Ebben a fejezetben koncentrált paraméterű rendszert leíró egyenletek strukturális hasonlóságát, pontosabban hálózatok számítási módszereit vizsgáljuk. A koncentrált paraméterű leírás mindig valamilyen közelítést, illetve elhanyagolásokat jelent. Az elhanyagolások a villamos áramkörök számításánál (ott is inkább az alacsony frekvenciás gerjesztések esetén) a legkisebbek. Talán ez az oka, hogy a villamos áramkörök számítása van a legjobban kidolgozva, így más fizikai jelenségek leírására sokszor villamos analógiát használunk. E jegyzetben is a villamos áramkörök számítását vizsgáljuk meg részleteiben és a kapott eredményeket általánosítjuk.

Sok fizikai jelenséget egy vektormező divergenciájával és rotációjával lehet a legtömörebben leírni. Ezekből az egyenletekből koncentrált paraméterű modelleket alkothatunk, és ehhez kapcsolódóan származtathatunk fizikai mennyiségeket, létrehozhatunk hálózatokat.

Definíció

A megmaradási törvényekből származtatott koncentrált paraméterű fizikai mennyiségeket extenzív fizikai mennyiségeknek nevezzük. Sok esetben az extenzív fizikai mennyiségek egy vektormező divergenciájából származtathatók. Tipikusan extenzív fizikai mennyiségek a különböző típusú energiák és anyagmennyiségek, de ide tartozik a térfogat (hidrosztatika), az impulzus és impulzus momentum is.

Értelmezés

Elosztott paraméterű modellekben a megmaradási törvények divergencia egyenletek formájában írhatók fel, amelyek a forrásokra és a nyelőkre vonatkoznak, és azt fejezik ki, hogy a tér egy adott pontjában a legkülönbözőbb típusú anyag és energiákhoz köthető áramok átfolynak (befolynak és/vagy kifolynak), vagyis a tér minden pontjához a forrás értékére vonatkozó skalár értéket rendelünk, így a tér forrás sűrűségét kapjuk. Szokásos még az a megközelítés, hogy ha két térrészt egyesítünk, akkor (linearitást feltételezve) az eredő térrészben az extenzív fizikai változót jellemző érték a két térrész extenzív fizikai változói értékének az összege. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a térrészek egyesítésekor a extenzív fizikai változók additívak (linearitást feltételezve). A forrás sűrűségből összegzéssel számíthatjuk egy adott térrészre az összesített forrásokat (nyelőket). Az így kapott érték csak egy adott pillanatra vonatkozik, és ebből adódik, hogy egy újabb típusú fizikai változót definiáljunk.

Definíció

Extenzív fizikai mennyiségek rátájának nevezzük az adott extenzív fizikai mennyiség egy adott felületen mérhető időegység alatti változását.

Értelmezés

A jelenségek leírásánál általában a változásokra, pontosabban áramlására vagyunk kiváncsiak. Pl. töltésáram, térfogatáram, hőáram stb.

Az extenzív fizikai mennyiségek változásának két oka lehet, az egyik egy forrás vagy nyelő jelenléte, a másik a fizikai mennyiség vándorlása, illetve áramlása. Ez utóbbinak oka a vektormező örvényességében (illetve örvénymentességében) keresendő. Az extenzív fizikai mennyiségekhez találhatunk egy másik fizikai mennyiséget, amely az extenzív fizikai mennyiségek áramlását okozza.

Definíció

A vektormező örvényességi tulajdonságából származtatott fizikai mennyiségeket nevezzük intenzív fizikai mennyiségnek. Tipikusan intenzív fizikai mennyiség a nyomás, villamos feszültség és hőmérséklet.

Értelmezés

A rotáció a vektormező örvényességére, vagyis az áramlások okára vonatkozik. A tér minden pontjához egy vektor rendelhető, amely tekinthető egy általánosított erőnek, vagyis az egységnyi nagyságú extenzív mennyiségre gyakorolt hatásnak az adott pontban. Szokásos az a megfogalmazás, hogy a térrészek egyesítésekor az eredő térrészben az intenzív fizikai változó kiegyenlítődik, ez az egyesített térrészek súlyozott átlaga. Természetesen az örvényesség okára nézve az intenzív fizikai változók is additívak, vagyis, ha egy újabb örvényességi forrást iktatunk be, akkor a két forrás hatása valamely intenzív fizikai változók esetén is összegződnek (linearitást feltételezve). Az analóg mennyiségeket a 2.2 táblázat első felében foglaltuk össze.

Az extenzív és intenzív fizikai mennyiség fogalma erősen kötődik ahhoz, hogy két térfogatot egymás mellé helyezve egyesítünk, és ekkor igaz az, hogy az intenzív mennyiségek összeadódnak és az extenzív mennyiségek kiegyenlítődnek. Az absztrakt mezőket nem csak egymás mellé tehetjük, hanem egymásba is helyezhetjük (ennek elképzelése sok esetben nem egyszerű). Egy ilyen absztrakt mező egyesítés megvalósítható úgy, hogy az extenzív fizikai mennyiségek egyenlítődnek ki, és az intenzív fizikai mennyiségek adódnak össze. Tipikus koncentrált paraméterű példaként említhetjük az áramköri elemek soros és párhuzamos kapcsolását. Párhuzamos kapcsolásnál a feszültség egyenlítődik ki, és az áramok adódnak össze, soros kapcsolódásnál megfordítva, az áramok egyenlítődnek ki és a feszültségek adódnak össze. Később a 2.2 táblázatban is látni fogjuk, hogy értelmezéstől függően bizonyos fizikai mennyiségek szerepe felcserélhető.

(elsősöknek nem ajánlott)

E pontban az elektromágneses mezőt, mint egy elosztott paraméterű modellt mutatjuk be. A (2.8), (2.9), (2.10) és (2.11) egyenleteket szokás differenciális Maxwell egyenleteknek nevezni.

ahol H a mágneses térerősség és J a vezetési áramsűrűség vektora, valamint D az eltolási vektor. ( tag az ún. eltolási áram). Az üzenet a következő: A mágneses tér mindig örvényes és ennek forrása valamilyen áram: vezetési vagy eltolási.

ahol E az elektromos térerősség és B a mágneses indukció vektora.

ahol a töltéssűrűség.

Lineáris, homogén és izotróp közeget feltételezve

ahol és a közeg permittivitása és permeabilitása (az index nélküli érték az egy adott közegre vonatkozik, amely felbontható a vákuumra vonatkozó értékre (0 indexszel jelölve) és annak szorzójaként megjelenő relatív értékre.), a nem villamos eredetű elektromotoros-erő, amely szintén oka lehet az elektronok áramlásának, pl. egy akkumulátorban kémiai hatások tartják fent a villamos áramot.

2.1 Táblázat Időben állandó elosztott paraméterű elektromos jelenségek formális analógiája

* Származtatott egyenlet:

Stacionárius jelenségek statikai egyenletekkel írhatók le, és ilyen esetben rendszertechnikai értelemben nem beszélhetünk állapotváltozóról. A rendszertechnikában az állapotváltozó mindig valamilyen dinamikai tulajdonsághoz (tároló elemhez) köthető és az állapotváltozókra mindig valamilyen differenciálegyenlet írható fel. Ugyanakkor a stacioner állapot leírására is szükségünk van valamilyen fizikai mennyiségekre és ezeknek megfelelő matematikai változókra. A 2.1 táblázat kiegészíthető nem villamos jelenségekkel is.

(elsősöknek nem ajánlott)

Ebben a pontban időben állandó jelenségekkel foglalkozunk. A cél az, hogy a 2.1 táblázatban megadott differenciális törvényekből (elosztott paraméterű modellből), koncentrált paraméterű modellt alkossunk.

A divergencia egyenleteket a Gauss–Osztrogradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével a vektor felületi integráljává alakítjuk át. A zárt felületet részekre bonthatjuk és az adott felületen a vektort egyszerűen kiátlagolhatjuk. Így jutunk el a koncentrált paraméterű Kirchhoff I. (csomóponti) törvényhez.

Elektrosztatika

Stacionárius (rezisztív) áramlási tér

Stacionárius mágneses tér

A rotáció egyenleteket a Stokes tétel segítségével a vektor vonal integráljává alakítjuk át. A zárt görbét görbeszakaszokra bonthatjuk és az adott görbeszakaszok mentén a vektort egyszerűen kiátlagolhatjuk. Így jutunk el a koncentrált paraméterű Kirchhoff II. (hurok) törvényhez.

Elektrosztatika

Stacionárius (rezisztív) áramlási tér

Mivel nem villamos eredetű, így nem szokás szerepeltetni a (2.9) Maxwell egyenletben. Ugyanakkor oka az elektronok áramlásának az áramkörben, vagyis oka az örvényességnek, ahogy egy szivattyú is keringetni tudja a folyadékot egy zárt csőhálózatban. Így célszerű figyelembe venni az örvényességre vonatkozó egyenletben. A szuperpozíció elvét kihasználva

Értelmezés

A szummában szereplő egy adott hosszegység végpontjai között mérhető feszültségkülönbség, ugyanakkor az értékhez tartozó távolságot nullának kell tekintenünk. Vagyis a szummában szereplő nullától különböző , illetve értékek mind villamos jellegűek, ezért azt mondhatjuk, hogy a külső elektromotoros erőből származó feszültséggel az áramkör villamos jellegű feszültségei tartanak egyensúlyt. Az ideális vezetőn belül az elektromos térerősség ugyancsak nulla. tipikusan egy akkumulátor (szárazelem) sarkai között üresjárásban mérhető feszültség különbség. Ha a szárazelemet terheljük, akkor a sarkain mérhető feszültség csökken a szárazelem belső villamos ellenállásán eső feszültség miatt. az összegzés jobb oldalán található, ezért általában ténylegesen az iránya ellentétes az áramkörben folyó áram irányával. Ezért tud az akkumulátoron belül az elektron a pozitív kimenettől a negatív kimenet felé vándorolni. Váltakozó áramú körökben az indukált feszültség -hez hasonló szerepet tölt be.

Stacionárius mágneses tér

-hez hasonlóan, úgy tekinthetjük, hogy az , magneses motoros erőt is egy nulla hosszúságú szakaszon iktatjuk be a mágneses körbe.

Ebben a pontban időben állandó jelenségekkel foglalkozunk, így a tároló elemek kívül esnek e pont tárgykörén. Az előző pontban egy adott felület részre, illetve görbeszakasz mentén kiátlagoltuk az aktuális vektoriális mennyiséget, ebben a pontban a kiátlagolás után egy adott térrészben mind a keresztmetszet mentén, mind egy hosszúság mentén homogén eloszlást feltételezünk, továbbá az anyagminőséget is azonosnak tekuntjük a tér minden pontjában, és ezért az adott térrészt egyetlen koncentrált paraméterel jellemezzük.

2.9.4.1. Elektrosztatika

Tegyük fel, hogy egy adott henger alakú térrészben minden pontjában az és vektorok a henger palástjával párhuzamosan azonos irányba mutatnak, nagyságuk a henger minden pontjában azonos, és , továbbá a henger anyaga homogén, permittivitása a tér minden pontjában azonos. Legyen a henger hossza , egy merőleges keresztmetszetének területe . Egy ilyen homogén elektrosztatikus tér csak egy kondenzátor fegyverzetei között alakítható ki.

2.5. ábra - Homogén elektromos tér

A homogén elektromos tér esetén (2.13) alapján:

(2.21)

A hengeren áthaladó villamos (eltolási) fluxus (2.15) és a hengeren eső feszültség (2.19) alapján

;

(2.22)

(2.21) egyenletet átalakítva kapjuk a kondenzátorokra vonatkozó ismert összefüggéseket

(2.23)

2.9.4.2. Stacionárius (rezisztív) áramlási tér

Tegyük fel, hogy egy adott henger alakú térrészben minden pontjában az és vektorok a henger palástjával párhuzamosan azonos irányba mutatnak, nagyságuk a henger minden pontjában azonos, és , továbbá a henger anyaga homogén és vezetőképessége . Legyen a henger hossza , egy merőleges keresztmetszetének területe .

2.6. ábra - Homogén stacionárius áramlási tér

Az elektromotoros erő hatását különválasztva, tisztán az elektromos térerősség hatására kialakuló áramsűrűség nagysága (2.14) alapján:

(2.24)

A hengeren átfolyó áram (2.16) és a hengeren eső feszültség (2.19) alapján

(2.25)

(2.24) egyenletet átalakítva kapjuk az ismert Ohm törvényt

(2.26)

Külön kell figyelembe venni az adott szakaszon esetlegesen megjelenő elektromotoros erő hatását, ennek megfelelően a henger általános helyettesítő kapcsolása a 2-7. ábraán látható.

2.7. ábra - Villamos helyettesítő kapcsolás

2.9.4.3. Stacionárius mágneses tér

Hasonló egyenletek írhatók fel mágneses tér esetén is

Tegyük fel, hogy egy adott henger alakú térrész minden pontjában az és vektorok a henger palástjával párhuzamosan azonos irányba mutatnak, nagyságuk a henger minden pontjában azonos, és , továbbá a henger anyaga homogén és mágneses permeabilitása . Legyen a henger hossza , egy merőleges keresztmetszetének területe .

2.8. ábra - Homogén mágneses tér

A gerjesztés (mágneses motoros erő) hatását különválasztva, tisztán az elektromos térerősség hatására kialakuló áramsűrűség nagysága (2.13) alapján

(2.27)

A hengeren áthaladó fluxus (2.17) és a hengeren eső gerjesztés (2.20) alapján

(2.28)

(2.27) egyenletet átalakítva kapjuk a mágneses Ohm törvényt

(2.29)

Külön kell figyelembe venni az adott szakaszon esetlegesen megjelenő gerjesztés (mágnesesmotoros erő) hatását, ennek megfelelően a henger helyettesítő kapcsolása a 2-9. ábraán látható.

2.9. ábra - Mágneses kör villamos helyettesítő kapcsolása

Két rendszer közötti analógia abból a tényből származtatható, hogy a rendszer működése hasonló alakú egyenletek segítségével írható le. Rendszerek közötti átjárhatóságról, analógiáról Harry F. Olson írt először (Dynamical Analogies, 2. kiadás, Van Nostrand, pp. 27–29, 1958) azzal a céllal, hogy segítséget nyújtson a mérnökök számára különböző rendszerek elemzéséhez és teljesítményeinek meghatározásához. Sok esetben a vizsgált rendszert kétpólusú, koncentrált paraméterű elemekből álló hálózatként írhatjuk le. Minden elemet egy paraméterrel, valamint az átmenő és keresztváltozó kapcsolatát leíró egyenlettel adhatunk meg. Az átmenő változó értéke a kétpólus két kivezetésén azonos, a keresztváltozó a két kivezetés különbségi értéke.

Definíció

Átmenő változó: Egy extenzív fizikai mennyiség rátája egy kétpólusra vonatkoztatva, ahol a kétpólusnak van egy belépő és egy kilépő felülete. Tipikus példa az elektronok, mint extenzív fizikai mennyiség áramlását leíró villamos áram, .

Értelmezés

A megmaradási tételből logikailag is levezethető, hogy ha egy adott térrészben nem változik egy adott extenzív fizikai mennyiség értéke, akkor a térrészt határoló felületen a be- és kiáramló extenzív fizikai mennyiség előjeles összegzése nullát ad. Elosztott paraméterű rendszerek esetén a divergencia egyenletből Gauss–Osztrogradszkij-tétel segítségével jutunk hasonló eredményre. Ebből vezethető le Kirchhoff I. (csomóponti) törvénye. Általánosságban kimondhatjuk: a koncentrált paraméterű modellek esetén az átmenő változók számítására a Kirchhoff I. törvényével analóg csomóponti egyenletet használhatjuk.

Definíció

Keresztváltozó: Az intenzív fizikai mennyiségnek egy kétpólus sarkain mérhető különbségét nevezzük keresztváltozónak. Tipikus példa a villamos feszültség, .

Értelmezés

Az elosztott paraméterű rotációs egyenletből a Stokes tétellel kaphatunk vonalintegrállal számított mennyiséget. A rotációból származtatott koncentrált paraméterű keresztváltozók közös jellemzője, hogy Kirchhoff II. törvényével analóg hurokegyenlet írható fel rájuk. Külön kell tárgyalni az örvénymentes mezőket, ezeket szokás potenciálos vagy konzervatív mezőnek nevezni.

A gráfelmélet a kombinatorika egy fontos ága, amelynek létezik tisztán halmazelméleti megközelítése. A műszaki életben azért népszerű, mert a gráfelméleti fogalmak szemléletesen megjeleníthetők, és a gráfokkal könnyen leírható az áramkörök, csőhálózatok topológiája. A gráfelméleti terminológiák csekély mértékben eltérnek a műszaki életben használt terminológiáktól, ezért a gráfelméleti tárgyalásnál mindkettőt megadjuk, a későbbi alkalmazási példáknál csak a műszaki terminológiákat használjuk. Ebben a megközelítésben a következő definíciókat vezethetjük be:

Gráfelméleti definíciók

2.10.1.1. Gráf:

Csúcsok (műszaki megfelelője: csomópontok) és élek (műszaki megfelelője: ágak) halmazának egymáshoz rendelése oly módon, hogy egy él két csúcsot köt össze és egy csúcshoz több él is csatlakozhat. A csúcsokat pontokkal, az éleket vonalakkal jelöljük (ld. 2-10. ábra). Rajztechnikailag előfordulhat, hogy két él a kétdimenziós papíron keresztezi egymás, valójában az élek csak egy csúcsban találkozhatnak.

2.10. ábra - Gráfok grafikai megjelenítése

2.10.1.2. Irányított gráf:

Olyan gráf, amelyben az élekhez irányt rendelünk, vagyis megkülönböztetjük az élek kezdő- és végpontját. (ld. 2-11. ábra). A továbbiakban csak irányított gráfokkal foglalkozunk.

2.11. ábra - Irányított gráf

2.10.1.3. Egyszerű gráf:

Olyan gráf, amelyben bármely két csúcsot legfeljebb egy él köt össze, továbbá nem tartalmaz olyan élt, amelynek a kezdete és vége is ugyanahhoz a csúcshoz csatlakozik (ld. 2-12. ábra). A továbbiakban az első eset előfordulását megengedjük, de kizárjuk a második esetet.

2.12. ábra - Hurokél

2.10.1.4. Részgráf:

Olyan gráf, amelyet úgy kapunk, hogy egy gráfból kiemelünk csúcsokat és éleket. (ld. 2-13. ábra).

2.13. ábra - Gráf és részgráfja

2.10.1.5. Út:

Olyan részgráf, amelyet úgy kapunk, hogy első lépésben a gráfból kiválasztunk egy élt és annak két végén található két csúcsot. Így egy út legalább egy élből és két csúcsból áll. Ezt tovább bővíthetjük úgy, hogy minden lépésben az utat bővítjük egy éllel és egy ahhoz csatlakozó csúccsal. Az élnek olyan csúcsból kell indulnia, amelyhez csatlakozó élek közül e lépést megelőzően csak egy szerepelt az út részgráfban, és az újonnan kiválasztott él másik vége egy olyan csúcs, amely korábban nem szerepelt az útban (ld. 2-14. ábra). Ebből következik, hogy ha egy gráfnak m db csúcsa van, akkor egy olyan útnak, amely tartalmazza a gráf minden csúcsát m-1 db éle van.

2.14. ábra - Gráf és egy út

2.10.1.7. Kör (műszaki megfelelője: hurok):

Olyan összefüggő részgráf, amelyben minden csúcshoz pontosan két él csatlakozik (ld. 2-15. ábra). Látható, hogy egy körből bármely élt elhagyva utat kapunk.

2.15. ábra - Gráf és egy kör

2.10.1.8. Fa:

Olyan összefüggő részgráf, amelyikben nincs kör, azaz bármely két csúcsa között csak egy út található (ld. 2-16. ábra). Az út a fának egy speciális este. A fa hasonlóan generálható, mint az út, az egyetlen különbség az, hogy amikor egy új éllel és csúccsal bővítjük a fát, akkor annak a feltételnek nem kell teljesülnie, hogy az élnek olyan csúcsból kell indulnia, amelyhez csatlakozó élek közül e lépést megelőzően csak egy szerepelt a fa részgráfban. Vagyis egy csúcsból tetszőleges számú él indulhat ki, ahogy az élő fatörzs is több felé ágazhat el.

2.16. ábra - Gráf és egy fája

2.10.1.9. Feszítőfa:

Egy összefüggő gráfban egy olyan fa, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza (ld. 2-17. ábra). A feszítőfára is igaz, hogy ha egy összefüggő gráfnak m db csúcsa van, akkor egy feszítőfának m-1 db éle van. Lineárisan független egyenletek generálásában fontos szerepe van a feszítőfának.

2.17. ábra - Gráf és egy feszítőfája

2.10.1.10. Vágat

Egy összefüggő gráfban az élek olyan halmaza, amelyet ha kiveszünk egy összefüggő gráfból az 2 független, de magában összefüggő gráfra esik szét (ld. 2-18. ábra). Más megközelítésben az összefüggő gráf csúcsait két részre osztjuk, és vesszük azokat az éleket, amelyek a két részt kötik össze. Speciális eset, amikor a csúcsokat úgy osztjuk szét, hogy az egyik részbe egy csúcs kerül, a másik részbe az összes többi.

2.18. ábra - Gráf és egy vágata

Ahogy a bevezetőben is említettük az itt leírt módszer a műszaki élet számos más területén is használható. A továbbiakban áttérünk a műszaki szóhasználatra.

Az első lépés a formális analógia alapján a hálózatgráf felrajzolása. Ehhez a csomópontokat és az azokat összekötő ágakat kell meghatároznunk. Az 2-1 és 2-2 feladatban találunk példát villamos áramkörök és hálózat gráfjára (ld. 2-23. ábra és 2-24. ábra).

Ha ismerjük a hálózat struktúráját, definiálhatjuk a hálózatot jellemző mátrixokat:

Hurokmátrix (Körmátrix): lineárisan független hurkokra vonatkozó információt tartalmazza. Többféleképpen felírható. Első lépésben kijelölünk egy feszítőfát. Ha a feszítőfához bármely fennmaradó ágat hozzávesszük, akkor garantáltan keletkezik egy hurok. A nem feszítőfa ágak kapják az alacsonyabb sorszámokat és a hurkokat úgy generáljuk, hogy veszünk egy nem feszítőfa ágat és megnézzük, hogy ez a faágakkal hogyan képez egy hurkot úgy, hogy a hurok irányítása egyezzen meg a hurokban szereplő nem faág irányításával. Ezt mátrixosan is felírjuk, úgy, hogy a mátrix oszlopai az egyes ágakat jelölik, a sorai a hurkokat. Az egyes hurkokban az ágakra vonatkozóan a következő értékeket írjuk

példa az 2-19. ábra alapján, ahol a kiválasztott feszítőfa élei pirosak :

Itt: Az 1, 2 és 3 ágak nem részei a feszítőfának. Egy adott sorban a nem feszítőfa ágak közül mindig egynek lesz az értéke 1, a másik kettőé pedig 0, így a hurokmátrixban kialakul esetünkben egy 3x3-as egységmátrix.

2.19. ábra - Lineárisan független hurkok generálása

Vágatmátrix: azt az információt tartalmazza, hogy az összefüggő mátrixot milyen ághalmazok kihagyásával lehet két részre osztani. Egy gráfot általában többféleképpen lehet két részre bontani, de ezek a felbontások nem mindig függetlenek egymástól. Lineárisan független vágatokat is a feszítőfa segítségével lehet generálni. A feszítőfa bármely ágát elvágva, két egymástól független, de külön-külön összefüggő részgráfot kapunk. A feszítőfával együtt az összes többi ágat is elvágjuk, amelyek összekötik a kialakuló két részgráfot. A vágatmátrixban az elvágott ágakat szerepeltetjük.

A vágatmátrixnak n-1 sora van (feszítőfa ágainak száma) és m oszlopa (ágak száma). A mátrixba írt értékek a következőképpen értelmezhetőek az elvágott ág iránya szerint:

példa az 2-20. ábra alapján, ahol a kiválasztott feszítőfa élei pirosak:

Itt: 4-5-6-7 a feszítőfa ágai. Az ezek közül éppen elvágott ág viseli az 1-es értéket közöttük, így egy egységmátrix alakul ki.

2.20. ábra - Lineárisan független vágatok generálása

Csomóponti mátrix: A vágatmátrix speciális esete. A lineárisan független vágatokat nem a feszítőfa segítségével generáljuk. Helyette az összefüggő gráfot úgy osztjuk két részletre, hogy a csomópontokat egyenként kiemeljük a gráfból, és az adott csomóponthoz tartozó ágakat vágjuk el.

A hurok és csomóponti egyenleteket szeretnénk felírni, a csomóponti mátrix és hurok mátrix segítségével. Legyen az ágak száma és a csomópontok száma , így a feszítőfa ágak (egyben a lineárisan független csomópontok, illetve vágatok) száma és a nem feszítőfa ágak (egyben a lineárisan független hurkok) száma .

Minden ágban van egy ellenállás (általános esetben impedancia) és azzal lehet sorba kapcsolva egy feszültség generátor vagy párhuzamosan egy áramgenerátor (ld. 2-21 ábra).

2.21. ábra - A k-adik ág feszültségeinek és áramainak jelölései

Az ágak, illetve az ellenállások áramát valamint feszültségét rendezzük egy-egy oszlopvektorba:

és , illetve és

Hasonlóan rendezzük egy-egy oszlopvektorba a generátor-feszültségeket és generátor-áramokat:

Az ellenállásokat rendezzük egy négyzetes mátrix átlójába:

Csomóponti mátrixot jelölje: ,

A hurokmátrixot jelölje:

Tegyük fel, hogy valamint ismert, és kiszámítandó és , így összesen ismeretlenünk van, vagyis egyenletre van szükség. Ohm törvény alapján egyenletet írhatunk fel. A csomóponti és hurok egyenletek száma , illetve . Ez összesen egyenlet.

A csomóponti és hurok egyenleteket mátrixos alakba rendezhetjük:

Az Ohm törvény mátrixos alakban:

(2.36) egyenletet átalakítva:

(2.37) egyenletet átalakítva és (2.38) behelyettesítéssel :

Mind (2.39), mind (2.40) egyenlet bal oldalán egy mátrixszal van megszorozva. Formálisan a mátrix inverzével kell balról beszorozni, hogy megkapjuk értékét. Ez a művelet akkor ad egyértelmű eredményt, ha a mátrix négyzetes. Az mátrix szorzóját úgy tehetjük négyzetessé, ha a (2.39) és (2.40) egyenleteket egymás alá írjuk

Most már nincs akadálya a mátrixinverziónak.

ismeretéeben a (2.38) Ohm törvény segítségével könnyen megkapható, de a fenti levezetéshez hasonlóan közvetlenül felírható. Ebben a kifejezésben megjelenik az ellenállás mátrix inverze. Mivel diagonális, így elemenként invertálható. Az impedancia reciproka az admittancia, amelynek a jele , ezért az ellenállás mátrix inverzét szokás admittancia mátrixnak nevezni és betűvel jelölni.

Felmerül a kérdés:mi a feltétele annak, hogy a (2.44) illetve (2.45) egyenletben található mátrixinverzió elvégezhető legyen. A mérnöki válasz: Ha egyetlen ellenállás, illetve admittancia értéke sem nulla, akkor az áramkör minden ágában kialakul egy áram és feszültség, a feladatnak egyértelműen megoldhatónak kell lennie. Így fizikai megfontolások alapján állítjuk, hogy az adott mátrixnak invertálhatónak kell lennie. Ezzel szemben, ha van két párhuzamosan kapcsolt olyan ág, amelyek különböző értékű feszültséggenerátort tartalmaznak és a velük sorba kapcsolt ellenállás értéke nulla, illetve van két sorban kapcsolt különböző értékű áramgenerátor és a velük páruzamosan kapcsolt ellenállás admittanciájának értéke nulla, akkor egy fizikailag értelmezhetetlen állapot alakul ki. Ezért a feladatnak matematikailag is megoldhatatlannak kell lennie.

Matematikailag az szükséges, hogy az invertálandó mátrix rangja legyen . Ha a csomóponti egyenletek helyett vágat egyenleteket írunk fel és a 2.10.3 pontban leírtak szerint sorszámozzuk az ágakat, akkor könnyen belátható, hogy az mátrixnak a második felében a mátrixnak az első felében van egy-egy egységmátrix (példaként ld. (2.33) és (2.34)). Ha a mátrixot meg szorozzuk az diagonális mátrixszal, akkor a mátrixban található 1-esek helyére az adott ág ellenállásának értéke kerül (természetesen a megfelelő előjellel), hasonlóan ha a mátrixot meg szorozzuk az diagonális mátrixszal, akkor a mátrixban található 1-esek helyére az adott ág admittanciájának értéke kerül (természetesen a megfelelő előjellel). Mindez nem befolyásolja a mátrix alapvető struktúráját, így ha az , illetve mátrix diagonáljában nincsenek nullák, akkor az invertálandó mátrix sorai garantáltan lineárisan függetlenek. Ha egy-két ellenállás értéke nulla, az nem jelenti automatikusan azt, hogy a mátrix nem invertálható. Az áramkörbe elhelyezhető néhány új ideális feszültséggenerátor, illetve áramgenerátor úgy, hogy az ne okozzon gondot. Az állítás csupán annyi, ha vannak olyan ágak, amelyekben nincs a feszültséggenerátorral sora kapcsolt nem nulla értékű ellenállás, illetve az áramgenerátorral nincs párhuzamosan kapcsolt nem nulla értékű admittancia, akkor tetszőleges elrendezésnél nem garantálható, hogy van egyértelmű megoldás. Így az adott mátrixok sem invertálhatóak.

2-1 feladat

Adott a 2-23. ábrán látható áramkör. Tegyük fel, hogy az összes ellenállás, valamint a feszültség generátor értéke ismert. ( , az ággal ellentétes irányítású). Számítsuk ki az összes ág áramát.

2.23. ábra - Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 4, 5 és 6)

Írjuk fel a hurok- és csomóponti mátrixot a 2-23. ábrán látható hálózatgráf alapján.

A feszültség generátorok oszlopvektora és az ellenállások diagonál mátrixa

A hurokellenállás mátrix

A hurokellenállás mátrixot invertálva

Mivel nincs áramforrásunk, ig (a generátoráram) kiesik a (2.55) képletből.

Megoldás:

2-2 feladat

Adott a 2-24. ábrán látható R-L-C áramkör. Tegyük fel, hogy az összes ellenállás, kondenzátor, induktivitás, valamint a váltakozó áramú feszültség és áramgenerátor értéke ismert. ( , ). Számítsuk ki az összes ág áramát.

2.24. ábra - Áramkör és hálózat gráfja a kijelölt feszítőfával (feszítőfa ágai 1 és 2)

Az egyes ágak impedanciái

Írjuk fel a hurok- és csomóponti mátrixot a 2-24. ábrán látható hálózatgráf alapján. A feszítőfa két ága az 1. és 2. ág.

A feszültség és áramgenerátorok oszlopvektora valamint az impedancia diagonál mátrixa

A hurokimpedancia mátrix

Ebben az esetben komplex értékű mátrixot kell invertálni. A hurokáramok

Az ágáramok

2-3 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Az ábrán látható ellenállás hálózat tartalmaz még egy állandó értékű ideális Ug feszültség- és egy Ig áramgenerátort. A generátorok helyzete az Ön sorszámától függ, ezért ezeket csak az ellenállás hálózat mellé rajzoltuk le.

2.25. ábra - Áramkör

Feladatok:

Adatok

Rk=k Ohm

Ug= sorszám*10 V Helye: sorba kapcsolva az Rn ellenállással, ahol n=1+Mod14(sorszám).

Ig= sorszám*10 A Helye: párhuzamosan kapcsolva az Rn ellenállással, ahol n=1+Mod14(sorszám).

Definíció

Ha bármely pillanatban a bemenőjelek pillanatnyi értékei egyértelműen meghatározzák az adott pillanatban a kimenőjelek értékeit, akkor statikus rendszerről beszélünk.

Értelmezés

A statikus rendszernek nincs memória jellege, nincs szükség a bemenőjelektől eltérő belső állapotok definiálására, sem a múltbéli, sem a jövőbeni történések nem befolyásolják a jelent. Ezekben a rendszerekben az idő nem jelenik meg. Lineáris statikus rendszerek esetében a bemenetek és kimenetek között algebrai egyenletek írhatók fel.

Idetartoznak az ellenállás hálózatok, ha a feszültség- és áramgenerátorok ismeretében az egyes ellenállások feszültségét és áramait számítjuk, a robotok kinematikai vizsgálatai, a digitális technikában a kombinációs hálózatok. Nem véletlen az elnevezés, idetartoznak a mechanika statikai problémái. Az erők, mint bemenetek hatására ellenerők, mint kimenetek alakulnak ki. Kicsit más a helyzet, ha lehajlásokat is kell számolni, mint pl. a szilárdságtanban. A lehajlások kialakulásához idő kell, de sok esetben bennünket csak a végállapot érdekel, és abban értelemszerűen az idő már nem játszik szerepet.

Definíció

A dinamikus rendszerek a valós fizikai rendszerek működésének időbeni lefolyását is leírják, jellemzően idő szerinti differenciálegyenletek segítségével. Memória jelleggel rendelkeznek és ennek különböző formái lehetnek.

Értelmezés

Példaként könnyen beláthatjuk, hogy ha egy autót, mint rendszert vizsgálunk úgy, hogy bemeneteinek a gáz és fékpedál helyzetét tekintjük, akkor e bemeneti értékek egy adott pillanatbeli értékéből (az autó további paramétereinek ismeretében) az autó gyorsulása az adott pillanatban kiszámítható. Vagyis ha a fék és gázpedál a rendszer bemenete, valamint a gyorsulás a kimenet, akkor statikai egyenletet kapunk. Ezzel szemben, ha a kimenetnek a gyorsulás helyett a sebességet, vagy az elmozdulást választjuk, akkor ismernünk kell a múltbeli történéseket. Pusztán pl. a fékpedál egy pillanatbeli helyzetéből nem tudjuk kiszámítani az aktuális sebességet, illetve helyzetet. Tudnunk kell, hogy milyen sebességről indultunk, és mennyi ideje nyomjuk a féket. Külön kell kezelni az időkésleltetett dinamikus rendszereket. Legegyszerűbb esetben , ahol az időkéseltetés nagysága. Az időkésleltetett rendszerekkel külön fejezetben foglalkozunk. A dinamikai egyenletek felírása előtt további fogalmakat kell bevezetnünk

Mind a mintavételezési idő, mind a kvantálási határok megválasztásánál tekintettel kell lennünk arra, hogy a rendszer jelei milyen gyorsan és milyen mértékben változnak.

Definíció

Az időinvariáns rendszer esetén, ha a rendszer egy gerjesztésre adott válasza , akkor az időben eltolt gerjesztésre adott válasz is egyszerű időbeni eltolással megkapható (ld. 2-26. ábra).

Értelmezés

Más megközelítésben az időinvariancia azt jelenti, hogy a rendszer válasza nem függ attól, hogy mikor adtuk a rendszerre a gerjesztést. Ez természetesen nem mondható el egy változó paraméterű rendszerről, amelyet időben változó (idővariáns) rendszernek nevezünk.

2.26. ábra - Időinvariáns rendszer

Az időinvarianciával rokon fogalom az autonómia.

Definíció

Matematikai értelemben akkor beszélünk autonóm rendszerről, ha a rendszer működését ún. autonóm differenciálegyenlet-rendszerrel lehet leírni. A alakú közönséges differenciálegyenlet-rendszert akkor nevezzük autonómnak, ha jobb oldala nem függ közvetlenül az időtől (azaz a változótól), vagyis átírható a következő alakúra: .

Értelmezés

Az autonóm differenciálegyenletek számos olyan tulajdonsággal rendelkeznek, ami miatt érdemes ezt a megkülönböztetést megtenni. A fenti megfogalmazásban nincs szó a bemenetről, e fogalom a rendszer aktuális működésére vonatkozik, amelynek a bemenőjel is része. Műszaki nyelvre lefordítva az autonóm rendszer azt jelenti, hogy sem maga a rendszer, sem a külső hatások nem változnak az időben. A rendszertechnikában a rendszert úgy definiáltuk, mint a bemenő- és kimenőjel közötti matematikai kapcsolatot, és ez ilyen formában független a gerjesztés minőségétől. Vagyis az időinvariancia magára a rendszerre vonatkozó és a bemenőjeltől független fogalom, az autonómia a működésre vonatkozik, és ezért függ a bemenőjeltől. Csak egy időinvariáns rendszer működhet autonóm üzemmódban, ennek az a feltétele, hogy a bemenőjel konstans legyen. Pl. egy magára hagyott időinvariáns rendszert leíró differenciálegyenlet lehet autonóm. Ha a bemenőjel időben változik, akkor a rendszer működése nem lehet autonóm.

Ismételten nem az a kérdés, hogy maga a valós fizikai rendszer időinvariáns-e/autonóm-e vagy sem, kérdés az, hogy miként írjuk le. Szigorúan véve a legtöbb valós fizikai rendszer idővariáns, mert az öregedés, kopás és végül a tönkremenetel idővariánssá teszi azt.

Itt visszautalunk a 2.6. fejezetre. Ha az áramot bemenőjelnek, a feszültséget kimenőjelnek tekintjük, akkor a (2.6) által definiált rendszer nemlineáris, de autonóm, a (2.7) által definiált rendszer lineáris, de nem autonóm.

Tegyük fel, hogy R(t) kiszámításakor azt feltételeztük, hogy a motort a t=0 időpillanatban kapcsoltuk be, és ehhez tartozik egy i(t) áram, mint bemenőjel és , mint kimenőjel, valamint R(t), mint a rendszer egyetlen paramétere. Ha a motort nem a t=0 időpillanatban kapcsoljuk be, akkor ez az áramnak, mint bemenőjelnek az időbeni eltolását eredményezi (feltételezve, hogy az egyéb működési körülmények nem változnak). Ha ehhez az időben eltolt i(t-τ) bemenőjelhez az eredeti (időben nem eltolt) rendszert, nevezetesen az R(t) együtthatót használjuk, akkor triviális, hogy a rendszer válaszát nem kaphatjuk meg egyszerű időeltolással. Röviden, ha , akkor a speciális esetektől eltekintve .

Az állapot szót köznapi értelemben is gyakran használjuk és megjelenik több különböző tudományterületen is, így az állapot szónak több különböző értelmezése létezik. Az állapot rendszerelméleti megközelítésénél a dinamikus rendszerek definíciójából indulunk ki, miszerint azok memória jelleggel rendelkeznek, ezt a memóriát többféleképpen meg lehet valósítani, általánosságban a következőt lehet kimondani.

Definíció

Az állapot a múlt összesített hatása. A rendszer állapotának a következő két tulajdonsággal kell rendelkeznie

Az állapotváltozók az állapot egyértelmű leírására szolgálnak.

Értelmezés

Különösen a német szakirodalom megkülönbözteti az állapotjelző és állapotváltozó fogalmát. Az állapotjelző mindig valamilyen energiához tartozó valós fizikai változó, amely közvetlenül vagy közvetve az adott energia nagyságát írja le. Az extenzív és intenzív fizikai változók egyaránt lehetnek állapotjelzők, ha valamilyen tárolóelemhez köthető mennységet írnak le, ezért maga az állapotjelzővel leírt tárolt mennyiség mindenképp additív, vagyis az állapotjelzőkre vonatkozó összegződés és kiegyenlítődés említése zavaró lehet, ez a két kifejezés maradjon meg magára a fizikai változóra. Az állapotváltozókat tágabb értelemben használjuk. Megválasztásában viszonylag nagy szabadságunk van, az egyetlen feltétel, hogy a definícióban megadott két feltételt teljesítsük. A német rendszertechnika könyvekben minden állapotjelző egyben állapotváltozó, de nem minden állapotváltozó állapotjelző. Ezért az állapot fogalma széles körben alkalmazható. Az állapotváltozókat nem kell konkrét fizikai mennyiséghez, illetve energiához kötni, de a definícióból következően mindenképp valamilyen általánosított tároló elemhez kötjük. Ezért felmerül a következő kérdés: minimálisan hány állapotváltozóra van szükség egy rendszer állapotának leírására?

Definíció

Egy rendszer állapotának egyértelmű leírásához minimálisan szükséges állapotváltozók számát a rendszer dimenziójának szokás nevezni.

Értelmezés

Az állapotváltozók valamilyen általánosított értelmű tárolóelemekhez köthetők, és az állapot a diszkrét idejű rendszereknél valamilyen összegzés, a folytonos idejű rendszereknél integrálás eredménye. Egy dinamikai rendszerben az elmozdulás is lehet állapotváltozó, itt a tároló jelleg abból adódik, hogy a nulla ponttól mért távolságot tároljuk és az is világosan látszik, hogy a nulla ponttól mért távolság kis elmozdulások összegzéséből határozható meg. Tovább gondolva, ebből következik, hogy a rendszeregyenleteket a diszkrét időben differencia, a folytonos időben differenciálegyenletekkel írjuk le. A differenciálegyenletek rendszáma megegyezik a tárolóelemek számával. A véges dimenziójú rendszereknél véges számú tároló elem van. Szokás a rendszer dimenzióját a tároló elemek számával megadni. Pl. a későbbiekben külön foglalkozunk egy- és kéttárolós rendszerekkel. A továbbiakban csak véges dimenziójú rendszereket tárgyalunk.

Sokszor olyan fizikai változókat leíró jeleket választunk állapotváltozónak, amelyek valamilyen energiával, vagy annak változásával hozhatók kapcsolatba, ezek az állapotjelzők. Számtalanszor az állapotváltozónak nincs semmilyen fizikai megfelelője, ezek az állapotváltozók. A 2.9.1 pontban definiált Á-típusú tárolók átmenő változóját, a K-típusú tárolók keresztváltozóját célszerű állapotváltozónak választani. A P-típusú elem nem tárol, így ehhez kapcsolódóan nem tudunk állapotváltozót definiálni. Természetesen mindig a valós fizikai rendszerből indulunk ki, és először a valós fizikai rendszer egyenleteit írjuk fel, de sok esetben az így természetes módon felírt egyenletek rendszertechnikai szempontból nem elég rendszerezettek. A természetes módon felírt egyenletek általában magukra a jelenségre koncentrálnak. A rendszertechnikai szemléletben a konkrét beavatkozás és annak hatása, vagyis a bemenőjel és a kimenőjel áll a fókuszban és e két jel között kívánunk matematikai kapcsolatot teremteni. Amikor az alapjelenségből felírjuk az adott problémában szereplő be- és kimenőjel közötti matematikai kapcsolatot, akkor a matematikai egyszerűsítések miatt a fizikai tartalom a konkrét leírásból elveszhet, de pont az a cél, hogy a fizikai jelenségtől független, egységesen használható matematikai eszköztárat alapozzunk meg.

2.12.1.1. Diszkrét állapotú rendszerek

A diszkrét állapotú rendszerek esetén az állapotbeli változások nem az időben folytonosan, hanem egy-egy esemény hatására ugrásszerűen mennek végbe. A digitális technikában a szekvenciális hálózatok tipikusan idetartoznak, ahol minden logikai változó csak két különböző érték egyikét veheti fel.

A legegyszerűbb példa egy olyan fűtésszabályozás lehet, ahol két állapot (fűtés bekapcsolva és fűtés kikapcsolva) között a szerint váltunk, hogy a szoba hőmérséklete nagyobb-e a felső hőmérsékleti korlátnál, vagy kisebb-e a alsó hőmérsékleti korlátnál (ld. 2-27. ábra). (Természetesen )

2.27. ábra - Fűtésszabályozó diszkrét állapotai

Kicsit összetettebb példa lehet egy jegykiadó automata. Be kell dobni a pénzt, majd meg kell nyomni egy gombot és az automata kiadja a jegyet. A legegyszerűbb esetben csak egyfajta pénzt fogad el az automata (legyen ez a 100 Ft-os), minden más pénzérme átesik az automatán és azokkal az esetekkel nem foglalkozunk, továbbá a jegy ára 100 Ft, vagyis a 100 Ft bedobása után jár a jegy. Az automatának két állapota van, és kétféle esemény következhet be mindkét állapotban (ld. 2-28. ábra).

2.28. ábra - Jegykiadó automata diszkrét állapotai

A „várakozás” állapotban hiába nyomkodjuk a gombot, nem történik semmi. Ha bedobunk egy 100 Ft-os érmét, akkor átkerülünk a „kiadásra kész” állapotba. A „kiadásra kész” állapotban, ha megnyomjuk a gombot, akkor az automata kiadja a jegyet és visszakerülünk a „várakozás” állapotba. A „kiadásra kész” állapotban maradunk, ha újabb pénzt dobunk be. Ez a pénz így elveszett. Nyilvántarthatjuk, hogy hány pénzt dobtak be, de ahhoz egy számláló kell, amely további állapotok bevezetését igényelné. Pl. bevezethetnénk a „kétjegy kiadására kész” állapotot, de ekkor a „kiadására kész” állapot nevét is célszerű pontosítani (ld. 2-29. ábra), és ez a sor folytatható.

2.29. ábra - Jegykiadó automata bővített diszkrét állapotai

Egy más jellegű bővítést jelent, hogy ha azt is figyelembe akarjuk venni, hogy időnként a jegy kiadása nem sikerül. Visszatérve a 2-28. ábrahoz, ha a „kiadásra kész” állapotban megnyomjuk a gombot, akkor az automata megpróbálja kiadni a jegyet. Ha sikerül a jegykiadás, akkor visszakerülünk a „várakozás” állapotba, ha nem, akkor „kiadásra kész” állapotban maradunk. Így egy eseménynek bizonyos valószínűséggel két kimenetele lehet. Ebben a példában a valószínűséget a hibás működés hozza be, de bizonyos esetekben a működés lényeges tulajdonsága, hogy egy esemény kimenetele véletlenszerűen alakul.

A 2-28. ábraához nagyon hasonlóan írhatunk le egy nyerő automatát. Első lépésben a jegyet a nyereménnyel helyettesítjük (ld. 2-30. ábra).

2.30. ábra - Egy nyerő automata diszkrét állapotai

A legnagyobb különbség abban rejlik, hogy a pénz bedobásával nem minden esetben kerülünk át a nyeremény „kiadásra kész” állapotba. Ennek van valamekkora valószínűsége (esetünkben 10%), de a pénz bedobása nem determinálja az állapotváltást, vagyis ez nem egy determinisztikus rendszer. Ebben a példában a nyeremény összege fix. A 2-30. ábraán figyelembe vettük azt is, hogy a nyeremény kiadását valami megakadályozhatja (az esetek 1%-ában), de ekkor nem akarjuk elvenni a nyereményt.

2.12.1.2. A modellek kategorizálásának néhány problémája

Az előző példában a sztochasztikus jelleget megvalósíthatjuk úgy, hogy minden pénzbedobás után generálunk egy egyenletes eloszlású véletlen számot 0 és 1 között. Ha azt szeretnénk, hogy a nyerési esély 10% legyen, akkor 0 és 1 között kijelölünk egy 0.1 hosszúságú intervallumot. Ha a generált véletlenszám ebbe az intervallumba esik, akkor a „várakozás” állapotból átlépünk a „kiadásra kész” állapotba. Ha nem az adott intervallumba esik a generált szám, akkor nem változik az állapot. Az ilyen rendszereket joggal nevezzük sztochasztikusnak. Vannak olyan esetek, amikor nem teljesen egyértelmű, hogy a rendszer determinisztikus vagy sztochasztikus-e. Az előző példában számlálhatjuk, hogy eddig hányszor dobtak be pénzt az automatába, és egy előre meghatározott számsor szerint döntjük el, hogy hányadik pénzbedobó fog nyerni. Ekkor a rendszerünk determinisztikus, de a felhasználó számára sztochasztikusnak tűnik. Itt meg kell jegyezni, hogy maga a számláló is egy végesállapotú rendszer. Ha előre eldöntjük, hogy pl. az első 1000 pénzbedobás közül, melyik fog nyerni, akkor ezzel 1000 állapotot definiálunk. Sok esetben egy bonyolult determinisztikus rendszert egy lényegesen egyszerűbb struktúrájú sztochasztikus rendszerrel írunk le. Bizonyos bonyolult és összetett részek pontos működését statisztikákkal modellezzük.

Sok esetben ugyanazt a fizikai rendszert leírhatjuk néhány diszkrét állapottal, vagy folytonos értékű állapotváltozóval. Példaként egy gyomor állapotát leírhatjuk a két legfontosabb állapottal, jóllakottsággal és éhséggel. Az egyik állapotból a másikba egy-egy esemény bekövetkeztével jut a rendszer. Az éhes állapotból az evéssel lehet a jóllakott állapotba kerülni, és elegendő idejű nem evéssel vissza az éhségbe. Más megközelítésben, a gyomor telítettségére bevezethetünk egy folytonos állapotváltozót, amely értékét a bevitt és a megemésztett táplálék különbségének integráljával számíthatjuk (ld. 2-31. ábra).

2.31. ábra - Diszkrét állapotok és folytonos értékű állapotváltozó

2.12.1.3. Véges dimenziójú rendszerek

Az állapotváltozós leírás nagy előnye az, hogy használható nemlineáris, idővariáns (nem autonóm) MIMO rendszerek esetén is

	(2.95)
	(2.96)

ahol az állapotváltozók vektora, a beavatkozó jelek vektora, a zavaró jelek vektora, a kimenőjelek vektora, a rendszer működését leíró függvény, kimenőjelet leképező függvény.

A rendszer általános definíciójában (ld. 2.1 pont) a rendszerre vonatkozóan nem szerepelt az idő, a 2.1 pontban megadott definíció nem nyilatkozik arról, hogy maga a rendszer időben változó-e vagy változatlan. Természetesen a be- és kimenőjelek a rendszertől függetlenül időben változhatnak. Ezzel szemben a dinamikai rendszereknél az idő a rendszerre vonatkozóan is fontos szerepet tölt be. Akár közvetlenül is megjelenhet a rendszeregyenletben (ld. változó paraméterű rendszerek), de a memória jelleg csak egy időintervallumban értelmezhető. A memória jelleg miatt a rendszert elvileg az idők kezdetétől meg kellene figyelni, de pont ennek elkerülésére vezettük be az állapot fogalmát. Általában a rendszereket csak egy meghatározott T0 időponttól kezdődően ( tartományban) vizsgáljuk. A legtöbb esetben az egyszerűség kedvért T0=0. A múlt hatását az állapotváltozók kezdeti értékében összegezzük. Ennek fényében a rendszer általános egyszerűsített ábráját (ld. 2-2. ábra) is ki kell egészíteni és a (2.95)-(2.96) rendszer is kiegészítendő az kezdeti értékkel. Tekintettel kell lenni az időre (ld. 2-32. ábra).

2.32. ábra - Dinamikus rendszer általános állapotváltozós ábrázolása időtartományban

Megjegyzések:

• Sok esetben a rendszer minden állapotváltozóját mérni tudjuk, ekkor

• Sok esetben ún. energiamentes kezdeti állapotból indulunk ki, vagyis az állapotváltozók kezdeti értéke nulla. Ha az bemenetet külön nem jelöljük, illetve nem adjuk meg, akkor az azt jelenti, hogy energiamentes állapotban kezdődik a rendszer vizsgálata. Időinvariáns rendszerek esetén nincs szükség a bemenetre. Sokszor a zavaró jelet is elhanyagoljuk, és nem rajzoljuk fel az ábrára.

• 

  is lehet nulla, ekkor a magára hagyott rendszerről beszélünk.

• 2.9.1. pont alapján sok fizikai jelenség leírásában nagy szerepet játszik egy vektormező divergenciája és rotációja.

A divergenciából származtatott (általános értelmű áramlással kapcsolatos) változók esetén Kirchhoff I. törvényével analóg csomóponti egyenletet kapunk.

A rotáció a vektormező örvényességére, vagyis az áramlások okára vonatkozik. A tér minden pontjához egy vektor rendelhető. A rotációból származtatott fizikai változók közös jellemzője, hogy Kirchhoff II. törvényével analóg hurokegyenlet írható fel rájuk. A csomóponti és hurok egyenletek általában nem tekinthetők állapotegyenletnek, de alapjai lehetnek egy analóg számítási módszer leírásának. Ezzel a 2.9.1. pontban foglalkozunk.

• A termodinamikában nem szokás a (2.95) alakú állapotegyenleteket felírni, továbbá állapotváltozó helyett az állapotjelző fogalmát használják, mert az egyenleteikben mindig valamilyen energiához tartozó valós fizikai változó jelenik meg. A termodinamikában definiált állapot az adott fizikai jelenség egy pillanatfelvétele, amelyet az intenzív és extenzív állapotjelzőkkel írnak le. Az előbbiek homogén eloszlása sok esetben a termodinamikai rendszer stabil egyensúlyát jelentik. Ezt úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az intenzív változók kiegyenlítődésre törekednek és ez kiváltója valamilyen anyag, illetve energiaáramlásnak. Az extenzív mennyiségek általában a rendszer anyag-, illetve energiamennyiségével arányosak.

Ha f folytonos és az állapotváltozók értéke egy T0 időpillanatban ismert, akkor a (2.95) egyenlet állapotváltozóra vonatkozó megoldása a következő alakot ölti.

(2.97)

Az egyszerűség kedvéért . Ha relé típusú bemenőjelet is megengedünk, akkor -re nézve nem lesz mindenütt folytonos ( –re nézve megmarad a folytonosság). A legtöbb gyakorlati esetben a (2.95) egyenletből kifejezhető (2.97) alakban, ennek feltétele az, hogy teljesítse az ún. Carathéodory-feltételeket (-nek integrálhatónak kell lennie). Ez a feltétel változó struktúrájú rendszerek esetén nem mindig teljesül. A későbbiekben folytonosságát nem követeljük meg.

A dinamikus rendszerekre jellemző memória jelleg legközvetlenebbül a diszkrét idejű ún. ARMA rendszereknél figyelhető meg.

Definíció

Azt feltételezzük, hogy a kimenőjel a k-adik időlépésben függ a kimenőjel utolsó n értékének lineáris kombinációjától (autoregressziójától (AR)), valamint a bemenőjel utolsó r értékből számított mozgó átlagától (MA). (ld. 2-33. ábra). A mindkét típusú emlékezettel rendelkező rendszereket szokás ARMA rendszereknek nevezni.

2.33. ábra - ARMA rendszer

A 2-33. ábrak megfelelő ARMA rendszert a (2.98) alakú egyenlettel írhatjuk le.

Ebben a formában a rendszernek n+r számú belső tároló elemmel kell rendelkeznie (ld. 2-33. ábra). Egy-egy tároló elem tartalmát matematikai értelemben változónak, rendszertechnikai értelemben jelnek kell tekinteni. Ennek megfelelően a múlt összesített hatását db értékkel tudjuk megadni. Így, ha ismerjük a kimenőjel db egymás utáni (kezdeti) értékét, valamint ugyanezen időpontok közül az utolsó db időponthoz tartozó és jelenlegi bemenőjel értékét, akkor az kimenőjel (2.98) segítségével lépésről lépésre kiszámítható.

Megjegyzések:

1. Ha , az azt jelenti, hogy a bemenőjel a dinamikus rendszert megkerülve közvetlenül is hat a kimenőjelre,

2. A fizikai megvalósíthatóság feltétele .

3. Matematikai átalakításokkal (2.98) átrendezhető úgy, hogy elegendő legyen legfeljebb n db belső tároló elem.

A későbbiekben a MATLAB Simulink szimulációs szoftvert használjuk. A 2-33. ábra ARMA rendszerének MATLAB Simulink megfelelője a 2-34. ábran látható.

2.34. ábra - ARMA rendszer MATLAB Simulink megfelelője és esetén

Az irányításelméletben az időtartománybeli vizsgálatok esetén a (2.95) és (2.96) forma helyett a mátrixos formalizmuson alapuló az ún. állapottér-leírás a legelterjedtebb. Lineáris és időinvariáns (ún. LTI) rendszerek esetén ez az átalakítás könnyen megtehető. Az állapotváltozókat, a be- és kimenőjeleket egy-egy oszlopvektorba rendezzük, így (2.95) és (2.96) helyett két mátrixegyenletet kapunk. Egy LTI rendszer állapottér-egyenletei a következő alakúak.

ahol az állapotváltozók oszlopvektora, a bemenetek oszlopvektora, a kimenetek oszlopvektora , és a rendszert leíró konstans elemű mátrixok. A (2.99) és (2.100) egyenletek szokásos grafikai megjelenítése a 2-35. ábrán látható.

2.35. ábra - grafikus megjelenítése

A mátrixos formalizmus nagymértékben megkönnyíti a rendszerrel kapcsolatos számításokat és tervezési feladatok megoldását, azok lineáris időinvariáns esetre nagyon jól kidolgozottak. A 2.6 fejezetben láttuk, hogy a nemlineáris rendszerek is valamilyen kompromisszummal és megkötésekkel (illetve a működéssel kapcsolatos további ismeretek beépítésével a modellbe) kezelhetők lineárisként. Ilyen kompromisszum eredménye a lineáris időben változó rendszerek. Az általános rövidítése, az angol név alapján LTV (Linear Time Varying).

ahol az állapotváltozók oszlopvektora, a bemenetek oszlopvektora, a kimenetek oszlopvektora , és a rendszert leíró mátrixok, amelyek elemei között van olyan, amelyik időben változik .

A kilencvenes években került a kutatók érdeklődésének középpontjába a lineáris változó paraméterű rendszerek. A rövidítés itt is az angol névből származik LPV (Linear Parameter Varying)

ahol az állapotváltozók oszlopvektora, a bemenetek oszlopvektora, a kimenetek oszlopvektora , és a rendszert leíró mátrixok, amelyek elemei között olyan, amelyik értéke egy paramétertől függ.

Az állapottér reprezentáció egyre szélesebb körben használható.

A teljesítményelektronikai berendezések tipikusan a változó struktúrájú rendszerek (Variable Structure System: VSS) csoportjába tartoznak. A teljesítményelektronikai berendezések egyik legjellemzőbb közös tulajdonsága a kapcsoló üzemmód, vagyis a teljesítményelektronikai berendezésekben található félvezető elemeket ki- vagy bekapcsolhatjuk a veszteségek csökkentése érdekében, hiszen ha a kapcsolóelemnek vagy a feszültsége vagy az árama közel nulla, akkor a vesztesége is közel nulla. A változó struktúrájú rendszerek néhány érdekes szabályozástechnikai tulajdonsággal rendelkeznek. Ezt azért kell kiemelnünk, mert a változó struktúrájú rendszerek bizonyos eseteiben a (2.95) egyenletből nem fejezhető ki (2.97) alakban. A problémát az okozza, hogy létezik olyan szabályozási stratégia, amikor a félvezetőelemekkel előállított bemenőjel minden időpillanatban átkapcsol, ezért , ebből következően sehol sem lesz folytonos és nem integrálható, így (2.97) sem létezhet. Természetesen egy valóságos rendszernél ez nem fordulhat elő, ennek ellenére ez az idealizált állapot fontos szerepet játszik a szabályozáselméletben. Gondoljunk arra, hogy a teljesítményelektronikai eszközök mindig kapcsoló üzemmódban működnek. Ilyen esetekkel későbbi tananyagokban külön foglalkozunk. Ekkor a differenciálegyenletek klasszikus elmélete helyett az ún. jobb oldalán nem folytonos differenciálegyenletek elméletét kell alkalmazni.

Egy VSS akkor is lehet aszimptotikusan stabilis, ha a VSS –t alkotó valamennyi struktúra önmagában instabil. A VSS további fontos tulajdonsága, hogy – megfelelő szabályozással ellátva – olyan állapotba kerülhet, amikor a rendszer dinamikája az eredetihez képest csökkentett szabadságfokú differenciálegyenlettel írható le. Ebben az állapotban a rendszer elméletileg teljesen független bizonyos típusú paraméterek változásától és bizonyos típusú külső zavarok (pl. nemlineáris terhelés) hatásától. Ezt az állapotot csúszómódnak (sliding mode) és az erre alapozott szabályozást csúszómód-szabályozásnak nevezik, ami kiemelten fontos szerepet játszik a teljesítményelektronikai eszközök szabályozása területén.

Diszkrét időből folytonos időbe kétféle megközelítéssel lehet átlépni. A diszkrét időben lépésről lépésre végzett számítás helyett folytonos időben az integrálás műveletére van szükség. Ez elvezethet az integrális alakhoz, amely a (2.98) egyenlethez hasonlóan közvetlenül megadja az y(t) időfüggvényt. Általában az integrális alakot az időtartományban nem használjuk. Írjuk át a (2.98) egyetletet a következő alakra

Egy másik megközelítésben, ha ismerjük egy változó két egymást követő értékét és az időlépést, akkor ismerjük a differenciahányadost, ha egy harmadik értéket is ismerünk, akkor két egymást követő differenciát is ismerünk, és ebből eggyel magasabbrendű differenciahányadost is kiszámíthatunk. A (2.105) egyenletben az kimenőjelnek összesen n+1 számú és az bemenőjelnek összesen r+1 számú egymás utáni értéke szerepel. esetre: van 3+1 db értékünk, 3 db differenciahányadosunk, 2 db differenciahányadosok differenciahányadosa és végül 1 db differenciahányados, melyet differenciahányadosok differenciahányadosából kapunk (ld. (2.106)).

Ha , akkor (2.105) helyett (2.106) alapján egy harmadrendű differenciálegyenletet írhatunk fel. Ha az előbbi elvet követjük, akkor általános esetben a kimenőjelnek n-ed és a bemenőjelnek r-ed rendű differenciahányadosát tudjuk felírni. A folytonos időben a differenciahányados megfelelője a differenciálhányados, így (2.98) (pontosabban (2.105)) megfelelője a folytonos időben az alábbi típusú differenciálegyenlet:

ahol az idő szerinti i-edik deriváltat jelöli. Az általánosságot nem csökkenti, ha az feltételezéssel élünk. A fizikai megvalósíthatóság feltétele folytonos időben is . Bármely lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszer átírható (2.107) alakúra.

Később látni fogjuk a (2.107) alakú felírás előnyét, de a mögöttes fizikai tartalom értelmezése ebben a formában nehézkes. Ismert, hogyha egy valós fizikai rendszer működését a fizikai törvényekből kiindulva n db lineáris, állandó együtthatójú elsőrendű differenciálegyenletből álló egyenletrendszerrel írhatjuk le, akkor az átírható egyetlen n-ed rendű differenciálegyenletté. Ebben az átírásban a közvetlen fizikai tartalom általában elvész. Képzeljük el, hogy van egy motor, az egy rugalmas tengelyen keresztül mozgat egy terhet, és bennünket a teher fordulatszáma érdekel, azt választjuk kimenőjelnek. A fizikából kiindulva a motor tekercsének áramára, a motor forgórészének mozgására, a tengely deformálódására és a deformációból a teher mozgására (ld. 2-16-2-19 feladatok). Ha az egyenleteket átírjuk (2.107) formára, akkor nyilvánvalóan a teher fordulatszámának n-edik deriváltja nem lesz azonos pl. a motor áramával.

Még két alapvető problémáról kell szólni (2.107) kapcsán.

A továbbiakban a (2.107) alakú differenciálegyenletekkel leírható rendszerekkel fogunk foglalkozni. Ha r-szeres differenciálhatóságát szigorúan vesszük, és nem akarjuk a rendszereinket túlzottan elbonyolítani, akkor olyan egyszerű működést sem tudunk vizsgálni, hogy valamit be- és kikapcsolunk, vagy a valós fizikai rendszerben valamire kalapáccsal ráütünk. Egy pontosabb modellel ezek a problémák elvileg megoldhatók, figyelembe vehetjük, hogy egy motor bekapcsolásakor a tekercsben az áram hullámként kb. fél fénysebességgel terjed, a kalapács és megütött anyag az ütéskor egy kicsit deformálódik és valójában nem pillanatszerűen csökken a kalapács sebessége nullára. Ha a rendszert nem akarjuk szükségtelenül elbonyolítani, de az alapvető működések vizsgálatáról sem akarunk lemondani, akkor a matematikához kell fordulnunk. Ahhoz, hogy egy nem folytonos függvényt deriválni tudjunk, a függvény fogalmát ki kell terjeszteni. A kiterjesztett értelmű függvény neve disztribúció, amely a hagyományos függvényfogalommal szemben szingularitásokat is megenged (pontos definíciót ld. később).

Definíció

Ha majdnem mindenütt folytonos, akkor az általános értelmű deriváltja az az disztribúció, amely kielégíti a (2.108) egyenletet.

ahol az integrálás alsó határánál a azt fejezi ki, hogy az integrálást úgy kell elvégezni, hogy esetleges szakadását a időpillanatban figyelembe tudjuk venni. Ez egyben azt is jelenti, hogy meg kell különböztetni a kezdeti érték jobb és baloldali határértékét.

Értelmezés

Tegyük fel, hogy az időfüggvény folytonos, az idő szerint differenciálható és felírható a következő alakban

Ha folytonos és függvény kezdeti értéke a T0 időpillanatban az ismert érték (a múltbeli változások összesített hatása), akkor (2.108) megoldása a (2.108) alakot ölti. és az a cél, hogy (2.108) akkor is megoldása legyen a (2.108) differenciálegyenletnek, ha sem sem folytonosságát nem írjuk elő. Ha megengedjük, hogy az időfüggvénynek szakadása legyen, akkor ez a szakadás a T0 időpillanatban is lehet. Ez azt jelenti, hogy a kezdeti érték fogalmát is pontosítanunk kell.

Definíció

Az nem folytonos függvény T0 időpillanatbeli kezdeti értékén az függvény T0 időpillanatbeli baloldali határértékét értjük.

Értelmezés

Mérnöki terminológiával ez bekapcsolás előtti értéke. Megjegyezzük, hogy minden olyan függvény, amely bármely véges szakaszon integrálható, értelmezhető disztribúcióként, és akkor deriválható is, mint disztribúció. Akkor van gond, ha nem integrálható, mert pl. minden pontjában szakadása van. Természetesen a valóságban ilyen nem fordulhat elő, de egy amúgy jól használható egyszerűsített rendszer produkálhat ilyet. Ebben az esetben ismét két út áll előttünk, vagy a valósághoz közelítve elbonyolítjuk a rendszert, hogy egy ilyen eset ne következhessen be, vagy újabb matematikai eszközöket keresünk, hogy ezt a furcsa esetet is kezelni tudjuk. Mindkét útnak megvan a maga előnye és hátránya. Ezzel a problémakörrel később foglalkozunk, most maradjon itt az a konklúzió, hogy vannak olyan függvények, amelyek a disztribúciók körében sem deriválhatók, és a mérnöki gyakorlatban is találunk olyan rendszereket, amelyeknél (2.108) sem vezet eredményre. Az általános értelmű deriváltra is használjuk a szokásos jelölést (ld. (2.109)). Egy disztribúció is deriválható, és a disztribúció deriváltja is disztribúció. A disztribúcióelmélet túlmutat e tananyag keretein. Bizonyítás nélkül fogadjuk el, hogy e tananyagban a disztribúciókkal elvégzett műveletek hasonló eredményt adnak, mintha az adott műveletet hagyományos függvényeken végeznénk el. Az esetleges eltérésekre mindig külön megjegyzést teszünk.

Napjainkban klasszikus analóg számítógépeket nem használunk, de a szemlélet formálásában fontos szerepet játszhat azok felépítésének megismerése. Diszkrét időben a (2.98) egyenlet grafikus megjelenítésének tekinthető a 2-33. ábra. Folytonos időben a (2.107) differenciálegyenlet átírható a (2.98) egyenletnek megfelelő alakúra (az általánosságot nem csökkenti az feltételezés)

Az első ötletünk lehet az, hogy kimenőjelet -szer és az bemenőjelet -szer deriválva majd a kapott deriváltak (2.119) egyenletnek megfelelő lineáris kombinációját képezve kimenőjelet előállítjuk és így 2-33. ábraához teljesen hasonló grafikai megoldást kapunk, ahol a léptetések helyére deriváló tagokat kell tennünk, de sajnos ez így nem működik. A helyett az jelet kell kifejeznünk (az általánosságot nem csökkenti az feltételezés)

A deriváló tagok helyett integrátorokat kell alkalmaznunk. Az jelet -szer integrálva kapjuk meg az jelet. Közben tagok is előállnak, így azok lineáris kombinációját is képezhetjük (2.120) második összegzésének megfelelően. De ez a módszer is csak esetben működik, mert a bemenőjel deriváltját nem tudjuk megkapni. Ha , akkor valamilyen módon segédváltozókat kell bevezetni. A segédváltozókról belátható, hogy állapotváltozónak tekinthetők. Legyen , és vezessük be a következő jelölést

Ha , akkor

A (2.121) és (2.122) egyenletet megvalósító MATLAB Simulink program:

2.36. ábra - Analóg számítógép modell MATLAB Simulink megfelelője és esetén

Definíció

Egy autonóm rendszer akkor van statikus egyensúlyi állapotban, ha az állapotváltozók értéke konstans.

Értelmezés

Megjegyzés. Ez a definíció kizárja a statikus rendszereket (amelyeknek nincs állapotváltozójuk), ugyanakkor a konstans gerjesztést megengedi. Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszernek egy adott konstans gerjesztés mellett csak egyetlen egyensúlyi állapota létezhet (ellenkező esetben nem lenne érvényes a szuperpozíció elve). Egy nemlineáris rendszernek adott konstans gerjesztés mellett lehet több egyensúlyi állapota is.

Példaként, ha van egy golyónk és egy kanalunk, akkor a kanál helyzetétől függően a golyót többféle módon tudjuk a kanálra helyezni úgy, hogy a golyó ne mozduljon el, vagyis statikus egyensúlyi állapotba kerüljön. Alapvető különbség van két eset között

A különbséget azonnal észrevesszük, ha egy kicsit remeg a kezünk. Az első esetben a golyó kicsit ide-oda gurul, de ismét megáll, ha a kéz remegése megszűnik. A második esetben a golyó legurul a kanálról és sohasem gurul vissza a kanál tetejére. E gondolatkísérlet alapján fogalmazhatjuk meg az első stabilitási definíciót.

Definíció

Egy autonóm lineáris differenciálegyenlettel leírható rendszert tetszőlegesen kitérítjük az egyensúlyi állapotából. Az egyensúlyi állapotban ható esetleges konstans gerjesztést nem változtatjuk meg, és magára hagyjuk a rendszert. Ha a rendszer állapotváltozói konvergálnak az egyensúlyi állapotban felvett értékekhez, akkor a rendszert aszimptotikusan stabilisnak nevezzük.

Értelmezés

Ha egy rugóval függőlegesen felfüggesztünk egy tömeget, akkor a tömegre a gravitáció állandó gerjesztésként hat, és kialakul egy egyensúlyi állapot. Ha ebből az állapotból kimozdítjuk a tömeget és elengedjük, akkor a csillapítás miatt egyre csökkenő amplitúdójú lengések után beáll egy új egyensúlyi állapotba. Ha a rendszer lineáris, akkor az új egyensúlyi állapot megegyezik az eredeti egyensúlyi állapottal. Lineáris rendszerek esetén az egyensúlyi állapotra alapozott stabilitás vizsgálata egyszerű, mert csak egy egyensúlyi állapota lehet, és ha az stabilis, akkor aszimptotikusan is stabilis. Nemlineáris rendszerek esetén a fenti definíción enyhíteni kell. Mivel a nemlineáris rendszernek több egyensúlyi állapota is lehetséges, ezért nem követelhetjük meg, hogy tetszőlegesen nagy kitérítés után is mindig az eredeti egyensúlyi állapothoz konvergáljon a rendszer, vagyis az aszimptotikus stabilitás csak egy tartományon belül érvényes. Általában magát az „aszimptotikusságot” sem írhatjuk elő egy nemlineáris rendszer esetén, vagyis nem követelhetjük meg azt, hogy a kitérített rendszer konvergáljon az eredeti egyensúlyi állapothoz. Az egyik tipikus nemlinearítás a súrlódás. Ha a fenti példa tömeg-rugó rendszerében a tömeg pl. egy fal mellett mozog és mozgás közben a tömegre a faltól származó súrlódási erő is hat, akkor a tapadási súrlódás miatt a tömeg általában az eredeti egyensúlyi állapot előtt vagy után beragad.

Így a rendszer szigorúan nézve nem elégíti ki az aszimptotikus stabilitás kritériumát, de műszaki értelemben valahol ezt is stabilisnak érezzük, ezért szükséges az aszimptotikusnál megengedőbb definíció.

Definíció

Egy nemlineáris autonóm működésű rendszert akkor mondunk Ljapunov érelemben stabilisnak, ha az egyensúlyi állapot bármely környezetéhez találunk egy olyan nullánál nagyobb maximális kitérítést, amelynél kisebb kitérítések esetén a rendszer garantáltan visszatér az eredetileg meghatározott környezetbe.

Értelmezés

Ez a definíció egyrészt feltételezi, hogy az állapotváltozóknak van normája, vagyis értelmezhető az egyensúlyi állapot környezete, másrészt nem követeli meg, hogy a rendszer visszatérjen a kiindulási állapotba, csak annak környezetébe. A nemlineáris súrlódással terhelt tömeg-rugó rendszer Ljapunov értelemben stabilis, de nem aszimptotikusan stabilis.

A statikus egyensúlyi állapot fogalma kiterjeszthető az egyensúlyi mozgásállapotra, tipikusan állandó amplitúdójú, állandó frekvenciájú periodikus lengésekre, ilyen esetben dinamikus egyensúlyi állapotról beszélünk. A mérnöki gyakorlatban az általános értelemben vett egyensúlyi állapotot szokás állandósult állapotnak nevezni.

Hasonlóan nem az eredeti egyensúlyi állapotba tér vissza a tömeg, ha időközben megváltozik a rugó rugalmassági együtthatója.

Definíció

Korlátos bemenőjelre minden esetben korlátos kimenőjel a válasz. Ezt a feltételt teljesítő rendszert ismételten az angol név után BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilis rendszernek hívjuk.

Ha egy lineáris rendszer valamilyen értelemben stabilis, akkor a többi értelemben is az.