Az általános nemlineáris, ám koncentrált paraméterű és determinisztikus jelekkel leírható, időben és a jelek értékkészlete szerint is folytonos, egy bemenetű, egy kimenetű rendszer y(t) kimenete a rendszer struktúrájától, az u(t) gerjesztéstől és a kezdeti feltételektől függ. Ha egy képletben szeretnénk összefoglalni (a kezdeti feltételeket nem feltüntetve), a rendszer struktúrájának megfelelően szerepeltetnünk kell a bemenő és a kimenő jel deriváltjait is az f nemlineáris függvény független változói között

A lineáris, idővariáns (LTV = Linear Time Variant), dinamikus SISO rendszereket időtartományban közönséges, időtől függő együtthatós, lineáris, inhomogén differenciálegyenlettel adhatjuk meg. A differenciálegyenlet matematikában megszokott paraméteres alakjában a bal oldalon az y(t ) kimenő jel és deriváltjai szerepelnek időtől függő együtthatókkal szorozva, a jobb oldalon az u(t ) bemenő jel szerepel hasonlóan megadva:

Lineáris, időinvariáns (LTI, Linear Time Invariant), dinamikus SISO rendszerek időtartománybeli leképezése közönséges, állandó együtthatós, lineáris, inhomogén (K.Á.L.I.) differenciálegyenlettel történik. A K.Á.L.I. differenciálegyenlet matematikában megszokott paraméteres alakjában a baloldalon az y(t) kimenő jel és deriváltjai szerepelnek állandó együtthatókkal szorozva, a jobb oldalon pedig az u(t) bemenő jel szerepel hasonló formában:

A műszaki gyakorlatban elterjedtebb az időállandós alak, amelyből az arányos viselkedésű rendszer állandósult állapotbeli viselkedésére (erősítésére) egyszerűen következtethetünk, mivel a kimenő és a bemenő jel közvetlenül összehasonlítható.

A formálisan előállított időállandós alak a paraméteresnél kevésbé általános, hiszen a kimenő jel oldalán az integráló és a bemenő jel oldalán a differenciáló hatást nem tudjuk figyelembe venni, hiszen (y(t ) és u(t ) együtthatója egy).

Integráló jellegű rendszernél a kimenő jel együtthatója zérus.

Differenciáló jellegű rendszernél a bemenő jel együtthatója zérus.

A megvalósítható rendszerekre érvényes az n<=m összefüggés, vagyis a bemenő jel oldalán nem szerepelhet magasabb derivált, mint a kimenő jel oldalán.

A magasabb rendű differenciálegyenlet kezelése nehézkes, a rendszer belső állapotairól (a tárolók töltöttségéről) nem, vagy csak hosszadalmas számításokkal tájékozódhatunk.

Az állapottér modell a differenciálegyenlettel szemben folyamatosan tájékoztat a bonyolultabb rendszerek belső állapotairól. Az állapottér modellben az állapotváltozók minden időpillanatban megadják az extenzív mennyiségekkel (pl. anyag, energia, töltés) jellemezhető tárolók töltöttségét. Az állapotváltozókat oszlopvektorként adjuk meg, esetleg tömörebb leíráshoz transzponált sorvektor formában. Az állapotváltozók száma megegyezik a rendszerben lévő különböző energiatárolók számával.

Mivel a SISO rendszer a MIMO speciális esete, az általánosság érdekében először a MIMO rendszer állapottér modelljét írjuk fel. A rendszer bemeneteinek száma m, a kimenetek száma p, az állapotváltozók száma n.

Az általános MIMO állapottér modellben két alapvető összefüggést definiálunk. Az állapotegyenlet az állapotváltozók változását az állapotváltozók korábbi értéke és a bemenetek segítségével adja meg.

Az állapottér modellben nem olyan közvetlen a kimenet–bemenet kapcsolat, mint a differenciálegyenlet esetén, szükségünk van tehát egy második egyenletre, ami az állapotváltozókon keresztül megadja a kimenő jelek értékét. Ezt az egyenletet kimeneti vagy kicsatolási egyenletnek nevezzük.

1.1.1.2.2. Kanonikus alakú állapottér modell előállítása

A K.Á.L.I. differenciálegyenletből formálisan felírhatjuk a fázistér modellnek is nevezett, kanonikus alakú állapottér modellt. Ugyan a mindennapi gyakorlatban az így felírt egyenleteket is állapottér modellnek nevezzük, az elnevezés nem feltétlenül helyes, hiszen a formálisan előállított állapotváltozók (pontosabban fázisváltozók) nem feltétlenül felelnek meg a korábban állapotváltozóként definiált tárolók töltöttségnek.

Tekintsük az (1.1. ábra - Mechanikai rendszer (ütköző) szerkezeti vázlata) ábrán látható egyszerű mechanikai rendszer, egy ütköző differenciálegyenletét és abból a fázistér modell előállítását. Az F(t) erővel gerjesztett m tömeget párhuzamosan kapcsolt k rugó és b csillapítás rögziti a falhoz. Kimenetként keressük a tömeg vízszintes x(t ) elmozdulását!

1.1. ábra - Mechanikai rendszer (ütköző) szerkezeti vázlata

A mechanikai modellt leképező differenciálegyenlet a fizikai mennyiségekre jellemző jelölésekkel (x(t ) elmozdulás, F(t ) erő, m tömeg, b csillapítási tényező, k rugómerevség):

(1.20)

Az állapottér (fázistér) modell előállításához fejezzük ki a differenciálegyenletből (1.20) a legmagasabb deriváltat:

(1.21)

Az állapotváltozók (fázisváltozók) száma megegyezik a legmagasabb derivált fokszámával, jelen esetben az állapotváltozók vektora kételemű:

(1.22)

Első állapotváltozónak a kimenő jelet választjuk, másodiknak a kimenő jel első deriváltját. (Magasabb rendű rendszernél természetesen a további deriváltak is állapotváltozók lesznek, egészen a második legnagyobb fokszámú deriváltig.)

		(1.23)
		(1.24)

Ezzel a választással az első állapotváltozó deriváltja megegyezik a második állapotváltozóval, ez utóbbi deriváltja pedig a differenciálegyenletből kifejezett legmagasabb (most második) deriválttal azonos. A választott kimenő jel (elmozdulás) pedig az első állapotváltozó értékével egyenlő.

		(1.25)
		(1.26)
		(1.27)

Az állapottér modell mátrixos alakja:

		(1.28)
		(1.29)

A fenti másodrendű differenciálegyenlet általános paraméteres alakban:

(1.30)

Az állapottér modell a differenciálegyenletből származó általános jelölésekkel:

		(1.31)
		(1.32)

A lineáris rendszereknél értelmezhető G(jω) frekvenciaátviteli függvény a harmonikus gerjesztésre adott harmonikus válasz, és a harmonikus gerjesztés hányadosaként előállított komplex függvény.

Bár a frekvenciaátviteli függvény formálisan két időfüggvény hányadosa, az időtől mégsem függ, csak a gerjesztő jel (kör)frekvenciájától! Erről könnyen meggyőződhetünk, ha behelyettesítünk a definiáló összefüggésbe:

Az egyszerűsítésből kiderül, hogy a frekvenciaátviteli függvény két lényeges információt hordoz. A frekvenciafüggő amplitúdó viszonyt (átviteli tényezőt) és a szintén frekvenciafüggő fázistolást, amiből megtudhatjuk, hogy a tranziensek lecsengése után az adott frekvenciájú bemenő jel amplitúdója hányszorosára változik, és mekkora fáziseltérése lesz a gerjesztéshez képest.

A komplex számok terminológiája szerint a frekvenciafüggő amplitúdó viszony a frekvenciaátviteli függvény abszolút értéke, a frekvenciafüggő fázistolás pedig az argumentuma.

A komplex alakú harmonikus gerjesztés és harmonikus válasz idő szerinti deriváltjait behelyettesítve a (K.Á.L.I. ) differenciálegyenletbe (1.3), a frekvenciaátviteli függvény polinomiális alakját kapjuk.

A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy a komplex alakú harmonikus jelek idő szerinti deriválása jω-val való szorzásnak felel meg. Ahányadik deriváltat kell előállítanunk, a jelet jω annyiadik hatványával kell megszoroznunk.

Ha a K.Á.L.I differenciálegyenletbe (1.3) az általános gerjesztés és válasz helyett a harmonikust írjuk

majd helyettesítjük az előbb előállított deriváltakat

a harmonikus jelet mindkét oldalon kiemelhetjük

A frekvenciaátviteli függvény definícióját (1.38) alkalmazva

A polinomiális frekvenciaátviteli függvényt átalakíthatjuk úgy, hogy a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük a legmagasabb jω hatványok együtthatóját (a számlálóból b _m -et, a nevezőből a _n -t):

A számláló és nevező polinomot felírhatjuk gyöktényezős alakban:

A számláló (i = 1,2, . . . ,m) gyökeit (zérusok) és a nevező (k = 1,2, . . . ,n) gyökeit (pólusok) egyszerűen ábrázolhatjuk a komplex számsíkon, ha felírjuk a frekvenciaátviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.48).

Az átviteli függvényt a differenciálegyenlet (1.3) mindkét oldalának zérus kezdeti feltételek melletti Laplace-transzformálásával állíthatjuk elő

Ezután a baloldalról kiemelhetjük a kimenő jel Y(s), a jobb oldalról a bemenő jel U(s) Laplace-transzformáltját

majd ezek hányadosaként állíthatjuk elő az átviteli függvény polinomiális alakját

Ahogy a frekvenciaátviteli függvénynél már láttuk, a polinomiális átviteli függvényt átalakíthatjuk úgy, hogy a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük a legmagasabb s hatványok együtthatóját:

A számláló és nevező polinomjait felírhatjuk gyöktényezős alakban:

Bevezetve a K = b _m /a _n erősítés, a zérus polinom és a pólus polinom jelölést, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés (ZPK) alakja:

A K.Á.L.I. differenciálegyenlet megoldásához az időtartománybeli differenciálás Laplace–operátoros tartománybeli megfelelőjére van szükségünk.

Zérus kezdeti feltétel esetén az időtartománybeli deriválás megfelelője Laplace–operátoros tartományban az s operátorral való szorzás.

Ha az állapottér modellt időtartományban írjuk fel, a fentiek értelmében bármilyen differenciálegyenlet (differenciálegyenlet–rendszer) Laplace–transzformációval algebrai egyenletté (algebrai egyenletrendszerré) alakítható, a megoldás inverz Laplace–transzformálásával pedig megkapjuk az eredeti differenciálegyenlet (differenciálegyenlet–rendszer) megoldását.

Korábban láttuk, hogy az n-ed rendű közönséges, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet formálisan átalakítható állapottér modellé, ha a jobb oldalon csak a gerjesztés szerepel, a bemenő jel deriváltjai nem. Ha a differenciálegyenlet gerjesztés oldala m-ed rendű, az átviteli függvény segítségével írjuk fel az állapottér modellt. A jobb oldali deriváltak az átviteli függvény számlálójában s hatványok formájában szerepelnek.

Bővítsük a polinomiális átviteli függvényt az alábbiak szerint, az első állapotváltozó X ₁ (s) Laplace–transzformáltjának bevezetésével! A polinomok hányadosát két sorba kapcsolt rendszer átviteli függvényeként értelmezve, és felhasználva az átviteli függvény definíciójából, hogy sorba kapcsolt rendszerek eredő átviteli függvénye az egyes rendszerek átviteli függvényének szorzata, az alábbi össefüggéshez jutunk:

Nézzük meg először a bal oldali átviteli függvényből a differenciálegyenlet segítségével létrehozható állapottér modellt!

Keresztbe szorzással és inverz Laplace–transzformációval egy u(t ) bemenetű, x ₁ (t ) kimenetű rendszer differenciálegyenletét kapjuk:

A korábban ismertetett módon kifejezzük a differenciálegyenletből a legmagasabb deriváltat:

A további állapotváltozókat a megszokott módon, a megelőző állapotváltozó deriválásával állítjuk elő

majd ezeket helyettesítjük az imént kifejezett legmagasabb deriváltba:

A fentiek alapján felírhatjuk a rendszer állapotegyenletét:

Folytassuk a másik átviteli függvény átalakításával!

Keresztbe szorzással és inverz Laplace–transzformációval egy x ₁ (t ) bemenetű, y(t ) kimenetű rendszer differenciálegyenletét kapjuk:

Ebbe az egyenletbe is behelyettesíthetjük a korábban bevezetett állapotváltozókat:

Az n-ed rendű differenciálegyenletből adódóan legfeljebb n állapotváltozót használhatunk a fenti egyenletben, így érvényes az n ≥ m+1 egyenlőtlenség, ami szigorúbb a megvalósítható differenciálegyenletnél említett n ≥ m feltételnél. Az n = m+1 feltétel kizárja (az egyébként nem megvalósítható) differenciáló jellegű rendszerek állapottér modelljének felírását.

Az n ≥ m+1 feltétel teljesülése esetén felírhatjuk az állapottér modell második részét, a kicsatolási egyenletet az inverz Laplace-transzformáció alkalmazásával:

Az n ≥m+1 feltételt teljesítő differenciálegyenletből származtatható állapottér modell:

Az általános SISO LTI állapottér modell b és c vektora különbözik a differenciálegyenlet jobb oldalán álló, csak az u(t ) bemenő jelet tartalmazó differenciálegyenletből képzett állapottér modelltől.

Ha ismert a SISO rendszer állapottér modellje, a gerjesztés és a kezdeti feltételek, az állapottér modell Laplace–transzformálásával is kiszámíthatjuk a kimenő jelet időtartományban.

A számítás során a rendszer átviteli függvényét is előállítjuk.

Az általános SISO LTI állapottér modell két egyenlete mátrixos formában (1.71 és 1.72), Laplace–transzformálásához az állapotváltozó vektor Laplace–transzformáltja , a bemenő jel , a kimenő jel . Az állapottér modell elemei (jelen esetben mátrix, b és c vektor és d skalár) a transzformáció során nem változik. Az állapotváltozók Laplace–transzformáltját az állapotváltozókra vonatkozó kezdeti feltételek figyelembevételével írjuk fel, .

Az állapotegyenletből (1.73) kifejezhetjük az állapotváltozók vektorát. Amennyiben az állapotváltozók kezdeti értéke zérus (), a számítás valamelyest egyszerűsödik.

Az így kifejezett állapotváltozó vektort behelyettesíthetjük a kicsatolási egyenletbe, hogy megkapjuk a kimenő jel Laplace–transzformáltját:

A kapott kifejezés jobb oldalán kiemelhetjük a bemenő jel Laplace–transzformáltját, és elosztjuk vele az egyenlet mindkét oldalát, hogy megkapjuk a SISO rendszer átviteli függvényét az állapottér modell segítségével:

Természetesen nemcsak zérus kezdeti feltételeknél használhatjuk a Laplace-transzformációs megoldást. Ekkor a deriválás Laplace-transzformációs szabályában meghatározott módon kell figyelembe vennünk a t = 0 időpillanatbeli kezdeti értékeket.

A fázistér modell korábbi formális bevezetésével  (a kimenő jelet választva első állapotváltozónak, majd deriváltjait rendre a következőknek) a fázisváltozós alakot (phase variable canonical form) kapjuk.

A levezetés áttekinthetőségét segítendő, az első lépésben olyan rendszerrel foglalkozunk, ahol a bemenő jel deriváltjainak együtthatója zérus.

Az állapotváltozókat és deriváltjaikat az alábbi szabályszerűség szerint írhatjuk fel

Az állapotegyenlet

A kicsatolási egyenlet rendkívül egyszerű, a kimenő jel megegyezik az elsőként választott állapotváltozóval:

Ahhoz, hogy kiterjeszthessük a leírást olyan rendszerre is, ahol a bemenő jel oldalán is szerepelnek deriváltak, a már megismert módon csatoljuk szét a differenciálegyenletet, ezúttal időtartományban!

A v(t ) változó bevezetésével a szétcsatolással kapott két differenciálegyenlet

Írjuk fel az állapotváltozókat (és deriváltjaikat) a megszokott módon az új v(t ) kimenő jellel

Az n-edik állapotváltozó deriváltját a megszokott módon fejezzük ki a differenciálegyenletből

A kicsatolási egyenletet az v(t) előbb kifejezett legmagasabb (n-edik) deriváltjának az eredeti differenciálegyenlet szétcsatolásával kapott második egyenletbe való helyettesítésével állítjuk elő.

Mátrixos alakban

Az igen gyakori b _n = 0 esetben, a kicsatolási egyenlet alakja könnyen megjegyezhetővé válik.

Ezzel b _n = 0 (vagyis n ≥ m) esetén a SISO LTI rendszer fázisváltozós (ph a phase variable kifejezésből származó rövidítés) kanonikus alakú állapottér modell mátrixai.

Ha a _n = 1, még egyszerűbbek a mátrixok.

Az irányíthatósági normálalakot (controllable canonical form) a közvetlen programozás módszerével állíthatjuk elő az átviteli függvény polinomiális alakjából (1.51) vagy az ezzel ekvivalens differenciálegyenletből (1.3). A következőkben feltételezzük, hogy a kezdeti feltételek mindegyike zérus.

A rendszert szétcsatolhatjuk két sorba kapcsolt átviteli függvény eredőjére. Az egyik egységnyi számlálójú, a másik egységnyi nevezőjű, a kettő között egy V (s) kisegítő változó bevezetésével teremthetünk formálisan kapcsolatot.

A két átviteli függvény:

Ezt a szétcsatolást blokkdiagramon is ábrázolhatjuk (1.2. ábra - Az átviteli függvény szétcsatolása az irányíthatósági normálalak felírásához).

1.2. ábra - Az átviteli függvény szétcsatolása az irányíthatósági normálalak felírásához

Az U(s) bemenetet tartalmazó átviteli függvényből keresztbe szorzással kialakuló egyenletet akár differenciálegyenletté is alakíthatnánk, de most maradunk Laplace–operátoros tartományban

V(s)-t és deriváltjait választva állapotváltozóknak (és rögtön felírva az állapotváltozók deriváltját)

A keresztbe szorzással előállított egyenletből kifejezhetjük a legmagasabb deriváltnak megfelelő s ⁿ V (s) elemet

és felírhatjuk az állapotváltozók segítségével is

Az állapotegyenletet mátrixos alakban, Laplace–operátoros tartományban felírva a fázisváltozós alakkal egyező struktúrát kapunk:

A szétcsatolással kapott G ₂ (s) második átviteli függvényt megszorozva V (s)-sel, kifejezhetjük az Y (s) kimenetet, V (s) és deriváltjai lineáris kombinációjaként

V (s) és deriváltjai helyére a választott állapotváltozókat beírva

Az s·X _n (s) helyére az első átviteli függvényből kifejezett képletet írhatjuk

Rendezés után

a kicsatolási egyenletet kapjuk

A közvetlen programozás módszerével előállított irányíthatósági normálalak megegyezik az előző részben ismertetett fázisváltozós alakkal.

Differenciálegyenletből (vagy átviteli függvényből) igen gyakran az egyenlet analóg számítógépes (szimulációs) megoldásának blokkvázlata (algoritmusa) alapján állítjuk elő az állapottér modellt. Az analóg számítógépekkel később részletesebben foglalkozunk, itt csupán a szükséges alapokat tekintjük át.

A szimulációs diagramnak is nevezhető ábra az analóg számítógép műveleti egységeinek (integrátor, összegző, előjelfordító, szorzó) megfelelő szimbólumokból épül fel. A bemenő jelek előállításáról függvénygenerátorokkal gondoskodhatunk, bár ez jelenleg nem lényeges, hiszen a szimulációs diagramot csupán az állapottér modell felírásához használjuk, nem pedig az analóg számítógép programozásához.

Az analóg számítógép időtől függő jelekkel dolgozik, azonban a szemléletességen nem változtat, ha Laplace–operátoros tartományban írjuk fel a jeleket és az integrálás operátoros tartománybeli megfelelőjét, 1/s-t írjuk a megfelelő blokkokba. Eltekintünk továbbá az analóg számítógépes kapcsolásokban használt műveleti erősítővel megvalósított elemek előjelfordító tulajdonságától. Szintén nem foglalkozunk az állandóval való szorzás és az összegzés analóg számítógépes megvalósításával, hanem a hatásvázlatokban előforduló jelképeket használjuk.

Példánkban (a fázisváltozós alaknál már alkalmazott b _n = 0 esetre) a közvetlen programozáshoz n darab integrátort kapcsolunk sorba. Az első integrátor bemenete a legmagasabb deriváltnak megfelelő s ⁿ ·V(s), kimenete s ^n-1 ·V(s). A sorban utolsó integrátor kimenete V (s).

A szétcsatolásból származó első átviteli függvényből kifejezett s ⁿ ·V(s) jelet a képletben szereplő elemek összegzésével állíthatjuk el

1.3. ábra - Az irányíthatósági normálalak szimulációs diagramja (b _n =0)

A szimulációs diagramon (1.3. ábra - Az irányíthatósági normálalak szimulációs diagramja (b _n =0)) szereplő integrátorok kimenetét választva állapotváltozónak, a fázisváltozós alakkal egyező irányíthatósági normálalak mátrixok könnyen felírhatók.

Az irányíthatósági normálalak a modern irányítástechnikában az irányíthatóság vizsgálatában és biztosításában igen fontos rendszerleírási mód.

A megfigyelhetőségi normálalak (observer canonical form) szintén igen fontos a modern irányítástechnikában. Felírásához ugyancsak az átviteli függvényből (1.51) indulunk ki. Az átviteli egyenletből kifejezzük a kimenő jel s ⁿ ·Y(s) formában megadott legmagasabb deriváltját

Osszuk végig mindkét oldalt s ⁿ -el, és az a _n együtthatóval az osztást vigyük be a zárójel mögé!

A zárójelek feloldása után

Végezzünk integrálást a Laplace–operátoros tartományban és osztást az s operátorral. Ezzel az s hatványok szerint alakíthatjuk tovább a kifejezést

Az egyenletnek (b _n = 0 feltételezésével) megfelelő analóg számítógépes program szimulációs diagramja (1.4. ábra - A megfigyelhetőségi normálalak szimulációs diagramja (b _n = 0)) szintén n egymás után kapcsolt integrátorból épül fel.

1.4. ábra - A megfigyelhetőségi normálalak szimulációs diagramja (b _n = 0)

Az integrátorok kimenetét úgy választva állapotváltozóknak, hogy az első integrátor kimenete az első állapotváltozó, a második integrátor kimenete a második állapotváltozó, és így tovább, a diagramban jobbról balra haladva először a kicsatolási egyenletet kapjuk meg.

majd pedig felírhatjuk az állapotváltozók differenciálegyenletét

Most már egyszerűen felírhatjuk a megfigyelhetőségi normálalak állapottér mátrixait.

A megfigyelhetőségi normálalak lineáris, dinamikus rendszerek számítógépes szimulációjában is nagyon jól használható, mivel a rendszer kezdeti feltételeit is könnyen figyelembe tudjuk venni. Ez az alak a rendszer megfigyelhetőségével áll kapcsolatban, ami azt jelenti, hogy az összes állapotváltozó hatással van a rendszer kimenetére és fordítva, a rendszer kimenete és az állapotegyenlet ismeretében az állapotváltozókat bármelyik időpillanatban rekonstruálhatjuk. Ha t = 0-ban végezzük el a számításokat, a kimenő jel és deriváltjai kezdeti értékei segítségével meghatározhatjuk az állapotváltozók kezdeti értékeit.

A párhuzamos programozás módszerével állítjuk elő a modális kanonikus alakot (szétcsatolt alakot) és ennek speciális esetét a Jordan–féle kanonikus alakot.

Amennyiben a rendszer n-edfokú karakterisztikus egyenletének n különböző valós gyöke van, és feltételezzük, hogy n > m, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.54) résztörtekre bontással írjuk fel

Az átviteli függvény ilyenkor n darab, párhuzamosan kapcsolt, egytárololós, arányos tag eredője. Az egyes egytárolós tagok az integrátor pólusértékkel való visszacsatolásával adják meg az állapotváltozókat, a visszacsatolás bemenő jele a rendszer u(t) bemenő jele, kimenete pedig az állapotváltozó. A résztörtekre bontásból származó k állandóval szorozva az állapotváltozót, majd összegezve ezeket a szorzatokat, megkapjuk a rendszer y(t ) kimenő jelét. A rendszer szimulációs diagramján (1.5. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n különböző valós pólus)) most is n integrátor szerepel.

1.5. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n különböző valós pólus)

Amennyiben a rendszer n-edfokú karakterisztikus egyenletének n-2 különböző valós gyöke és egy konjugált komplex gyökpárja van, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.54) résztörtekre bontással úgy írjuk fel, hogy a konjugált komplex p1=α+j•β és p2=α-j•β gyökpárt egy másodrendű taggal helyettesítjük.

Az egyszeres gyököknek megfelelő tagokat az imént bemutatott párhuzamos programozással adjuk meg. A másodrendű nevezőjű tagot a közvetlen programozás módszerével kezeljük, akár irányíthatósági, akár megfigyelhetőségi normálalakban felírva (1.6. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n-2 különböző valós pólus és egy konjugált komplex gyökpár esetén)).

1.6. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n-2 különböző valós pólus és egy konjugált komplex gyökpár esetén)

Amennyiben a rendszer n-edfokú karakterisztikus egyenletének egyik gyöke r–szeres valós, a többi n-r pedig különböző valós gyök, és feltételezzük, hogy n > m, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.54) ismét résztörtekre bontással írjuk fel.

A szimulációs diagramban (1.7. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n-r különböző és r azonos valós pólus esetén)) a különböző valós gyökökhöz tartozó ábrarészlet megegyezik az (1.5. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n különböző valós pólus)) ábra felépítésével. Az r-szeres pólusnak megfelelő x ₁ , x ₂ ,…,x _r állapotváltozók sorban egy–egy, a p ₁ pólussal visszacsatolt integrátor kimenete. A résztörtekből számított k _1, k ₂ ,   ,k _r konstansokkal súlyozva a megfelelő állapotváltozókat, megkapjuk a többszörös gyök y(t ) kimenő jelben szereplő részét.

1.7. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n-r különböző és r azonos valós pólus esetén)

Az egyik esetben a döntő különbséget az okozza, hogy míg a differenciálás pontbeli műveletként értelmezhető, addig az integrálás egy intervallumon van definiálva. Amennyiben a vizsgálandó függvény nem pontosan ismert, mert például mérési hibákat vagy numerikus közelítésből adódó hibákat tartalmaz, akkor például az (1.20. ábra - A bemeneti jel differenciálásának és integrálásának összehasonlítása) ábrán látható esetek fordulhatnak elő: