4. fejezet - Példák – Tipikus nyíltláncú robotkarok

4. fejezet - Példák – Tipikus nyíltláncú robotkarok
Vissza	3. rész - Melléklet	Előre

Tartalom

4.1. Síkbeli könyök manipulátor
4.2. Hengeres robot
4.3. Gömbi csukló

A Denavit‑Hartenberg konvenció értelmében az egyetlen változó a $θ$ szög, a további paraméterek állandók. Továbbá a melléklet folyamán a következő egyszerűsített jelölést alkalmazzuk, amely a robotikai szakkönyvekben általános alkalmazott rövidítés, azaz

$c_{i} = \cos (θ_{i})$ , $s_{i} = \sin (θ_{i})$ , $c_{i j} = \cos (θ_{i} + θ_{j})$ , és $s_{i j} = \sin (θ_{i} + θ_{j})$ .

4.1. Síkbeli könyök manipulátor

Ahogy az ábrán is látható, a síkbeli könyök manipulátor (angolul: planar elbow manipulator) két kartagból áll.

4.1. ábra - Síkbeli könyök manipulátor [1.]

A csuklók $z_{0}, z_{1}, z_{2}$ tengelyei merőleges a lap síkjára, és kifelé mutatnak belőle. A manipulátor bázisát az ${O_{0}; x_{0}, y_{0}, z_{0}}$ koordináta rendszer jelzi. Fontos megjegyeznünk, hogy a koordináta rendszer felvétele során, a Denavit‑Hartenberg konvenciók értelmében a koordináta rendszer origóját, valamint a $z_{0}$ tengely irányát tudjuk megválasztani, az $x_{0}$ tengely iránya tetszőlegesen megválasztható, ezáltal az $y_{0}$ tengely iránya kiadódik. A további ${O_{1}; x_{1}, y_{1}, z_{1}}$ és ${O_{2}; x_{2}, y_{2}, z_{2}}$ koordináta rendszereket a Denavit‑Hartenberg konvenciók értelmében már definiálhatjuk.

A Denavit‑Hartenberg paramétereket az alábbi táblázatba foglaltuk össze

Kar	$a_{i}$	$α_{i}$	$d_{i}$	$θ_{i}$
1	$a_{1}$	0	0	$θ_{1}$
2	$a_{2}$	0	0	$θ_{2}$

Az ${O_{0}; x_{0}, y_{0}, z_{0}}$ koordináta rendszert az ${O_{1}; x_{1}, y_{1}, z_{1}}$ koordináta rendszerbe a $^{0} D_{1}$ transzfomációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{0}D_{1} = [\begin{matrix} c_{1} & - s_{1} & 0 & a_{1} c_{1} \\ s_{1} & c_{1} & 0 & a_{1} s_{1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

(4.1)

Az ${O_{1}; x_{1}, y_{1}, z_{1}}$ koordináta rendszert az ${O_{2}; x_{2}, y_{2}, z_{2}}$ koordináta rendszerbe az $^{1} D_{2}$ transzformációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{1}D_{2} = [\begin{matrix} c_{2} & - s_{2} & 0 & a_{2} c_{2} \\ s_{2} & c_{2} & 0 & a_{2} s_{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

(4.2)

Felhasználva a $^{0} D_{1}$ és $^{1} D_{2}$ transzformációs mátrixokat képezhetjük a $^{0} T_{2}$ transzformációs mátrixot, amely a bázis koordináta rendszert átszámolja a végberendezés koordináta rendszerébe, azaz

$^{0} T_{2} =^{0} D_{1}^{1} D_{2}$ ,

(4.3)

kifejtve

$^{0} T_{2} = [\begin{matrix} c_{12} & - s_{12} & 0 & a_{1} c_{1} + a_{2} c_{12} \\ s_{12} & c_{12} & 0 & a_{1} s_{1} + a_{2} s_{12} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

(4.4)

Elemezve a $^{0} T_{2}$ transzformációs mátrixot, vegyük észre, hogy a transzformációs mátrix (1,4) illetve a (2,4) eleme reprezentálja az $O_{2}$ origó x és y koordinátáit a bázis koordináta rendszerben leírva, azaz

$x = a_{1} c_{1} + a_{2} c_{12}$ ,

(4.5)

$y = a_{1} s_{1} + a_{2} s_{12}$ ,

(4.6)

amelyek továbbá a végberendezés koordinátái a bázis koordináta rendszerben. A $^{0} T_{2}$ transzformációs mátrix forgatási része pedig az ${O_{2}; x_{2}, y_{2}, z_{2}}$ koordináta rendszer orientációját mutatja a bázis koordináta rendszerhez képest.

4.2. Hengeres robot

Ahogy az ábrán is látható, a hengeres robot (angolul: cylindrical robot) három kartagból áll.

4.2. ábra - Hengeres robot [1.]

Az $O_{0}$ origó az 1. csukló, talajhoz rögzített bázis koordinátarendszerének origója. A $z_{0}$ tengely az origón fut keresztül és a csuklóból kifelé mutat (ezen tengely körül forog az 1. csukó). Az $x_{0}$ tengely irány tetszőlegesen megválasztható, ami választásunk, hogy az $x_{0}$ tengely merőleges a lap síkjára. Ebben az esetben a $θ_{1}$ paraméter értéke zérus. Ezután az $y_{0}$ tengely iránya már kiadódik.

A második csukló transzlációt hajt végre. Ez esetben a $z_{0}$ és $z_{1}$ tengelyek egymással párhuzamosak és ugyanabba az irányba mutatnak. Ebben az esetben is az $x_{1}$ tengely iránya tetszőlegesen megválasztható, de célszerű az $x_{0}$ tengellyel párhuzamosan és az $x_{0}$ tengellyel azonos irányba felvenni. A Denavit‑Hartenberg konvenciók értelmében $z_{1}$ és $z_{2}$ tengelyek merőlegesek egymásra, valamint az $O_{2}$ origó a tengelyek metszéspontjában helyezkedik el. Az $x_{2}$ tengelyt párhuzamosnak választjuk az $x_{1}$ tengellyel, tehát ebben az esetben $θ_{2}$ paraméter értéke zérus. Végezetül a végberendezéshez rögzített koordináta rendszert alakítjuk ki, amelynek tengelyei párhuzamosak az ${O_{2}; x_{2}, y_{2}, z_{2}}$ koordináta rendszerrel, azonban a koordináta rendszer origója a végberendezés középpontjában található.

A Denavit‑Hartenberg paramétereket az alábbi táblázatba foglaltuk össze

Kar	$a_{i}$	$α_{i}$	$d_{i}$	$θ_{i}$
1	0	0	$d_{1}$	$θ_{1}$
2	0	-90	$d_{2}$	0
3	0	0	$d_{3}$	0

Az ${O_{0}; x_{0}, y_{0}, z_{0}}$ koordináta rendszert az ${O_{1}; x_{1}, y_{1}, z_{1}}$ koordináta rendszerbe a $^{0} D_{1}$ transzfomációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{0}D_{1} = [\begin{matrix} c_{1} & - s_{1} & 0 & 0 \\ s_{1} & c_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

(4.7)

Az ${O_{1}; x_{1}, y_{1}, z_{1}}$ koordináta rendszert az ${O_{2}; x_{2}, y_{2}, z_{2}}$ koordináta rendszerbe az $^{1} D_{2}$ transzformációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{1}D_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & d_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

(4.8)

Az ${O_{2}; x_{2}, y_{2}, z_{2}}$ koordináta rendszert az ${O_{3}; x_{3}, y_{3}, z_{3}}$ koordináta rendszerbe az $^{2} D_{3}$ transzformációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{2}D_{3} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

(4.9)

Felhasználva a $^{0} D_{1}$ , $^{1} D_{2}$ és $^{2} D_{3}$ transzformációs mátrixokat képezhetjük a $^{0} T_{2}$ transzformációs mátrixot, amely a bázis koordináta rendszert átszámolja a végberendezés koordináta rendszerébe, azaz

$^{0} T_{3} =^{0} D_{1}^{1} D_{2}^{2} D_{3}$ ,

(4.10)

kifejtve

$^{0} T_{2} = [\begin{matrix} c_{1} & 0 & s_{1} & - s_{1} d_{3} \\ s_{1} & 0 & c_{1} & c_{1} d_{3} \\ 0 & - 1 & 0 & d_{1} + d_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

(4.11)

4.3. Gömbi csukló

Az alábbi ábrán egy gömbi csukló, vagy Euler csukló látható (angolul: spherical wrist).

4.3. ábra - Euler csukló [1.]

A gömbi csukló esetén a $z_{3}, z_{4}$ és $z_{5}$ tengelyek egy pontban metszik egymást, a 5. csukló koordinátarendszerének origójában. A Stanford manipulátor egy jó példája az ipari robotoknak, amely gömbi csuklóval rendelkezik. A Stanford manipulátor alapját egy RRP robot, vagy gömbkoordinátás robot képzi.

A Denavit‑Hartenberg paramétereket az alábbi táblázatba foglaltuk össze

Kar	$a_{i}$	$α_{i}$	$d_{i}$	$θ_{i}$
4	0	-90	0	$θ_{4}$
5	0	90	0	$θ_{5}$
6	0	0	$d_{6}$	$θ_{6}$

A gömbi csukló specialitása, hogy a $θ_{4}$ $θ_{5}$ $θ_{6}$ csuklóváltozók az Euler‑féle szögek, rendre $φ$ , $ϑ$ , és $ψ$ az ${O_{3}; x_{3}, y_{3}, z_{3}}$ koordináta rendszerben kifejezve. A korábbiak értelmében az ${O_{3}; x_{3}, y_{3}, z_{3}}$ koordináta rendszert az ${O_{4}; x_{4}, y_{4}, z_{4}}$ koordináta rendszerbe a $^{3} D_{4}$ transzfomációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{3}D_{4} = [\begin{matrix} c_{4} & 0 & - s_{4} & 0 \\ s_{4} & 0 & c_{4} & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

(4.12)

Az ${O_{4}; x_{4}, y_{4}, z_{4}}$ koordináta rendszert az ${O_{5}; x_{5}, y_{5}, z_{5}}$ koordináta rendszerbe az $^{4} D_{5}$ transzformációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{4}D_{5} = [\begin{matrix} c_{5} & 0 & s_{5} & 0 \\ s_{5} & 0 & - c_{5} & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

(4.13)

Az ${O_{5}; x_{5}, y_{5}, z_{5}}$ koordináta rendszert az ${O_{6}; x_{6}, y_{6}, z_{6}}$ koordináta rendszerbe az $^{5} D_{6}$ transzformációs mátrixszal vihetjük át, azaz

${}^{5}D_{6} = [\begin{matrix} c_{6} & - s_{6} & 0 & 0 \\ s_{6} & c_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

(4.14)

Felhasználva a $^{3} D_{4}$ , $^{4} D_{5}$ és $^{5} D_{6}$ transzformációs mátrixokat képezhetjük a $^{0} T_{2}$ transzformációs mátrixot, amely a bázis koordináta rendszert átszámolja a végberendezés koordináta rendszerébe, azaz

$^{3} T_{6} =^{3} D_{4}^{4} D_{5}^{5} D_{6}$ ,

(4.15)

kifejtve

$^{3} T_{6} = [\begin{matrix} c_{4} c_{5} c_{6} - s_{4} s_{6} & - c_{4} c_{5} s_{6} - s_{4} c_{6} & c_{4} s_{5} & c_{4} s_{5} d_{6} \\ s_{4} c_{5} c_{6} + c_{4} s_{6} & - s_{4} c_{5} s_{6} + c_{4} c_{6} & s_{4} s_{5} & s_{4} s_{5} d_{6} \\ - s_{5} c_{6} & s_{5} s_{6} & c_{5} & c_{5} d_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

(4.16)

Vissza	Fel	Előre
3. fejezet - Példa – A robotvezérlő program használati utasítása	Főoldal	5. fejezet - Példák – robotok csoportosítása