9. fejezet - Laplace-transzformációhoz kapcsolódó levezetések

Tartalom
9.1. Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja
9.1.1. Az egységugrás Laplace-transzformáltja
9.1.2. Az egységnyi sebességugrás Laplace-transzformáltja
9.1.3. Az exponenciális függvény Laplace-transzformáltja
9.2. Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek)
9.2.1. LINEARITÁSI szabály
9.2.2. ELTOLÁSI szabály
9.2.3. HASONLÓSÁGI szabály
9.2.4. DIFFERENCIÁLÁS az időtartományban
9.2.5. INTEGRÁLÁS az időtartományban
9.2.6. Végérték tételek

9.1. Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja

9.1.1. Az egységugrás Laplace-transzformáltja

f(t)=ε(t) F(s)=?

F( s )=£{ ε( t ) }= 0 ε( t ) e st dt = [ e st s ] 0 =0( 1 s )= 1 s

(9.1)

miután feltételünk volt, hogy Re{s}= > 0.

9.1.2. Az egységnyi sebességugrás Laplace-transzformáltja

f(t)=ε(t)tF(s)=?

F( s )= 0 t e st dt

(9.2)

Az alábbi parciális integrálási szabályt alkalmazva:

uv˙dt=uvu˙vdt(ddt(uv)=u˙v+uv˙/uv=u˙vdt+uv˙dtuvu˙vdt=uv˙dt) ,ahol u( t )=t v ˙ ( t )= e st u ˙ ( t )=1 v( t )= e st s

(9.3)

Behelyettesítve:

F( s )= 0 t e st dt = [ t e st s ] 0 0 1 e st s dt=0( 0 )+ 1 s 0 e st dt = 1 s 1 s = 1 s 2

(9.4)

9.1.3. Az exponenciális függvény Laplace-transzformáltja

Az f( t )= e t T időfüggvény Laplace transzformáltja:

F( s )= 0 e t T e st dt= 0 e ( s+ 1 T )t dt = [ e ( s+ 1 T )t ( s+ 1 T ) ] 0 = 1 s+ 1 T = T 1+sT

(9.5)

tehát az exponenciális függvénynek is algebrai függvény felel meg!

9.2. Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek)

A Laplace transzformáció tehát az f(t) valós változójú függvényhez a transzformációs összefüggés szerint az s komplex változójú függvényt rendeli.

Kérdés: az f(t) függvényen végzett alapvető műveletek miként érvényesülnek a transzformált tartományban?

9.2.1. LINEARITÁSI szabály

Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja {f(t)}=F(s)akkor {Kf(t)}=K{f(t)}=KF(s).

Adott f1(t), f2(t), amelyeknek Laplace transzformáltjai F1(s), F2(s)akkor {f1(t)+f2(t)}= {f1(t)}+ {f2(t)}=F1(s)+F2(s).

Mindkét törvényszerűség azzal igazolható, hogy a Laplace-transzformáció tulajdonképpen határozott integrál.

9.2.2. ELTOLÁSI szabály

Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja {f(t)}=F(s), ekkor f(t-) esetén a Laplace-transzformáció eredménye:

Laplace transzformáció eredménye
9.1. ábra - Laplace transzformáció eredménye


Legyen t-=z, ekkor t=z+, amiből dt=dz következik.

£{ f( tτ ) }= 0 f( tτ ) e st dt = 0 f( z ) e ( z+τ )s dz = 0 f( z ) e zs e τs dz = = e τs 0 f( z ) e zs dz = e τs F( s )

(9.6)

9.2.3. HASONLÓSÁGI szabály

Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja {f(t)}=F(s), ekkor f(at) esetén a Laplace-transzformáció eredménye:

Legyen at=z , ekkor t= z a és dt= 1 a dz .

£{ f( at ) }= 0 f( at ) e st dt= 0 f( z ) e s z a 1 a dz = 1 a 0 f( z ) e s a z dz = 1 a F( s a )

(9.7)

9.2.4. DIFFERENCIÁLÁS az időtartományban

Adott f( t ) , amelynek deriváltja d dt f( t )= f ˙ ( t ) , és { f( t ) }=F( s ) . Első lépésként, a már bemutatott, parciális integrálást alkalmaztuk a következő helyettesítéssel: v ˙ = f ˙ ( t ) és u= e st ,v=f( t ), u ˙ =s e st , továbbá feltételezzük, hogy s értékét megfelelően választjuk meg.

{ f ˙ ( t ) }= 0 f ˙ ( t ) e st dt= 0 ( d dt ( f( t ) e st ) )dt 0 f( t )( s ) e st dt

(9.8)

Vizsgáljuk meg (9.8) jobboldalának első tagját. Mivel létezik f( t ) Laplace-transzformáltja, ezért f( ) e s =0 . (9.8) második integráljából s kiemelhető, ami marad az pedig f( t ) Laplace-transzformáltja.

{ f ˙ ( t ) }= [ f( t ) e st ] 0 0 f( t )( s ) e st dt=sF( s )f( 0 )

(9.9)

Általánosan:

[ d n d t n f( t ) ]= s n F( s ) i=0 n1 ( s ) i   f ( n1i ) ( 0 )

(9.10)

ahol   f ( i ) ( 0 ) az f( t ) függvény i -dik deriváltjának baloldali határértéke a t=0 helyen.

9.2.5. INTEGRÁLÁS az időtartományban

Adott f(t), amelynek létezik a primitív függvénye, és £ {f(t)}=F(s).

Mi lesz az időtartománybeli integrál Laplace-transzformáltja?

£{ 0 t f( τ )dτ }= 0 0 t f( τ )dτ e st dt= [ 0 t f( τ )dτ 1 s e st ] 0 + 1 s 0 f( t ) e st dt =0+0+ 1 s F( s )

(9.11)

A feladatot parciális integrálással oldottuk meg, a következő helyettesítéseket alkalmazva: u= 0 t f( τ )dτ , v ˙ = e st . A kapott eredmény általánosítható, akkor 1 s n F( s ) lesz az eredmény.

Fontos következtetés: mivel a differenciálásnak illetve integrálásnak az s-el való szorzás illetve osztás felel meg, a differenciálegyenletek helyébe a transzformált tartományban algebrai egyenletek lépnek. Így a feladatok megoldása lényegesen egyszerűsödik.

9.2.6. Végérték tételek

A végérték tételek segítségével lehetőségünk van meghatározni a kezdeti és az állandósult állapotbeli értékeket anélkül, hogy az inverz transzformációt elvégeznénk. Elsőként határozzuk meg a kezdeti értéket. A tétel alkalmazható, ha a függvénynek létezik a nulla körüli Taylor sora:

f( t )= a 0 + a 1 t+ a 2 2! t 2 += i=0 a i i! t i

(9.12)

Végezzük el az inverz transzformációt

F( s )= a 0 s + a 1 s 2 + a 2 s 3 += i=0 a i s i+1

(9.13)

A két sor összevetéséből kapjuk a következő összefüggést:

f( +0 )= lim t0 f( t )= lim s sF( s )= a 0

(9.14)

A tétel megfordítása (limtf(t)=lims0sF(s)) csak akkor igaz, ha F(s) si pólusaira teljesül a Re( s i )0 feltétel. A legegyszerűbb a tételt akkor belátni, ha a pólusok egyszeresek. Ekkor a kifejtési tétel alapján:

lim t f( t )= lim t i=1 n K i e s i t =0,

(9.15)

mivel az exponenciális függvény negatív valósrész esetén zérushoz tart. Az egyenlőség jobb oldala:

lim s0 sF( s )= lim s0 i=1 n s K i s s i =0,

(9.16)

szintén zérushoz tart. Igaz a tétel akkor is, ha valamely pólus valósrésze zérus, hiszen ekkor mindkét oldal Kk-hoz tart, ahol k a zérus valósrészű pólus indexe.

A többi eset számunkra nem túl érdekes, hiszen – mint a későbbiekben majd látni fogjuk – csak ekkor ( Re( s i )<0 ) stabil a rendszer.