2. fejezet - SISO LTI rendszerek klasszikus szabályozása
Vissza		Előre

2. fejezet - SISO LTI rendszerek klasszikus szabályozása

Tartalom

A mikroprocesszorok, mikrovezérlők megjelenése előtt elsősorban csak analóg szabályozók álltak rendelkezésünkre és analóg eszközökkel a legkönnyebben az ún. PID típusú szabályozók (Arányos, Integráló és Deriváló) valósíthatók meg. Ezek nagyon sok feladatra kellően hatékonyak, és ezért kb. a nyolcvanas évekig az iparban szinte egyeduralkodók voltak. A mikroprocesszorok megjelenése alapvetően új helyzetet teremtett az irányítástechnikában is, utat nyitott az egyre bonyolultabb szabályozási algoritmusok megvalósítására. Az új évezredben szinte minden hallgató táskájában ott lapul egy nemlineáris szabályozó egy notebook merevlemezes meghajtójában. Ugyanis a merevlemezekre írható információ mennyiségét jelenleg nem az adathordozó tulajdonságai, hanem az olvasófej pozicionálási pontossága korlátozza. Ahogy a nemlineáris szabályozással egyre pontosabban lehet pozícionálni az olvasófejet, úgy egyre nagyobb információ sűrűség érhető el a lemezen. Feltételezhető, hogy amire elérik a mágneses adathordozó korlátait, addigra meg fog jelenni egy alapvetően új adattárolási mechanizmus. Napjainkban a leghétköznapibb helyeken is szükség lehet bonyolult rendszermodellekre, számításokra. Sokszor nem is gondolnánk, látszólag mennyire egyszerű feladatra is bonyolult szabályozást használnak. Pl. mikor egy liftszekrény megáll egy emeletnél, akkor elektromágnesek behúzásával rögzítik a pozícióját. Látszólag nem okoz gondot egy ilyen behúzó mágnes megtervezése. Ezzel szemben, ha előírjuk, hogy a behúzás legyen extrém gyors, de az ütközés előtt fékeződjön le, hogy az ütközési zaj az emberi fül számára hallhatatlan maradjon, akkor kénytelenek vagyunk egy nemlineáris megfigyelőn alapuló nemlineáris szabályozót készíteni.

A másik oldalon ott vannak a robotok, mint valóban bonyolult szerkezetek, különösen a két lábon járó robotok ilyenek. Ezek még nagyon lassan mozognak, természetesen a mozgató motorok nagyobb sebességet is elbírnának, de a szabályozó képtelen gyorsabban számolni és küldeni a mozgatási parancsokat. A másik hatalmas számításigényű művelet a képfeldolgozás és az alakfelismerés. A robotikában a nagy áttörés még várat magára.

2.1. A klasszikus irányítási feladat megfogalmazása

Adott: egy lineáris differenciálegyenlettel leírható SISO LTI rendszer (ezt sokszor szabályozott szakasznak hívjuk, ha már beépült egy szabályozási körbe)

2.1. ábra - SISO LTI

Cél: A kimenet beállásos szabályozása (ld. 2-12. ábra) vagyis $y (t > T_{s z}) \approx U_{r}$ , azaz adott $T_{s z}$ szabályozási idő elteltével az $y$ kimenőjel értéke legyen közelítőleg azonos egy előírt $U_{r}$ konstans referencia értékkel. Megjegyzés: felmerülhet, hogy a legjobb megoldás az lenne, ha a szabályozott szakasz átviteli függvényének reciprokát, azzal sorbakapcsolva használnánk szabályozóként (ld. 2-2. ábra). Így a rendszer és a szabályozó eredő átviteli függvénye 1 lenne. Ezzel több probléma van. Ha a szabályozott szakaszban időkésleltetés van, akkor annak inverze a jóslás, ami elvileg lehetetlen. Ha nincs időkésleltetés, akkor is egy dinamikai rendszer inverze végtelenül nagy bemenőjelet generálna. A végtelenül nagy bemenőjel egycsapásra helyére pofozná a kimenőjelet, de ennek fizikai korlátai vannak. Ezért kell azt a kompromisszumot kötni, hogy a kimenőjel csak egy $T_{s z}$ szabályozási idő elteltével veszi fel az $U_{r}$ referencia értéket. Végül, sohasem tudjuk pontosan a rendszer paramétereit, továbbá a legtöbb esetben a zavaró jeleket sem tudjuk kizárni, így célszerű ellenörző méréssel meggyőződni arról, hogy a kimenőjel tényleg az-e mint amit szeretnénk. Ezért van szükség negatív visszacsatolásra.

2.2. ábra - Ideális soros kompenzálás

Megvalósítható módszer: soros kompenzáció + negatív visszacsatolás (ld. 2-3. ábra). A referenciajel és az aktuális kimenőjel különbségéből egy hibajelet képzünk (ezt nevezzük negatív visszacsatolásnak), és a hibajel értékétől függően egy a szabályozott szakasszal sorbakapcsolt szabályozó egységen keresztül hatunk a rendszerre. A hibajel:

$e (t) = U_{r} - y (t)$

(2.1)

Az 2-3. ábraán mind a szabályozott szakaszt, mind a sorosan kapcsolt szabályozót az átviteli függvényével modelleztük.

Triviális megoldás: Ha a hibajel pozitív, akkor a szabályozni kívánt rendszer kimenőjele kisebb az előírtnál és minél nagyobb a hibajel, annál erőteljesebb beavatkozást igényel a rendszer. Ha a hibajel negatív, akkor a kimenőjel nagyobb az előírtnál, így a szabályozni kívánt rendszert vissza kell fogni. E gondolatmenetet követve az első ötletünk, hogy a hibajellel arányosan kell előállítani a rendszer bemenőjelét. Ezt később majd pontosítjuk. Megjegyezzük, hogy van más megoldás is.

Problémák:

A negatív visszacsatolás magában hordozza annak veszélyét, hogy túlreagáljuk a hibát. Bármilyen beavatkozás után valamennyi idő mindig kell, hogy a beavatkozás hatása megjelenjen. Ha akkor is növeljük a beavatkozás erősségét, amikor a rendszerben a változások megindultak, csak még a kimeneten nem jelent meg a változás, akkor túlreagáltuk a hibát. Kezdő búvárokkal fordul elő, hogy beugranak a vízbe és nincs a mellényükben elegendő levegő, akkor a felcsatolt ólom miatt elkezdenek nagyon gyorsan süllyedni, ezért a palackból elkezdenek levegőt engedni a mellénybe. Idő kell, amíg a süllyedés megáll, így a búvár még egy darabig akkor is süllyed, amikor már a mellényében elegendő levegő van. Ha a pánik miatt még ekkor is folyamatosan engedi a levegőt a mellényébe, akkor az annyira felfújódik, hogy elkezdi nagy sebességgel felfelé vinni a búvárt, aki ismét pánikba eshet, mert tudja, ha túl gyorsan emelkedik, akkor bekövetkezhet a keszonbetegség, amely akár halálos kimenetelű is lehet, így egy pillanat alatt kiengedi az összes levegőt a mellényéből. A folyamat kezdődik elölről, és addig tart, amíg a búvár rá nem jön, hogy a hibát nem szabad túlreagálni.

A jelenség matematikai magyarázata a következő lehet. A jeleket szinuszos összetevők összegére lehet bontani. Alapvetően igaz az, hogy a frekvencia növelésével tendenciájában nő a fáziseltolódás és csökken az erősítés a válaszjelben. Természetesen lokálisan lehetnek ellentétes irányú változások, de tendenciájában ez minden valós rendszernél megfigyelhető. A negatív visszacsatolás 180 fáziseltolásnál pozitív visszacsatolássá válik.

A működés elemzéséhez a rendszer differenciálegyenletét kell megoldani, ez az időtartományban bonyolult.

A fenti problémák miatt térünk át a frekvenciatartományba és az átviteli függvényre. Így már felrajzolhatjuk a szabályozási kör hatásvázlatát (ld. 2-3. ábra)

2.3. ábra - Visszacsatolt rendszer

2.2. A szabályozási körök fizikai megvalósítása

A szabályozási kör kialakításához kell valamilyen érzékelő, amellyel a szabályozandó jelet mérni tudjuk. Maga a szabályozás egy absztrakt szinten történik, ezért szükséges egy ún. beavatkozó szerv, amelyek az absztrakt szabályozó jel alapján elvégzi a konkrét fizikai beavatkozást. Ez akár több lépcsőben is történhet. Pl. egy robot kartagját motor mozgathatja, így a motor nyomatékát tekinthetjük a konkrét fizikai beavatkozásnak, de a motor megfelelő nyomatékáról egy teljesítményelektronikai áramkör gondoskodik. A magyar terminológiák bizonyos tekintetben egy tudatos fordítás eredményeként bizonyos tekintetben átgondoltabbak, mint az angol nyelven spontán kialakult kifejezések. Ezeket mindenképp meg kell őriznünk, de ismerni kell az angol kifejezéseket is.

2.4. ábra - Szabályozási kör

A szabályozók megvalósításának néhány lehetséges módja

Digitális egységben (számítógép, mikrokontroller, DSP, FPGA stb.) futó programkód
Műveleti erősítő segítségével analóg elektronikai áramkör
Pneumatikus kapcsolások
Mechanikai szerkezetek

Itt érdekességként meg kell említeni, hogy ugyan a mechanikai szerkezetek, mint szabályozók napjainkban egyre inkább visszaszorulnak, de az egykori fontosságukat jól mutatja, hogy a BME Gépészmérnöki kar logójában is megtalálható.

A szabályozók megvalósítása túlmutat e jegyzet keretein.

2.3. A tervezés főbb lépései és a szabályozási kör minőségi követelményei

Wp(s) felírása a rendszer differenciálegyenlete alapján. Ezzel kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy mind a beavatkozó szervnek, mind a kimenetet mérő eszköznek lehet olyan dinamikája, amelyet nem hanyagolhatunk el, ezt a dinamikát Wp(s) részének tekintjük.
Wc(s) típusának kiválasztása és paramétereinek meghatározása a visszacsatolt szabályozási hurokkal szemben támasztott elvárások alapján történik.

A visszacsatolt szabályozási körrel szemben támasztott elvárások (ld. 2-5. ábra)

stabilitás (ez a legfontosabb tulajdonság, ha a szabályozási kör nem satbilis, akkor az azt jelenti, hogy a szabályozási kör működésképtelen)
gyorsaság (előírás $T_{s z}$ értékére) $T_{s z}$ meghatározáshoz elő kell írnunk egy $K_{s z}$ pontossági korlátot. $T_{s z}$ az a legkisebb érték, amelyre igaz az, hogy ha $T_{s z} \leq t$ , akkor $| e (t) | < K_{s z}$
statikus pontosság (előírás $e (\infty)$ értékére), itt külön kell vizsgálnunk
alapjel követési hibát
zavarójelből eredő hibát
dinamikai (tranziens) tulajdonság
Túllövés: a kimenőjel maximális értéke, általában azt vizsgáljuk, hogy hány százalékkal haladja meg a kimenőjel maximális értéke a referenciajelet.
Felfutási idő (ez különbözik a szabályozási időtől). Az az idő, amennyi alatt a kimenőjel állandósult értékének 10%-áról a 90%-os értékére növekszik.
a beavatkozójel fizikai megvalósíthatósága (fizikai korlátok). A felfutás kezdetén megengedhető a beavatkozószerv telítődése, de telítődés idején a zárt szabályozási kör felnyílik, a szabályozás megszűnik.

Teljesítmény index (Költségfüggvény)

SISO rendszerek és konstans $U_{r}$ referenciajel esetén

$J = \int_{0}^{\infty} (Q {(U_{r} - y (t))}^{2} + R u^{2} (t)) d t$

(2.2)

2.5. ábra - Szabályozás minőségi jellemzői

A visszacsatolt szabályozási kör Wcl átviteli függvénye a definíció alapján

$Y (s) = U_{r} (s) W_{c l} (s)$

$W_{c l} (s) = \frac{Y (s)}{U_{r} (s)}$

(2.3)

Az 2-3. ábra alapján:

$W_{c l} (s) = \frac{W_{c} (s) • W_{p} (s)}{1 + W_{c} (s) • W_{p} (s)}$

(2.4)

Szokás külön jelölést bevezetni a teljes felnyitott kör átviteli függvényére

$W_{x} (s) = W_{c} (s) • W_{p} (s)$

(2.5)

Mind $W_{c} (s)$ , mind $W_{p} (s)$ s-re nézve racionális törtfüggvény, így $W_{x} (s)$ is az. Ha $W_{x} (s) = \frac{N u m_{x} (s)}{D e n_{x} (s)}$ alakú, akkor

$W_{c l} (s) = \frac{\frac{N u m_{x} (s)}{D e n_{x} (s)}}{1 + \frac{N u m_{x} (s)}{D e n_{x} (s)}} = \frac{N u m_{x} (s)}{D e n_{x} (s) + N u m_{x} (s)}$

(2.6)

Mivel mind a számláló, mind a nevező s-nek valós együtthatós polinomja és a számláló fokszáma nem lehet nagyobb a nevező fokszámával, így kimondható, hogy a visszacsatolt szabályozási kör pólusainak száma megegyezik a felnyitott kör pólusainak számával. (Megjegyzés, ha $W_{x} (s)$ nem egyszerűsíthető, akkor $W_{c l} (s)$ sem)

Definíció

Minimálfázisú rendszer: Olyan rendszer, amelynek a frekvencia átviteli függvényének amplitúdó diagramjához tartozó fáziseltolás (amely általában negatív előjelű) a lehető legkisebb értékű.

Értelmezés

Az amplitúdó diagramot a pólusok és zérusok abszolút értéke határozza meg, a fáziseltolást a pólusok és zérusok valós részének előjele, továbbá az időkésleltetés is befolyásolja. Egy minimálfázisú rendszer nem tartalmaz időkésleltetést, az átviteli függvénye racionális törtfüggvény, amelynek az összes pólusának és zérusának valós része nem pozitív. E hosszas leírás helyett elég a rendszerről kijelenteni, hogy minimálfázisú.

2.4. A legfontosabb alapfeladatok

A rendszerrel kapcsolatos leggyakoribb feladatok különböző formában jelenhetnek meg. Ebben a fejezetben olyan véges dimenziójú rendszerekkel foglalkozunk, amelyek a következő alakú differenciálegyenletekkel írható le

$\dot{x} (t) = f (t, x (t), u (t), d (t))$	( 2.7 )
$y (t) = g (t, x (t), u (t), d (t))$	( 2.8 )

ahol $x(t) \in ℝ^{n}$ az állapotváltozók vektora, $u(t) \in ℝ^{m}$ a beavatkozó jelek vektora, $d(t) \in ℝ^{o m}$ a zavaró jelek vektora, $y(t) \in ℝ^{p}$ a kimenőjelek vektora, $f : ℝ \times ℝ^{n} \times ℝ^{m} \times ℝ^{o m} � ℝ^{n}$ a rendszer működését leíró függvény, $g : ℝ \times ℝ^{n} \times ℝ^{m} \times ℝ^{o m} � ℝ^{p}$ kimenőjelet leképező függvény.

Általában a rendszereket csak egy meghatározott T0 időponttól kezdődően ( $t \geq T_{0}$ tartományban) vizsgáljuk. A legtöbb esetben az egyszerűség kedvért T0=0. A múlt hatását az állapotváltozók kezdeti értékében összegezzük. Ennek fényében a rendszer általános egyszerűsített rajza a 2-6. ábrán látható.

2.6. ábra - Dinamikus rendszer általános állapotváltozós ábrázolása időtartományban

Megjegyzések:

Sok esetben a rendszer minden állapotváltozóját mérni tudjuk, ekkor $y (t) = x (t)$
Sok esetben ún. energiamentes állapotból indulunk ki, vagyis az állapotváltozók kezdeti értéke nulla. Ha az $X_{0}$ bemenetet külön nem jelöljük, illetve nem adjuk meg, akkor az azt jelenti, hogy energiamentes állapotban kezdődik a rendszer vizsgálata. Időinvariáns rendszerek esetén nincs szükség a $t$ bemenetre. Sokszor a $d (t)$ zavaró jelet is elhanyagoljuk, és nem rajzoljuk fel az ábrára.
$u (t)$ is lehet nulla, ekkor a magára hagyott rendszerről beszélünk.

2.4.1. Szimuláció

Az $X_{0}, u(t \geq 0)$ és $d (t \geq 0)$ valamint f és g ismert. Meghatározandó $x (t \geq 0)$ és $y (t \geq 0)$ . (ld. 2-7. ábra)

2.7. ábra - Szimuláció

Általános értelemben vett szimulációnak lehet tekinteni, ha egy áramkörben a források ismeretében kiszámítjuk az ágfeszültségeket és -áramokat. Egy ág feszültsége és árama közül csak az egyik lehet állapotváltozó, de mindkettő lehet kimenőjel. Továbbá egy olyan ág esetén, amely csak ellenállásból áll, sem a feszültség, sem az áram nem állapotváltozó. Ezeket a mennyiségeket a bemenőjelből, vagy valamelyik állapotváltozóból egyszerű arányossággal számíthatjuk ki. Igy a kimenőjelek száma többszöröse lehet az állapotváltozók számának. Hasonló mondható el több mechanikai, áramlási és termodinamikai számításról.

2.4.1.1. Valósidejű (Realtime) és offline szimuláció fogalma

Definíció

Egy fizikai rendszer konkrét számítástechnikai szimulációját akkor nevezzük valósidejűnek, ha a szimulációs program egy adott bemenőjelre adott választ a valós rendszer válaszával szinkronban számítja ki. Az offline szimuláció esetén nincs meg a valós és szimulált jel egyidejűsége.

Értelmezés

Egy berendezés tervezése és a működésének szabályozása alapvetően más követelményeket támaszt. Pl. Ha egy repülőgép tervezési fázisában arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott manőverben letörik-e a szárny, és azt károsodás nélkül túléli-e a repülőgép, akkor megengedhető, hogy a pontosabb számítás érdekében egy részletesebb modellt használva a szimuláció sokkal tovább tartson, mint maga a manőver. Vagyis megengedhető az offline szimuláció. A szabályozási feladatok esetén inkább egy kevésbé pontos, de valós időben működő szimulációt kell alkalmazni. A repülőgép esetén nem sok haszna van, ha a robotpilóta a gép lezuhanása után számítja ki, hogy 10 perccel korábban hogyan kellett volna a szárny letörését elkerülni.

Az absztrakt rendszer fogalom esetén a valósidejűség nem értelmezhető (egy absztrakt rendszer csak offline lehet). Ennek ellenére az irodalomban használatos a valósidejű rendszerek fogalma, ez olyan valós fizikai rendszerre vonatkozik, amely egy külső hatásra adott időn belül képes választ generálni.

2.4.2. Beállásos irányítás

2.4.2.1. Kimenet beállásos vezérlése

$X_{0}$ valamint f és g ismert ( $d (t \geq 0)$ vagy elhanyagolható, vagy ismert). A kimenőjel értékét egy későbbi $T_{r} > 0$ időpontban előírjuk, tehát $y(t= T_{r})= Y_{r}$ ismert. Meghatározandó $u (t \geq 0)$ . Offline módon is számítható, nincs visszacsatolás (zárt szabályozási hurok) (ld. 2-8. ábra).

2.8. ábra - Kimenet beállásos vezérlése

2.4.2.2. Kimenet beállásos szabályozása

$X_{0}$ , $x (t \geq 0)$ , f, g és $d (t \geq 0)$ nem vagy csak részlegesen ismert. A kimenőjel értékét egy későbbi $T_{r} > 0$ időpontban előírjuk, tehát $y(t= T_{r})= Y_{r}$ ismert. Minden $t= T$ időpontban $t \in [T_{0}, T_{r}] \subset ℝ$ a be- és kimenőjelről begyűjtött $u(t< T)$ és $y(t< T)$ korábbi ismeretek birtokában a kimenet aktuális $y(t= T)$ pillanatnyi értékéből (a kimenőjel visszacsatolásával) meghatározandó $u (t= T)$ . A szabályozási hurok zárt (ld. 2-9. ábra). Ki kell emelni, hogy a szabályozó tervezésére számos eljárást dolgoztak ki, ezzel a területtel külön tananyag foglalkozik. Ez a feladat elvileg pontosan megoldható.

2.9. ábra - Kimenet beállásos szabályozása

2.4.2.3. Állapot beállásos vezérlése

$X_{0}$ és f ismert ( $d (t \geq 0)$ vagy elhanyagolható, vagy ismert). Az állapotváltozók értékét egy későbbi $T_{r} > 0$ időpontban előírjuk, tehát $x(t= T_{r})= X_{r}$ ismert. Meghatározandó $u (t \geq 0)$ Offline módon is számítható, nincs visszacsatolás (zárt szabályozási hurok) (ld. 2-10. ábra).

2.10. ábra - Állapotváltozók beállásos vezérlése

2.4.2.4. Állapot beállásos szabályozása:

Ha az összes állapotváltozó mérhető, akkor megegyezik a kimenet beállásos szabályozásával, ha az összes állapotváltozó nem mérhető, akkor ehhez a feladathoz állapotbecslő szükséges.

2.4.3. Jelkövető irányítás

2.4.3.1. Kimenet jelkövetéses vezérlése

$X_{0}$ , f és g ( $d (t \geq 0)$ vagy elhanyagolható, vagy ismert). A kimenőjel időfüggvényét előírjuk, tehát $y_{r} (t>0)$ ismert. Meghatározandó $u (t \geq 0)$ . Offline módon is számítható, nincs visszacsatolás (zárt szabályozási hurok) (ld. 2-11. ábra)

2.11. ábra - Kimenet jelkövető vezérlése

2.4.3.2. Kimenet jelkövetéses szabályozása

$X_{0}$ , $x (t \geq 0)$ , f, g és $d (t \geq 0)$ nem vagy csak részlegesen ismert). A kimenőjel időfüggvényét előírjuk, tehát $y_{r} (t>0)$ ismert. Minden későbbi $t= T > 0$ időpontban a be- és kimenőjelről begyűjtött $u(t< T)$ és $y(t< T)$ korábbi ismeretek birtokában a kimenet aktuális $y(t= T)$ pillanatnyi értékéből (a kimenőjel visszacsatolásával) meghatározandó $u (t= T)$ . Van visszacsatolt szabályozási hurok (ld. 2-12. ábra). Ki kell emelni, hogy a szabályozó tervezésére számos eljárást dolgoztak ki, ezzel a területtel külön tananyag foglalkozik. Ez a feladat pontosan elvileg sem oldható meg.

2.12. ábra - Kimenet jelkövető szabályozása

2.4.3.3. Az állapot jelkövetéses vezérlés

$X_{0}$ és f ismert ( $d (t \geq 0)$ vagy ismert, vagy elhanyagoljuk). Az állapotváltozók időfüggvényét előírjuk, tehát $x_{r} (t>0)$ ismert. Meghatározandó $u (t \geq 0)$ . Offline módon is számítható, nincs visszacsatolás (zárt szabályozási hurok) (ld. 2-13. ábra)

2.13. ábra - Állapotváltozók jelkövető vezérlése

2.4.3.4. Az állapot jelkövetéses szabályozása:

Ha az összes állapotváltozó mérhető, akkor megegyezik a kimenet jelkövetéses szabályozásával, ha az összes állapotváltozó nem mérhető, akkor ehhez a feladathoz állapotbecslő szükséges.

2.4.4. Megfigyelés (állapotbecslés)

$u(t \geq 0)$ és $y (t \geq 0)$ valamint f és g ismert ( $d (t \geq 0)$ vagy ismert, vagy elhanyagoljuk), meghatározandó $X_{0}$ és $x (t >0)$ . (ld. 2-14. ábra)

2.14. ábra - Állapotváltozó megfigyelő (becslő)

2.4.4.1. Zavarójelbecslés

$u(t \geq 0)$ és $y (t \geq 0)$ valamint f és g ismert, meghatározandó $d (t \geq 0)$ . (ld. 2-15. ábra)

2.15. ábra - Zavarójel-megfigyelő (becslő)

2.4.4.2. Paraméteridentifikáció

$u(t \geq 0)$ és $y (t \geq 0)$ valamint f és g alakja ismert, meghatározandók f és g paraméterei. (ld. 2-16. ábra)

2.16. ábra - Paraméter identifikáció

2.4.4.3. Példák, magyarázatok, megjegyzések

A curling követ el kell juttatni a célterületre. Legyen $y (t \geq 0)$ a kő távolsága a célponttól, a követ egy megfelelő $u (t \geq 0)$ erővel kell elindítani, hogy a kő éppen az $Y_{r} = 0$ ponton álljon meg. A csúszás közben a kőre a súrlódási erő hat, és ezt az erőt befolyásolja a súrlódási együtthatója, amelyet söpréssel lehet módosítani. E tevékenység eredményét tekinthetjük zavaró jelnek, ekkor a kimenet beállásos vezérléséről beszélhetünk. De tekinthetjük visszacsatolásnak, mert ha látjuk, hogy a kő nem érné el a célt, akkor a jeget melegítve csökkentjük a súrlódási erőt, hogy a kő messzebb jusson el.
A kimenet vezérlése az is, amikor otthon kiszámoljuk, hogy a fűtést fél órával az óracsöngés előtt kell bekapcsolni és folyamatosan bekapcsolva tartani, hogy amikor kikelünk az ágyból, a hőmérséklet megfelelő legyen. Itt a bemenőjel a bekapcsolt állapot jele, a kimenőjel a hőmérséklet, a zavaró jel a külső hőmérséklet. Természetesen, az sem mindegy, hogy a fűtés bekapcsolásakor mekkora a kezdeti hőmérséklet. Ahhoz, hogy elvileg pontosan kiszámolhassuk a fűtés megfelelő bekapcsolási pillanatát, hogy egy adott időpontban a szoba hőmérséklete egy ideális érték legyen, pontosan tudnunk kell a külső hőmérsékletet, a szoba kezdeti hőmérsékletét, a falak hőszigetelését, a kazán teljesítményét, stb.. A vezérlés hátránya, hogy mindent előre pontosan kell tudni, de ezzel szemben nem kell folyamatosan a szoba hőmérsékletét mérni, ha jól számoltunk, akkor minden úgy alakul, ahogy elterveztük. Éppen addigra éri el a szoba hőmérséklete a kívánt értéket, amikor kiszállunk az ágyból, de ha rosszul számoltunk, mert pl. nyitva felejtettük az ablakot, akkor ez a rendszer nem tud korrigálni az eredményen. Ahhoz, hogy a fűtés esetén szabályozásról beszélhessünk, mindenképp szükség van a hőmérséklet folyamatos mérésére. Ha a hőmérséklet alacsonyabb a megkívánt értéknél, akkor bekapcsoljuk a fűtést, ha magasabb, akkor kikapcsoljuk (esetleg ablakot nyitunk). A szabályozás lényege, hogy mérnünk kell, és a méréstől függően valahogy be kell avatkoznunk. Ennek az lehet a hátránya, hogy esetleg túl vehemensen avatkozunk be, és túlreagáljuk az elérendő célt, de amikor rájövünk, hogy túlreagáltuk, akkor azt elkezdjük kompenzálni és megvan a veszélye annak, hogy túlkompenzálunk, a folyamat kezdődik előröl, akár egyre nagyobb kilengésekkel. Ez vezet a stabilitási kérdésekhez, amelyeknek kiemelt szerepe van a szabályozáselméletben.
Szokás a szabályozót és a rendszert együtt egy új rendszernek tekinteni. A beállásos és jelkövető irányítást azért érdemes megkülönböztetni, mert az utóbbi esetben az eredő rendszer kimenőjelét leíró differenciálegyenlet garantáltan nem autonóm, az első esetben viszont autonóm differenciálegyenleteket kapunk, ha maga a rendszer időinvariáns. Az is jelentős különbség, hogy a beállásos szabályozási feladat elvileg is és gyakorlatilag is megoldható. A jelkövető szabályozás általános esetben, amikor az előírt jel tetszőlegesen változhat, nem működhet hiba nélkül. Gondoljunk arra, ha $y_{r} (t>0)$ hirtelen megváltozik, akkor a rendszernek idő kell, hogy $y (t>0)$ is meg tudjon változni.

2.4.5. Irányítási és megfigyelési feladatok elvi megoldhatósága

Az első kérdés, hogy ezek az alapfeladatok elvileg mikor oldhatóak meg. Itt a megoldást mérnöki értelemben értjük, pl. a szimuláció a (2.7) és (2.8) egyenletek numerikus megoldását jelenti. A szimulációnak fontos szerepe van a mérnöki tervezésben. Mielőtt egy új berendezés kísérleti változatának megépítésébe fognánk, először szimuláljuk annak működését. Ugyancsak szimulációhoz fordulunk, ha komponensekből egy új, nagyobb egységet alkotnánk. Sok komponensnek a gyártó készíti el a szimulációs modelljét. Pl. áramkörök tervezéséhez a félvezető eszközök megfelelő típusának a szimulációs modellje az áramkörtervező programok része. A robotok modelljét is a robot gyártója készíti el, hogy a teljes gyártási folyamatot szimulálni lehessen. A szimulációval egy külön tantárgy foglalkozik.

2.4.5.1. Irányíthatóság fogalma

Definíció

A 2. pont alapján, egy rendszert akkor tekintünk teljes állapotirányíthatónak, ha $d (t \geq 0) = 0$ mellett az állapotváltozók tetszőleges $X_{0}$ kezdeti értékéhez található egy olyan $u(t \geq 0)$ bemenőjel, amely hatására a rendszer állapotváltozói véges időn belül (jelöljük ezt $T_{1}$ -gyel) felvesznek egy tetszőlegesen előírt $x(t= T_{1})= X_{1}$ értéket.

Értelmezés

Ebben a definícióban a 2. ponttal ellentétben nincs szó sem f és g ismeretéről, sem visszacsatolásról. Az irányíthatóság arra vonatkozik, hogy tetszőleges állapotból tetszőleges állapotba elvileg is eljuttatható a rendszer pusztán a bemenőjelek segítségével. Pl. egy autó esetén lehet a megtett távolság és a sebesség a két állapotváltozó. Ha az autón van gázpedál és fék, akkor az autót elvileg tetszőleges távolságra eljuttathatjuk, ahol egy tetszőleges sebességet is előírhatunk. Az autó rendszertechnikai szempontból irányítható. Ha az autónak elromlik a fékje, ezért az autó működését leíró rendszernek elvesszük az egyik bemenetét (és a súrlódást is elhanyagoljuk), akkor ez a csökkentett számú bemenettel rendelkező rendszer rendszertechnikai szempontból irányíthatatlanná válik (hasonlóan az autóhoz). Az irányíthatóságnak a mérnöki tervezésben is lehet szerepe. Ez alapján ellenőrizhetjük, hogy a valós fizikai rendszernél elegendő beavatkozási lehetőséget terveztünk-e, vagy éppen fordítva túl sok a beavatkozási lehetőség, néhányat takarékossági okokból elhagyhatunk.

Pl. ha az autóhoz elfelejtettünk féket tervezni, akkor egy rendszertechnikai vizsgálatból kitűnik, hogy a tervezett rendszerünk irányíthatatlan. Léteznek olyan összetettebb rendszerek, ahol az irányíthatóság csak úgy ránézésre nem állapítható meg, mint ahogy az autónál minden rendszertechnikai vizsgálat nélkül meg tudjuk mondani, hogy fék nélkül használhatatlan az autó. Megjegyezzük, hogy $x(t= T_{1})= X_{1}$ előírása nem azonos azzal a feladattal, amikor a rendszert egy előírt állandósult állapotba kívánjuk juttatni. Az autó esetén előírhatjuk, hogy egy óra múlva legyen 100 km-re és ott legyen a sebessége pontosan 50 km/óra, de az elvileg lehetetlen, hogy az autó menjen el 100 km távolságra és maradjon ott, de közben a sebessége is maradjon 50 km/óra.

A rendszer lehet részlegesen állapotirányítható. Ez utóbbi esetén az összes állapotváltozónak nem írhatjuk elő tetszőlegesen a $x(t= T_{1})= X_{1}$ értékét, csak az állapotváltozók egy részét választhatjuk meg szabadon. Szokás még megkülönböztetni a kimeneti irányíthatóságot, ekkor értelem szerűen nem az állapotváltozóknak, hanem kimeneteknek írjuk elő a kívánt $y(t= T_{1})= Y_{1}$ értékét. (Ekkor is beszélhetünk teljes és részleges kimeneti irányíthatóságról). Ha az irányíthatóságnak nincs jelzője, akkor mindig a teljes állapotirányíthatóságra gondolunk.

A Rendszertechnika jegyzetben tárgyalt és a 2-17. ábraán látható ideális transzlációs telemanipulációs rendszer esetében, ha a mester oldalon a fogantyú $x_{m}$ elmozdulása a rendszer bemenete, valamint a rendszer kimenete a szolga oldali fogantyú $x_{s}$ elmozdulása, akkor nem beszélhetünk állapotirányíthatóságról, mert az egy statikus rendszer, ahol nincsenek állapotok, ezzel szemben beszélhetünk kimeneti irányíthatóságról. Triviális, hogy a bemeneti oldal megfelelő mozgatásával a kimeneten tetszőleges mozgásállapotot érhetünk el. Az is triviális, hogy ha a bemenetet és kimenetet összekötő rúd eltörik, akkor megszűnik a kimenet irányíthatósága.

Más a helyzet, ha az $F_{0}$ erőhatást tekintjük a bemenetnek, a szolga oldali erőhatást elhanyagoljuk, és először legyen a kimenet a rúd sebesssége a szolga oldalon. Ekkor egy dinamikai rendszerhez jutunk, amely állapotirányítható.

2.17. ábra - Ideális transzlációs telemanipulációs rendszer

2.4.5.2. Megfigyelhetőség fogalma

Definíció

A 4. pont alapján: egy rendszert akkor tekintünk teljes állapot megfigyelhetőnek, ha $u(t \geq 0)$ és $y (t \geq 0)$ ismeretében $d (t \geq 0) = 0$ mellett $X_{0}$ és $x (t >0)$ matematikai eszközökkel elvileg kiszámítható.

Értelmezés

Ebből a definícióból is hiányzik bármilyen előírás f és g ismertére vagy a visszacsatolásra. A megfigyelhetőség arra vonatkozik, hogy a bemenő- és kimenőjelekből a rendszer állapota rekonstruálható-e tisztán matematikai eszközökkel. Gyakorlati szempontból ennek ott van jelentősége, hogy elegendő érzékelőt terveztünk-e a rendszerhez, kell-e több helyen mérni, vagy takarékossági okokból néhány érzékelő akár el is hagyható. A nyolcvanas években az aszinkron motoros hajtásoknál hatalmas áttörés volt az ún. mezőorientált szabályozás. Ennek lényege, hogy a motor forgórész mágneses mezejét kell kézben tartani, de ezt közvetlenül nagyon drága lenne mérni, e helyett mindenki rendszertechnikai értelemben vett megfigyelőt alkalmaz a mágneses tér kiszámítására. A kilencvenes években sokan foglalkoztak az ún. „sensorless” villamos hajtásokkal, itt az érzékelő mentesség a fordulatszám érzékelőre vonatkozik. A motor fordulatszámát a motor áramából és feszültségéből számolják ki. Az új évezredben mind mezőorientált, mind „sensorless” villamos hajtások széles kínálatban kaphatók.

A rendszer lehet részlegesen állapot megfigyelhető. Ez utóbbi esetben az összes állapotváltozó nem rekonstruálható, csak az állapotváltozók egy része számítható ki a mérésekből. Ha a megfigyelhetőségnek nincs jelzője, akkor mindig a teljes állapot megfigyelhetőségre gondolunk.

2.4.5.3. Lineáris időinvariáns rendszerek Kálmán-féle felbontási elve

Egy lineáris idő invariáns rendszer az irányíthatóság és megfigyelhetőség szempontjából négy típusú alrendszerre bontható (további részleteket ld. 6.2.7 pont 146 oldal)

Irányítható és megfigyelhető
Irányítható, de nem megfigyelhető
Nem irányítható, de megfigyelhető
Nem is irányítható és nem is megfigyelhető

Értelmezés

Látszólag értelmetlen olyan rendszert tervezni, amely nem irányítható és nem is megfigyelhető, de pl. egy rendszer biztonsági elemzésénél fontos azt ellenőrizni, hogy egy részegység tönkremenetele után mennyire marad irányítható és megfigyelhető a meghibásodott rendszer. Elképzelhető, hogy egy másodlagos biztonsági beavatkozási lehetőséggel (pl. rövidzárlat esetén a kézi vezérléssel) szemben már nem várjuk el a rendszer teljes irányítását, hanem csak a kulcsfontosságú alrendszer biztonságos leállítását.

2.4.6. Összetett feladatok

Ez elsősorban azokra a szabályozási feladatokra vonatkozik, amelyeknél azt feltételeztük, hogy $X_{0}$ , $x (t \geq 0)$ , f, g és $d (t \geq 0)$ nem vagy csak részlegesen ismert. Előfordulhat, hogy semmit sem tudunk magáról a rendszerről, de a rendszerről minél több ismeretet tudunk beépíteni a szabályozókörbe, a szabályozás minősége annál jobb lehet. Itt nem térünk ki minden lehetséges esetre, néhányat emelünk ki.

2.4.6.1. Vezérlés és a szabályozás kombinációja: előrecsatolás

Ha a rendszert és minden bemenetét pontosan ismerjük, akkor a vezérlés a legjobb megoldás, de általában sem a zavarójelet és a rendszer paramétereket nem ismerjük pontosan, ezért van szükség visszacsatolt hurkú szabályozásra (ld. 2-18. ábra). Az ábrán a ref. (referenciajel) lehet egy konstans $y(t= T_{r})= Y_{r}$ érték (beállásos szabályozás), vagy $y_{r} (t>0)$ időfüggvény (jelkövető szabályozás).

2.18. ábra - Szabályozás előrecsatolással

Megfigyelőn (állapotbecslésen) alapuló állapotszabályozás: (ld. 2-19. ábra). Az ábrán a ref. (referenciajel) lehet egy konstans $y(t= T_{r})= Y_{r}$ érték (beállásos szabályozás), vagy $y_{r} (t>0)$ időfüggvény (jelkövető szabályozás).

2.19. ábra - Megfigyelőn (állapotbecslésen) alapuló állapot szabályozás

2.4.6.2. Paraméteridentifikáción alapuló irányítás (adaptív irányítás)

Ha rendszer paramétereit ismerjük, akkor egy jó szabályozót tervezhetünk. Ha a szabályozással együtt a rendszer paramétereit direkt módon vagy indirekt módon próbáljuk meghatározni és ezt az ismeretet folyamatosan beépítjük a szabályozónkba, akkor adaptív irányításról beszélünk. A 2-20. ábra a ref. (referenciajel) lehet konstans $y(t= T_{r})= Y_{r}$ érték (beállásos szabályozás), vagy $y_{r} (t>0)$ időfüggvény (jelkövető szabályozás). A paraméterek indirekt becsélésén azt értjük, hogy $u(t \geq 0)$ és $y(t \geq 0)$ ismeretében nem közvetlenül a modell paramétereket, hanem közvetlenül a szabályozó paramétereit határozzuk meg.

2.20. ábra - Adaptív szabályozás

2.5. Minimálfázisú felnyitott körrel rendelkező szabályozási körök analízise

Ebben a fejezetben a szabályozási körök különböző tulajdonságait vizsgáljuk, ebből vonunk le olyan következtetéseket, amelyek a szintézist segítik.

Fontos megjegyzés

Ebben a fejezetben többször használjuk a végérték tételt, amely csak akkor érvényes, ha létezik állandósult érték. Ezt most ebben a fejezetben külön nem vizsgáljuk.

2.5.1. Egy energia tárolós tag P szabályozóval

A rendszer válaszának gyorsaságát rendszerint a legnagyobb, más szavakkal a domináns időállandó határozza meg (domináns időállandóról akkor beszélünk, ha annak értéke legalább háromszor akkora, mint a második legnagyobb időállandó értéke), így a rendszert sok esetben egy energiatárolós taggal közelíthetjük.

Ekkor legyen a szabályozott szakasz átmeneti függvénye

$W_{p} (s) \tilde{=} \frac{1}{1 + s T}$

(2.9)

A szabályozónk legyen egy egyszerű arányos tag

$W_{c} = P$

(2.10)

Számunkra igazán a körerősítés (a felnyitott kör eredő erősítése) érdekes. Most az egyszerűség kedvéért a szabályozott szakasz erősítése 1, így a körerősítés megegyezik a $P$ értékével.

Ezek alapján a visszacsatolt szabályozási kör átviteli függvénye:

$W_{c l} (s) = \frac{P • \frac{1}{1 + s T}}{1 + P • \frac{1}{1 + s T}} = \frac{P}{1 + P + s T} = \frac{P}{1 + P} • \frac{1}{1 + \frac{T}{1 + P} • s}$

(2.11)

A következőket olvashatjuk ki. Mivel $P$ pozitív, ezért

$\frac{P}{1 + P} < 1$

(2.12)

továbbá

$\frac{T}{1 + P} < T$

(2.13)

Így a visszacsatolt szabályozási kör domináns időállandója lecsökkent. Az eredő erősítése egynél kisebb, ez azt jelenti, hogy a kimenőjel mindig kisebb lesz, mint a referenciajel (a negatív visszacsatolás csökkenti az eredő erősítést), tehát állandósult állapotban van hiba.

$P$ -t növelve a rendszert gyorsul, ami fizikailag annyit jelent, hogy $P$ nagyobb beavatkozást okoz adott $e (t)$ hiba esetén. Könnyen belátható, hogy ha a rendszer energiamentes (a kimenőjel értéke nulla), akkor egy arányos $P$ tag a referenciajel $P$ -szeresét kapcsolja a szabályozott szakasz bemenetére. Természetesen a szabályozott szakasz időállandója nem változik meg. A nagyobb beavatkozó jel miatt a rendszernek a $T$ időállandóval egy nagyobb értékre kellene beállnia, ezért nagyobb kezdeti meredekséggel indul. Ahogy az $y (t)$ kimenőjel értéke kezd növekedni, úgy $e (t)$ értéke kezd csökkenni, ennek hatására a beavatkozó jel is csökken.

2 . 1 feladat

Legyen $T = 1$ s és $P = 5$ , ekkor a visszacsatolt kör erősítése 5/6= 0.8333 lesz, és az időállandó hatodára csökken. Három esetet hasonlítunk össze

a rendszer egységugrásra adott válasza
a rendszer egységugrásra adott válasza, ha a rendszer erősítését ötszörösére növeljük
a negatívan visszacsatolt rendszer egységugrásra adott válasza, ha a körerősítést 5-re választjuk.

2.21. ábra - MATLAB Simulink hatásvázlat

2.22. ábra - Szimulációs eredmények

Az a) és b) esetben a rendszer ugyanazzal a $T = 1$ s időállandóval 1, illetve 5 értékre áll be. A c) esetben az $y (t)$ kimenőjel a b) esettel azonos meredekséggel indul el, de ahogy a hibajel csökken, úgy csökken az $u (t)$ beavatkozó jel, így az $y (t)$ meredeksége mindkét korábbi esetnél gyorsabban csökken, így hamarabb (kisebb időállandóval) éri el az állandósult értéket.

Összefoglalva: a negatívan visszacsatolt szabályozási körben a visszacsatolt kör válaszát a körerősítés növelésével gyorsíthatjuk. A gyorsítást túlvezérléssel érjük el, de a túlvezérlés sokszor a beavatkozó jel telítődéséhez vezethet. A beavatkozó jel telítődésekor nem beszélhetünk szabályozásról, mert a kimenőjel változása nem hat vissza a beavatkozó jelre (hiszen az állandó érték). Bizonyos mértékű telítődés általában megengedhető. Ezt úgy értelmezhetjük, hogy amikor a hibajel túl nagy (pl. amikor bekapcsoljuk a rendszerünket), akkor a maximális beavatkozással csökkentjük azt. A tényleges szabályozás akkor lép életbe, amikor a beavatkozó jel kilép a telítődésből, ezt az üzemi tartományt kell megfelelően megválasztani. Ha a körerősítés nagyon nagy (ideális esetben végtelen) és a beavatkozó jel korlátos, akkor ún. bang-bang típusú szabályozóhoz jutunk.

2.5.1.1. A telítődés hatásának vizsgálata

Az előző esethez képest egy telítődő tagot helyezünk a szabályozó és a szabályozott szakasz közé. A telítődés értéke (a maximális beavatkozójel) legyen 3. Az előző a) és c) esethez

a negatívan visszacsatolt rendszer egységugrásra adott válasza, ha a körerősítést 5-re választjuk, a telítődés értéke 3.
a negatívan visszacsatolt rendszer egységugrásra adott válasza, ha a körerősítést 10-re választjuk, a telítődés értéke 3.

A c) és d) eset között nincs jelentős különbség (ld. 2-24. ábra és 2-25. ábra). A telítődés miatt a beavatkozójel nem tud 5 értékre ugrani, ezért a kimenőjel felfutása kicsit lasabb, de az állandósult érték megegyezik mindkét esetben. Az e) esetben kb. 1.7 s alatt a beavatkozójel a telítődés miatt megegyezik a d) esettel (ld. 2-25. ábra). A nagyobb körerősítés miatt az e) esetben a szabályozási kör tovább marad telítésben, ezért gyorsabban éri el az állandósult értéket.

A fenti számításhoz tartozó MATLAB fájl

% Adatok
T=1; 
P=5;
Sat=P*0.6;
% Eredmények megjelenítése
plot(time,simout)
set(gca, 'fontsize', 19);
ylabel('Pozíció [rad]');
xlabel('Idő [s]');
title('Gyorsítás szemléltetése');
%axis([0 6 -0.52 0.52]);
grid
pause;
print -djpeg gy_poz
 
plot(time,sim_u)
set(gca, 'fontsize', 18);
ylabel('Beavatkozás');
xlabel('Idő [s]');
title('Gyorsítás szemléltetése');
grid
pause;
print -djpeg gy_u
 
plot(time,sim_u)
set(gca, 'fontsize', 18);
ylabel('Beavatkozás');
xlabel('Idő [s]');
title('Gyorsítás szemléltetése');
axis([0 1.1 -0 5]);
grid
print -djpeg gy_u2

2.23. ábra - A telítődés hatásának vizsgálata

2.24. ábra - Szimuláció eredménye (pozíció)

2.25. ábra - Szimuláció eredménye (beavatkozójel)

2.5.1.2. A hibajel nagysága konstans referenciajel esetén

Az 2-3. ábra és alapján

$E (s) = \frac{1}{1 + W_{x} (s)} U_{r} (s)$

(2.14)

Jelen esetben:

$E (s) = \frac{1}{1 + \frac{P}{1 + s T}} U_{r} (s) = \frac{1 + s T}{1 + P + s T} U_{r} (s)$

(2.15)

Legyen

$U_{r} (s) = U_{r 0} \frac{1}{s}$

(2.16)

A hibajel kezdeti értéke: természetesen megegyezik a referenciajellel

$e (0) = \lim_{s \to \infty} s • \frac{1 + s T}{1 + P + s T} • \frac{U_{r 0}}{s} = U_{r 0}$

(2.17)

A hibajel állandósult értéke: annál kisebb, minél nagyobb a körerősítés

$e (\infty) = \lim_{s \to 0} s • \frac{1 + s T}{1 + P + s T} • \frac{U_{r 0}}{s} = \frac{1}{1 + P} U_{r 0}$

(2.18)

2.5.1.3. A beavatkozójel nagysága konstans referenciajel esetén

A 2-3. ábra és alapján

$U (s) = \frac{P}{1 + W_{x} (s)} U_{r} (s)$

(2.19)

Jelen esetben:

$U (s) = \frac{P}{1 + \frac{P}{1 + s T}} U_{r} (s) = \frac{P (1 + s T)}{1 + P + s T} U_{r} (s)$

(2.20)

A beavatkozójel kezdeti értéke:

$u (0) = \lim_{s \to \infty} s • \frac{P (1 + s T)}{1 + P + s T} • \frac{U_{r 0}}{s} = P U_{r 0}$

(2.21)

Ez megegyezik a logikailag kikövetkeztethető értékkel. A $t = 0$ időpontban a referenciajel $U_{r 0}$ értékre ugrik. A kimenőjel értéke 0, így a különbség is $U_{r 0}$ , és ezt az értéket kell megszorozni a $P$ erősítéssel.

A beavatkozójel állandósult értéke:

$u (\infty) = \lim_{s \to 0} s • \frac{P (1 + s T)}{1 + P + s T} • \frac{U_{r 0}}{s} = \frac{P}{1 + P} U_{r 0}$

(2.22)

2.5.2. Több energia tárolós tag P szabályozóval

Tételezzük fel, hogy a felnyitott kör átviteli függvénye nem tartalmaz nulla értékű pólust (integráló tagot) vagy zérust (deriváló tagot), továbbá a nevező n fokszáma nagyobb a számláló r fokszámánál ( $n > r$ ). Ez azt jelenti, hogy felnyitott körben nincs olyan ág, amelyik a dinamikát megkerüli. A felnyitott kör átviteli függvényét írjuk fel a közvetkező alakban

$W_{x} (s) = P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}$

(2.23)

$T_{z i}$ és $T_{p i}$ értékei lehetnek valósak, illetve mind a zérusok, mind a pólusok között találhatunk komplex konjugált párokat. A visszacsatolt szábályozási kör átviteli függvénye:

$W_{c l} (s) = \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s) + P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}$

(2.24)

2.5.2.1. A hibajel nagysága konstans referenciajel esetén

$E (s) = \frac{1}{1 + P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}} U_{r} (s)$

(2.25)

A referenciajel legyen ugrásjel (2.16)

$e (0) = \lim_{s \to \infty} s • E (s) = lim_{s \to \infty} s • \frac{1}{1 + \frac{P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}} \frac{U_{r 0}}{s}$

$= lim_{s \to \infty} \frac{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s) + P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)} U_{r 0}$

$= lim_{s \to \infty} \frac{\prod_{i = 1}^{n} (\frac{1}{s} + T_{p i})}{\prod_{i = 1}^{n} (\frac{1}{s} + T_{p i}) + P \frac{1}{s^{n - r}} \prod_{i = 1}^{r} (\frac{1}{s} + T_{z i})} U_{r 0} = U_{r 0}$

(2.26)

Ez megegyezik az (2.17) eredménnyel és a logikailag kikövetkeztethető értékkel. A $t = 0$ időpontban a referenciajel $U_{r 0}$ értékre ugrik. A kimenőjel értéke 0, így a különbség is $U_{r 0}$ , ahogy ez matematikailag is levezethető (2.26) alapján.

$e (\infty) = \lim_{s \to 0} s • E (s) = lim_{s \to 0} s • \frac{1}{1 + \frac{P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}} \frac{U_{r 0}}{s} = \frac{1}{1 + P} U_{r 0}$

(2.27)

Ez megegyezik az (2.18) eredménnyel.

2.5.2.2. A beavatkozójel nagysága konstans referenciajel esetén

Az 2-3. ábra alapján

$U (s) = \frac{P}{1 + P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}} U_{r} (s)$

(2.28)

Így:

$u (0) = \lim_{s \to \infty} s • U (s) = lim_{s \to \infty} s • \frac{P}{1 + \frac{P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}} \frac{U_{r 0}}{s}$

$= lim_{s \to \infty} \frac{P \prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + T_{p i} s) + P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)} U_{r 0}$

$= lim_{s \to \infty} \frac{P \prod_{i = 1}^{n} (\frac{1}{s} + T_{p i})}{\prod_{i = 1}^{n} (\frac{1}{s} + T_{p i}) + P \frac{1}{s^{n - r}} \prod_{i = 1}^{r} (\frac{1}{s} + T_{z i})} U_{r 0} = P U_{r 0}$

(2.29)

Ez megegyezik az (2.21) eredménnyel.

2.5.3. Integráló tag hatása

Legyen egy felnyitott körben egy integrátor. Ez lehet a szabályozott szakaszban, vagy a szabályozóban. ami ral oldjuk meg.

A felnyitott kör átviteli függvénye integráló jellegű (van egy 0 értékű pólusa), továbbá a nevező n fokszáma nagyobb a számláló r fokszámával ( $n > r$ ).

$W_{x} (s) = P • \frac{1}{s} • \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n - 1} (1 + T_{p i} s)}$

(2.30)

Ekkor:

$E (s) = \frac{1}{1 + \frac{P}{s} • \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n - 1} (1 + T_{p i} s)}} U_{r} (s) = \frac{s}{s + \frac{P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n - 1} (1 + T_{p i} s)}} U_{r} (s)$

(2.31)

Így:

$e (\infty) = \lim_{s \to 0} s • E (s) = lim_{s \to 0} s • \frac{s}{s + \frac{P \prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n - 1} (1 + T_{p i} s)}} \frac{U_{r 0}}{s} = 0$

(2.32)

Vagyis egységugrás referenciajel és integráló taggal rendelkező felnyitott kör esetén az állandósult hiba nullához tart.

A felnyitott körben található integrátorok számát szokás a szabályozási kör típusszámának is nevezni. Ha a felnyitott kör átviteli függvénye $i_{x}$ db integrátort tartalmaz

$W_{x} (s) = P • \frac{1}{s^{i_{x}}} • \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n - i_{x}} (1 + T_{p i} s)}$

(2.33)

$E (s) = \frac{1}{1 + W_{x} (s)} U_{r} (s)$

(2.34)

(2.33) és (2.34) alapján

$E (s) = \frac{1}{1 + P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{s^{i_{x}} \prod_{i = 1}^{n - i_{x}} (1 + T_{p i} s)}} U_{r} (s)$

(2.35)

$e (\infty) = \lim_{s \to 0} s E (s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s^{i_{x}}}{s^{i_{x}} + P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n - i_{x}} (1 + T_{p i} s)}} U_{r} (s) = \lim_{s \to 0} s \frac{s^{i_{x}}}{s^{i_{x}} + P} U_{r} (s)$

(2.36)

A hibajel állandósult értéke az (2.36) alapján a felnyitott körben található integrátorok $i_{x}$ számától függ. Legyen a referenciajel egységugrás, egység sebességugrás és egység gyorsulásugrás. Az állandósult hibajel értékét az alábbi táblázat foglalja össze. Felhívjuk a figyelmet, hogy az (2.36) határérték olyan esetben is létezik, amikor a hibajelnek nincs állandósult értéke. Ilyen esetekben a hibajel a (2.36) határérték körül oszcillál állandó vagy legtöbb esetben növekvő amplitúdóval. Ez a veszély különösen a többszörös integrátort tartalmazó szabályozási körök esetén fenyeget.

Táblázat

	$U_{r 0} \frac{1}{s}$	$U_{r 0} \frac{1}{s^{2}}$	$U_{r 0} \frac{1}{s^{3}}$
$i_{x} = 0$	$e (\infty) = \frac{1}{1 + P} U_{r 0}$	$e (\infty) = \infty$	$e (\infty) = \infty$
$i_{x} = 1$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = \frac{1}{P} U_{r 0}$	$e (\infty) = \infty$
$i_{x} = 2$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = \frac{1}{P} U_{r 0}$
$i_{x} = 3$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = 0$

Nulla típusú szabályozó kör (ha egyébként stabilis a visszacsatolt kör):

Egységugrás jelre az állandósult hiba egy konstans érték.

Első típusú szabályozó kör (ha egyébként stabilis a visszacsatolt kör):

1 integrátorelem a felnyitott körben
egységugrás jelre az állandósult hiba nulla
egység sebesség ugrás bemenőjelre az állandósult hiba egy konstans érték

Másod típusú szabályozó kör (ha egyébként stabilis a visszacsatolt kör):

2 integrátor elem a felnyitott körben
egységugrás jelre az állandósult hiba nulla
egység sebességugrás jelre az állandósult hiba nulla
egység gyorsulás ugrásra az állandósult hiba egy konstans érték

2.5.4. Zajelnyomás (zavarójel kompenzáció)

Tekintsük az 2-26. ábraát

2.26. ábra - Zavarójel kompenzáció

Az 2-26. ábra alapján a zavarójel hatása a hibajelre a következő:

$E (s) = \frac{(- 1) W_{x 2} (s) (- 1)}{1 + W_{x 1} (s) W_{x 2} (s)} D (s) = \frac{W_{x 2} (s)}{1 + W_{x} (s)} D (s)$

(2.37)

Legyen

$W_{x} (s) = P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{s^{i_{x}} \prod_{i = 1}^{n - i_{x}} (1 + T_{p i} s)}$

(2.38)

Megfelelő sorszámozással elérhető, hogy

$W_{x 2} (s) = P_{2} \frac{\prod_{i = 1}^{r_{2}} (1 + T_{z i} s)}{s^{i_{2}} \prod_{i = 1}^{n_{2} - i_{2}} (1 + T_{p i} s)}$

(2.39)

(2.37), (2.38) és (2.39) alapján

$E (s) = \frac{P_{2} \frac{\prod_{i = 1}^{r_{2}} (1 + T_{z i} s)}{s^{i_{2}} \prod_{i = 1}^{n_{2} - i_{2}} (1 + T_{p i} s)}}{1 + P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{s^{i_{x}} \prod_{i = 1}^{n - i_{x}} (1 + T_{p i} s)}} D (s)$

(2.40)

$e (\infty) = \lim_{s \to 0} s E (s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s^{i_{x} - i_{2}} P_{2} \frac{\prod_{i = 1}^{r_{2}} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n_{2} - i_{2}} (1 + T_{p i} s)}}{s^{i_{x}} + P \frac{\prod_{i = 1}^{r} (1 + T_{z i} s)}{\prod_{i = 1}^{n - i_{x}} (1 + T_{p i} s)}} D (s) = \lim_{s \to 0} s \frac{s^{i_{x} - i_{2}} P_{2}}{s^{i_{x}} + P} D (s)$

(2.41)

A hibajel állandósult értéke felnyitott körben a zavarójel hatáspontja előtt található integrátorok $i_{x} - i_{2}$ számától függ. Ha a zavarójelet tekintjük bemenőjelnek és a hibajelet a kimenőjelnek, akkor a visszacsatoló ágban található integrátorok számát kell vizsgálnunk. Felhívjuk a figyelmet, hogy (2.41) határérték olyan esetben is létezik, amikor a hibajelnek nincs állandósult értéke. Ilyen esetekben a hibajel a (2.41) határérték körül oszcillál állandó vagy legtöbb esetben növekvő amplitúdóval. Ez a veszély ebben az esetben is különösen a többszörös integrátort tartalmazó szabályozási körökben fenyeget

Táblázat

	$D_{0} \frac{1}{s}$	$D_{0} \frac{1}{s^{2}}$	$D_{0} \frac{1}{s^{3}}$
$i_{x} - i_{2} = 0$	$e (\infty) = \frac{P_{2}}{1 + P} D_{0}$	$e (\infty) = \infty$	$e (\infty) = \infty$
$i_{x} - i_{2} = 1$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = \frac{P_{2}}{P} D_{0}$	$e (\infty) = \infty$
$i_{x} - i_{2} = 2$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = \frac{P_{2}}{P} D_{0}$
$i_{x} - i_{2} = 3$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = 0$	$e (\infty) = 0$

A szuperpozíció elve alapján a referenciajel és a zavarójel hatása összegezhető.

2 . 2 feladat

Az 2-27. ábraán látható szabályozási körnek két bemenőjele van: $U_{r} (s)$ referencia jel (Step 1) és $D (s)$ zavarójel (Step 2). Írja fel az $y (t)$ kimenőjel és az $e (t)$ hibajel időfüggvényét.

A 2. Step bemenetre $ε (t)$ egységugrás jelet adunk és az 1. Step bemenetre kapcsolt jel értéke 0.

Az 1. Step bemenetre $ε (t)$ egységugrás jelet adunk és a 2. Step bemenetre kapcsolt jel értéke 0.

Az 1. Step bemenetre $ε (t)$ egységugrás jelet adunk és a 2. Step bemenetre egy időben 10 egységgel eltolt $ε (t - 10)$ egységugrás jelet adunk.

2.27. ábra - Zavarelhárítás vizsgálata

2.5.4.1. Megoldás

$U_{r} (s) = 0$ és $D (s) = 1 / s$

$E (s) = \frac{- \frac{1}{1 + 2 s}}{1 + \frac{1}{2 s}} • \frac{- 1}{s} = \frac{1}{1 + 2 s + \frac{1 + 2 s}{2 s}} • \frac{1}{s} = \frac{2}{4 s^{2} + 4 s + 1} = \frac{1}{2 (s + 0.5) (s + 0.5)}$

(2.42)

$e (t) = 0.5 t e^{- 0.5 t}$

(2.43)

$e (\infty) = \lim_{s \to 0} s E (s) = \lim_{s \to 0} s \frac{1}{2 (s + 0.5) (s + 0.5)} = 0$

(2.44)

$U_{r} (s) = 1 / s$ és $D (s) = 0$

$E (s) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 s}} • \frac{1}{s} = \frac{2 s}{1 + 2 s} • \frac{1}{s} = \frac{2}{2 s + 1}$

(2.45)

$e (t) = e^{- 0.5 t}$

(2.46)

$e (\infty) = \lim_{s \to 0} s E (s) = \lim_{s \to 0} s \frac{2}{2 s + 1} = 0$

(2.47)

2.6. A stabilitás fogalma

Rendszerek vizsgálata során kulcsfontosságú feladat a stabilitás eldöntése. A későbbi fejezetekben több konkrét olyan módszert mutatunk be, amely segítségével a stabilitás eldönthető. Ebben az alfejezetben csak a legfontosabb definíciókat közöljük. A stabilitás megítélésében apró szemléletbeli különbség tapasztalhatók akár annak függvényében, hogy milyen jellegű feladatot kell megoldani. Ebben a tárgyban a végső cél a szintézis, egy szabályozó tervezése. Az elvárás az, hogy az elkészült rendszer minden üzemállapota stabilis legyen, így a rendszer stabilitásáról beszélünk. Ha analízis a feladatunk, akkor a rendszernek a különböző üzemállapotait, néha csak külön-külön vizsgáljuk, ekkor azt hangsúlyozzuk, hogy a stabilitás nem a rendszer, hanem az adott üzemállapot tulajdonsága. Az irányítási feladatok fontos sajátossága, hogy e tárgykörben általában visszacsatolt rendszerekkel találkozunk, ezért legtöbbször a visszacsatolt rendszer stabilitását kell vizsgálnunk. Az a kérdés, hogy a visszacsatolás miként befolyásolja a visszacsatolt rendszer stabilitását.

A stabilitás mérnöki értelemben alapvetően két megközelítésben vizsgálható. Az irodalomban találkozhatunk gerjesztetlen rendszer, illetve gerjesztett rendszer stabilitásával. Matematikai értelemben pontosabb az a megfogalmazás, ha autonóm működésű és nem autonóm működésű rendszerek stabilitásáról beszélünk, vagyis matematikai érdelemben a ténylegesen gerjesztetlen (az összes bemenet nullaértékű) és konstans gerjesztésű rendszereket azonos módon lehet kezelni. Az időben változó rendszerek a stabilitás szempontjából matematikailag az ún. „gerjesztett” kategóriába sorolandók, még akkor is, ha a bemenetre effektíven nulla értéket kapcsolunk. Talán ezért terjedt el a paraméteresen gerjesztett rendszer kifejezés, amely egyszerűen időben változó, vagyis nem autonóm működésű rendszert jelent. Természetesen autonóm működésű és nem autonóm működésű rendszerek egyaránt lehetnek lineárisak és nemlineárisak, ez a problémakör telesen más megközelítése.

Lineáris, invariáns rendszerek esetén viszonylag egyszerűbb a helyzet, de nem-lineáris rendszerek esetén a stabilitás egy összetett fogalom, és több féle definíció létezik. Az is előfordulhat, hogy egy rendszer az egyik definíció szerint stabil, a másik szerint pedig nem az. Nem-lineáris rendszerek esetén a stabilitás gerjesztés és munkapont függő is lehet.

A stabilitással rokon fogalom az egyensúlyi állapot. A gerjesztetlen és konstans gerjesztésű rendszer stabilitása az egyensúlyi állapot segítségével egyszerűen definiálható, így ezzel gyakran élünk. A gerjesztett, pontosabban a nem autonóm működésű rendszer egyensúlyi állapota összetettebb definíciót igényel, ezért a gerjesztett rendszer stabilitását általában a korlátos működésre alapozva definiáljuk.

2.6.1. Statikus egyensúlyi állapot

Definíció

Egy autonóm rendszer akkor van statikus egyensúlyi állapotban, ha az állapotváltozók értéke konstans.

Értelmezés

Megjegyzés, ez a definíció kizárja statikus rendszereket (amelyeknek nincs állapotváltozójuk), ugyanakkor a konstans gerjesztést megengedi. Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszernek egy adott konstans gerjesztés mellett csak egyetlen egyensúlyi állapota létezhet (ellenkező esetben nem lenne érvényes a szuperpozíció elve). A Egy nem-lineáris rendszernek adott konstans gerjesztés mellett lehet több egyensúlyi állapota is.

Példaként, ha van egy golyónk és egy kanalunk, akkor kanál helyzetétől függően a golyót többféle módon tudjuk a kanálra helyezni úgy, hogy a golyó ne mozduljon el, vagyis statikus egyensúlyi állapotba kerüljön. Alapvető különbség van két eset között

A kanalat szokásosan fogjuk és a golyót a kanál mélyedésébe helyezzük.
A kanalat fordítva fogjuk, és a golyót a kanál domborulata tetejére helyezzük.

A különbséget azonnal észrevesszük, ha egy kicsit remeg a kezünk. Az első esetben a golyó kicsit ide-oda gurul, de ismét megáll, ha a kézremegés megszűnik. A második esetben a golyó legurul a kanálról és sohasem gurul vissza a kanál tetejére. E gondolatkísérlet alapján fogalmazhatjuk meg az első stabilitási definíciót.

2.6.2. Aszimptotikus stabilitás

Definíció

Egy autonóm lineáris differenciál egyenlettel leírható rendszert tetszőlegesen kitérítjük az egyensúlyi állapotából. Az egyensúlyi állapotban ható esetleges konstans gerjesztést nem változtatjuk meg, és magára hagyjuk a rendszert. Ha a rendszer állapotváltozói konvergálnak az egyensúlyi állapotban felvett értékekhez, akkor a rendszert aszimptotikusan stabilitásnak nevezzük.

Értelmezés

Ha egy rugóval függőlegesen felfüggesztünk egy tömeget, akkor a tömegre a gravitáció állandó gerjesztésként hat, és kialakul egy egyensúlyi állapot. Ha ebből az állapotból kimozdítjuk a tömeget és elengedjük, akkor a csillapítás miatt egyre csökkenő amplitúdójú lengések után beáll egy új egyensúlyi állapotba. Ha a rendszer lineáris, akkor az új egyensúlyi állapot megegyezik az eredeti egyensúlyi állapottal. Lineáris rendszerek esetén az egyensúlyi állapotra alapozott stabilitás vizsgálata egyszerű, mert csak egy egyensúlyi állapota lehet, és ha az stabilis, akkor aszimptotikusan is stabilis. Nemlineáris rendszerek esetén, a fenti definíción enyhíteni kell. Mivel a nemlineáris rendszernek több egyensúlyi állapota is lehetséges, ezért nem követelhetjük meg, hogy tetszőlegesen nagy kitérítés után is mindig az eredeti egyensúlyi állapothoz konvergáljon a rendszer, vagyis az aszimptotikus stabilitás csak egy tartományon belül érvényes. Általában magát az „aszimptotikusságot” sem írhatjuk elő egy nemlineáris rendszer esetén, vagyis nem követelhetjük meg azt, hogy a kitérített rendszer konvergáljon az eredeti egyensúlyi állapothoz. Az egyik tipikus nemlinearítás a súrlódás. Ha a fenti példa tömeg-rugó rendszerében a tömeg pl. egy fal mellett mozog és mozgás közben a tömegre a faltól származó súrlódási erő is hat, akkor a tapadási súrlódás miatt a tömeg általában az eredeti egyensúlyi állapot előtt vagy után beragad.

Így szigorúan nézve nem elégíti ki az aszimptotikus stabilitás kritériumát, de műszaki értelemben valahol ezt is stabilisnak érezzük, ezért szükséges az aszimptotikusnál megengedőbb definíció.

2.6.3. Ljapunov stabilitás

Definíció

Egy nemlineáris autonóm működésű rendszert akkor mondunk Ljapunov érelemben stabilisnak, ha az egyensúlyi állapot bármely környezetéhez találunk egy olyan nullánál nagyobb maximális kitérítést, amelynél kisebb kitérítések esetén a rendszer garantáltan visszatér az eredetileg meghatározott környezetbe.

Értelmezés

Ez a definíció egyrészt feltételezi, hogy az állapotváltozóknak van normája, vagyis értelmezhető az egyensúlyi állapot környezete, másrészt nem követeli meg, hogy a rendszer visszatérjen a kiindulási állapotba, csak annak környezetébe. A nemlineáris súrlódással terhelt tömeg-rugó rendszer Ljapunov értelemben stabilis, de nem aszimptotikusan stabilis.

2.6.4. Dinamikus egyensúlyi, illetve állandósult állapot

A statikus egyensúlyi állapot fogalma kiterjeszthető az egyensúlyi mozgásállapotra, tipikusan állandó amplitúdójú, állandó frekvenciájú periodikus lengésekre, ilyen esetben dinamikus egyensúlyi állapotról beszélünk. A mérnöki gyakorlatban az általános értelemben vett egyensúlyi állapotot szokás állandósult állapotnak nevezni.

Hasonlóan nem az eredeti egyensúlyi állapotba tér vissza a tömeg, ha az időközben megváltozik a rugó rugalmassági együtthatója.

2.6.5. BIBO stabilitás

Definíció

Korlátos bemenőjelre minden esetben korlátos kimenőjel a válasz. Ezt a feltételt teljesítő rendszert ismételten az angol név után BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilis rendszernek hívjuk.

Ha egy lineáris rendszer valamilyen értelemben stabi lis , akkor a többi értelemben is az.

2.7. A visszacsatolt rendszer stabilitása

A szabályozási körrel szemben támasztott legfontosabb elvárás a stabilitás. Lineáris rendszer esetén ennek feltételét könnyű megfogalmazni. Az 2-3. ábraán látható struktúrát feltételezünk. A zárt rendszer $W_{c l} (s)$ átviteli függvényének pólusai legyenek a negatív félsíkon, vagyis a pólusok valós részei legyenek negatívak. Gondot az jelent, hogy csak $W_{c} (s)$ paramétereinek meghatározásában van szabadságunk, és elég nehézkes azt felírni, hogy ezek miként hatnak $W_{c l} (s)$ pólusaira. Egy kicsivel jobb a helyzet $W_{x} (s)$ esetén. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a felnyitott kör $W_{x} (s)$ átviteli függvénye milyen tulajdonságokkal rendelkezzen ahhoz, hogy a $W_{c l} (s)$ átviteli függvény pólusai a negatív félsíkon legyenek, vagyis a pólusok valós részei negatívak legyenek.

Definíció

Strukturálisan stabilisnak nevezzük az olyan rendszereket, amelyek esetén a felnyitott kör $W_{x} (s)$ átviteli függvénye (pontosabban a pólusok és zérusok helye olyan), hogy tetszőlegesen növelve a felnyitott kör erősítését a visszacsatolt, a $W_{c l} (s)$ átviteli függvénnyel leírható rendszer garantáltan stabilis marad.

Értelmezés

A klasszikus szabályozási körök tervezésekor először a $W_{c} (s)$ szabályozó átviteli függvényének pólusait és zérusait határozzuk meg, és ezzel a felnyitott kör $W_{x} (s)$ átviteli függvényének pólusait és zérusait tesszük ismertté. A tervezés utolsó lépése, hogy a $W_{x} (s)$ átviteli függvény erősítését addig növeljük, ameddig túllendülési, illetve stabilitási problémába nem ütközünk. A strukturálisan stabilis rendszereknél a stabilitás szempontjából a körerősítést tetszőlegesen növelhetjük, vagyis a tervezés szempontjai között a stabilitásra nem kell tekintettel lennünk. A körerősítést pl. a beavatkozójel fizikai korlátaihoz igazítjuk.

2.7.1. Routh-Hurwitz stabilitási kritérium visszacsatolt szabályozási körre

A Routh-Hurwitz stabilitási kritériumot az (2.6) alapján könnyen alkalmazhatjuk a visszacsatolt szabályozási körre.

2.7.2. Bode-féle stabilitási kritérium

Minimálfázisú, időkésleltetés nélküli rendszerek esetén a stabilitás feltétele az, hogy amikor a negatív visszacsatolás a felnyitott kör 180-os fáziskésése miatt pozitív visszacsatolássá válik, akkor a körerősítés 1-nél kisebb legyen. E kritérium alkalmazásához szükséges az alábbi két definíció.

Definíciók

Vágási körfrekvencia ( $ω_{c}$ ): Az a körfrekvencia érték, amelyet behelyettesítve a felnyitott kör $W_{x} (j ω)$ frekvencia átviteli függvényébe, annak abszolút értéke 1 lesz.

$| W_{x} (j ω_{c}) | = 1$

(2.48)

Fázistartalék ( $φ_{t}$ ): $W_{x} (j ω)$ Nyquist-diagramjának fázisszöge mennyivel kisebb, mint 180°, annál a frekvencia értéknél, ahol a görbe belép az egység sugarú körbe, képlettel:

$φ_{t} = 180 - \arg (W_{x} (j ω_{c}))$

(2.49)

ahol arg( $W_{x} (j ω_{c})$ ) a $W_{x} (j ω_{c})$ komplex szám szögét jelöli.

Bode-féle stabilitási kritérium

Minimálfázisú, időkésleltetés nélküli rendszer garantáltan stabilis, ha a felnyitott kör $W_{x} (j ω)$ frekvencia átviteli függvényének $ω_{c}$ vágási körfrekvenciája a -20 dB/dec szakaszra és garantáltan instabil, ha -60 dB/dec, vagy annál nagyobb meredekségű szakaszra esik. Az előbbi esetben garantálhatóan $φ_{t} > 0$ , az utóbbi esetben $φ_{t} < 0$ . Ha a $ω_{c}$ vágási körfrekvenciája a -40 dB/dec szakaszra esik, akkor a fázistartalékot külön meg kell vizsgálni.

Mivel a szabályozási körök klasszikus tervezési módjánál az utolsó lépés az erősítés megválasztása, ezért szokás definiálni az erősítési tartalékot.

Definíció

Erősítési tartalék

A felnyitott kör $W_{x} (j ω)$ frekvencia átviteli függvényének abszolút értéke, akkor, amikor a fázisa

-180°.

$| W_{x} (j ω) |, ha \arg (W_{x} (j ω)) = - 180$

(2.50)

2.7.3. Nyquist-féle stabilitási kritérium

Lineáris rendszerek stabilitása a felnyitott kör átviteli függvénye alapján eldönthető. Ha $W_{x} (s)$ -nek $P P$ db pozitív valósrészű – vagyis instabil – pólusa van, akkor a $W_{x} (j ω)$ Nyquist-diagram görbének $P P$ -szer kell megkerülnie a (-1+0j) pontot az óramutató járásával ellentétes irányban, ahhoz, hogy stabil legyen a $W_{c l} (s)$ . Megjegyzés: $W_{x} (j ω)$ a negatív $ω$ értékekkel válik zárttá. Speciális esetben $P P = 0$ , ekkor $W_{x} (j ω)$ zárt görbe nem veheti körbe a (-1+0j) pontot.

Vissza		Előre
1. fejezet - Bevezetés	Főoldal	3. fejezet - Kvalitatív rendszerdinamika és rendszerek stabilitása