1. fejezet - A mozgásvizsgálat elemei

1. fejezet - A mozgásvizsgálat elemei
Vissza	2. rész - rész	Előre

Tartalom

1.1. Az anyagi pont mozgása

1.1.1. Anyagi pont kinematikája
1.1.2. Az anyagi pont mozgásegyenletei
1.1.3. Erőterek, konzervatív erőtér, potenciális energia
1.1.4. Centrális erők, felületi tétel

1.2. Kényszerített mozgások

1.2.1. Az elsőfajú Lagrange-féle egyenletek
1.2.2. Időtől függő kényszerfeltételek
1.2.3. Nem ideális kényszerek

1.3. Anyagi pont egyensúlya

1.3.1. A virtuális munka elve
1.3.2. A d'Alembert-elv

1.4. Mozgó vonatkoztatási rendszerek

1.4.1. Merev testek kinematikai egyenletei
1.4.2. A dinamika alapegyenlete mozgó vonatkoztatási rendszerben

1.1. Az anyagi pont mozgása

1.1.1. Anyagi pont kinematikája

A háromdimenziós térben mozgó anyagi pont mindenkori helyzetét három skalárfüggvénnyel adhatjuk meg, melyeket a pont koordinátáinak nevezünk. Derékszögű Descartes-féle koordinátarendszerben (DDKR) ezek az $x (t)$ , $y (t)$ és $z (t)$ függvények. Ezekkel megadható az anyagi pont időtől függő helyvektora, mozgásának törvénye:

$r = r (t) \equiv [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \\ z (t) \end{matrix}]$

(1.1)

A helyvektorok végpontjait összekötve kapjuk meg az anyagi pont mozgásának pályáját.

Az anyagi pont sebességvektora, mint a helyvektor változási gyorsasága, megegyezik a helyvektor idő szerinti deriváltjával:

$v (t) = \dot{r} \equiv \frac{d r}{d t}$

(1.2)

A deriválás természetéből adódóan ez érintőleges a pályára az adott pillanatban:

$v (t) = v (t) e_{t} (t),$

(1.3)

ahol $v$ a sebesség vektor nagysága, az ún. pályasebesség és $e_{t}$ a pálya érintőegységvektora. A $v$ pályasebesség idő szerinti integrálásával kapjuk az anyagi pont által megtett utat vagy pályabefutás törvényét:

$s (t) = \int_{t_{0}}^{t} v (τ) d τ .$

(1.4)

A sebességvektor idő szerinti deriváltja az $a$ gyorsulásvektor, amely felbontható egy pálya menti $a_{t}$ tangenciális gyorsulásra és egy pályára merőleges $a_{n}$ normális gyorsulásra:

$a (t) = \dot{v} \equiv \dot{v} e_{t} + v \frac{d e_{t}}{d t} \equiv \underset{a_{t} (t)}{\underset{︸}{\dot{v} e_{t}}} + \underset{a_{n} (t)}{\underset{︸}{\frac{v^{2}}{ρ} e_{n}}},$

(1.5)

ahol $a_{t} (t) = \dot{v}$ az ún. pályagyorsulás, $ρ$ a pályagörbe görbületi sugara az adott pontban és $e_{n}$ a főnormális irányú egységvektor. Tehát a tangenciális gyorsulás a sebességvektor nagyságának változását adja meg, míg a normális gyorsulás komponens a sebességvektor irányának változásával van összefüggésben.

Példa – Anyagi pont mozgása csavarvonalon:

$r (t) = {[\begin{matrix} R \cos φ \\ R \sin φ \\ c φ \end{matrix}]}_{φ = ω t} \Rightarrow v (t) = [\begin{matrix} - R ω \sin ω t \\ R ω \cos ω t \\ c ω \end{matrix}] \Rightarrow a (t) = [\begin{matrix} - R ω^{2} \cos ω t \\ - R ω^{2} \sin ω t \\ 0 \end{matrix}]$

$a \cdot v = 0 \Rightarrow a \equiv a_{n},$ $v \equiv ω \sqrt{R^{2} + c^{2}} \Rightarrow a_{t} = 0,$ $s (t) = (s_{0} +) v t .$

1.1.2. Az anyagi pont mozgásegyenletei

Dinamikai alapfogalmak (emlékeztető): merev test, vonatkoztatási rendszer, koordináta rendszer, szabadsági fok. Newtoni axiómák: inerciarendszer, dinamika alaptörvénye, akció-reakció elve, (erőösszeg).

A dinamika alaptörvénye

Ismerjük az $m$ pontszerű tömegre, anyagi pontra ható erők eredőjét, az

$F = F (r, \dot{r}, t)$

(1.6)

vektorfüggvényt (egy inerciarendszerben). Meghatározandó az anyagi pont $r = r (t)$ mozgástörvénye. Megoldás a

$m \ddot{r} = F$

(1.7)

dinamikai alapegyenlet segítségével: másodrendű vektori differenciálegyenlet integrálása. Az (1.7) egyenlet három vetületi komponense adja meg az anyagi pont mozgásegyenleteit. Az általános megoldás 6 integrálási állandót tartalmaz, melyeket a kezdeti (indítási) feltételek határoznak meg.

Bizonyos esetekben felírható a mozgásegyenletek egy vagy több első integrálja, egy $f (r, \dot{r}, t) = c o n s t .$ alakú, elsőrendű differenciálegyenlet.

Elemi munka, munkatétel, teljesítménytétel

Az (1.7) egyenletet $\dot{r}$ -tal megszorozva a következőt kapjuk:

$m \ddot{r} \cdot \dot{r} = F \cdot \dot{r},$

ahol $m \ddot{r} \cdot \dot{r} \equiv \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2}) \equiv \dot{T}$ az anyagi pont kinetikus energiájának idő szerinti deriváltja, $P = F \cdot \dot{r}$ pedig az anyagi pontra ható $F$ erő teljesítménye, azaz a teljesítménytétel:

$\dot{T} = P$ .

(1.8)

Ezt az idő szerint integrálva kapjuk a munkatételt:

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) d t \equiv \int_{1}^{2} d T = \int_{1}^{2} F \cdot d r,$ azaz $T_{2} - T_{1} = W_{12},$

(1.9)

ahol $F \cdot \dot{r} d t \equiv F \cdot d r \equiv F d s \cos α$ az $F$ erő ún. elemi munkája. A munka tehát az erő út szerinti integrálja (Poncelet, 1829), amely általában a kezdő és végpontokon túl függ az ezeket összekötő görbétől is. Több erő munkája algebrailag adódik össze, az erők vektori összeadásából következően.

1.1.3. Erőterek, konzervatív erőtér, potenciális energia

Speciális esetben: $F = F (r, t)$ vektortér. Az időben állandó $F (r)$ erőteret konzervatív erőtérnek hívjuk, ha van olyan $U (r)$ skaláris függvény — potenciál, vagy potenciális energia (Lagrange, 1736 – 1813) —, amelynek negatív gradiense az erő:

$F = - grad U \equiv - \frac{\partial}{\partial r} U \equiv - \nabla U .$

(1.10)

Konzervatív erőtérben bármely zárt görbe mentén végzett munka zérus, azaz a végzett munka független az úttól, és egyenlő a kezdő- és végpontokban felvett potenciálértékek különbségével:

$W_{12} = \int_{1}^{2} F d r \equiv - \int_{1}^{2} d U \equiv U_{1} - U_{2} .$

(1.11)

Konzervatív erőtérben az elemi munka teljes differenciál. A potenciálos erőtér^[1] örvénymentes (rotációja zérus): $rot F \equiv \nabla \times F = 0.$

A $U (r) = const .$ egyenlettel meghatározott felületet ekvipotenciális felület (nívófelület). A potenciálos erő mindig merőleges a nívófelületre.

Példák:

Földi nehézségi erőtér: $U (z) = m g z .$
Gravitációs erőtér: $U (r) = - \frac{γ M m}{r} .$
Lineáris rugó potenciálja: $U (x) = \frac{1}{2} s x^{2},$ (ahol $x$ az $s$ merevségű rugó deformációja).

A $T + U$ (teljes) mechanikai energia megmaradásának tétele. Konzervatív erőtérben a munkatétel:

$T_{2} - T_{1} = - (U_{2} - U_{1}),$ azaz $T_{2} + U_{2} = T_{1} + U_{1}$ $= const .,$

(1.12)

tehát a mozgásegyenletek egy első integrálja.

Nem-konzervatív erők: az $F$ erő függ az időtől, vagy az anyagi pont sebességétől, vagy nem örvénymentes erőtérhez tartozik.

1.1.4. Centrális erők, felületi tétel

Azt az anyagi pontra ható erőt, melynek hatásvonala mindig a vonatkoztatási rendszer egy rögzített pontján (legyen ez az $O$ origó) megy keresztül centrális erőnek nevezzük $(F ∥ r)$ . Ilyen például az egyenletes körmozgást vagy elliptikus rezgést létrehozó erő, de a gravitációs erő is.

Szorozzuk meg az (1.7) egyenletet vektoriálisan $r$ -ral:

$m \ddot{r} \times r = F \times r \equiv 0$

(1.13)

a párhuzamosság miatt, másrészt

$\frac{d}{d t} (\dot{r} \times r) \equiv \ddot{r} \times r + \underset{0}{\underset{︸}{\dot{r} \times \dot{r}}} \equiv \ddot{r} \times r = 0,$ azaz $\dot{r} \times r = c$ $(konstans vektor),$

(1.14)

ahol $\dot{r} \times r$ a rádiuszvektor által az időegység alatt súrolt terület kétszerese. Tehát bármilyen centrális erő hatása esetén az anyagi pont felületi sebessége állandó, azaz a pálya síkgörbe, és a rádiuszvektor egyenlő időközök alatt egyenlő területet súrol (Kepler második törvénye).

Az (1.14) egyenletben a három integrálási állandó által alkotott $c$ vektor a pálya síkjának normálisának irányát valamint a felületi sebesség nagyságát rögzíti. Ez utóbbi a pálya síkjában felvett polárkoordinátákkal:

$[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} r \cos φ \\ r \sin φ \end{matrix}], [\begin{matrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \dot{r} \cos φ - r \dot{φ} \sin φ \\ \dot{r} \sin φ + r \dot{φ} \cos φ \end{matrix}] \Rightarrow v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2},$

tehát

$\dot{r} \times r \equiv - r^{2} \dot{φ} k = const . k \Rightarrow v^{2} = {\dot{r}}^{2} + \frac{c^{2}}{r^{2}} .$

1.2. Kényszerített mozgások

Ha az anyagi pont mozgását előírt geometriai feltételek korlátozzák, kényszermozgásról beszélünk. A kényszerfeltételek általában egy adott, merevnek tekinthető és nyugvó felületen vagy görbén történő mozgást írnak elő a felület illetve görbe egyenleteinek formájában:

$\begin{matrix} felület: & f (r) = 0, \\ görbe: & f_{1} (r) = 0, & f_{2} (r) = 0. \end{matrix}$

A felületen való áthatolást, illetve az attól való elválást rendszerint egy felületre merőleges (ideális) $K$ kényszererő gátolja meg:

$m \ddot{r} = F + K .$

(1.15)

Nyugalomban levő anyagi pont esetén a $K$ kényszererő az anyagi pontra ható $F$ aktív vagy szabaderő felületre merőleges $F_{n}$ összetevőjének ellentetjével egyenlő: $K = - F_{n} .$

1.2.1. Az elsőfajú Lagrange-féle egyenletek

A $K$ kényszererő tehát a felület illetve a görbe gradienseinek lineáris kombinációjaként is előállítható:

$K = λ \frac{\partial f}{\partial r},$ illetve

(1.16)

$K = λ_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial r} + λ_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial r} .$

(1.17)

Ezekkel kapjuk az elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenleteket: az (1.15) mozgásegyenletben 4 (illetve 5) skalár ismeretlen (függvény) lesz ( $x (t), y (t), z (t)$ és $λ (t)$ illetve $λ_{1} (t)$ és $λ_{2} (t)$ ), de a megoldáshoz szükséges egyenletet illetve egyenleteket éppen a geometriai kényszer, az előírt felület (illetve görbe) egyenletei szolgáltatják:

$m \ddot{r} = F + λ \nabla f,$

(1.18)

$f (r) = 0.$

Az (ideális) kényszererő munkája nyugvó felület vagy görbe esetén zérus, hiszen az elmozdulás a felület vagy görbe mentén, érintőlegesen történik, azaz a kényszererőre merőlegesen. A munka kiszámításánál elegendő a szabaderőket figyelembe venni, és így érvényes az energiamegmaradás tétele (ld. szabadon eső anyagi pont, vagy tetszőleges görbe mentén mozgó anyagi pont).

Példák:

Mozgás lejtőn: lejtő irányú koordinátákkal — $ζ = 0$ , $m \ddot{r} = G + λ e_{ζ} .$ Megoldás: $λ$ a normális irányú kényszererő nagysága, $\ddot{η} = g \sin α .$ A mozgástörvény: $ξ (t) = ξ_{0} + {\dot{ξ}}_{0} t,$ $η (t) = η_{0} + {\dot{η}}_{0} t + \frac{1}{2} g \sin α \cdot t^{2} .$

Mozgás csavarvonalon: a $z$ tengelyű csavarvonal paraméteres egyenlete

$r = [\begin{matrix} R \cos φ \\ R \sin φ \\ c φ \end{matrix}],$

amiből a görbe egyenletei $φ = z / c$ behelyettesítéssel:

$x - R \cos \frac{z}{c} = 0, y - R \sin \frac{z}{c} = 0,$

a mozgásegyenlet pedig:

$m \ddot{r} = G + [\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{1} \frac{R}{c} \sin \frac{z}{c} - λ_{2} \frac{R}{c} \cos \frac{z}{c} \end{matrix}] .$

1.2.2. Időtől függő kényszerfeltételek

Mozgó felület (vagy görbe) esetén $f (r, t) = 0$ , vagy az idő szerint differenciálva:

$\frac{\partial f}{\partial r} \cdot \dot{r} + \frac{\partial f}{\partial t} = 0.$

(1.19)

Viszont elképzelhető $f (r, t) = 0$ alakra nem hozható, nem integrálható, ún. kinematikai kényszerfeltétel is, $\tilde{f} (r, \dot{r}, t) = 0$ , mely sok esetben az (1.19) egyenlethez hasonlóan lineáris függvénye az $\dot{r}$ sebességvektornak:

$[\begin{matrix} {\tilde{f}}_{1}, & {\tilde{f}}_{2}, & {\tilde{f}}_{3} \end{matrix}] \cdot \dot{r} + {\tilde{f}}_{0} = 0.$

(1.20)

Ez alapján a kényszerek az alábbiak szerint csoportosíthatók:

holonom, szkeloronom: $f (r) = 0$
holonom, reonom: $f (r, t) = 0$
anholonom, szkleronom: ${\tilde{f}}_{1} (r) \dot{x} + {\tilde{f}}_{2} (r) \dot{y} + {\tilde{f}}_{3} (r) \dot{z} + {\tilde{f}}_{0} (r) = 0$
anholonom, reonom: ${\tilde{f}}_{i} \Rightarrow {\tilde{f}}_{i} (r, t)$ , $(i = 0,1,2,3)$
egyéb (pl. egyenlőtlenségekkel megadott kényszerfeltételek, ld. fonálinga)

A szabadsági fokok számát minden kényszeregyenlet eggyel csökkenti, azonban az anholonom kényszerfeltételek a kezdeti konfigurációs teret nem korlátozzák, csak az (induló) lehetséges pályákat.

1.2.3. Nem ideális kényszerek

A csúszási súrlódásra vonatkozó tapasztalati törvény (Coulomb, 1736 – 1806): az érintkező felületek között fellépő súrlódási erő

$S = - μ N \frac{v}{v},$

(1.21)

ahol $μ$ a csúszási súrlódási együttható, $N = | λ grad f |$ a felületek között ébredő nyomóerő, $v$ pedig annak a testnek (érintkezési pontjának) a sebessége, amelyikre $S$ hat (gátolja a test mozgását).

A súrlódási erőnek ez a formája hibrid jelleget mutat, ui. egy olyan fizikai törvényszerűséget takar, amely az $N$ kényszererőtől függ és így nyilván nem tekinthető egyértelműen szabad erőnek.

Ezzel szemben nyugalmi vagy tapadási súrlódáskor, azaz amikor a sík felületen nyugvó test a rá ható érintőleges $F_{t}$ húzóerő hatására mindaddig nyugalomban marad, míg

$F_{t} \leq μ_{0} N$

(1.22)

a felületen ébredő $S = - F_{t}$ erőkomponens valódi kényszererő, amit az $F_{t}$ szabaderő határoz meg.

1.3. Anyagi pont egyensúlya

Anyagi pont egyensúlya alatt annak tartós nyugalmi állapotát (vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását) értjük, azaz amikor a gyorsulása zérus: $\ddot{r} = 0$ . Így az (1.18) egyenlet alapján:

$F + K \equiv F + λ \frac{\partial f}{\partial r} = 0,$

(1.23)

azaz egyensúlyban levő anyagi pontra ható szabad- és kényszererők eredője zérus („egyensúlyban vannak”).

Példa Anyagi pont egyensúlyi helyei egy gömbfelszínen ( $r^{2} - R^{2} = 0$ , $0 = G + λ 2 r$ ).

1.3.1. A virtuális munka elve

Tekintsük a szabad anyagi pontot, mely egyensúlyban van: $F = 0$ .

Vegyük ennek egy lehetséges kis, idő nélküli, képzelt elmozdulását. Ezt az elgondolt $δ r$ elmozdulást virtuális elmozdulásnak nevezzük, mely végtelen rövid idő alatt megy végbe $(δ t = 0)$ . Így tehát az egyensúlyban levő szabad anyagi pontra ható erők virtuális munkája zérus:

$F \cdot δ r = 0, \forall δ r \Leftrightarrow F = 0 .$

(1.24)

Ez a megfogalmazás kényszerekre is általánosítható, amennyiben ezentúl a $δ r$ virtuális elmozduláson a kényszerfeltételek által megengedett elmozdulást értünk $(\nabla f_{i} \cdot δ r = 0, \forall i),$ ekkor ugyanis az ideális $K = \sum λ_{i} \nabla f_{i}$ kényszererő virtuális munkája is zérus $(K \cdot δ r = 0),$ és így

$F + \sum_{i} λ_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial r} = 0 \Leftrightarrow$ $F \cdot δ r = 0, \forall δ r : \frac{\partial f_{i}}{\partial r} \cdot δ r = 0, \forall i .$

(1.25)

A jobbról balra irány igazolása a Lagrange-féle multiplikátor módszer alkalmazásával történhet, a többváltozós függvények szélsőértékeinek mellékfeltételek esetén való kiszámításához hasonló módon:

$F \cdot δ r + \sum_{i} λ_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial r} \cdot δ r = 0, \dots$

1.3.2. A d'Alembert-elv

A mozgásegyenletek szabad és kényszermozgások esetén is összefoglalhatók a virtuális munka elvéhez hasonló alakban, amennyiben d'Alembert nyomán az $m \ddot{r}$ ellentettjét mint olyan inerciális erőt tekintjük, amellyel az $\ddot{r}$ gyorsulású anyagi pont „egyensúlyban” van:

$(F - m \ddot{r}) \cdot δ r = 0, \forall δ r : \nabla f_{i} \cdot δ r = 0, \forall i,$

(1.26)

ideális kényszerek és a kényszerfeltételeket kielégítő $δ r$ virtuális elmozdulás esetén.

Példa Anyagi pont mozgása gömbfelületen.

Mozgás előírt görbén. Ebben az esetben az

$m \ddot{r} = F + K, vagy F + K - m \ddot{r} = 0$

dinamikai alapegyenletet célszerű felbontani a görbe $t$ érintő irányú, $n$ főnormális irányú és $b$ binormális irányú összetevőinek irányába

$\begin{matrix} F_{t} - m a_{t} & = & 0, & a_{t} = \dot{v}, \\ F_{n} + K_{n} - m a_{n} & = & 0, & a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ}, \\ F_{b} + K_{b} & = & 0, \end{matrix}$

ahol $a_{t}$ a sebesség nagyságát megváltoztató gyorsulás, a (harmadik) egyenlet a szabaderők és kényszererők binormális irányú összetevőinek egyensúlyát fejezi ki, míg $a_{n}$ a $v$ sebességű anyagi pont $ρ$ görbületi sugarú pályán való mozgásához szükséges gyorsulás (centripetális gyorsulás), az ezt biztosító erők eredője pedig a centripetális erő. Amennyiben a $- m a_{n}$ tagot látszólagos, ún. tehetetlenségi erőként fogjuk fel, amely az anyagi pont normális irányú látszólagos egyensúlyát biztosítja, akkor ezt a tagot centrifugális erőnek nevezzük.

1.4. Mozgó vonatkoztatási rendszerek

1.4.1. Merev testek kinematikai egyenletei

Egy merev test két tetszőleges, $A$ és $B$ pontja közötti távolság állandó:

$r_{A B}^{2} = áll . \overset{\frac{d}{d t}}{\to} 2 {\dot{r}}_{A B} \cdot r_{A B} = 0 \Leftrightarrow {\dot{r}}_{A B} ⊥ r_{A B} : {\dot{r}}_{A B} = ω \times r_{A B},$

(1.27)

azaz ${\dot{r}}_{A B}$ merőleges $r_{A B}$ -re, mégpedig irányának változását az $ω$ szögsebesség vektorral adhatjuk meg. Így az $A$ és $B$ pontok sebessége:

$r_{B} = r_{A} + r_{A B} \overset{\frac{d}{d t}}{\to}$ $v_{B} = v_{A} + ω \times r_{A B} .$

(1.28)

Ez a merev test tetszőleges két pontjának sebessége közötti összefüggést leíró ún. redukciós képlet, ami a merev testek statikájában tanult, egy $F$ erő $A$ illetve $B$ pontokra számított nyomatékai között fennálló redukciós formulával analóg:

$M_{B} = M_{A} + r_{B A} \times F .$

(1.29)

Ez azt jelenti, hogy a merev test tetszőleges pontjának sebességének megadásához elég ismernünk a ${[ω, v_{A}]}_{A}$ ún. kinematikai vektorkettőst, azaz a kinematikai vektorkettős jellemzi a merev test sebességállapotát.

A (1.28) kifejezést tovább deriválva az idő szerint kapjuk az $A$ és $B$ pontok gyorsulása közötti összefüggést:

$a_{B} = a_{A} + ε \times r_{A B} + ω \times (ω \times r_{A B}),$

(1.30)

ahol $ε = \dot{ω}$ a merev test szöggyorsulása. Ez a képlet írja le tehát a merev test gyorsulásállapotát, azaz ehhez egy pont gyorsulásának, a merev test szöggyorsulásának és szögsebességének ismerete szükséges.

A továbbiakban vizsgáljuk az anyagi pont pillanatnyi mozgását egy ismert mozgásállapotú merev testhez rögzített koordinátarendszerben.

1.4.2. A dinamika alapegyenlete mozgó vonatkoztatási rendszerben

Ismerjük egy merev testhez mint „mozgó” vonatkoztatási rendszerhez (MVR) rögzített ${Ω; ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}}$ koordinátarendszer $Ω$ origójának $v_{Ω}$ sebességét és $a_{Ω}$ gyorsulását, valamint a merev test $ω$ szögsebességét és $ε$ szöggyorsulását.

Ezzel az éppen a $P$ geometriai ponton áthaladó anyagi pont álló koordinátarendszerbeli $r$ és mozgó koordinátarendszer szerinti $ρ$ helyvektora között a kapcsolat:

$r = r_{Ω} + ρ, r_{Ω P} \equiv ρ = \sum_{i = 1}^{3} ξ_{i} e_{i}$

(1.31)

ahol $r_{Ω}$ a ${[ω, v_{Ω}]}_{Ω}$ sebességállapotú MVR $Ω$ origójának helyvektora az abszolút, „álló” ${O; x, y, z}$ koordinátarendszerben.

Az anyagi pont álló rendszerben észlelt és a MVR-beli sebessége közötti kapcsolat (1.31) deriválásából:

$v = v_{Ω} + \sum_{i = 1}^{3} ξ_{i} ω \times e_{i} + \dot{ρ} \equiv \underset{v_{P, száll .}}{\underset{︸}{v_{Ω} + ω \times r_{Ω P}}} + v_{rel .}, v_{rel .} \equiv \dot{ρ} = \sum_{i = 1}^{3} {\dot{ξ}}_{i} e_{i}$

(1.32)

ahol $v_{rel .}$ a $P$ ponton áthaladó anyagi pont relatív sebessége a MVR-ben, $v_{P, száll .}$ pedig a $P$ -nek mint a MVR-hez rögzített pontnak a sebessége, az álló rendszerből észlelt ún. szállító sebesség. A $\dot{ρ}$ tehát a MVR-beli idő szerinti deriváltat jelöli, azaz csak a koordináták deriváltját, a MVR-ben állónak képzelt koordinátatengelyekét nem. Így egy tetszőlegesMVR-beli $λ = \sum λ_{i} e_{i}$ vektor tényleges idő szerinti deriváltja a következő:

$\frac{d}{d t} λ = ω \times λ + \dot{λ}, \dot{λ} \equiv \sum {\dot{λ}}_{i} e_{i} .$

Az anyagi pont gyorsulása pedig az előzőeket újból idő szerint deriválva:

$a = a_{Ω} + ε \times r_{Ω P} + ω \times (ω \times r_{Ω P} + \dot{ρ}) + ω \times \dot{ρ} + \ddot{ρ}, a_{rel .} \equiv \ddot{ρ} = \sum_{i = 1}^{3} {\ddot{ξ}}_{i} e_{i},$

(1.33)

azaz

$a = a_{P, száll .} + 2 ω \times v_{rel .} + a_{rel .}$ $\equiv a_{P, száll .} + a_{Cor .} + a_{rel .},$

ahol $a_{Cor .} = 2 ω \times v_{rel .}$ az ún. Coriolis-gyorsulás (Coriolis, 1792 – 1843), $a_{rel .}$ az ún. relatív vagy látszólagos gyorsulás a MVR-ben, $a_{P, száll .}$ pedig a MVR-hez rögzített $P$ pontnak az álló rendszerből észlelt gyorsulása az ún. szállító gyorsulás.

Ezt beírva az ${O; x, y, z}$ inerciarendszerben érvényes $m a = F$ alapegyenletbe átrendezés után megkapjuk a mozgó rendszerben érvényes alapegyenletet:

$m \ddot{ρ} = F + F_{száll .} + F_{Cor .}$ $\equiv Φ,$

(1.34)

ahol az $F$ aktív erő melletti két tag az ún. tehetetlenségi erők: az $F_{száll .} = - m a_{P, száll .}$ szállító erő, és a $F_{Cor .} = - m a_{Cor .}$ Coriolis-erő.

Példa

Az $z = x^{2} / 3$ egyenletű parabola pályán mozog egy $m$ tömegű anyagi pont.

Határozzuk meg a gyorsulásvektort az (3,0,3) helyen, $v = 5$ m/s állandó sebesség esetén! $e_{t} = (\cos α,0, \sin α)$ , $\tan α = z^{'} (3) \equiv 2,$ $e_{n} = λ \nabla f \equiv (- 2,0,1) / \sqrt{5}$ , $ρ^{- 1} = z^{″} / {(1 + {z^{'}}^{2})}^{3 / 2},$ így:

$v = \sqrt{5} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}] \frac{m}{s}, a_{t} = 0 \Rightarrow a = a_{n} \equiv \frac{v^{2}}{ρ} e_{n} \equiv \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 3} [\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} - 1.33 \\ 0 \\ 0.66 \end{matrix}] \frac{m}{s^{2}} .$

Írjuk fel a pályán mozgó anyagi pont mozgásegyenleteit, ha a pálya a függőleges $z$ tengely körül $ω$ szögsebességgel egyenletesen forog!

A pályagörbén való mozgást reonom (időtől függő) kényszeregyenletek határozzák meg:

$f_{1} (r) \equiv z - (x^{2} + y^{2}) / 3 = 0 és f_{2} (r, t) \equiv - x \sin ω t + y \cos ω t = 0.$

Így a d'Alembert-elv alapján, mivel $F \equiv G$ a nehézségi erő az egyetlen aktív erő:

$(G - m \ddot{r}) \cdot δ r = 0, \underset{- 3 \nabla f_{1}}{\underset{︸}{(2 x,2 y, - 3)}} \cdot δ r = 0, \underset{\nabla f_{2}}{\underset{︸}{(- \sin ω t, \cos ω t,0)}} \cdot δ r = 0,$

amiből $δ y = δ x \tan ω t$ és $δ z = \frac{2}{3} (x + y \tan ω t) δ x$ felhasználásával kapjuk, hogy

$(- m \ddot{x} - m \ddot{y} \tan ω t - m (g + \ddot{z}) \frac{2}{3} (x + y \tan ω t)) δ x = 0.$

Mivel $δ x$ teljesen szabadon választható és az $f_{1} = 0$ és $f_{2} = 0$ kényszerek által megengedett $δ r$ virtuális elmozdulás másik két koordinátája fentiek szerint $δ x$ -szel már kifejezhető, ezért

$\ddot{x} + \ddot{y} \tan ω t + \frac{2}{3} (\ddot{z} + g) (x + y \tan ω t) = 0,$

ahol $y$ , $\ddot{y}$ és $\ddot{z}$ a kényszerfeltételekből illetve idő szerinti deriválással kaphatók meg.

Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele a pályagörbén való relatív egyensúlynak, azaz amikor nincs függőleges elmozdulás, hanem az $x y$ síkkal párhuzamos $r_{0}$ sugarú körpályán mozog az anyagi pont a forgó parabolapálya egy adott pontjával együtt!

Tehát

$[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} r_{0} \cos ω t \\ r_{0} \sin ω t \\ 0 \end{matrix}] és [\begin{matrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - r_{0} ω^{2} \cos ω t \\ - r_{0} ω^{2} \sin ω t \\ 0 \end{matrix}],$

amit beírva a kapott differenciálegyenletbe adódik, hogy:

$- r_{0} ω^{2} (\cos ω t + \frac{\sin^{2} ω t}{\cos ω t}) + \frac{2}{3} g r_{0} (\cos ω t + \frac{\sin^{2} ω t}{\cos ω t}) \equiv (\frac{2}{3} g - ω^{2}) \frac{r_{0}}{\cos ω t} = 0.$

Ez a kifejezés csak $r_{0} = 0$ vagy $ω = \sqrt{\frac{2}{3} g}$ esetén teljesül. Míg $r_{0} = 0$ esetén $ω$ tetszőleges, az utóbbi esetben pedig $r_{0}$ , azaz bárhová helyezve a parabola pályán az anyagi pontot relatív nyugalomban marad, ha $ω = \sqrt{\frac{2}{3} g}$ .

Nézzük meg a relatív egyensúly feltételét a forgó parabolapályához rögzített ${O; ξ, η, ζ}$ koordinátarendszerben felírt virtuális munka elvével

$f_{1} \equiv z - ξ^{2} / 3 = 0, f_{2} \equiv η = 0 és (G + F_{száll .} + F_{Cor .}) \cdot δ r = 0.$

Így

$(- m g k + m ξ ω^{2} e_{ξ} - 2 m ω \times v_{r}) \cdot δ r \equiv - m g δ z + m ξ ω^{2} δ ξ - 2 m (\underset{ω \dot{ξ} e_{η}}{\underset{︸}{ω k \times (\dot{ξ} e_{ξ} + \dot{z} k)}}) \cdot δ r = 0,$

amiből a $δ z - \frac{2}{3} ξ δ ξ = 0$ és a $δ η = 0$ összefüggésekkel adódik az egyensúly feltétele:

$(- \frac{2}{3} g + ω^{2}) ξ = 0.$

Írjuk fel a forgó parabolapályához rögzített koordinátarendszerben a parabolapályán mozgó anyagi pont mozgásegyenleteit!

Az elsőfajú Lagrange-egyenletekkel:

$m \ddot{ρ} = G + F_{száll .} + F_{Cor .} + {\tilde{λ}}_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial ρ} + {\tilde{λ}}_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial ρ},$

azaz

$m [\begin{matrix} \ddot{ξ} \\ \ddot{η} \\ \ddot{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - m g \end{matrix}] + m [\begin{matrix} ω^{2} ξ \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] - 2 m [\begin{matrix} 0 \\ ω \dot{ξ} \\ 0 \end{matrix}] + m λ_{1} [\begin{matrix} - \frac{2}{3} ξ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] + m λ_{2} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] .$

Vagyis a mozgást meghatározó egyenletek rendszere:

$\begin{matrix} \ddot{ξ} & = & (ω^{2} - \frac{2}{3} λ_{1}) ξ, & z - \frac{1}{3} ξ^{2} & = & 0, \\ \ddot{η} & = & - 2 ω \dot{ξ} + λ_{2}, & és & η & = & 0, \\ \ddot{z} & = & - g + λ_{1}, \end{matrix}$

amiből $\dot{η} = \ddot{η} = 0$ , $λ_{2} = - 2 ω \dot{ξ}$ valamint

$\ddot{ξ} + \frac{2}{3} ξ (\ddot{z} + g) - ω^{2} ξ = 0 és \ddot{z} = \frac{2}{3} (ξ \ddot{ξ} + {\dot{ξ}}^{2}) .$

Ezzel a $ξ (t)$ -t megadó differenciálegyenlet:

$(1 + \frac{4}{9} ξ^{2}) \ddot{ξ} + \frac{4}{9} ξ {\dot{ξ}}^{2} + (\frac{2}{3} g - ω^{2}) ξ = 0.$

Ugyanez az $s = \int \sqrt{1 + \frac{4}{9} ξ^{2}} d ξ$ ívhossz, és a $\sqrt{1 + \frac{4}{9} ξ^{2}} \ddot{s} = \frac{4}{9} ξ {\dot{ξ}}^{2} + (1 + \frac{4}{9} ξ^{2}) \ddot{ξ}$ kifejezéssel:

$\sqrt{1 + \frac{4}{9} ξ^{2}} \ddot{s} + (\frac{2}{3} g - ω^{2}) ξ = 0,$

amiből következik, hogy $ξ > 0$ esetén a pályagyorsulás előjelét az $ω^{2} - \frac{2}{3} g$ előjele adja meg.

Hogyan változik az (a) pontra adott válasz, ha a pálya a függőleges $z$ tengely körül $ω = 2.236$ rad/s szögsebességgel egyenletesen forog? Határozzuk meg az $m$ tömegpontot a pályán tartó kényszererő összetevőit ebben az esetben!( $v = (1,3,2) \sqrt{5}$ , $a_{rel .} = (- 2.26,0, - 1.181)$ m/s, $a = (- 17.26,10, - 1.181)$ m/s2, $K = m (- 17.26,10,8.63)$ )
Határozzuk meg a (3,0,3) pontból $v_{rel .} = 5$ m/s elindított anyagi pont sebességét az origón való áthaladáskor (6.234 m/s)! Adjuk meg a mozgást meghatározó erőtér potenciálfüggvényét (ha van ilyen)!

^[1] az $F (r, t)$ erőtér potenciálos, ha $\exists V (r, t)$ potenciálfüggvény, melyre $F (r, t) = - \nabla V (r, t)$ .