6. fejezet - Súrlódás modellek és kompenzációja

Érdekes, de talán nem meglepő, hogy az első súrlódási modell Leonardo Da Vinci-től (1452-1519) származik. Leonardo megmérte az erőket az objektumok között, mind horizontális, mind elhajló felület esetén, ezáltal felismerte a különbséget a csúszó és gördülő súrlódás között, valamint a kenés jótékony hatását. Ahogy a 6.1.ábra mutatja, Leonardo kíváncsi volt a látható területeken okozott hatásokra. Ezt írta a jegyzetébe: „A súrlódás azonos súly esetén egyenlő ellenállást okoz a mozgás kezdetén, habár a kapcsolat különböző szélességeken és hosszúságokon keresztül történik.” A fenti megfigyelés teljes összhangban van a súrlódás első kettő törvényével. Leonardo bevezette az első együtthatót a súrlódási erő és a szabályos terhelés arányaként, azonban feltételezte, hogy minden súrlódó testnek van súrlódási ellenállása, amely a súly negyedével egyenlő.

6.1. ábra - Leonardo súrlódás mérés kísérletei

Robert Hook-ot a híres Steven's szekere - ez egy hajóféle, amely kerekeken mozgott, vitorlával és megfelelő kötélzettel volt ellátva – inspirálta. Próbálta megfejteni a gördülő súrlódást, és felismert két dolgot: "Az első és legfontosabb a hajlékonyság, a kerekek súlya, amelyek gördülnek és nyomnak, és a második ezek részeinek a tapadása, ragadása a kerékhez;…". A jövőben különbséget tett a maradó, és a nem maradó alakváltozás szerepe között, és megfejtette az akadozás és tapadás kérdéseit.

Guillaume Amontons (1673-1705) is részt vett számos súrlódással foglalkozó tudományos munkában. Kísérletei eredménye és azok értelemzései megjelentek a „Royal Academia”-ban 1699-ben. A készülék, amelyet Amontons használt a kísérleteiben a 6.2 ábrán látható. A tesztpéldányok, amelyeket AA és BB-vel jelöltünk, különböző rugókkal együtt voltak megterhelve, ezt jelzi a CCC, amíg az erőhatás le nem győzi a súrlódó erőt és el nem indítja a csúszást, amelyet a rugón (D) mérhetünk.

6.2. ábra - G. Amontons súrlódási kísérlete

Ha szilárd testek egymáson kenőanyag nélkül mozognak, akkor száraz súrlódásról beszélünk. Valóságban száraz súrlódás nincs, mert mindig valami kevés kenőanyag marad a felületre tapadva. Elegendő, ha a felületre néhány molekulányi vastag levegő vagy gázréteg tapad, ez is csökkenti a súrlódási ellenállást. Az egymáson elmozduló felületek részben rugalmas, részben képlékeny alakváltozást szenvednek, a kiálló részek letöredezhetnek, vagy összehegedhetnek. A súrlódási tényező 0,3..1,3 között változik. Azért mégsem tárgyalhatjuk ezt a jelenséget olyan egyszerűen, mivel itt egy komplexebb folyamatról van szó.

Amikor két felület találkozik, és rajtuk erőt fejtünk ki, de nem történik csúszás, akkor a kapcsolódás durvasága, mint egyik fontos tulajdonság kerül előtérbe. A két test érintkezési felülete elasztikusan deformálódik, létrejön egy kezdeti csúszási elmozdulás, és mindkét felület határrétege képlékenyen deformálódik, kialakul a száraz vagy statikus súrlódás. Ahogy a mechanikából ismert, a kapcsolódások ilyenkor mindkét, tangenciális és normál irányban is deformálódhatnak. Amikor a tangenciális erőt először alkalmazzuk, akkor a tömeg egy kis elmozdulása figyelhető meg tangenciális irányban. Ez az elmozdulás 10-4…5  10-3 mm -es tartományban van, ami megszűnik, ha az anyagnak nincs csúszási hajlama. Az utóbbi esetben a test még kúszni fog a felületen, eleinte még meglehetősen kis sebességgel (kb. 105  mm/sec), ami ezután pedig lecsökken. Nagyon puha anyagoknál, mint pl. az indiumnál és a grafitnál ez a szakasz lassú és állandó csúszási sebesség alakul ki kb. 10-5 – 10-7  mm/sec tartományban.

Tanulmányozva a golyóscsapágyak forgását, Dahl észrevette, hogy az elmozdulás arányos az alkalmazott erővel, amíg el nem érjük a kritikus erőt, ahol az elszakadás történik. A tangenciális terhelés alatt a felületi réteg rugalmasan deformálódik, majd visszaáll eredeti helyzetébe, ha a terhelő erőt megszüntetjük. Dahl modellezte ezt a jelenséget, kis rugókkal helyettesítve a kapcsolódásokat a két megfelelő felület között. Amikor tangenciális erőt alkalmazunk, a rugók deformálódnak, és elmozdulás történik. A vonzási egyenlet a következő összefüggéssel adható meg :

Ahol az Ft a tangenciális erő, a kt a kapcsolódás keménysége, az x pedig az egyensúlyi helyzettől való kitérés. A kt, ami a tangenciális keménység, pedig a felületi réteg geometriájának, - más szóval a durvaság geometriája -, az anyag rugalmasságának és az alkalmazott normális erőnek a függvénye. Első közelítésben nézzük az elszakadási elmozdulást, ami konstans, ennélfogva a keménység megadható a következő egyenlettel :

ahol az Fb az elszakadáshoz tartozó erő, és az x a felületi réteg maximális deformációja az elszakadás előtt. Ha a normális erő változó és a súrlódási együttható konstanssá válik, akkor a normális erő arányos lesz kt-vel.A kezdeti csúszási elmozdulást a mechanikai szakcikkekben "micro-slip"-nek is nevezik. Az átmenet a kezdeti csúszási elmozdulásból a csúszásba meglehetősen komplex. Nincs hirtelen átmenet a csúszásba, a csúszás először a kapcsolódás határán történik, majd tovább terjeszkedik a középpont irányába.

Kiterjedt vizsgálatokat végeztek, hogy különböző vegyi hatások hogyan csökkentik le a felület súrlódási tényezőjét. Ez a csökkenés különösen nagy volt grafit és molibdén-diszulfid felületen való alkalmazása esetén, mivel ezeknek az anyagoknak az a sajátossága, hogy kiegyenlítik az egyenlőtlenségeket, és tükörsima felületet hoznak létre.

Ez a súrlódás akkor lép fel, amikor a súrlódó felületeken kb. 1…2 molekulányi vékonyságú folyadékréteg tapad meg, és ez bizonyos kenőhatást fejt ki. A súrlódási tényező értéke 0,1…0,3 között mozog.

A határkenés - így is nevezik - fő jellemzője még a nagyon kis sebesség, ennélfogva a folyadéksúrlódás nem is kap szerepet, ahogyan a sebesség is túl kicsi, hogy kialakuljon a folyadéksúrlódási réteg. Ebben az állapotban a határréteg biztosítja a kenést. Ennek folytonosnak és szilárdnak kell lennie, hogy fennmaradjon ez az állapot a kapcsolódási feszültség alatt is, és kis nyírófeszültségek ébredjenek a súrlódásnál.

Azt gondolhatjuk, a nyíróerőnek köszönhető, hogy két szilárd felület közötti határkenésnél a súrlódás nagyobb, mint a részleges vagy teljes folyadékkenésnél. Azonban ez nem mindig igaz. Nem feltétlenül szükséges, hogy a nyíróerő nagyobb legyen, mint a folyadék viszkózus ereje, gondoljunk például az üvegre. Nagyon sok anyagnál kisebb lesz a nyíróerő, mint a viszkózus áramlás ereje a folyadékban. Bizonyos határkenési állapotnál a súrlódási szint alatta marad a Coulomb súrlódásnál tapasztaltnak, és teljesen kiküszöböli a stick-slip-et (akadozó csúszást). Elméletileg a kenőanyag viszkozitásának nincs hatása ebben az esetben a súrlódásra. Csapágyakban a kenés kimaradása esetén előálló helyzet az, amikor ez a fajta, azaz határréteg súrlódás alakul ki, de mindig jelentkezik egy bizonyos mértékű hidrodinamikai hatás is.

Ha az egymáson elmozduló felületek között kenőanyag is van, de nem annyi, hogy a felületek egymástól teljesen elváljanak, akkor vegyes vagy részleges súrlódás jön létre. Ez a súrlódási állapot lényegében a határréteg súrlódásból és a tiszta folyadéksúrlódásból tevődik össze. A kenést ekkor a felületre tapadó, igen vékony felületi kenőanyagréteg biztosítja, amely még a csúcsokon is csökkenti a súrlódást. A súrlódási tényező értéke attól függően változik, hogy milyen arányban vesz részt a kenésben a határréteg súrlódás és a teljes folyadéksúrlódás

= 0,05…0,1. Ebben a súrlódási állapotban igen könnyen bekövetkezhet a csúcsok berágódása, vagy összehegedése, mert aránylag kis csapágyhőmérsékletnél is több száz keletkezhet.

Részleges folyadékkenés tehát akkor alakul ki, amikor a folyadék az érintkezési zónákba kerül a mozgás miatt, csúszásnál vagy éppen forgásnál. A terhelés ráadásakor a nyomás keletkezésénél néha előfordul kis kenőanyag kiáramlás, de ezt a viszkozitás megakadályozza, mégpedig a vékony folyadékréteg formálásával. Ez persze függ a mozgás sebességétől, a kapcsolódás geometriájától, és a kenőanyag viszkozitásától. Amikor ez a vékony réteg nem vastagabb, mint a felületi érdességmagasság, akkor beszélünk részleges folyadékkenésről, ilyenkor szilárd rész találkozik szilárd résszel. Amikor a filmréteg elég vastag, és az elválás tökéletes, akkor a terhelést teljes egészében a folyadék veszi fel. A részleges folyadékkenést talán könnyebb megértenünk, ha a vízisíelő analógiájára gondolunk. Nulla sebességnél a síelő úszva maradhat csak fenn a vízen. A kritikus sebesség fölött a síelőt a síléc mozgása tartja fönt a vízen. Az álló és mozgó helyzet között van a hidrodinamikus tartomány.

Ezek a sebességek jelentik az analógiát a részleges folyadékkenésre. Azonban ez az analógia nem teljesen tökéletes, mivel az úszásnál nem szilárd-szilárd a kapcsolat, mozgásnál pedig a síelő a folyadék tehetelenségének és nem a viszkozitásnak köszönheti a támaszt, mint a folyadékkenés esetében. Amikor a síelő növelte sebességét, és elemelkedett, akkor a vele szemben fennálló ellenállások lecsökkentek, így engedve számára a még gyorsabb haladást. Ahogy a részleges folyadékkenésnél a sebességet növeljük, a szilárd-szilárd kapcsolat csökken, a súrlódás kisebb lesz, és növekedik a mozgó részek gyorsasága.

A határkenés nagyon fontos szerepet kap a stick-slip jelenségében. A határkenési állapot tényleges megfejtése a megfelelő molekulák felfedezése, amelyek korrodálás nélkül összekötik a nagy szilárdságú acélfelületeket. Több feltételt kellene, hogy kielégítsenek: elegendő szilárdságúak legyenek, ellenálljanak a csúszóerőknek, és kis nyíróerőhöz kis súrlódás tartozzon. Az ilyen molekulák növelik a kenőanyag terjedelmét (gépolaj vagy zsír) és jellemzően az összes molekula kevesebb, mint 2 %-át alkotják. A kenőanyag adalékok három általános osztályba sorolhatók: síkosító hatóanyagok, magas nyomású hatóanyagok, és kopás ellenes hatóanyagok. Száraz kenőanyagok, olyan mint a Teflon, a mechanizmusok számos variációiban működik. A legfontosabb feltétel az ilyen hatóanyagoknál a csillapítás, amelyek révén kialakulhat a teljes folyadékkenés. A részleges folyadékkenés modellje a tribológia tudományának egyik legnehezebb része. Manapság észrevehetjük, hogy a felületek érdességeinek, méreteinek és orientációjának részletessége egyre komplikáltabbá teszi a kapcsolódó felületek egymás közötti kölcsönhatásának analízisét.

Az egymáson elmozduló felületek között bizonyos körülmények között összefüggő olajhártya alakul ki, és ebben elegendően nagy a nyomás, amely a terhelés ellenére a két felületet szétválasztja egymástól, megszüntetve a fémes érintkezést. Mivel ilyenkor a két felület nem találkozik egymással, kopás sem jön létre. A súrlódási tényezőt ilyenkor a kenőanyag belső súrlódása határozza meg, amit folyadéksúrlódásnak nevezünk. Ebben az állapotban a súrlódási tényező értéke a kenőanyagban kialakult nyomástól, és a kenőanyag viszkozitásától függ, megközelítőleg = 0,001…0,01. A belső súrlódási ellenállás meghatározható, ha feltételezzük, hogy a kenőanyag áramlása lamináris, vagyis réteges (ld. 6.3. ábra).

6.3. ábra - A kenőanyag áramlása

Áramlástani ismereteink szerint a csúszó felületek közötti csúsztató feszültség arányos a sebesség y tengelymenti változásával, a sebességgradienssel, azaz

Az egyenletben az [Pa] egy arányossági tényező, amely a kenőanyag belső súrlódására jellemző, ezt a kenőanyag dinamikai viszkozitásának nevezzük. Ha ismerjük a két lap közötti sebességeloszlást, akkor meghatározható a felső síklap állandó mozgatásához szükséges erő, mely a következő összefüggéssel határozható meg,

ahol dA a síklap elemi felülete és A a síklap felülete.

Az eddig tárgyalt esetek, súrlódási állapotfajták a valóságban mindig csak együttesen fordulnak elő, és határozzák meg a test súrlódási állapotát.

A következőkben az egyik legnagyobb problémát okozó jelenségről szeretnénk néhány szót szólni, amely általában egyenes vonalú mozgásnál, egymáson elcsúszó felületek elcsúszásakor következik be, főleg megmunkáló gépek ágyvezetékeinél, szánok mozgásainál. Ezt a jelenséget a szakirodalomban akadozó csúszásnak (stick-slip) nevezik.

Kis csúszási sebességnél a mozgás egyenlőtlen, ugrásszerűen változik, úgy is mondhatjuk, hogy oszcillál. Ez az ugrásszerű sebességváltozás olyan nagy mértékű is lehet, hogy egy-egy ilyen periódus alatt a sebesség zérusra csökkenhet. Ilyenkor a mozgás akadozóvá válik. Az akadozó csúszást az okozza, hogy a test rugalmas alakváltozást szenved, másrészt a nyugvásbeli és mozgásbeli súrlódási tényezők értéke különböző. Ezenkívül a mozgásbeli súrlódási tényező értéke és a sebesség között nem lineáris a kapcsolat. A mozgásbeli súrlódási tényező értéke mindig nagyobb, mint a nyugvásbeli súrlódási tényező értéke.

Az akadozó csúszás megértéséhez érdemes egy fizikai modellt elképzelnünk, ami két testből áll, ezek egymáson csúsznak, a felsőt pedig egy rugalmas elemmel, például egy rugóval hajtjuk. Amikor a felső elmozduló test az alsóra tapad, akkor a v sebesség zérusra csökken. Ekkor a rugalmas hajtóelem összenyomódik, így a rugóerő hirtelen nőni kezd, míg el nem éri és nagyobb nem lesz, mint a nyugvásbeli súrlódó erő. A test hirtelen megindul, a sebessége v, és a mozgásbeli súrlódó erő (F) pedig kisebb, mint a nyugvásbeli (F), a lengés megindul. A tapadás és csúszás periódikusan ismétlődik. Azt a sebességet, ahol nincs letapadás, kritikusnak vagy határsebességnek nevezzük.

A legegyszerűbb és talán a leginkább ismert modell az úgynevezett Coulomb súrlódási modell. A modellben használt nagyfokú egyszerűsítések és elhanyagolások ellenére nagymértékben használja a mérnöki társadalom, amikor a dinamikus hatások elhanyagolhatóak. Mindazonáltal, a Coulomb modell az összes továbbfejlesztett modellnek alkotóeleme. A Coulomb súrlódó erő Fc állandó nagyságú erő, mely a mozgással ellentétes irányban hat:

Amikor

Ahol FN a felületeket összeszorító erő és a súrlódási tényező. A meghatározható különböző feltételekkel végzett mérésekből. A legnagyobb probléma a Coulomb modellel, hogy nem képes a nulla körüli sebességtartomány kezelésére. Ahhoz, hogy ezt a modellt alkalmazni tudjuk ezekre az esetekre, bevezetjük a 0 tényezőt. A mozgás kezdetekor felcseréli -t a (6.9) egyenletben, egészen addig, amíg el nem kezdődik a folyamat állandósult állapota. A és 0 értéke megtalálható a fontosabb fizika, vagy mérnöki táblázatokban, különböző anyagpárokra, száraz és síkosított esetekre.

Az első ilyen jellegű táblázat a XVIII. század elején készült. Megjegyzendő, hogy ez a legegyszerűbb és leggyorsabb módja a súrlódás számításának, de ez a módszer akár 20%-os pontatlansággal is járhat.

A viszkózus súrlódási elem modellezi a súrlódási erőt az elmozdulás sebességével arányosan.

Amikor

A statikus súrlódás erőkényszer.

Ha

ahol Fs a statikus súrlódó erő, egy további terhelés az Fc -n a Coulomb súrlódási erőn.

A csúszás előtti elmozdulást először Dahl tanulmányozta és modellezte [40]. A  2.2 képlet alapján:

(2.12)

ahol Ff(x) a súrlódási erő a csúszás előtti elmozdulás függvénye, kt az anyag merevsége, és x az elmozdulás. kt anyagtulajdonság, de a (6.12) egyenletből számítható, ha x 1-50 [m] között van.

Többféle modell áll rendelkezésre a jelenség leírásához. Kato elméleti modellje [85] a következő:

ahol a végső statikus súrlódás, vagyis a statikus súrlódás nagysága nagyon hosszú idő után, nyugalomban, FC a Coulomb súrlódás a beragadás pillanatában, és m pedig tapasztalati paraméterek 0.04 és 0.64, illetve 0.36 és 0.67 között. Kis hosszú ébredési időt jelent. A nem-konformális kapcsolatot megvizsgálva Amstrong-Hélouvry a  = 1.66 és m = 0.65 [6] –t állapította meg.

Egy másik modell, amelyet Amstrong-Hélouvry [6] dolgozott ki, megszünteti FC használatát a statikus súrlódás ébredésének pillanatában. Ennek a modellnek kevesebb a paramétere, mint a 2.13 egyenletének.

ahol a statikus súrlódás szintje a csúszás n-dik ciklusának kezdete, a statikus súrlódás szintjének a vége az előző csúszásciklus végén, a végső statikus súrlódás, a kísérleti paraméter. Jegyezzük meg, különbözik a (6.13) egyenletben közölt mértékegységtől.

A súrlódási memória egyszerűen időkéséssel modellezhető:

ahol Ff(t) az azonnali súrlódási erő, Fvel() a súrlódás az állandósult-állapotbeli sebesség függvényében, és t a késleltető paraméter. A súrlódás időkésését mérve Hess és Soom [75] ezt 3 és 9 ms közöttinek találta a terheléstől és kenéstől függően. Ők szintén rámutattak, hogy a késés növekszik a kenőanyag viszkozitásának növekedésével, és a kapcsolati terhelés növekedésével. De úgy tűnik, hogy független az oszcillációs frekvenciától.

Egy rúgó által húzott egységnyi tömeg súrlódással, ez volt az akadozó csúszás szimulációjának kiindulási modellje. A rugó szabad vége konstans sebességgel mozgott. Mind a rendszer merevsége, mind a sebesség olyan módon volt megválasztva, hogy akadozó-csúszás keletkezzék. (vrugó = 0.02 m/s, krugó = 0.1 N/m). Ezek az értékek ugyanazok voltak a különböző modellek esetében.

A 6-5.-től 6-10-ig sorszámú ábrák mutatják a szimulációs eredményeket. A felső görbe az erő, az alsó pedig az elmozdulás az idő függvényében.

Mind a hét-paraméteres modell, mind a Karnopp, mind a LuGre modell esetében sima görbét kapunk. A Karnopp modell nem tartalmazza az időkésést, és a rendszer válasza bármilyen változásra azonnali. Ez az oka annak, hogy az erő értéke negatívvá válik a mozgás kezdetekor. Mind a módosított Dahl, mind az M2 modellek meg nem engedhető oszcillációt mutatnak, ami a súrlódási erőre szuperponálódik rá, amikor a tömeg beragad. De meg kell jegyeznünk, hogy az M2 modell esetében az eredeti forrás [33] sima görbét mutat. Valószínűleg ez speciális paraméterezéssel el is érhető.

6.5. ábra - Hét-paraméteres modell, akadozó csúszás görbe

6.6. ábra - Karnopp modell, akadozó csúszás

6.7. ábra - LuGrell modell, akadozó csúszás görbe

6.8. ábra - Módosított Dahl modell, akadozó csúszás görbe

6.9. ábra - M2 modell, akadozó csúszás görbe

Az előzővel egyező rendszert állítottunk be a sebesség irányváltásainak szimulációjához. A rugó szabad vége Asin(t) szinuszosan változó sebességel lett rángatva, ahol A = 1 m/s volt. A szimulációval kapott súrlódási erő, sebesség, elmozdulás, és rugóerő időfüggvényeket 6.10-től 6-29-ig sorszámú ábrákon tekinthetjük meg. A vékony szaggatott vonal mutatja a sebességet, kivéve az elmozdulásnál, mert ott a szabad vég felöli elmozdulást ábrázoltuk.

6.10. ábra - Hét-paraméteres modell, a súrlódóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.11. ábra - Hét-paraméteres modell, a rúgóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.12. ábra - Hét-paraméteres modell, tömeg sebességének megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.13. ábra - Hét-paraméteres modell, az elmozdulás megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.14. ábra - Dahl modell, a rugóerő megváltozása a sebes ség irányváltásánál

6.15. ábra - Módosított Dahl modell, a tömeg sebességének megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.16. ábra - Módosított Dahl modell, a súrlódóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.17. ábra - Módosított Dahl modell, az elmozdulás a sebesség irányváltásánál

6.18. ábra - LuGre modell, a rugóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.19. ábra - LuGre modell, a tömeg sebességének megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.20. ábra - LuGre modell, a tömeg elmozdulásának megvál tozása a sebesség irányváltásánál

6.21. ábra - LuGre modell, a súrlódóerő megváltozása asebesség irányváltásánál

6.22. ábra - Karnopp modell, a tömeg sebességének megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.23. ábra - Karnopp modell, a tömeg elmozdulásának megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.24. ábra - Karnopp modell, a súrlódóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.25. ábra - Karnopp modell, a rugóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.26. ábra - M2 modell, a tömeg sebességének megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.27. ábra - M2 modell, a tömeg elmozdulás megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.28. ábra - M2 modell, a súrlódóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

6.29. ábra - M2 modell, a rugóerő megváltozása a sebesség irányváltásánál

Egy szimulációsorozatot végeztünk, hogy megmutassuk a hiszterézis jelenségét a sebesség függvényében, iránytól független mozgás esetén. A sebességet 0.06 + 0.04sin(t)-re állítottuk be, és két különböző t értékre végeztük el a szimulációt (0.1 és 1 Hz). Az 6-30-től 6-33-ig terjedő sorszámú ábrák mutatják az eredményt. Nagyobb értékek nagyobb hiszterézisgörbét mutatnak. Az átmeneti vonalak az állandósult állapotban nem lettek eltávolítva. A hiszterézis effektust minden esetben megfigyelhető, kivéve a Karnopp modellt. Ezért a görbe még sok ismétlés után is nyitott, habár t = 1 Hz esetén némi konvergenciát mutat. Ez a Karnopp modell nem dissszipatív jellege miatt van így.

6.30. ábra - Hét-paraméteres modell, a súrlódási erő hiszterézise a sebesség függvényében

6.31. ábra - Módosított Dahl modell, asúrlódási erő hiszterézise a sebesség függvényében

6.32. ábra - Karnopp modell, a súrlódási erő hiszterézise a sebesség függvényében

6.33. ábra - M2 modell, a súrlódási erő hiszterézise a sebesség függvényében

A zérus sebességnél javallott, hogy a modellek nem lineáris rugókarakterisztika jelleget mutassanak. Hogy ezt szimuláljuk, csak egy egészen kis erőt - kisebbet mint az elszakadási erő szintje - alkalmaztunk, minden esetben ugyanakkora nagysággal (F = 0.5 N). A fel- és leterhelési ciklusokat a szinusz függvény biztosította a megadott amplitúdóval, egységnyi tömegen. Az eredmény előcsúszási elmozdulás görbéket az 6.34-től 6.37-ig terjedő sorszámú ábrákon ábrázoltuk. Jegyezzük meg, hogy a Karnopp súrlódási modell nem tartalmazza ezt a tulajdonságot, nem úgy, mint a többi modell. A hét-paraméteres modell nem mutat hiszterézis jelenséget. Ennek az az oka, hogy a hét-paraméteres modell lineáris rugóelemet alkalmaz a Dahl effektus modellezésére. Érdekes lehet megjegyezni, hogy az M2 modell már az első ciklus után eléri az állandosult állapotát.

6.34. ábra - Hét-paraméteres modell előcsúszási elmozdulás görbéje

6.35. ábra - LuGre modell előcsúszási elmozdulás görbéje

6.36. ábra - Módosított Dahl modell előcsúszási elmozdulás görbéje

6.37. ábra - M2 modell előcsúszási elmozdulás görbéje

Az 6.38-től 6.42-ig terjedő sorszámú ábrák mutatják a különböző rendszerek átmeneti függvényeit, a válasz az

egység-sebességugrás bemenetre készült, kivéve a Karnopp modell esetében, ahol az ugrásfüggvény egységnyi erő volt.

6.38. ábra - Hét-paraméteres modell válasza

6.39. ábra - Módosított Dahl modell válasza

6.40. ábra - LuGre modell válasza

6.41. ábra - Karnopp modell válasza

6.42. ábra - M2 modell válasza

Hat dinamikus súrlódási modellt mutattunk be részleteiben, ötöt vizsgáltunk meg különböző szimulációkban. Tulajdonságaik az alábbi táblázatban láthatóak. A Karnopp modellt eredetileg valós idejű használatra tervezték. A nulla körüli kis környezetben használva könnyen megoldható az integrálás véges mintavételezési ideje. Mindazonáltal ez a modell az 1980-as években lett kifejlesztve a mai fejlettebb szoftver-csomagok és a javított mintavételezési idő lehetővé teszi a bonyolultabb modellek valós-idejű használatát. A Karnopp modell szintén nem tartalmazza a disszipatív modellezést sem.

A hét-paraméteres modell a Karnopp modellel együtt korai, de sikeres próbálkozásai voltak a súrlódás modellezésének. Bár a hét-paraméteres modell tartalmazza az összes kívánt tulajdonságot a súrlódás pontos modellezéséhez, de annyira összetett, hogy nagyon nehéz ezt a modellt felhasználva működő szabályozási rendszert készíteni. Idáig a hét-paraméteres modell paramétereinek a kiszámítása is kihívás volt, talán ma már léteznek olyan új azonosító eljárások, mint például az AEP [88], amik remélhetőleg sikeresen használhatóak. A LuGre modell talán a legígéretesebb modell, ami nem csak tapasztalatilag, hanem elméletileg is alá van támasztva. Emellett sima súrlódási görbét ad, nem úgy, mint bizonyos esetekben az M2 modell, és sok esetben a módosított Dahl modell. Az állapottér modell a tudomány két területének összefogásából született: a geofizika, valamint a gépészet és a gépelemek. Végül nem maradt más kérdés, csak annak eldöntése, hogy melyik modellt kell használni. Alapjában ez a környezettől, a megengedhető hibától, a hibatűréstől, és a számítási teljesítményektől függ. A modellek számítási igény szerinti sorrendje a következő: Karnopp, módosított Dahl, állapottér modell, LuGre, hét-paraméteres, M2 modell.