstans szorzókat meghatározhatjuk a letakarásos módszerrel (ld. 3.2.7 pont):

Látható, hogy (4.78) a következő (4.79) egyenlet differenciahányadosa a tartományban

A fentiekből következik, hogy határátmenetben, ha , akkor a (4.78) egyenlet tart a (4.69) egyenlethez. Vagyis ha a rugó végét állandó sebességgel idő alatt mozgatjuk egységnyi távolságra, akkor ez a mozgás annyira tekinthető egységugrásnak, amennyire a (4.79) egyenlet lépéssel felírt differenciahányadosa a differenciálhányadosának tekinthető.

4-6 feladat Differenciálegyenlet megoldása szinuszos gerjesztés esetén

Ha egy csillapítatlan rezgőmozgást végző tömegpontra periodikus erő hat, a pont kényszerrezgést végez. Legyen a periodikus gerjesztő erő , ekkor a mozgást leíró differenciálegyenlet:

Legyenek a kezdeti feltételek: . Határozzuk meg a kitérést, mint az idő függvényét.

  • A feladatot oldjuk meg az operátoros tartományban az átviteli függvény felírásával és az időtartományban is. Hasonlítsuk össze a két megoldási módszert!

Megoldás az operátoros tartományban

A rendszer átviteli függvénye

Az első derivált kezdeti értékre vonatkozó átviteli függvény

Az operátoros tartományban a gerjesztés

A szuperpozíció elvének kihasználásával és a két átviteli függvény segítségével Y(s) kifejezhető:

A Laplace-transzformáció tulajdonságait figyelembe véve az inverz transzformációt tagonként végezhetjük el. A második tag egyszerűen inverz Laplace-transzformálható (3.91) alapján.

Az első tagot gyöktényezőkre bontva

Az első tag visszatranszformálását részlettörtekre bontással is elvégezhetjük, az együtthatók legyenek sorra , , és , amelyeket , , és helyettesítéssel kapunk

Az első tag inverz Laplace-transzformáltja komplex formában

Behelyettesítve

(4.92) átírható

Másképpen is eljárhatunk, hogy meghatározzuk a (4.86) inverz Laplace-transzformáltját. Felhasználhatjuk a következő kiegészítő összefüggést:

amellyel az első tag inverz transzformáltja a tartományban:

a differenciálegyenlet megoldása (továbbra is csak a a tartományban) tehát:

Megoldás az idő tartományban

A kapott differenciálegyenlet állandó együtthatós, inhomogén, másodrendű, közönséges, lineáris egyenlet. Általános megoldását a homogén rész általános megoldása és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása összegeként kaphatjuk meg. A megfelelő homogén egyenlet megoldását keressük alakban,

A homogén rész megoldása két egymástól lineárisan független partikuláris megoldás összegeként kapható. A differenciálegyenlet partikuláris megoldását alakban keressük, mert ez az egyetlen függvény, amely arányos deriváltjaival. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe:

Ez két lineárisan független megoldás, hiszen csak akkor áll fenn, ha . A homogén rész általános megoldása tehát:

Alkalmazva az EULER-féle formulát: .

A kezdeti feltételeket ugyan később kell csak figyelembe venni, de célszerűségi okokból ettől most eltérünk. Kihasználjuk, hogy , ezért a megoldásban cos-os tag biztosan nem lesz, így

azaz B=0. Ellenőrizzük most, hogy yh valóban megoldása-e a homogén egyenletnek:

Behelyettesítve:

Látható tehát, hogy yh valóban a homogén egyenlet megoldása. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását keressük

próbafüggvény felhasználásával. Az kezdeti feltétel miatt most is megállapítható, hogy . Helyettesítsük be a próbafüggvényt a differenciálegyenletbe és rendezzük:

Ahogy az várható is volt, a megoldás egy része (a homogén egyenlet megoldása) kiesett, így az egyik paramétert meg lehetett határozni. Az egyik (y(0)=0) kezdeti feltételt már felhasználtuk, vegyük most a másikat A meghatározásához:

Behelyettesítés után nyerjük a differenciálegyenlet megoldását:

Látható, hogy ezzel a módszerrel is ugyanazt az eredményt kaptuk.

4-7 feladat Domináns pólus

Adott egy olyan rendszer, amelynek nincs integráló és deriváló tagja, és az átviteli függvénye a következő alakú

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az összes pólus negatív valós szám, nincsenek többszörös pólusok. Ugyancsak a könnyebb tárgyalási mód kedvéért tegyük fel, hogy

Továbbá feltételezzük azt is, hogy az egyik pólus abszolút értéke sokkal kisebb a többi pólusnál. Ezt nevezzük domináns pólusnak, és legyen a sorszáma 1. Kapcsoljunk egységugrást a bemenetre. Lássuk be, hogy a rendszer válaszát alapvetően a domináns pólus hatása határozza meg.

Megoldás

A kimenőjel Laplace-transzformáltja a következő alakú lesz

Ezt úgy is felfoghatjuk, hogy az eredeti átviteli függvényt kibővítjük egy -edik sorszámú értékű pólussal, ezért az inverz Laplace-transzformált alakja a következő

A kifejtési tétel alapján és (4.106) alapján az pólushoz tartozó konstans értéke 1. Ugyancsak közelítőleg 1 az értéke konstansnak. Mivel a feltételezésünk szerint

A többi együttható abszolút értéke -nél sokkal kisebb, mert azok kiszámításánál –hez képest a nevezőbe sokkal nagyobb abszolút értékű számokat helyettesítünk.

Konkrét példaként legyen az átviteli függvény

A rendszer válasza egységugrás bemenőjelre

Inverz Laplace-transzformálva tartományban

4.2. Átviteli függvény meghatározása hatásvázlat segítségével

Az átviteli függvény felírásához alapvetően a rendszert leíró differenciálegyenletekből kell kiindulni. Az átviteli függvény meghatározásához szükség van az egyenletek Laplace-transzformálására, és megfelelő átrendezésére. Az átrendezés történhet a Laplace-transzformálás előtt vagy után a szokásos matematikai átalakításokkal (erre láttunk példát a 2-16-2-19 feladatok kapcsán). A mérnökök sokszor törekednek arra, hogy a problémákat szemléletesen, ábrák segítségével jelenítsék meg. Az átalakítást segíti az ún. hatásvázlat, amelyet tekinthetünk a rendszer differenciálegyenleteinek grafikus megjelenítésének, amelyből jól látható az egyenletek struktúrája és útmutatóként is használható a differenciálegyenletek elvi megoldására. (ld. 4-4. ábra).

Átviteli függvény meghatározásának két módja
4.3. ábra - Átviteli függvény meghatározásának két módja


Ennek különös jelentősége volt az analóg számítógépek idején. Egy kellően részletes hatásvázlat egyben egy analóg számítógépes program. A személyi számítógépek megjelenésével (azok számítási kapacitásának növekedésével) az analóg számítógépek eltűntek, de a hatásvázlat továbbra is fontos szerepet játszik a differenciálegyenletek elvi megoldásában.

A be- és kimenőjel között kell matematikai kapcsolatot teremteni. Ebből következően a jelnek van terjedési iránya, alapvetően balról haladunk jobbra, ezt nevezzük előrevezető iránynak. Gyakran szükséges a kimenet visszacsatolása, általában a jobbról balra haladva visszacsatoló ágról beszélünk. A jelekkel végzendő matematikai műveletek: összegzés (előjelesen), szorzás egy konstans értékkel, integrálás, deriválás és konvolúció. Mivel egy jellel párhuzamosan is lehet műveletet végezni, így szükség van elágazásra is. A MATLAB Simulink legfontosabb szimbólumai a 4-5. ábran láthatók. Megjegyezzük, hogy az ábrán kétféle összegzőt látunk. Az első a klasszikus jelölésnek megfelelően egy kör, amelynek egy kimenete és legfeljebb három egymásra merőleges bemenete van. A második típusú összegző négyszögletes, ennek igazán akkor van jelentősége, ha több jelet kívánunk összegezni. Klasszikus jelöléssel több egymásután kapcsolt kör alakú összegzőt kell alkalmazni, a négyszögletes összegzőhöz könnyebb több bemenetet rajzolni (ld. 4-6. ábra).

A legfontosabb hatásvázlat elemek
4.4. ábra - A legfontosabb hatásvázlat elemek


Hat bemenet összegzése klasszikusan és egyetlen négyszög összegzővel
4.5. ábra - Hat bemenet összegzése klasszikusan és egyetlen négyszög összegzővel


4.2.1. Hatásvázlatok

Az eddigiekben a rendszert egy egységként kezeltük, és különböző módszereket mutattunk be arra, hogyan határozható meg a rendszer válasza (Laplace transzformáció, Köz.diff egy melléklet), azaz mi lesz a hatása annak, ha a bemenetre valamilyen jelet kapcsolunk:

Időtartomány

Operátoros tartomány

Frekvenciatartomány

vagy rendszer jellemző függvénnyel:

(konvolúciós integrál)

Mint látható, a kimenet mindhárom esetben valamilyen szorzással állítható elő. Bonyolultabb esetekben célszerű a rendszert részrendszerekre bontani. Lineáris rendszerek esetén alkalmazható a szuperpozíció, de a felbontás ezt nem mindig teszi lehetővé. A következő fejezetekben azzal foglalkozunk, hogy hogyan lehet a részrendszerekből előállítani a teljes rendszert egyben leíró kapcsolatot. Ennek leírására az operátoros tartománybeli legegyszerűbb írásmódot választjuk.

4.2.2. Jelölések

A részrendszerek között a jel haladását egy irányított szakasz jelzi, amelynek minden pontjában állandó a jel értéke. A jel értékét a szakasz fölé (mellé, alá, stb.) írhatjuk, de ha értéke egyértelmű, akkor nem kötelező kiírni. A részrendszereket téglalappal jelezzük, amelybe a rá jellemző átviteli függvényt írjuk. Ha a jel valamely pontban elágazik, akkor minden irányban gyengítetlenül terjed, azaz minden irányban azonos lesz. Az előjeles összegzés jelölésére két módszer terjedt el. Az egyik esetben kiírjuk az előjelet, a másikban pedig a negatív előjelet feketítéssel jelöljük. Mindkét esetben az összegzést körrel jelöljük.

jel haladása

elágazás

összegzés előjel kiírással

összegzés feketítéssel

4.2.3. Soros kapcsolás

Tegyük fel, hogy a rendszerünket két alrendszerre bontottuk úgy, hogy az első kimenete egyben a második bemenete:

Soros kapcsolás
4.6. ábra - Soros kapcsolás


Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt.

A számítás lépései

Az eredmény

Két sorba kapcsolt, átviteli függvénnyel adott rendszer eredő átviteli függvénye tehát a két átviteli függvény szorzataként állítható elő.

4.2.4. Párhuzamos kapcsolás

Párhuzamos kapcsolás esetén a két alrendszer ugyanazt a bemenőjelet kapja, kimenetük pedig összeadódik:

Párhuzamos kapcsolás
4.7. ábra - Párhuzamos kapcsolás


Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt Y(s) és U(s) között.

A számítás lépései

Az eredmény

Két párhuzamosan kapcsolt, átviteli függvénnyel adott rendszer eredő átviteli függvénye tehát a két átviteli függvény összegeként állítható elő. Mint látható, ebben az esetben alkalmazható a szuperpozíció.

4.2.5. Visszacsatolás

Visszacsatolás
4.8. ábra - Visszacsatolás


Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt Y(s) és U(s) között.

A számítás lépései

Az eredmény

A szorzatot a felnyitott kör átviteli függvényének nevezzük, szokásos jelölése . A nevezőben a felnyitott kör átviteli függvénye előtt az előjel negatív visszacsatolás esetén pozitív, pozitív visszacsatolás esetén negatív.

4.2.6. Hatásvázlat átalakítása

Egy bonyolultabb rendszer hatásvázlata nagyon „ágas-bogas” lehet. A következőkben megnézzük, milyen átalakításokkal lehet egyszerűbb, az előző fejezetben ismertetett részeket tartalmazó blokkokra bontani. Az átalakítások során csak olyan műveleteket lehet végezni, amelyek az eredőt nem befolyásolják, de lehet például új taggal bővíteni, vagy tagokat összevonni.

4.2.6.1. Elágazási pont áthelyezése tag elől tag mögé

Elágazás áthelyezése a tag mögé
Elágazás áthelyezése a tag mögé
4.9. ábra - Elágazás áthelyezése a tag mögé


4.2.6.2. Elágazási pont áthelyezése tag elé

Elágazás áthelyezése a tag elé
Elágazás áthelyezése a tag elé
4.10. ábra - Elágazás áthelyezése a tag elé


4.2.6.3. Összegzési pont áthelyezése tag mögé

Összegzési pont áthelyezése tag mögé
Összegzési pont áthelyezése tag mögé
4.11. ábra - Összegzési pont áthelyezése tag mögé


4.2.6.4. Összegzési pont áthelyezése tag elé

Összegzési pont áthelyezése tag elé
Összegzési pont áthelyezése tag elé
4.12. ábra - Összegzési pont áthelyezése tag elé


4.2.6.5. Összegzési pont és elágazási pont felcserélése

Ha lehet, ne alkalmazzuk, mert általában bonyolultabb hatásvázlatot kapunk, mint amilyenből kiindultunk!

Összegzési pont elé kerülő elágazási pont
Összegzési pont elé kerülő elágazási pont
4.13. ábra - Összegzési pont elé kerülő elágazási pont


Elágazási pont elé kerülő összegzési pont
Elágazási pont elé kerülő összegzési pont
4.14. ábra - Elágazási pont elé kerülő összegzési pont


Megjegyezzük, hogy az analóg számítógépek programozása hasonló feladat, mint a hatásvázlat felírása. Általános célú analóg számítógépek használata a személyi számítógépek megjelenésekor erőteljesen háttérbe szorult. Ezt követően sokáig megmaradtak a (műveleti erősítőkre alapozott) analóg elektronikai szabályozók. Ezeket lehet célorientált analóg számítógépeknek tekinteni.

4.2.7. Kidolgozott feladatok hatásvázlat átalakításra

Az egyszerűség kedvéért a függvények s független változóját mindenhol elhagyjuk. Az átviteli függvények minden feladatban: . A megoldások eleinte minden lépést megmutatnak, a későbbiekben azonban azok, amelyek már szerepeltek, egy lépésben kerülnek végrehajtásra.

4-8. feladat Hatásvázlat átalakítása

Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt a következő ábrán látható hatásvázlat alapján:

A 4-8. feladat hatásvázlata
4.15. ábra - A 4-8. feladat hatásvázlata


Megoldás:

Ha egy ágra semmilyen átviteli függvény sincs megadva, akkor úgy értelmezhetjük, mintha W=1 lenne. A 4-17. ábrán szaggatottal körülhatárolt rész két tag párhuzamos kapcsolását tartalmazza, ennek eredője a két átviteli függvény összege.

A 4-8. feladat megoldása
4.16. ábra - A 4-8. feladat megoldása


Az átalakítás után a két tag soros kapcsolása marad, így az eredő:

4-9. feladat Hatásvázlat átalakítása

Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt a következő ábrán látható hatásvázlat alapján:

A 4-9. feladat
4.17. ábra - A 4-9. feladat


Megoldás:

A 4-19. ábrán szaggatottal körülhatárolt rész negatív visszacsatolást tartalmaz, ennek eredője (4.117) alapján meghatározható.

A 4-9. feladat megoldása
4.18. ábra - A 4-9. feladat megoldása


Az átalakítás után az két tag soros kapcsolása marad, így az eredő:

4-10. feladat Hatásvázlat átalakítása

Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt a következő ábrán látható hatásvázlat alapján:

A 4-10. feladat
4.19. ábra - A 4-10. feladat


Megoldás:

A középen lévő ágat rajzoljuk két külön ágként, ekkor sorba kapcsolva egy negatív visszacsatolást és egy párhuzamos kapcsolást kapunk. Ezután az eredő az eddigiek alapján már könnyen meghatározható.

A 4-10. feladat megoldása
4.20. ábra - A 4-10. feladat megoldása


Az átalakítás után két tag soros kapcsolása marad, így az eredő:

4-11. feladat Hatásvázlat átalakítása

Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt a következő ábrán látható hatásvázlat alapján:

A 4-11. feladat
4.21. ábra - A 4-11. feladat


Megoldás:

A két összegzési pontot össze lehet vonni, az előjelekre azonban figyelni kell. Kis betűkkel (a, b) az ágakon levő jel értékét jelöltük.

A 4-11. feladat megoldása
4.22. ábra - A 4-11. feladat megoldása


Az eredő meghatározása közben emeletes törteket kapunk. A következő eljárás javasolható ebben az esetben: határozzuk meg a számlálóban és a nevezőben levő törtek nevezőinek legkisebb közös többszörösét, majd ebből képezzünk 1/1 alakú törtet, amellyel megszorozzuk a törtet. A feladatban ezek a törtek és .

4-12. feladat Hatásvázlat átalakítása

Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt a következő ábrán látható hatásvázlat alapján:

A 4-12. feladat
4.23. ábra - A 4-12. feladat


Megoldás:

Az jobboldali összegzési pontot bontsuk szét, így egymásba ágyazott párhuzamos kapcsolású részeket kapunk.

A 4-12. feladat megoldása
4.24. ábra - A 4-12. feladat megoldása


4-13. feladat Hatásvázlat átalakítása

Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt a következő ábrán látható hatásvázlat alapján

A 4-13. feladat
4.25. ábra - A 4-13. feladat


Megoldás:

Ahhoz, hogy számolható alrendszerekre váljon szét, át kell alakítani. Több lehetőségünk is van, az egyik például egy elágazási pont áthelyezés, a másik pedig egy összegzési pont áthelyezés. Mindkét módszerrel megoldjuk a feladatot, a közös bennük – ami általában célszerű is – hogy „nyújtani” fogják a hurkot. Ennek hatása látszik a következő ábra felső sorának jobb oldalán, ahol a szaggatott rész eredője könnyen számíthatóvá vált.

Csomópont áthelyezéssel:

A 4-13. feladat megoldása csomópont áthelyezéssel
4.26. ábra - A 4-13. feladat megoldása csomópont áthelyezéssel


Összegzési pont áthelyezéssel:

A 4-13. feladat megoldása összegzési pont áthelyezéssel
4.27. ábra - A 4-13. feladat megoldása összegzési pont áthelyezéssel


Mint látható, a két eredmény megegyezik.

4-14. feladat Hatásvázlat átalakítása

Határozzuk meg az eredő átviteli függvényt a következő ábrán látható hatásvázlat alapján:

A 4-14. feladat megoldása összegzési pont áthelyezéssel
4.28. ábra - A 4-14. feladat megoldása összegzési pont áthelyezéssel


Megoldás:

Két eltérő módszerrel is megoldjuk a feladatot.

Hatásvázlat átalakítással:

A 4-14. feladat megoldása hatásvázlat átalakítással
4.29. ábra - A 4-14. feladat megoldása hatásvázlat átalakítással


Algebrai egyenletekkel:

4-14. feladat megoldása algebrai egyenletekkel
4.30. ábra - 4-14. feladat megoldása algebrai egyenletekkel


Az ábrán kis betűkkel (a,b,c,d,e) jelöltük a jelek értékét. Írjuk fel az ezeket előállító egyenleteket:

4.3. Átviteli függvény alkalmazása

Az átviteli függvény alkalmas egy lineáris időinvariáns rendszer legfontosabb tulajdonságainak leírására, de a fizikai hátterét azért nehéz közvetlenül elemezni, mert egy komplex változós komplex függvény. (4.2) alapján az átviteli függvény megegyezik a súlyfüggvény Laplace-transzformáltjával. Ez azért egy fontos megállapítás, mert a (2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerek impulzus válasza (súlyfüggvénye) garantáltan lecsengő, ezért létezik Fourier-transzformáltja, vagyis a frekvencia átviteli függvénye (frekvencia karakterisztikája) az átviteli függvényből egyszerű helyettesítéssel megkapható. A frekvencia átviteli függvény fizikailag értelmezhető.

4.3.1. Kidolgozott feladatok átviteli függvények felírására

4-15 feladat Külsőgerjesztésű egyenáramú motor átviteli függvényei

Az hogy mit tekintünk bemenetnek és kimenetnek egy motor esetében, az a motor használatától is függ. A szabályozott bemenet lehet a motor armatúra feszültsége vagy lehet az armatúra árama is. Értelemszerűen, ha az egyiket szabályozzuk, akkor a másik kiadódik, vagyis az kimenetként kezelendő. Az terhelőnyomatékot a motor szempontjából minden esetben bemenetnek kell tekintenünk. (A terhelés szempontjából az természetesen kimenet). Válasszuk mellé először bemenetnek a motor armatúra feszültségét, és vizsgáljuk meg azt, hogy ezek a bemenetek miként hatnak a motor szögsebességére.

  • Írja fel egy külső gerjesztésű egyenáramú motor átviteli függvényét az bemenet és kimenet között

  • Írja fel egy külső gerjesztésű egyenáramú motor átviteli függvényét az bemenet és kimenet között.

  • Írja fel egy külső gerjesztésű egyenáramú motor átviteli függvényét az bemenet és kimenet között.

  • Írja fel egy külső gerjesztésű egyenáramú motor átviteli függvényét az bemenet és kimenet között.

  • Az átviteli függvények segítségével írja fel az szögsebesség időfüggvényét az armatúra feszültség bekapcsolása, illetve terhelésrádobás után.

  • A végérték tétel segítségével mindkét esetben adja meg az állandósult értéket (szuperpozíció elvét kihasználva, a két hatás egymástól függrtlenül számítható).

Megoldás:

A külső gerjesztésű egyenáramú motor helyettesítő vázlata két fő részre tagolódik, az armatúra körre és a gerjesztő körre (ld. 4-32. ábra).

A külső gerjesztésű egyenáramú motor helyettesítő vázlata
4.31. ábra - A külső gerjesztésű egyenáramú motor helyettesítő vázlata


A gerjesztő tekercs egy Rg és Lg paraméterekkel jellemzett R-L körként modellezhető. Az armatúra kör egy soros R-L impedancia és indukált feszültség sorba kapcsolásával modellezhető. Az egyenáramú gép armatúra körének egyenlete:

nyomatékegyenlet:

a mozgásegyenlet:

ahol, a motor armatúra feszültsége, a motor armatúra árama, az armatúra kör ellenállása, az armatúra kör induktivitása, : a motor fordulatszáma, a motor indukált feszültsége, a motor villamos nyomatéka, a motor terhelő nyomatéka, a motor fluxusa, a forgórész inerciája és : a motor gyorsító nyomatéka.

A differenciál egyenleteteket átírjuk a Laplace operátoros tartományba:

A (4.131) egyenletek alapján felrajzolhatjuk a motor hatásvázlatát (ld. 4-33. ábra).

Egyenáramú motor hatásvázlata
4.32. ábra - Egyenáramú motor hatásvázlata


A 4-33. ábraán egy visszacsatolt kört látunk, ezért átviteli függvény felírásakor a 4.2.5 pont alapján először fel kell írnunk a teljes felnyitott kör átviteli függvényét.

A negatív visszacsatolás miatt tetszőlegesen választott bemenet és kimenet esetén az átviteli függvény nevezője és ezzel együtt az átviteli függvény pólusai mindig azonosak lesznek. A nevező így a következő alakot ölti

Ez azt plauzibilis állítást fejezik ki, hogy egy rendszer időállandói nem függnek a nézőponttól (a ki- és bemenet megválasztásától). Mivel a legtöbb motor esetén teljesül a következő egyenlőtlenség (Megjegyezzük, hogy léteznek olyan kis inerciájú szervomotorok, ahol ez nem teljesül)

A villamos és a mechanikai időállandó definíciója

Leegyszerűsítve a motoron belül a mágneses tér felépítéséhez (más megközelítésben az áram kialakulásához), a motor forgórészének felpörgetéséhez szükséges időhöz köthető. Természetesen ez a két folyamat egy visszacsatolt körben szoros kölcsönhatásban zajlik le, ezért ez a leegyszerűsítés csak értelmezhető, ha (4.134) teljesül. Jelölje és a motor két tényleges időállandóját. Ha (4.134) telesül, akkor

Ha (4.134) nem telesül, akkor is használjuk a (4.135) definíciót, ebben az esetben akár az is előfordulhat, hogy

Ez fizikailag nem jelenti azt, hogy a motoron belül a mágneses tér felépítéséhez több idő kellene, mint a motor forgórészének felpörgetéséhez. Ilyen esetekben és a motor két jól definiált paramétere, amelyek fizikai tartalma nehezen értelmezhető.

Elsőként írjuk fel az átviteli függvényt az bemenet és kimenet között. Ekkor az előrevezető ág átviteli függvénye csak abban különbözik felnyitott kör átviteli függvényétől, hogy az előbbiben a visszacsatoló ágban található tag nem szerepel

(4.138) átrendezése után jobban látszik az erősítés és kiolvashatók az időállandók is.

Látható, hogy és akkor lehetne a motor két időállandója, ha a nevezőben együtthatója lenne. Ha (4.134) telesül, akkor igaz a következő is

Vagyis élhetünk (4.136) közelítéssel.

Kapcsoljunk ugrás feszültséget az armatúra körre és legyen . Az átviteli függvény segítségével könnyen felírható a részlet törtekre bontáshoz célszerű alakban

Látható, hogy (4.141) kifejezésnek három pólusa van. A kifejtési tétel alapján

Átrendezve

(4.143) kifejezésből az is kiolvasható, ha (4.134) teljesül, akkor élve a (4.136) közelítéssel a fordulatszám időfüggvénye jól közelíthető úgy, hogy csak a domináns pólus hatását vesszük figyelembe.

Az egységugrás feszültségjel hatására a kialakuló fordulatszám állandósult értéke.

(4.145) az ún. üresjárási fordulatszámot adja meg.

Írjuk fel az átviteli függvényt az bemenet és kimenet között, ekkor az előrevezető ágban figyelembe kell venni negatív előjelét

(4.146) nevezője megegyzik (4.138) nevezőjével. (4.146) is átírható olyan formára, ahol az időállandók jobban láthatók

Az ugrás alakú terhelésrádobás hatására a kialakuló fordulatszám Laplace operátoros alakja

Az inverz Laplace-transzformációt elvégezve

Az állandósult érték létezik, ezért a végérték tétel alkalmazható.

Ha a két hatást a szuperpozíció elvének megfelelően összegezzük, akkor megkapjuk a jól ismert statikus fordulatszám nyomaték összefüggést

(4.146) alapján könnyen megkapjuk az áram és fordulatszám között felírható átviteli függvényt. Az előrevezető ág egy negatív előjellel és egy szorzóvel különbözik.

A motor terhelése növeli a motor aramatúra áramát. Ennek dinamikai összefüggéseit leíró átviteli függvény esetén az előrevezető ágban két -1-es szorzó szerepel. A nyomaték negatív előjele mellett figyelembe kell venni a negatív visszacsatolás negatív előjelét, így végül terhelőnyomaték és annak hatására kialakuló áram előjele megegyezik. A következő átviteli függvény írható fel

4-16 feladat Egyenáramú motor és terhelő nyomaték rugalmas tengelyen keresztül (Házi feladat megoldását nem közöljük)

A 2-16-től 2-19-ig terjedő feladatokban leírt esetre rajzolja fel a rendszer hatásvázlatát és írja fel a megfelelő átviteli függvényeket.

4.4. Lineáris rendszerek stabilitás vizsgálata

Ebben a fejezetben vizsgálatainkat kizárólag lineáris, koncentrált paraméterű, folytonos rendszereken végezzük, melyek általános matematikai modellje (2.107) alakú:

ahol a rendszert érő hatást írja le, pedig a rendszer válasza. A 2.13 alfejezet definíciója alapján látható, hogy a stabilitás nem függ az gerjesztéstől, ezért elegendő lesz az egyenlet homogén részét vizsgálni.

Más gondolatmenettel is ugyanerre a következtetésre juthatunk: az kitérítő hatás rövid idejű (2.13 alfejezet, aszimptotikus stabilitás), tehát -nek gyorsan nullához kell tartania. Viszont a differenciálegyenlet megoldásánál – ha a próbafüggvény módszert alkalmazzuk (lásd melléklet) – a homogén általános megoldást kiegészítő partikuláris megoldást az -hez hasonló alakban keressük. Ennek megfelelően ez is nullához tart, így a teljes megoldásban ez a rész az idő előre haladtával eltűnik. A stabilitás meglétének megállapításához elegendő csak a homogén általános megoldást vizsgálni.

Legyen a rendszer nullpontja az egyensúlyi állapot, itt tehát az kimenet értéke zérus. Ez azt jelenti, hogy stabil rendszer esetén a differenciálegyenlet homogén részének megoldása nullához tart. Az állandó együtthatós, homogén lineáris differenciálegyenletek megoldását alakban keressük. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe és -vel egyszerűsítve a rendszer karakterisztikus egyenletét kapjuk (A karakterisztikus polinomot megtaláljuk az átviteli függvények nevezőjében is):

Megjegyezzük, hogy a rendszer karakterisztikus polinomja alakra megegyezik az átviteli függvény nevezőjében található polinommal, ha helyére -et írunk.

Ezen egyenlet gyökei szolgáltatják a homogén egyenlet partikuláris megoldásait. A polinom gyökei négyfélék lehetnek, ennek megfelelően a homogén partikuláris megoldások is eltérőek:

gyök típusa (száma)

partikuláris megoldás

egyszeres valós (K)

többszörös (m) valós (L)

egyszeres konjugált komplex (M)

többszörös (m) konjugált komplex (N)

A homogén általános megoldás ezen partikuláris megoldások lineáris kombinációja lesz:

Mint már láttuk, a rendszer akkor lesz stabil, ha:

Ez a határérték csak akkor lesz biztosan zérus, ha az összeg minden tagja nullához tart. Ennek megfelelően a négy esetet külön-külön vizsgáljuk:

egyszeres valós

egy exponenciális függvény végtelenhez tart, ha a kitevője pozitív, de nullához, ha negatív. Ebből következik, hogy minden -nak negatívnak kell lennie

többszörös valós

az előzőekből következik, hogy csak negatív gyökök jöhetnek szóba. Kérdés, hogy is nullához tart-e. Legyen , ekkor a L’Hospital szabályt többször (-szer) alkalmazva:

egyszeres konjugált komplex

a szorzat trigonometrikus része korlátos, az exponenciális rész viszont nullához tart, ha α<0, azaz Re()<0

többszörös konjugált komplex

az előzőekből már következik. hogy tmeαt–nek kell nullához tartani, ez viszont αRe()<0 esetén fennáll

Összefoglalva elmondhatjuk, hogy stabil a rendszer, ha karakterisztikus polinomjának gyökei negatívak vagy negatív valós részűek.

Napjainkban egy n-edfokú polinom gyökeinek meghatározása általában nem okoz gondot, köszönhetően a számítástechnika fejlődésének. Régebben több olyan eljárást is kifejlesztettek, amelyek segítségével a gyökök meghatározása nélkül is el lehetett dönteni egy rendszerről, hogy stabil-e. A következő fejezetben az egyik legelterjedtebb olyen módszert ismertetjük, amelyet napjainkban is használunk a tervezéshez. Az adott kritériumot paraméteresen írjuk fel, és azt vizsgáljuk, hogy az adott szabályozóköri paraméter mely értékei mellett stabilis a rendszer.

Térjünk vissza a stabilitás definíciójához és vizsgáljuk meg milyen gerjesztést alkalmazhatunk! A definíció szerint a rendszert kitérítjük, majd magára hagyjuk. Ilyen hatást például a δ(t) egységimpulzussal érhetünk el. Az erre adott válasz a w(t) súlyfüggvény, így tehát stabil rendszer súlyfüggvényének nullához kell tartania. Mivel a gyakorlatban az egységimpulzus csak pontatlan közelítéssel állítható elő, ezért helyette a következő módszer alkalmazható:

állítsuk elő az átmeneti függvényt, mivel az ehhez szükséges egységugrás () jel előállítása általában pontosabban megtehető,

  • mérjük meg a rendszer válaszát, ez lesz a közelítő átmeneti függvény,

  • amennyiben az átmeneti függvény állandósult értéket vesz fel, a rendszer stabil. Ennek oka az, hogy a súlyfüggvény az átmeneti függvény deriváltja, és az állandósult részen a függvény jó közelítéssel állandó, aminek a deriváltja zérus. Így tehát ebben az esetben a súlyfüggvény zérushoz fog tartani, és mint láttuk ez a stabilitás feltétele.

Jól szemlélteti ezt a 4-34. ábra, amelyen a súlyfüggvénynek csak azt a részét rajzoltuk meg, ahol az átmeneti függvény már közel állandó.

Átmeneti és súlyfüggvény
4.33. ábra - Átmeneti és súlyfüggvény


4.4.1. Routh-Hurwitz stabilitási kritérium

Ezen kritériumot két matematikus (Routh és Hurwitz) dolgozta ki. Tételük a (2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerekre vonatkozik. Lineáris rendszerek akkor stabilisak, ha a karakterisztikus polinomjának csak negatív- vagy negatív valós részű gyökük van. Az ilyen feltételt kielégítő polinomokat Hurwitz polinomoknak nevezzük. Feladatunk ezek szerint az, hogy egy karakterisztikus polinomról a gyökök kiszámítása nélkül megállapítsuk, hogy Hurwitz polinom-e.

A kritérium két részből áll:

  • a polinom minden együtthatója vagy negatív, vagy pozitív. Másképpen megfogalmazva: az együtthatók azonos előjelűek és nem lehet közöttük zérus értékű

  • az együtthatókból képzett Hurwitz determináns és annak a főátlóra támaszkodó minden aldeterminánsa pozitív.

A Hurwitz determináns:

A determinánsból kiolvasható, hogy egy n-ed fokú polinomhoz n × n-es determináns tartozik.

4.4.2. Kidolgozott feladatok stabilitásvizsgálatra nem visszacsatolt rendszerek esetén

4-17. feladat

Adott a rendszer differenciálegyenletével: , ahol A>0. Határozzuk meg, hogy milyen A paraméterek esetén lesz stabil a rendszer.

A rendszer karakterisztikus egyenlete, és annak megoldása:

Mivel A>0, így <0, tehát a rendszer minden pozitív A-ra stabil.

Az olyan rendszereket, amelyek tetszőleges paraméterértékek esetén stabilak, strukturálisan stabil rendszereknek nevezzük.

4-18. feladat

Adott a rendszer differenciálegyenletével: , ahol T>0 és D>0. Határozzuk meg, hogy milyen T és D paraméterek esetén lesz stabil a rendszer.

A rendszer karakterisztikus egyenlete:

  • mivel T is és D is pozitív, 2TD is pozitív, tehát minden együttható pozitív,

  • n=2, tehát an=a2=T2, a1=2TD, a0=1, tehát a Hurwitz determináns, és aldeterminánsai:

Mivel minden aldetermináns pozitív minden pozitív paraméterre, így ez is strukturálisan stabil rendszer.

Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a karakterisztikus egyenlet gyökeit vizsgáljuk:

Ha a diszkrimináns negatív (azaz D<1), a gyökök valós része , ami nyilvánvalóan negatív, hiszen D is és T is pozitív. Abban az esetben, ha , akkor . Ebből következően , így a pozitív T miatt a gyökök negatívak.

4-19. feladat

Adott a rendszer differenciálegyenletével: Vizsgáljuk meg vajon stabil-e.

A rendszer nem stabil, mert a második derivált együtthatója zérus.

4-20. feladat

Adott a rendszer differenciálegyenletével: Vizsgáljuk meg vajon stabil-e.

A rendszer karakterisztikus egyenlete:

  • minden együttható pozitív

  • a Hurwitz determináns és aldeterminánsai:

A harmadik aldetermináns meghatározására nincs is szükség, hiszen a második negatív, tehát a rendszer nem lehet stabil.

4-21. feladat

Adott a rendszer differenciálegyenletével: Vizsgáljuk meg vajon stabil-e.

A rendszer karakterisztikus egyenlete:

  • minden együttható pozitív

  • a Hurwitz determináns és aldeterminánsai:

Mivel minden feltétel teljesül, a rendszer stabil.

4-22. feladat

Adott a rendszer a átviteli függvényével. Vizsgáljuk meg vajon stabil-e.

A rendszer karakterisztikus polinomja az átviteli függvény nevezőjében található:

Mivel ez megegyezik az előző feladat karakterisztikus egyenletével, a rendszer stabil.

4-23. feladat

Adott a rendszer a átviteli függvényével. Vizsgáljuk meg vajon stabil-e.

A rendszer karakterisztikus polinomja az átviteli függvény nevezőjében található:

  • ha T>0, akkor minden együttható pozitív

  • a Hurwitz determináns és aldeterminánsai:

Mivel az együtthatók vizsgálata alapján T>0 kell legyen, az aldeterminánsok alapján pedig T>2 szükséges, a mindkét feltételt kielégítő megoldás: T>2.

4-24. feladat

A rendszer hatásvázlata az alábbi ábrán látható. Az átviteli függvények: és . Határozzuk meg, hogy milyen T értékek esetén stabil a rendszer.

4-24. feladat
4.34. ábra - 4-24. feladat


Először meg kell határoznunk az eredő átviteli függvényt:

Ebből a karakterisztikus egyenlet:

  • az együtthatók akkor pozitívak, ha rendre T>-2, T>-0.5 és T>0. Ebből következően T>0 esetén lesz minden együttható pozitív,

  • a Hurwitz determináns és aldeterminánsai:

A minden feltételt kielégítő megoldás tehát: T>0.

4.5. Frekvencia átviteli függvény megjelenítése

A frekvencia átviteli függvénynek fontos fizikai tartalma van. Vissza kell utalnunk a 3-12. ábrara. A frekvenciatartománybeli vizsgálat alapja, hogy a jelek felbonthatók különböző frekvenciájú komponensekre, a komponensek hatása külön számítható, majd a hatások összegezhetőek. A frekvencia átviteli függvény azt mondja meg, hogy a rendszer miként reagál a különböző frekvenciájú szinuszos gerjesztésekre, pontosabban, ha a bemenőjel egy adott frekvenciájú szinuszos jel, akkor a bemenőjelhez képest miként változik meg a kimenőjel amplitúdója és fázisa. Így minden frekvenciához két értéket rendelünk

  • a kimenő- és bemenőjel amplitúdójának arányát

  • a kimenőjel fáziseltolódását a bemenőjelhez képest.

Ez a meghatározás egyben útmutató a frekvencia átviteli függvény mérésére is. Mivel minden frekvenciához két értéket rendelünk, egy amplitúdó és egy fázisszög értéket, így kézenfekvő, hogy a frekvencia függvényt komplex számként ábrázoljuk. Így összefoglalva a frekvencia átviteli függvény egy olyan komplex függvény, amely a nem negatív körfrekvenciákhoz egy olyan komplex számot rendel hozzá, amelynek az abszolút értéke a kimenőjel állandósult állapotbeli amplitúdójának és bemenőjel amplitúdójának aránya, a szöge megegyezik a kimenőjel állandósult állapotbeli fáziseltolódásával a bemenőjelhez képest (az adott körfrekvencián).

A fenti definíció értelmezéseként, tegyük fel, hogy egy rendszer bemenetére szinuszos jelet kapcsolunk, akkor a kimenőjel állandósult állapotban (ld. 4-36. ábra)

Frekvencia átviteli függvény értelmezése
4.35. ábra - Frekvencia átviteli függvény értelmezése


A 4-36. ábra jelöléseivel:

A fenti definícióból adódik, hogy miként mérhetjük meg a frekvencia átviteli függvényt. A bemenetre szinuszos gerjesztést kapcsolunk, megvárjuk a tranziensek lezajlását, és kvázi stacioner állapotban mérjük a kimenőjelet. Ezt a mérést több frekvencián elvégezzük.

4-25 feladat

Egy MATLAB program segítségével mutassa be a frekvencia átviteli függvény értelmezését.

Megoldás

A 4-37. ábra egy absztrakt elrendezést mutat. Szinuszos mechanikai gerjesztés előállítása és mechanikai lengések mérése, regisztrálása nehézkesebb, de több módon megvalósítható. A 2-8 és 2-10 feladatban vázolt probléma esetén még nehézkesebb lenne a szinuszos gerjesztést előállítani, de egy áramkör esetén ténylegesen használhatunk elektronikus jelgenerátort és oszcilloszkópot, így a 4-37. ábran látható elrendezés könnyen megvalósítható a gyakorlatban. Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a 4-37. ábra látható elrendezés esetén a mérés megkezdése előtt el kell jutnunk az állandósult állapothoz.

Frekvencia átviteli függvény mérésének szimulációja MATLAB Simulink programmal
4.36. ábra - Frekvencia átviteli függvény mérésének szimulációja MATLAB Simulink programmal


A következő szimulációkban a paramétereket úgy állítjuk be, hogy a gerjesztésnek pont 5 periódusa legyen látható, és minden periódusban legalább 100 mintát vegyünk. A mérésben szereplő egy-energiatárolós rendszer időállandója legyen 1. A gerjesztés körfrekvenciáját az időállandóhoz viszonyítva számítjuk ki. A számításhoz használt MATLAB fájl

% Adatok
T1=1;
omega=0.01*1/T1; % 1/T1 együtthatója: 0.01, 0.1, 1, 10 és 100
% Frekvencia átviteli függvény kiszámítása
abs(1/(1+omega*i))
angle(1/(1+omega*i))
% Szimulációs paraméterek, a maximális lépésközt 
% és a szimuláció hosszát állítják be.
Tmax_step=2*pi/omega/100; 
Tmax=5.0/omega*2*pi; 
% Eredmények kirajzolása
plot(time,simout)
set(gca, 'fontsize', 19);
ylabel('y(t) u(t) [relatív egység]');
xlabel('Idő [s]');
title('Frekvencia átmeneti függvény mérése');
axis([0 Tmax -1 1]);
grid

Először egy nagyon kicsi körfrekvenciájú, más megközelítésben nagyon nagy periódus idejű gerjesztést kapcsolunk a rendszerre. A lassú változás miatt a kimenet szinte pontosan követi a gerjesztést. A 4-38. ábran a kimenő- és bemenőjelet nem lehet megkülönböztetni. A frekvencia átviteli függvény gyakorlatilag 1-nek vehető, a fáziseltolás alig fél fok.

(ω=0.01/T1)
4.37. ábra - (ω=0.01/T1)


Ha egy nagyságrenddel növeljük a gerjesztés frekvenciáját, akkor a ki- és bemeneti jel között egy nagyon pici különbség van, a fázistolás -5.7̊.

(ω=0.1/T1)
4.38. ábra - (ω=0.1/T1)


Ha ismét egy nagyságrenddel növeljük a gerjesztés frekvenciáját, akkor a ki- és bemeneti jel között már látható különbség van. A 4-40. ábra jól látható, hogy a kimenőjel amplitúdója kb. 0.7 (a pontos érték ). Az állandósult állapot kb. az első periódus után kialakul. A nagyságú fáziseltolás is kiolvasható.

(ω=1/T1)
4.39. ábra - (ω=1/T1)


Ha ismét egy nagyságrenddel növeljük a gerjesztés frekvenciáját, akkor a kimenőjel amplitúdója alig egy tizede a bemenőjel amplitúdójának és a fázistolás -84.2894̊. Úgy látszik, hogy az állandósult állapot kb. az ötödik periódus után kialakul. Pontos számítás alapján az ötödik periódus után a tranziens összetevő a kezdeti értékének kb. 5%-ra csökken.

(ω=10/T1)
4.40. ábra - (ω=10/T1)


Ha ismét egy nagyságrenddel növeljük gerjesztés frekvenciáját, akkor öt periódus alatt közelítőleg sem érjük el az állandósult állapotot, de az jól látható, hogy a kimenőjel amplitúdója alig egy százaléka a bemenőjel amplitúdójának és a fázistolás közel .

(ω=100/T1)
4.41. ábra - (ω=100/T1)


4.5.1. Az átviteli és a frekvencia átviteli függvény kapcsolata

A frekvencia átviteli függvényt gyakran az átviteli függvényből számítjuk helyettesítéssel, így a frekvencia átviteli függvény -ra nézve racionális törtfüggvény, ezért a szokásos jelölése:

Frekvencia átviteli függvény meghatározása
4.42. ábra - Frekvencia átviteli függvény meghatározása


Itt fontos megjegyezni, hogy az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace-transzformáltja. Valóságos (veszteséges) rendszerek esetén a súlyfüggvény lecsengő, ezért általában van Fourier transzformáltja, és ezért fizikai megfontolások alapján állítjuk azt, hogy teljesül a matematikai feltétele annak, amikor az helyettesítéssel élhetünk

Kétféle grafikus ábrázolási mód terjedt el a helygörbe vagy Nyquist-diagram és a Bode-diagramok (amplitúdó és fázis).

4.5.2. Nyquist-diagram

Legyen a frekvenciaátviteli függvény a következő alakú:

Az =0 paraméterrel a frekvenciafüggvényt ábrázoljuk a komplex számsíkon.

Nézzük meg, hogyan fog viselkedni a függvény a két szélső helyzetben, tehát =0 és = esetben.

A, =0

Tegyük fel, hogy értéke nem zérus. Ekkor -t kapunk, tehát a diagram a valós tengelytől indul.

Ha , akkor a vizsgálatot 0 esetre végezzük el. Ekkor a számlálóban is és a nevezőben is a legkisebb kitevőjű tag lesz a domináns, tehát

Ez azt jelenti, hogy a diagram a „lap aljától” indul.

B, =

Ekkor a legnagyobb fokszámú tag lesz a domináns, tehát elegendő a

kifejezést vizsgálni.

Tegyük fel, hogy , tehát a nevező fokszáma nagyobb, mint a számlálóé. Mivel ebben az esetben a kitevő negatív, a kifejezés értéke zérushoz tart. Látszik azonban, hogy páros vagy páratlan voltának megfelelően a görbe vagy a valós, vagy a képzetes tengely mellett simul be az origóba:

n>m esetben
4.43. ábra - n>m esetben


Amennyiben , a diagram a valós tengely pontjában végződik.

Ha , akkor u.n. differenciáló hatás érvényesül, és a kifejezés értéke a végtelenhez tart. Meg kell azonban jegyezni, hogy fizikai rendszerek esetében ez az eset nem valósítható meg!

4-26. feladat

Legyen . Rajzoljuk meg a Nyquist diagramját.

Esetünkben . Mivel , ezért a diagram a pontból indul. A végpont meghatározásához szükséges a határérték vizsgálata. Most és , valamint és így

ami láthatóan zérushoz tartó negatív képzetes érték. Most már csak a közbenső értékeket kell meghatározni. Ehhez állítsuk elő a valós- és a képzetes részt:

Nem negatív  esetén a valós rész mindig pozitív, a képzetes pedig mindig negatív lesz, tehát a görbe egy síknegyedben marad:

Nyquist diagram
4.44. ábra - Nyquist diagram


A teljes ábrázoláshoz készítsünk értéktáblázatot:

0

0.5

1

2

Im

0

-0.4

-0.5

-0.4

0

Re

1

0.8

0.5

0.2

0

A későbbiekben igazolni fogjuk, hogy a diagram egy félkör, amelynek középpontja a valós tengelyen van 0.5-nél és a sugara is 0.5.

Nyquist diagram
4.45. ábra - Nyquist diagram


4.5.3. Bode-diagram

Tulajdonképpen két diagramról van szó, hiszen az amplitúdót és a fázisszöget külön diagramban ábrázoljuk pozitív függvényében.

A 4-47. ábraán láthatjuk a kapcsolatot a Nyquist diagrammal. A vektorok hossza jelenti az amplitúdót, a pozitív valós tengellyel bezárt előjeles szögük pedig a fázisszöget.

Nyquist diagram
4.46. ábra - Nyquist diagram


Az amplitúdó diagramon a függőleges tengelyen decibel (), a vízszintesen pedig lg skálát használunk. Ennek megfelelően a szokásos skála értékek 0.1; 1; 10 stb. Egy-egy ilyen a szokásos skálaértékekkel határolt szakaszt (ahol a frekvencia 10-szeresére nő) nevezünk 1 dekádnak. Mivel a diagramokat általában csak a tendenciákat pontosan mutató, aszimptotákkal közelítő diagramokkal szoktuk megrajzolni, a meredekség értékét is jelezzük, pl. -20 dB/dek, ami azt jelenti, hogy egy dekádon a csökkenés 20 decibelnyi.

Bode diagram
Bode diagram
4.47. ábra - Bode diagram


A függőleges tengely helyzete esetleges, hiszen a vízszintes tengelynek nincs zérus pontja, mivel a logaritmikus léptékezés miatt  nem lehet zérus. Jelentősége van azonban annak, hogy az amplitúdó diagram hol metszi a vízszintes tengelyt. Ezt a egyenletből határozhatjuk meg. Ebből az következik (mint ahogy az a 4-48. ábrán is látszik), hogy a tengelymetszésnél az amplitúdó viszony éppen egységnyi.

A fázis diagramnál csak a vízszintes tengely esetében térünk el a megszokottól, itt is lg-t alkalmazunk.

Amplitúdó Bode diagramok esetében az ábrázolás során általában aszimptotikus közelítést alkalmazunk, ami nagymértékben megkönnyíti a dolgunkat. Gyakran előfordul, hogy az aszimptota egyik pontját ismerjük, és szükségünk lenne egy másik pont koordinátáira is. Mivel egyenesekről van szó, ez nem okozhat problémát, nehézséget csak az okozhat, hogy logaritmikus léptéket használunk. A következőkben meghatározunk egy minden, a gyakorlatban előforduló meredekségű aszimptóta esetén jól használható összefüggést.

Legyen az ismert pont (1,A1) az ismeretlen pedig (2,A2), valamint a meredekség n∙20 dekád, ahol n=0,±1,±2,…. Vegyük fel az (,A) pontot úgy, hogy 1=10 legyen, azaz a távolság éppen 1 dekád. Ekkor:

Bode diagram
4.48. ábra - Bode diagram


A 4-49. ábrán két hasonló derékszögű háromszög látható. A befogók arányaira felírhatjuk a következő egyenletet, amit rendezve a keresett összefüggést kapjuk:

Mint már tudjuk, sorba kapcsolt rendszerelemek eredő átviteli függvényét a tagok átviteli függvényének szorzataként állíthatjuk elő. Ebből következik, hogy sorba kapcsolt tagok eredő Bode diagramját a tagok diagramjainak összegzéseként kaphatjuk. Ezen állítás az amplitúdó diagram esetén nyilvánvaló, hiszen a decibel tulajdonképpen logaritmikus skálát jelent, és a szorzás logaritmusa az elemek összeadása. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy itt tulajdonképpen két komplex érték szorzatáról van szó. Mint tudjuk ekkor az abszolút értékek összeszorzódnak, a szögek pedig összeadódnak (gondoljunk csak a komplex számok trigonometrikus alakjára!).

Ha nem tudjuk az eredő diagramot egyszerű, sorba kapcsolt tagok diagramjainak felhasználásával megrajzolni, akkor határozzuk meg a valós- és képzetes részeket. Ezek ismeretében az amplitúdó és a fázisszög meghatározható. Az így kapott függvények vizsgálata segítségével rajzolhatunk közelítő Bode diagramokat.

A Nyquist diagramból a minőségi tulajdonságok, a Bode diagramból a mennyiségi összefüggések olvashatók ki.

4.6. Alaptagok átviteli függvénye, Nyquist és Bode diagramja

Az alaptagok tulajdonképpen a frekvenciaátviteli függvény szorzattá bontott alakjában előforduló tagok. Legtöbbjüknek fizikai jelentése is van.

4.6.1. Arányos tag (P)

Leíró differenciálegyenlet: .

Átmeneti függvény:

Súlyfüggvény:

Átviteli függvény: W(s)=P

Frekvenciafüggvény: W(j)=P

Nyquist diagram: a frekvenciafüggvény -tól független konstans, így a komplex síkon egy a valós tengelyen lévő pontként ábrázoljuk.

Nyquist diagramja
4.49. ábra - Nyquist diagramja


Bode diagram: az amplitúdó diagram egy 20 lg(P) ordinátájú vízszintes egyenes, a fázis pedig zérus.

Amennyiben 0<P<1 az egyenes a vízszintes tengely alatt halad, hiszen ekkor a logaritmus értéke negatív.

Abban az esetben, ha P negatív az amplitúdó diagramon az abszolút értékét ábrázoljuk, fázisszöge pedig -180°.

Bode diagramja
Bode diagramja
4.50. ábra - Bode diagramja


Példa: kétkarú emelő.

Példa arányos tagra
4.51. ábra - Példa arányos tagra


4.6.2. Differenciáló tag (D)

Leíró differenciálegyenlet: .

Átmeneti függvény:

Súlyfüggvény: függvényként nem értelmezhető és olyan egyszerű közelítése sincs, mint a Dirac impulzusnak

Átviteli függvény:

Frekvenciafüggvény:

Nyquist diagram: az origóból induló, a pozitív imaginárius tengelyen végigfutó félegyenes.

Nyquist diagramja
4.52. ábra - Nyquist diagramja


Bode diagram:

Amplitúdó: , ami lg -re egy 20 egység meredekségű egyenes egyenlete. A vízszintes tengelyt -nél metszi, hiszen a függvényérték itt 1, de a függőleges tengely decibelben (azaz logaritmikus léptékben) van skálázva.

Fázis: a Nyquist diagramról leolvasható, hogy a valós tengellyel +90°-ot zár be, tehát a fázistolás: 90°.

Bode diagramja
4.53. ábra - Bode diagramja


Példa: fizikailag nem megvalósítható.

4.6.3. Integráló tag (I)

Leíró differenciálegyenlet:

Átmeneti függvény:

Súlyfüggvény:.

Átviteli függvény:

Frekvenciafüggvény:

Nyquist diagram: az origóba tartó, a negatív imaginárius tengelyen végigfutó félegyenes, hiszen a frekvenciafüggvény algebrai alakja:

Nyquist diagramja
4.54. ábra - Nyquist diagramja


Bode diagram:

Amplitúdó: , ami lg -ra egy 20 egység meredekségű egyenes egyenlete. A vízszintes tengelyt -nél metszi, hiszen a függvényérték itt 1, és a függőleges tengely decibelben (azaz logaritmikus léptékben) van skálázva.

Fázis: a Nyquist diagramról leolvasható, hogy a valós tengellyel -90°-ot zár be, tehát a fázistolás: -90º.

Bode diagramja
4.55. ábra - Bode diagramja


Példa:

Példa integráló tagra
4.56. ábra - Példa integráló tagra


A tartályban lévő folyadék térfogatának megváltozása t időegység alatt:

Ezek után a rendszert leíró differenciálegyenlet:

4.6.4. Arányos differenciáló tag (PD)

Leíró differenciálegyenlet:

Átmeneti függvény:

Súlyfüggvény: függvényként nem értelmezhető és olyan egyszerű közelítése sincs, mint a Dirac impulzusnak

Átviteli függvény: W(s)=P(1+sTD)

Frekvenciafüggvény: W(j)= P(1+jTD)

Nyquist diagram: a valós tengelyről induló, a pozitív imaginárius tengellyel párhuzamosan végigfutó félegyenes.

Nyquist diagramja
4.57. ábra - Nyquist diagramja


Bode diagram: Nem a valódi, hanem az aszimptotákkal közelített diagramokat határozunk meg.

Amplitúdó:

amely

0 esetén , tehát a vízszintes tengellyel párhuzamos egyenes,

 esetén , lg -ra egy 20 dB/dekád meredekségű egyenes egyenlete.

A két egyenes metszéspontja:

Fázis: , ami 0 esetén 0,  esetén 90º, és =1/TD esetén arctg 1 =45º.

Bode diagramja
4.58. ábra - Bode diagramja


Más gondolatmenettel is ugyanerre az eredményre juthatunk! A frekvenciafüggvény alakjából látszik, hogy egy arányos (P) és egy erősítés nélküli arányos, differenciáló (PD) tag sorba kapcsolása, tehát az eredő Bode diagram a két diagram összegeként előállítható.

Legyen W1(j)=P és W2(j)=1+jTD. W1(j)-val az arányos tagnál már foglalkoztunk. W2(j) kis  esetén (0) W2(j)=1-hez , azaz egy egységnyi erősítésű P taghoz tart, így a diagramjai az elején úgy néznek ki, mint az arányos tagé. Amplitúdó: lg1=0 egyenes a valós tengelyen, fázis: =0 (ld. 4-60. ábra). Nagy  esetén () W2(j)=jTD, tehát egy differenciáló taghoz tart (ld. 4-60. ábra).

Bode diagram
Bode diagram
Bode diagram
4.59. ábra - Bode diagram


Ha ehhez még hozzávesszük W1(j)-et, akkor az amplitúdó diagram 20lgP értékkel feljebb tolódik, a fázis pedig változatlan marad, hiszen az arányos tag fázisa (amit hozzá kell adni) 0.

Nézzük meg, hogy mekkora az eltérés a pontos és a közelítő diagramok között! A legnagyobb eltérés nyilvánvalóan a két aszimptota metszéspontjánál lesz. Az ehhez a ponthoz tartozó frekvencia értéket, sarok-körfrekvenciának nevezzük és mint láttuk értéke . Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy P=1, hiszen az előzőekben megmutattuk, hogy P csak egy függőleges eltolást okoz, a közelítés mértékét nem befolyásolja, és ekkor a sarokpont a vízszintes tengelyen van. Ezután a (4.212)-be való behelyettesítéssel kapjuk az eltérést:

Érdemes meghatározni még a fázisgörbe érintőjének meredekségét az inflexiós pontban. A fázisgörbe egyenlete ismert, a meredekséget a differenciálhányados ismeretében tudjuk felírni. Gondot csak az okoz, hogy a vízszintes tengelyen logaritmikus léptéket alkalmaztunk. A problémát helyettesítéssel oldjuk meg:

Az inflexiós pont az helyen van, ezért a meredekség:

Ez az érték az érintő vízszintes tengellyel bezárt szögének a tangense, így a szög . A gyakorlatban elterjedt a 45º/dekádos közelítés.

Példa: fizikailag nem valósítható meg

4.6.5. Arányos tag egy tárolóval (PT1)

Leíró differenciálegyenlet: .

Átmeneti függvény:

Súlyfüggvény:

Átviteli függvény:

Frekvenciafüggvény:

Nyquist diagram: egy középpontú sugarú félkör. Nézzük a továbbiakban ezen állítás igazolását. A koordinátageometriában tanultak szerint a kör egyenlete, ahol x=Re W, y=Im W.

Hozzuk a frekvenciafüggvényt algebrai alakra:

majd helyettesítsük be a kör egyenletének bal oldalába a kiszámított valós és képzetes részt:

Ezzel állításunkat részben igazoltuk. Hátra van még annak bizonyítása, hogy a diagram csak félkör. Mivel esetén a képzetes rész mindig negatív, így a diagramot csak a kör alsó fele alkotja (4-61. ábra). Keressük meg még a kör -hez tartozó pontját (az előzőekben már láttuk, hogy ennek a Bode diagramoknál kitüntetett szerepe van!).

Ez a pont tehát a körív felezőpontja.

Nyquist diagramja
4.60. ábra - Nyquist diagramja


Bode diagram: A közelítő diagram meghatározásához használjuk a PD tagnál ismertetett gondolatmenetet:

ha 0 , tehát arányos viselkedésű,

ha , tehát integráló jellegű.

A két aszimptota metszéspontja:

sarokfrekvencia.

A legnagyobb eltérés (G=1 esetén) a már ismertetett módon határozható meg (értéke itt is 3 dB).

Bode diagramja
4.61. ábra - Bode diagramja


Példák: Ld.2-7, 2-8 és 2-10 feladat

4.6.6. Arányos tag két tárolóval (PT2)

Leíró differenciálegyenlet: .

Átmeneti függvény: az átmeneti függvény a tag paramétereitől függően különböző alakú.

A differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása G. A homogén egyenletet a próbafüggvények módszerével oldjuk meg (lásd melléklet), ekkor:

egyenlet adódik. Az egyenlet megoldása:

A gyökök típusa D értékétől függ.

a,