3. fejezet - Matematikai eszközök SISO LTI rendszerek vizsgálatához

(2.107) megoldása tetszőleges mellett meglehetősen nehézkes. Ehelyett az jelet megpróbáljuk komponensekre bontani, majd a szuperpozíció elvét kihasználva a komponensek hatását összegezzük. Az jel impulzusok sorozatára bontható. Először diszkrét időben adjuk meg a definíciókat, mert diszkrét időben sok olyan tulajdonság egyszerűen belátható, amelyek folytonos időben komoly matematikai nehézségek elé állítanak bennünket. Természetesen folytonos időben is törekszünk a matematikai egzaktságra, de a diszkrét idejű összefüggés összegzését a folytonos időben integrálra cserélve megsejthetjük, hogy folytonos időben milyen összefüggéseket kell belátnunk.

Diszkrét időben

A rendszerek bekapcsolásának modellezéséhez szükséges a diszkrét idejű egységugrás fogalma, amelynek a definíciója (ld. 3-2. ábra):

A (3.1) definícióból következik

A diszkrét idejű egységimpulzus definíciója (ld. 3-3. ábra):

Az eltolást a diszkrét idejű egységimpulzus esetén is értelmezhetjük

továbbá

(3.3) definíciójából triviálisan következik, de később fontos szerepe lesz:

Könnyen belátható, hogy egy diszkrét idejű függvény konvolúciója az egységimpulzussal egy adott K érték mellett a függvény K helyen felvett értékét adja vissza.

A diszkrét idejű egységugrás és egységimpulzus kapcsolatát kétféleképpen adhatjuk meg:

Folytonos időben

Az egységugrás definíciója

Az eltolást a folytonos időben is értelmezhetjük

A definícióból látható, hogy az függvénynek nincs határozott értéke a helyen. Vannak szerzők, akik 0, 0.5 vagy 1 értéket adnak neki. Ennek nincs jelentősége, mert az egységugrás általában a bemeneten jelenik meg, bennünket általában a kimenet érdekel, és valós rendszereknél a kettő között integráló hatás van, így a kimenőjelre matematikai értelemben nincs hatása annak, hogy a időpontban -nak milyen véges értéket választunk. Azért érdemes a 0.5 értéket választani, mert pl. az ugrásokból álló négyszögjel Fourier-sora a szakadásnál a kétoldali határérték számtani középértékét adja vissza. Mérnöki megközelítésben nincs ennek jelentősége. Célunk a valós fizikai rendszer működésének leírása. A valós fizikai rendszer bekapcsolásakor lezajló fizikai jelenségeket az egyszerűség kedvéért nem modelleztük, így a rendszer időpontbeli matematikai viselkedése intuíciókat adhat, hogy a fizikai rendszer bekapcsolási jelenségeit hogyan képzelhetjük el, de ez inkább csak egy szellemi kaland lehet. Amennyiben a matematikai egzaktságot úgy is meg tudjuk tartani, hogy értékét nem definiáljuk a helyen, akkor a legjobb, ha azzal is kifejezzük a bekapcsolási folyamatokkal kapcsolatos bizonytalanságot, hogy erre vonatkozóan nem adunk esetlegesen félrevezető információt.

A diszkrét idejű egységimpulzus megfelelőjének matematikai értelmezése a folytonos időben még ennél is nehezebb. A mechanikában az impulzus definíciója egyértelmű. A tömegre ható erő integrálja. Állandó tömeget feltételezve ugyanazt az impulzust érhetjük el, ha kisebb az erő, de tovább hat, vagy ha nagyobb erővel, de rövidebb ideig hatva. Ezt általánosítva definiáljunk egy egységimpulzus függvényt:

(3.12) azért egységimpulzus, mert idő szerint integrálja 1 lesz az eredmény, hasonlóan, mint (3.6) diszkrét időben.

Formálisan a helyettesítéssel:

(3.14) hagyományos értelemben nem tekinthető függvénynek, mert 1/0 nem egy valós számérték. Az sem elegendő, ha azt mondjuk rá, hogy végtelen, mert pl. a 7/0 és a 0.2/0 is végtelen. Fordítsuk meg a dolgot és használjuk fel (3.13)-at és (3.14)-et definícióként: egységimpulzusnak (további elnevezések: Dirac-delta, Dirac-impulzus) nevezzük azt a kiterjesztett értelmű függvényt (disztribúciót), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban pedig olyan értéket vesz fel, hogy

teljesüljön. Az egységugráshoz hasonlóan a Dirac-impulzus hatását is általában egy integrálási művelet után vizsgáljuk, így a fenti definíció egy jó gyakorlati megközelítés. Azt fejezi ki, hogy a Dirac-impulzus mechanikai rendszereknél egy kalapácsütést jelent. E definíciót (2.108) segítségével kiterjeszthetjük az egységimpulzus deriváltjára: egy olyan kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban pedig olyan értéket vesz fel, hogy teljesüljön. Hasonló módon magasabb rendű deriváltakat is definiálhatunk.

definíciójából következik (vö. (3.8)):

A (3.16) integrál értéke a időpontban nincs meghatározva, hasonlóan a (3.10) definícióhoz. Így kijelenthetjük, hogy a disztribúciót értelmezhetjük úgy, mint általános értelemben vett deriváltja.

A (3.4) és (3.5) is könnyen általánosítható folytonos időben. A egy olyan kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban egy olyan értéket vesz fel, hogy teljesüljön.

A pedig olyan kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció), amely a pont kivételével mindenütt nulla. A pontban pedig olyan értéket vesz fel, hogy teljesüljön.

A (3.7) formális általánosítása is egyszerű a folytonos időben. A folytonos függvény konvolúciója kiterjesztett értelmű függvény (disztribúció) -val vett eltoltjával a függvény pontbeli értékével egyezik meg. Mivel páros függvény, ezért a konvolúció számításában az argumentumának előjelét megcserélhetjük.

Számunkra (3.17) azért kiemelt jelentőségű, mert (3.17) segítségével egy folytonos függvényhez hozzá tudjuk rendelni egy adott pontbeli értékét. A mérnöki gyakorlatban ezt nevezzük (mérésnek) mintavételezésnek. Ha (3.17)-t elvégezzük a (ahol és rögzített szám) mintavételi pontok sorozatára, akkor egy folytonos idejű jelnek előállíthatjuk a diszkrét idejű megfelelőjét.

A fentiekből következik, hogy a Dirac-impulzus nem tekinthető hagyományos értelemben vett függvénynek, de a Dirac-impulzusnak a fenti származtatása az egységimpulzusból fizikailag könnyen értelmezhető, a mérnöki gyakorlatban ezt az értelmezést alkalmazzuk. Ugyanakkor a (3.15) definíció nem ad támpontot több alapvető matematikai művelet elvégzésére. A Dirac-impulzus egzakt matematikai kezelésére vezettük be a 2.12.5 pontban a disztribúció fogalmát. A Dirac-impulzussal kapcsolatos intuitív megállapításaink egzakt matematikai eszközökkel is bizonyíthatók, a további elemzést az olvasóra bízzuk.

A diszkrét idejű jelek felbontása a 3-4. ábra látható

Impulzusokra és lépésekre bontás

Először a diszkrét idejű rendszereket vizsgáljuk, majd ezt kiterjesztjük folytonos idejű rendszerekre. A továbbiakban általában a bemenőjel egy ún. belépő függvény. Ez azt jelenti, hogy létezik egy olyan K, illetve érték, amelyre , illetve . Az egyszerűség kedvéért azt feltételezzük, hogy ha egyéb megjegyzést nem teszünk, akkor , illetve . A legtöbb esetben mindez formálisan csak annyit jelent, hogy az időre vonatkozó összegzésben és integrálok számításában a helyett a 0 az alsó határ. A kauzalitás miatt a rendszer válasza is csak a bekapcsolás után indulhat, de az állapotváltozó jellegű változóknak lehet nullától eltérő kezdeti értéke. Ebben a 3.1.2 pontban matematikai szempontból nincs szükség a belépő jelekre tett kikötésre, de a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban (Laplace-transzformált jelek esetén, ld. 3.2.4, 3.2.6, 3.2.7, 3.2.8 pontok) élnünk kell ezzel a feltételezéssel.

Diszkrét időben

A 2.1.11. fejezetben leírt (2.98) alakú ARMA rendszerekkel foglalkozunk.

A (2.98) jobb oldalán az összegzés r-ig tart. (i=r+1, …, n) bevezetésével egyszerűbbé tehetjük a későbbi tárgyalást, megjegyezzük, hogy a i<r sorszámú együtthatók között is lehet nulla. Ha első n számú () és r számú () értéke ismert, akkor (3.19) segítségével a további kimenőjel kiszámítható.

A lépésről lépésre számítás helyett kiszámoljuk, hogy a rendszer miként reagál egyetlen bemenőjelre, vagyis egyetlen „ütésre”. Amikor a diszkrét idejű rendszerek bemenőjele egy diszkrét idejű egységimpulzus, akkor a kimenőjelet súlyfüggvénynek vagy impulzusválasznak nevezzük (az irodalomban mindkét elnevezés elterjedt) és -val jelöljük (ld. 3-5. ábra) (megjegyezzük, hogy az irodalomban használják még a jelölést is).

Tegyük fel, hogy és ismert. Kihasználjuk azt, hogy

Ez azt jelenti, hogy egy adott i –edik időpontban egy nagyságú és i lépéssel eltolt impulzussal gerjesztjük a rendszert. E bemenőjelre a rendszer válasza egy arányosan megnövelt és időben eltolt súlyfüggvény: (ld. 3-6. ábra).

Bármely k-adik időlépésben az időinvarianciát és a szuperpozíció elvét kihasználva időeltolással összegezzük ezeket a hatásokat

A (3.21) úgy is értelmezhető, hogy a kimenőjel értéke egy k-adik időpillanatban a rendszerre az összes múltbeli időpontban ható bemenőjel súlyozott átlaga, innen a súlyfüggvény elnevezés. A (3.21) kifejezésben nincsenek állapotváltozók, így kezdeti értékek sem adhatók meg, csak a rendszer tulajdonsága és az bemenőjel határozza meg az kimenőjelet. Itt az összegzés csak az tartományra szorítkozik, de nincs elvi akadálya, hogy akár -ből induljon.

Az impulzusnak véges energiája van, így egy valós fizikai rendszernél a kauzalitás miatt csak belépő függvény lehet (a bemenő jel csak a jövőre hathat), a linearitás miatt nem lehet irreverzibilis változás, minden valós rendszer működése közben van valamilyen energiaveszteség, így valós rendszer esetén biztosan lecsengő, értékei nullához tartanak.

Ha létezik olyan K időpont, amelyre igaz az, hogy , akkor a rendszert „véges impulzus válaszú” rendszernek nevezzük, és ezekre a rendszerekre az angol név alapján a FIR (Finite Impulse Response) rövidítést használjuk. Értelemszerűen definiálhatjuk az IIR végtelen impulzusválaszú (Infinite Impulse Response) rendszereket is.

Folytonos időben

(2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerekkel foglalkozunk. A (2.107) egyenletben alkalmazott jelölésekkel n=r ( (i=r+1, …, n)) és

A (3.22) megoldása tetszőleges mellett meglehetősen nehézkes. Ehelyett az jelet a diszkrét idejű rendszereknél alkalmazott eljáráshoz hasonlóan komponensekre (impulzusok sorozatára) bontjuk, majd a szuperpozíció elvét kihasználva a komponensek hatását összegezzük. A diszkrét idejű rendszerhez hasonlóan bevezethetjük a súlyfüggvényt (impulzusválaszt) ld. 3-7. ábra. (Az irodalomban használatos még a jelölés is)

Valós fizikai rendszer esetén w(t) lecsengő belépő időfüggvény (ezt a tulajdonságát később kihasználjuk)

Tegyük fel, hogy w(t) ismert (például mérés alapján). Formálisan (3.21) összegzést kell átírni folytonos időbe, k helyére t kerül és az összegzés helyett integrált kell írnunk, továbbá tekintettel kell lenni arra, hogy akár Dirac-impulzus is lehet, így az összegzésben, illetve integrálszámításban a t=0 pontot is figyelembe kell venni, ahol nem folytonos és az értékét csak az integrálja határozza meg. Ebből következik, hogy az integrál alsó határának a 0 bal oldali közelítését kell választani, ezt jelöljük 0-val.

A (3.23) úgy is értelmezhető, hogy az u(t) bemenőjel értelmezési tartományát nagyságú időintervallumokra osztjuk, minden időintervallumot egy impulzusnak tekintjük, amelynek a nagysága . Ezt az impulzust egy, az impulzussal megegyező nagyságú Dirac-impulzussal helyettesítjük. Ennek megfelelően a τ időpillanatban a rendszer bemenőjele lesz. Erre a -val eltolt és nagyságú impulzusra a válasz egy eltolt és arányosan lecsökkentett súlyfüggvény (ld. 3-8. ábra). Meg kell jegyezni, hogy ha tart nullához, akkor a nagyságú impulzus is tart nullához, így a rendszer válasza végtelen sok végtelenül kicsi impulzus hatásából adódik össze.

Az u(t) bemenőjelet nem csak függőlegesen, hanem vízszintesen is feloszthatjuk, ekkor elemi ugrásfüggvényeket kapunk. A rendszer válaszát az egységugrás bemenőjelre átmeneti függvénynek nevezzük és -vel jelöljük (ld. 3-10. ábra). Valós fizikai rendszerek esetén .

Formálisan, ha a bemenőjelet integráljuk, akkor a kimenő jelet is integrálni kell, így az egységugrás bemenőjelre adott válasz a súlyfüggvény integrálja lesz.

Természetesen a (3.25) átfogalmazható úgy, hogy az átmeneti függvény időszerinti deriváltja a súlyfüggvény. A kimenőjel az átmeneti függvény és a bemenőjel ismeretében is meghatározható. A időpillanatban a bemenőjel mértékben változik meg. Ezt a változást nagyságú ugrásfüggvénnyel, vagyis bemenőjellel modellezzük. E bemenőjelre a rendszer válasza egy olyan átmeneti függvény, amelynek a nagysága meg van szorozva -val és az időben el van tolva -val. Ennek az átmeneti függvénynek az értéke egy adott T időpontban . Ezeket az elemi átmeneti függvényeket kell összegezni, de figyelembe kell venni, hogy u(t)-nek lehetett egy kezdeti ugrása is a t=0 időpontban. Az összegzés eredménye:

Összefoglalásul megállapíthatjuk, hogy folytonos idejű modell esetén az u(t) bemenőjel az időtartományban felbontható impulzusok vagy ugrások sorozatára, továbbá definiálhatók a rendszer működését általánosan leíró időfüggvények (súly- és átmeneti függvény). Az időtartományban a bemenőjel felbontásával és az időtartománybeli rendszerfüggvények segítségével egy konvolúciós integrállal ((3.23), illetve (3.26)) a rendszer kimenőjele kiszámítható. A probléma az, hogy a konvolúciós integrál számítása folytonos időben továbbra is bonyolult, ez a matematikai művelet lényegesen leegyszerűsödik a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban, és részben ez az oka (de nem az egyetlen), hogy folytonos idejű rendszerek esetén áttérünk a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományra.

3 - 1 feladat Diszkrét idejű konvolúció

Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű impulzusválasza (súlyfüggvénye) legyen

, , és , ha

Megoldás

A diszkrét idejű az egységugrásra úgy tekintünk mint diszkrét idejű az egységimpulzusok sorozatára. Jelölje az egységugrás -edik időpillanatbeli értékére adott impulzusválasz függvényének -adik időlépésbeli értékét. Írjuk be egy táblázatba és első öt értékét.

Látható, hogy túllendülés nélkül a lépésben beáll az állandósult értékre. Így a táblázatból kiolvasható, hogy a rendszer erősítése 6.

3 - 2 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű impulzusválasza (súlyfüggvénye) legyen

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

3 - 3 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Egy diszkrétidejű rendszer diszkrétidejű ugrásválasza (átmenetifüggvénye) legyen

, , és , ha

3 - 4 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű ugrásválasza (átmeneti függvénye) legyen

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

, , , , , , , ,

, , , , , és , ha

Az olyan periodikus függvényeket (ld. 3-14. ábra) lehet Fourier-sorba fejteni, amelyek abszolút integrálja egy hosszúságú periódusra véges (A gyakorlatban előforduló esetekben ezzel egyenértékű feltétel, hogy (3.32) szerinti normája legyen véges).

Ismertnek tekintjük a Fourier-sorok első szokásos, inkább csak matematikusok által használt alakját

Ha folytonos és véges sok differenciálható darabból áll, akkor (3.34) rekonstruálja az eredeti függvényt. Olyan eseteket is megengedünk, amikor szakaszosan folytonos (-nek véges számú ugrása van, (példaként ld. 3-14. ábra)), ilyen függvények esetén (3.34) a szakadás helyén a kétoldali határérték számtani közepét adja vissza. Ez a megjegyzés a matematikai korrektség miatt fontos, de a mérnöki gyakorlatban nincs jelentősége, mert valós fizikai folyamatot leíró jelnek akkor van ugrása, ha rövid tranziensű jelenségeket elhanyagolva idealizáljuk a rendszer működését. Ez a tulajdonság öröklődik a később tárgyalandó inverz Fourier és Laplace-transzformáltakra is.

Megjegyezzük, hogy az ún. alapharmonikus körfrekvenciája, az alapharmonikus frekvenciája értelem szerűen adódik: .

(3.34) könnyen átírható arra az alakra, amely a mérnöki gyakorlatban a legelterjedtebb.

A későbbiek szempontjából fontos kitérni a (3.35) fizikai értelmezésére. Egy periodikus függvény, amely kielégíti a (3.33) feltételt előállítható úgy, hogy először vesszük a függvény átlagát, majd ehhez hozzáadjuk amplitúdójú és körfrekvenciájú koszinuszos alapharmonikust a fáziseltolással, majd sorra a koszinuszos felharmonikusokat amplitúdóval, felharmonikus körfrekvenciával és fáziseltolással. Így a periodikus jelet megszámlálhatóan végtelen koszinuszos függvényből állítjuk elő. Hogy az alap- és felharmonikusok a jelben jelen vannak, azt onnan is láthatjuk, hogy ezek megfelelő szűrővel kinyerhetők a jelből, rezonanciára hajlamos rendszereknél rezonanciát okozhatnak. Villamos áramkörök esetén az értéket egyenáramú összetevőnek is szokás nevezni. A (3.35)-ból kiolvasható, hogy egy periodikus jelben az alapharmonikus és a felharmonikusok milyen amplitúdóval és fázisszöggel szerepelnek. Az amplitúdóértékeket szokás a frekvencia (esetenként a körfrekvencia) függvényében ábrázolni. A 3-15. ábra példaként egy négyszögjel alap- és felharmonikusainak az amplitúdóit ábrázoljuk (A periódusidő 10s, a négyszögjel nagysága 1, a számítás részleteit ld. 3-5 mintafeladatban)

Bár a fizikai tartalmat (3.35) mutatja a legjobban, az általánosításhoz át kell térni a Fourier-sorok komplex alakjához. Abból indulunk ki, hogy

A (3.36) segítségével (kihasználva, hogy =1) (3.35) a következő komplex alakra írható

ahol az komplex együtthatók és a amplitúdók összefüggése a következő

Látható, hogy egy valós függvényt komplex függvények összegével állítunk elő, így a komplex komponensek fizikailag önmagukban nehezen értelmezhetők, különösen a negatív előjellel szereplő körfrekvenciát nem tudjuk megmagyarázni, de az azonos abszolút értékű pozitív és negatív sorszámú komponensek egymástól függetlenül nem léteznek, egymástól függetlenül nem változnak, az információt együtt hordozzák. A (3.38)-ből kitűnik, hogy és egymásnak komplex konjugáltja, az komplex együtthatók abszolút értéke és fázisszöge szoros kapcsolatban van az adott komponens amplitúdójával és fáziseltolásával. Hangsúlyozzuk, nincs negatív körfrekvencia, csak a (3.36) felbontás miatt a mindig pozitív értékű körfrekvencia negatív előjellel is szerepel a függvény komplex felbontásában. A negatív frekvenciáknak az Euler forma miatt matematikailag van jelentőségük. A (3.37) előnye az, hogy formális hasonlóságot mutat a (3.28) kifejezéssel.

Így már kimondhatjuk: az függvényosztálynak az komplex függvények (ahol és ) ortonormált bázisát alkotják, ha ezen osztályba tartozó két függvény (jelölje ezeket és ) skaláris szorzatát a következő módon definiáljuk:

Az együttható azért kell, hogy a bázis ne csak ortogonális legyen, hanem normált is.

Az ortogonalitás azt jelenti:

(3.29) általánosításaként (3.39) alapján az komplex együtthatók közvetlenül számíthatók

A későbbiek miatt hangsúlyozzuk ki, hogy az komplex együttható függvénye -nak.

Ha az függvényosztályról beszélünk, akkor (3.36) szigorúan véve csak a intervallumra vonatkozik,

Természetesen (3.43) ezen az intervallumon kívül is visszaadja a periodikus függvényt.

A (3.27) és (3.30) általánosítása is fontos szerepet játszik a mérnöki gyakorlatban. A fizikai összefüggések feltárásához alkalmazzuk a (3.35) alakot

Periodikus jelek leginkább a villamosmérnöki gyakorlatban fordulnak elő. A (3.44) fizikai tartalmára egy nagyon egyszerű villamos áramköri példán keresztül világítunk rá. A példa megértéséhez elegendő az Ohm törvényt ismerni és azt tudni, hogy a feszültség és áram szorzata a teljesítmény. Legyen és az ellenállás feszültsége, árama és pillanatnyi teljesítménye. Ismert:

Tegyük fel, hogy az ellenállást fűtésre használjuk. A feszültség és az áram időfüggvényét egyetlen számmal (normával) szeretnénk jelölni. A szoba hőmérsékletére az átlagteljesítménynek van hatása, így célszerű olyan normát választani, hogy abból az átlagteljesítmény könnyen számítható legyen, ezt a normát a villamos mérnökök effektív értéknek hívják. A (3.45) helyébe a következő egyszerűsített formát szeretnénk felírni:

A (3.45) és (3.46)-ból az következik, hogy a feszültség és áram esetén az effektív értéket a következőképpen kell definiálni:

ahol lehet vagy . Azt feltételezzük, hogy és periodikus, a periódusidő . Vegyük észre, ha a skaláris szorzás definíciója (3.39) alakú, akkor a villamos jeleknél bevezetett effektív érték megegyezik a jel normájával. Az effektív értéket az átlagteljesítményből származtattuk, így egy villamos jel átlagteljesítménye normájának négyzetével arányos (kiemeljük, hogy ez nem jelent egyenlőséget). (3.44)-ből következik, hogy egy villamos jel effektív értékének négyzete megegyezik az összetevők effektív értékének négyzetösszegével, vagyis (3.44) üzenete az, hogy a jel átlagteljesítménye a komponensek átlagteljesítményének összege. Szokás a jelösszetevők amplitúdónégyzetét is ábrázolni a frekvencia függvényében, ezt szokás teljesítményspektrumnak is nevezni (ismét hangsúlyozzuk, bizonyos jelek esetén ez csupán arányosságra utal, bizonyos jeleknél ez fizikailag nem értelmezhető), periodikus függvényeknek az amplitúdóérték spektrumához hasonlóan a teljesítményérték-spektrumuk is vonalas.

A (3.35) alakú felbontásban a koszinuszos komponensek ortogonálisak, de nem normáltak, ezért kell az ½ szorzó a összegzésénél. Ezzel szemben a (3.43) felbontás ortonormált, így

3 - 5 feladat négyszögjel Fourier sor a

Határozza meg a 3-16. ábraán látható négyszögjel Fourier sorát

Megoldás

A jel szimmetriájából következik, hogy a Fourier-sor csak páratlan szinuszos tagokat tartalmaz, ezért célszerű a Fourier sor (3.34) alakját használni a következő formában:

ahol és a bázis függvényekből áll. Az ábráról leolvasható a periódus idő és az alapharmonikus értéke

Az együtthatókat ebben az esetben is skaláris szorzással határozhatjuk meg. A villamosmérnöki gyakorlatban a periodikus függvényeket általában a idő helyett szög függvényében ábrázoljuk és a Fourier sor együtthatóinak kiszámítása is egyszerűbb, ha helyett szerint integrálunk.

Rajzoljuk meg a következő függvényt, különböző számú felharmonikust figyelembe véve

3-17. ábra Négyszögjel Fourier sorfejtése

A fenti számítások a következő MATLAB program segítségével végezhetők el.

t=0:0.01:10;
max=size(t);
max=max(2);
 
for i=1:max
f(i)=sign(sin(t(i)/5*pi));
end
 
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it u_n(t)} függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [s]');
title('Négyszögjel függvény');
axis([0 10 -1.1 1.1]);
grid
 
pause
 
for ib=1:10
ii=2*ib-1; 
af(ib)=4/pi/ii;
end
 
for is=1:max
fi(is)=0;
for l=1:10
ii=2*l-1;
fi(is)=fi(is)+af(l)*sin(is/max*2*pi*ii);
end    
end
 
plot(t,f,t,fi)
axis([0 10 -1.3 1.3]);
grid
 
pause
 
bar( [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9  1.1 1.3 1.5 1.7 1.9],af, 0.07)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('Amplitúdók [relatív egység]');
xlabel('Frekvencia [Hz]');
title('Négyszögjel vonsalas spektruma')
grid

3 - 6 feladat Fourier sorfejtés gyakorlati alkalmazása

A 3-18. ábra egy szünetmentes áramforrás egyszerűsített rajzát szemlélteti.

A szünetmentes áramforrás részei:

Mindaddig, míg van hálózati feszültség, a vezérelt egyenirányító táplálja az invertert, és gondoskodik arról, hogy az akkumulátor feltöltött állapotban legyen. Hálózati feszültség kimaradásakor az akkumulátor a benne tárolt energia révén szünetmentesen tudja tartani az inverter, illetve a fogyasztó táplálását.

Az inverter – működési elvéből adódóan – csak különböző előjelű négyszög alakú impulzusok kiadására képes. Tegyük fel, hogy mindkét fél-periódusban szimmetrikusan kiadunk egy szélességű impulzust. Az egyszerűség kedvéért az impulzust relatív egységben, az függvényében ábrázoljuk (az időt radiánban mérjük, ld. 3-19. ábra)

A fogyasztók többsége azonban szinuszos feszültséget igényel, ezért szükséges a kimeneti szűrőkör.

Az alapharmonikus feszültség szabályozása, de nem utolsó sorban a szűrőkör árának és méretének csökkentése érdekében is, úgynevezett PWM (Pulse Width Modulation = impulzus szélesség moduláció) eljárást szokás alkalmazni. Az egyik legegyszerűbb PWM-módszer a 3-19. ábra látható. Az áramforrás kimenő feszültségének effektív értékét az inverter által előállított szimmetrikus impulzus jel szélességének változtatásával lehet módosítani. Ha egy félperióduson belül az impulzusok számát növeljük, akkor egyidejűleg változtathatjuk a kimenő feszültség effektív értékét és felharmonikus tartalmát. A PWM lényege a szűrés szempontjából bban áll, hogy változatlan effektív érték mellett az alapharmonikushoz képest az alacsony rendszámú felharmonikusok nagyságát lecsökkentjük vagy teljesen megszüntetjük azon az áron, hogy közben a nagyobb rendszámú felharmonikusokat relatívan megnöveljük; a nagyobb rendszámú felharmonikusok pedig kisebb méretű, és ezért olcsóbb szűrőkörrel csökkenthetők, mint az alacsony rendszámúak.

Megoldás

ahol és a bázis függvényekből áll. Az együtthatókat ebben az esetben is skaláris szorzással határozhatjuk meg.

Felhasználva a

azonosságot:

A 3-20. ábra az és együtthatók vonatkoztatott abszolút értékét mutatja nagyság függvényében. Az a teljes kitöltésű négyszög alakú jel alapharmonikusa. Az előjele a -edik felharmonikus fázisával van kapcsolatban.

egyenlőség akkor teljesül, ha

Mivel , ezért

impulzus szükséges.

Megjegyezzük, hogy ha egy félperiódusban több impulzust adunk ki, akkor az impulzusokat egyenként Fourier-sorba fejthetjük és ezeket a sorokat tagonként összegezhetjük. Belátható, hogy az impulzusok helyének megfelelő választásával annyi felharmonikus küszöbölhető ki, ahány impulzus esik egy félperiódusra. Ugyanakkor nem szabad megfeledkezni arról, hogy az impulzusszélesség moduláció közben az alapharmonikus értéke is csökken, így néhány felharmonikus értéke relatívan növekedhet.

3 - 7 feladat Fourier sorfejtés MATLAB programmal

Készítse el az előző feladat számításait MATLAB programmal a következő adatokkal

és

Megoldás

t=0:0.01:2*pi;
max=size(t);
max=max(2);
 
for i=1:max
if abs(sin(t(i)))>0.64
f(i)=sign(sin(t(i)));
else
    f(i)=0;
end
end
 
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it u_b(\omega_at)} függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [rad]');
title('Impulzus függvény');
axis([0 2*pi -1.1 1.1]);
 
 
text(0.2,-0.1,['{\fontsize{17}(\pi-psz)/2}'])
text(2,-0.1,['{\fontsize{17}(\pi+psz)/2}'])
grid
 
a1max=4/pi*sin(pi/2);
for i=1:max
a1(i)=abs(4/pi*sin(pi/2)*sin(i/max*pi/2))/a1max;
a3(i)=abs(4/pi/3*sin(pi/2*3)*sin(i/max*pi*3/2))/a1max;
a5(i)=abs(4/pi/5*sin(pi/2*5)*sin(i/max*pi*5/2))/a1max;
a7(i)=abs(4/pi/7*sin(pi/2*7)*sin(i/max*pi*7/2))/a1max;
end
 
pause
plot(t/2,a1,t/2,a3,t/2,a5,t/2,a7)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it a_i/a_{1max}} [relatív egység]');
xlabel('Impulzus szélesség [rad]');
title('Felharmonikusok amplitúdói');
axis([0 pi 0 1.1]);
grid
text(pi,1,['{\it \fontsize{17} i=1}'])
text(pi,a3(max),['{\it \fontsize{17} i=3}'])
text(pi,a5(max),['{\it \fontsize{17} i=5}'])
text(pi,a7(max),['{\it \fontsize{17} i=7}'])
 
pause
 
psz=pi-2*asin(0.64);
 
for ib=1:10
ii=2*ib-1; 
af(ib)=4/pi/ii*sin(ii*psz/2)*sin(pi/2*ii);
end
 
for is=1:max
fi(is)=0;
for l=1:10
ii=2*l-1;
fi(is)=fi(is)+af(l)*sin(is/max*pi*2*ii);
end
end
 
plot(t,f,t,fi)
axis([0 2*pi -1.3 1.3]);
grid

3-21. ábra Szimmetrikus impulzus Fourier sorfejtése

3 - 8 feladat Egy impulzus jel Fourier sora ( komplex együtthatókkal)

Határozza meg a 3-22. ábraán látható impulzus jel Fourier sorát. Legyen a periódus idő, és az impulzus szélessége, az impulzus nagysága az egyszerűség kedvéért legyen 1. Az ábráról leolvasható a periódus idő és az impulzus szélessége ( és ). Az alapharmonikus értéke:

Megoldás

Használjuk a Fourier sorok (3.37) komplex alakját, az együtthatók (3.42) alapján számítva, és kihasználva a sorfejtendő függvény 0 vagy 1 értéket vehet fel.

ahol . , -a jel egy periódusra vonatkozó átlagértéke- a 3-22. ábraáról közvetlenül kiolvasható, de (3.60) összefüggésből l'Hopital szabállyal is ugyanazt az eredményt kapjuk

Látható, hogy az összes együttható valós, ez (3.37) és (3.38) alapján azt jelenti, hogy a Fourier sorok (3.35) alakja esetén a koszinuszos tagok fáziseltolása nulla.

3-23. ábra Egy impulzus Fourier sorfejtése

A MATLAB fájl

t=-5:0.01:5;
max=size(t);
max=max(2);
Tsz=4;
Tp=10;
dr=Tsz/Tp;
 
for i=1:max
    f(i)=0; 
    if t(i)>-(dr)*5
    f(i)=1;
    end
    if t(i)>(dr)*5 
    f(i)=0; 
    end
end
 
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('{\it u_i(t)} függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [s]');
title('Impulzusjel függvény');
axis([-5 5 -0.1 1.1]);
grid
 
pause
 
nn=1001;
 
for ib=1:nn 
af(ib)=sin(ib*pi*dr)/ib/pi;
end
 
for is=1:max
fi(is)=dr;
for l=1:nn
fi(is)=fi(is)+af(l)*2*cos((-max/2+is/max)*2*pi*l);
end    
end
 
plot(t,f,t,fi)
axis([-5 5 -0.3 1.3]);
grid

3 - 9 feladat Egy impulzusjel vonalas spektruma

Vizsgáljuk meg, hogy miként változik az impulzus jel spektruma, ha az impulzus szélessége állandó (), ugyanakkor a periódusidő növekszik. Csak a pozitív tartományt ábrázoljuk (a negatív tartomány ennek tükörképe).

Megoldás

Tsz=1;
Tp=4;
dr=Tsz/Tp;
 
nn=15/4*Tp;
 
fr(1)=0;
af(1)=dr;
 
for ib=2:nn 
fr(ib)=(ib-1)/Tp;
af(ib)=sin((ib-1)*pi*dr)/(ib-1)/pi;
end
 
bar( fr,af, 0.2)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('Amplitúdók [relatív egység]');
xlabel('Frekvencia [Hz]');
title(['{\it T_{sz}}=1 és {\it T_p}=' int2str(Tp)])
grid
axis([-0.1 3.8 -0.1 0.26]);

3-24. ábra Egy impulzus jel vonalas amplitúdó spektruma

A 3-24. ábra szemléletesen mutatja, hogy a növelésével az amplitúdók egyre csökkennek és a vonalak (a felharmonikusok) egyre sűrűbben lesznek. Ez természetesen a (3.60) képletből is kiolvasható, ahol az is látszik, hogy ha az amplitúdó értékeket megszorozzuk -vel, akkor az aktuális értéktől függetlenül az amplitúdó spektrum burkológörbéje egy függvény.

Más szavakkal, a vonalas amplitúdó spektrum nem más, mint a mintavételezése, ahol a mintavételezés sűrűsége növekszik, ha a periódus időt növeljük.

A Fourier-transzformáció megértéséhez célszerű a 3-9 feladatot tanulmányozni, ahol egy állandó nagyságú impulzus periodikusan ismétlődött. Minél nagyobb a periodusidő, annál távolabb kerülnek egymástól az impulzusok. Ha azt akarjuk, hogy egyetlen impulzusunk legyen, akkor a periódus időt végtelenre kell növelni. Ezt általánosítva, nem periodikus jelek esetén szokás azzal a szemléletes képpel élni, miszerint tegyük fel, hogy a jel periodikus, csak a periódus ideje végtelen, amikor a végtelenben befejeződött egy periódus, akkor kezdődik a következő, ugyancsak végtelen hosszú periódus. Vegyük észre, hogy (3.43) és (3.40) sehol sem használja ki a jel periodikusságát, így formálisan kiterjeszthető olyan abszolút integrálható (lecsengő) nem periodikus jelekre (ld. 3-25. ábra), ahol , de itt kell tennünk néhány megjegyzést.

E megjegyzésekre tekintettel (3.42) és (3.43) általánosítását abszolút integrálható nem periodikus jelek esetén Fourier-transzformációnak és inverz transzformációnak nevezzük. Ezekk a következő alakban írhatók fel:

Pusztán jelöléstechnikai kérdés, (3.64) és (3.65) helyett szokásos a következő jelölés

Megjegyezzük, hogy bizonyos szerzők a körfrekvencia helyett a frekvenciát használják, ekkor

Mivel a Fourier-transzformációt a Fourier-sorokból származtattuk, ezért a komplex amplitúdósűrűség függvénynek a fizikai tartalmát is a Fourier-sorokból érthetjük meg.

Ugyan minden frekvenciához tartozó komponens önmagában nézve nulla amplitúdóval szerepel az összegzésben, de ha sávokat nézünk, akkor az egyes frekvenciasávok súlya már mérhető. Ha összehasonlítjuk két értékét, Pl. az és helyettesítési értéket, és azt találjuk, hogy , akkor azt mondjuk, hogy ugyan mind az és mind az körfrekvenciájú összetevő nulla amplitúdójú, de az körfrekvenciájú összetevő súlya még is kétszerese az körfrekvenciájú összetevő súlyának az jelben. Az komplex szám argumentuma az adott frekvenciájú összetevő fáziseltolását adja meg. Hogy ezek az összetevők jelen vannak a jelben azt onnan is tapasztalhatjuk, hogy lengésre hajlamos rendszereknél rezonanciajelenséget is megfigyelhetünk. Ezt az alkalmazástól függően vagy ki akarjuk használni, vagy el akarjuk kerülni, pl. szabályozásnál instabilitást nem engedünk meg.

A Fourier-transzformáció alkalmazásakor akkor ütközünk akadályba, ha olyan nem periodikus jelekre is ki akarjuk terjeszteni a frekvencia tartománybeli vizsgálatot, amelyek nem abszolút integrálhatóak. Ennek az a módja, hogy ezeket a függvényeket is abszolút integrálhatóvá tesszük, ezt azzal érjük el, hogy egyszerűen beszorozzuk az függvényt egy függvénnyel (ahol egy megfelelően megválasztott érték és csak úgynevezett belépő függvényeket engedünk meg. Szemléletesen a tartományban lenullázzuk a függvényt és a tartományban lekalapáljuk, hogy lecsengő legyen. A Laplace-transzformálhatóság feltétele így:

Ezt követően már az függvényt formálisan Fourier-transzformálhatjuk és visszatranszformálhatjuk azzal a kikötéssel, hogy a tartományban a függvény nulla:

Az eredeti függvényt is könnyen visszakaphatjuk

A tartományban a függvény nulla, ezért (3.64)-ban az alsó integrálási határ is nulla, továbbá az helyettesítéssel élünk

A -0 azt fejezi ki, hogy az integrálást úgy kell elvégezni, hogy az esetlegesen a időpillanatban fellépő Dirac-impulzus hatását figyelembe tudjuk venni. Alkalmazzuk formálisan az inverz Fourier-transzformációt, ekkor az függvényt kapjuk vissza, amelyet az függvénnyel meg kell szorozni, hogy az eredeti függvényt kapjuk. Mivel nem függ a körfrekvenciától, így bevihető az integráljel alá. Kihangsúlyozzuk, hogy a (3.75) képletben csak a 0≤t tartomány szerepel, így az inverz Laplace-transzformációval is csak ezt a tartományt tudjuk visszaállítani.

A Laplace- és az inverz Laplace-transzformáció szokásos jelölése még:

A Laplace-transzformált függvény fizikai tartalmát nehéz lenne megmagyarázni, ugyanakkor ez egy nagyon jól használható matematikai eszköz. Gyakran előfordul, hogy olyan jelekkel végzünk műveletet, amelyeknek nem létezik a Fourier-transzformáltja, ezért kénytelenek vagyunk a Laplace-transzformációhoz folyamodni. De a végeredményről egyéb fizikai megfontolásokból tudjuk, hogy Fourier-transzformálható, így a végső lépésben a helyettesítéssel megkapjuk a jel spektrumát (Fourier-transzformáltját). Nagyon fontos, hogy a mérnöki gyakorlatban sokszor a jel fizikai tulajdonságai alapján mondjuk ki, hogy a jel matematikai értelemben eleget tesz-e a Fourier-, illetve Laplace-transzformálhatóság feltételének.

3. 1 Tábláza t

E fejezetben közölt szabályok, állítások bizonyítása a függelékben található.

A legtöbb gyakorlati esetben egy s-re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvényt kell inverz Laplace-transzformálni és ehhez nem szükséges a (3.76) egyenletet közvetlenül felhasználni. Legyen alakú és azt is feltételezzük, hogy a számlálóban lévő polinom fokszáma kisebb a nevezőben lévő polinom fokszámánál (ha ez nem teljesülne, akkor polinom osztással valódi törteket kell kapnunk).

A fentiek alapján az -re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvények inverz Laplace-transzformációjának eredményeként (ld. (3.97), (3.99) és (3.101)) exponenciális tagokat kapunk. A kitevőben a idő együtthatója a pólus, pontosabban az összevonás után (ld. (3.99)) a pólus valós része. Az alakú függvény esetén, ahol a értéket nevezzük az függvény időállandójának (ld. 3-16 feladat).

Az függvény néhány tulajdonsága (ha ):

Geometriailag könnyen értelmezhetjük a negatív időállandót. A függvény bármely pontjában felrajzoljuk az érintőt, akkor az az időtengelyt a időpontban metszi, ha (exponenciálisan növekszik, mert ). Ha a függvény érték konstans, akkor az időállandót tekinthetjük végtelennek. (konstans érték) alapján.

Komplex konjugált pólusok esetén (ld. (3.99) és 3-28. ábra) a szinuszosok lengések amplitúdója csökken, ha a pólus valós része negatív (illetve az amplitúdók exponenciálisan növekednek, ha a pólus valós része pozitív).

Definíció

Összegezve kijelenthetjük, hogy a (2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerek kimenő jelének változására, illetve olyan jelek esetén, amelynek a Laplace-transzformáltját egy -re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvény ír le, bevezethetjük az időállandó fogalmát, amelyet úgy definiálunk, mint a jel Laplace-transzformáltját leíró, -re nézve valós együtthatójú racionális törtfüggvény pólusai valós része reciprokának mínusz egyszerese. Ebből következik, hogy egy jelnek több időállandója is lehet, ha több pólusa van, és ahogy létezhetnek többszörös pólusok, így létezhetnek többszörös időállandók. Mivel egy rendszer kimenőjelének változása a rendszert leíró differenciálegyenlettől függ, így az időállandókat is a rendszerhez kötjük.

A (3.97), (3.99) és (3.101) kifejezéseket átírhatjuk úgy, hogy e kifejezésekben a pólus helyett az időállandó szerepeljen az -edik pólus, az és -edik komplex konjugált, illetve többszörös pólus esetén az adott pólushoz (pólusokhoz) tartozó exponenciális időfüggvény az időállandóval a következő alakot öltik:

Be kell vezetnünk a domináns időállandó fogalmát.

Definícó

Domináns időállandónak nevezzük a rendszer legnagyobb időállandóját, ha a rendszernek vagy csak egy időállandója van, vagy a legnagyobb időállandója legalább háromszor akkora, mint a második legnagyobb időállandó. Hasonlóan a beszélhetünk domináns pólusról, ha a második legkisebb pólus legalább háromszor akkora, mint a legkisebb pólus.

Sok esetben elegendő, ha csak a domináns időállandóval számolunk és a többi időállandót elhanyagoljuk. Értelemszerűen, ha a legnagyobb időállandó egy többszörös pólushoz, vagy komplex konjugált póluspárhoz tartozik, akkor nem beszélhetünk domináns időállandóról. Ilyen esetben használatos a domináns póluspár kifejezés.

A (3.145) rendszeregyenletet átírhatjuk a következő alakúra

ahol és

A (3.106) formának az az előnye, hogy a rendszer időállandója és erősítése közvetlenül megjelenik a differenciálegyenletben. Ha , akkor az adott kezdeti értékéről indulva időállandóval éri el a állandósult értéket.

3 - 10 feladat Függvényábrázolás

Készítsen egy Matlab programot, amely ábrázolja a következő két időfüggvényt. Határozza meg mindkét esetben a kezdeti értéket.

a) eset

b) eset

Megoldás

(3.99) alapján

a) eset

A kezdetiérték törvény alapján

b) eset

A kezdetiérték törvény alapján az előzővel azonos értéket kapunk

(3.109) és (3.111) alapján a MATLAB program

t=0:0.05:30;
% a) esetben
f=4*exp(-0.2*t).*cos(5*t+pi/4);
% b) esetben
f=4*exp(-0.2*t).*cos(0.2*t+pi/4);
plot(t,f)
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('f(t) függvény [relatív egység]');
xlabel('Idő [s]');
title('Komplex konjugált póluspár esete');
axis([0 30 -4 4]);
grid

Mindkét esetben az időállandó , ebből következően a lengések amplitúdója kb. 25 időegység alatt csökken az eredeti érték kb. 1%-ára. Az első esetben a lengések periódus ideje egység, ez kisebb az időállandónál, így jól látható, hogy több perióduson zajlik le, amíg az amplitúdó jelentősen csökken (ld 3-28. ábra). A második esetben nagyobb az időállandónál, így gyakorlatilag egy periódus alatt a lengések amplitúdója 1% alá csökken (ld. 3-29. ábra).

3 - 11 feladat a csillapítási tétel alkalmazására

Határozza meg az alábbi függvények Laplace-transzformáltját, ahol ezt kihangsúlyozandó a szorzót odaírtuk.

, emlékeztetőül:

Megoldás

A csillapítási tétel alapján:

esetén az idővel szorzás szabálya is alkalmazható

3 - 12 feladat az eltolási tétel alkalmazására

Vázolja fel az alábbi függvényeket és határozza meg a Laplace-transzformáltjukat.

Megoldás

Azonos átalakítással és az eltolási tétel alkalmazásával:

3 - 13 feladat az inverz Laplace-transzformáció alkalmazására

(ha a Laplace-operátoros tartomány ban nincs exponenci ális tag)

Határozza meg az alábbi függvények inverz Laplace-transzformáltjait. Az összefüggések a intervallumban érvényesek.

Megoldás

Az inverz transzformáció részlettörtekre bontással, illetve a kifejtési tétel alkalmazásával végezhető el. Az összefüggések a intervallumban érvényesek.

3 - 14 feladat az inverz Laplace-transzformáció alkalmazására

(ha a Laplace-operátoros tartomány ban van exponenci ális tag)

Határozza meg az alábbi, exponenciális tagot is tartalmazó függvények inverz Laplace-transzformáltját.

Megoldás

Az inverz transzformáció az eltolási tétel alkalmazásával, illetve a periodikus függvényre vonatkozó formula alapján végezhető el. Az összefüggések a intervallumban érvényesek.

3 - 15 feladat Végérték tétel alkalmazása

Határozza meg az alábbi Laplace-transzformált függvények kezdeti és állandósult értékét a végérték tételek alapján.

Megoldás

Kezdeti értékek

Állandósult értékek

az állandósult érték tétel alkalmazásának feltétele nem teljesül, ld. (3.86) tétel utáni megjegyzés.

az állandósult érték tétel alkalmazásának feltétele nem teljesül, ld. (3.86) tétel utáni megjegyzés.

3 - 16 feladat Kezdeti meredekség

A kezdeti érték tétel segítségével határozza meg meredekségét a időpontban.

Megoldás

Abból kell kiindulni, hogy a Laplace-transzformáció csak a tartományra érvényes, ezért szigorúan nézve csak a függvényt tudjuk Laplace-transzformálni, amelynek szakadása van a időpontban, ezt felfoghatjuk úgy, hogy a kezdeti meredekség végtelen.

Ha a tényleges meredekséget kívánjuk meghatározni, akkor a függvény eltolásával kell gondoskodni arról, hogy a időpontban a kezdeti érték nulla legyen. A és függvény kezdeti meredeksége megegyezik, ugyanakkor az utóbbi függvény folytonos és a kezdeti értéke nulla, ezért

A (3.113) összefüggésből az olvasható ki, hogy a függvény a időpontban 2 értékről indul és a időpontban berajzolt érintő 0.25 időegység után éri el az időtengelyt. Vagyis az időállandója .

3 - 17 feladat Deriválási szabály alakalmazhatóságának illusztrálása

Kiindulva a szinusz és koszinusz függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg a következő két függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját

Megoldás

A koszinusz függvény Laplace-transzformáltja

Ha ezt az időszerint deriváljuk, akkor ezt meg kell szorozni -sel és le kell vonni a kezdeti értéket, az függvény esetben 1-et, az függvény esetben 0-át

Inverz Laplace-transzformálva a táblázat alapján

3 - 18 feladat Deriválási szabály alakalmazhatóságának illusztrálása

Kiindulva a szinusz és koszinusz függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg a következő két függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját

Megoldás

A szinusz függvény Laplace-transzformáltja

Ha ezt az időszerint deriváljuk, akkor ezt meg kell szorozni -sel és le kell vonni a kezdeti értéket, amely mindkét függvény esetében 0-át

Inverz Laplace-transzformálva a táblázat alapján

3 - 19 feladat Deriválási szabály alakalmazhatóságának illusztrálása

Kiindulva a szinusz és koszinusz függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg a következő két függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját

Megoldás

Trigonometrikus azonosságok alpján

3-17 és 3-18 feladat alapján

Inverz Laplace-transzformálva a táblázat és ismert trigonometrikus azonosság alapján

3 - 20 feladat Deriválási szabály alakalmazása egység sebeségugrás Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva az egységugrás függvény Laplace transzformáltjából (ld. táblázat). A Laplace-transzformált függvények idő szerinti deriválására vonatkozó szabály felhasználásával határozza meg az egység sebesség ugrás függvény Laplace-transzformáltját.

Megoldás

Induljunk ki, a következő ismertnek tekintett öszefüggésből

A deriválási szabályt alkalmazva helyettesítéssel

könnyen kifejezhető:

3 - 21 feladat Deriválási szabály alakalmazása koszinusz négyzet függvény Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva a szinusz függvény Laplace-transzformáltjából (ld. táblázat) határozza meg a következő Laplace-transzformált függvényt

Megoldás

Először határozzuk meg függvény deriváltját

Laplace-transzformáltját ismertnek tekintjük továbbá tudjuk, hogy ,

könnyen kifejezhető:

3 - 22 feladat Deriválási szabály alakalmazása szinusz négyzet függvény Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva a szinusz függvény Laplace-transzformáltjából (ld. táblázat) határozza meg a következő Laplace-transzformált függvényt

Megoldás

Először határozzuk meg függvény deriváltját

Laplace-transzformáltját ismertnek tekintjük továbbá tudjuk, hogy ,

könnyen kifejezhető:

3 - 23 feladat Idővel megszorzott függvény Laplace-transzformáltjának meghatározására

Kiindulva a szinusz függvény Laplace-transzformáltjából (ld. táblázat) határozza meg a következő Laplace-transzformált függvényt

Megoldás

Bevezetve a következő jelölést

Alkalmazva az idővel szorzás szabályt

3 - 24 feladat Domináns időállandó vizsgálata

Ábrázoljuk függvényt, és határozzuk meg a függvények kezdeti meredekségét (mind a négy esetben ). A feladatban egy-, két- és három-energiatárolós tagokra kapcsolt egységugrás válaszainak (átmeneti függvények) Laplace-transzformáltja szerepel.

Megoldás

Látható, hogy a négy esetben minimális eltérés van a felfutásban, és a beállási idő praktikusan nem különbözik. pl. ha megvizsgáljuk, hogy mennyi idő alatt csökken az eltérés az állandósult értéktől 1% alá, akkor ebben alig van különbség. A 3-30. ábra nem látszik a különbség és között, mivel esetén a legkisebb 0.01 értékű időállandó hatása hamar megszűnik. A különbségek közvetlenül a bekapcsolás után vannak. Jól megfigyelhető, hogy az egy-energiatárolós tag egy határozott meredekséggel indul, és ha az időállandónál sokkal kisebb tartományt vizsgálunk, akkor a változás jól közelíthető egy egyenessel. A kettő vagy több energiatárolós tagok nulla meredekséggel indulnak, ezt a végérték tétellel könnyen beláthatjuk.

Kezdeti meredekségek meghatározása

behelyettesítve

3 - 25 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)

Ábrázolja és határozza meg az alábbi függvények Laplace-transzformáltját, ahol .

3 - 26 feladat elsőrendű differenciálegyenlet megoldására konkrét numerikus értékekkel

Adott a következő differenciálegyenlet

ahol az állapotváltozó kezdeti értéke . Legyen

Megoldás

(3.165) egyenletet Laplace-transzformálva, és figyelembe véve a kezdeti értékre vonatkozó deriválási szabályt

kifejezhető

állapotváltozó (3.167) kifejezésében az első tag a kezdeti értéktől függ, a második a gerjesztéstől. Az inverz Laplace-transzformációt elvégezve

3 - 27 feladat soros RL kör egyenáramú gerjesztésének megváltoztatása

Van egy soros RL áramkörünk és egy kapcsolónk (ld. 3-31. ábra). A kapcsolóval az egyik ellenállást rövidre tudjuk zárni. Tegyük fel, hogy a kapcsolót periodikusan kapcsolgatjuk és 0.2 időegységig nyitva, majd ugyanennyi ideig zárva tartjuk. Határozza meg az induktivitás áramát.

Legyen R1=5Ω, R2=5Ω, és L=0.1H, a generátor feszültsége V.

Megoldás

Jelülje az áramkörben található ellenállások eredő értékét

Legyen az áramkör eredő ellenállásán eső feszültség. Az áramkörre felírható Kirchhoff hurokegyenlet:

A (3.165) egyenletet Laplace transzformálva:

(3.166) átrendezése után (tetszőleges gerjesztés mellett):

Inverz Laplace-transzformálva

Ha a kapcsoló zárva van, akkor az áram állandósult értéke és az időállandója . Ha a kapcsoló nyitva van, akkor az áram állandósult értéke: és az időállandója . Van egy-egy állandósult érték a kapcsoló két állapotának megfelelően, és a kapcsoló minden egyes átkapcsolásakor a megfelelő időállandóval térhetünk át az egyik értékről a másikra (ld. 3-32. ábra).

3-28 feladat soros RL kör szinuszos gerjesztéssel

Adott a 3-33. ábrán látható soros RL kör.

Legyen R=5Ω és L=0.1H. A generátor feszültsége csúcsértékű 50Hz frekvenciájú váltakozó feszültség, a bekapcsolás pillanatában a kezdő fázishelyzet pedig 0 fok. Fizikai megfontolások alapján az induktivitás áramának kezdeti értéke nulla. Írja fel az induktivitás áramának időfüggvényét.

Megoldás

Az áramkörre felírható Kirchhoff hurokegyenlet:

A (3.176) egyenletet Laplace transzformálva:

(3.177) átrendezése után (tetszőleges gerjesztés mellett):

Legyen az RL kör gerjesztése szinuszos feszültség. A t=0 időpillanatban bekapcsoljuk a kapcsolót. A valóságban kicsi az esély arra, hogy pont egy nulla átmenetnél zárjuk a kapcsolót. Ezért legyen az RL körre kapcsolt feszültség alakú. Megjegyezzük, hogy az áramkör kikapcsolása fizikailag nem egyszerű, mert az induktivitásban tárolt energia fenntartja az áramot és egy egyszerű kapcsoló esetén az érintkezők eltávolításakor egy ív alakul ki, de e jelenség vizsgálata nem e tantárgy kereteibe tartozik.

Mivel a t=-0 időpillanatban a kapcsoló nyitott volt, ezért , a gerjesztő feszültség pedig

Behelyettesítve

Az első tag a tranziens összetevő, a második az állandósult megoldás

Szinuszos gerjesztés bekapcsolása esetén exponenciálisan tűnik el a különbség az aktuális érték és az állandósult érték között. (ld. 3-34. ábra). Esetünkben a gerjesztés periódus ideje megegyezik az RL kör időállandójával, ezért 5 periódus elteltével csökken a tranziens összetevő a kezdeti értékének kb. 1%-ára.

A feladatot megoldó MATLAB kód

t=-10/1000:0.05/1000:100/1000;
tm=t*1000;
R=5; L=0.1; Ug=100; omega=100*pi;
 
max=size(t); max=max(2);
 
Iall=Ug/(L*sqrt((R/L)^2+(omega)^2));
fi=atan(omega/(R/L));
 
f1=Ug*sin(100*pi*t)/25;
f2=Iall*sin(100*pi*t-fi);
f3=-Iall*sin(-fi)*exp(-t*R/L);
 
for I = 1:max
    if t(I) <0
        f2(I)=0;
        f3(I)=0;
    end
             
end
 
f4=f2+f3;
 
plot(tm,f1,'k',tm,f2,'g',tm,f3,'r',tm,f4,'b')
set(gca, 'fontsize', 17);
ylabel('Áramerősség [A]');
xlabel('Idő [ms]');
title('Szinuszos feszültség bekapcsolása');
text(-3,3,'i_{tr}','FontSize',18)
text(-3,-3.7,'u_g/25','FontSize',18)
text(3,-2,'i_{áll}','FontSize',18)
text(13,4.5,'i_L','FontSize',18)
 
axis([-10 100 -4 5.5]);
 
grid

Természetesen, ha pl. az ellenállás értékét ötszörösére növelve ötödére csökkenmtjük az RL kör időállandóját, akkor egy perióduson belül hozzá simul az állandósult értékhez (ld. 3-35. ábra).