2. fejezet - Merev test rendszerek dinamikája

A következőkben anyagi pontokból vagy tömegpontokból álló rendszerek mozgásegyenleteit vezetjük le, azonban később ezeket az egyenleteket merev testekből álló rendszerekre is érvényesnek tekintjük.

2.1. A mozgásegyenletek szintetikus leírása

2.1.1. Anyagi pontrendszer dinamikai alapegyenletei

Az $N$ tagú anyagi pontrendszer $m_{k}$ tömegű tagjának mozgását a rá ható külső, szabad- és reakcióerők $F_{k} + R_{k}$ eredője és a többi anyagi ponttal való kölcsönhatásból származó belső erők $\sum {\tilde{B}}_{k i}$ eredője határozza meg a dinamika alapegyenlete szerint:

$m_{k} {\ddot{r}}_{k} = F_{k} + R_{k} + \sum_{i = 1}^{N} {\tilde{B}}_{k i} (k = 1, \dots, N),$

(2.1)

ahol ${\ddot{r}}_{k}$ a $k$ -adik tömegpont gyorsulása. Továbbá nyilvánvaló, hogy ${\tilde{B}}_{k k} = 0$ és Newton III. axiómája miatt ${\tilde{B}}_{i k} = - {\tilde{B}}_{k i},$ valamint tegyük fel, hogy a belső erők centrális erők, azaz ${\tilde{B}}_{i k} \times (r_{i} - r_{k}) = 0$ .

Az anyagi pontok között működő ${\tilde{B}}_{i k}$ belső erők némelyike lehet az anyagi pontok között lévő geometriai vagy kinematikai kényszerkapcsolatból származó ideális belső kényszererő, melyeknek az $m_{k}$ anyagi pontra ható eredőjét $K_{k}$ -val jelöljük, az egyéb belső erők eredőjét pedig $B_{k}$ -val, azaz

$\sum_{\underset{i = k}{i = 1}}^{N} {\tilde{B}}_{k i} = B_{k} + K_{k} (k = 1, \dots, N) .$

Az $m_{k}$ anyagi pontra hathatnak tehát a geometriai vagy kinematikai kényszerfeltételek által meghatározott ideális kényszererők $(R_{k} + K_{k})$ , illetve a kényszerfeltételektől független, de valamilyen módon előírt vagy fizikai törvényszerűség által meghatározott szabaderők $(F_{k} + B_{k})$ .

Amennyiben az anyagi pontok $r_{k}$ helyvektorai egymástól illetve a környezettől geometriailag illetve kinematikailag függetlenek, úgy szabad mechanikai rendszerről beszélünk, melynek állapotát egy tetszőleges $t$ időpillanatban a (kinematikailag) független $r_{k} (t)$ mozgástörvényeket alkotó $3 N$ darab skalárfüggvénnyel adhatjuk meg. Ezeket a skalárfüggvényeket a fenti $3 N$ darab dinamikai skalár egyenlet határozza meg. Egy mechanikai rendszer szabadsági foka alatt állapotának egyértelmű leírásához szükséges független skaláregyenletek számát értjük, tehát egy $N$ darab anyagi pontból álló szabad mechanikai rendszer szabadsági foka $3 N$ .

Az egyes anyagi pontokra felírható dinamikai egyenletek összegzésével, a belső erőket kiejtve, jutunk az impulzustételhez:

$\sum_{k = 1}^{N} m_{k} {\ddot{r}}_{k} \equiv$ $\dot{I} = F,$

(2.2)

ahol $F = \sum (F_{k} + R_{k})$ a külső erők vektori összege, $I = m {\dot{r}}_{S}$ , $m = \sum m_{k}$ és $r_{S}$ a pontrendszer impulzusa, tömege illetve súlypontjának (tömegközéppontjának) helyvektora. Az utóbbit a pontrendszernek az $O$ origóra számított statikai nyomatékából határozhatjuk meg:

$r_{S} = \frac{1}{m} \sum_{k = 1}^{N} m_{k} r_{k} \equiv \frac{1}{m} S_{O} \Rightarrow S_{S} \equiv \sum_{k = 1}^{N} m_{k} r_{S k} = 0 (r_{k} = r_{S} + r_{S k}),$

(2.3)

azaz a pontrendszer statikai nyomatéka a saját súlypontjára nulla.

Felhasználva, hogy a belső erők centrálisak, az egyes anyagi pontok $m_{k} {\ddot{r}}_{k}$ impulzusderiváltjának origóra számított nyomatékait összegezve a perdülettételt kapjuk:

$\sum_{k = 1}^{N} r_{k} \times m_{k} {\ddot{r}}_{k} \equiv$ $D_{O} = M_{O},$

(2.4)

ahol $M_{O}$ az $F_{k}$ és $R_{k}$ erők origóra számított nyomatékainak összege, $D_{O}$ pedig a pontrendszer origóra számított kinetikai nyomatéka, ami a koordinátarendszer egy rögzített pontjára vonatkoztatva megegyezik a pontrendszer ugyanazon pontjára számított perdületének idő szerinti deriváltjával:

$\frac{d}{d t} Π_{O} \equiv \frac{d}{d t} (\sum_{k = 1}^{N} r_{k} \times m_{k} {\dot{r}}_{k}) \equiv \sum_{k = 1}^{N} \underset{0}{\underset{︸}{{\dot{r}}_{k} \times m_{k} {\dot{r}}_{k}}} + \sum_{k = 1}^{N} r_{k} \times m_{k} {\ddot{r}}_{k} = D_{O} .$

(2.5)

A perdületvektor és a kinetikai nyomaték vektor definíciója alapján megmutatható, hogy a ${[I, Π_{A}]}_{A}$ ún. impulzus vektorkettősre és a ${[\dot{I}, D_{A}]}_{A}$ ún. kinetikai vektorkettősre is érvényes a redukciós formula:

$Π_{B} = Π_{A} + r_{B A} \times I és D_{B} = D_{A} + r_{B A} \times \dot{I} .$

(2.6)

Általánosan a kinetikai nyomaték és a perdületderivált vektor közötti kapcsolat:

${\dot{Π}}_{A} = \frac{d}{d t} (Π_{O} - r_{O A} \times I) \equiv \underset{D_{O}}{\underset{︸}{{\dot{Π}}_{O}}} + r_{A O} \times \dot{I} - {\dot{r}}_{A} \times I \equiv D_{A} - v_{A} \times I,$

(2.7)

tehát $D_{A} = {\dot{Π}}_{A}$ , ha például $v_{A} = 0$ vagy $A \equiv S$ .

A dinamika alapegyenletei anyagi pontrendszerre tehát a következő alakban foglalhatók össze:

${[\dot{I}, D_{A}]}_{A} = {[F, M_{A}]}_{A}$ vagy másképpen: $[m {\ddot{r}}_{S}, {\dot{Π}}_{S}] = {[F, M_{S}]}_{S},$

(2.8)

azaz az anyagi pontrendszer egy bizonyos pontra redukált kinetikai vektorkettőse egyenlő a pontrendszerre ható $F_{k} + R_{k}$ külső erőknek ugyanarra pontra redukált vektorkettősével.

A (2.1) egyenleteket skalárisan megszorozva az anyagi pontok ${\dot{r}}_{k}$ sebességvektoraival és összegezve kapjuk a teljesítménytételt:

$\sum_{k = 1}^{N} \underset{\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m {\dot{r}}_{k}^{2})}{\underset{︸}{m_{k} {\ddot{r}}_{k} \cdot {\dot{r}}_{k}}} = \sum_{k = 1}^{N} (F_{k} + B_{k} + K_{k} + R_{k}) \cdot {\dot{r}}_{k} \equiv P \Rightarrow \dot{T} = P,$

(2.9)

azaz a pontrendszer $T$ kinetikus energiájának idő szerinti deriváltja egyenlő a pontrendszerre ható külső és belső erők $P$ teljesítményével. Ennél több csak abban az esetben állítható, ha feltesszük, hogy a pontrendszer elemeinek mozgását csak holonom szkleronom ideális kényszerek korlátozzák, azaz

$R_{k} \cdot {\dot{r}}_{k} = 0, \forall k, \sum_{k = 1}^{N} K_{k} \cdot {\dot{r}}_{k} = 0,$

és így

$\dot{T} = \sum_{k = 1}^{N} (F_{k} + B_{k}) \cdot {\dot{r}}_{k} \overset{\int d t}{\to} T_{2} - T_{1} = W_{12} \equiv \sum_{k = 1}^{N} \int_{1}^{2} (F_{k} + B_{k}) \cdot d r_{k},$

(2.10)

azaz a pontrendszer kinetikus energiájának megváltozása a $t_{1}$ és $t_{2}$ időpillanatok között egyenlő az egyes pontokra ható szabaderők által végzett munkák összegével.

Az energiamegmaradás tétele csak konzervatív, azaz potenciálos szabaderők esetén igaz feltéve, hogy a — konzervatív erőkön kívüli — kényszererők teljes munkája zérus.

2.1.2. Merev testek dinamikai egyenletei

A merev testet olyan kontinuum pontrendszernek tekintve, mely egyes infinitezimális $d m$ tömegű elemei között csak ideális, geometriailag megfogalmazható kényszerkapcsolat van, a (2.2) – (2.5) alatti összegzéseket integrállá írhatjuk át és a következőket kapjuk.

2.1.2.1. Súlypont, impulzus, perdület, tehetetlenségi nyomaték

Egy merev testnek az $O$ origóra számított $S_{O}$ statikai nyomatékát illetve súlypontjának $r_{S}$ helyvektorát a következők szerint határozhatjuk meg ( $R$ az $S$ -ből az egyes $d m$ elemi tömegekhez húzott helyvektor):

$S_{O} = \int_{(m)} r d m, illetve r_{S} = \frac{1}{m} S_{O}, S_{S} = \int_{(m)} \underset{R}{\underset{︸}{(r - r_{S})}} d m \equiv S_{O} - r_{S} m = 0 .$

(2.11)

A merev test $I$ impulzusvektora és $\dot{I}$ impulzusderiváltja:

$I = \int_{(m)} \dot{r} d m = m {\dot{r}}_{S} és \dot{I} = \int_{(m)} \ddot{r} d m = m {\ddot{r}}_{S};$

(2.12)

az origóra illetve egy tetszőleges $A$ pontra számított perdülete $(v \equiv \dot{r})$ :

$Π_{O} = \int_{(m)} r \times v d m és Π_{A} = \int_{(m)} (r - r_{A}) \times v d m = Π_{O} + \underset{- r_{A}}{\underset{︸}{r_{A O}}} \times I .$

(2.13)

A merev test súlypontra számított perdülete (az $R \equiv X i + Y j + Z k$ jelöléssel és az $ω$ szögsebesség vektorral kifejezve):

$Π_{S} = \int_{(m)} R \times v d m \equiv \int_{(m)} R \times (v_{S} + ω \times R) d m \equiv \underset{S_{S} = 0}{\underset{︸}{\int_{(m)} R d m}} \times v_{S} + \int_{(m)} R \times (ω \times R) d m,$

(2.14)

ahol $R \times (ω \times R) \equiv R^{2} ω - R R^{⊤} ω$ . Itt $R R^{⊤}$ egy oszlopvektor és egy sorvektor mátrix jellegű szorzásával vagy másnéven diadikus szorzásával $(R ° R)$ kapott $3 \times 3$ -as mátrix. Tehát a $Π_{S}$ perdületvektor a $Θ_{S}$ súlypontra számított tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével az alábbi módon határozható meg:

$Π_{S} = \int_{(m)} (R^{2} I - R R^{⊤}) d m ω \equiv Θ_{S} ω$ és $Θ_{S} = [\begin{matrix} Θ_{X} & - D_{X Y} & - D_{X Z} \\ - D_{Y X} & Θ_{Y} & - D_{Y Z} \\ - D_{Z X} & - D_{Z Y} & Θ_{Z} \end{matrix}],$

(2.15)

továbbá

$Θ_{X} = \int_{(m)} (Y^{2} + Z^{2}) d m, Θ_{Y} = \int_{(m)} (X^{2} + Z^{2}) d m, Θ_{Z} = \int_{(m)} (X^{2} + Y^{2}) d m,$

(2.16)

és

$D_{X Y} = D_{Y X} = \int_{(m)} X Y d m, D_{X Z} = D_{Z X} = \int_{(m)} X Z d m, D_{Z Y} = D_{Y Z} = \int_{(m)} Y Z d m .$

(2.17)

A perdület definíciója alapján egy tetszőleges, mozgó $A$ pontra:

$Π_{A} = \int_{(m)} (r_{A S} + R) \times v d m \equiv \int_{(m)} (r_{A S} + R) \times (v_{A} + ω \times (r_{A S} + R)) d m$

(2.18)

	$\equiv \int_{(m)} (r_{A S} + R) \times v_{A} d m + \underset{Θ_{A} ω}{\underset{︸}{\int_{(m)} (r_{A S} + R) \times ω \times (r_{A S} + R)) d m}}$
	$\equiv r_{A S} \times m v_{A} + \underset{Θ_{A S}}{\underset{︸}{\int_{(m)} (r_{A S}^{2} I - r_{A S} r_{A S}^{⊤}) d m}} ω + \dots + Θ_{S} ω,$

azaz

$Π_{A} = Θ_{A} ω + r_{A S} \times m v_{A} és Θ_{A} = Θ_{S} + Θ_{A S}, ill . Θ_{A S} = m [\begin{matrix} y^{2} + z^{2} & - x y & - x z \\ - y x & x^{2} + z^{2} & - y z \\ - z x & - z y & x^{2} + y^{2} \end{matrix}],$

ahol $x, y, z$ az $r_{A S}$ vektor koordinátáit jelöli. Tehát $Π_{A} = Θ_{A} ω,$ ha például $v_{A} = 0$ vagy $A \equiv S$ .

A fentiekből következik a Steiner-tétel vagy párhuzamos tengelyek tétele: az $S$ súlyponton és az $A$ ponton átmenő párhuzamos $s$ illetve $a$ tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok között a

$Θ_{a} = Θ_{s} + m {\bar{a s}}^{2}$

(2.19)

összefüggés áll fenn ( $\bar{a s}$ az $a$ és $s$ tengelyek közötti távolság).

2.1.2.2. Kinetikai nyomaték, perdületderivált, impulzus- és perdülettétel

A merev test $S$ súlypontjára számított kinetikai nyomatéka $(a \equiv \ddot{r})$ :

$D_{S} = \int_{(m)} R \times a d m \equiv \int_{(m)} R \times (a_{S} + ε \times R + ω \times (ω \times R)) d m \equiv Θ_{S} ε + \underset{ω \times Π_{S}!}{\underset{︸}{\int_{(m)} R \times (ω \times (ω \times R)) d m}},$

ahol az utolsó tagban a speciális forma miatt az első $R$ és $ω$ formálisan felcserélhető, és így az $ω$ kiemelésével az integrál a $Π_{S}$ perdületvektort adja. A $Π_{S}$ vektor (2.14) alatti definíciójából, azt deriválva kapjuk, hogy

${\dot{Π}}_{S} \equiv \frac{d}{d t} (Θ_{S} ω) \equiv \underset{Θ_{S} \dot{ω} + (ω \times Θ_{S}) ω}{\underset{︸}{Θ_{S} ε + ω \times Π_{S}}} = D_{S},$

(2.20)

azaz az állandó nagyságú, de változó irányú vektorokból összeállított tehetetlenségi nyomatéki mátrix idő szerinti deriváltja $ω \times Θ_{S} \equiv Ω Θ_{S}$ , ahol $Ω$ az $ω \times$ lineáris operáció mátrixa. Ennél fogva a keresztszorzás a mátrixszorzással asszociatív: $(ω \times Θ_{S}) ω \equiv (Ω Θ_{S}) ω \equiv Ω (Θ_{S} ω) \equiv ω \times Π_{S} .$

Mivel mind a (2.6)-ben közölt redukciós képletek, mind a pontrendszerre levezetett (2.7) szerinti eredmény érvényes merev testekre is, a kinetikai nyomaték vektor egy tetszőleges $A$ pontra számítva:

$D_{A} = {\dot{Π}}_{A} + v_{A} \times I,$

(2.21)

a $Π_{A}$ perdületvektor deriváltja pedig a (2.18) alatti levezetés eredményéből:

${\dot{Π}}_{A} = \frac{d}{d t} (Θ_{A} ω + r_{A S} \times m v_{A}) \equiv Θ_{A} ε + ω \times Θ_{A} ω + \underset{v_{S} \times m v_{A} \equiv - v_{A} \times I}{\underset{︸}{({\dot{r}}_{S} - {\dot{r}}_{A}) \times m v_{A}}} + r_{A S} \times m a_{A} .$

(2.22)

Tehát, ha egy $A$ pontra ismerjük a $Θ_{A}$ tenzor mátrixát valamilyen koordinátarendszerben, akkor az $A$ pontra számított kinetikai nyomaték

$D_{A} = Θ_{A} ε + ω \times Θ_{A} ω,$

(2.23)

ha például $a_{A} = 0$ vagy $a_{A} ∥ r_{A S}$ vagy $A \equiv S$ . (Az $A$ pont $v_{A}$ sebességének nem kell ehhez nullának lennie, hacsak a $Π_{A}$ perdületvektorra nincs szükségünk. Ekkor ugyanis $Θ_{A} ω \equiv Π_{A}$ !)

Ezzel a merev testre vonatkozó $\dot{I} = F$ és $D_{A} = M_{A}$ dinamikai alapegyenletek, az impulzus- és a perdülettétel „használható” alakja:

$m {\ddot{r}}_{S} = F,$

(2.24)

$Θ_{A} ε + ω \times Θ_{A} ω = M_{A} (ha a_{A} = 0 vagy a_{A} ∥ r_{A S} vagy A \equiv S!) .$

(2.25)

(Fontos megjegyezni, hogy az $\dot{I}$ impulzusderivált vektor mindig a merev test vagy anyagi pontrendszer súlypontjának $a_{S}$ gyorsulásából számítandó, mivel a kinetikai nyomaték vektor mellett szabad vektornak tekintendő, akárcsak az $F$ erő az $M_{A}$ koncentrált erőpár mellett!)

2.1.2.3. Kinetikus energia

A merev test kinetikus energiáját az alábbi integrál kiszámításával kapjuk meg:

$T = \int_{(m)} \frac{1}{2} {\dot{r}}^{2} d m \equiv \frac{1}{2} \int_{(m)} {(v_{S} + ω \times R)}^{2} d m \equiv \frac{1}{2} m v_{S}^{2} + v_{S} \cdot \underset{0}{\underset{︸}{\int_{(m)} ω \times R d m}} + \frac{1}{2} \int_{(m)} {(ω \times R)}^{2} d m,$

(2.26)

ahol az utolsó tag az $(a \times b) \cdot c = a \cdot (b \times c)$ azonosságot felhasználva és $ω$ -t kiemelve:

$\frac{1}{2} ω \cdot \int_{(m)} R \times (ω \times R) d m \equiv \frac{1}{2} ω \cdot Π_{S} \Rightarrow$ $T = \frac{1}{2} m v_{S}^{2} + \frac{1}{2} ω^{⊤} Θ_{S} ω .$

(2.27)

Másképpen: $T = \frac{1}{2} v_{S} \cdot I + \frac{1}{2} ω \cdot Π_{S}$ .

Egy tetszőleges $A$ pontot választva az egyes $d m$ elemi tömegek sebességeinek felírásához:

$T = \frac{1}{2} \int_{(m)} (v_{A} + ω \times {(r_{A S} + R)}^{2}) d m \equiv \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + (ω \times \int_{(m)} (r_{A S} + R) d m) \cdot v_{A} + \frac{1}{2} ω \cdot Θ_{A} ω$

$\equiv \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot (r_{A S} \times m v_{A}) + \frac{1}{2} ω \cdot Θ_{A} ω .$

(2.28)

Látható, hogy a kinetikus energia (2.27) képletében az $S$ index nem cserélhető le tetszőleges pontra. Azonban, ha $v_{A} = 0$ , akkor a kinetikus energia kifejezése egyszerűbb alakot ölt:

$T = \frac{1}{2} ω^{⊤} Θ_{A} ω (v_{A} = 0 esetén!) .$

(2.29)

2.1.3. Elsőfajú Lagrange-egyenletek

A külső és belső erők egyaránt lehetnek szabad- (vagy aktív) erők és a kényszerfeltételekkel kapcsolatos kényszererők. A kényszerfeltételek általában az anyagi pontok $r_{k}$ helyvektorainak koordinátái között fennálló, a rendszer szabadsági fokát csökkentő valamilyen geometriai összefüggést írnak le:

$f_{i} (r_{k}, t) = 0 vagy \sum_{p = 1}^{N} \frac{\partial f_{i}}{\partial r_{p}} \cdot {\dot{r}}_{p} + \frac{\partial f_{i}}{\partial t} = 0 (i = 1, \dots, g),$

(2.30)

azaz ún. instacionárius geometriai kényszerek, de lehetnek

${\tilde{f}}_{j} (r_{k}, {\dot{r}}_{k}, t) = 0 (j = 1, \dots, κ)$

(2.31)

alakú ún. (instacionárius) kinematikai kényszerek is. Ha a fenti kifejezésekben nincs explicit időfüggés $(\partial / \partial t = 0)$ , akkor stacionárius kényszerfeltételekről beszélünk.

Az idő szerinti teljes deriválással a geometriai kényszerek is megfogalmazhatók kinematikai kényszerként, és ezért valódi kinematikai kényszernek csak a nem kiintegrálható kényszereket nevezzük (azaz ha a ${\tilde{f}}_{j} (r_{k}, {\dot{r}}_{k}, t) d t$ ún. Pfaff-féle kifejezések nem teljes differenciálok).

Mivel sok esetben a kinematikai kényszerek a geometriai kényszerek idő szerinti deriváltjához hasonlóan a sebességek lineáris függvényei, ezért a továbbiakban ilyen alakúnak feltételezzük őket:

$\sum_{p = 1}^{N} f_{j p} (r_{k}, t) \cdot {\dot{r}}_{p} + f_{j 0} (r_{k}, t) = 0 (j = 1, \dots, κ) azaz f_{j p} = \frac{\partial {\tilde{f}}_{j}}{\partial {\dot{r}}_{p}} .$

(2.32)

A korábbiakban bevezetett idő nélküli $δ r$ virtuális elmozdulást felfoghatjuk két kinematikailag lehetséges, ugyanazon $d t$ idő alatt végbemenő $d r^{'}$ és $d r^{″}$ elmozdulások különbségeként is, melyekkel a kényszeregyenletek differenciáljainak különbsége:

$\sum_{p = 1}^{N} \frac{\partial f_{i} (r_{k}, t)}{\partial r_{p}} \cdot δ r_{p} = 0 (i = 1, \dots, g),$

(2.33)

$\sum_{p = 1}^{N} f_{j p} (r_{k}, t) \cdot δ r_{p} = 0 (j = 1, \dots, κ),$

(2.34)

ahol $δ r_{p} = d r_{p^{″}} - d r_{p^{'}}$ . Ugyanennek megfelelő eredményt kapunk, ha virtuális elmozdulások helyett virtuális sebességekre gondolunk és az előbbi elemi elmozdulások különbségét a $d t$ időre vonatkoztatjuk: $δ \dot{r} = {\dot{r}}^{″} - {\dot{r}}^{'}$ .Ezzel pl. a kinematikai kényszerekre:

${\tilde{f}}_{j} (r_{k}, {\dot{r}}_{k^{″}}, t) - {\tilde{f}}_{j} (r_{k}, {\dot{r}}_{k^{'}}, t) \equiv \sum \frac{\partial {\tilde{f}}_{j} (r_{k}, {\dot{r}}_{k^{'}}, t)}{\partial {\dot{r}}_{p}} \cdot δ {\dot{r}}_{p} = 0.$

A mechanikai rendszer szabadsági fokainak számát eggyel csökkenti minden egyes kényszerfeltétel:

$n = 3 N - g - κ .$

(2.35)

Az anyagi pontokra felírt (2.1) szerinti dinamikai alapegyenleteket a d'Alembert-elvnek megfelelően átrendezve és a $δ r_{k}$ virtuális elmozdulásokkal vett skaláris szorzataikat összegezve a következőt kapjuk:

$\sum_{k = 1}^{N} (F_{k} + B_{k} - m_{k} {\ddot{r}}_{k}) \cdot δ r_{k} = 0,$

(2.36)

ahol $F_{k}$ az $m_{k}$ anyagi pontra ható külső szabaderő, $B_{k}$ egyéb belső erő, valamint a (külső és belső) kényszererők teljes virtuális munkája zérus: $\sum (K_{k} + R_{k}) \cdot δ r_{k} = 0$ .

Innen visszafelé a Lagrange-féle multiplikátor módszer alkalmazásával jutunk meg az $N$ darab anyagi pont mozgásegyenleteihez, vagyis adjuk hozzá a virtuális munka elvét kifejező egyenlethez a virtuális elmozdulások és a kényszerfeltételek közötti kapcsolatot előíró kifejezések $λ_{i}$ - illetve $μ_{j}$ -szorosait:

$\sum_{k = 1}^{N} (F_{k} + B_{k} - m_{k} {\ddot{r}}_{k} + \sum_{i = 1}^{g} λ_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial r_{k}} + \sum_{j = 1}^{κ} μ_{j} f_{j k}) \cdot δ r_{k} = 0.$

(2.37)

A szabadsági fokok alapján a $δ r_{k}$ virtuális elmozdulások $3 N$ koordinátája közül eredetileg csak $n = 3 N - g - κ$ darab független, viszont a $g + κ$ darab $λ_{i}$ és $μ_{j}$ Lagrange-féle multiplikátor bevezetésével valamennyi $δ r_{k}$ virtuális elmozdulást tetszőlegesen választhatjuk meg, és így éppen $3 N$ darab skalár egyenletet kapunk:

$m_{k} {\ddot{r}}_{k} = F_{k} + B_{k} + \sum_{i = 1}^{g} λ_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial r_{k}} + \sum_{j = 1}^{κ} μ_{j} \frac{\partial {\tilde{f}}_{j}}{\partial {\dot{r}}_{k}} (k = 1, \dots, N),$

(2.38)

bár az ismeretlenek számát $g + κ$ -val megnövelik a $λ_{i}$ és $μ_{j}$ multiplikátorok. A hiányzó egyenleteket a kényszerfeltételek adják:

$f_{i} (r_{k}, t) = 0 (i = 1, \dots, g),$

(2.39)

$\sum_{p = 1}^{N} f_{j p} (r_{k}, t) \cdot {\dot{r}}_{p} + f_{j 0} (r_{k}, t) = 0 (j = 1, \dots, κ) .$

(2.40)

Ez a $3 N + g + κ$ egyenletből álló egyenletrendszer alkotja az elsőfajú Lagrange-egyenleteket, melyek általánosan anholonom rendszerek mozgásainak leírására is alkalmasak. Az egyenletrendszer megoldása megadja az egyes tömegpontok $r_{k} (t)$ mozgástörvényét, valamint a multiplikátorok $λ_{i} (t)$ és $μ_{j} (t)$ időfüggvényét. Az utóbbiak ismeretében meghatározhatók az egyes anyagi pontokra ható kényszererők:

$K_{k} + R_{k} = \sum_{i = 1}^{g} λ_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial r_{k}} + \sum_{j = 1}^{κ} μ_{j} f_{j k} .$

(2.41)

2.1.3.1. Példa:

Egy $l$ hosszúságú elhanyagolható tömegű rúddal összekötött, két $m$ tömegű anyagi pont súrlódásmentesen mozog a függőleges $x y$ síkban úgy, hogy a rendszer súlypontjának $v_{S}$ sebessége mindig rúdirányú.

A geometriai illetve kinematikai kényszerfeltételek:

$f (r_{1}, r_{2}) \equiv {(r_{2} - r_{1})}^{2} - l^{2} = 0, \tilde{f} (r_{1}, r_{2}, {\dot{r}}_{1}, {\dot{r}}_{2}) \equiv \frac{1}{2} ({\dot{r}}_{1} + {\dot{r}}_{2}) \times (r_{2} - r_{1}) = 0,$

és ezek gradiensei:

$\frac{\partial f}{\partial r_{1}} \equiv - 2 (r_{2} - r_{1}), \frac{\partial f}{\partial r_{2}} \equiv 2 (r_{2} - r_{1}), \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\dot{r}}_{1}} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\dot{r}}_{2}} \equiv \frac{1}{2} (i + j) \times (r_{2} - r_{1}),$

Mozgásegyenletek az elsőfajú Lagrange-egyenletek felírásával Most $λ$ helyett $\frac{m}{2} λ$ -val és $μ$ helyett $2 m μ$ -vel szorozzuk meg a kényszerek előbb képzett gradienseit:

	$m {\ddot{r}}_{1} = - m g j - m λ (r_{2} - r_{1}) + m μ [\begin{matrix} y_{2} - y_{1} \\ - (x_{2} - x_{1}) \end{matrix}],$
	$m {\ddot{r}}_{2} = - m g j + m λ (r_{2} - r_{1}) + m μ [\begin{matrix} y_{2} - y_{1} \\ - (x_{2} - x_{1}) \end{matrix}] .$

Vezessük be a következő jelöléseket

$u = x_{2} - x_{1}, v = y_{2} - y_{1},$

és az $m$ -mel való egyszerűsítés után írjuk fel a 4 skaláregyenletet:

	${\ddot{x}}_{1} = - λ u + μ v,$
	${\ddot{y}}_{1} = - λ v - μ u - g,$
	${\ddot{x}}_{2} = λ u + μ v,$
	${\ddot{y}}_{2} = λ v - μ u - g .$

A $λ$ és $μ$ paraméterek eliminálásához fejezzük ki $λ u$ -t és $μ v$ -t az első és a harmadik egyenletből:

$λ u = \frac{{\ddot{x}}_{2} - {\ddot{x}}_{1}}{2}, μ v = \frac{{\ddot{x}}_{1} + {\ddot{x}}_{2}}{2},$

és helyettesítsük be ezeket a második és negyedik egyenlet alábbi lineáris kombinációiba:

	$({\ddot{y}}_{2} - {\ddot{y}}_{1}) u = 2 λ v u \equiv ({\ddot{x}}_{2} - {\ddot{x}}_{1}) v,$
	$({\ddot{y}}_{1} + {\ddot{y}}_{2}) v = - 2 μ u v - 2 v g \equiv - ({\ddot{x}}_{1} + {\ddot{x}}_{2}) u - 2 v g .$

$p = {\dot{x}}_{1} + {\dot{x}}_{2}, és q = {\dot{y}}_{1} + {\dot{y}}_{2}$

paraméterek bevezetésével tovább egyszerűsödnek a mozgásegyenletek és így a kényszeregyenleteket is felsoroló differenciál-algebrai egyenletrendszer az alábbi alakot ölti:

	$\ddot{v} u - \ddot{u} v = 0,$
	$\dot{p} u + \dot{q} v + 2 v g = 0,$
	$\dot{p} v - \dot{q} u = 0,$
	$u^{2} + v^{2} = l^{2} .$

A mozgásegyenletek levezetése d'Alembert-elvre felírt virtuális munkából Ha az

$(m {\ddot{r}}_{1} + m g j) δ r_{1} + (m {\ddot{r}}_{2} + m g j) δ r_{2} = 0$

kifejezéséből kívánjuk levezetni a mozgásegyenleteket a kényszerfeltételeket kielégítő virtuális koordinátákkal, azaz

$\frac{\partial f}{\partial r_{i}} δ r_{i} = 0 és \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\dot{r}}_{j}} δ r_{j} = 0,$

akkor a következő skaláregyenleteket kell megoldani:

	${\ddot{x}}_{1} δ x_{1} + ({\ddot{y}}_{1} + g) δ y_{1} + {\ddot{x}}_{2} δ x_{2} + ({\ddot{y}}_{2} + g) δ y_{2} = 0,$
	$(x_{2} - x_{1}) (δ x_{2} - δ x_{1}) + (y_{2} - y_{1}) (δ y_{2} - δ y_{1}) = 0,$
	$(y_{2} - y_{1}) (δ x_{1} + δ x_{2}) - (x_{2} - x_{1}) (δ y_{1} + δ y_{2}) = 0.$

Ha az utolsó két egyenletet megszorozzuk $(x_{2} - x_{1})$ -gyel illetve $(y_{2} - y_{1})$ -gyel és összeadjuk, valamint az $(y_{2} - y_{1})$ -gyel illetve $- (x_{2} - x_{1})$ -gyel vett szorzatukat kivonjuk egymásból, akkor az alábbi két egyenlethez jutunk:

	$l^{2} δ x_{2} - ({(x_{2} - x_{1})}^{2} - {(y_{2} - y_{1})}^{2}) δ x_{1} - 2 (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) δ y_{1} = 0,$
	$l^{2} δ y_{2} + ({(x_{2} - x_{1})}^{2} - {(y_{2} - y_{1})}^{2}) δ y_{1} - 2 (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) δ x_{1} = 0.$

Átrendezés után és az $u = x_{2} - x_{1}$ illetve $v = y_{2} - y_{1}$ jelölésekkel:

	$l^{2} δ x_{2} = (u^{2} - v^{2}) δ x_{1} + 2 u v δ y_{1},$
	$l^{2} δ y_{2} = - (u^{2} - v^{2}) δ y_{1} + 2 u v δ x_{1},$

melyeket beírva a virtuális munka fenti egyenletének $l^{2}$ -szeresébe kapjuk, hogy

$(l^{2} {\ddot{x}}_{1} + (u^{2} - v^{2}) {\ddot{x}}_{2} + 2 u v ({\ddot{y}}_{2} + g)) δ x_{1} + (l^{2} ({\ddot{y}}_{1} + g) + 2 u v {\ddot{x}}_{2} - (u^{2} - v^{2}) ({\ddot{y}}_{2} + g)) δ y_{1} = 0.$

Ebben az egyenletben $δ x_{1}$ és $δ y_{1}$ tetszőlegesek, tehát az együtthatóiknak kell zérusnak lennie:

	$u^{2} ({\ddot{x}}_{1} + {\ddot{x}}_{2}) - v^{2} ({\ddot{x}}_{2} - {\ddot{x}}_{1}) + 2 u v ({\ddot{y}}_{2} + g) = 0,$
	$v^{2} ({\ddot{y}}_{1} + {\ddot{y}}_{2} + 2 g) - u^{2} ({\ddot{y}}_{2} - {\ddot{y}}_{1}) + 2 u v {\ddot{x}}_{2} = 0,$

ahol visszaírtuk $l^{2} = u^{2} + v^{2}$ kifejezését. De ezt még tovább egyszerűsíthetjük $p$ és $q$ változókkal, valamint felhasználva, hogy

$2 {\ddot{x}}_{2} = \dot{p} + \ddot{u}, illetve 2 {\ddot{y}}_{2} = \dot{q} + \ddot{v} .$

Tehát a mozgásegyenletek:

	$u^{2} \dot{p} - v^{2} \ddot{u} + u v (\dot{q} + \ddot{v}) + 2 u v g = 0,$
	$v^{2} \dot{q} - u^{2} \ddot{v} + u v (\dot{p} + \ddot{u}) + 2 v^{2} g = 0.$

Ha most az első egyenletet leosztjuk $u$ -val és a másodikat $v$ -vel és ezeket kivonjuk egymásból, akkor

$- \frac{v^{2}}{u} \ddot{u} + v \ddot{v} + \frac{u^{2}}{v} \ddot{v} - u \ddot{u} \equiv - \frac{l^{2}}{u} \ddot{u} + \frac{l^{2}}{v} \ddot{v} = 0 \Rightarrow - v \ddot{u} + u \ddot{v} = 0.$

Továbbá, ha ebből $v \ddot{u} = u \ddot{v}$ -ot visszahelyettesítünk az első vagy a második egyenletbe, akkor kapjuk, hogy

$u (u \dot{p} + v \dot{q} + 2 v g) - v^{2} \ddot{u} + v^{2} \ddot{u} = 0,$

amivel megkaptuk a korábban levezetett mozgásegyenleteket.

Vizsgáljuk most a modellt adott helyzetben ismert sebességállapotban, tehát legyen

$u = l, v_{S} = v_{S} i, ω = ω k .$

Ekkor a geometriai kényszer miatt $v = 0$ , $v_{S} = \frac{1}{2} ({\dot{r}}_{1} + {\dot{r}}_{2})$ -ből következően $p = 2 v_{S}$ , valamint ${\dot{r}}_{2} = {\dot{r}}_{1} + ω \times (r_{2} - r_{1})$ , azaz

$\dot{u} = - ω v = 0, \dot{v} = ω u = ω l .$

Az egyenletrendszerben szereplő ismeretlenek: $u, v, \dot{u}, \dot{v}, \ddot{u}, \ddot{v}, p, q, \dot{p} �s \dot{q}$ (10 darab), a levezetett 4 egyenlethez még hozzátehetjük a kinematikai kényszer időszerinti első deriváltját, a geometriai kényszernek pedig az első és második deriváltjait:

	$\dot{p} v + p \dot{v} - \dot{q} u - q \dot{u} = 0,$
	$2 u \dot{u} + 2 v \dot{v} = 0,$
	${\dot{u}}^{2} + {\dot{v}}^{2} + u \ddot{u} + v \ddot{v} = 0.$

(Vegyük azonban észre, hogy a második egyenlettel egyenértékű egyenletet a két pont sebessége között felírt összefüggés során már felhasználtuk: $2 l \dot{u} + 2 v ω l = 0$ . Ez nem véletlen, hiszen a két pontot összekötő, most $x$ irányú sebességek egyenlősége $(\dot{u} = 0)$ szorosan összefügg a két pont közötti távolságát előíró kényszerfeltétellel.)

A kényszerfeltételek alapján tehát a kiinduló feltevésekből ismert

$u = l, v = 0, \dot{u} = 0, \dot{v} = ω l, p = 2 v_{S}$

és rendelkezésre áll az alábbi 5, még fel nem használt egyenlet

	$v \ddot{u} - u \ddot{v} = 0,$
	$u \dot{p} + v \dot{q} + 2 v g = 0,$
	$p v - q u = 0,$
	$\dot{p} v + p \dot{v} - \dot{q} u - q \dot{u} = 0,$
	${\dot{u}}^{2} + {\dot{v}}^{2} + u \ddot{u} + v \ddot{v} = 0,$

melyekből a további ismeretlen mennyiségek:

$\ddot{v} = 0, \dot{p} = 0, q = 0, \dot{q} = 2 v_{S} ω, \ddot{u} = ω^{2} l .$

Az 1-es illetve a 2-es anyagi pontra ható kényszererők így már meghatározhatók a dinamikai alapegyenletekből:

$K_{1} = m {\ddot{r}}_{1} + m g j \equiv m [\begin{matrix} - ω^{2} \frac{l}{2} \\ v_{S} ω + g \end{matrix}] és K_{2} = m [\begin{matrix} ω^{2} \frac{l}{2} \\ v_{S} ω + g \end{matrix}],$

mivel

$2 {\ddot{x}}_{1} = \dot{p} - \ddot{u}, 2 {\ddot{y}}_{1} = \dot{q} - \ddot{v}, 2 {\ddot{x}}_{2} = \dot{p} + \ddot{u}, 2 {\ddot{y}}_{2} = \dot{q} + \ddot{v} .$

A kényszererők eredője pont a súlyponton megy át, az impulzus tétel szerint pedig:

$2 m {\ddot{r}}_{S} = - 2 m g j + K \Rightarrow [\begin{matrix} m \dot{p} \\ m \dot{q} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ - 2 m g \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 2 m (v_{S} ω + g) \end{matrix}] .$

2.2. Holonom rendszerek analitikus leírása

Mivel a modellezett rendszerek jelentős részében csak geometriai kényszerek fordulnak elő, ezért érdemes megvizsgálni, hogy hogyan lehet az ilyen, holonom mechanikai rendszerek mozgását a szabadsági fokok számával megegyező minimális számú egyenlettel leírni.

2.2.1. Általános koordináták

Legyen adott az $N$ anyagi pontból álló pontrendszer, melynek térbeli mozgását $g$ darab geometriai kényszer korlátozza, azaz a rendszer szabadsági foka:

$n = 3 N - g .$

Ez egyben azt is jelenti, hogy a rendszer állapotát (helyzetét az idő függvényében) $n$ darab, egymástól független paraméterrel, pontosabban skalárfüggvénnyel lehet megadni. A kényszerek geometriájának ismeretében mindig választható $n$ darab ilyen független változó, másnéven általános koordináta, melyekkel az anyagi pontok helyvektorai kifejezhetők úgy, hogy a geometriai kényszerek automatikusan teljesülnek:

$r_{k} = r_{k} (q_{p}, t), f_{i} (r_{k} (q_{p}, t), t) \equiv 0, (i = 1, \dots, g) .$

Az anyagi pontok sebességvektorai illetve a virtuális elmozdulások a fentiek alapján:

${\dot{r}}_{k} = \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{p}} {\dot{q}}_{p} + \frac{\partial r_{k}}{\partial t}, δ r_{k} = \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{p}} δ q_{p},$

(2.42)

ahol $p$ az Einstein-féle konvenció szerinti összegző index. Az ${\dot{r}}_{k}$ sebességvektorok tehát a ${\dot{q}}_{p}$ általános (koordináta) sebességek lineáris kifejezései:

$\frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} = \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{p}} .$

(2.43)

2.2.2. Virtuális sebesség

A virtuális elmozdulások helyett most használjuk a már korábban bevezetett virtuális sebesség fogalmát. Ez alatt tehát egy olyan képzelt sebességet értünk, ami két kinematikailag lehetséges, a kényszerek által megengedett sebesség különbsége:

$δ {\dot{r}}_{k} = {\dot{r}}^{″}_{k} - {\dot{r}}^{'}_{k},$

(2.44)

így az előzőek alapján:

$δ {\dot{r}}_{k} = \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} δ {\dot{q}}_{p}$

(2.45)

és a virtuális munka elvéhez hasonlóan kimondható a virtuális teljesítmény elve, valamint az ideális kényszerek esetében a virtuális teljesítmény zérus.

2.2.3. A másodfajú Lagrange-egyenletek

Vegyük az anyagi pontrendszerre felírt d'Alembert-egyenleteket és szorozzuk meg skalárisan az anyagi pontok virtuális sebességével és összegezzük az így kapott kifejezéseket:

$\sum_{k = 1}^{N} (m_{k} {\ddot{r}}_{k} - F_{k} - R_{k}) \cdot δ {\dot{r}}_{k} = 0,$

(2.46)

ahol $F_{k}$ a $k$ -adik anyagi pontra ható szabad (a kényszerfeltételektől független) erők eredője és $R_{k}$ a $k$ -adik anyagi pontra ható külső kényszererők (reakciók) eredője. Az anyagi pontok közötti kényszerekből származó $K_{k}$ belső kényszerek eredőinek virtuális teljesítményeinek páronkénti összege belátható, hogy zérus, ezért ezeket az erőket már el is hagytuk.

A (2.46) egyenletben a zárójelet felbontva az impulzusderiváltak virtuális teljesítményének összege a következő módon írható át:

$\sum_{k = 1}^{N} m_{k} {\ddot{r}}_{k} \cdot δ {\dot{r}}_{k} \equiv \sum_{k = 1}^{N} m_{k} \frac{d}{d t} {\dot{r}}_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} δ {\dot{q}}_{p} \equiv \sum_{k = 1}^{N} (\frac{d}{d t} (m_{k} {\dot{r}}_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}}) δ {\dot{q}}_{p} - m_{k} {\dot{r}}_{k} \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} δ {\dot{q}}_{p})$

$\equiv (\frac{d}{d t} \sum_{k = 1}^{N} m_{k} {\dot{r}}_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} - \sum_{k = 1}^{N} m_{k} {\dot{r}}_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial q_{p}}) δ {\dot{q}}_{p},$

(2.47)

mivel az utolsó tagban

$\frac{d}{d t} \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} \equiv \frac{d}{d t} \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{p}} \equiv \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial q_{p}} .$

A (2.47) kifejezésben

$\sum_{k = 1}^{N} m_{k} {\dot{r}}_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} \equiv \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{p}} (\sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{2} m_{k} {\dot{r}}_{k}^{2}) \equiv \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{p}}, illetve \sum_{k = 1}^{N} m_{k} {\dot{r}}_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial q_{p}} \equiv \frac{\partial T}{\partial q_{p}},$

ahol $T$ a rendszer kinetikus energiája és ezzel a d'Alembert-elv:

$(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{p}} - \frac{\partial T}{\partial q_{p}} - \underset{Q_{p}}{\underset{︸}{\sum_{k = 1}^{N} F_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}}}}) δ {\dot{q}}_{p} = 0,$

(2.48)

amennyiben az $R_{k}$ reakcióerők a geometriai kényszerekkel összefüggő ideális kényszerek, vagyis a virtuális munkájuk illetve virtuális teljesítményük zérus: $R_{k} \cdot δ {\dot{r}}_{k} = 0$ , $\forall k$ .

A $F_{k}$ szabaderők virtuális teljesítménye alapján definiálhatjuka $Q_{p}$ általános erőket:

$δ = F_{k} \cdot δ {\dot{r}}_{k} \equiv (F_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}}) δ {\dot{q}}_{p} \equiv Q_{p} δ {\dot{q}}_{p}, azaz Q_{p} = \sum_{k = 1}^{N} F_{k} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{k}}{\partial {\dot{q}}_{p}} .$

(2.49)

Mivel a d'Alembert-elv virtuális teljesítményére vonatkozó kifejezésben a $δ {\dot{q}}_{p}$ virtuális sebességek függetlenek és tetszőlegesek, ezért az egyenlet csak akkor teljesülhet, ha az alábbi $n = 3 N - g$ darab ún. másodfajú Lagrange-egyenletek által meghatározott differenciálegyenlet-rendszer is érvényes:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{p}} - \frac{\partial T}{\partial q_{p}} = Q_{p}$ $(p = 1, \dots, n) .$

(2.50)

2.2.4. A kinetikus energia függése az általános koordinátáktól

Az $N$ darab anyagi pontból álló holonom rendszer kinetikus energiája:

$T = \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{2} m_{k} {\dot{r}}_{k}^{2} \equiv \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{2} m_{k} {(\frac{\partial r_{k}}{\partial q_{p}} {\dot{q}}_{p} + \frac{\partial r_{k}}{\partial t})}^{2} \equiv \underset{T_{2}}{\underset{︸}{\frac{1}{2} a_{i j} {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j}}} + \underset{T_{1}}{\underset{︸}{a_{i} {\dot{q}}_{i}}} + \underset{T_{0}}{\underset{︸}{a_{0}}},$

(2.51)

ahol

$a_{i j} = \sum_{k = 1}^{N} m_{k} \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{j}} \equiv a_{i j} (q_{p}, t),$

(2.52)

$a_{i} = \sum_{k = 1}^{N} m_{k} \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial r_{k}}{\partial t} \equiv a_{i} (q_{p}, t),$

(2.53)

$a_{0} = \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{2} m_{k} {(\frac{\partial r_{k}}{\partial t})}^{2} \equiv a_{0} (q_{p}, t) .$

(2.54)

Látható, hogy holonom szkleronom rendszer esetében $(\partial / \partial t = 0)$ $a_{i} \equiv 0$ , $(i = 0,1, \dots, n),$ azaz

$T (q_{p}, {\dot{q}}_{p}) \equiv T_{2} (q_{p}, {\dot{q}}_{p}) \equiv \frac{1}{2} a_{i j} (q_{p}) {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j} \equiv \frac{1}{2} {\dot{q}}^{⊤} A \dot{q}$

(2.55)

${\dot{q}}_{p}$ -nak homogén másodfokú kifejezése $(T (q_{p}, l {\dot{q}}_{p}) = l^{2} T (q_{p}, {\dot{q}}_{p}))$ , és ezért

$\frac{\partial T_{2}}{\partial {\dot{q}}_{i}} = a_{i j} {\dot{q}}_{j}, illetve \frac{\partial T_{2}}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i} = a_{i j} {\dot{q}}_{j} {\dot{q}}_{i} \equiv 2 T_{2} .$

(2.56)

Tétel: $T_{2}$ pozitív definit kifejezés, azaz $T_{2} \geq 0$ $\forall \dot{q}$ esetén és $T_{2} = 0 \Leftrightarrow \dot{q} = 0$ .

Bizonyítás: $T_{2} = T = \sum \frac{1}{2} m_{k} {\dot{r}}_{k}^{2} = 0 \Leftrightarrow {\dot{r}}_{k} = 0, \forall k \Leftrightarrow \dot{q} = 0.$

Következmény: $\det a_{i j} = 0$ (Különben $a_{i j} {\dot{q}}_{j} = 0$ -nak lenne ${\dot{q}}_{j} = 0$ megoldása, azaz

$\frac{\partial T_{2}}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i} = 0 \Leftrightarrow 2 T_{2} = 0 \Leftrightarrow {\dot{q}}_{j} = 0,$

ami ellentmondás.)

2.2.5. A mozgásegyenletek potenciálos erők esetén

Tegyük fel, hogy az $i = 1, \dots, p$ anyagi pontokra ható $F_{i}$ erők potenciálosak, azaz

$\exists U (r_{i}, t) : F_{i} = - \frac{\partial U}{\partial r_{i}} (i = 1, \dots, p) \Rightarrow \frac{\partial U}{\partial q_{r}} \equiv \sum_{i = 1}^{p} \frac{\partial U}{\partial r_{i}} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{r}} \equiv - \sum_{i = 1}^{p} F_{i} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{r}} .$

(2.57)

Ekkor a $Q_{r}$ általános erő felbontható potenciálos és nem potenciálos erőkből származó általános erők összegére:

$Q_{r} = \sum_{k = 1}^{N} F_{k} \cdot \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{r}} \equiv \sum_{i = 1}^{p} F_{i} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{r}} + \sum_{k = p + 1}^{N} F_{k} \cdot \frac{\partial r_{k}}{\partial q_{r}} \equiv \underset{Q_{r}^{pot}}{\underset{︸}{- \frac{\partial U}{\partial q_{r}}}} + Q_{r}^{⋆} .$

(2.58)

Általánosan, ha az $i$ -edik anyagi pontra $F_{i}$ potenciálos és $F_{i}^{⋆}$ nem potenciálos erők hatnak, és

$F_{i} = - \frac{\partial U}{\partial r_{i}}, akkor$ $Q_{r}^{pot} = - \frac{\partial U}{\partial q_{r}}$ $és Q_{r}^{⋆} = \sum_{i = 1}^{N} F_{i}^{⋆} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{r}} .$

(2.59)

Legyen

$ℒ (q_{r}, {\dot{q}}_{r}, t) = T (q_{r}, {\dot{q}}_{r}, t) - U (q_{r}, t)$

(2.60)

az ún. Lagrange-függvény vagy kinetikus potenciál. Ezzel a másodfajú Lagrange-egyenletek potenciálos erők esetén:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{r}} - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{r}} = 0$ $mivel \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{r}} = \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{r}} .$

(2.61)

Példa:

2.2.5.1. A gömbi inga mozgásegyenletei

A következőkben vizsgáljuk az $l$ hosszúságú fonálon függő $m$ tömeg mozgását. Az anyagi pont mozgástörvényét meghatározó vektoregyenlet:

$m \ddot{r} = m g + K (r),$

(2.62)

ahol $K = λ \nabla f$ az $f (r) \equiv r^{2} - l^{2} = 0$ geometriai kényszert biztosító reakcióerő.

A virtuális elmozdulásokkal megfogalmazott d'Alembert-elvvel és a virtuális elmozdulásokat korlátozó kényszeregyenlettel:

$m (g - \ddot{r}) \cdot δ r = 0, \nabla f \cdot δ r \equiv 2 r \cdot δ r = 0,$

(2.63)

azaz $- (g + \ddot{z}) δ z - \ddot{y} δ y - \ddot{x} δ x = 0$ és $δ z = - \frac{x}{z} δ x - \frac{y}{z} δ y$ . Ezzel a mozgást meghatározó egyenletek:

$- z \ddot{x} + (g + \ddot{z}) x = 0,$

(2.64)

$- z \ddot{y} + (g + \ddot{z}) y = 0,$

(2.65)

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = l^{2} .$

(2.66)

Az utóbbi, a kényszert megfogalmazó, (2.66) egyenletből $x$ kifejezhető és $\ddot{x}$ meghatározható, amiket ha visszaírunk a (2.64) egyenletbe, akkor egy, már csak $z (t)$ -t és $y (t)$ -t (illetve deriváltjaikat) tartalmazó differenciál-egyenletrendszert kapunk.

2.2.5.2. Síkbeli inga mozgásegyenlete

Korlátozzuk a mozgást az $x = 0$ síkra, azaz $δ x = 0$ , és így

$- z \ddot{y} + (g + \ddot{z}) y = 0$

(2.67)

$y^{2} + z^{2} = l^{2} .$

Átírva az $y = l \sin φ$ és $z = - l \cos φ$ koordinátákkal kapjuk, hogy

$l^{2} \ddot{φ} + g l \sin φ = 0, vagyis \ddot{φ} + \frac{g}{l} \sin φ = 0.$

(2.68)

Az utóbbi egyenletet $m l^{2} \dot{φ}$ -tal megszorozva (majd felhasználva, hogy $\ddot{φ} \dot{φ} = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ({\dot{φ}}^{2})$ ) és az idő szerint integrálva kapjuk az energiamegmaradást kifejező elsőintegrált:

$f r a c 12 m {(l \dot{φ})}^{2} - m g l \cos φ = const . \equiv - m g l \cos φ_{0},$

(2.69)

ahol $φ_{0}$ a legnagyobb szögkitérés $({\dot{φ}}_{0} = 0)$ . A (2.69) egyenletet egyszerűsítve és átrendezve $(α^{2} = g / l)$ :

$\frac{d φ}{d t} = \sqrt{\frac{g}{l}} \sqrt{2 (\cos φ - \cos φ_{0})} \Rightarrow α t = \int_{0}^{φ (t)} \frac{d φ}{\sqrt{2 (\cos φ - \cos φ_{0})}}, (φ (0) = 0) .$

(2.70)

Mivel az inga a $φ = 0$ helyzeten való áthaladás után $t = T / 4$ idő múlva éri el a szélső helyzetet, a

$\sin \frac{φ}{2} = k \sin ψ, k = \sqrt{\frac{1 - \cos φ_{0}}{2}} \equiv \sin \frac{φ_{0}}{2}$

helyettesítéssel (2.70)-ből a következőt kapjuk:

$α \frac{T}{4} = \int_{0}^{ψ_{0}} \frac{2 k \cos ψ d ψ}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ψ} \sqrt{2 - 4 k^{2} \sin^{2} ψ - 2 \cos φ_{0}}} \equiv \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d ψ}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ψ}} \equiv F (k, ψ_{0}),$

hiszen $1 - 2 k^{2} \sin^{2} ψ - \cos φ_{0} = 2 k^{2} \cos^{2} ψ$ illetve $ψ_{0} = \frac{π}{2}$ . Így tehát a síkbeli matematikai inga lengésideje

$T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} F (\sin \frac{φ_{0}}{2}, \frac{π}{2}),$

(2.71)

ahol $F (k, ψ)$ az elsőfajú elliptikus integrál Legendre-féle normálalakja.

2.2.6. A mechanikai összenergia változása

A teljes mechanikai energia a fentebb bevezetett jelölésekkel:

$ℰ = T_{2} (q_{r}, {\dot{q}}_{r}, t) + T_{1} (q_{r}, {\dot{q}}_{r}, t) + T_{0} (q_{r}, t) + U (q_{r}, t) \equiv T + U,$

(2.72)

és ennek az idő szerinti első deriváltja:

$\frac{d ℰ}{d t} = \frac{\partial T}{\partial q_{r}} {\dot{q}}_{r} + \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{r}} {\ddot{q}}_{r} + \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{d U}{d t} .$

(2.73)

Ha felhasználjuk, hogy a második tag

$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{r}} {\ddot{q}}_{r} = \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{r}} {\dot{q}}_{r}) - \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{r}} {\dot{q}}_{r} \equiv \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{r}} {\dot{q}}_{r}) - Q_{r} {\dot{q}}_{r} - \frac{\partial T}{\partial q_{r}} {\dot{q}}_{r}$

és

$\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{r}} (T_{2} + T_{1} + T_{0}) {\dot{q}}_{r} \equiv 2 T_{2} + T_{1},$

akkor

$\frac{d ℰ}{d t} = \frac{d}{d t} (\underset{2 T_{2} + T_{1}}{\underset{︸}{2 ℰ - T_{1} - 2 T_{0} - 2 U}}) - \underset{Q_{r}}{\underset{︸}{(Q_{r}^{⋆} - \frac{\partial U}{\partial q_{r}})}} {\dot{q}}_{r} + \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{d U}{d t},$

(2.74)

illetve átrendezés után kapjuk, hogy holonom rendszerek esetében

$\frac{d ℰ}{d t} = Q_{r}^{⋆} {\dot{q}}_{r} + \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{d}{d t} (T_{1} + 2 T_{0}) mivel \frac{d U}{d t} - \frac{\partial U}{\partial q_{r}} {\dot{q}}_{r} = \frac{\partial U}{\partial t} .$

(2.75)

Holonom szkleronom rendszereknél az utolsó két tag zérus, tehát

$\frac{d ℰ}{d t} = Q_{r}^{⋆} {\dot{q}}_{r} + \frac{\partial U}{\partial t},$

(2.76)

és amennyiben a potenciálos erőtér konzervatív, vagyis $U = U (q_{r})$ , akkor

$\frac{d ℰ}{d t} = Q_{r}^{⋆} {\dot{q}}_{r}$

(2.77)

illetve, ha az összes aktív erő időtől független potenciálfüggvényből származtatható, akkor

$\frac{d ℰ}{d t} = 0, azaz$ $ℰ = T + U \equiv állandó,$

(2.78)

és az ilyen rendszereket, ahol a teljes mechanikai energia állandó, konzervatív rendszereknek nevezzük.

2.2.7. Nem potenciálos általános erők

A $Q_{r}^{⋆}$ nem potenciálos általános erőket teljesítményük szerint osztályozhatjuk, vagyis annak alapján, hogy hogyan befolyásolják a rendszer teljes mechanikai energiáját:

$P = Q_{r}^{⋆} {\dot{q}}_{r} = ?$

$P = 0$ esetén giroszkopikus erőkről beszélünk (ilyen általában giroszkópot, pörgettyűt tartalmazó mechanikai rendszerekben fordul elő).
$P < 0$ esetén disszipatív erőkről van szó, melyek a rendszer összenergiáját csökkentik.
$P > 0$ esetén általában valamilyen külső forrásból származó gerjesztő erőkkel kapcsolatosak az általános erők, melyek az általános koordinátáknak, sebességeknek és az időnek (legtöbbször periodikus) függvényei.

Látszik tehát, hogy holonom szkleronom rendszerben a teljes mechanikai energia akkor is állandó marad, ha a konzervatív erőkön kívüli nem potenciálos erők vagy giroszkopikus erők, vagy a disszipatív erők és a gerjesztő erők teljesítményének összege zérus.

Bontsuk fel most az $i$ -edik anyagi pontra ható erők $F_{i}$ erdőjét potenciálos, giroszkopikus, disszipatív és egyéb (gerjesztő) erők összegére:

$F_{i} = F_{i}^{pot} + F_{i}^{g} + F_{i}^{d} + F_{i}^{⋆},$

és vizsgáljuk a továbbiakban a giroszkopikus és disszipatív erőket illetve az azokból származó általános erőkomponenseket.

2.2.7.1. Giroszkopikus erők

Amennyiben az $i$ -edik anyagi pontra ható $F_{i}^{g} = 0$ erő teljesítménye konstans nulla,

$F_{i}^{g} \cdot {\dot{r}}_{i} \equiv 0,$

(2.79)

az azt jelenti, hogy az $F_{i}^{g}$ ún. giroszkopikus erő mindig merőleges az ${\dot{r}}_{i}$ sebességvektorra, vagyis függ ${\dot{r}}_{i}$ -től:

$F_{i}^{g} = F_{i}^{g} (r_{k}, {\dot{r}}_{i}, t) vagy általánosan F_{i}^{g} = F_{i}^{g} (r_{k}, {\dot{r}}_{k}, t) .$

(2.80)

Az ilyen erőkből származó $Γ_{r}$ általános giroszkopikus erőre pedig igaz, hogy

$Γ_{r} \equiv \sum_{i = 1}^{N} F_{i}^{g} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{r}} = Γ_{r} (q_{p}, {\dot{q}}_{p}, t),$

(2.81)

azaz a ${\dot{q}}_{p}$ általános sebességeknek is függvénye. Legtöbb esetben a $Γ_{r}$ giroszkopikus erő a ${\dot{q}}_{p}$ -nak homogén lineáris függvénye, azaz

$Γ_{r} = g_{r s} (q_{p}, t) {\dot{q}}_{s},$

(2.82)

így a giroszkopikus erők teljesítménye:

$P^{g} = Γ_{r} {\dot{q}}_{r} \equiv g_{r s} {\dot{q}}_{r} {\dot{q}}_{s} = 0.$

(2.83)

Mivel a ${\dot{q}}_{r}, {\dot{q}}_{s}$ általános sebességek függetlenek, belátható, hogy a giroszkopikus teljesítmény csak úgy lehet nulla, ha

$g_{r s} = - g_{s r} és g_{r r} = 0,$

(2.84)

azaz $G = [g_{r s}]$ antiszimmetrikus mátrix. Ezzel a $Γ$ giroszkopikus erővektor és teljesítménye:

$Γ = G \dot{q}, P^{g} = {\dot{q}}^{⊤} G \dot{q} .$

(2.85)

Megjegyzés Holonom reonom rendszer esetén, azaz ha (2.51) szerint $T = T_{2} + T_{1} + T_{0}$ , a másodfajú Lagrange-egyenletek:

	$\frac{d}{d t} \frac{\partial T_{2}}{\partial {\dot{q}}_{r}} - \frac{\partial T_{2}}{\partial q_{r}} = Q_{r} - \frac{d}{d t} \frac{\partial T_{1}}{\partial {\dot{q}}_{r}} + \frac{\partial T_{1}}{\partial q_{r}} + \frac{\partial T_{0}}{\partial q_{r}}$
	$= Q_{r} - \frac{d a_{r}}{d t} + \frac{\partial a_{p}}{\partial q_{r}} {\dot{q}}_{p} + \frac{\partial a_{0}}{\partial q_{r}}$
	$= Q_{r} - \underset{g_{r p} = - g_{p r}}{\underset{︸}{(\frac{\partial a_{r}}{\partial q_{p}} - \frac{\partial a_{p}}{\partial q_{r}})}} {\dot{q}}_{p} - \frac{\partial a_{r}}{\partial t} + \frac{\partial a_{0}}{\partial q_{r}} .$

Vagyis az egyenletekben egy $g_{r p} {\dot{q}}_{p}$ giroszkopikus tag jelenik meg, ami nem valóságos, hanem a tehetetlenségi erőkből származó, de giroszkopikus látszólagos erő.

2.2.7.2. Disszipatív erők

Disszipatív erők esetén a $\sum F_{i}^{d} \cdot {\dot{r}}_{i} < 0$ feltevés is az erők sebességfüggését vonja maga után, azaz $F_{i}^{d} = F_{i}^{d} (r_{k}, {\dot{r}}_{k}, t)$ . Vizsgáljuk most azokat az eseteket, amikor ez a kapcsolat homogén lineáris kifejezés:

$F_{i}^{d} = - \sum_{j = 1}^{N} d_{i j} (r_{k}, t) {\dot{r}}_{j},$

(2.86)

azaz a disszipatív teljesítmény:

$P^{d} = - \sum_{i, j} d_{i j} (r_{k}, t) {\dot{r}}_{j} \cdot {\dot{r}}_{i} \leq 0.$

(2.87)

A Rayleigh-féle

$D = - \frac{1}{2} P^{d} \equiv \frac{1}{2} \sum_{i, j} d_{i j} {\dot{r}}_{j} \cdot {\dot{r}}_{i} \geq 0$

(2.88)

disszipatív függvény bevezetésével az ${\dot{r}}_{i}$ sebességmezőn értelmezett „potenciálfüggvényt” kapunk:

$F_{i}^{d} = - \frac{\partial D}{\partial {\dot{r}}_{i}} \equiv - \sum_{j = 1}^{N} d_{i j} {\dot{r}}_{j} (és így d_{i j} = \frac{\partial^{2} D}{\partial {\dot{r}}_{i} \partial {\dot{r}}_{j}} \equiv d_{j i}) .$

(2.89)

A $D$ disszipatív függvény ${\dot{q}}_{r}$ -ra vonatkoztatott negatív gradiense a $Q_{r}^{d}$ disszipatív általános erőt adja, mivel

$\frac{\partial D}{\partial {\dot{q}}_{r}} \equiv \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial D}{\partial {\dot{r}}_{i}} \cdot \frac{\partial {\dot{r}}_{i}}{\partial {\dot{q}}_{r}} \equiv - \sum_{i = 1}^{N} F_{i}^{d} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{r}} = - Q_{r}^{d} .$

(2.90)

A disszipatív függvényt előállíthatjuk az általános koordináták illetve azok sebességeinek függvényeként is (az egyszerűség kedvéért a $\sum$ -kat elhagyva és ügyelve az összegző indexekre):

$D = \frac{1}{2} d_{i j} (r_{k}, t) (\frac{\partial r_{j}}{\partial q_{r}} {\dot{q}}_{r} + \frac{\partial r_{j}}{\partial t}) \cdot (\frac{\partial r_{i}}{\partial q_{s}} {\dot{q}}_{s} + \frac{\partial r_{i}}{\partial t})$

$= \underset{D_{2}}{\underset{︸}{\frac{1}{2} d_{i j} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{r}} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{s}} {\dot{q}}_{r} {\dot{q}}_{s}}} + \underset{D_{1}}{\underset{︸}{\frac{1}{2} (d_{i j} + d_{j i}) \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{r}} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial t} {\dot{q}}_{r}}} + \underset{D_{0}}{\underset{︸}{\frac{1}{2} d_{i j} \frac{\partial r_{j}}{\partial t} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial t}}},$

(2.91)

ahol $D_{i}$ -k az általános sebességeknek homogén $i$ -edfokú kifejezései.

Holonom szkleronom mechanikai rendszerekben

$D = D_{2} \equiv \frac{1}{2} b_{r s} {\dot{q}}_{r} {\dot{q}}_{s} és b_{r s} = d_{i j} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{r}} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{s}} \equiv \frac{\partial^{2} D}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial {\dot{q}}_{s}} = b_{s r},$

(2.92)

mivel

$\frac{\partial^{2} D}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial {\dot{q}}_{s}} \equiv \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{r}} \frac{\partial D}{\partial {\dot{q}}_{s}} \equiv \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{r}} (\frac{\partial D}{\partial {\dot{r}}_{j}} \frac{\partial {\dot{r}}_{j}}{\partial {\dot{q}}_{s}}) \equiv \underset{d_{i j}}{\underset{︸}{\frac{\partial^{2} D}{\partial {\dot{r}}_{i} \partial {\dot{r}}_{j}}}} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{s}} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{r}} .$

(2.93)

A $B = [b_{r s}]$ szimmetrikus mátrix bevezetésével:

$D = \frac{1}{2} {\dot{q}}^{⊤} B \dot{q},$ $Q^{d} = - \frac{\partial D}{\partial \dot{q}}$ $\equiv - B \dot{q},$ $P^{d} = Q^{d} \cdot \dot{q} \equiv - {\dot{q}}^{⊤} \frac{\partial D}{\partial \dot{q}} \equiv - 2 D \leq 0.$

(2.94)

Amennyiben $P^{d} = 0 \Leftrightarrow \dot{q} = 0$ , és minden $\dot{q} = 0$ és tetszőleges $q$ esetén $P^{d} < 0$ , akkor teljes disszipációról van szó, és ekkor $D$ pozitív definit, vagyis: $\det B = 0 (\Leftrightarrow \exists B^{- 1})$ .

A potenciális, a giroszkopikus, valamint a disszipatív erők bevezetésével a másodfajú Lagrange-egyenlet:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial T}{\partial q} = - \frac{\partial U}{\partial q} + Γ - \frac{\partial D}{\partial \dot{q}} + Q^{⋆} .$

(2.95)

2.2.8. Az általános potenciál

Amennyiben a $Q_{r}$ általános erők egy $V (q_{i}, {\dot{q}}_{i}, t)$ függvényből a

$Q_{r} = \frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_{r}} - \frac{\partial V}{\partial q_{r}},$ $(r = 1, \dots, n)$

(2.96)

összefüggéssel származtathatók, akkor a

$V = V (q_{i}, {\dot{q}}_{i}, t)$

(2.97)

függvényt általános potenciálfüggvénynek nevezzük.

$ℒ = T - V$

(2.98)

általános Lagrange-függvény segítségével a Lagrange-egyenletek tehát:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{r}} - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{r}} = 0.$

(2.99)

Igaz továbbá, hogy

$Q_{r} = \frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_{r}} - \frac{\partial V}{\partial q_{r}} \equiv \frac{\partial^{2} V}{\partial {\dot{q}}_{s} \partial {\dot{q}}_{r}} {\ddot{q}}_{s} + X_{r} (q_{i}, {\dot{q}}_{i}, t),$

(2.100)

ahol $X_{r}$ azokat a tagokat jelöli, melyekben nem fordul elő a ${\ddot{q}}_{s}$ általános gyorsulás. Mivel a mechanikában általában olyan erők fordulnak elő, melyek csak az általános koordinátáktól, általános sebességektől és az időtől függenek, azonban az általános gyorsulásoktól nem, vagyis

$Q_{r} = Q_{r} (q_{i}, {\dot{q}}_{i}, t), azaz \frac{\partial^{2} V}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial {\dot{q}}_{s}} = 0,$

(2.101)

vagyis az $V$ általános potenciál az általános sebességeknek legfeljebb lineáris függvénye lehet:

$V = \underset{V_{1}}{\underset{︸}{Ψ_{j} (q_{r}, t) {\dot{q}}_{j}}} + V_{0} (q_{r}, t),$

(2.102)

és így a Lagrange-függvény:

$ℒ = T - V \equiv T_{2} + T_{1} + T_{0} - V_{1} - V_{0} \equiv \underset{ℒ_{2}}{\underset{︸}{T_{2}}} + \underset{ℒ_{1}}{\underset{︸}{T_{1} - V_{1}}} + \underset{ℒ_{0}}{\underset{︸}{T_{0} - V_{0}}} .$

(2.103)

Az általános erők tehát az előbbiek alapján:

$Q_{r} = \frac{d Ψ_{r}}{d t} - \frac{\partial Ψ_{i}}{\partial q_{r}} {\dot{q}}_{i} - \frac{\partial V_{0}}{\partial q_{r}} \equiv \frac{\partial Ψ_{r}}{\partial t} + \underset{g_{i r}}{\underset{︸}{(\frac{\partial Ψ_{r}}{\partial q_{i}} - \frac{\partial Ψ_{i}}{\partial q_{r}})}} {\dot{q}}_{i} - \frac{\partial V_{0}}{\partial q_{r}} .$

(2.104)

Ha $Ψ_{r} = Ψ_{r} (q_{i})$ , akkor az általános erők egy giroszkopikus és egy (közönséges) potenciálos erő összegeként állnak elő:

$Q_{r} = Γ_{r} - \frac{\partial V_{0}}{\partial q_{r}}, (Γ_{r} = g_{i r} {\dot{q}}_{i}, g_{i r} = - g_{r i}, Γ_{r} {\dot{q}}_{r} = 0) .$

(2.105)

Azokat a mechanikai rendszereket, melyekben az erőknek közönséges $(U)$ vagy általános $(V)$ potenciáljuk van, természetes rendszereknek nevezzük. Ekkor a Lagrange-egyenleteket kifejtve a következőt kapjuk:

$\frac{\partial^{2} ℒ}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial {\dot{q}}_{s}} {\ddot{q}}_{s} + \frac{\partial^{2} ℒ}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial q_{s}} {\dot{q}}_{s} + \frac{\partial^{2} ℒ}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial t} - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{r}} = 0.$

(2.106)

A ${\ddot{q}}_{s}$ általános gyorsulások együtthatói $ℒ = T - V_{1} - V_{0}$ miatt:

$\frac{\partial^{2} ℒ}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial {\dot{q}}_{s}} \equiv \frac{\partial^{2} T_{2}}{\partial {\dot{q}}_{r} \partial {\dot{q}}_{s}} \equiv a_{r s},$

(2.107)

melynek determinánsa zérustól különböző, azaz az egyenletrendszer egyértelműen megoldható ${\ddot{q}}_{s}$ -re:

${\ddot{q}}_{s} = Y_{s} (q_{r}, {\dot{q}}_{r}, t),$

(2.108)

vagyis adott $q_{s} (0)$ és ${\dot{q}}_{s} (0)$ kezdeti feltételek mellett egy és csak egy megoldás létezik (egzisztencia és unicitás teljesül), tehát a Lagrange-egyenletek egyértelműen meghatározzák a rendszer mozgását.

2.2.9. A Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek

2.2.9.1. Általános impulzus

Vezessük be Hamilton (1833) ötlete nyomán a potenciálos erőtérben mozgó holonom mechanikai rendszer $q_{k}$ általános koordinátájához tartozó általános impulzust:

$p_{k} = \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{k}} .$

(2.109)

Az elnevezés onnan ered, hogy a transzlációs mozgást végző anyagi pont esetében ez

$T = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} miatt p_{x} = \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} \equiv m \dot{x}$

az anyagi pont impulzusát adja (mivel $ℒ (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) = T (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) - U (q_{k}, t)$ ).

Természetes rendszerek esetén, azaz, ha az általános erők

$Q_{k} = \frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{\partial V}{\partial q_{k}}$

(2.110)

alakban felírhatók egy |általánosított potenciál segítségével és így definiálható a Lagrange-féle általános kinetikus potenciál

$ℒ = \underset{T}{\underset{︸}{T_{2} + T_{1} + T_{0}}} - \underset{V}{\underset{︸}{(V_{1} + V_{0})}} \equiv T_{2} + ℒ_{1} + ℒ_{0} \equiv \frac{1}{2} a_{i j} (q_{k}, t) {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j} + b_{i} (q_{k}, t) {\dot{q}}_{i} + ℒ_{0} (q_{k}, t),$

(2.111)

akkor a $p_{i}$ általános impulzus az alábbi alakot ölti:

$p_{i} = \frac{\partial T_{2}}{\partial {\dot{q}}_{i}} + \frac{\partial ℒ_{1}}{\partial {\dot{q}}_{i}} \equiv a_{i j} {\dot{q}}_{j} + b_{i} illetve vektorosan p = A (q, t) \dot{q} + b (q, t) .$

(2.112)

Ebből az inhomogén lineáris (!) algebrai egyenletrendszerből $\dot{q}$ kifejezhető, mivel — mint azt korábban láttuk $T_{2}$ pozitív definitásának bizonyításánál — az $A$ együttható mátrix determinánsa nem zérus:

$\dot{q} = A^{- 1} (p - b) \equiv \dot{q} (q, p, t),$

(2.113)

és ezzel ${\dot{q}}_{k}$ helyett $p_{k}$ bevezethető.

2.2.9.2. A Hamilton-függvény

A $(q_{k}, p_{k}, t)$ Hamilton-féle változók egy $2 n + 1$ dimenziós teret határoznak meg. Ez az ún. fázistér, melyben a rendszer mozgásának egy adott pályán, ún. trajektórián mozgó pont feleltethető meg. Ennek a pontnak a mozgása összefüggésbe hozható egy $2 n$ darab elsőrendű differenciálegyenletből álló rendszerrel. Ehhez vezessük be a Hamilton-függvényt:

$ℋ (q_{k}, p_{k}, t) = p_{i} {\dot{q}}_{i} - ℒ (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) .$

(2.114)

Vizsgáljuk most $ℋ$ -nak $p_{k}$ illetve $q_{k}$ szerinti parciális deriváltjait:

$\frac{\partial ℋ}{\partial p_{k}} = {\dot{q}}_{k} + \underset{0}{\underset{︸}{p_{i} \frac{\partial {\dot{q}}_{i}}{\partial p_{k}} - \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{i}} \frac{\partial {\dot{q}}_{i}}{\partial p_{k}}}} és \frac{\partial ℋ}{\partial q_{k}} = \underset{0}{\underset{︸}{p_{i} \frac{\partial {\dot{q}}_{i}}{\partial q_{k}} - \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{i}} \frac{\partial {\dot{q}}_{i}}{\partial q_{k}}}} - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{k}} = - \underset{\frac{d}{d t} p_{k}}{\underset{︸}{\frac{d}{d t} \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{k}}}},$

ahol az utóbbi kifejezésnél felhasználtuk a másodfajú Lagrange-egyenletet.

Ezzel a rendszer mozgását leíró $2 n$ darab elsőrendű differenciálegyenlet, másnéven a Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek a következők:^[2]

${\dot{q}}_{k} = \frac{\partial ℋ}{\partial p_{k}}, {\dot{p}}_{k} = - \frac{\partial ℋ}{\partial q_{k}} .$

(2.115)

Nézzük meg most a Hamilton-függvény idő szerinti teljes deriváltját:

$\frac{d ℋ}{d t} \equiv \underset{0}{\underset{︸}{\frac{\partial ℋ}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial ℋ}{\partial p_{k}} {\dot{p}}_{k}}} + \frac{\partial ℋ}{\partial t} \equiv \frac{\partial ℋ}{\partial t} .$

(2.116)

Ha tehát a Hamilton-függvény nem függ explicit az időtől, akkor

$ℋ = ℋ (q_{k}, p_{k}) = h = állandó,$

(2.117)

és az ilyen rendszereket általános konzervatív rendszereknek, $ℋ$ -t pedig általános összenergiának nevezzük.

Természetes rendszerekben

$ℋ = p_{k} {\dot{q}}_{k} - ℒ \equiv \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{k}} {\dot{q}}_{k} - ℒ \equiv \underset{2 ℒ_{2}}{\underset{︸}{\frac{\partial ℒ_{2}}{\partial {\dot{q}}_{k}} {\dot{q}}_{k}}} + \underset{ℒ_{1}}{\underset{︸}{\frac{\partial ℒ_{1}}{\partial {\dot{q}}_{k}} {\dot{q}}_{k}}} - (ℒ_{2} + ℒ_{1} + ℒ_{0}) \equiv ℒ_{2} - ℒ_{0},$

(2.118)

ahol felhasználtuk a homogén kifejezésekre vonatkozó Euler-féle azonosságot.

A (2.118) egyenlet alapján a Hamilton-függvény tipikus rendszerekben:

	potenciálos erőtérben	általános pot. erők esetén
	$(V = V_{0} \equiv U)$	$(V = V_{1} + V_{0})$
reonom eset:	$ℋ = T_{2} - T_{0} + U$	$ℋ = T_{2} - T_{0} + V_{0}$
szkleronom eset:	$ℋ (q_{k}, p_{k}, t) = T + U (q_{k}, t)$	$ℋ (q_{k}, p_{k}, t) = T + V_{0} (q_{k}, t)$
konzervatív rendszer:	$ℋ (q_{k}, p_{k}) = T + U (q_{k}) = áll .$	$ℋ (q_{k}, p_{k}) = T + V_{0} (q_{k})$

Tehát a $ℋ$ Hamilton-függvény potenciálos erők esetén szkleronom $(T_{2} = T)$ illetve konzervatív rendszerben megegyezik a mechanikai összenergiával $(T + U)$ . Amennyiben pedig csak az általános összenergia állandósága teljesül, általánosan konzervatív rendszerről beszélhetünk.

2.2.10. Routh-egyenletek

2.2.10.1. Ciklikus koordináták

A rendszer helyzetét leíró általános koordináták között előfordulhatnak olyanok, melyeknek csak az idő szerinti deriváltja szerepel az $ℒ (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t)$ Lagrange-függvényben, és ezeket megkülönböztetve a mozgásegyenletek egy újabb formája vezethető le. Az $n$ darab általános koordináta legyen tehát

$q_{1}, q_{2}, \dots, q_{m}, φ_{m + 1}, \dots, φ_{n},$

(2.119)

melyek közül az első $m$ darab $q_{k}$ képezi az ún. pozícionális koordinátákat, a maradék $n - m$ darab $φ_{l}$ pedig a ciklikus koordinátákat, melyekkel a Lagrange-függvény:

$ℒ = ℒ (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, {\dot{φ}}_{l}, t) .$

(2.120)

Az indexes jelölés helyett alkalmazzuk a vektoros jelölést, és legyen $q$ a pozícionális koordináták vektora, $φ$ pedig a ciklikus koordináták alkotta vektor:

$q = [q_{k}], φ = [φ_{l}] .$

(2.121)

Tekintsük most a ciklikus koordinátákra vonatkozó Lagrange-egyenleteket:

$\frac{d}{d t} \underset{ψ \equiv p_{φ}}{\underset{︸}{\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{φ}}}} - \underset{0}{\underset{︸}{\frac{\partial ℒ}{\partial φ}}} = 0 \Rightarrow ψ \equiv \frac{\partial ℒ}{\partial \dot{φ}} = állandó .$

(2.122)

Írjuk fel most a Lagrange-függvényt az általános sebességek homogén kifejezéseinek összegeként:

$ℒ = \underset{ℒ_{2} = T_{2} \equiv \frac{1}{2} {\dot{q}}^{⊤} A_{q} \dot{q} + \frac{1}{2} {\dot{φ}}^{⊤} A_{φ} \dot{φ} + {\dot{φ}}^{⊤} B \dot{q}}{\underset{︸}{\frac{1}{2} [\begin{matrix} {\dot{q}}^{⊤} & {\dot{φ}}^{⊤} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{q} & B^{⊤} \\ B & A_{φ} \end{matrix}] [\begin{matrix} \dot{q} \\ \dot{φ} \end{matrix}]}} + \underset{ℒ_{1}}{\underset{︸}{a \cdot \dot{q} + b \cdot \dot{φ}}} + ℒ_{0},$

(2.123)

és eszerint

$ψ = A_{φ} (q, t) \dot{φ} + B (q, t) \dot{q} + b (q, t) = ψ_{0} = állandó .$

(2.124)

Ebből, feltételezve, hogy $\det A_{φ} = 0$ , a ciklikus koordináta sebességek kifejezhetők:

$\dot{φ} = A_{φ}^{- 1} (ψ - B \dot{q} - b) \equiv \dot{φ} (q, \dot{q}, ψ, t) .$

(2.125)

2.2.10.2. A Routh-függvény

Képezzük most a Hamilton-függvény mintájára az ún. Routh-függvényt az alábbi módon:

$ℛ (q, \dot{q}, ψ, t) = ψ \cdot \dot{φ} - ℒ (q, \dot{q}, \dot{φ}, t) .$

(2.126)

Ebből a Hamilton-egyenletekhez hasonló levezetéssel a ciklikus koordinátákra kapjuk, hogy

$\dot{φ} = \frac{\partial ℛ}{\partial ψ}, \dot{ψ} = - \frac{\partial ℛ}{\partial φ} \equiv 0,$

(2.127)

a (2.126)-ból $ℒ$ -t kifejezve és a pozícionális koordinátákra vonatkozó Lagrange-egyenletekbe beírva pedig, hogy

$(\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial}{\partial q}) (\underset{ℒ (q, \dot{q}, \dot{φ}, t)}{\underset{︸}{ψ \cdot \dot{φ} - ℛ}}) \equiv$ $- \frac{d}{d t} \frac{\partial ℛ}{\partial \dot{q}} + \frac{\partial ℛ}{\partial q} = 0 .$

(2.128)

Tehát a pozícionális koordinátákra vonatkozó egyenletek Lagrange-típusúak, míg a ciklikus koordinátákéi Hamilton-típusúak.

Mivel a Routh-függvény explicit nem függ a ciklikus koordinátáktól, a pozícionális koordinátákra vonatkozó — Lagrange-típusú — Routh-egyenletek is függetlenek lesznek $φ_{l} (t)$ -től (a kezdeti feltételek által meghatározott állandó $ψ_{0}$ kifejezésen keresztüli függést leszámítva), ezért a ciklikus koordinátákat elhanyagolható koordinátáknak is nevezik. A ciklikus koordinátákra vonatkozó — Hamilton-típusú — egyenletek a mechanikai rendszer rejtett mozgását írják le, melyektől független a pozícionális koordináták által leírt mozgás.

A pozícionális koordinátákra vonatkozó egyenletek megoldása

$q_{k} = q_{k} (t, c_{l}, c_{i}, {c^{'}}_{i}), (ψ_{0} = [c_{l}], i = 1, \dots, m, l = m + 1, \dots, n)$

(2.129)

ahol $2 m + n - m = n + m$ integrálási állandónk van $(c_{l}, c_{i}, {c^{'}}_{i})$ .

A rejtett mozgást pedig a következő mozgástörvény írja le:

$φ_{l} = \int \frac{\partial ℛ}{\partial ψ_{l}} d t + {c^{'}}_{l}, (l = m + 1, \dots, n),$

(2.130)

ahol újabb $n - m$ darab integrálási állandó $({c^{'}}_{l})$ jelenik meg (azaz összesen $2 n$ darab).

2.2.10.3. Példa

Vizsgáljuk a vízszintes, sima asztallapon körbe-körbe mozgó $m$ tömeget, amihez egy, az asztalon lévő furaton áthúzott $l$ hosszúságú kötéllel egy másik $m$ tömeget rögzítünk az asztal alatt.

Feltételezve, hogy a kötél ideális és nem lazul meg, tehát egy tartós geometriai kényszert jelent a két test között, és az asztal alatti tömeg csak függőleges irányban mozdul el, két szabadságfokú mozgások alakulhatnak ki. Legyen az előbb leírt mechanikai rendszer helyzetét egyértelműen megadó két általános koordináta az asztallapon mozgó tömeg furattól mért $r$ távolsága és a furat és az előbbi $m$ tömeg közötti kötéldarabnak az asztal széléhez viszonyított $φ$ szöge:

$q_{1} = r, q_{2} = φ .$

Ezekkel a rendszer $T$ kinetikus és $U$ potenciális energiája:

$T = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + {(r \dot{φ})}^{2}) + \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2}, U = - m g (l - r) .$

Az ezek által meghatározott Lagrange-függvény:

$ℒ = T - U \equiv T_{2} (r, \dot{r}, \dot{φ}) - U (r),$

azaz látható, hogy a $φ$ koordináta ciklikus.

Mivel a rendszer konzervatív, a $ℋ$ Hamilton-függvény megegyezik a mechanikai összenergiával:

$ℋ = ℒ_{2} - ℒ_{0} \equiv T_{2} + U \equiv ℰ .$

Határozzuk meg a $φ$ koordinátához tartozó $ψ$ általános impulzust a definíció alapján:

$ψ = \frac{\partial ℒ}{\partial \dot{φ}} \equiv m r^{2} \dot{φ}, ahonnan \dot{φ} = \frac{ψ}{m r^{2}} .$

Írjuk fel a Routh-függvényt:

$ℛ (r, \dot{r}, ψ) = ψ \dot{φ} (ψ) - ℒ (r, \dot{r}, \dot{φ} (ψ)) \equiv \dots$

Erre azonban a Routh-egyenletek felírásához nincsen feltétlen szükség, hiszen a pozícionális koordinátához tartozó főmozgás differenciálegyenletét a másodfajú Lagrange-egyenletből is származtathatjuk:

$- (\frac{d}{d t} \frac{\partial ℛ}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial ℛ}{\partial r}) \equiv \frac{d}{d t} \frac{\partial ℒ}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial ℒ}{\partial r} \equiv 2 m \ddot{r} - m r {\dot{φ}}^{2} + m g = 0,$

amiből $\dot{φ}$ -t az általános impulzus bevezetésével kiküszöbölhetjük.

A ciklikus koordináta rejtett mozgásának Hamilton-típusú egyenleteinek első felét az általános impulzusból kifejezett $\dot{φ}$ képlete adja, a másik fele pedig $φ$ ciklikussága miatt a $\dot{ψ} = 0$ egyenlet lesz:

	$\dot{φ} = \frac{\partial ℛ}{\partial ψ} \equiv \frac{ψ}{m r^{2}},$
	$\dot{ψ} = - \frac{\partial ℛ}{\partial φ} \equiv 0.$

Tehát a $ψ$ általános impulzus a kezdeti feltételektől függő állandó:

$ψ_{0} \equiv m r_{0}^{2} ω_{0},$

és ezzel a főmozgás differenciálegyenlete:

$2 \ddot{r} - r \frac{ψ_{0}^{2}}{m^{2} r^{4}} + g = 0 \Rightarrow 2 \ddot{r} - \frac{r_{0}^{4}}{r^{3}} ω_{0}^{2} + g = 0.$

Az egyenletből látszik, hogyha a kezdeti szögsebesség $ω_{0} = \sqrt{g / r_{0}}$ , akkor $\ddot{r} = 0$ , vagyis az asztallapon lévő tömeg egyenletes körmozgást fog végezni $(\dot{φ} = ω_{0})$ .

(További példák: forgó rúdon rezgő tömeg, rúd egyensúlyozás, gömbi inga.)

^[2] A gyakorlatban ezeket az egyenleteket nem a Hamilton-függvény deriválásával állítjuk elő, hanem a (2.113) egyenletből illetve a másodfajú Lagrange-egyenletbe (2.109)-et behelyettesítve, amiből aztán ${\dot{q}}_{k}$ -ot (2.113) alapján kiküszöböljük.

Vissza	Fel	Előre
1. fejezet - A mozgásvizsgálat elemei	Főoldal	3. fejezet - Mozgások jellemzése és stabilitása