5. fejezet - Robotok kinematikai és dinamikai alapegyenletei

Tartalom
5.1. Geometriai összefüggések
5.1.1. Homogén transzformációk
5.2. Kinematikai alapegyenletek
5.2.1. A robot Jacobi-mátrixa
5.3. Dinamikai egyenletek
5.4. Anholonom rendszerek mozgásegyenletei
5.4.1. Routh–Voss-egyenletek
5.4.2. Appell–Gibbs-egyenletek
5.4.2.1. A kvázisebességek
5.4.2.2. A Gibbs-féle gyorsulásenergia és a mozgásegyenletek
5.4.3. Merev test mozgásegyenletei
5.4.3.1. Bevásárló kocsi anholonom modellje

5.1. Geometriai összefüggések

Bár az iparban alkalmazott robotok különböző felépítésűek lehetnek, jelentős részük merev tagokból álló nyílt láncú, elágazás nélküli olyan mechanizmusként modellezhető, melynek szomszédos tagjait egy szabadságfokú (transzlációs vagy rotációs) ízületek kapcsolják össze.

Egy nyílt láncú -DOF robot esetén tehát az -edik tag helyzetét (pozícióját és orientációját) csak a láncban őt megelőző tagok helyzete és a hozzá tartozó csuklóváltozó értéke határozza meg. A rögzített bázis vagy nullás tagot -vel illetve 0-val jelöljük, míg a manipulátor tag az -edik tag, melyet -vel is szokás azonosítani.

5.1.1. Homogén transzformációk

Egy pont helyzetét megadó, az -edik taghoz rögzített koordiánátarendszerben értelmezett helyvektor és a bázishoz rögzített koordinátarendszerben értelmezett helyvektorok között lineáris transzformációkkal adhatjuk meg a kapcsolatot. Ehhez tekintsük először az és vektorok közötti kapcsolatot:

 

 

ahol a koordinátarendszer origójába mutató helyvektor a -ben.

Amennyiben a vektorokat a megfelelő koordinátákkal reprezentáljuk, akkor figyelembe kell venni a koordinátatengelyek közötti forgatási transzformációt is:

 

 

Itt tehát a -beli bázisvektoroknak -beli reprezentációjából felépített mátrix:

 

 

Az egyes koordinátarendszerek közötti forgatási és eltolási transzformációt az alábbi homogén transzformációval is megadhatjuk:

 

 

azaz célszerű a háromdimenziós helyvektorok helyett a négydimenziós vektort használni. A továbbiakban a helyvektorok alatt mindig ezt a négydimenziós változatot értjük és az egyszerűség kedvéért a ~-t elhagyjuk.

Az transzformáció mátrixa a Denavit–Hartenberg-koordináták segítségével algoritmizálva megadható, amennyiben

  • az -edik és -edik tag a ízületben csatlakozik;

  • az -edik taghoz rögzített koordinátarendszer ízület „tengelye”;

  • az tengely a és tengelyek normáltranszverzálisa;

  • az origó az és metszéspontja;

  • a pont az és metszéspontja;

  • az és tengelyek távolsága (, pontosabban;

  • az a szög, amellyel -et körül elforgatva -vel párhuzamos tengelyt kapunk:;

  • a és tengelyek távolsága (, pontosabban, tehát);

  • pedig az a szög, amellyel -et körül elforgatva -vel párhuzamos tengelyt kapunk:;

Ezek közül

  • ,: geometriai függő állandó;

  • : forgó kapcsolatnál,

  • : prizmatikus kapcsolatnál változik.

Így az -edik tag transzformációs mátrixa tehát a tengely mentén történő eltolás és akörüli elforgatás, valamint az tengely mentén történő eltolás és akörüli elforgatás transzformációk egymásutánjaként is felfogható:

 

 

ahol

 

 

és

 

 
 

 

Ezzel tehát

 

 

és egy hat szabadságfokú nyílt láncú robot nullás és hatos tagjához rögzített koordinátarendszerben ugyanazon pontot megadó és helyvektorok közötti kapcsolat tehát:

 

 

A direkt kinematikai feladatban az egyes tagok relatív pozícióját közvetlenül meghatározó általános koordináták ( vagy) előírásával az transzformációs mátrix ismert és így is meghatározható ismeretében.

Az inverz kinematikai feladatnál adott a manipulátorhoz rögzített koordinátarendszer origójának helyvektora és a koordinátarendszer tengelyeinek (azaz a manipulátornak) orientációja a bázisvektorok által, tehát ismert az transzformáció mátrixa és keresett a koordináták azon értéke, melyekkel kiadódik.

5.2. Kinematikai alapegyenletek

5.2.1. A robot Jacobi-mátrixa

Az -edik tag súlypontjának hely- és sebességvektora:

 

 

de vegyük észre, hogy

 

 

Tehát az -edik tag súlypontjának sebességvektora:

 

 

Az -edik tag relatív szögsebessége ():

 

 

és így az -edik tag abszolút szögsebessége:

 

 

ahol

 

 

A robot egyes tagjainak súlypontba redukált kinematikai vektorkettőseit tartalmazó kinematikai vektor és az általános koordináták vektora között a Jacobi-mátrix teremt kapcsolatot:

 

 

5.3. Dinamikai egyenletek

A robot mozgásegyenleteit holonom (geometriai) kényszerek esetén a másodfajú Lagrange-egyenletek segítségével vezethetjük le. Ehhez az előzőekben meghatározott sebesség- és szögsebességvektorokkal fel kell írnunk a kinetikus energiát:

 

 

azaz

 

 

Ezzel a Lagrange-függvény a nehézségi erő és egyéb potenciálos erők potenciálfüggvényével:

 

 

A másodfajú Lagrange-egyenlet pedig a disszipatív tagoktól eltekintve:

 

 

ahol a motornyomatékokból illetve egyéb erőkből származó -adik általános erő, amit az erők virtuális teljesítményéből határozhatunk meg.

5.4. Anholonom rendszerek mozgásegyenletei

Az korábban levezetett elsőfajú Lagrange-egyenletek az anyagi pontrendszerek általános mozgásegyenleteinek tekinthetők — mind geometriai, mind kinematikai kényszerek esetén érvényesek —, azonban a rendszer szabadsági fokánál több ismeretlen skalárfüggvényt (konfigurációs változót) tartalmaznak és az egyenletrendszer is kevert, ún. differenciál-algebrai egyenletrendszer (DAE).

Felmerül a kérdés, hogy holonom rendszerekre vonatkozó másodfajú Lagrange-egyenletekhez hasonló egyenletek felírhatók-e, illetve hogy a másodfajú Lagrange-egyenletek hogyan módosulnak kinematikai kényszerek, tehát anholonom rendszer esetén. A levezetéseket most is pontrendszerre végezzük el, amit általánosíthatónak tekintünk merev testekre is.

5.4.1. Routh–Voss-egyenletek

Tekintsük az anyagi pontból álló térbeli mechanikai rendszert, melyek között darab geometriai és darab kinematikai kényszer írható fel. Válasszunk darab általános koordinátát, melyekkel az anyagi pontok helyvektorai kifejezhetők és a geometriai kényszerfeltételek automatikusan teljesülnek:

 

 

továbbá tegyük fel, hogy a kinematikai kényszerek a sebességvektorok lineáris kifejezései:

 

 

A sebességvektorok és az általános sebességek közötti összefüggéssel a kényszeregyenletek felírhatók az általános koordinátákkal és sebességekkel:

 

(5.1)

ahol és .

A virtuális sebességek közötti kapcsolat illetve feltétel:

 

(5.2)

azaz most -k nem függetlenek.

Megismételve a másodfajú Lagrange-egyenletek levezetését a virtuális teljesítmény elvének a d'Alembert-elvre alkalmazott változatából

 

(5.3)

kapjuk, hogy

 

(5.4)

de itt most -k nem függetlenek. A Lagrange-féle multiplikátor módszerrel kiegészítve a fenti összefüggést viszont megfelelő együtthatókkal -k már függetlennek tekinthetők:

 

(5.5)

 

 

Példa bevásárló kocsi, gördeszka, korcsolya, …

5.4.2. Appell–Gibbs-egyenletek

Az előzőekben levezetett Routh–Voss-egyenletek tehát az elsőfajú Lagrange-egyenleteknél -vel kevesebb, összesen darab ismeretlent (-t és -t) tartalmaznak, de az egyenletek a kinematikai kényszerekkel együtt is differenciál-algebrai egyenletrendszernek tekinthetők, mivel csak a általános koordinátáknak szerepelnek az idő szerinti első illetve második deriváltjai az egyenletekben.

5.4.2.1. A kvázisebességek

A kinematikai kényszeregyenletek kiküszöbölése általános koordinátákkal nem lehetséges. Pontosabban az általános koordináták közül kiválasztható darab, melyek sebességeinek tetszőleges értékei esetében a kinematikai feltételek a többi általános sebesség megfelelő értékeivel még kielégíthetők. Általánosabban fogalmazva, választható darab ún. kvázisebesség mint az általános sebességek bizonyos lineáris kombinációja:

 

(5.6)

Ez célszerűen úgy történik, hogy a kinematikai kényszerek (5.1) lineáris egyenletrendszerét kiegészítjük a fenti egyenletrendszerrel oly módon, hogy az így kapott

 

(5.7)

lineáris egyenletrendszer méretű (négyzetes) együtthatómátrixa reguláris, azaz invertálható legyen (, stb.). Így már az általános sebességek kifejezhetők a kvázi sebességek lineáris kombinációjaként:

 

(5.8)

Ezzel a virtuális sebességvektorok és a virtuális kvázisebességek közötti kapcsolat:

 

(5.9)

5.4.2.2. A Gibbs-féle gyorsulásenergia és a mozgásegyenletek

Vezessük be a kinetikus energia mintájára a következő, ún. Gibbs-függvényt és tekintsük a-k szerinti parciális deriváltját:

 

(5.10)

mivel

 

(5.11)

Ezzel a d'Alembert-elv:

 

(5.12)

ahol már -k tetszőlegesek, így a mozgásegyenleteknek a kvázisebességekre és általános koordinátákra vonatkozó Appell–Gibbs-féle, a kinematikai kényszerekkel is kiegészített elsőrendű rendszere:

 

(5.13)

 

(5.14)

ahol az ún. kvázierő, amit a virtuális teljesítményből is meghatározhatunk:

 

(5.15)

5.4.3. Merev test mozgásegyenletei

A merev test gyorsulásenergiája (Gibbs-függvény):

 

 

mivel .

Ezzel az Appell–Gibbs-egyenletekből is származtathatjuk a Newton–Euler-egyenleteket szabad mozgás ( DOF) esetén:

 

 
 

 

5.4.3.1. Bevásárló kocsi anholonom modellje

Modell: az síkban mozgó és tömegpontok, melyeket hosszúságú, tömeg nélküli merev rúd köt össze. A pontrendszer mozgását az tömegre ható, rúdirányú erővel, valamint az tömegre ható, a rúdra merőleges erővel befolyásoljuk. Az anholonom kényszert az tömegpont sebességvektorára írjuk elő: ez szintén csak rúdirányú lehet (azaz az itteni kerekek tengelye rögzített).

A kényszeregyenletek tehát:

 

 

Így az elsőfajú Lagrange-egyenletek:

 

 
 

 

amit kifejtve skaláregyenletrendszerré:

 

 
 

 
 

 
 

 

a két kényszeregyenlettel egy differenciál-algebrai egyenletrendszert kapunk ismeretlen és függvényekkel.

A és multiplikátorok az egyenletek alábbi lineáris kombinációjával kiküszöbölhetők:

 

 
 

 

azaz

 

 
 

 

Az egyenletek egyszerűbb alakját kapjuk, ha a geometriai () kényszeregyenleteknek megfelelő, darab általános koordinátát választunk, azaz

 

 

Viszont teljesülni kell még a kinematikai kényszeregyenletnek is:

 

 

Ezekkel a kinetikus energia és az erők virtuális teljesítménye:

 

 
 

 

A kinetikus energia deriváltjai:

 

 
 

 
 

 
 

 

A Routh–Voss-féle mozgásegyenletek tehát:

 

 
 

 
 

 

melyek a kinematikai kényszeregyenlettel együtt egy kevert másod- illetve elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert alkotnak. Ezt Cauchy-átírással egy 7 dimenziós elsőrendű egyenletrendszerré lehet átírni, amiben viszont nem szerepelnek a multiplikátor deriváltjai.

A kinematikai kényszeregyenleteket a darab kvázisebesség választásával küszöbölhetjük ki. Egészítsük ki a kinematikai kényszeregyenletet a kvázisebességek és az általános koordinátasebességek közötti olyan lineáris összefüggésekkel, melyek segítségével az egyenletrendszerből az általános koordinátasebességek kifejezhetők lesznek. Például:

 

 

Az Appell–Gibbs-egyenletek:

 

 

melyek felírásához szükségünk lesz a Gibbs-féle gyorsulásenergiára és a virtuális teljesítményre is mint a kvázisebességek függvényei:

 

 

A tömegek gyorsulásai tehát:

 

 

A négyzetre emelés elkerülhető hiszen azaz az elsőrendű mozgásegyenletek a kinematikai kényszerekből nyert kifejezésekkel kiegészítve:

 

 

       

 

 

       

 

 

   

ahol az első két egyenlet függetlenül megoldható, és ismeretében adott kezdeti feltételekkel is kiintegrálható.

Speciális mozgások A és paraméterű stacionárius mozgások feltétele az első két egyenletből

 

 

A stacionárius mozgások stabilitás vizsgálatához nézzük a variációs rendszert:

 

 
 

 
 

 

illetve rendezzük át alakra:

 

 

A következő nemlineáris transzformációval normál formára rendezve (a kritikus esetben):

 

 

ahol

 

.