5. fejezet - Robotok kinematikai és dinamikai alapegyenletei

5. fejezet - Robotok kinematikai és dinamikai alapegyenletei
Vissza	2. rész - rész	Előre

Tartalom

5.1. Geometriai összefüggések

5.1.1. Homogén transzformációk

5.2. Kinematikai alapegyenletek

5.2.1. A robot Jacobi-mátrixa

5.3. Dinamikai egyenletek

5.4. Anholonom rendszerek mozgásegyenletei

5.4.1. Routh–Voss-egyenletek

5.4.2. Appell–Gibbs-egyenletek

5.4.2.1. A kvázisebességek
5.4.2.2. A Gibbs-féle gyorsulásenergia és a mozgásegyenletek

5.4.3. Merev test mozgásegyenletei

5.4.3.1. Bevásárló kocsi anholonom modellje

5.1. Geometriai összefüggések

Bár az iparban alkalmazott robotok különböző felépítésűek lehetnek, jelentős részük merev tagokból álló nyílt láncú, elágazás nélküli olyan mechanizmusként modellezhető, melynek szomszédos tagjait egy szabadságfokú (transzlációs vagy rotációs) ízületek kapcsolják össze.

Egy nyílt láncú $n$ -DOF robot esetén tehát az $i$ -edik tag helyzetét (pozícióját és orientációját) csak a láncban őt megelőző tagok helyzete és a hozzá tartozó csuklóváltozó értéke határozza meg. A rögzített bázis vagy nullás tagot $B$ -vel illetve 0-val jelöljük, míg a manipulátor tag az $n$ -edik tag, melyet $E$ -vel is szokás azonosítani.

5.1.1. Homogén transzformációk

Egy $P$ pont helyzetét megadó, az $i$ -edik taghoz rögzített $K R_{i}$ koordiánátarendszerben értelmezett ${\vec{r}}_{P}^{i}$ helyvektor és a bázishoz rögzített $K R_{B}$ koordinátarendszerben értelmezett ${\vec{r}}_{P}^{B}$ helyvektorok között lineáris transzformációkkal adhatjuk meg a kapcsolatot. Ehhez tekintsük először az ${\vec{r}}_{P}^{i - 1}$ és ${\vec{r}}_{P}^{i}$ vektorok közötti kapcsolatot:

${\vec{r}}_{P}^{i - 1} = {\vec{p}}_{i}^{i - 1} + {\vec{r}}_{P}^{i},$

ahol ${\vec{p}}_{i}^{i - 1}$ a $K R_{i}$ koordinátarendszer $O_{i}$ origójába mutató helyvektor a $K R_{i - 1}$ -ben.

Amennyiben a vektorokat a megfelelő koordinátákkal reprezentáljuk, akkor figyelembe kell venni a koordinátatengelyek közötti forgatási transzformációt is:

$r_{P}^{i - 1} = p_{i}^{i - 1} + R_{i - 1, i} r_{P}^{i} .$

Itt tehát $R_{i - 1, i}$ a $K R_{i}$ -beli bázisvektoroknak $K R_{i - 1}$ -beli reprezentációjából felépített mátrix:

$R_{i - 1, i} = [x_{i}^{i - 1}, y_{i}^{i - 1}, z_{i}^{i - 1}] .$

Az egyes koordinátarendszerek közötti forgatási és eltolási transzformációt az alábbi homogén transzformációval is megadhatjuk:

$\underset{{\tilde{r}}_{P}^{i - 1}}{\underset{︸}{[\begin{matrix} r_{P}^{i - 1} \\ 1 \end{matrix}]}} = \underset{A_{i - 1, i}}{\underset{︸}{[\begin{matrix} R_{i - 1, i} & p_{i}^{i - 1} \\ 000 & 1 \end{matrix}]}} \underset{{\tilde{r}}_{P}^{i}}{\underset{︸}{[\begin{matrix} r_{P}^{i} \\ 1 \end{matrix}]}},$

azaz célszerű a háromdimenziós $r_{P}^{i}$ helyvektorok helyett a négydimenziós ${\tilde{r}}_{P}^{i}$ vektort használni. A továbbiakban a helyvektorok alatt mindig ezt a négydimenziós változatot értjük és az egyszerűség kedvéért a ~-t elhagyjuk.

Az $A_{i - 1, i}$ transzformáció mátrixa a Denavit–Hartenberg-koordináták segítségével algoritmizálva megadható, amennyiben

az $i - 1$ -edik és $i$ -edik tag a $J_{i}$ ízületben csatlakozik;
az $i - 1$ -edik taghoz rögzített $K R_{i - 1}$ koordinátarendszer $z_{i - 1}$ $J_{i}$ ízület „tengelye”;
az $x_{i}$ tengely a $z_{i - 1}$ és $z_{i}$ tengelyek normáltranszverzálisa;
az $O_{i}$ origó az $x_{i}$ és $z_{i}$ metszéspontja;
a $H_{i}$ pont az $x_{i}$ és $z_{i - 1}$ metszéspontja;
$d_{i}$ az $x_{i}$ és $x_{i - 1}$ tengelyek távolsága ( $d_{i} = \bar{O_{i - 1} H_{i}}$ , pontosabban ${\vec{r}}_{H_{i}}^{i - 1} = d_{i} {\vec{z}}_{i - 1})$ ;
$ϑ_{i}$ az a szög, amellyel $x_{i - 1}$ -et $z_{i - 1}$ körül elforgatva $x_{i}$ -vel párhuzamos tengelyt kapunk: ${\vec{x}}_{i - 1} \times {\vec{x}}_{i} = {\vec{z}}_{i - 1} \sin ϑ_{i}$ ;
$a_{i}$ a $z_{i}$ és $z_{i - 1}$ tengelyek távolsága ( $a_{i} = \bar{H_{i} O_{i}}$ , pontosabban ${\vec{r}}_{H_{i}}^{i} = - a_{i} {\vec{x}}_{i}$ , tehát ${\vec{p}}_{i}^{i - 1} = d_{i} {\vec{z}}_{i - 1} + a_{i} {\vec{x}}_{i}$ );
$α_{i}$ pedig az a szög, amellyel $z_{i - 1}$ -et $x_{i}$ körül elforgatva $z_{i}$ -vel párhuzamos tengelyt kapunk: ${\vec{z}}_{i - 1} \times {\vec{z}}_{i} = {\vec{x}}_{i} \sin α_{i}$ ;

Ezek közül

$a_{i}$ , $α_{i}$ : geometriai függő állandó;
$ϑ_{i}$ : forgó kapcsolatnál,
$d_{i}$ : prizmatikus kapcsolatnál változik.

Így az $i$ -edik tag transzformációs mátrixa tehát a $z_{i - 1}$ tengely mentén történő $d_{i}$ eltolás és akörüli $ϑ_{i}$ elforgatás, valamint az $x_{i}$ tengely mentén történő $a_{i}$ eltolás és akörüli $α_{i}$ elforgatás transzformációk egymásutánjaként is felfogható:

$A_{i - 1, i} (q_{i}) = \underset{S_{z_{i - 1}}}{\underset{︸}{T r_{z} (d_{i}) R o t_{z} (ϑ_{i})}} \underset{S_{x_{i}}}{\underset{︸}{T r_{x} (a_{i}) R o t_{x} (α_{i})}}, (q_{i} = ϑ_{i} v . d_{i})$

ahol

$S_{x_{i}} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & a_{i} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & C α_{i} & - S α_{i} & 0 \\ 0 & S α_{i} & C α_{i} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & a_{i} \\ 0 & C α_{i} & - S α_{i} & 0 \\ 0 & S α_{i} & C α_{i} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

és

	$S_{z_{i - 1}} = [\begin{matrix} C ϑ_{i} & - S ϑ_{i} & 0 & 0 \\ S ϑ_{i} & C ϑ_{i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_{i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
	$\Rightarrow A_{i - 1, i} = S_{z_{i - 1}} S_{x_{i}} \equiv [\begin{matrix} C ϑ_{i} & - S ϑ_{i} C α_{i} & S ϑ_{i} S α_{i} & a_{i} C ϑ_{i} \\ S ϑ_{i} & C ϑ_{i} C α_{i} & - C ϑ_{i} S α_{i} & a_{i} S ϑ_{i} \\ 0 & S α_{i} & C α_{i} & d_{i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

Ezzel tehát

$r_{P}^{i - 1} = S_{z_{i - 1}} S_{x_{i}} r_{P}^{i},$

és egy hat szabadságfokú nyílt láncú robot nullás és hatos tagjához rögzített koordinátarendszerben ugyanazon $P$ pontot megadó $r_{P}^{0}$ és $r_{P}^{6}$ helyvektorok közötti kapcsolat tehát:

$r_{P}^{0} = \underset{_{A_{06} (q_{1}, \dots, q_{6})}}{\underset{︸}{A_{01} (q_{1}) A_{12} (q_{2}) \dots A_{56} (q_{6})}} r_{P}^{6} .$

A direkt kinematikai feladatban az egyes tagok relatív pozícióját közvetlenül meghatározó $q_{i}$ általános koordináták ( $d_{i}$ vagy $ϑ_{i}$ ) előírásával az $A_{0 m}$ transzformációs mátrix ismert és így $r_{P}^{0}$ is meghatározható $r_{P}^{m}$ ismeretében.

Az inverz kinematikai feladatnál adott a manipulátorhoz rögzített $K R_{m}$ koordinátarendszer $O_{m}$ origójának ${\vec{p}}_{m}^{0}$ helyvektora és a koordinátarendszer tengelyeinek (azaz a manipulátornak) orientációja a ${\vec{x}}_{m}, {\vec{y}}_{m} �s {\vec{z}}_{m}$ bázisvektorok által, tehát ismert az $A_{0 m}$ transzformáció mátrixa és keresett a $q_{i}$ koordináták azon értéke, melyekkel $A_{0 m}$ kiadódik.

5.2. Kinematikai alapegyenletek

5.2.1. A robot Jacobi-mátrixa

Az $i$ -edik tag súlypontjának hely- és sebességvektora:

$r_{i}^{0} = A_{0, i} r_{i}^{i} \dot{\Rightarrow} v_{i} = \sum_{k = 1}^{n} {\dot{q}}_{k} \frac{\partial A_{0, i}}{\partial q_{k}} r_{i}^{i}$

de vegyük észre, hogy

$\frac{\partial A_{0, i}}{\partial q_{k}} \equiv A_{0,1} (q_{1}) \dots \frac{\partial A_{k - 1, k}}{\partial q_{k}} \dots A_{i - 1, i} (q_{i}) = U_{i k} (q) .$

Tehát az $i$ -edik tag súlypontjának sebességvektora:

$v_{i} = \sum_{k = 1}^{n} {\dot{q}}_{k} U_{i k} r_{i}^{i} \equiv J_{v_{i}} (q) \dot{q}$

Az $i$ -edik tag relatív szögsebessége ( $q_{i} = ϑ_{i}$ ):

${\vec{ω}}_{i - 1, i} = {\dot{q}}_{i} {\vec{z}}_{i - 1} \Rightarrow ω_{i - 1, i} = {\dot{q}}_{i} R_{0, i - 1} \underset{z}{\underset{︸}{{[0,0,1]}^{⊤}}}$

és így az $i$ -edik tag abszolút szögsebessége:

$ω_{i} = \sum_{k = 1}^{i} ω_{k - 1, k} \equiv \sum_{k = 1}^{i} δ_{k} {\dot{q}}_{k} R_{0, k - 1} z \equiv J_{ω_{i}} (q) \dot{q},$

ahol

$δ_{k} = {\begin{array}{l} 0, ha J_{k} prizmatikusiz�let, \\ 1, ha J_{k} rot�ci�siz�let . \end{array}$

A robot egyes tagjainak súlypontba redukált kinematikai vektorkettőseit tartalmazó kinematikai vektor és az általános koordináták vektora között a Jacobi-mátrix teremt kapcsolatot:

$[\begin{matrix} {v_{i}} \\ {ω_{i}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {J_{v_{i}} (q)} \\ {J_{ω_{i}} (q)} \end{matrix}] \dot{q} \equiv J (q) \dot{q} .$

5.3. Dinamikai egyenletek

A robot mozgásegyenleteit holonom (geometriai) kényszerek esetén a másodfajú Lagrange-egyenletek segítségével vezethetjük le. Ehhez az előzőekben meghatározott sebesség- és szögsebességvektorokkal fel kell írnunk a kinetikus energiát:

$T = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} v_{i}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} ω_{i}^{⊤} \underset{Θ_{i}^{0}}{\underset{︸}{R_{0, i} Θ_{i} R_{0, i}^{⊤}}} ω_{i} \equiv \frac{1}{2} [{v_{i}^{⊤}}, {ω_{i}^{⊤}}] \underset{M (q)}{\underset{︸}{[\begin{matrix} {M_{i}} & 0 \\ 0 & {Θ_{i}^{0}} \end{matrix}]}} [\begin{matrix} {v_{i}} \\ {ω_{i}} \end{matrix}]$

azaz

$T = \frac{1}{2} {\dot{q}}^{⊤} D (q) \dot{q}, D (q) = J^{⊤} (q) M (q) J (q) .$

Ezzel a Lagrange-függvény a nehézségi erő és egyéb potenciálos erők potenciálfüggvényével:

$ℒ (q_{k}, {\dot{q}}_{k}) = T (q_{k}, {\dot{q}}_{k}) - U (q_{k}) \equiv \frac{1}{2} d_{i j} (q_{k}) {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j} - U (q_{k}) .$

A másodfajú Lagrange-egyenlet pedig a disszipatív tagoktól eltekintve:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial} ℒ {\dot{q}}_{k} - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{k}} \equiv d_{k j} {\ddot{q}}_{j} + (\frac{\partial d_{k j}}{\partial q_{i}} - \frac{1}{2} \frac{\partial d_{i j}}{\partial q_{k}}) {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j} + \frac{\partial U}{\partial q_{k}} = τ_{k},$

ahol $τ_{k}$ a motornyomatékokból illetve egyéb erőkből származó $k$ -adik általános erő, amit az erők virtuális teljesítményéből határozhatunk meg.

5.4. Anholonom rendszerek mozgásegyenletei

Az korábban levezetett elsőfajú Lagrange-egyenletek az anyagi pontrendszerek általános mozgásegyenleteinek tekinthetők — mind geometriai, mind kinematikai kényszerek esetén érvényesek —, azonban a rendszer szabadsági fokánál több ismeretlen skalárfüggvényt (konfigurációs változót) tartalmaznak és az egyenletrendszer is kevert, ún. differenciál-algebrai egyenletrendszer (DAE).

Felmerül a kérdés, hogy holonom rendszerekre vonatkozó másodfajú Lagrange-egyenletekhez hasonló egyenletek felírhatók-e, illetve hogy a másodfajú Lagrange-egyenletek hogyan módosulnak kinematikai kényszerek, tehát anholonom rendszer esetén. A levezetéseket most is pontrendszerre végezzük el, amit általánosíthatónak tekintünk merev testekre is.

5.4.1. Routh–Voss-egyenletek

Tekintsük az $N$ anyagi pontból álló térbeli mechanikai rendszert, melyek között $g$ darab geometriai és $κ$ darab kinematikai kényszer írható fel. Válasszunk $3 N - g$ darab $q_{k}$ általános koordinátát, melyekkel az anyagi pontok $r_{i}$ helyvektorai kifejezhetők és a geometriai kényszerfeltételek automatikusan teljesülnek:

$r_{i} \equiv r_{i} (q_{k}, t),$

továbbá tegyük fel, hogy a kinematikai kényszerek a sebességvektorok lineáris kifejezései:

${\tilde{f}}_{j} (r_{i}, {\dot{r}}_{i}, t) \equiv \sum_{p = 1}^{N} {\tilde{f}}_{j p} (r_{i}, t) \cdot {\dot{r}}_{p} + {\tilde{f}}_{j 0} (r_{i}, t) = 0, azaz {\tilde{f}}_{j p} = \frac{\partial {\tilde{f}}_{j}}{\partial {\dot{r}}_{p}}, (j = 1, \dots, κ) .$

A sebességvektorok és az általános sebességek közötti összefüggéssel a kényszeregyenletek felírhatók az általános koordinátákkal és sebességekkel:

${\dot{r}}_{i} = \sum_{l = 1}^{3 N - g} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l} + \frac{\partial r_{i}}{\partial t} \Rightarrow$ $A_{j l} (q_{k}, t) {\dot{q}}_{l} + A_{j 0} (q_{k}, t) = 0, (j = 1, \dots, κ),$

(5.1)

ahol $A_{j l} = {\tilde{f}}_{j p} \cdot \frac{\partial r_{p}}{\partial q_{l}}$ és $A_{j 0} = {\tilde{f}}_{j 0} + {\tilde{f}}_{j p} \cdot \frac{\partial r_{p}}{\partial t}$ .

A virtuális sebességek közötti kapcsolat illetve feltétel:

$δ {\dot{r}}_{i} = \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{l}} δ {\dot{q}}_{l} és A_{j l} δ {\dot{q}}_{l} = 0,$

(5.2)

azaz most $δ {\dot{q}}_{k}$ -k nem függetlenek.

Megismételve a másodfajú Lagrange-egyenletek levezetését a virtuális teljesítmény elvének a d'Alembert-elvre alkalmazott változatából

$\sum_{i = 1}^{N} (m_{i} {\ddot{r}}_{i} - F_{i}) \cdot δ {\dot{r}}_{i} = 0, (\sum_{i = 1}^{N} K_{i} \cdot δ {\dot{r}}_{i} = 0)$

(5.3)

kapjuk, hogy

$\sum_{k = 1}^{3 N - g} (\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{\partial T}{\partial q_{k}} - Q_{k}) δ {\dot{q}}_{k} = 0, (δ = \sum_{i = 1}^{N} F_{i} \cdot δ {\dot{r}}_{i} \equiv Q_{k} δ {\dot{q}}_{k})$

(5.4)

de itt most $δ {\dot{q}}_{k}$ -k nem függetlenek. A Lagrange-féle multiplikátor módszerrel kiegészítve a fenti összefüggést viszont megfelelő $μ_{j}$ együtthatókkal $δ {\dot{q}}_{k}$ -k már függetlennek tekinthetők:

$(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{\partial T}{\partial q_{k}} - Q_{k} - μ_{j} A_{j k}) δ {\dot{q}}_{k} = 0 \Leftrightarrow$

(5.5)

$\Leftrightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{\partial T}{\partial q_{k}} = Q_{k} + μ_{j} A_{j k}, (k = 1, \dots,3 N - g) .$

Példa bevásárló kocsi, gördeszka, korcsolya, …

5.4.2. Appell–Gibbs-egyenletek

Az előzőekben levezetett Routh–Voss-egyenletek tehát az elsőfajú Lagrange-egyenleteknél $2 g$ -vel kevesebb, összesen $3 N - g + κ$ darab ismeretlent ( $q_{k}$ -t és $μ_{j}$ -t) tartalmaznak, de az egyenletek a kinematikai kényszerekkel együtt is differenciál-algebrai egyenletrendszernek tekinthetők, mivel csak a $q_{k}$ általános koordinátáknak szerepelnek az idő szerinti első illetve második deriváltjai az egyenletekben.

5.4.2.1. A kvázisebességek

A kinematikai kényszeregyenletek kiküszöbölése általános koordinátákkal nem lehetséges. Pontosabban az általános koordináták közül kiválasztható $n = 3 N - g - κ$ darab, melyek sebességeinek tetszőleges értékei esetében a kinematikai feltételek a többi általános sebesség megfelelő értékeivel még kielégíthetők. Általánosabban fogalmazva, választható $n$ darab $σ_{j}$ ún. kvázisebesség mint az általános sebességek bizonyos lineáris kombinációja:

$σ_{j} = B_{j k} {\dot{q}}_{k}, (j = 1, \dots, n) .$

(5.6)

Ez célszerűen úgy történik, hogy a kinematikai kényszerek (5.1) lineáris egyenletrendszerét kiegészítjük a fenti egyenletrendszerrel oly módon, hogy az így kapott

$[\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}] \dot{q} = [\begin{matrix} a \\ σ \end{matrix}]$

(5.7)

lineáris egyenletrendszer $(κ + n) \times (3 N - g)$ méretű (négyzetes) együtthatómátrixa reguláris, azaz invertálható legyen ( $A = [A_{j k}]$ , $B = [B_{j k}],$ $a = [- A_{j 0}]$ stb.). Így már az általános sebességek kifejezhetők a kvázi sebességek lineáris kombinációjaként:

$\dot{q} = C σ + c, (C = [C_{i j}]) .$

(5.8)

Ezzel a virtuális sebességvektorok és a virtuális kvázisebességek közötti kapcsolat:

$δ {\dot{r}}_{i} = \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{l}} C_{l j} δ σ_{j} \equiv γ_{i j} δ σ_{j} .$

(5.9)

5.4.2.2. A Gibbs-féle gyorsulásenergia és a mozgásegyenletek

Vezessük be a kinetikus energia mintájára a következő, ún. Gibbs-függvényt és tekintsük a ${\dot{σ}}_{j}$ -k szerinti parciális deriváltját:

$G = \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} {\ddot{r}}_{i}^{2} \Rightarrow \frac{\partial G}{\partial {\dot{σ}}_{j}} \equiv \sum_{i = 1}^{N} m_{i} {\ddot{r}}_{i} \cdot \frac{\partial {\ddot{r}}_{i}}{\partial {\dot{σ}}_{j}} \equiv \sum_{i = 1}^{N} m_{i} {\ddot{r}}_{i} \cdot γ_{i j},$

(5.10)

mivel

${\dot{r}}_{i} = γ_{i j} σ_{j} + \dots \Rightarrow {\ddot{r}}_{i} = γ_{i j} {\dot{σ}}_{j} + {\dot{γ}}_{i j} σ_{j} + \dots \Rightarrow \frac{\partial {\ddot{r}}_{i}}{\partial {\dot{σ}}_{j}} = γ_{i j} .$

(5.11)

Ezzel a d'Alembert-elv:

$\sum_{i = 1}^{N} (m_{i} {\ddot{r}}_{i} - F_{i}) \cdot δ {\dot{r}}_{i} \equiv \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{N} (m_{i} {\ddot{r}}_{i} \cdot γ_{i j} - F_{i} \cdot γ_{i j}) δ σ_{j} \equiv (\frac{\partial G}{\partial {\dot{σ}}_{j}} - Π_{j}) δ σ_{j} = 0,$

(5.12)

ahol már $δ σ_{j}$ -k tetszőlegesek, így a mozgásegyenleteknek a $σ_{j}$ kvázisebességekre és $q_{k}$ általános koordinátákra vonatkozó Appell–Gibbs-féle, a kinematikai kényszerekkel is kiegészített elsőrendű rendszere:

$\frac{\partial G}{\partial {\dot{σ}}_{j}} = Π_{j}, (j = 1, \dots, n)$

(5.13)

${\dot{q}}_{k} = C_{k j} σ_{j} + C_{k 0}, (k = 1, \dots, n + κ)$

(5.14)

ahol $Π_{j} = \sum F_{i} \cdot γ_{i j}$ az ún. kvázierő, amit a virtuális teljesítményből is meghatározhatunk:

$δ = \sum_{i = 1}^{N} F_{i} \cdot δ {\dot{r}}_{i} \equiv Π_{j} δ σ_{j} .$

(5.15)

5.4.3. Merev test mozgásegyenletei

A merev test gyorsulásenergiája (Gibbs-függvény):

$G = \frac{1}{2} \int_{(m)} a^{2} d m \equiv \frac{1}{2} m a_{S}^{2} + \frac{1}{2} ε^{⊤} Θ_{S} ε + ε \cdot (ω \times Θ_{S} ω) + \dots,$

mivel $a = a_{S} + ε \times R + ω \times (ω \times R)$ .

Ezzel az Appell–Gibbs-egyenletekből is származtathatjuk a Newton–Euler-egyenleteket szabad mozgás ( $n = 6$ DOF) esetén:

	$q = [\begin{matrix} r_{S} \\ φ \end{matrix}], σ = \dot{q} \equiv [\begin{matrix} v_{S} \\ ω \end{matrix}], δ \equiv F \cdot δ v_{S} + M_{S} \cdot δ ω = \underset{Π}{\underset{︸}{[\begin{matrix} F & M_{S} \end{matrix}]}} \cdot δ σ$
	$\Rightarrow \frac{\partial G}{\partial \dot{σ}} = Π : {\begin{matrix} \frac{\partial G}{\partial a_{S}} & \equiv & \nabla_{a_{S}} G & \equiv & m a_{S} & = & F, \\ \frac{\partial G}{\partial ε} & \equiv & \nabla_{ε} G & \equiv & Θ_{S} ε + ω \times Θ_{S} ω & = & M_{S} \end{matrix}$

5.4.3.1. Bevásárló kocsi anholonom modellje

Modell: az $x y$ síkban mozgó $m_{1}$ és $m_{2}$ tömegpontok, melyeket $l$ hosszúságú, tömeg nélküli merev rúd köt össze. A pontrendszer mozgását az $m_{1}$ tömegre ható, rúdirányú $F_{1}$ erővel, valamint az $m_{2}$ tömegre ható, a rúdra merőleges $F_{2}$ erővel befolyásoljuk. Az anholonom kényszert az $m_{1}$ tömegpont sebességvektorára írjuk elő: ez szintén csak rúdirányú lehet (azaz az itteni kerekek tengelye rögzített).

A kényszeregyenletek tehát:

$f \equiv {(r_{2} - r_{1})}^{2} - l^{2} = 0, \tilde{f} \equiv k \times (r_{2} - r_{1}) \cdot {\dot{r}}_{1} = 0.$

Így az elsőfajú Lagrange-egyenletek:

	$m_{1} {\ddot{r}}_{1} = F_{1} + λ \frac{\partial f}{\partial r_{1}} + μ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\dot{r}}_{1}} \equiv (\frac{F_{1}}{l} - λ) (r_{2} - r_{1}) + μ k \times (r_{2} - r_{1}),$
	$m_{2} {\ddot{r}}_{2} = F_{2} + λ \frac{\partial f}{\partial r_{2}} + μ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\dot{r}}_{2}} \equiv (\frac{F_{2}}{l} [k \times] + λ) (r_{2} - r_{1}),$

amit kifejtve skaláregyenletrendszerré:

	$m_{1} {\ddot{x}}_{1} = F_{1} \frac{x_{2} - x_{1}}{l} - λ (x_{2} - x_{1}) - μ (y_{2} - y_{1}),$
	$m_{1} {\ddot{y}}_{1} = F_{1} \frac{y_{2} - y_{1}}{l} - λ (y_{2} - y_{1}) + μ (x_{2} - x_{1}),$
	$m_{2} {\ddot{x}}_{2} = - F_{2} \frac{y_{2} - y_{1}}{l} + λ (x_{2} - x_{1}),$
	$m_{2} {\ddot{y}}_{2} = F_{2} \frac{x_{2} - x_{1}}{l} + λ (y_{2} - y_{1})$

a két kényszeregyenlettel egy differenciál-algebrai egyenletrendszert kapunk ismeretlen $x_{1} (t), y_{1} (t), x_{2} (t), y_{2} (t), λ (t)$ és $μ (t)$ függvényekkel.

A $λ$ és $μ$ multiplikátorok az egyenletek alábbi lineáris kombinációjával kiküszöbölhetők:

	$(m_{1} {\ddot{r}}_{1} + m_{2} {\ddot{r}}_{2}) \cdot (r_{2} - r_{1}) = (F_{1} + F_{2}) \cdot (r_{2} - r_{1}) \equiv F_{1} l$
	$m_{2} ({\ddot{r}}_{2} \times k) \cdot (r_{2} - r_{1}) = (F_{2} \times k) \cdot (r_{2} - r_{1}) \equiv F_{2} l,$

azaz

	$(m_{1} {\ddot{x}}_{1} + m_{2} {\ddot{x}}_{2}) (x_{2} - x_{1}) + (m_{1} {\ddot{y}}_{1} + m_{2} {\ddot{y}}_{2}) (y_{2} - y_{1}) = F_{1} l$
	$m_{2} ({\ddot{y}}_{2} (x_{2} - x_{1}) - {\ddot{x}}_{2} (y_{2} - y_{1})) = F_{2} l + f = 0, \tilde{f} = 0 (v . \ddot{f} = 0, \dot{\tilde{f}} = 0) .$

Az egyenletek egyszerűbb alakját kapjuk, ha a geometriai ( $f = 0$ ) kényszeregyenleteknek megfelelő, $2 N - g = 3$ darab általános koordinátát választunk $(x_{1}, y_{1} �s φ)$ , azaz

$r_{1} = [\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}], r_{2} = r_{1} + [\begin{matrix} l \cos φ \\ l \sin φ \end{matrix}] \Rightarrow {\dot{r}}_{2} = [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} - l \dot{φ} \sin φ \\ {\dot{y}}_{1} + l \dot{φ} \cos φ \end{matrix}] .$

Viszont teljesülni kell még a kinematikai kényszeregyenletnek is:

$\tilde{f} \equiv - l {\dot{x}}_{1} \sin φ + l {\dot{y}}_{1} \cos φ = 0.$

Ezekkel a kinetikus energia és az erők virtuális teljesítménye:

	$T = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{r}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{r}}_{2}^{2} \equiv \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{y}}_{1}^{2}) + \frac{m_{2}}{2} (l^{2} {\dot{φ}}^{2} - 2 l \dot{φ} ({\dot{x}}_{1} \sin φ - {\dot{y}}_{1} \cos φ)),$
	$δ P = F_{1} \cdot δ {\dot{r}}_{1} + F_{2} \cdot δ {\dot{r}}_{2} \equiv F_{1} (δ {\dot{x}}_{1} \cos φ + δ {\dot{y}}_{1} \sin φ) + F_{2} (- δ {\dot{x}}_{1} \sin φ + δ {\dot{y}}_{1} \cos φ) + F_{2} l δ \dot{φ} .$

A kinetikus energia deriváltjai:

	$\frac{\partial T}{\partial \dot{x}} = (m_{1} + m_{2}) {\dot{x}}_{1} - m_{2} l \dot{φ} \sin φ, \frac{\partial T}{\partial x} = 0,$
	$\frac{\partial T}{\partial \dot{y}} = (m_{1} + m_{2}) {\dot{y}}_{1} + m_{2} l \dot{φ} \cos φ, \frac{\partial T}{\partial y} = 0,$
	$\frac{\partial T}{\partial \dot{φ}} = m_{2} l^{2} \dot{φ} - m_{2} l ({\dot{x}}_{1} \sin φ - {\dot{y}}_{1} \cos φ),$
	$\frac{\partial T}{\partial φ} = - m_{2} l \dot{φ} ({\dot{x}}_{1} \cos φ + {\dot{y}}_{1} \sin φ) .$

A Routh–Voss-féle mozgásegyenletek $(\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{\partial T}{\partial q_{k}} \end{matrix} \begin{matrix} = Q_{k} + μ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\dot{q}}_{k}} \end{matrix})$ tehát:

	$(m_{1} + m_{2}) {\ddot{x}}_{1} - m_{2} l (\ddot{φ} \sin φ + {\dot{φ}}^{2} \cos φ) = F_{1} \cos φ - F_{2} \sin φ - μ \sin φ,$
	$(m_{1} + m_{2}) {\ddot{y}}_{1} + m_{2} l (\ddot{φ} \cos φ - {\dot{φ}}^{2} \sin φ) = F_{1} \sin φ + F_{2} \cos φ + μ \cos φ,$
	$m_{2} l^{2} \ddot{φ} - m_{2} l {\ddot{x}}_{1} \sin φ + m_{2} l {\ddot{y}}_{1} \cos φ = F_{2} l,$

melyek a kinematikai kényszeregyenlettel együtt egy kevert másod- illetve elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert alkotnak. Ezt Cauchy-átírással egy 7 dimenziós elsőrendű egyenletrendszerré lehet átírni, amiben viszont nem szerepelnek a $μ$ multiplikátor deriváltjai.

A kinematikai kényszeregyenleteket a $2 N - g - κ = 2$ darab kvázisebesség $(σ_{1}, σ_{2})$ választásával küszöbölhetjük ki. Egészítsük ki a kinematikai kényszeregyenletet a kvázisebességek és az általános koordinátasebességek közötti olyan lineáris összefüggésekkel, melyek segítségével az egyenletrendszerből az általános koordinátasebességek kifejezhetők lesznek. Például:

$[\begin{matrix} - \sin φ & \cos φ & 0 \\ \cos φ & \sin φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{y}}_{1} \\ \dot{φ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ σ_{1} \\ σ_{2} \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{y}}_{1} \\ \dot{φ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \sin φ & \cos φ & 0 \\ \cos φ & \sin φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ σ_{1} \\ σ_{2} \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} σ_{1} \cos φ \\ σ_{1} \sin φ \\ σ_{2} \end{matrix}] .$

Az Appell–Gibbs-egyenletek:

$\frac{\partial G}{\partial {\dot{σ}}_{j}} = Π_{j},$

melyek felírásához szükségünk lesz a Gibbs-féle gyorsulásenergiára és a virtuális teljesítményre is mint a kvázisebességek függvényei:

$G = \frac{1}{2} m_{1} {\ddot{r}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\ddot{r}}_{2}^{2}, δ = F_{1} δ σ_{1} + F_{2} l δ σ_{2} .$

A tömegek gyorsulásai tehát:

${\ddot{r}}_{1} = [\begin{matrix} {\dot{σ}}_{1} \cos φ - σ_{1} σ_{2} \sin φ \\ {\dot{σ}}_{1} \sin φ + σ_{1} σ_{2} \cos φ \end{matrix}], {\ddot{r}}_{2} = {\ddot{r}}_{1} + l [\begin{matrix} - {\dot{σ}}_{2} \sin φ - σ_{2}^{2} \cos φ \\ {\dot{σ}}_{2} \cos φ - σ_{2}^{2} \sin φ \end{matrix}] .$

A négyzetre emelés elkerülhető hiszen azaz az elsőrendű mozgásegyenletek a kinematikai kényszerekből nyert kifejezésekkel kiegészítve:

$\frac{\partial G}{\partial {\dot{σ}}_{j}} \equiv \sum_{i = 1}^{2} \frac{\partial G}{\partial {\ddot{r}}_{i}} \cdot \frac{\partial {\ddot{r}}_{i}}{\partial {\dot{σ}}_{j}}, \frac{\partial G}{\partial {\dot{σ}}_{1}} \equiv (m_{1} {\ddot{r}}_{1} + m_{2} {\ddot{r}}_{2}) \cdot [\begin{matrix} \cos φ \\ \sin φ \end{matrix}], \frac{\partial G}{\partial {\dot{σ}}_{2}} \equiv m_{2} {\ddot{r}}_{2} \cdot [\begin{matrix} - l \sin φ \\ l \cos φ \end{matrix}] .$

$(m_{1} + m_{2}) {\dot{σ}}_{1} - m_{2} l σ_{2}^{2} = F_{1},$

$m_{2} l σ_{1} σ_{2} + m_{2} l^{2} {\dot{σ}}_{2} = F_{2} l,$

${\dot{x}}_{1} = σ_{1} \cos φ,$

	${\dot{y}}_{1} = σ_{1} \sin φ,$
$\dot{φ} = σ_{2},$

ahol az első két egyenlet függetlenül megoldható, és $σ_{1} (t), σ_{2} (t)$ ismeretében adott kezdeti feltételekkel $x_{1} (t), y_{1} (t), φ (t)$ is kiintegrálható.

Speciális mozgások A $σ_{1} \equiv v$ és $σ_{2} \equiv ω$ paraméterű stacionárius mozgások feltétele az első két egyenletből

$- m_{2} l ω^{2} = F_{1}, m_{2} v ω = F_{2} .$

A stacionárius mozgások stabilitás vizsgálatához nézzük a variációs rendszert:

	$σ_{1} = v + u \sqrt{2 μ l}, σ_{2} = ω + \frac{w}{\sqrt{l}} \Rightarrow$
	$\sqrt{2 μ l} \dot{u} = μ l {(ω + \frac{w}{\sqrt{l}})}^{2} - μ l ω^{2},$
	$\frac{1}{\sqrt{l}} \dot{w} = \frac{v ω}{l} - \frac{1}{l} (v + u \sqrt{2 μ l}) (ω + \frac{w}{\sqrt{l}}),$

illetve rendezzük át $\dot{u} = J u + f_{(2)}$ alakra:

$[\begin{matrix} \dot{u} \\ \dot{w} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & \sqrt{2 μ} ω \\ - \sqrt{2 μ} ω & - \frac{v}{l} \end{matrix}] [\begin{matrix} u \\ w \end{matrix}] + [\begin{matrix} \sqrt{\frac{μ}{2 l}} w^{2} \\ - \sqrt{\frac{2 μ}{l}} u w \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} α w + f_{13} w^{2} \\ - α u - \frac{v}{l} w + f_{22} u w \end{matrix}] .$

A következő nemlineáris transzformációval normál formára rendezve (a $v = 0$ kritikus esetben):

$[\begin{matrix} u \\ w \end{matrix}] = [\begin{matrix} ξ + \frac{2}{3 ω \sqrt{l}} ξ η + \dots \\ η - \frac{2}{3 ω \sqrt{l}} ξ^{2} + \frac{1}{6 ω \sqrt{l}} η^{2} + \dots \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} \dot{ξ} \\ \dot{η} \end{matrix}] = \sqrt{2 μ} ω [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix}] + (ξ^{2} + η^{2}) [\begin{matrix} δ & β \\ - β & δ \end{matrix}] [\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix}],$

ahol

$δ = \frac{1}{8 α} ((f_{11} + \underline{f_{13}}) (f_{21} - f_{23} - f_{12}) + (f_{21} + f_{23}) (f_{11} - \underline{f_{13}} + \underline{f_{22}}) + α \cdot 0) \equiv 0$ .

Vissza	Fel	Előre
4. fejezet - Mechanizmusok vizsgálati módszerei	Főoldal	3. rész - Melléklet