6. fejezet - Állapottér reprezentáció

Ha egy mátrixnak csak egyszeres gyökei vannak, a sajátvektorokból álló modális mátrixának segítségével diagonizálhatjuk az mátrixot.

Bizonyítható, hogy

ezért

(6.36) alapján

(6.40) alapján a MATLAB „eig” utasítás segítségével a kitevőben szereplő mátrix felbontható

6 . 2 feladat Egy RLC kör állapottér egyenletének felírása és megoldása

Tekintsük a 6-2. ábrán látható RLC áramkört

Az áramköri elemek: . A t=0 időpillanatban bekapcsoljuk az tápfeszültséget. (A bemenetre egységugrás jelet kapcsolunk) A kondenzátor a bekapcsolás előtt 10V-ra van feltöltve. A kondenzátor feszültsége a kimenőjel.

Átviteli függvény

Kirchhoff huroktörvény alapján

A kondenzátor alapegyenlete

Helyettesítéssel

Ha a bemenőjel és a kondenzátor feszültsége a kimenőjel, akkor

A rendszer differenciálegyenletének Laplace transzformáltja a (6.48) helyettesítéssel

Az átviteli függvény

Állapottér reprezentáció

Az átviteli függvény egyedi, de az állapotteres leírás nem egyedi, például legyen

akkor

tehát

Másképpen is választhatjuk az állapotváltozókat, például lehet:

tehát

A (6.58) és (6.59) egyenletek megoldása

Behelyettesítve a valóságos értékeket:

Tehát az adott RLC kör állapotteres leírása:

ahol a kezdeti érték

A (6.62) és (6.63) megoldását keressük az időtartománybana (6.64) kezdeti értékkel (6.34) alakban.

Először a kezdeti értéktől függő tagot számítjuk ki.

Részlettörtekre bontás után

A gerjesztéstől függő tag kiszámításához szükség van a (6.66) összefüggésre

Az inverz Laplace transzformációt elvégezve

A megoldás (6.69) és (6.71) alapján

Az eredményül kapott állapotvektor első eleme tulajdonképpen a kondenzátor feszültsége Voltban, a második tag a kapacitással megszorozva pedig az RLC körben folyó áram erősségét adja.

6 . 3 feladat Hatásvázlat átírása állapottér egyenletté

Írja fel az ábrán látható rendszer állapottér egyenletét és eredő átviteli függvényét. Az átviteli függvényt alakítsa át és válasszon álapotváltozókat úgy, hogy az állapottér egyenlet mátrixa diagonális legyen.

Először vizsgáljuk meg az

alakú elemeket, ahol és . Az időtartományban a következőt írhatjuk

esetén

A fentiek és az ábra alapján

Az ábra alapján

Az állapottér egyenlet mátrixa úgy tehető könnyen diagonálissá, ha a (6.78) kifejezést részlettörtekre bontjuk, ehhez a következő átalakítás szükséges

Ennek alapján

Így a rendszermátrixok

6 . 4 feladat Egyenáramú motor és terhelő nyomaték

Adott egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor, amelyet nyomaték terhel. Jelölések: a motor szögsebessége és az elfordulása, , , pedig a motor másodrendű nyomatéka, illetve a viszkózus súrlódást figyelembe vevő paramétere. a motor kapocsfeszültsége, a motor paramétere, Ra az armatúra ellenállása, La az armatúra tekercs induktivitása. A rendszer egyenletei:

Írja fel a differenciálegyenlet-rendszert (6.3), (6.4) alakban.

Legyen a két bemenőjel a motor kapocsfeszültsége és az terhelőnyomatéka az kimenet a motor fordulatszáma.

Legyen az állapotváltozók és a bemenőjelek oszlopvektora

(6.82) átrendezésével az állapováltozók deriváltjának kifejezése

6 . 5 feladat

Adott a következő rendszer.

Minden állapotváltozó 0 kezdeti értékről indul. A bemenőjel egységugrás. Adja meg a kimenőjel időfüggvényét.

Ha 0 kezdeti értékről indul minden állapotváltozó, akkor , mert sem a bemenőjel sem az állapotváltozó nem hat rájuk. Ebben az esetben és a megoldandó differenciálegyenlet a következő alakra egyszerűsödik

Laplace-transzformálva és átrendezve

Inverz Laplace-transzformálva

6 . 6 feladat Egy egyenáramú motor állapottér egyenletének felírása és megoldása

xxxxxxx

6 . 7 feladat 3-DOF gerjesztett rendszer

Tekintsük a 6-4. ábraán látható 3 szabadsági fokú gerjesztett lengőrendszert. A rendszer bemenete az egyes tömegre ható erők. Esetünkben legyen a bemenőjel, vagyis gerjesztés a következő

A rendszer kimenete legyen egyes tömegek elmozdukása.

Írja fel és oldja meg az ábrán látható rendszer egyenleteit.

A fenti mátrixokba behelyettesítve:

A gerjesztés vektorának Laplace-transzformáltja:

Mátrix együtthatós differenciálegyenlet Laplace-transzformáció után:

ahol az elmozdulás-válaszra vonatkozó átviteli mátrix.

Példaként az invertálás után az elem számítása:

Az inverz mátrix többi eleme hasonlóképpen számítható. Következő lépés a megoldás felírása operátortartományban:

első sora:

Innen inverz Laplace-transzformációval lehet visszatérni az időtartományba:

Az eddigiekhez hasonlóan csak az első elem:

=

A kifejezés végén lévő képzetes kitevőjű exponenciális tagok átalakíthatók. Az Euler formula szerint:

esetén a kifejezésben a trigonometrikus tagokon kívül az összes többi tag elhal, így:

Ez megfelel az időtartománybeli megoldás partikuláris megoldásának. A és elmozdulásfüggvények -hez hasonlóan meghatározhatók.

Állapottér egyenletek:

Először állapotváltozókat kell választani. Legyenek az állapotváltozók a következő mennyiségek:

Gerjesztés vektor

Vegyük a mátrixegyütthatós differenciálegyenlet első egyenletét:

Az helyettesítés után:

Ezt és az egyenleteket mátrixos formába írva:

A mátrixegyütthatós differenciálegyenlet második és harmadik egyenletével a fentiekhez hasonló módon megkaphatjuk az –ra vonatkozó egyenleteket. Így előállnak az állapottér-egyenletben szereplő együttható mátrixok:

Mivel most egybemenetű a rendszer, ezért sorvektorrá fajul:

Az állapottér egyenlet Laplace transzformáltja:

Ebből az operátortartománybeli megoldás kifejezhető:

inverze a Laplace-os feladatban látottakhoz hasonlóan meghatározható. Példaként megmutatjuk a számítást az mátrix -os elemére:

Ezekből az inverz mátrix eleme:

Az állapotváltozók időtartománybeli megoldását inverz Laplace-transzformációval kaphatjuk meg:

Kimenetet a másik állapottér egyenlet segítségével kaphatunk:

Ezt Laplace-transzformálva:

Válasszuk kimenetnek a elmozdulást! Mivel állapotváltozó, a megoldása megtalálható vektorban. Ezért C egy olyan mátrix, amivel -t megszorozva annak első sorát kapjuk, pedig nulla mátrix.

Mivel csak egy kimenetünk van, ezért az vektorból skalár lesz.

Így a kimenet:

A lecsengő tagokat elhagyva (állandósult állapotban):

A Laplace-transzformált megoldással megegyező eredményre jutottunk.

Az állapotvisszacsatolással azt tudjuk elérni, hogy a rendszer tetszőleges kezdeti értékből kiindulva a visszacsatoló tag által beállított időállandóval tartson a nullához, vagyis a visszacsatoló taggal a rendszer tranziens viselkedését tudjuk beállítani. Ha azt akarjuk, hogy a kimenőjel valamilyen konstans érték legyen, pontosabban a visszacsatolt rendszer állandósult értéke azonos legyen az referencia jellel (feltételezve, hogy =0). és között kell kapcsolatot teremteni. A célt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy

és a kimenőjel az referencia értéket az általunk előírt időállandóval érje el. Ekkor a szuperpozíció elvét alkalmazhatjuk (ld. 6-6. ábra).

A benenőjel (6.115) összefüggését behelyettesítve az állapotegyenletbe

(6.116) egyenletből kitűnik, hogy az állapotvisszacsatolással az állapotmátrix helyébe az mátrix került, vagyis a tranziens viselkedést tudjuk ezzel megváltoztatni. A negatív visszacsatolás az erősítést csökkenti, ezt kompenzálhatjuk. Abból indulhatunk ki, hogy állandósult esetben az állapotváltozó értéke konstans, ezért a deriváltja nulla, továbbá .

Áttérve a kimenőjelre

(6.114) és (6.118) alapján

A (6.119) alakú korrekcióval az a gond, hogy az értéke függ a visszacsatoló mátrixtól. Létezik egy olyan megoldás, amelyben a korrekció függetleníthető értékétől. Egy ilyen megközelítés látható a 6-7. ábraán, ahol a cél: . Megjegyzés: általában nem igaz, hogy minden kimenőjel egyidejűleg tetszőleges nullától különböző konstans értékű lehet. Pl. legyen a kimenőjel egy mechanikai rendszer pozoíciója és sebessége. Ha a pozíció állandó, akkor a sebesség csak nulla lehet, ha a sebesség állandó, akkor a pozíció nem lehet konstans.

A jelző nélküli kanonikus alak alapja az mátrix kanonikus diagonális alakja, ahol a diagonáljában a mátrix sajátértékei szerepelnek. Ezzel a felbontással az eredeti rendszer több, egymástól független alrendszerre esik szét. Ha ez megtehető, akkor sok előnnyel jár, hogy az alrendszerek egymástól függetlenül kezelhetők. Ezt fejezi ki a (6.35) összefüggés, és ennek alapján az állapottér egyenlet minden állapotváltozóra a többitől függetlenül oldható meg. A problémát az okozza, hogy a diagonizálásra alapozva nem lehet általános érvényű algoritmust kidolgozni, mert egyszerű hasonlósági transzformációval az mátrix nem minden esetben tehető diagonálissá. Elégséges feltétel, hogy minden sajátérték egyszeres legyen. Ha az mátrix szimmetrikus, akkor többszörös sajátértékek esetén is diagonizálható hasonlósági transzformációval. Ha az mátrix aszimmetrikus és többszörös sajátértékei vannak, akkor előfordulhat olyan speciális eset, amikor hasonlósági transzformációval az mátrix diagonálissá tehető, de általában az ún. Jordan-féle kanonikus mátrixszá alakítható. Tegyük fel, hogy ha az mátrixnak különböző sajátértéke van, akkor a Jordan-féle kanonikus pszeudo-diagonális mátrix alakja a következő:

ahol az i-edik sajátértékhez tartozó elemi Jordan-mátrix. Ha az i-edik sajátérték egyszeres, akkor

Ha az i-edik sajátérték -szeres, akkor

ahol az i-edik sajátérték és értéke általában 1, speciális esetekben lehet 0 is. Jelöljük indexszel a transzformált rendszermátrixokat és állapotváltozót, ha hasonlósági transzformációval az A mátrixot Jordan-féle kanonikus pszeudo-diagonális alakra hozzuk

Ebben az esetben két különböző elemi Jordan-mátrixhoz tartozó két állapotváltozó egymástól mindig független. A mátrix legalsó sorához tartozó állapotváltozó sem függ semelyik másik állapotváltozótól. Ha , akkor az adott sorhoz tartozó állapotváltozó függ az eggyel nagyobb sorszámú állapotváltozótól, vagyis azon keresztül irányítható. Általános esetben, amikor az összes , akkor a többszörös sajátértékhez tartozó állapotváltozók nem csatolhatók szét, nem lehet azokat egymástól függetleníteni. Ez az alak alkalmas az irányíthatóság és a megfigyelhetőség egyszerű ellenőrzésére. Az egyszeres sajátértékhez tartozó állapotváltozókat és a többszörös sajátértékhez tartozó olyan állapotváltozókat, amelyekhez tartozó (mellette lévő) értéke 0, csak közvetlenül a bemenőjellel lehet befolyásolni, ezért csak akkor irányíthatók, ha a mátrix adott sorában van legalább egy nem nulla elem.

Hasonlóan, az egyszeres sajátértékhez tartozó állapotváltozók és a többszörös sajátértékhez tartozó olyan állapotváltozók, amely felett lévő értéke 0, csak akkor megfigyelhető, ha a mátrix megfelelő sorszámú oszlopában van legalább egy nem nulla elem.

Azok az állapotváltozók, amelyek sajátértéke mellett az mátrixban található egy 1-es, azok befolyásolhatók az eggyel nagyobb sorszámú állapotváltozón keresztül, de ezzel együtt információt is tartalmaz arról. Ha az mátrixban található egy következő alakú blokk

akkor e blokkhoz tartozó minden állapotváltozó irányítható a legalsó sorhoz tartozó állapotváltozón keresztül, és minden állapotváltozó megfigyelhető (rekonstruálható) a legfelső sorhoz tartozó állapotváltozóból.

xxxxx

A determináns nem 0, ezért a rendszer irányítható.

6 . 9 feladat

Adott a következő rendszer. Írja fel az irányíthatósági mátrixot és döntse el, hogy irányítható-e a rendszer.

Látható, hogy az állapotváltozóra sem egy másik állapotváltozó, sem a bemenőjel nem hat, így az irányíthatósági mátrix felírása nélkül is kimondható, hogy a rendszer nem irányítható. Ugyanerre következtetésre juthatunk az irányíthatósági mátrix alapján is.

Ha a determinánst az első sor alapján fejtjük ki, akkor minden tagban szerepel egy nulla tényező. Mivel , az első tag előjele pozitív (bár ennek esetünkben nincs jelentősége).

6 . 10 feladat

Adott a következő rendszer. Írja fel a megfigyelhetőségi mátrixot és döntse el, hogy megfigyelhető-e a rendszer.

A determináns nem 0, ezért a rendszer megfigyelhető.

6 . 11 feladat

Adott a következő rendszer. Írja fel a megfigyelhetőségi mátrixot és döntse el, hogy megfigyelhető-e a rendszer.

Látható, hogy az állapotváltozóról sem közvetlenül (ld. C mátrix első oszlopa), sem közvetve, más állapotváltozón keresztül (ld. A mátrix első oszlopa) nem szerzünk információt. Így a rendszer nem megfigyelhető.

6 . 12 feladat

Adott egy rendszer átviteli függvénye

Irjuk fel a rendszer állapottér egyenletét kanonikus alakban

A kimenőjel Laplace-transzformáltja

Részlettörtekre bontva

Három állapotváltozót bevezetve

Az állapotváltozókra felírható egyenletek

Átrendezve mátrixos formára:

6 . 13 feladat (pólus áthelyezés)

Egy lineáris rendszer állapottér egyenletei a következő alakban írhatóak fel.

Állapotvisszacsatolással a visszacsatolt szabályozási kör pólusait kívánjuk áthelyezni az ábrán látható módon.

A rendszer „mátrixok” értékei a következők: A = -2, B = 4, C = 1, D = 0.

Számítsa ki a rendszer időállandóját. Számítsa ki a K értékét úgy, hogy a visszacsatolt szabályozási kör időállandója a felére csökkenjen. Indokolja, hogy miért van szükség az Nx és Nu kompenzációra, adja meg azok számításának módját, és numerikusan is számolja ki!

Megoldás

Ez a rendszer egy állapotváltozós, SISO rendszer, mivel a rendszermátrixok skalárok. Ez a számolás során könnyebbséget jelent.

Első lépésben az eredeti rendszerrel foglalkozunk:

Az állapottér egyenleteket átírjuk a frekvenciatartományba, és a D=0 miatt egyszerűsítjük a második egyenletet. Kifejezzük az állapotváltozót (X), majd ezt behelyettesítve, a kimenetet (Y) kifejezzük a bemenet (U) függvényeként. Végül felírjuk a rendszer átviteli függvényét, megadva a póluspontot és az időállandót.

(Ez az átalakítás csak akkor tehető meg, ha az A ”rendszermátrix” skalár, tehát egyetlen állapotváltozó van. Az egyenletben szereplő I az egységmátrix.)

A póluspontban a nevező nulla:,tehát

A rendszer időállandója (valós értékű pólus esetén):

A póluspontot az alapok ismeretében egy lépésben is megkaphatjuk. Minden

alakban felírható lineáris rendszer átviteli függvénye:

Ebből az egyenletből egyértelműen látszik, hogy az ilyen rendszerek póluspontjai az A mátrix sajtértékei. Esetünkben az A mátrix skalár, tehát sajátértéke önmaga, vagyis a pólus:

Teljes rendszer a visszacsatolt szabályozási körrel:

A kikötés: legyen.

Az új póluspont így:

A szabályozási kör átviteli függvényét hatásvázlat átalakítás segítségével kapjuk meg. Először az időtartománybeli hatásvázlatot a frekvenciatartománybelivel helyettesítjük, és áthelyezzük az összegzési pontot, majd felírjuk az így keletkező előre-, és visszacsatolás eredő átviteli függvényét.

Az előrecsatolás eredő átviteli függvénye:

A visszacsatolásé:

A visszacsatolt szabályozási kör kimenetének függvénye:

A visszacsatolt szabályozási kör bemenete: r(t); R(s)

Így az átviteli függvény:

Az időállandóra tett kikötés miatt a pólus értéke:

A kívánt eredményhez a K visszacsatoló mátrix értékét -nek kell választani.

Az Nx, Nu kompenzációra azért van szükség, mert a visszacsatolással történő pólus áthelyezés a rendszer erősítését is megváltoztatja. Ezekkel a kompenzáló tagokkal lehet az eredő erősítést beállítani. Az általános elvárás, hogy a teljes rendszer erősítése egy legyen. A kompenzáló tagok számításához állandósult állapotot, azaz az elvárt értékre beállt rendszert feltételezünk.

A megadott hatásvázlattal jellemezhető feladatoknál, ha az elvárt eredő erősítés egy, akkor a bemenőjel (r(t)) valójában a kimenőjel elvárt értéke, amire be kell állnia (y(∞)). A frekvenciatartományban ekkor:

Állandósult állapotban a régi és az új állapot azonos, tehát az állapotváltozók vektora állandó, deriváltja pedig zérus, míg a különbségképző utáni különbségi jeltől (hibajeltől) pedig elvárjuk, hogy szintén zérus legyen:

A különbségi jel: tehát

Az adott szabályozásnál, ha a különbségi jel zérus:

Az így meghatározott X(s) és U(s) értékeket visszahelyettesítjük az állapottér egyenletekbe, majd a szabályozott jellemző minden értékét egynek választjuk. (Mivel a jelenlegi feltételezésünk szerint a rendszer állandósult állapotban van, így Y(s) értékét bármilyen konstans értéknek választhatjuk, és az állandósult állapot miatt ez a szabályozó jel értéke is.)

Az így kapott két ismeretlenes egyenletrendszert mátrixos alakban nem tudjuk felírni, mert az ismeretlenek nem függetlenek. Azonban nincs nehéz dolgunk, mert a feladatban skalár értékekkel számolunk.

A második egyenlettel kezdve:

Így az első egyenlet:

Tehát: , és a kompenzáló tagok értékei.

A 6-3. ábra alapján

6 . 15 feladat Állapotvisszacsatolás (két állapotváltozó)

Egy szabályozott szakasz két időállandóval rendelkezik ( és ). Az átviteli függvénye:

Írja fel a MATLAB zp2ss paranccsal a rendszer állapottér egyenletét. Állapotvisszacsatolással és „place” parancsa segítségével változtassa meg a visszacsatolt rendszer pólusait

a)

A legnagyobb időállandót csökkentsük ötödére

b)

Visszacsatolással alakítsuk lengővé a rendszert. A lengések amplitúdója csökkenjen a legnagyobb időállandóval leírható burkológörbével. és a lengések frekvenciája legyen 1 Hz.

c)

Visszacsatolással alakítsuk lengővé a rendszert. A lengések amplitúdója csökkenjen a legnagyobb időállandó ötödével leírható burkológörbével. és a lengések frekvenciája legyen akkora, hogy kb. egy túllendülés után álljon be a rendszer. Ezt azzal érjük el, hogy a lengések periódusideje legyen azonos a burkoló görbe időállandójának ötszörösével, vagyis az eredeti legnagyobb időállandóval.

d)

A póluspárt a csillapítás () és a Bode diagramon a töréspont helyének segítségével is megadhatjuk. Tekintsük a következő kéttárolós lengőtagot:

Ha , akkor az átviteli függvény pólusai:

ahol:

Az ugrásválasz burkológörbéjéből levezethető, hogy a százalékos szabályozási idő:

Ha tehát megadjuk , és értékét, akkor:

(6.213) és (6.218) alapján a póluspár kiszámítható.

T1=1; T2=0.1; Tsim=T1*10;
 
%Átviteli függvény
TFzeros= [];         TFpoles= [-1/T1 -1/T2];    TFgain= 1/T1/T2;
 
%Állapot-tér modell
[A,B,C,D]=zp2ss(TFzeros,TFpoles,TFgain)
B=B*C(2); %normaizálás
C(2)=1;
%a) eset
newpoles=[-1/T1*5 -1/T2]; %A legnagyobb időállandót ötödére csökkentjük
%b) eset
newpoles =[-1/T1 +2*pi*i -1/T1-2*pi*i]; %Lengést eredményező pólusok
%c) eset
newpoles =[-1/T1*5+2*pi/T1*i -1/T1*5-2*pi/T1*i]; %aperiodikus beallás
%d) eset
Tsz=1;                              %szabályozási idő
kr=2;                               %szabályozási időhöz tartozó korlát
xi=0.75;                            %csillapítás
w0=log(100/kr)/Tsz/xi;              %sajátfrekvencia 
p1=-w0*xi+i*w0*sqrt(1-xi^2);        %pólusok
p2=-w0*xi-i*w0*sqrt(1-xi^2);
newpoles =[p1 p2];
K1=place(A,B,newpoles)
 
% Statikus hiba korrekció
s = size(A,1);
Z = [zeros([1,s]) 1];
N = inv([A,B;C,D])*Z';
Nx = N(1:s);
Nu = N(1+s);
comp=Nu + K1*Nx;

A szimulációs eredményből kitűnik, hogy az állapotvisszacsatolással a visszacsatolt rendszer tulajdonságait viszonylag szabadon tudjuk befolyásolni, a kívánt beállás jellegét a beavatkozójel segítségével tudjuk elérni.

6 . 16 feladat Állapot visszacsatolás (három állapotváltozó)

Ismét a (6.158) átviteli függvényből indulunk ki és felírjuk a kimenőjel Laplace-transzformáltját

a)

Írjuk fel az állapotegyenleteket irányíthatósági kanonikus formában. Vezessük be az állapotváltozót (ez még nem írja le teljesen a rendszer állapotát, később további állapotváltozókat vezetünk be).

Az eredeti rendszer pólusai: -1, -2 és -4

a) eset

Helyezzük át a legkisebb abszolút értékű (legnagyobb időállandóhoz tartozó) pólust -1-ről -3-ra.

Látható, hogy a nevező polinom együtthatói megváltoznak: 1, 9, 26 és 24. Az állapotvisszacsatolás megtartja az eredeti struktúrát, így a visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye a következő lesz

(6.222) és (6.223) összehasonlításából kitűnik, hogy

Az eredeti (6.158) és a visszacsatolt (6.224) rendszer átmeneti függvényének állandósult értékének reciprokával kell a referenciajelet megszorozni, hogy egységnyi erősítést kapjunk.

Látható, hogy a negatív visszacsatolás csökkenti a rendszer erősítését.

További lehetőségek

b) eset

Visszacsatolással alakítsuk lengővé a rendszert. A lengések amplitúdója csökkenjen 0.5 időállandóval leírható burkológörbével, és a lengések frekvenciája legyen akkora, hogy kb. egy túllendülés után álljon be a rendszer. Ezt azzal érjük el, hogy a lengések periódusideje legyen azonos a burkoló görbe időállandójának ötszörösével, vagyis a periódusidő legyen 2.5. A harmadik (legkisebb) időállandó legyen 0.2. Ennek megfelelően a visszacsatolt rendszer pólusai legyenek a következők

A (6.228) alapján a visszacsatolt rendszer átviteli függvényének nevezője a következő alakot ölti

(6.222) és (6.229) összehasonlításából a visszacsatolás sorvektora felírható

c) eset

A póluspárt a csillapítás () és a Bode diagramon a töréspont helyének segítségével is megadhatjuk. Tekintsük a következő kéttárolós lengőtagot:

Ha , akkor az átviteli függvény pólusai:

ahol:

Az ugrásválasz burkológörbéjéből levezethető, hogy a százalékos szabályozási idő:

Ha tehát megadjuk , és értékét, akkor:

(6.213) és (6.218) alapján a póluspár kiszámítható.

A Matlab értékadás

A=[0 1 0; 0 0 1; -8 -14 -7];
B=[0 0 1]';
C=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];
D=[0; 0; 0];
Cv=[7 3 0];
 
%a) eset
newpoles=[-2 -3 -4];
 
%b) eset
newpoles=[-2+i*2*pi*2/5 -2-i*2*pi*2/5 -5];
 
%c) eset
Tsz=2;                         %szabályozási idő
kr=2;                          %szabályozási időhöz tartozó korlát
xi=0.8;                        %csillapítás
w0=log(100/kr)/Tsz/xi;         %sajátfrekvencia 
p1=-w0*xi+i*w0*sqrt(1-xi^2);   %pólusok
p2=-w0*xi-i*w0*sqrt(1-xi^2);
newpoles =[p1 p2 -5];
 
K2=-poly(newpoles)+poly([-1 -2 -4]);
Kx=[K2(4) K2(3) K2(2)]
ko_v=(-Kx(1)+8)/7
ko=8/7

6 . 17 feladat Megfigyelő tervezése

Adott egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor a következő jelölésekkel a motor szögsebessége. A motor paraméterei relatív egységben: a motor másodrendű nyomatéka . nyomaték konstansa , az armatúra ellenállása , az armatúra tekercs induktivitása . Tegyük fel, hogy a terhelés lineáris (a terhelő nyomaték arányos a fordulatszámmal), az arányossági tényező . A motor kapocsfeszültsége ugrásszerűen változik . A motor egyenletei:

Tekintsük a rendszer bemenő jelének a motor kapocsfeszültségét és tegyük fel, hogy csak a fordulatszám mérhető. Írja fel a motor állapottér egyenletét és tervezzen teljes állapotmegfigyelőt a MATLAB place parancs segítségével..

A motor állapottér egyenlete

Behelyettesítve a paraméterek értékeit

A rendszer pólusai

Válasszuk meg a megfigyelő két pólusát úgy, hogy a megfigyelő működése gyorsabb legyen, mint a rendszeré (vagyis a megfigyelő mindkét pólusa nagyobb abszolút értékű, mint a rendszer legkisebb pólusa).

Legyen

Ez azt jelenti, hogy a valós és becsült állapotváltozók különbsége kb. 2 ms időállandóval szűnik meg. A megfigyelő visszacsatoló vektora

Látható, hogy a kezdeti érték gyors megszüntetése nagy abszolút értékű visszacsatolással lehetséges, ami zajos mérés esetén gondot okozhat. Legyen a valós és a becsült áram kezdeti értéke -1 és 0. A szimulációs eredmények a 6-25. ábraán láthatók.

A számításnál használt MATLAB program

clear all; close all;
 
% Motor paraméterek
La = 1.1e-3; Ra = 2.7; Jm = 0.12; nu = 2; Kfi = 5.07;
 
Ua=10;
Ts=0;
Tsim=0.01;
 
% Motor állapottér mátrixai
A = [-nu/Jm Kfi/Jm; -Kfi/La -Ra/La];
B = [0; 1/La];
C = [1 0];
D = [0];
 
% Állapotváltozók: x=[omega; ia]
 
% Megfigyelhetőség ellenőrzése
O = obsv(A,C);
rank(O);
 
% Megfigyelhetőség ellenőrzése
syst_poles=eig(A);
obs_polse=[-500 -1000];
 
% A megfigyelő pólusai: 
Lt = acker(A',C',obs_polse);
Lo  = Lt';
 
% C és D mátrix átalakítása
C = [1, 0; 0, 1];
D = [0; 0];
 
% A valós rendszer áramának kezdeti értéke
x0 = [0, -1];
 
% A megfigyelő modell 
Ah = A;
Bh = [B, Lo];
Ch = eye(2);
Dh = [0, 0; 0, 0];
xh0 = [0, 0];
 
% Szimuláció simulink modell segítségével
sim('DCmotor_simu_open.mdl')
 
%Kirajzolás
 plot(tout, yout(:,1), tout, yout(:,2), '--');
 set(gca, 'fontsize', 19);
xlabel('Idő (sec)'); legend('x[1] = ia', 'xe[1]=ia_e'), ylabel('Áram'),grid,shg
title('A valós és becsült áram');
 
figure('Name', 'velocity')
plot(tout, yout(:,3), tout, yout(:,4), '--');
set(gca, 'fontsize', 19);
xlabel('Idő (sec)'); legend('om[1] = om', 'ome[1]=om_e'),
ylabel('Sebesség'),grid,shg
title('A valós és becsült sebesség');

A fenti programban használt Simulink modell a 6-26. ábraán látható

6 . 18 feladat Pólus áthelyezés (papíron kiszámítva )

Adott a következő rendszer:

Transzformálja a rendszert az irányíthatósági kanonikus lakra. Határozza meg a szükséges állapotvisszacsatolás értékét úgy, hogy a visszacsatolt rendszer pólusai a komplex számsíkon átkerüljenek a és pontokba. (Megjegyzés, a MATLAB (R2009a verzió) pólusáthelyezésre szolgáló „place” parancsával ez a feladat a kétszeres pólus miatt nem oldható meg).

Először írjuk fel az irányíthatósági mátrixot és invertáljuk azt

A transzformációs mátrix első sorát (6.202), majd a második sorát (6.199) alapján írhatjuk fel

Szükségünk van a transzformációs mátrix inverzére is

Végül felírhatjuk az állapotmátrixokat irányíthatósági kanonikus alakban

A visszacsatolatlan rendszer átviteli függvénye

A két pólus . A pólusokat szeretnénk áthelyezni a és értékekre.

A két átviteli függvény összehasonlításából kiderül:

Visszatérve az eredeti rendszerhez (6.194) alapján.

Az alapjel kompenzáló tagok értéke

6 . 19 feladat Ackermann formula (papíron kiszámítva)

a)

A 6.18 feladatot oldjuk meg az Ackermann formulával.

b)

A 6.15 feladat a) alkérdését oldjuk meg az Ackermann formulával.

a)

b)

A feladatban nem volt megkötés, hogy az állapottér egyenletet milyen formában írjuk fel, így válasszuk a kanonikus alakot

Ebből az állapotmátrixok kiolvashatók

Először írjuk fel az irányíthatósági mátrixot és invertáljuk azt

A feladat szerint a visszacsatolt rendszer két időállandója és , így a karakterisztikus egyenlet

A kanonikus alak előnye, hogy könnyű a karakterisztikus egyenletbe helyettesíteni

Ez az eredmény nem meglepő. Ezt az eredményt klasszikus, blokkdiagramra alapozott ismeretekkel is megkaphatjuk. Az állapottér modell belső összefüggései a (6.257) mátrix értékekkel a 6-27. ábra

segítségével szemléltethető.

A pólushoz tartozó időállandót kívánjuk ötödére csökkenteni, vagyis az állapotváltozót nem -1, hanem -5 értékkel megszorozva kell visszacsatolni. Mivel a visszacsatolás párhuzamos lesz az eredeti visszacsatoló ággal, a visszacsatolt ágak értékei összeadódnak, vagyis -4 értékkel kell az állapotváltozót visszacsatolni (ld. 6-28. ábra).

A 6-28. ábra hatáspont áthelyezésekkel átrajzolható.

Mind a kezdő, mind a végpontját áthelyezve az állapotváltozó visszacsatolásának az állapotváltozóhoz. Továbbá áttérve a Laplace-transzformált jelekhez kapjuk a 6-30. ábraát.

A 6-30. ábra alapján a visszacsatolt rendszer átviteli függvénye.

Ismét megfigyelhető, hogy a negatív visszacsatolás csökkenti a rendszer erősítését, ez egy megfelelő erősítő taggal kompenzálható.

6 . 20 feladat Transzformálás irányíthatósági kanonikus alakra

MATLAB formában adott egy LTI SISO rendszer három rendszermátrixa (A, B és C). Az állapotváltozók száma 4. Írjon MATLAB programot, amely a rendszermátrixokat irányíthatósági kanonikus alakra transzformálja.

Alkalmazza a programot a 6.3 feladatban leírt rendszerre.

Mc=[B A*B A*A*B A*A*A*B]
Bc=[0 0 0 1]'
Tc1=Bc'*inv(Mc)
Tc=[Tc1; Tc1*A; Tc1*A*A; Tc1*A*A*A]
Tci=inv(Tc)
Ac=Tc*A*Tci
Cc=C*Tci

6 . 21 feladat Integrátorral kiegészített á l lapotvisszacsatolás

A 6.16 feladat b) esetében megismert rendszert egészítsük ki egy integrátorral.

Az integrátor miatt eggyel megnöveltük az állapotváltozók számát, így a pólusok számát is meg kell növelni. Legyen a negyedik pólus értéke -10, és használjuk a MATLAB place parancsát. A bemenetre kapcsoljunk 1 egységnyi terhelésrádobást modellező zavarójelet az 5s időpontban. Hasonlítsuk össze a visszacsatolás nélkül, a visszacsatolt és az integrátorral kiegészített visszacsatolt rendszer működését a 6.16 feladat b) esetében.

A 6-31. ábraán látható, hogy a visszacsatolás nélkül a rendszer nem tudja kiküszöbölni a terhelésrádobás hatását. A visszacsatolással a rendszer válasza egyrészt gyorsítható, másrészt a terhelésrádobás hatása is csökkenthető, de teljesen nem küszöbölhető ki. Ha a visszacsatolás mellett még egy integrátort is alkalmazunk, akkor azzal a beavatkozójel hirtelen ugrásait is simíthatjuk. Ez minimális késleltetést jelent az integrátor nélkül visszacsatolt rendszerhez képest, ugyanakkor az integrátor a konstans értékű terhelés hatását teljesen ki tudja küszöbölni. A késleltetésnek az az oka, hogy az eredeti rendszer bemenőjele az integrátor nélküli rendszerrel szemben az integrátor miatt nem tud ugrásszerűen megváltozni (idő kell az integrátor feltöltődéséhez), ez jól megfigyelhető 6-31. ábra jobb oldali rajzán.

6.16 feladat b) esetének folytatásaként (newpolese meghatározása ott történt)

Ae=[0 1 0 0; 0 0 1 0; -8 -14 -7 0; -7 -3 0 0];
Be=[0 0 1 0]';
Ce=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];
De=[0; 0; 0; 0];
C1e=[7 3 0 0];
 
newpolese =[newpoles -10];
K4=place(Ae,Be,newpolese);
Kx_i=-K4(4)
Kxe=-K4(1:3)

6.20 feladatban leírtak szerint írja át (6.264) állapottér egyenletet irányíthatósági kanonikus alakra

Látható, hogy a kibővített rendszer könnyen átírható irányítható kanonikus alakra. Ebben az alakban visszacsatolás mértéke könnyen kiszámítható. A karakterisztikus egyenlet együtthatói

Ellenőrzésképpen kiszámíthatjuk, hogy a (6.194) összefüggésnek megfelelően teljesül a következő egyenlőség