1. fejezet - Időben folytonos működésű rendszerek

Tartalom
1.1. Rendszerleírási módok
1.1.1. Rendszer leírás időtartományban
1.1.1.1. Differenciálegyenlet (lineáris, állandó együtthatós)
1.1.1.2. Az állapottér-leírási mód
1.1.1.2.1. Általános, lineáris MIMO állapottér modell
1.1.1.2.2. Kanonikus alakú állapottér modell előállítása
1.1.1.2.3. P vagy I jellegű, többtárolós SISO rendszer
1.1.2. Frekvenciatartomány
1.1.2.1. Exponenciális alakú frekvenciaátviteli függvény
1.1.2.2. Polinomiális alakú frekvenciaátviteli függvény
1.1.2.3. Zérus–pólus–erősítés alakú frekvenciaátviteli függvény
1.1.3. Rendszerek leírása Laplace tartományban
1.1.3.1. Polinomiális átviteli függvény
1.1.3.2. Zérus-pólus-erősítés alakú átviteli függvény
1.1.3.3. Differenciálegyenlet-megoldás Laplace-operátoros tartományban
1.1.3.4. Az állapottér modell Laplace-operátoros tartományban
1.1.4. Jellegzetes állapottér modell struktúrák
1.1.4.1. Fázisváltozós alak
1.1.4.2. Az irányíthatósági normálalak
1.1.4.3. A megfigyelhetőségi normálalak
1.1.4.4. A modális alak
1.2. Alapelemek (objektumok, blokkok, műveletek)
1.2.1. Műveleti erősítő
1.2.2. Negatív visszacsatolású műveleti erősítő
1.2.3. Jelek összeadása
1.2.4. Időfüggő jel szorzása konstanssal
1.2.5. Jel integrálása idő szerint
1.2.6. Jelkésleltetés (Padé-közelítés)
1.2.7. Nemlineáris elemek
1.3. Alapelemek összekapcsolása
1.3.1. Integrálást vagy differenciálást alkalmazunk a differenciálegyenlet megoldásához
1.3.1.1. Hibával terhelt értékű függvények esete
1.3.1.2. Numerikus hibák
1.3.1.3. Összehasonlító mintapélda megoldása differenciáló és integráló algoritmussal
1.3.2. Átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása
1.3.2.1. Arányos típusú átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása PT1, PT2
1.3.2.2. Integráló típusú átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása IT1, IT2
1.3.2.3. Differenciáló típusú átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása DT1, DT2
1.3.2.4. Előretartó-késleltető tag (Lead–lag compensator) számítási blokkdiagramjának meghatározása
1.3.3. Alapelemek különböző összekapcsolásából keletkező részrendszerek
1.3.3.1. Alapelemek összekapcsolásánál alkalmazott műveletek
1.3.3.2. Alapelemek soros összekapcsolásából keletkező részrendszer
1.3.3.3. Alapelemek párhuzamos összekapcsolásából keletkező részrendszer
1.3.3.4. Alapelemek negatív visszacsatolt összekapcsolásából keletkező részrendszer
1.4. Átviteli függvény számítási blokkdiagramjának megvalósítása
1.4.1. Átviteli függvény számítási blokkdiagramja soros kapcsolású részelemekkel
1.4.2. Átviteli függvény számítási blokkdiagramja párhuzamos kapcsolású részelemekkel
1.4.3. Átviteli függvény megvalósítása közvetlen programozással
1.4.4. Átviteli függvény megvalósítása M-programozással
1.4.5. Állapottér módszer számítási blokkdiagramjának meghatározása SISO rendszereknél
1.4.6. Állapottér-leírás, állapottér-reprezentációk kapcsolata
1.5. Rendszer-transzformációk
1.5.1. Átviteli függvény (tf) transzformációk {ss2tf,  zp2tf}
1.5.1.1. Átviteli függvény állandósult állapotbeli erősítése
1.5.1.2. zp2tf: zérus-pólus-erősítés alakú átviteli függvény alakból transzformáció polinomiális alakú átviteli függvény alakba
1.5.1.3. ss2tf: transzformáció állapottér modell alakból, polinomiális alakú átviteli függvény alakba
1.5.2. Zérus-pólus-erősítés függvény (zp) transzformációk, {tf2zp,  ss2zp}
1.5.2.1. Zérus-pólus függvény erősítése (K)
1.5.2.2. tf2zp: transzfomáció polinomiális alakú átviteli függvényből zérus-pólus-erősítés alakú átviteli függvénybe
1.5.2.3. ss2zp: átalakítás állapottér modellből zérus-pólus-erősítés alakú átviteli függvénybe
1.5.3. Állapottér (ss) transzformációk, {tf2ss,  zp2ss}
1.5.3.1. tf2ss: transzformáció polinomiális alakú átviteli függvényből állapottér modellbe
1.5.3.2. zp2ss: átalakítás zérus-pólus-erősítés alakú átviteli függvényből állapottér modellbe
1.6. Több bemenetű és több kimenetű rendszerek (MIMO) leírása
1.6.1. Átviteli mátrix {G(s)}
1.6.1.1. A SISO rendszer
1.6.1.2. A MISO rendszer
1.6.1.3. A SIMO rendszer
1.6.1.4. A MIMO rendszer
1.6.2. Az állapottér módszer
1.7. Folytonos rendszerek megvalósítása műveleti erősítő áramkörökkel
1.7.1. Átviteli függvény megvalósítása
1.7.2. Analóg számítógép
1.7.2.1. Az elektronikus, analóg számítógépek műveleti egységei
1.7.2.2. Az analóg számítógép szerkezeti felépítése
1.7.2.3. Az analóg számítógép programozása
1.7.2.4. Amplitúdó–léptékezés
1.7.2.5. Időléptékezés
1.7.2.6. Valós idejű futás (a műveleti erősítő frekvenciaátviteli korlátai)
1.8. Folytonos rendszerek szimulációja digitális számítógéppel
1.8.1. Folytonos bemeneti jelek és rendszerek mintavételezése
1.8.1.1. A folytonos bemeneti jelek mintavételezése
1.8.1.2. Folytonos rendszerek mintavételezése
1.8.2. Rendszerek digitális számítógépen történő futtatása
1.8.3. Az alapelemek megvalósítása
1.8.3.1. Jelkomponensekkel végzett aritmetikai műveletek
1.8.3.2. A jel integrálása idő szerint az adott mintavételi időpontban
1.8.3.3. Jelkésleltetés
1.8.3.4. Nemlineáris elemek
1.8.4. Alapelemek összekapcsolása
1.9. Numerikus differenciálás és integrálás
1.9.1. Numerikus differenciálás
1.9.1.1. Idő szerinti differenciálás szemléletes megközelítése
1.9.1.2. Alapgondolat Taylor sor alkalmazásához
1.9.1.3. Általános, hibatagot szolgáltató eljárás
1.9.2. Numerikus integrálás
1.9.2.1. Szemléletes megközelítés
1.9.2.2. Alapgondolat Taylor sor alkalmazására
1.9.2.3. Általános, hibatagot is szolgáltató eljárások - szimmetrikus formulák
1.9.2.3.1. Trapéz formula
1.9.2.3.2. Simpson formula
1.9.2.3.3. Newton-féle 3/8-os formula
1.9.2.3.4. Szimmetrikus 4-lépéses formula
1.9.2.4. Általános, hibatagot is szolgáltató eljárások - Adams-Bashforth formulák
1.9.2.4.1. Elsőrendű Adams-Bashforth integrátor
1.9.2.4.2. Másodrendű Adams-Bashforth integrátor
1.9.2.4.3. Harmadrendű Adams-Bashforth integrátor
1.9.2.4.4. Negyedrendű Adams-Bashforth integrátor
1.9.2.5. Általános, hibatagot is szolgáltató eljárások - Adams-Moulton formulák
1.9.2.5.1. Elsőrendű Adams-Moulton integrátor
1.9.2.5.2. Másodrendű Adams-Moulton integrátor
1.9.2.5.3. Harmadrendű Adams-Moulton integrátor
1.9.2.5.4. Negyedrendű Adams-Moulton integrátor
1.9.2.6. Runge-Kutta módszer
1.9.2.6.1. Elsőrendű Runge‑Kutta
1.9.2.6.2. Másodrendű Runge‑Kutta
1.9.2.6.3. Harmadrendű Runge‑Kutta
1.9.2.6.4. Negyedrendű Runge‑Kutta
1.9.2.6.5. Runge‑Kutta módszer általánosítása
1.9.2.7. Az integrálformulák csoportosítása
1.10. Differenciálegyenletek numerikus megoldása
1.10.1. Megoldás negyedrendű Runge-Kutta módszerrel
1.10.1.1. Tartályos feladat megoldása (Runge-Kutta módszerrel)
1.10.1.2. Rezgő rendszer megoldása(Runge-Kutta módszerrel)
1.10.2. Megoldás másodrendű Adams-Bashforth integrátorokkal
1.10.2.1. Tartályos feladat megoldása (Adams-Bashforth integrátorokkal)
1.10.2.2. Rezgő rendszer megoldása (Adams-Bashforth integrátorokkal)
1.10.3. Megoldás másodrendű Adams-Moulton integrátorokkal
1.10.3.1. Tartályos feladat megoldása (Adams-Moulton integrátorokkal)
1.10.3.2. Rezgő rendszer megoldása (Adams-Moulton integrátorokkal)
1.10.4. Megoldás másodrendű prediktor – korrektor módszerrel
1.10.4.1. Tartályos feladat megoldása (másodrendű prediktor – korrektor módszerrel)
1.10.4.2. Rezgő rendszer megoldása (másodrendű prediktor – korrektor módszerrel)
1.10.5. Megoldás másodrendű vegyes módszerrel
1.10.6. Hibabecslés módszerei
1.10.7. Változó lépésköz alkalmazhatósága
1.10.8. A különböző módszerek összehasonlítása
1.11. Frekvenciatartománybeli vizsgálatok
1.11.1. A Bode-diagram
1.11.1.1. A közelítő Bode–diagram
1.11.1.1.1. Nulladrendű számláló, nulladrendű nevező
1.11.1.1.2. Nulladrendű számláló és egy zérusértékű pólus
1.11.1.1.3. Egy nullaértékű zérus és nulladrendű nevező
1.11.1.1.4. Nulladrendű számláló és egy pólus
1.11.1.1.5. Egy zérus és nulladrendű nevező
1.11.1.1.6. Nulladrendű számláló és két pólus
1.11.1.1.7. Két zérus és nulladrendű nevező
1.11.2. A Nyquist diagram
1.11.3. A Nichols–diagram
1.11.4. A pólus–zérus diagram
1.11.5. A gyökhelygörbe

1.1. Rendszerleírási módok

A modellek egyik legegyszerűbb csoportosítása a fizikai és matematikai modellek megkülönböztetése. A fizikai modell alatt a rendszer valamiféle fizikai megvalósítását értjük, matematikai modellnek pedig a matematika eszközkészletével – általában egyenletekkel vagy egyenletrendszerekkel – megadott leképezést nevezzük.

Az alábbiakban egy bemenetű, egy kimenetű rendszerekkel foglalkozunk, a több bemenetű, több kimenetű rendszerekről később esik szó. Az angol szakirodalomban elterjedt SISO (Single Input Single Output) rövidítéssel szokás ezekre a rendszerekre hivatkozni, ahogyan ezt a továbbiakban tesszük.

A teljesség kedvéért az összes vonatkozó rövidítést felsoroljuk:

  • egy bemenetű, egy kimenetű rendszer: SISO (Single Input Single Output)

  • több bemenetű, több kimenetű rendszer: MIMO (Multiple Input Multiple Output)

  • egy bemenetű, több kimenetű rendszer: SIMO (Single Input Multiple Output)

  • több bemenetű, egy kimenetű rendszer:MISO (Multiple Input Single Output)

A bemenetet u, a kimenetet y betűvel jelöljük. Attól függően, hogy milyen tartományban (idő, frekvencia vagy Laplace-operátoros), vagyis milyen független változó szerint végezzük vizsgálatainkat, kisbetűs és nagybetűs jelöléssel egyaránt találkozunk. Amennyiben a jel egykomponensű, skalárként adjuk meg, a több be- és/vagy kimenetű rendszereknél viszont vektorként kezeljük ezeket a jeleket.

A matematikai modelleket több szempont szerint csoportosíthatjuk, ezek közül néhány:

  • statikus (más szóval stacionárius, vagyis időben állandósult viselkedésű) és dinamikus (időben változó),

  • lineáris és nemlineáris,

  • koncentrált paraméterű és elosztott paraméterű, valamint a két véglet közötti, összekapcsolt, koncentrált paraméterű részmodellekből álló, feldaraboltnak nevezhető modell,

  • determinisztikus és sztochasztikus,

  • folytonos és nem folytonos (az időtől függő jel értelmezési tartománya és értékkészlete szerint egyaránt beszélhetünk folytonosságról vagy annak hiányáról).

Ebben a részben időben változó (dinamikus) és a jelek értelmezési tartománya szerint folytonos idejű rendszerekkel foglalkozunk, bár nem minden esetben időtartományban. A vizsgált rendszerek, ha külön nem említjük lineárisak és determinisztikusak. A modellalkotás módszereivel más anyag foglalkozik, ezért a modell részletességét (koncentrált, illetve elosztott paraméterű, esetleg feldarabolt) adottnak tekintjük. Amennyiben a vizsgált rendszer tartalmaz statikus matematikai modellel (algebrai egyenlettel) leírható elemeket, például nemlinearitást, azok matematikai modelljét a megfelelő helyen említjük.

1.1.1. Rendszer leírás időtartományban

Az időtartománybeli leírásban a független változó a t betűvel jelölt idő. Időtartományban a dinamikus rendszer bemenet–kimenet kapcsolatát differenciálegyenlet adja meg. Ha a modellben célunk a belső állapotok figyelembe vétele, a dinamikus rendszert állapottér modelljével írhatjuk le. Az állapottér modell felépítésénél fogva alkalmas több bemenetű, több kimenetű rendszerek leírására is. Az állapottér modell kanonikus alakját a bemenetek/kimenetek leírásából (differenciálegyenletből) formális matematikai módszerrel is előállíthatjuk.

Ebben a leképezésben nem biztos, hogy a tényleges fizikai állapotok változását követjük, lehetséges, hogy csupán a matematikai formalizmussal előállított, fizikai mennyiséggel állapotváltozó értelemben össze nem rendelhető mennyiségeket vizsgálunk. A differenciálegyenletet és az állapottér modellt nemlineáris rendszerekre is felírhatjuk, azonban sok esetben közelítésként linearizáljuk a modellt.

1.1.1.1. Differenciálegyenlet (lineáris, állandó együtthatós)

Az általános nemlineáris, ám koncentrált paraméterű és determinisztikus jelekkel leírható, időben és a jelek értékkészlete szerint is folytonos, egy bemenetű, egy kimenetű rendszer y(t) kimenete a rendszer struktúrájától, az u(t) gerjesztéstől és a kezdeti feltételektől függ. Ha egy képletben szeretnénk összefoglalni (a kezdeti feltételeket nem feltüntetve), a rendszer struktúrájának megfelelően szerepeltetnünk kell a bemenő és a kimenő jel deriváltjait is az f nemlineáris függvény független változói között

 

y ( t ) = F ( y ( n ) ( t ) , y ( n 1 ) ( t ) ,..., y ( 1 ) ( t ) , y ( 0 ) ( t ) , u ( 0 ) ( t ) , u ( 1 ) ( t ) ,..., u ( m 1 ) ( t ) , u ( m ) ( t ) , t )

(1.1)

A lineáris, idővariáns (LTV = Linear Time Variant), dinamikus SISO rendszereket időtartományban közönséges, időtől függő együtthatós, lineáris, inhomogén differenciálegyenlettel adhatjuk meg. A differenciálegyenlet matematikában megszokott paraméteres alakjában a bal oldalon az y(t ) kimenő jel és deriváltjai szerepelnek időtől függő együtthatókkal szorozva, a jobb oldalon az u(t ) bemenő jel szerepel hasonlóan megadva:

 

a n ( t ) d n y ( t ) d t n + a n 1 ( t ) d n 1 y ( t ) d t n 1 + ... + a 1 ( t ) d y ( t ) d t + a 0 ( t ) y ( t ) = = b 0 ( t ) u ( t ) + b 1 ( t ) d u ( t ) d t + ... + b m 1 ( t ) d m 1 u ( t ) d t m 1 + b m ( t ) d m u ( t ) d t m

(1.2)

Lineáris, időinvariáns (LTI, Linear Time Invariant), dinamikus SISO rendszerek időtartománybeli leképezése közönséges, állandó együtthatós, lineáris, inhomogén (K.Á.L.I.) differenciálegyenlettel történik. A K.Á.L.I. differenciálegyenlet matematikában megszokott paraméteres alakjában a baloldalon az y(t) kimenő jel és deriváltjai szerepelnek állandó együtthatókkal szorozva, a jobb oldalon pedig az u(t) bemenő jel szerepel hasonló formában:

 

a n d n y ( t ) d t n + a n 1 d n 1 y ( t ) d t n 1 + ... + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = = b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t + ... + b m 1 d m 1 u ( t ) d t m 1 + b m d m u ( t ) d t m

(1.3)

A műszaki gyakorlatban elterjedtebb az időállandós alak, amelyből az arányos viselkedésű rendszer állandósult állapotbeli viselkedésére (erősítésére) egyszerűen következtethetünk, mivel a kimenő és a bemenő jel közvetlenül összehasonlítható.

 

T n n d n y ( t ) d t n + T n 1 n 1 d n 1 y ( t ) d t n 1 + ... + T 1 d y ( t ) d t + y ( t ) = = u ( t ) + τ 1 d u ( t ) d t + ... + τ m 1 m 1 d m 1 u ( t ) d t m 1 + τ m m d m u ( t ) d t m

(1.4)

A formálisan előállított időállandós alak a paraméteresnél kevésbé általános, hiszen a kimenő jel oldalán az integráló és a bemenő jel oldalán a differenciáló hatást nem tudjuk figyelembe venni, hiszen (y(t ) és u(t ) együtthatója egy).

Integráló jellegű rendszernél a kimenő jel együtthatója zérus.

 

T n n d n y ( t ) d t n + ... + T 2 2 d 2 y ( t ) d t 2 + T 1 d y ( t ) d t = = A p ( u ( t ) + τ 1 d u ( t ) d t + τ 2 2 d 2 u ( t ) d t 2 + ... + τ m m d m u ( t ) d t m )

(1.5)

Differenciáló jellegű rendszernél a bemenő jel együtthatója zérus.

 

T n n d n y ( t ) d t n + ... + T 2 2 d 2 y ( t ) d t 2 + T 1 d y ( t ) d t + y ( t ) = = A p ( τ 1 d u ( t ) d t + τ 2 2 d 2 u ( t ) d t 2 + ... + τ m m d m u ( t ) d t m )

(1.6)

A megvalósítható rendszerekre érvényes az n<=m összefüggés, vagyis a bemenő jel oldalán nem szerepelhet magasabb derivált, mint a kimenő jel oldalán.

A magasabb rendű differenciálegyenlet kezelése nehézkes, a rendszer belső állapotairól (a tárolók töltöttségéről) nem, vagy csak hosszadalmas számításokkal tájékozódhatunk.

1.1.1.2. Az állapottér-leírási mód

Az állapottér modell a differenciálegyenlettel szemben folyamatosan tájékoztat a bonyolultabb rendszerek belső állapotairól. Az állapottér modellben az állapotváltozók minden időpillanatban megadják az extenzív mennyiségekkel (pl. anyag, energia, töltés) jellemezhető tárolók töltöttségét. Az állapotváltozókat oszlopvektorként adjuk meg, esetleg tömörebb leíráshoz transzponált sorvektor formában. Az állapotváltozók száma megegyezik a rendszerben lévő különböző energiatárolók számával.

 

x _ ( t ) = [ x 1 x 2 ... x n ] = [ x 1 x 2 ... x n ] T

(1.7)

Mivel a SISO rendszer a MIMO speciális esete, az általánosság érdekében először a MIMO rendszer állapottér modelljét írjuk fel. A rendszer bemeneteinek száma m, a kimenetek száma p, az állapotváltozók száma n.

Az általános MIMO állapottér modellben két alapvető összefüggést definiálunk. Az állapotegyenlet az állapotváltozók változását az állapotváltozók korábbi értéke és a bemenetek segítségével adja meg.

 

x ˙ _ ( t ) = f ( x _ ( t ) , u _ ( t ) , t )

(1.8)

Az állapottér modellben nem olyan közvetlen a kimenet–bemenet kapcsolat, mint a differenciálegyenlet esetén, szükségünk van tehát egy második egyenletre, ami az állapotváltozókon keresztül megadja a kimenő jelek értékét. Ezt az egyenletet kimeneti vagy kicsatolási egyenletnek nevezzük.

 

y ( t ) = g ( x _ ( t ) , u _ ( t ) , t )

(1.9)

1.1.1.2.1. Általános, lineáris MIMO állapottér modell

A fenti két egyenlet (1.8 és 1.9) az általános, nemlineáris MIMO rendszerre vonatkozik. A lineáris, időtől függő együtthatós (LTV) MIMO rendszerre vonatkozó állapottér modell két egyenlete mátrixos alakban

 

x ˙ _ ( t ) = A _ _ ( t ) x _ ( t ) + B _ _ ( t ) u _ ( t )

(1.10)

 

y ( t ) = C _ _ ( t ) x _ ( t ) + D _ _ ( t ) u _ ( t )

(1.11)

A lineáris, időinvariáns (LTI, azaz állandó együtthatós) MIMO rendszerre vonatkozó állapottér modell két egyenlete tömören

 

x ˙ _ ( t ) = A _ _ x _ ( t ) + B _ _ u _ ( t )

(1.12)

 

y ( t ) = C _ _ x _ ( t ) + D _ _ u _ ( t )

(1.13)

és kifejtve

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 ... x ˙ n ] = [ a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a n 1 a n 2 ... a n n ] [ x 1 x 2 ... x n ] + [ b 11 b 12 ... b 1 m b 21 b 22 ... b 2 n ... ... ... ... b n 1 b n 2 ... b n m ] [ u 1 u 2 ... u m ]

(1.14)

 

[ y 1 y 2 ... y p ] = [ c 11 c 12 ... c 1 n c 21 c 22 ... c 2 n ... ... ... ... c p 1 c p 2 ... c p n ] [ x 1 x 2 ... x n ] + [ d 11 d 12 ... d 1 m d 21 d 22 ... d 2 n ... ... ... ... d p 1 d p 2 ... d p m ] [ u 1 u 2 ... u m ]

(1.15)

SISO rendszerben egy bemenet (m=1) és egy kimenet (p=1) van az n állapotváltozó mellett. Emiatt a B _ _ mátrix n elemű oszlopvektorrá, a C _ _ mátrix n elemű sorvektorrá, a D _ _ mátrix pedig skalárrá alakul, az A _ _ rendszermátrix marad n x n méretű.

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 ... x ˙ n ] = [ a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a n 1 a n 2 ... a n n ] [ x 1 x 2 ... x n ] + [ b 11 b 21 ... b n 1 ] u ( t )

(1.16)

 

y ( t ) = [ c 1 c 2 ... c n ] [ x 1 x 2 ... x n ] + d u ( t )

(1.17)

Mátrixos formában, az említett vektorokkal és a skalárral

 

x ˙ _ ( t ) = A _ _ x _ ( t ) + b _ u ( t )

(1.18)

 

y ( t ) = c _ x _ ( t ) + d u ( t )

(1.19)

1.1.1.2.2. Kanonikus alakú állapottér modell előállítása

A K.Á.L.I. differenciálegyenletből formálisan felírhatjuk a fázistér modellnek is nevezett, kanonikus alakú állapottér modellt. Ugyan a mindennapi gyakorlatban az így felírt egyenleteket is állapottér modellnek nevezzük, az elnevezés nem feltétlenül helyes, hiszen a formálisan előállított állapotváltozók (pontosabban fázisváltozók) nem feltétlenül felelnek meg a korábban állapotváltozóként definiált tárolók töltöttségnek.

Tekintsük az (1.1. ábra) ábrán látható egyszerű mechanikai rendszer, egy ütköző differenciálegyenletét és abból a fázistér modell előállítását. Az F(t) erővel gerjesztett m tömeget párhuzamosan kapcsolt k rugó és b csillapítás rögziti a falhoz. Kimenetként keressük a tömeg vízszintes x(t ) elmozdulását!

Mechanikai rendszer (ütköző) szerkezeti vázlata
1.1. ábra - Mechanikai rendszer (ütköző) szerkezeti vázlata


A mechanikai modellt leképező differenciálegyenlet a fizikai mennyiségekre jellemző jelölésekkel (x(t ) elmozdulás, F(t ) erő, m tömeg, b csillapítási tényező, k rugómerevség):

 

m x ¨ ( t ) + b x ˙ ( t ) + k x ( t ) = F ( t )

(1.20)

Az állapottér (fázistér) modell előállításához fejezzük ki a differenciálegyenletből (1.20) a legmagasabb deriváltat:

 

x ¨ ( t ) = [ b m x ˙ ( t ) + k m x ( t ) ] + 1 m F ( t )

(1.21)

Az állapotváltozók (fázisváltozók) száma megegyezik a legmagasabb derivált fokszámával, jelen esetben az állapotváltozók vektora kételemű:

 

x _ ( t ) = [ x 1 x 2 ]

(1.22)

Első állapotváltozónak a kimenő jelet választjuk, másodiknak a kimenő jel első deriváltját. (Magasabb rendű rendszernél természetesen a további deriváltak is állapotváltozók lesznek, egészen a második legnagyobb fokszámú deriváltig.)

 

x 1 = x

(1.23)

 

x 2 = x ˙

(1.24)

Ezzel a választással az első állapotváltozó deriváltja megegyezik a második állapotváltozóval, ez utóbbi deriváltja pedig a differenciálegyenletből kifejezett legmagasabb (most második) deriválttal azonos. A választott kimenő jel (elmozdulás) pedig az első állapotváltozó értékével egyenlő.

 

x ˙ 1 ( t ) = x 2 ( t )

(1.25)

 

x ˙ 2 ( t ) = x ¨ ( t ) = k m x 1 ( t ) b m x 2 ( t ) + 1 m F ( t )

(1.26)

 

x ( t ) = x 1 ( t )

(1.27)

Az állapottér modell mátrixos alakja:

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ 0 1 k m b m ] [ x 1 x 2 ] + [ 0 1 m ] F ( t )

(1.28)

 

x ( t ) = [ 0 1 ] [ x 1 x 2 ] + 0 F ( t )

(1.29)

A fenti másodrendű differenciálegyenlet általános paraméteres alakban:

 

a 2 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t )

(1.30)

Az állapottér modell a differenciálegyenletből származó általános jelölésekkel:

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ 0 1 a 0 a 2 a 1 a 2 ] [ x 1 x 2 ] + [ 0 1 a 2 ] u ( t )

(1.31)

 

y ( t ) = [ 1 0 ] [ x 1 x 2 ] + 0 u ( t )

(1.32)

1.1.1.2.3. P vagy I jellegű, többtárolós SISO rendszer

A két energiatárolós ütköző állapottér modelljéhez hasonlóan állíthatjuk elő a több energiatárolós arányos (legfeljebb integráló) rendszerek állapottér modelljét. Az ilyen rendszerek differenciálegyenletében a jobb oldalon egyedül a bemenő jel együtthatója különbözik nullától.

Arányos viselkedésű rendszer esetén, a homogén oldalon a kimenő jel és a tárolók számának megfelelő derivált szerepel. Egyszeres integráló tulajdonságú rendszer egyenletéből hiányzik a kimenő jel (együtthatója nulla).

 

a n d n y ( t ) d t n + ... + a 2 d 2 y ( t ) d t n + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t )

(1.33)

Az előbb bemutatott állapotváltozó választás szerint a kimenő jelet első állapotváltozónak, az egyre magasabb deriváltjait - egészen a második legmagasabbig - a többi állapotváltozónak választva, most is ki tudjuk fejezni a legmagasabb deriváltat (az utolsó állapotváltozó deriváltját) a többi állapotváltozó és a bemenő jel lineáris kombinációjaként. Ezzel elő tudjuk állítani a rendszer állapotegyenletét

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ... x ˙ n 1 x ˙ n ] = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n a n 1 a n ] [ x 1 x 2 x 3 ... x n 1 x n ] + [ 0 0 0 ... 0 b 0 a n ] u ( t )

(1.34)

A kicsatolási egyenlet rendkívül egyszerű, a kimenő jel megegyezik az elsőként választott állapotváltozóval:

 

y ( t ) = [ 1 0 0 ... 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ... x n ] + 0 u ( t )

(1.35)

A megvalósítható rendszerekben érvényes, hogy a kimenő jel oldalán a deriváltak szám nem lehet kevesebb a bemenő jel oldalán lévő deriváltak számánál, m≤n. Később látunk példát megvalósítható, nem zérus együtthatójú, bemenő jel oldali deriváltakat tartalmazó differenciálegyenletű rendszer állapottér modelljének felírására.

A Laplace-operátoros tartományba átalakított differenciálegyenlet segítségével tudjuk felírni a bemenő jel egy vagy több deriváltját is tartalmazó differenciálegyenlettel modellezhető rendszerek állapottér (fázistér) modelljét.

Az állapottér modell előnye a differenciálegyenlettel szemben különösen a (számító) gépesített megoldásnál szembetűnő, hiszen elsőrendű differenciálegyenletet könnyebb megoldani a magasabb rendűnél, és a számítógépek kimondottan alkalmasak ismétlődő feladatok végrehajtására, vagyis könnyen megbirkóznak az egyenletrendszerek megoldásával.

1.1.2. Frekvenciatartomány

A frekvenciatartománybeli vizsgálatokkal a rendszer különböző frekvenciájú, harmonikus gerjesztésre adott válaszát határozzuk meg. Lineáris rendszereknél a tranziensek lecsengése után a harmonikus gerjesztő jellel azonos frekvenciájú harmonikus válaszfüggvény amplitúdójában és/vagy fázisában térhet el a gerjesztő jeltől. Nemlineáris rendszerek esetén a helyzet bonyolultabb, a probléma kezelésére később látunk módszereket, addig is lineáris rendszerekkel foglalkozunk.

Tulajdonképpen a harmonikus gerjesztő jel és az arra adott harmonikus válasz is időfüggvény, tehát alkalmazhatnánk a differenciálegyenlet-megoldás megszokott módszereit.

Célszerű azonban a frekvenciaátviteli függvény bevezetésével időtartomány helyett frekvenciatartományban vizsgálódnunk. (A differenciálegyenlet-megoldás módszerei természetesen nemlineáris rendszereknél is használhatók, bár nem feltétlenül létezik analitikus megoldás.)

Az általános ω körfrekvenciájú, U 0 amplitúdójú harmonikus gerjesztő jelet komplex függvényként adjuk meg, mégpedig Euler- vagy más néven exponenciális alakban. A gerjesztés és a válasz frekvenciatartománybeli vizsgálatoknál nem lehet akármilyen, hanem csak harmonikus függvény, ezt a jelölésben is külön érzékeltetjük. A továbbiakban a harmonikus időfüggvényeket az u ˜ ( t ) jelöléssel különböztetjük meg a tetszőleges u(t) időfüggvényektől.

A harmonikus gerjesztés algebrai alakjában megjelenik a két harmonikus függvény (sin és cos).

 

u ˜ ( t ) = U 0 e j ω t = U 0 cos ( ω t ) + j U 0 sin ( ω t )

(1.36)

Lineáris rendszer harmonikus gerjesztésre adott harmonikus válasza a gerjesztő jel ω (kör)frekvenciájától függő Y 0 (ω) amplitúdóban és az ugyancsak a gerjesztő jel körfrekvenciájától függő φ(ω) fázistolásban térhet el.

 

y ˜ ( t ) = Y 0 ( ω ) e j ( ω t + ϕ ( ω ) )

(1.37)

1.1.2.1. Exponenciális alakú frekvenciaátviteli függvény

A lineáris rendszereknél értelmezhető G() frekvenciaátviteli függvény a harmonikus gerjesztésre adott harmonikus válasz, és a harmonikus gerjesztés hányadosaként előállított komplex függvény.

 

G ( j ω ) = y ˜ ( t ) u ˜ ( t )

(1.38)

Bár a frekvenciaátviteli függvény formálisan két időfüggvény hányadosa, az időtől mégsem függ, csak a gerjesztő jel (kör)frekvenciájától! Erről könnyen meggyőződhetünk, ha behelyettesítünk a definiáló összefüggésbe:

 

G ( j ω ) = y ˜ ( t ) u ˜ ( t ) = Y 0 ( ω ) e j ( ω t + ϕ ( ω ) ) U 0 e j ω t = Y 0 ( ω ) U 0 e j ϕ ( ω ) = A 0 ( ω ) e j ϕ ( ω )

(1.39)

Az egyszerűsítésből kiderül, hogy a frekvenciaátviteli függvény két lényeges információt hordoz. A frekvenciafüggő amplitúdó viszonyt (átviteli tényezőt) és a szintén frekvenciafüggő fázistolást, amiből megtudhatjuk, hogy a tranziensek lecsengése után az adott frekvenciájú bemenő jel amplitúdója hányszorosára változik, és mekkora fáziseltérése lesz a gerjesztéshez képest.

A komplex számok terminológiája szerint a frekvenciafüggő amplitúdó viszony a frekvenciaátviteli függvény abszolút értéke, a frekvenciafüggő fázistolás pedig az argumentuma.

 

A 0 ( ω ) = a b s ( G ( j ω ) ) = | G ( j ω ) |

(1.40)

 

ϕ ( ω ) = arg ( G ( j ω ) ) = G ( j ω )

(1.41)

1.1.2.2. Polinomiális alakú frekvenciaátviteli függvény

A komplex alakú harmonikus gerjesztés és harmonikus válasz idő szerinti deriváltjait behelyettesítve a (K.Á.L.I. ) differenciálegyenletbe (1.3), a frekvenciaátviteli függvény polinomiális alakját kapjuk.

1.1. táblázat - A bemeneti / kimeneti jel és deriváltjaik frekvenciaátviteli függvényei

Bemeneti jel

Kimeneti jel

u ˜ ( t ) = U 0 e j ω t

y ˜ ( t ) = Y 0 ( ω ) e j ( ω t + ϕ ( ω ) )

d u ˜ ( t ) d t = j ω U 0 e j ω t

d y ˜ ( t ) d t = j ω Y 0 e j ( ω t + ϕ ( ω ) )

……

……

d m u ˜ ( t ) d t m = ( j ω ) m U 0 e j ω t

d n y ˜ ( t ) d t n = ( j ω ) n Y 0 e j ( ω t + ϕ ( ω ) )


A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy a komplex alakú harmonikus jelek idő szerinti deriválása jω-val való szorzásnak felel meg. Ahányadik deriváltat kell előállítanunk, a jelet jω annyiadik hatványával kell megszoroznunk.

Ha a K.Á.L.I differenciálegyenletbe (1.3) az általános gerjesztés és válasz helyett a harmonikust írjuk

 

a n d n y ˜ ( t ) d t n + a n 1 d n 1 y ˜ ( t ) d t n 1 + ... + a 1 d y ˜ ( t ) d t + a 0 y ˜ ( t ) = b 0 u ˜ ( t ) + b 1 d u ˜ ( t ) d t + ... + b m 1 d m 1 u ˜ ( t ) d t m 1 + b m d m u ˜ ( t ) d t m

(1.42)

majd helyettesítjük az előbb előállított deriváltakat

 

a n ( j ω ) n y ˜ ( t ) + a n 1 ( j ω ) n 1 y ˜ ( t ) + ... + a 1 ( j ω ) y ˜ ( t ) + a 0 y ˜ ( t ) = b 0 u ˜ ( t ) + b 1 ( j ω ) u ˜ ( t ) + ... + b m 1 ( j ω ) m 1 u ˜ ( t ) + b m ( j ω ) m u ˜ ( t )

(1.43)

a harmonikus jelet mindkét oldalon kiemelhetjük

 

y ˜ ( t ) ( a n ( j ω ) n + a n 1 ( j ω ) n 1 + ... + a 1 ( j ω ) + a 0 ) = u ˜ ( t ) ( b 0 + b 1 ( j ω ) + ... + b m 1 ( j ω ) m 1 + b m ( j ω ) m )

(1.44)

A frekvenciaátviteli függvény definícióját (1.38) alkalmazva

 

G ( j ω ) = y ˜ ( t ) u ˜ ( t ) = b 0 + b 1 ( j ω ) + ... + b m 1 ( j ω ) m 1 + b m ( j ω ) m a 0 + a 1 ( j ω ) + ... + a n 1 ( j ω ) n 1 + a n ( j ω ) n

(1.45)

1.1.2.3. Zérus–pólus–erősítés alakú frekvenciaátviteli függvény

A polinomiális frekvenciaátviteli függvényt átalakíthatjuk úgy, hogy a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük a legmagasabb jω hatványok együtthatóját (a számlálóból b m -et, a nevezőből a n -t):

 

G ( j ω ) = y ˜ ( t ) u ˜ ( t ) = b m a n b 0 b m + b 1 b m ( j ω ) + ... + b m 1 b m ( j ω ) m 1 + ( j ω ) m a 0 a n + a 1 a n ( j ω ) + ... + a n 1 a n ( j ω ) n 1 + ( j ω ) n

(1.46)

A számláló és nevező polinomot felírhatjuk gyöktényezős alakban:

 

G ( j ω ) = y ˜ ( t ) u ˜ ( t ) = b m a n ( j ω z 1 ) ( j ω z 2 ) ( j ω z m 1 ) ( j ω z m ) ( j ω p 1 ) ( j ω p 2 ) ( j ω p n 1 ) ( j ω p n )

(1.47)

A számláló z i C (i = 1,2, . . . ,m) gyökeit (zérusok) és a nevező p k C (k = 1,2, . . . ,n) gyökeit (pólusok) egyszerűen ábrázolhatjuk a komplex számsíkon, ha felírjuk a frekvenciaátviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.48).

 

G ( j ω ) = y ˜ ( t ) u ˜ ( t ) = K Π i = 1 m ( j ω z i ) Π k = 1 n ( j ω p k )

(1.48)

1.1.3. Rendszerek leírása Laplace tartományban

Az időtartományból Laplace–operátoros tartományba való áttérésnek számos oka lehet. Ezek egyike, hogy a K.Á.L.I. differenciálegyenlet időtartománybeli megoldását operátoros tartományban, algebrai egyenlet megoldásával válthatjuk ki. Az algebrai egyenlet megoldása ugyan egyszerűbb, de gondoskodnunk kell az idő- és operátoros tartomány közötti oda és vissza transzformációról, ami a rendelkezésre álló Laplace–transzformációs táblázatok alkalmazásával viszonylag egyszerűen megvalósítható.

Formálisan az s = jω helyettesítéssel származtathatjuk a G(s) átviteli függvényt a G(jω) frekvenciaátviteli függvényből, azonban ez csak harmonikus gerjesztés és az arra adott harmonikus válasz esetén érvényes. Amennyiben kiterjesztjük vizsgálatainkat periodikus, majd nem periodikus (végtelen periódusidejűnek tekintett) jelek kezelésére, a Fourier–sorfejtés, a Fourier–transzformáció, valamint a Laplace–transzformáció alkalmazására kényszerülünk.

A rendszervizsgálatokban előforduló nem periodikus jelek Laplace–transzformáltja előállítható, sőt táblázatok állnak rendelkezésünkre rengeteg időfüggvény–Laplace transzformált függvény párral. Ha a Laplace–transzformációt, mint féloldalas (az integrálás alsó határa helyett 0), e σ t ( σ > 0 ) függvénnyel súlyozott Fourier–transzformációt tekintjük, akár magunk is előállíthatjuk különböző időfüggvények Laplace-transzformáltját (és természetesen inverz transzformációval a megfelelő időfüggvényeket is).

A Laplace–transzformáció segítségével bevezethetjük a G(s) átviteli függvényt, ami a rendszer differenciálegyenlettel és frekvenciaátviteli függvénnyel egyenértékű matematikai modellje.

1.1.3.1. Polinomiális átviteli függvény

Az átviteli függvényt a differenciálegyenlet (1.3) mindkét oldalának zérus kezdeti feltételek melletti Laplace-transzformálásával állíthatjuk elő

 

a n s n Y ( s ) + a n 1 s n 1 Y ( s ) + ... + a 1 s Y ( s ) + a 0 Y ( s ) = = b 0 U ( s ) + b 1 s U ( s ) + ... + b m 1 s m 1 U ( s ) + b m s m U ( s )

(1.49)

Ezután a baloldalról kiemelhetjük a kimenő jel Y(s), a jobb oldalról a bemenő jel U(s) Laplace-transzformáltját

 

Y ( s ) ( a n s n + a n 1 s n 1 + ... + a 1 s + a 0 ) = = U ( s ) ( b 0 + b 1 s + ... + b m 1 s m 1 + b m s m )

(1.50)

majd ezek hányadosaként állíthatjuk elő az átviteli függvény polinomiális alakját

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 + b 1 s + ... + b m 1 s m 1 + b m s m a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n

(1.51)

1.1.3.2. Zérus-pólus-erősítés alakú átviteli függvény

Ahogy a frekvenciaátviteli függvénynél már láttuk, a polinomiális átviteli függvényt átalakíthatjuk úgy, hogy a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük a legmagasabb s hatványok együtthatóját:

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m a n b 0 b m + b 1 b m s + ... + b m 1 b m s m 1 + s m a 0 a n + a 1 a n s + ... + a n 1 a n n n 1 + s n

(1.52)

A számláló és nevező polinomjait felírhatjuk gyöktényezős alakban:

 

G ( j ω ) = y ˜ ( t ) u ˜ ( t ) = b m a n ( s z 1 ) ( s z 2 ) ( s z m 1 ) ( s z m ) ( s p 1 ) ( s p 2 ) ( s p n 1 ) ( s p n )

(1.53)

Bevezetve a K = b m /a n erősítés, a Z ( s ) = ( s z 1 ) ( s z 2 ) ( s z m 1 ) ( s z m ) zérus polinom és a P ( s ) = ( s p 1 ) ( s p 2 ) ( s p n 1 ) ( s p n ) pólus polinom jelölést, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés (ZPK) alakja:

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = K Π i = 1 m ( s z i ) Π k = 1 n ( s p k ) = K Z ( s ) P ( s )

(1.54)

1.1.3.3. Differenciálegyenlet-megoldás Laplace-operátoros tartományban

A K.Á.L.I. differenciálegyenlet megoldásához az időtartománybeli differenciálás Laplace–operátoros tartománybeli megfelelőjére van szükségünk.

 

L { d f ( t ) d t } = s F ( s ) f ( 0 + )

(1.55)

 

L { d n f ( t ) d t n } = s n F ( s ) s n 1 f ( 0 + ) s n 2 f ( 0 + ) .... s f ( n 2 ) ( 0 + ) f ( n 1 ) ( 0 + )

(1.56)

Zérus kezdeti feltétel esetén az időtartománybeli deriválás megfelelője Laplace–operátoros tartományban az s operátorral való szorzás.

1.1.3.4. Az állapottér modell Laplace-operátoros tartományban

Ha az állapottér modellt időtartományban írjuk fel, a fentiek értelmében bármilyen differenciálegyenlet (differenciálegyenlet–rendszer) Laplace–transzformációval algebrai egyenletté (algebrai egyenletrendszerré) alakítható, a megoldás inverz Laplace–transzformálásával pedig megkapjuk az eredeti differenciálegyenlet (differenciálegyenlet–rendszer) megoldását.

Korábban láttuk, hogy az n-ed rendű közönséges, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet formálisan átalakítható állapottér modellé, ha a jobb oldalon csak a gerjesztés szerepel, a bemenő jel deriváltjai nem. Ha a differenciálegyenlet gerjesztés oldala m-ed rendű, az átviteli függvény segítségével írjuk fel az állapottér modellt. A jobb oldali deriváltak az átviteli függvény számlálójában s hatványok formájában szerepelnek.

Bővítsük a polinomiális átviteli függvényt az alábbiak szerint, az első állapotváltozó X 1 (s) Laplace–transzformáltjának bevezetésével! A polinomok hányadosát két sorba kapcsolt rendszer átviteli függvényeként értelmezve, és felhasználva az átviteli függvény definíciójából, hogy sorba kapcsolt rendszerek eredő átviteli függvénye az egyes rendszerek átviteli függvényének szorzata, az alábbi össefüggéshez jutunk:

 

G ( s ) = X 1 ( s ) U ( s ) Y ( s ) X 1 ( s ) = 1 a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n ( b 0 + b 1 s + ... + b m 1 s m 1 + b m s m )

(1.57)

Nézzük meg először a bal oldali átviteli függvényből a differenciálegyenlet segítségével létrehozható állapottér modellt!

 

X 1 ( s ) U ( s ) = 1 a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n

(1.58)

Keresztbe szorzással és inverz Laplace–transzformációval egy u(t ) bemenetű, x 1 (t ) kimenetű rendszer differenciálegyenletét kapjuk:

 

X 1 ( s ) ( a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n ) = U ( s )

(1.59)

 

a 0 X 1 ( s ) + a 1 s X 1 ( s ) + ... + a n 1 s n 1 X 1 ( s ) + a n s n X 1 ( s ) = U ( s )

(1.60)

 

a 0 d ( 0 ) x 1 ( t ) d t ( 0 ) + a 1 d x 1 ( t ) d t + ... + a n 1 d ( n 1 ) x 1 ( t ) d t ( n 1 ) + a n d ( n ) x 1 ( t ) d t ( n ) = u ( t )

(1.61)

A korábban ismertetett módon kifejezzük a differenciálegyenletből a legmagasabb deriváltat:

 

d ( n ) x 1 ( t ) d t ( n ) = a 0 a n x 1 ( t ) a 1 a n d x 1 ( t ) d t ... a n 1 a n d ( n 1 ) x 1 ( t ) d t ( n 1 ) + 1 a n u ( t )

(1.62)

A további állapotváltozókat a megszokott módon, a megelőző állapotváltozó deriválásával állítjuk elő

 

x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 ... x ˙ n 1 = x n

(1.63)

majd ezeket helyettesítjük az imént kifejezett legmagasabb deriváltba:

 

x ˙ n ( t ) = a 0 a n x 1 ( t ) a 1 a n x 2 ( t ) ... a n 1 a n x n ( t ) + 1 a n u ( t )

(1.64)

A fentiek alapján felírhatjuk a rendszer állapotegyenletét:

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ... x ˙ n 1 x ˙ n ] = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n a n 1 a n ] [ x 1 x 2 x 3 ... x n 1 x n ] + [ 0 0 0 ... 0 1 a n ] u ( t )

(1.65)

Folytassuk a másik átviteli függvény átalakításával!

 

Y ( s ) X 1 ( s ) = b 0 + b 1 s + ... + b m 1 s m 1 + b m s m

(1.66)

Keresztbe szorzással és inverz Laplace–transzformációval egy x 1 (t ) bemenetű, y(t ) kimenetű rendszer differenciálegyenletét kapjuk:

 

Y ( s ) = X 1 ( s ) ( b 0 + b 1 s + ... + b m 1 s m 1 + b m s m )

(1.67)

 

Y ( s ) = b 0 X 1 ( s ) + b 1 s X 1 ( s ) + ... + b m 1 s m 1 X 1 ( s ) + b m s m X 1 ( s )

(1.68)

Ebbe az egyenletbe is behelyettesíthetjük a korábban bevezetett állapotváltozókat:

 

Y ( s ) = b 0 X 1 ( s ) + b 1 X 2 ( s ) + ... + b m 1 X m ( s ) + b m X m + 1 ( s )

(1.69)

Az n-ed rendű differenciálegyenletből adódóan legfeljebb n állapotváltozót használhatunk a fenti egyenletben, így érvényes az nm+1 egyenlőtlenség, ami szigorúbb a megvalósítható differenciálegyenletnél említett nm feltételnél. Az n = m+1 feltétel kizárja (az egyébként nem megvalósítható) differenciáló jellegű rendszerek állapottér modelljének felírását.

Az nm+1 feltétel teljesülése esetén felírhatjuk az állapottér modell második részét, a kicsatolási egyenletet az inverz Laplace-transzformáció alkalmazásával:

 

y ( t ) = [ b 0 b 1 b 2 ... b m ] [ x 1 x 2 x 3 ... x m + 1 ] + 0 u ( t )

(1.70)

Az nm+1 feltételt teljesítő differenciálegyenletből származtatható állapottér modell:

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ... x ˙ n 1 x ˙ n ] = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n a n 1 a n ] [ x 1 x 2 x 3 ... x n 1 x n ] + [ 0 0 0 ... 0 1 a n ] u ( t )

(1.71)

 

y ( t ) = [ b 0 b 1 b 2 ... b m ] [ x 1 x 2 x 3 ... x m + 1 ] + 0 u ( t )

(1.72)

Az általános SISO LTI állapottér modell b és c vektora különbözik a differenciálegyenlet jobb oldalán álló, csak az u(t ) bemenő jelet tartalmazó differenciálegyenletből képzett állapottér modelltől.

Ha ismert a SISO rendszer állapottér modellje, a gerjesztés és a kezdeti feltételek, az állapottér modell Laplace–transzformálásával is kiszámíthatjuk a kimenő jelet időtartományban.

A számítás során a rendszer átviteli függvényét is előállítjuk.

Az általános SISO LTI állapottér modell két egyenlete mátrixos formában (1.71 és 1.72), Laplace–transzformálásához az állapotváltozó vektor Laplace–transzformáltja X _ ( s ) = L { x _ ( t ) } , a bemenő jel U ( s ) = L { u ( t ) } , a kimenő jel Y ( s ) = L { y ( t ) } . Az állapottér modell elemei (jelen esetben A _ _ mátrix, b és c vektor és d skalár) a transzformáció során nem változik. Az állapotváltozók Laplace–transzformáltját az állapotváltozókra vonatkozó kezdeti feltételek figyelembevételével írjuk fel, L { x ˙ _ ( t ) } = s X _ ( s ) x ( 0 ) .

 

s X _ ( s ) x _ ( 0 ) = A _ _ X _ ( s ) + b _ U ( s )

(1.73)

 

Y ( s ) = c _ X _ ( s ) + d U ( s )

(1.74)

Az állapotegyenletből (1.73) kifejezhetjük az állapotváltozók vektorát. Amennyiben az állapotváltozók kezdeti értéke zérus ( x _ ( 0 ) = 0 _ ), a számítás valamelyest egyszerűsödik.

 

( s I _ _ A _ _ ) X _ ( s ) = b _ U ( s )

(1.75)

 

X _ ( s ) = ( s I _ _ A _ _ ) 1 b _ U ( s )

(1.76)

Az így kifejezett állapotváltozó vektort behelyettesíthetjük a kicsatolási egyenletbe, hogy megkapjuk a kimenő jel Laplace–transzformáltját:

 

Y ( s ) = c _ ( s I _ _ A _ _ ) 1 b _ U ( s ) + d U ( s )

(1.77)

A kapott kifejezés jobb oldalán kiemelhetjük a bemenő jel Laplace–transzformáltját, és elosztjuk vele az egyenlet mindkét oldalát, hogy megkapjuk a SISO rendszer átviteli függvényét az állapottér modell segítségével:

 

G ( s ) = c _ ( s I _ _ A _ _ ) 1 b _ + d

(1.78)

Természetesen nemcsak zérus kezdeti feltételeknél használhatjuk a Laplace-transzformációs megoldást. Ekkor a deriválás Laplace-transzformációs szabályában meghatározott módon kell figyelembe vennünk a t = 0 időpillanatbeli kezdeti értékeket.

1.1.4. Jellegzetes állapottér modell struktúrák

Külön elnevezéssel illetjük az adott struktúrájú mátrixokból felépülő állapottér modelleket.

További vizsgálatainkban, a differenciálegyenletben azonos fokszámú a kimenő jel és a bemenő jel oldala (ennek megfelelően az átviteli függvényben azonos fokszámú a számláló és a nevező), ami a korábban ismertetett nm megvalósíthatósági feltételből az egyenlőségnek felel meg.

A rendszer bemenet–kimenet leképezése maga a differenciálegyenlet, ha mindkét oldal legmagasabb deriváltja az n-edik

 

a n d n y ( t ) d t n + a n 1 d n 1 y ( t ) d t n 1 + ... + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = = b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t + ... + b n 1 d n 1 u ( t ) d t n 1 + b n d n u ( t ) d t n

(1.79)

illetve az ezzel egyenértékű átviteli függvény

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 + b 1 s + ... + b n 1 s n 1 + b n s n a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n

(1.80)

A kanonikus alakú állapottér modellt korábban már említettük, itt részletesen bemutatjuk, hogyan jutunk el a differenciálegyenlet együtthatóiból egyszerűen felírható fázisváltozós alakú állapottér modell mátrixaihoz.

A közvetlen és párhuzamos programozás módszerével további állapottér reprezentációkhoz juthatunk, akár a differenciálegyenletből, akár az átviteli függvényből indulva. Az így kapott állapottér modellek nem feltétlenül tartalmazzák az átviteli függvényben lévő összes pólust. Ha az átviteli függvény egy vagy több zérusa megszünteti a megfelelő pólusokat, vagyis csökken az átviteli függvény fokszáma, akkor az állapottér modellben ezek a kiejtett gyökök nem jelennek meg. Az egyszerűsítéssel megszüntetett gyökök kérdése a rendszer irányíthatóságához és megfigyelhetőségéhez kapcsolódik - ez utóbbi pedig az analóg számítógépes szimulációban kap szerepet az állapotváltozók kezdeti értékének meghatározásában.

A különböző állapottér modell struktúrák között lineáris transzformációk ( T _ _ a transzformációs mátrix) teremtenek kapcsolatot.

A fázisváltozós (kanonikus) alakot a differenciálegyenletből formális módszerekkel állítjuk elő. A kísérő alakok (companion form) közé tartozik az irányíthatósági normálalak és a megfigyelhetőségi normálalak. A kísérő alakok jellemzői az A _ _ rendszermátrix egy sorát vagy egy oszlopát kitöltő karakterisztikus polinom-együtthatók (vagyis a differenciálegyenlet homogén oldalán lévő kimenő jel és deriváltjai együtthatói). A modális alakban (modal form) az A _ _ rendszermátrix diagonális, a főátlóban a karakterisztikus polinom egyszeres gyökei (a rendszer pólusai) szerepelnek. Amennyiben van többszörös pólus, a rendszermátrix a „majdnem diagonális” Jordan–alakot ölti.

1.1.4.1. Fázisváltozós alak

A fázistér modell korábbi formális bevezetésével  (a kimenő jelet választva első állapotváltozónak, majd deriváltjait rendre a következőknek) a fázisváltozós alakot (phase variable canonical form) kapjuk.

A levezetés áttekinthetőségét segítendő, az első lépésben olyan rendszerrel foglalkozunk, ahol a bemenő jel deriváltjainak együtthatója zérus.

 

a n d n y ( t ) d t n + ... + a 2 d 2 y ( t ) d t n + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t )

(1.81)

Az állapotváltozókat és deriváltjaikat az alábbi szabályszerűség szerint írhatjuk fel

1.2. táblázat - Az állapotváltozók és a deriváltjaik időfüggvényei

Állapotváltozók

Állapotváltozók idő szerinti deriváltja

x 1 ( t ) = y ( t )

x ˙ 1 ( t ) = x 2 ( t )

x 2 ( t ) = d y ( t ) d t

x ˙ 2 ( t ) = x 3 ( t )

x 3 ( t ) = d 2 y ( t ) d t 2

x ˙ 3 ( t ) = x 4 ( t )

……

……

x n ( t ) = d n 1 y ( t ) d t n 1

x ˙ n ( t ) = d n y ( t ) d t n


Az állapotegyenlet

 

[ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ... x ˙ n 1 x ˙ n ] = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n a n 1 a n ] [ x 1 x 2 x 3 ... x n 1 x n ] + [ 0 0 0 ... 0 b 0 a n ] u ( t )

(1.82)

A kicsatolási egyenlet rendkívül egyszerű, a kimenő jel megegyezik az elsőként választott állapotváltozóval:

 

y ( t ) = [ 1 0 0 ... 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ... x m + 1 ] + 0 u ( t )

(1.83)

Ahhoz, hogy kiterjeszthessük a leírást olyan rendszerre is, ahol a bemenő jel oldalán is szerepelnek deriváltak, a már megismert módon csatoljuk szét a differenciálegyenletet, ezúttal időtartományban!

 

a n d n y ( t ) d t n + a n 1 d n 1 y ( t ) d t n 1 + ... + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = = b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t + ... + b n 1 d n 1 u ( t ) d t n 1 + b n d n u ( t ) d t n

(1.84)

A v(t ) változó bevezetésével a szétcsatolással kapott két differenciálegyenlet

 

a n d n v ( t ) d t n + ... + a 1 d v ( t ) d t + a 0 v ( t ) = u ( t )

(1.85)

 

y ( t ) = b 0 v ( t ) + b 1 d v ( t ) d t + ... + b n d n v ( t ) d t n

(1.86)

Írjuk fel az állapotváltozókat (és deriváltjaikat) a megszokott módon az új v(t ) kimenő jellel

1.3. táblázat - Az állapotváltozók és a deriváltjaik időfüggvényei

Állapotváltozók

Állapotváltozók idő szerinti deriváltja

x 1 ( t ) = v ( t )

x ˙ 1 ( t ) = x 2 ( t )

x 2 ( t ) = d v ( t ) d t

x ˙ 2 ( t ) = x 3 ( t )

x 3 ( t ) = d 2 v ( t ) d t 2

x ˙ 3 ( t ) = x 4 ( t )

……

……

x n ( t ) = d n 1 v ( t ) d t n 1

x ˙ n ( t ) = d n v ( t ) d t n


Az n-edik állapotváltozó deriváltját a megszokott módon fejezzük ki a differenciálegyenletből

 

x ˙ n ( t ) = a 0 a n x 1 ( t ) a 1 a n x 2 ( t ) ... a n 1 a n x n ( t ) + 1 a n u ( t )

(1.87)

A kicsatolási egyenletet az v(t) előbb kifejezett legmagasabb (n-edik) deriváltjának az eredeti differenciálegyenlet szétcsatolásával kapott második egyenletbe való helyettesítésével állítjuk elő.

 

y ( t ) = ( b 0 b n a 0 a n ) x 1 ( t ) + ( b 1 b n a 1 a n ) x 2 ( t ) + ... + ( b n 1 b n a n 1 a n ) x n ( t ) + b n u ( t )

(1.88)

Mátrixos alakban

 

y ( t ) = [ b 0 b n a 0 a n , b 1 b n a 1 a n , .... b n 1 b n a n 1 a n ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) x n ( t ) ] + b n u ( t )

(1.89)

 

A _ _ p h = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n ... a n 1 a n ]

(1.90)

 

B _ _ p h = b _ p h = [ 0 0 0 ... 0 1 a n ]

(1.91)

 

C _ _ p h = c _ p h = [ b 0 b n a 0 a n , b 1 b n a 1 a n , .... b n 1 b n a n 1 a n ]

(1.92)

 

D _ _ p h = d _ p h = b n

(1.93)

Az igen gyakori b n = 0 esetben, a kicsatolási egyenlet alakja könnyen megjegyezhetővé válik.

 

y ( t ) = [ b 0 , b 1 , .... b n 1 ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) x n ( t ) ] + 0 u ( t )

(1.94)

Ezzel b n = 0 (vagyis nm) esetén a SISO LTI rendszer fázisváltozós (ph a phase variable kifejezésből származó rövidítés) kanonikus alakú állapottér modell mátrixai.

 

A _ _ p h = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n a n 1 a n ]

(1.95)

 

b _ p h = [ 0 0 0 ... 0 1 a n ]

(1.96)

 

c _ p h = [ b 0 , b 1 , .... b n 1 ]

(1.97)

 

d _ p h = 0

(1.98)

Ha a n = 1, még egyszerűbbek a mátrixok.

1.1.4.2. Az irányíthatósági normálalak

Az irányíthatósági normálalakot (controllable canonical form) a közvetlen programozás módszerével állíthatjuk elő az átviteli függvény polinomiális alakjából (1.51) vagy az ezzel ekvivalens differenciálegyenletből (1.3). A következőkben feltételezzük, hogy a kezdeti feltételek mindegyike zérus.

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 + b 1 s + ... + b n 1 s n 1 + b n s n a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n

(1.99)

A rendszert szétcsatolhatjuk két sorba kapcsolt átviteli függvény eredőjére. Az egyik egységnyi számlálójú, a másik egységnyi nevezőjű, a kettő között egy V (s) kisegítő változó bevezetésével teremthetünk formálisan kapcsolatot.

 

G ( s ) = V ( s ) U ( s ) Y ( s ) V ( s ) = 1 a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n ( b 0 + b 1 s + ... + b n 1 s n 1 + b n s n )

(1.100)

A két átviteli függvény:

 

G 1 ( s ) = V ( s ) U ( s ) = 1 a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n

(1.101)

 

G 2 ( s ) = Y ( s ) V ( s ) = b 0 + b 1 s + ... + b n 1 s n 1 + b n s n

(1.102)

Ezt a szétcsatolást blokkdiagramon is ábrázolhatjuk (1.2. ábra).

Az átviteli függvény szétcsatolása az irányíthatósági normálalak felírásához
1.2. ábra - Az átviteli függvény szétcsatolása az irányíthatósági normálalak felírásához


Az U(s) bemenetet tartalmazó átviteli függvényből keresztbe szorzással kialakuló egyenletet akár differenciálegyenletté is alakíthatnánk, de most maradunk Laplace–operátoros tartományban

 

V ( s ) ( a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 + a n s n ) = U ( s )

(1.103)

V(s)-t és deriváltjait választva állapotváltozóknak (és rögtön felírva az állapotváltozók deriváltját)

1.4. táblázat - Az állapotváltozók és idő szerinti deriváltjaik Laplace-függvényei

Állapotváltozók

Az állapotváltozók idő szerinti deriváltjainak Laplace-függvénye

X 1 ( s ) = V ( s )

s X 1 ( s ) = X 2 ( s )

X 2 ( s ) = s V ( s )

s X 2 ( s ) = X 3 ( s )

X 3 ( s ) = s 2 V ( s )

s X 3 ( s ) = X 4 ( s )

……

……

X n ( s ) = s n 1 V ( s )

s X n ( s ) = s n V ( s )


A keresztbe szorzással előállított egyenletből kifejezhetjük a legmagasabb deriváltnak megfelelő s n V (s) elemet

 

s n V ( s ) = a 0 a n V ( s ) a 1 a n s V ( s ) ... a n 1 a n s n 1 V ( s ) + 1 a n U ( s )

(1.104)

és felírhatjuk az állapotváltozók segítségével is

 

s X n ( s ) = a 0 a n X 1 ( s ) a 1 a n X 2 ( s ) ... a n 1 a n s n 1 X n ( s ) + 1 a n U ( s )

(1.105)

Az állapotegyenletet mátrixos alakban, Laplace–operátoros tartományban felírva a fázisváltozós alakkal egyező struktúrát kapunk:

 

[ s X 1 s X 2 s X 3 ... s X n 1 s X n ] = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n ... a n 1 a n ] [ X 1 X 2 X 3 ... X n 1 X n ] + [ 0 0 0 ... 0 1 a n ] u ( t )

(1.106)

A szétcsatolással kapott G 2 (s) második átviteli függvényt megszorozva V (s)-sel, kifejezhetjük az Y (s) kimenetet, V (s) és deriváltjai lineáris kombinációjaként

 

Y ( s ) = b 0 V ( s ) + b 1 s V ( s ) + b 2 s 2 V ( s ) + ... + b n 1 s n 1 V ( s ) + b n s n V ( s )

(1.107)

V (s) és deriváltjai helyére a választott állapotváltozókat beírva

 

Y ( s ) = b 0 X 1 ( s ) + b 1 X 2 ( s ) + b 2 X 3 ( s ) + ... + b n 1 X n ( s ) + b n s X n ( s )

(1.108)

Az s·X n (s) helyére az első átviteli függvényből kifejezett képletet írhatjuk

 

Y ( s ) = b 0 X 1 ( s ) + b 1 X 2 ( s ) + b 2 X 3 ( s ) + ... + b n 1 X n ( s ) + + b n ( a 0 a n X 1 ( s ) a 1 a n X 2 ( s ) ... a n 1 a n s n 1 X n ( s ) + 1 a n U ( s ) )

(1.109)

Rendezés után

 

Y ( s ) = ( b 0 b n a 0 a n ) X 1 ( s ) + ( b 1 b n a 1 a n ) X 2 ( s ) + ... + ( b n 1 b n a n 1 a n ) X n ( s ) + b n a n U ( s )

(1.110)

a kicsatolási egyenletet kapjuk

 

Y ( s ) = [ ( b 0 b n a 0 a n ) , ( b 1 b n a 1 a n ) , ... ( b n 1 b n a n 1 a n ) ] [ X 1 ( s ) X 2 ( s ) ... X n ( s ) ] + b n a n U ( s )

(1.111)

A közvetlen programozás módszerével előállított irányíthatósági normálalak megegyezik az előző részben ismertetett fázisváltozós alakkal.

Differenciálegyenletből (vagy átviteli függvényből) igen gyakran az egyenlet analóg számítógépes (szimulációs) megoldásának blokkvázlata (algoritmusa) alapján állítjuk elő az állapottér modellt. Az analóg számítógépekkel később részletesebben foglalkozunk, itt csupán a szükséges alapokat tekintjük át.

A szimulációs diagramnak is nevezhető ábra az analóg számítógép műveleti egységeinek (integrátor, összegző, előjelfordító, szorzó) megfelelő szimbólumokból épül fel. A bemenő jelek előállításáról függvénygenerátorokkal gondoskodhatunk, bár ez jelenleg nem lényeges, hiszen a szimulációs diagramot csupán az állapottér modell felírásához használjuk, nem pedig az analóg számítógép programozásához.

Az analóg számítógép időtől függő jelekkel dolgozik, azonban a szemléletességen nem változtat, ha Laplace–operátoros tartományban írjuk fel a jeleket és az integrálás operátoros tartománybeli megfelelőjét, 1/s-t írjuk a megfelelő blokkokba. Eltekintünk továbbá az analóg számítógépes kapcsolásokban használt műveleti erősítővel megvalósított elemek előjelfordító tulajdonságától. Szintén nem foglalkozunk az állandóval való szorzás és az összegzés analóg számítógépes megvalósításával, hanem a hatásvázlatokban előforduló jelképeket használjuk.

Példánkban (a fázisváltozós alaknál már alkalmazott b n = 0 esetre) a közvetlen programozáshoz n darab integrátort kapcsolunk sorba. Az első integrátor bemenete a legmagasabb deriváltnak megfelelő s n ·V(s), kimenete s n-1 ·V(s). A sorban utolsó integrátor kimenete V (s).

A szétcsatolásból származó első átviteli függvényből kifejezett s n ·V(s) jelet a képletben szereplő elemek összegzésével állíthatjuk el

Az irányíthatósági normálalak szimulációs diagramja (b n =0)
1.3. ábra - Az irányíthatósági normálalak szimulációs diagramja (b n =0)


A szimulációs diagramon (1.3. ábra) szereplő integrátorok kimenetét választva állapotváltozónak, a fázisváltozós alakkal egyező irányíthatósági normálalak mátrixok könnyen felírhatók.

 

A _ _ c = [ 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 a 0 a n a 1 a n a 2 a n a 3 a n ... a n 1 a n ]

(1.112)

 

B _ _ c = b _ c = [ 0 0 0 ... 0 1 a n ]

(1.113)

 

C _ _ c = c _ c = [ b 0 b n a 0 a n , b 1 b n a 1 a n , .... b n 1 b n a n 1 a n ]

(1.114)

 

D _ _ c = d _ c = b n

(1.115)

Az irányíthatósági normálalak a modern irányítástechnikában az irányíthatóság vizsgálatában és biztosításában igen fontos rendszerleírási mód.

1.1.4.3. A megfigyelhetőségi normálalak

A megfigyelhetőségi normálalak (observer canonical form) szintén igen fontos a modern irányítástechnikában. Felírásához ugyancsak az átviteli függvényből (1.51) indulunk ki. Az átviteli egyenletből kifejezzük a kimenő jel s n ·Y(s) formában megadott legmagasabb deriváltját

 

s n Y ( s ) = 1 a n Y ( s ) ( a 0 + a 1 s + ... + a n 1 s n 1 ) + + 1 a n U ( s ) ( b 0 + b 1 s + ... + b n s n )

(1.116)

Osszuk végig mindkét oldalt s n -el, és az a n együtthatóval az osztást vigyük be a zárójel mögé!

 

Y ( s ) = 1 s n Y ( s ) ( a 0 a n + a 1 a n s + ... + a n 1 a n s n 1 ) + + 1 s n U ( s ) ( b 0 a n + b 1 a n s + ... + b n a n s n )

(1.117)

A zárójelek feloldása után

 

Y ( s ) = a 0 a n 1 s n Y ( s ) a 1 a n 1 s n 1 Y ( s ) ... a n 1 a n 1 s Y ( s ) + + b 0 a n 1 s n U ( s ) + b 1 a n 1 s n 1 U ( s ) + ... + b n a n U ( s )

(1.118)

Végezzünk integrálást a Laplace–operátoros tartományban és osztást az s operátorral. Ezzel az s hatványok szerint alakíthatjuk tovább a kifejezést

 

Y ( s ) = b n a n U ( s ) + 1 s ( b n 1 a n U ( s ) a n 1 a n Y ( s ) ) + 1 s 2 ( b n 2 a n U ( s ) a n 2 a n Y ( s ) ) + ... + + 1 s n 1 ( b 1 a n U ( s ) a 1 a n Y ( s ) ) + 1 s n ( b 0 a n U ( s ) a 0 a n Y ( s ) )

(1.119)

Az egyenletnek (b n = 0 feltételezésével) megfelelő analóg számítógépes program szimulációs diagramja (1.4. ábra) szintén n egymás után kapcsolt integrátorból épül fel.

A megfigyelhetőségi normálalak szimulációs diagramja (b n = 0)
1.4. ábra - A megfigyelhetőségi normálalak szimulációs diagramja (b n = 0)


Az integrátorok kimenetét úgy választva állapotváltozóknak, hogy az első integrátor kimenete az első állapotváltozó, a második integrátor kimenete a második állapotváltozó, és így tovább, a diagramban jobbról balra haladva először a kicsatolási egyenletet kapjuk meg.

 

Y ( s ) = X n ( s ) + b n a n U ( s )

(1.120)

majd pedig felírhatjuk az állapotváltozók differenciálegyenletét

 

s X n ( s ) = X n 1 ( s ) + b n 1 a n U ( s ) a n 1 a n Y ( s ) = = X n 1 ( s ) + b n 1 a n U ( s ) a n 1 a n ( X n ( s ) + b n a n U ( s ) ) = = X n 1 ( s ) + a n 1 a n X n ( s ) + ( b n 1 a n a n 1 b n a n ) U ( s )

(1.121)

 

s X n 1 ( s ) = X n 2 ( s ) + b n 2 a n U ( s ) a n 2 a n Y ( s ) = = X n 2 ( s ) + b n 2 a n U ( s ) a n 2 a n ( X n ( s ) + b n a n U ( s ) ) = = X n 2 ( s ) + a n 2 a n X n ( s ) + ( b n 2 a n a n 2 b n a n ) U ( s )

(1.122)

 

. . . . . . . . .

 
 

s X 2 ( s ) = X 1 ( s ) + b 1 a n U ( s ) a 1 a n Y ( s ) = = X 1 ( s ) + b 1 a n U ( s ) a 1 a n ( X n ( s ) + b n a n U ( s ) ) = = X 1 ( s ) + a 1 a n X n ( s ) + ( b 1 a n a 1 b n a n ) U ( s )

(1.123)

 

s X 1 ( s ) = b 0 a n U ( s ) a 0 a n Y ( s ) = = b 0 a n U ( s ) a 0 a n ( X n ( s ) + b n a n U ( s ) ) = = a 0 a n X n ( s ) + ( b 0 a n a 0 b n a n ) U ( s )

(1.124)

Most már egyszerűen felírhatjuk a megfigyelhetőségi normálalak állapottér mátrixait.

 

A _ _ o = [ 0 0 ... 0 0 a 0 a n 1 0 ... 0 0 a 1 a n 0 1 ... 0 0 a 2 a n ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 0 a n 2 a n 0 0 ... 0 1 a n 1 a n ]

(1.125)

 

B _ _ o = b _ o = [ b 0 a n a 0 b n a n b 1 a n a 1 b n a n b 2 a n a 2 b n a n ... b n 2 a n a n 2 b n a n b n 1 a n a n 1 b n a n ]

(1.126)

 

C _ _ o = c _ o = [ 0 0 0 ... 0 1 ]

(1.127)

 

D _ _ o = d _ o = b n a n

(1.128)

A megfigyelhetőségi normálalak lineáris, dinamikus rendszerek számítógépes szimulációjában is nagyon jól használható, mivel a rendszer kezdeti feltételeit is könnyen figyelembe tudjuk venni. Ez az alak a rendszer megfigyelhetőségével áll kapcsolatban, ami azt jelenti, hogy az összes állapotváltozó hatással van a rendszer kimenetére és fordítva, a rendszer kimenete és az állapotegyenlet ismeretében az állapotváltozókat bármelyik időpillanatban rekonstruálhatjuk. Ha t = 0-ban végezzük el a számításokat, a kimenő jel és deriváltjai kezdeti értékei segítségével meghatározhatjuk az állapotváltozók kezdeti értékeit.

1.1.4.4. A modális alak

A párhuzamos programozás módszerével állítjuk elő a modális kanonikus alakot (szétcsatolt alakot) és ennek speciális esetét a Jordan–féle kanonikus alakot.

Amennyiben a rendszer n-edfokú karakterisztikus egyenletének n különböző valós gyöke van, és feltételezzük, hogy n > m, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.54) résztörtekre bontással írjuk fel

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = K Z ( s ) ( s p 1 ) ( s p 2 ) ( s p n ) = = k 1 ( s p 1 ) + k 2 ( s p 2 ) + ... + k n ( s p n )

(1.129)

Az átviteli függvény ilyenkor n darab, párhuzamosan kapcsolt, egytárololós, arányos tag eredője. Az egyes egytárolós tagok az integrátor pólusértékkel való visszacsatolásával adják meg az állapotváltozókat, a visszacsatolás bemenő jele a rendszer u(t) bemenő jele, kimenete pedig az állapotváltozó. A résztörtekre bontásból származó k állandóval szorozva az állapotváltozót, majd összegezve ezeket a szorzatokat, megkapjuk a rendszer y(t ) kimenő jelét. A rendszer szimulációs diagramján (1.5. ábra) most is n integrátor szerepel.

A modális alak szimulációs diagramja (n különböző valós pólus)
1.5. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n különböző valós pólus)


 

A _ _ m = [ p 1 0 ... 0 0 0 0 p 2 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 p n 1 0 0 0 ... 0 0 p n ]

(1.130)

 

B _ _ m = b _ m = [ 1 1 1 ... 1 1 ]

(1.131)

 

C _ _ m = c _ m = [ k 1 k 2 k 3 ... k n 1 k n ]

(1.132)

 

D _ _ m = d _ m = 0

(1.133)

Amennyiben a rendszer n-edfokú karakterisztikus egyenletének n-2 különböző valós gyöke és egy konjugált komplex gyökpárja van, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.54) résztörtekre bontással úgy írjuk fel, hogy a konjugált komplex p1=α+j•β és p2=α-j•β gyökpárt egy másodrendű taggal helyettesítjük.

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = K Z ( s ) ( s ( α + j β ) ) ( s ( α j β ) ) ( s p 3 ) ... ( s p n ) = = k 1 + k 2 s s 2 2 α s + ( α 2 + β 2 ) + k 3 ( s p 3 ) + ... + k n ( s p n )

(1.134)

Az egyszeres gyököknek megfelelő tagokat az imént bemutatott párhuzamos programozással adjuk meg. A másodrendű nevezőjű tagot a közvetlen programozás módszerével kezeljük, akár irányíthatósági, akár megfigyelhetőségi normálalakban felírva (1.6. ábra).

A modális alak szimulációs diagramja (n-2 különböző valós pólus és egy konjugált komplex gyökpár esetén)
1.6. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n-2 különböző valós pólus és egy konjugált komplex gyökpár esetén)


 

A _ _ m = [ 0 1 ... 0 0 0 ( α 2 + β 2 ) 2 α ... 0 0 0 0 p 3 ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 p n 1 0 0 0 ... 0 0 p n ]

(1.135)

 

B _ _ m = b _ m = [ 0 1 1 ... 1 1 ]

(1.136)

 

C _ _ m = c _ m = [ k 1 k 2 k 3 ... k n 1 k n ]

(1.137)

 

D _ _ m = d _ m = 0

(1.138)

Amennyiben a rendszer n-edfokú karakterisztikus egyenletének egyik gyöke r–szeres valós, a többi n-r pedig különböző valós gyök, és feltételezzük, hogy n > m, az átviteli függvény zérus–pólus–erősítés alakját (1.54) ismét résztörtekre bontással írjuk fel.

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = K Z ( s ) ( s p 1 ) r ( s p r + 1 ) ( s p r + 2 ) ... ( s p n ) = = k 1 ( s p 1 ) + k 2 ( s p 1 ) 2 + ... + k r ( s p 1 ) r + 1 + k r + 1 ( s p r + 1 ) + ... + k n ( s p n )

(1.139)

A szimulációs diagramban (1.7. ábra) a különböző valós gyökökhöz tartozó ábrarészlet megegyezik az (1.5. ábra) ábra felépítésével. Az r-szeres pólusnak megfelelő x 1 , x 2 ,…,x r állapotváltozók sorban egy–egy, a p 1 pólussal visszacsatolt integrátor kimenete. A résztörtekből számított k 1, k 2 ,   ,k r konstansokkal súlyozva a megfelelő állapotváltozókat, megkapjuk a többszörös gyök y(t ) kimenő jelben szereplő részét.

A modális alak szimulációs diagramja (n-r különböző és r azonos valós pólus esetén)
1.7. ábra - A modális alak szimulációs diagramja (n-r különböző és r azonos valós pólus esetén)


 

A _ _ m = [ p 1 1 0 0 0 0 ... 0 ... 0 0 p 1 1 0 0 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 p 1 1 0 ... 0 ... 0 0 0 0 0 p 1 1 ... 0 ... 0 0 0 0 0 0 p r + 1 ... 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 p r + 2 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p n 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p n ]

(1.140)

 

B _ _ m = b _ m = [ 0 1 1 ... 1 1 ]

(1.141)

 

C _ _ m = c _ m = [ k 1 k 2 k 3 ... k n 1 k n ]

(1.142)

 

D _ _ m = d _ m = 0

(1.143)

1.2. Alapelemek (objektumok, blokkok, műveletek)

A folytonos rendszerek áramköri megvalósításai napjainkban is megkülönböztetett jelentőségűek. Bár mintavételes rendszerekkel egyre egyszerűbben és olcsóbban valósíthatók meg azok a funkciók, amelyeket régebben csak analóg áramkörökkel voltak megvalósíthatók. A folytonos (analóg) rendszerek műveleti egységei olyan alapműveleteket valósítanak meg a rendszerépítésben, amelyeket hasonló funkcióval, de mintavételes interpretációban alkalmaznak a digitális rendszerekben.

A folytonos rendszer áramköri elemekkel történő megvalósításához tekintsük az (1.144) egyenlettel leírt folytonos, lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletet:

 

a n d n y ( t ) d t n + a n 1 d n 1 y ( t ) d t n 1 + ... + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = = b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t + ... + b m 1 d m 1 u ( t ) d t m 1 + b m d m u ( t ) d t m

(1.144)

ahol

 

a 0 ..a n

a differenciálegyenlet kimenő jelének és deriváltjainak együtthatói,

 

b 0 ..b m

a differenciálegyenlet bemenő jelének és deriváltjainak együtthatói,

 

y(t)

a rendszer kimenő jele,

 

n

a kimenő jel legmagasabb deriváltjának fokszáma,

 

u(t)

a rendszer bemenő jele,

 

m

a bemenő jel legmagasabb deriváltjának fokszáma,

 

t

időváltozó.

A differenciálegyenletben a következő alapműveletek szerepelnek:

  • jelkomponensek összeadása (kivonása = mínusz egyszeres érték hozzáadása),

  • jelkomponensek szorzása állandó értékkel (az együtthatókkal),

  • jelkomponensek idő szerinti derivált értékének meghatározása.

Az alapelemek fizikai megvalósításánál a jelek idő szerinti derivált értékének meghatározása – a műveleti erősítő tápfeszültségei, mint jelkorlátok miatt – nehézségbe ütközik. A derivált értékek meghatározásának másik problémája, hogy mivel a bemeneti jel változásának sebességével arányos a kimeneti jel nagysága, ezért a nagyobb frekvenciájú jeleket jobban erősítik a differenciáló tagok, mint az alacsony frekvenciájú jelkomponenseket. Ez azt jelenti, hogy a differenciáló tagok nem a hasznos jelet, hanem elsősorban a hasznos jelen lévő nagyfrekvenciás zajokat erősítik. Ezen tulajdonságuk alapján nem alkalmasak a folytonos rendszerek időfüggő tagjának megvalósítására.

A folytonos rendszerek áramköri megvalósításánál a differenciálhányadosokat megadó differenciáló tagok helyett, azok inverz függvényét, a jel idő szerinti integráljainak értékét alkalmazzák.

1.2.1. Műveleti erősítő

Az ideális műveleti erősítő a következő tulajdonságokkal rendelkezik (1.8. ábra):

  • végtelen bemeneti impedancia

ZBE = ,

  • végtelen sávszélesség

fband = ,

  • végtelen erősítés

A = ,

  • nulla kimeneti impedancia

ZKI = 0,

  • nulla teljesítményfelvétel

P = 0.

A kimeneti feszültség értéke a nem invertáló (+) és az invertáló (-) bemeneteken a föld potenciálhoz képest megjelenő feszültségkülönbség értéke a differencia feszültség szorzata az erősítéssel, amelyet a műveleti erősítő a feszültségvezérelt feszültséggenerátor értékeként jelenít meg a kimeneten. Mivel a ideális műveleti erősítő bemeneti ellenállása végtelen értékű, a műveleti erősítő nem tereheli azt az áramkört, amelyhez hozzákapcsoltuk. Az ideális műveleti erősítő nulla ellenállása pedig azt jelenti, hogy a kimeneti feszültség teljes egészében a műveleti erősítőhöz kapcsolódó következő áramkörön jelenik meg.

Az ideális esetben a műveleti erősítő végtelen sávszélessége azt jelenti, hogy az erősítő a nullától (egyenfeszültség) a végtelen frekvenciáig terjedő frekvenciájú jeleket azonos mértékben erősíti.

Az ideális műveleti erősíő végtelen feszültség erősítésére (A) azt teszi lehetővé, hogy az alapelem (a műveleti erősítőt) negatív visszacsatolásos áramkörben történő alkalmazása esetén a nagy erősítés miatt alapvetően a visszacsatoló ágban szereplő impedancia határozza meg a visszacsatolás mértékét. Ezzel a lehetőséggel rendkívül egyszerűvé válik tetszőleges tulajdonsággal rendelező átviteli tulajdonságú tag előállítása, mert a frekvenciafüggő erősítés értékét a visszacsatoló ágban elhelyezett impedancia és a bemenetre kapcsolt impedancia hányadosa határozza meg.

Az ideális műveleti erősítő bemeneti (ZBE) és kimeneti impedanciája (ZKI) valamint erősítési tényezője (A)
1.8. ábra - Az ideális műveleti erősítő bemeneti (ZBE) és kimeneti impedanciája (ZKI) valamint erősítési tényezője (A)


A valóságos műveleti erősítő a következő paraméterértékekkel rendelkezik (ua 741 típusú műveleti erősítő):

  • bemeneti impedancia  (ZBE) a műveleti erősítő szimmetrikus bemeneti ellenállása. Jellemző értéke bipoláris tranzisztoros bemeneti fokozat esetén néhány MΩ,

    FET tranzisztoros bemenet esetén néhány TΩ.

  • sávszélesség  azt a frekvenciát jelenti, ahol visszacsatolatlan erősítő erősítése 3 dB-t csökken a névleges frekvencián mért erősítéshez képest. Jellemzően 5-10 Hz körüli érték.

    fband =

    5-10 Hz (felnyitott körerősítés esetén)

     

    1MHz (egységnyi negatív, visszacsatolt körerősítés esetén)

    A valóságos műveleti erősítő Bode frekvencia diagramja (amplitúdó)
    1.9. ábra - A valóságos műveleti erősítő Bode frekvencia diagramja (amplitúdó)


  • erősítés (A) megadja, hogy a bemenetekre kapcsolt feszültséget (az invertáló és nem invertáló bemenet feszültségének a különbségét) az erősítő külső visszacsatolás nélkül hányszorosára erősíti a kimenetén, névleges terhelés mellett. Ez az érték általában 100 dB körüli (néhány 100 000 szeres), különleges kapcsolásokkal elérhető 170 dB feletti erősítés is.

  • kimeneti impedancia  (Z KI ) a műveleti erősítő aszimmetrikus kimeneti ellenállása. Visszacsatolás nélkül az értéke néhány 10 Ω és néhány 100 Ω között szokott lenni a végerősítő fokozat kivitelétől függően.

  • teljesítményfelvétel  P = kb. 500mW (melynek az eszköz aktuális hőmérséklete a paramétere).

A valóságos műveleti erősítő (hő)teljesítmény leadása a hőmérséklet függvényében
1.10. ábra - A valóságos műveleti erősítő (hő)teljesítmény leadása a hőmérséklet függvényében


Az ideális műveleti erősítő szimbóluma
1.11. ábra - Az ideális műveleti erősítő szimbóluma


1.2.2. Negatív visszacsatolású műveleti erősítő

A valós műveleti erősítő műszaki paraméterei alapján a nagy értékű, nyílthurkú erősítés (A) lehetővé teszi, hogy az U diff bemeneti feszültség értéke a kivezérlés teljes tartományában közelítőeg nulla értékű legyen. Minél nagyobb értékű az A erősítés, ez a közelítés annál jobb feltételekkel valósul meg.

Az (1.12. ábra) ábrán egy negatív visszacsatolású műveleti erősítővel megvalósított kapcsolást láthatunk. Az erősítő felépítésénél a műveleti erősítő kimenete és az invertáló bemenet között egy ellenállás (R v ), a bemenet és a műveleti erősítő invertáló bemenete között szintén egy ellenállás (R b ) található. Az ellenállások számértékének kisebb a jelentősége, mint az ellenállásértékek arányának. Bemeneti és visszacsatoló ellenállásként általában 10kOhm – 1MOhm értékek közötti ellenállások szerepelhetnek.

Negatív visszacsatolású műveleti erősítő
1.12. ábra - Negatív visszacsatolású műveleti erősítő


A nagy értékű, felnyitott körű erősítés eredményeként ( U d i f f 0 ) az invertáló és a nem invertáló bemenetek közelítőleg azonos (föld)potenciálon vannak, aminek az a következménye, hogy így a műveleti erősítő invertáló bemenetére felírható a következő csomóponti egyenlet:

 

U b e R b + U k i R v = 0

(1.145)

amelyet rendezve a kimenő jelre a következő összefüggést kapjuk:

 

U k i = U b e R v R b

(1.146)

Ebből a negatív visszacsatolású erősítő erősítése

 

A R v , R b = U k i U b e = R v R b

(1.147)

A negatív erősítési tényező azt jelenti, hogy az így kialakított erősítő a bemeneti jel előjelét is megfordítja az erősítés mellett.

Az erősítés értékét, mint látható, az ellenállások aránya határozza meg a nagy értékű nyilthurkú erősítés miatt.

Az ellenállások segítségével kialakított erősítő kapcsolásoknál jelentős szerepe van annak a kapcsolásnak, amelynél a visszcsatoló és a bemeneti ellenállás azonos értékű. Ez az előjel fordító kapcsolás , amely a rendszer analóg műveleti elemekből kialakított blokkdiagramjánál biztosítja a jel előjelhelyes műveletvégzését.

1.2.3. Jelek összeadása

A műveleti erősítő nem invertáló bemenetére nemcsak egy bemenettel csatlakoztathatunk, hanem a nem invertáló bemeneti csomópont befolyó áramát több bemeneti feszültség és a hozzá tartozó bemeneti ellenállás hozhatja létre. Ez biztosítja a jelek összegzését .

Negatív visszacsatolású, jelösszegző műveleti erősítő
1.13. ábra - Negatív visszacsatolású, jelösszegző műveleti erősítő


A műveleti erősítő invertáló bemenetére felírt csomóponti egyenlet ebben az esetben (1.13. ábra):

 

U b e 1 R b 1 + U b e 2 R b 2 + U k i R v = 0

(1.148)

amelyet rendezve a kimenő jelre a következő összefüggést kapjuk:

 

U k i = R v R b 1 U b e 1 + R v R b 2 U b e 2

(1.149)

 

U k i = A 1 U b e 1 + A 2 U b e 2

(1.150)

Az A 1 = -R v /R b1 az U be1 jelhez tartozó erősítési tényező, míg az A 2 = -R v /R b2 az U be2 jelhez tartozó erősítés értéke. Bár az erősítésértékek különbözők lehetnek az egyes bemeneteken, a kimeneten megtörténik a bemeneti jelek összegzése.

A jelek összegzését végző elem jelölése a blokkdiagramban az (1.14. ábra) ábrán látható.

Az összegző elem jelölése a blokkdiagramban
1.14. ábra - Az összegző elem jelölése a blokkdiagramban


1.2.4. Időfüggő jel szorzása konstanssal

Ha egy időfüggő jelet konstans értékkel szorzunk meg , akkor eredményként a jel időbeni lefutásával azonos, a jel időpillanatonkénti értékében pedig a konstans értékszerese jelenik meg kimeneti jelként. Jel konstans értékkel való szorzásához együttható-potenciométert alkalmazunk, amelynek erősítési tényezője nulla(0) és egy (1) értékekek között állítható be.

Egynél nagyobb erősítési igény esetén az együttható-potenciométer után kapcsolt negatív visszacsatolású erősítő segítségével növeljük meg az erősítés mértékét, általában 10-, 100-szoros erősítés alkalmazásával.

Az együttható-potenciométer jelölését blokkvázlatban az (1.15. ábra) ábra mutatja.

Az együttható-potenciométer jelölése blokkdiagramban
1.15. ábra - Az együttható-potenciométer jelölése blokkdiagramban


Az (1.15. ábra) ábrán látható ”a” paraméter az együttható-potenciométer leosztása.

Az együttható-potenciométer villamos kapcsolása
1.16. ábra - Az együttható-potenciométer villamos kapcsolása


Az együttható-potenciométer bemenete és kimenete nem cserélhető fel a villamos hálózatban, mivel a bemeneti jelnek az egész ellenállásértékre, a leosztott kimenetnek pedig a potenciométer csúszkájára kell csatlakoznia. Ha fordított módon kapcsoljuk a hálózatba az együttható-potenciométert, a leosztás nagyságát másképpen kell meghatározni, illetve a csúszka nulla állapotánál rövidre zárjuk a bemeneti jelet.

1.2.5. Jel integrálása idő szerint

Az integrátor elem abban tér el a jelösszegző elemtől, hogy a visszacsatoló ágban egy C kapacitású kondenzátort helyezünk el. Az erősítő kapcsolásban ebben az esetben a visszacsatoló impedancia értéke a kondenzátor Laplace-operátoros impedanciája Z c .

 

Z c = 1 s C

(1.151)

Jelösszegző integrátor elem kapcsolási rajza
1.17. ábra - Jelösszegző integrátor elem kapcsolási rajza


A műveleti erősítő invertáló bemenetére felírt csomóponti egyenlet Laplace-operátoros tartományban:

 

U b e 1 ( s ) R b 1 + U b e 2 ( s ) R b 2 + U k i ( s ) Z C = 0

(1.152)

amelyet a kimenő jelre rendezve a következő összefüggést kapjuk:

 

U k i ( s ) = Z C R b 1 U b e 1 ( s ) + Z C R b 2 U b e 2 ( s )

(1.153)

Ha a következő jelöléseket bevezetjük:

 

A i 1 = 1 C R b 1

(1.154)

 

A i 2 = 1 C R b 2

(1.155)

Az A i1 az U be1 jelhez tartozó integrálási erősítési tényező, míg az A i2 az U be2 jelhez tartozó integrálási erősítés értéke.

A kimenő jel a fentiek alapján

 

U k i ( s ) = A i 1 s U b e 1 ( s ) + A i 2 s U b e 2 ( s )

(1.156)

Az integrálási erősítésértékek különbözőek lehetnek az egyes bemeneteken, a kimeneten a bemeneti jelek összegzése történik meg.

A Laplace-operátoros alakból visszatérve időtartományba (inverz Laplace-transzformációval), felírhatjuk a kimenő jel időfüggvényét:

 

U k i ( t ) = 1 C R b 1 U b e 1 ( t ) d t + 1 C R b 2 U b e 2 ( t ) d t + U ( t = 0 )

(1.157)

A kétbenentű integrátor jelölése a blokkdiagramban az (1.18. ábra) ábrán látható.:

Az integrátor jelölése blokkdiagramban
1.18. ábra - Az integrátor jelölése blokkdiagramban


Az (1.18. ábra) ábrán az integrátor szimbólikus jelölésénél a kimenet kezdeti értéke a t=0 időpillanatban látható. Ez az érték az U ki kimeneti feszültség kezdeti értékét állítja be a t =0 időpillanatban, hogy ettől a kezdeti értéktől történjék az integrálás. A megadott kezdeti érték a visszacsatoló kondenzátoron t =0 pillanatban beállítandó feszültség értéke, amely egyben a kimenő feszültség is t =0-ban.

1.2.6. Jelkésleltetés (Padé-közelítés)

Tetszőleges nagyságú késleltetés megvalósítása villamos áramkör segítségével nagy kapacitású (Farad) tároló elemeket igényel. A jelenlegi technikai lehetőségek kb. 100 Farad nagyságú, néhány Volt maximális feszültségű kapacitív elemek alkalmazását teszik lehetővé. Nagyobb feszültség értékekhez csak néhány 1000 mikroFarad kapacitású tároló elem áll rendelkezésre.

A fenti korlátozások, illetve az áramköri magvalósítás Padé-közelítő jelege miatt, valódi jelkésleltetést nagyon ritkán alkalmaznak .

Az (1.19. ábra) ábrán egy, az irodalomban található jelkésleltető kapcsolást mutatunk be, amely lehetővé teszi kis értékű késleltetés megvalósítását, ha a műveleti erősítő erősítésének beállításával nagy sávszélességet biztosítunk (egységnyi erősítéssel).

Jelkésleltetést megvalósító elem kapcsolási rajza
1.19. ábra - Jelkésleltetést megvalósító elem kapcsolási rajza


Az (1.9. ábra) ábrán látható áramkör Padé-közelítést valósít meg, és nagyon kis nagyságrendű (ns) késleltetést képes biztosítani. Az áramkör a következő operátoros átviteli függvényt valósítja meg,

 

U k i U b e = 1 s τ 2 1 + s τ 2

(1.158)

ahol τ = 2.R.C.  A jobb oldalon álló kifejezés a következő formában írható fel:

 

U k i U b e = 1 s R C 1 + s R C

(1.159)

Az (1.9. ábra) ábrán látható kapcsolást a következő értékekkel megvalósították : Rb=Rv=249 Ohm

C=63pF és R=95.3 Ohm, a műveleti erősítő típusa pedig CLC428. Ezekkel az elemekkel elért késleltetés 11.9 ns értékű.

1.2.7. Nemlineáris elemek

A digitális számítógépek napjainkban történő tömeges alkalmazása mellett egyre inkább elvesztik a jelentőségüket azok az analóg áramkörökkel megvalósított nemlineáris tulajdonságú áramkörök , amelyek korábban a nemlineáris szimulációs elemek alkalmazásának egyetlen útját jelentették.

Ezen elemek alkalmazási lehetőségeit a digitális számítógéppel megvalósított időváltozós differenciálegyenlet megoldó algoritmusoknál ismertetjük.

1.3. Alapelemek összekapcsolása

A folytonos rendszerek differenciálegyenletének megoldásához a korábbi fejezetben bemutatott alapelemeket kell összekapcsolnunk, hogy így biztosítsuk a differenciálegyenlet kiszámítási algoritmusát minden időpillanatban. A folytonos, analóg alapelemek alkalmazásával valóban folytonos megoldást kapunk, míg a digitális számítógépes megvalósításnál csak a mintavételi időpillanatokban határozhatjuk meg kimenő jelet (jeleket).

1.3.1. Integrálást vagy differenciálást alkalmazunk a differenciálegyenlet megoldásához

Ha csak analitikus függvényekről lenne szó, akkor egyértelmű a válasz: differenciálást, hiszen a derivált függvény előállítására minden esetben eredményesen alkalmazható szabályok vannak. Az integrálásnál azonban könnyen találhatunk olyan, a gyakorlatban is nagy jelentőségű függvényeket, melyeknek nem létezik a primitív függvénye (pl. e x 2 , ami a valószínűség számítás egyik alapfüggvénye).

A számítógépes szimuláció során általában differenciálegyenleteket kell megoldanunk közelítő módszerekkel. A későbbiekben a megoldásokról még részletesebben is lesz szó, most csak két gondolatmenetet mutatunk be. Az egyik esetben a legmagasabb rendű deriváltat, a másik esetben pedig éppen fordítva, a legalacsonyabb azaz nulladrendű deriváltat fejezzük ki a megoldandó differenciálegyenletből.

Tekintsük az F ( y ( i ) ( t ) , u ( j ) ( t ) , t ) = 0 egyenletet (ahol i=0…n és j=0…m), amelyből a kimenő jel legalacsonyabb deriváltjának kifejezése:

 

y ( t ) = F 0 ( y ( k ) ( t ) , u ( j ) ( t ) , t ) = 0,

(1.160)

ahol k=1…n,

illetve a kimenő jel legmagasabb deriváltjának kifejezése

 

y ( n ) ( t ) = F n ( y ( l ) ( t ) , u ( j ) ( t ) , t ) = 0,

(1.161)

ahol l=0…n-1.

A megoldás során az első esetben sorozatos differenciálással , a második esetben pedig integrálással tudjuk az ismeretlen függvényt, illetve annak deriváltjait előállítani.

A differenciálegyenlet megoldása során általában numerikus módszereket használunk, és ekkor egészen más következtetésre juthatunk, mint analitikus esetben .

A megoldást a következőkben több oldalról is bemutatjuk.

1.3.1.1. Hibával terhelt értékű függvények esete

Az egyik esetben a döntő különbséget az okozza, hogy míg a differenciálás pontbeli műveletként értelmezhető, addig az integrálás egy intervallumon van definiálva. Amennyiben a vizsgálandó függvény nem pontosan ismert, mert például mérési hibákat vagy numerikus közelítésből adódó hibákat tartalmaz, akkor például az (1.20. ábra) ábrán látható esetek fordulhatnak elő:

A bemeneti jel differenciálásának és integrálásának összehasonlítása
1.20. ábra - A bemeneti jel differenciálásának és integrálásának összehasonlítása


A szaggatott vonal a pontos értékek alapján rajzolt görbe, a „hullámos” pedig a közelítő adatsor felhasználásával készült. Mint látható, a differenciálás esetén a keresett érték és a közelítés eltérése olyan mértékű, hogy az eredmény használhatatlan. Az integrálás esetén vannak hibák, de ezek mértéke kezelhetővé tehető, ha a téglalapok számát növeljük. A differenciálás esetén azonban ez sem segít!

1.3.1.2. Numerikus hibák

A differenciálás esetén gondot okoz a kiegyszerűsödés jelensége [1]. Ennek a lényege, hogy közel azonos számok különbsége esetén sok értékes jegyet veszítünk. Nézzük például a szinusz függvény értékét az 1 illetve az 1+10-5 helyen, valamint a két helyettesítési érték különbségét!

 

sin ( 1 + 10 -5 ) = 0 ,841470984807897 15 j e g y sin ( 1 ) = 0 ,841476387788882 15 j e g y sin ( 1 + 10 -5 ) sin ( 1 ) = 0 ,000005402980985 10 j e g y

 

Az idő szerinti differenciálhányados közelítő értékét több módszerrel is előállíthatjuk.

Közelítő formulát kaphatunk a Taylor-sorok felhasználásával is.

Ilyenek például a következők:

 

y ˙ ( t i ) y ( t i + Δ t ) y ( t i ) Δ t

(1.162)

 

y ˙ ( t i ) y ( t i + Δ t ) y ( t i Δ t ) 2 Δ t

(1.163)

 

y ˙ ( t i ) 3 y ( t i ) + 4 y ( t i + Δ t ) y ( t i + 2 Δ t ) 2 Δ t

(1.164)

 

y ˙ ( t i ) 3 y ( t i ) 4 y ( t i Δ t ) + y ( t i 2 Δ t ) 2 Δ t

(1.165)

 

y ˙ ( t i + Δ t ) 5 y ( t i ) 8 y ( t i Δ t ) + 3 y ( t i 2 Δ t ) 2 Δ t

(1.166)

Mindegyik formulában az a közös, hogy a számláló Δ t 0 esetén zérushoz tart. Ekkor a kivonások miatt az értékes jegyek „elvesznek”, így tulajdonképpen a számábrázolás pontossága csökken. Egy‑egy közelítés esetén ez még nem nagy probléma, de a szimuláció során nagy ismétlésszámú ciklusokkal dolgozunk, és ekkor a hiba halmozódása fatális következményekkel jár (csak igen ritkán fordul elő olyan eset, amikor nincs belőle probléma).

Az előzőekben leírt problémák numerikus idő szerinti integrálás során nem lépnek fel. A közelítő formulák látszólag hasonlóak, de ekkor tulajdonképpen egy súlyozott átlag meghatározásáról van szó, ezért a kiegyszerűsödés sem lép fel.

Illusztrációként álljon itt három egyszerű integráló összefüggés!

 

y ( t i + 1 ) y ( t i ) + y ˙ ( t i ) Δ t

téglány (Euler) integrálás

(1.167)

 

y ( t i + 1 ) y ( t i ) + y ˙ ( t i + 1 ) + y ˙ ( t i ) 2 Δ t

trapéz integrálás

(1.168)

 

y ( t i + 1 ) y ( t i ) + 3 y ˙ ( t i ) y ˙ ( t i 1 ) 2 Δ t

Adams-Bashforth integrálás

(1.169)

1.3.1.3. Összehasonlító mintapélda megoldása differenciáló és integráló algoritmussal

Illusztrációként tekintsük az egytömegű csillapított lengőrendszert (1.21. ábra), ahol m=1[kg];   k=3 [ k g s ] ;   s=2 [ k g s 2 ] ; y ( 0 ) = 0 [ m ] és y ˙ ( 0 ) = 0 [ m s ] a gerjesztés pedig: F=2[N], egységugrás alakú!

Egytömegű csillapított lengőrendszer
1.21. ábra - Egytömegű csillapított lengőrendszer


A rendszert a következő differenciálegyenlettel lehet leírni:

 

y ¨ + 3 y ˙ + 2 y = 2

(1.170)

melynek pontos megoldása:

 

y ( t ) = 2 e t + e 2 t + 1

(1.171)

Először differenciálással oldjuk meg a feladatot. Ekkor az 1.3.1. szakasz fejezetben leírtaknak megfelelően átalakított egyenlet:

 

y = F s k s y ˙ 1 s y ¨ = 1 3 2 y ˙ 1 2 y ¨

(1.172)

Ha az explicit megközelítést választjuk, akkor az (1.166) összefüggést kell alkalmazni. A számítások elkezdése azonban nehézségekbe ütközik, hiszen a formula három különböző időpontbeli érték ismeretét kívánja meg, és ez kezdetben nem áll rendelkezésünkre. „Kegyes csalással” a pontos megoldásból számolhatók ki a hiányzó értékeket az első három lépés esetén (Ezt általában nem ismerjük, de most csak az a cél, hogy a módszer használhatatlanságát illusztráljuk!).

Ennek megfelelően az (Táblázat 1.5) táblázatban lehet az algoritmust összefoglalni (ahol a fizikai mennyiségeket paraméteresen jelöltük).

1.5. táblázat - Számítási algoritmus a mintapéldához differenciálással

i

t

y i

y ˙ i

y ¨ i

0

0

y 0

y ˙ 0

y ¨ 0 = F m k m y ˙ 0 s m y 0

1

Δ t

y 1 = y ( Δ t )

y ˙ 1 = y ˙ ( Δ t )

y ¨ 1 = F m k m y ˙ 1 s m y 1

2

2 Δ t

y 2 = y ( 2 Δ t )

y ˙ 2 = y ˙ ( 2 Δ t )

y ¨ 2 = F m k m y ˙ 2 s m y 2

3

3 Δ t

y 3 = F s k s y ˙ 3 m s y ¨ 3

y ˙ 3 = 5 y 2 8 y 1 + 3 y 0 2 Δ t

y ¨ 3 = 5 y ˙ 2 8 y ˙ 1 + 3 y ˙ 0 2 Δ t

i

i Δ t

y i = F s k s y ˙ i m s y ¨ i

y ˙ i = 5 y i 1 8 y i 2 + 3 y i 3 2 Δ t

y ¨ i = 5 y ˙ i 1 8 y ˙ i 2 + 3 y ˙ i 3 2 Δ t


A számításokat táblázatkezelő rendszerrel végeztük el. Az „eredményeket” az (Táblázat 1.6) táblázat tartalmazza Δ t = 0,1 esetén.

1.6. táblázat - Számítási eredmények a mintapéldához differenciálással

t

y

y ˙

y ¨

0

0

0

2

0,1

0,009056

0,172213

1,465248

0,2

0,032859

0,296821

1,043819

0,3

0,045159

0,459227

0,532002

0,4

-0,0212

-0,04954

2,191014

0,5

11,34291

-1,84356

-15,1551

0,6

-408,038

285,0984

-37,2193

0,7

12383,25

-10655

7200,46

0,8

-350205

326072,8

-277806

0,9

9593721

-9256578

8582296

1,0

-2,6E+08

2,54E+08

-2,4E+08


Az eredményekből jól látszik, hogy semmi közük nincs a valóságos értékekhez! A lépésköz változtatásával a helyzet nem javul! A táblázat első 3 sora tartalmazza a pontos értékeket.

Sokkal jobb eredményhez juthatunk, ha implicit megközelítéssel élünk. Ekkor az (1.163) összefüggés mellett szükségünk van még a második differenciálhányados közelítő képletére is:

 

y ¨ ( t i ) = y ( t i Δ t ) 2 y ( t i ) + y ( t i + Δ t ) Δ t 2

(1.173)

Ezeket behelyettesítve a differenciálegyenletbe, és alkalmazva az y ( t i ± k Δ t ) = y ( t i ± k ) jelölést a következő alakhoz jutunk:

 

m y ( t i 1 ) 2 y ( t i ) + y ( t i + 1 ) Δ t 2 + k y ( t i + 1 ) y ( t i 1 ) 2 Δ t + s y ( t i ) = F ( t i )

(1.174)

Ebből kifejezhető az elmozdulás következő időpillanatbeli értéke:

 

y ( t i + 1 ) = F ( t i ) 2 Δ t 2 y ( t i 1 ) ( 2 m k Δ t ) y ( t i ) ( 2 s Δ t 2 4 m ) 2 m + k Δ t

(1.175)

Most már összeállíthatjuk az algoritmust leíró táblázatot (Táblázat 1.7), amelyben az1.165. összefüggést fogjuk alkalmazzuk. Az első lépéseknél itt is van egy kis gond (hiányoznak értékek), de ezt az egyszerű differenciahányados alkalmazásával át lehet hidalni.

1.7. táblázat - Számítási algoritmus a mintapélda megoldásához differenciálással

i

t

y i

y ˙ i

y ¨ i

0

0

y 0

y ˙ 0

y ¨ 0 = F m k m y ˙ 0 s m y 0

1

Δ t

y 1 = 2 F Δ t 2 y 0 ( 2 m k Δ t ) y 0 ( 2 s Δ t 2 4 m ) 2 m + k Δ t

y ˙ 1 = y 1 y 0 Δ t

y ¨ 1 = y ˙ 1 y ˙ 0 Δ t

2

2 Δ t

y 2 = 2 F Δ t 2 y 0 ( 2 m k Δ t ) y 1 ( 2 s Δ t 2 4 m ) 2 m + k Δ t

y ˙ 2 = 3 y 2 4 y 1 + y 0 2 Δ t

y ¨ 2 = 3 y ˙ 2 4 y ˙ 1 + y ˙ 0 2 Δ t

i

i Δ t

y i = 2 F Δ t 2 y i 2 ( 2 m k Δ t ) y i 1 ( 2 s Δ t 2 4 m ) 2 m + k Δ t

y ˙ i = 3 y i 4 y i 1 + y i 2 2 Δ t

y ¨ i = 3 y ˙ i 4 y ˙ i 1 + y ˙ i 2 2 Δ t


Az integrálásnál csak az egyszerűbben megvalósítható explicit eljárással foglalkozunk, így az átalakított differenciálegyenlet:

 

y ¨ = F m k m y ˙ s m y ¨

(1.176)

Az algoritmust most is célszerű táblázatban (Táblázat 1.8) összefoglalni (az 1.167, 1.168. és 1.169. összefüggések alkalmazásával):

1.8. táblázat - Számítási algoritmus a mintapélda megoldásához integrálással

i

t

y i

y ˙ i

y ¨ i

0

0

y 0

y ˙ 0

y ¨ 0 = F m k m y ˙ 0 s m y 0

1

Δ t

y 1 = y 0 + y ˙ 1 + y ˙ 0 2 Δ t

y ˙ 1 = y ˙ 0 + y ¨ 0 Δ t

y ¨ 1 = F m k m y ˙ 1 s m y 1

2

2 Δ t

y 2 = y 1 + y ˙ 2 + y ˙ 1 2 Δ t

y ˙ 2 = y ˙ 1 + 3 y ¨ 1 y ¨ 0 2 Δ t

y ¨ 2 = F m k m y ˙ 2 s m y 2

i

i Δ t

y i = y i 1 + y ˙ i + y ˙ i 1 2 Δ t

y ˙ i = y ˙ i 1 + 3 y ¨ i 1 y ¨ i 2 2 Δ t

y ¨ i = F m k m y ˙ i s m y i


A számításokat most is táblázatkezelő programmal végeztük el. Az (1.22. ábra) ábrán látszik, hogy az integrálás eredménye és a pontos érték egy vonalvastagságon belül helyezkedik el, azonban helyenként eltér tőle.

A pontos érték összehasonlítása a numerikus differenciálást és integrálást alkalmazó algoritmussal
1.22. ábra - A pontos érték összehasonlítása a numerikus differenciálást és integrálást alkalmazó algoritmussal


Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy integrálással könnyebben, pontosabb eredményt értünk el. Természetesen egyetlen példából a pontosságra vonatkozóan általánosítani nem szabad. Az algoritmus előállítása azonban az implicit technika miatt sokkal munkaigényesebb. Amennyiben y ( t i + 1 ) -et nem lehet kifejezni zárt alakban, akkor az algoritmust még ki kell egészíteni egy gyökkereső módszerrel is (lásd a 7. fejezet fejezetet)!

1.3.2. Átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása

A differenciálegyenlettel leírt folytonos rendszer számítási blokkdiagramjának meghatározásával a rendszer megoldását biztosítjuk minden egyes mintavételi (számítási) időpontban, tetszőleges bemenő jel esetén.

Az arányos időállandóval rendelkező rendszerek jellemzője, hogy a differenciálegyenlet tartalmazza mind a bemenő jelet, mind pedig a kimenő jelet. A tároló tulajdonságot a kimenő jel derivált értékeinek darabszáma határozza meg, így első kimeneti jel deriváltat tartalmazó rendszert egytárolósnak nevezzük. A kimeneti jel magasabb deriváltjait tartalmazó rendszerek tárolóinak száma megegyezik a kimenő jel legmagasabb (idő szerinti) deriváltjának fokszámával. Más megfogalmazásban, a rendszer tárolóinak darabszámát a folytonos rendszer karakterisztikus polinomjának fokszáma határozza meg.

A differenciálhányadosok legmagasabb fokszámának meghatározásánál a nulladik (0.) derivált érték maga a jel, míg a negatív kitevőjű derivált értékek integrálási műveletet jelölnek.

 

d n y ( t ) d t n = y ( n ) ( t )

(1.177)

 

d 0 y ( t ) d t 0 = y ( t )

(1.178)

 

d 1 y ( t ) d t 1 = y ( t ) d t

(1.179)

A folytonos rendszerek időfüggő differenciálegyenletének megoldásához ki kell fejeznünk a kimenő jel legmagasabb deriváltjának értékét. A megoldáshoz felhasználható alapelemek (integrátorok, összeadók és együttható-szorzóelemek) segítségével létre kell hoznunk a számításokat elvégző blokkdiagramot.

Ezzel a blokk diagrammal nemcsak egy bemenő jelhez vagy bemenő jel típushoz tartozó egyedi megoldást kapunk meg, hanem az összes bemenő jel esetén megkapjuk a rendszer válaszát az adott bemenő jelre. Más szavakkal, a differenciálegyenlet számítási blokkdiagramja a rendszer viselkedését írja le nem csak egy adott bemeneti jelhez tartozó partikuláris megoldást.

A számítási blokkdiagram meghatározásánál alapvető szempontok a folytonos rendszert leíró paraméterek ( differenciálegyenlet-együtthatók ) egyszerű változtatási lehetősége és a blokkdiagram felépítéséhez alkalmazott elemek számának minimalizálása . A felhasznált elemek minimalizálása még azokba az időkbe nyúlik vissza, amikor a számítási blokkdiagramot analóg számítógépi elemekből építették fel, és nem volt közömbös, hogy a kapcsoláshoz hány darab műveletvégző elemet alkalmaznak (teljesítményfelvétel, meghibásodás szempontjából).

Az F(y(t), u(t),t) folytonos, lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet általános alakja:

 

a n d n y ( t ) d t n + a n 1 d n 1 y ( t ) d t n 1 + ... + a 1 d y ( t ) d t + a 0 d 0 y ( t ) d t 0 = = b 0 d 0 u ( t ) d t 0 + b 1 d u ( t ) d t + ... + b m 1 d m 1 u ( t ) d t m 1 + b m d m u ( t ) d t m

(1.180)

ahol

 

a 0 ..a n

a differenciálegyenlet kimenő jelének és deriváltjainak együtthatói,

 

b 0 ..b m

a differenciálegyenlet bemenő jelének és deriváltjainak együtthatói,

 

y(t)

a rendszer kimenő jele,

 

n

a kimenő jel legmagasabb deriváltjának fokszáma,

 

u(t)

a rendszer bemenő jele ,

 

m

a bemenő jel legmagasabb deriváltjának fokszáma,

 

t

időváltozó.

Ezt a részletesen kifejtett alakot tömörebben is felírhatjuk a következő formában

 

i = 0 n a i d i y ( t ) d t i = j = 0 m b j d j u ( t ) d t j

(1.181)

 

i = 0 n a i y ( i ) ( t ) = j = 0 m b j u ( j ) ( t )

(1.182)

Ha ebből az alakból kifejezzük a kimenő jel legmagasabb idő szerinti deriválját, egy olyan általános számítási formulát kapunk, amely folytonos és mintavételes rendszerek esetén egyaránt alkalmazható. Mintavételes rendszeren a folytonos rendszer digitális számítógéppel történő számítását értjük.

 

y ( n ) ( t ) = j = 0 m b j u ( j ) ( t ) i = 0 n 1 a i y ( i ) ( t )

(1.183)

A számítási blokkdiagram létrehozásának következő lépése, hogy a kimenő jel legmagasabb deriváltjának integrálásával létrehozzuk az alacsonyabb fokszámú deriváltakat, és ezeket is felhasználjuk a legmagasabb derivált kiszámításához.

A számítási blokkdiagram analóg működésű elemekkel történő megvalósításánál az alacsonyabb fokszámú derivált értékek kiszámítását valamint a legmagasabb derivált meghatározásához szükséges jeleket az analóg működésű elemek biztosítják.

Digitális számítógépes megvalósításnál ez nem lehetséges, mert ezzel egy algebrai hurkot hozzunk létre. Az algebrai hurok olyan számítási képlet, amelynél a kiszámítandó mennyiség saját maga is részt vesz saját értékének a meghatározásában, egy bemeneti komponensként. Ezt nem lehet megvalósítani, ezért a számítási képletben egy késleltetést alkalmazunk a kiszámítandó változóra, amely így egy mintavételi időlépéssel korábbi értéket alkalmaz a számítás során. Ezzel egy kismértékű időbeni elcsúszást okozunk, hiszen a k. időpillanatbeli jelértéket egy (k-1). időpillanatbeli értékkel határozzuk meg, de másképp nem végezhetnénk el a számítást.

Analóg áramkörökkel megvalósított integráló tag a bemeneti jelen előjelfordítást végez. Hogy ezt a specialitást ne kelljen a blokkdiagramba továbbvinnünk, és folyamatosan a jelek előjelfordítását figyelnünk, a mintapéldákban olyan integráló tagot alkalmazzuk, amely nem forít előjelet. Ha a rendszer megvalósítását analóg áramkörökkel végezzük természtesen a jelek előjelfordítását is számba kell vennünk!

1.3.2.1. Arányos típusú átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása PT1, PT2

Az arányos típusú tagok (P = Proportional) jellemző tulajdonsága, hogy rendszerleíró differenciálegyenletükben szerepelnek a bemenő és kimenő jelek valamint a kimenő jel deriváltjai. A kimenő jel deriváltjainak darabszáma alapján kapjuk meg, hogy az adott rendszer hány darab tárolóval rendelkezik.

Az egytárolós, arányos tag (PT1) átviteli függvénye :

 

G P T 1 ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 a 0 + a 1 s

(1.184)

Az egytárolós, arányos tag (PT1) differenciálegyenlete:

 

a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t )

(1.185)

 

d y ( t ) d t = 1 a 1 { b 0 u ( t ) a 0 y ( t ) }

(1.186)

 

d y ( t ) d t = b 0 a 1 u ( t ) a 0 a 1 y ( t )

(1.187)

Az egytárolós, arányos tag (PT1) számítási blokkdiagramja:

A PT1 tag számítási blokkdiagramja
1.23. ábra - A PT1 tag számítási blokkdiagramja


A kéttárolós, arányos tag (PT2) átviteli függvénye (1. verzió):

 

G P T 2 ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 a 0 + a 1 s + a 2 s 2

(1.188)

A kéttárolós, arányos tag (PT2) differenciálegyenlete (1. verzió):

 

a 2 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t )

(1.189)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = 1 a 2 { b 0 u ( t ) [ a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) ] }

(1.190)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = b 0 a 2 u ( t ) [ a 1 a 2 d y ( t ) d t + a 0 a 2 y ( t ) ]

(1.191)

A kéttárolós, arányos tag (PT2) számítási blokkdiagramja (1. verzió):

A PT2 tag számítási blokkdiagramja (1. verzió)
1.24. ábra - A PT2 tag számítási blokkdiagramja (1. verzió)


Másodrendű tag (PT2) átviteli függvénye (2. verzió):

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 + b 1 s a 0 + a 1 s + a 2 s 2

(1.192)

Másodrendű tag (PT2) differenciálegyenlete (2. verzió)::

 

a 2 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t

(1.193)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = 1 a 2 { [ b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t ] [ a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) ] }

(1.194)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = [ b 0 a 2 u ( t ) + b 1 a 2 d u ( t ) d t ] [ a 1 a 2 d y ( t ) d t + a 0 a 2 y ( t ) ]

(1.195)

mindkét oldalt integrálva az idő szerint a következő egyenletet kapjuk:

 

d y ( t ) d t = [ ( b 0 a 2 u ( t ) ) d t + b 1 a 2 u ( t ) ] [ a 1 a 2 y ( t ) + ( a 0 a 2 y ( t ) ) d t ]

(1.196)

Másodrendű tag (PT2) számítási blokkdiagramja (2. verzió):

A másodrendű tag (PT2) számítási blokkdiagramja (2. verzió)
1.25. ábra - A másodrendű tag (PT2) számítási blokkdiagramja (2. verzió)


1.3.2.2. Integráló típusú átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása IT1, IT2

Az integráló típusú tagok (I = Integrate) jellemző tulajdonsága, hogy rendszerleíró differenciálegyenletükben nem szerepel a kimenő jel. Szerepelnek viszont a kimenő jel magasabb deriváltjai. A kimenő jel deriváltjainak darabszáma alapján kapjuk meg, hogy az adott rendszer hány darab tárolóval rendelkezik.

Az egytárolós, integráló tag (IT1) átviteli függvénye :

 

G I T 1 ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 a 1 s + a 2 s 2

(1.197)

Az egytárolós, integráló tag (IT1) differenciálegyenlete:

 

a 2 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 d y ( t ) d t = b 0 u ( t )

(1.198)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = 1 a 2 { b 0 u ( t ) a 1 d y ( t ) d t }

(1.199)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = b 0 a 2 u ( t ) a 1 a 2 d y ( t ) d t

(1.200)

Az egytárolós, integráló tag (IT1) számítási blokkdiagramja:

Az IT1 tag számítási blokkdiagramja
1.26. ábra - Az IT1 tag számítási blokkdiagramja


A kéttárolós, integráló tag (IT2) átviteli függvénye :

 

G I T 2 ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 a 1 s + a 2 s 2 + a 3 s 3

(1.201)

A kéttárolós, integráló tag (IT2) differenciálegyenlete:

 

a 3 d 3 y ( t ) d t 3 + a 2 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 d y ( t ) d t = b 0 u ( t )

(1.202)

 

d 3 y ( t ) d t 3 = 1 a 3 { b 0 u ( t ) [ a 2 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 d y ( t ) d t ] }

(1.203)

 

d 3 y ( t ) d t 3 = b 0 a 3 u ( t ) [ a 2 a 3 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 a 3 d y ( t ) d t ]

(1.204)

A kéttárolós, integráló tag (IT2) számítási blokkdiagramja:

Az IT2 tag számítási blokkdiagramja
1.27. ábra - Az IT2 tag számítási blokkdiagramja


1.3.2.3. Differenciáló típusú átviteli függvények számítási blokkdiagramjának meghatározása DT1, DT2

A differenciáló típusú tagok (D = Differential) jellemző tulajdonsága, hogy rendszerleíró differenciálegyenletükben nem szerepel a bemenő jel, csak a bemeneti jel idő szerinti differenciálhányadosa. A rendszer bemenetén csak a bemeneti jelet tudjuk megadni, a differenciálhányadosát azonban nem. Ezért, a rendszert számító blokkdiagramban a bemenő jelből elő kell állítani a bemeneti jel derivált értékét, de ehhez a művelethez csak integráló tulajdonságú tagot alkalmazhatunk.

Szerepelnek még az ilyen típusú rendszerekben a kimenő jel magasabb deriváltjai is, amelyek darabszáma alapján tudjuk megállapítani, hogy az adott rendszer hány darab tárolóval rendelkezik.

Az egytárolós, differenciáló tag (DT1) átviteli függvénye:

 

G D T 1 ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 1 s a 0 + a 1 s

(1.205)

Az egytárolós, differenciáló tag (DT1) differenciálegyenlete:

 

a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 1 d u ( t ) d t

(1.206)

 

d y ( t ) d t = 1 a 1 { b 1 d u ( t ) d t a 0 y ( t ) }

(1.207)

 

d y ( t ) d t = b 1 a 1 d u ( t ) d t a 0 a 1 y ( t )

(1.208)

 

y ( t ) = b 1 a 1 u ( t ) a 0 a 1 y ( t ) d t

(1.209)

Az egytárolós, differenciáló tag (DT1) számítási blokkdiagramja:

A DT1 tag számítási blokkdiagramja
1.28. ábra - A DT1 tag számítási blokkdiagramja


A kéttárolós, differenciáló tag (DT2) átviteli függvénye:

 

G D T 2 ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 1 s a 0 + a 1 s + a 2 s 2

(1.210)

A kéttárolós, differenciáló tag (DT2) differenciálegyenlete:

 

a 2 d 2 y ( t ) d t 2 + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 1 d u ( t ) d t

(1.211)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = 1 a 2 { b 1 d u ( t ) d t [ a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) ] }

(1.212)

 

d 2 y ( t ) d t 2 = b 1 a 2 d u ( t ) d t [ a 1 a 2 d y ( t ) d t + a 0 a 2 y ( t ) ]

(1.213)

 

y ( t ) = { b 1 a 2 d u ( t ) d t [ a 1 a 2 d y ( t ) d t + a 0 a 2 y ( t ) ] } d t d t

(1.214)

 

y ( t ) = b 1 a 2 u ( t ) d t [ a 1 a 2 y ( t ) d t + a 0 a 2 y ( t ) d t d t ]

(1.215)

A kéttárolós, differenciáló tag (DT2) számítási blokkdiagramja:

A DT2 tag számítási blokkdiagramja
1.29. ábra - A DT2 tag számítási blokkdiagramja


1.3.2.4. Előretartó-késleltető tag (Lead–lag compensator) számítási blokkdiagramjának meghatározása

Az előretartó-késleltető tag (Lead-Lag) átviteli függvénye:

 

G L e a d _ L a g ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 + b 1 s a 0 + a 1 s

(1.216)

Az előretartó-késleltető tag (Lead-Lag) differenciálegyenlete:

 

a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t

(1.217)

 

d y ( t ) d t = 1 a 1 { [ b 0 u ( t ) + b 1 d u ( t ) d t ] a 0 y ( t ) }

(1.218)

 

d y ( t ) d t = [ b 0 a 1 u ( t ) + b 1 a 1 d u ( t ) d t ] a 0 a 1 y ( t )

(1.219)

 

y ( t ) = [ b 0 a 1 u ( t ) d t + b 1 a 1 u ( t ) ] a 0 a 1 y ( t ) d t

(1.220)

Az előretartó-késleltető tag (Lead-Lag) számítási blokkdiagramja:

Az előretartó-késleltető tag számítási blokkdiagramja
1.30. ábra - Az előretartó-késleltető tag számítási blokkdiagramja


1.3.3. Alapelemek különböző összekapcsolásából keletkező részrendszerek

Nagyméretű, több blokkból álló rendszerek hálózatának megvalósításához nyújtanak segítséget a következő algoritmusok, amelyek több rendszertechnikai blokk összekapcsolásának eredményét adják meg folytonos és mintavételes rendszereknél. A mintapéldákat folytonos rendszerek esetén mutatjuk be, de az algoritmusok változatlan formában alkalmazhatók mintavételes rendszerek blokkjai esetén is.

1.3.3.1. Alapelemek összekapcsolásánál alkalmazott műveletek

A G(s) átviteli függvény számlálójával (numerator) és nevezőjével (denominator), mint polinomokkal végezhetünk műveleteket: polinomok összeadását, kivonását és szorzását. Ezeket a műveleteket a következő módon valósíthatjuk meg:

Polinomok összeadása

 

R [ i ] max ( n , m ) = P [ i ] n + Q [ i ] m

(1.221)

ahol

 

R

a polinomok összeadásával létrehozott eredő polinom, melynek fokszáma = max(n,m),

 

i

= 0..max(n,m) a művelet indexének értéke,

 

P

az első összeadandó polinom,

 

n

a P polinom fokszáma,

 

Q

a második összeadandó polinom,

 

m

a Q polinom fokszáma.

A polinomok összeadásával keletkezett polinom (R) fokszáma az összeadandó polinomok fokszáma közül a nagyobb lesz.

Polinomok kivonása

 

R [ i ] max ( n , m ) = P [ i ] n Q [ i ] m

(1.222)

ahol

 

R

a polinomok kivonásával létrehozott eredő polinom, melynek fokszáma = max(n,m),

 

i

= 0..max(n,m) a művelet indexének értéke,

 

P

a kisebbítendő polinom,

 

n

a P polinom fokszáma,

 

Q

a kivonandó polinom,

 

m

a Q polinom fokszáma.

A polinomok kivonásával keletkezett polinom (R) fokszáma a kisebbítendő és kivonandó polinomok fokszáma közül a nagyobbal egyezik meg.

Polinomok szorzása

 

R [ i + j ] n + m = P [ i ] n Q [ j ] m

(1.223)

ahol

 

R

a polinomok szorzásával létrehozott eredő polinom, melynek fokszáma = n+m,

 

P

az első szorzandó polinom,

 

i

= 0..n  a P polinom indexének értéke,

 

Q

a második szorzandó polinom,

 

j

= 0..m  a Q polinom indexének értéke.

A bemutatott polinom műveletek segítségével lehetőségünk van az átviteli függvény alakban megadott részrendszerek tetszőleges topológiával történő összekapcsolására. Minden bonyolult felépítésű rendszer topológia felbontható a részelemek soros, párhuzamos és visszacsatolt kapcsolásából kialakított részhálózatokra, amelyek a felsorolt műveletekkel ismét összekapcsolhatók. Eredményül a bonyolult felépítésű topológia megadott bemenet és kimenet közötti átviteli függvényét kapjuk.

A következő fejezetekben bemutatjuk az alapelemek három alapszintű összekapcsolásával létrejövő részrendszereket (átviteli függvényeket).

1.3.3.2. Alapelemek soros összekapcsolásából keletkező részrendszer

Két alapelem soros kapcsolását az (1.31. ábra) ábrán láthatjuk.

Átviteli függvények soros kapcsolásának eredő átviteli függvénye
1.31. ábra - Átviteli függvények soros kapcsolásának eredő átviteli függvénye


Az ábrán használt jelölések:

 

C(s)

átviteli függvény,

 

G(s)

átviteli függvény,

 

U(s)

a bemenő jel Laplace-transzformáltja,

 

Y(s)

a kimenő jel Laplace-transzformáltja.

A soros kapcsolás eredő átviteli függvénye (G serial (s))

 

G s e r i a l ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = C ( s ) G ( s )

(1.224)

 

G s e r i a l ( s ) [ n u m ] G s e r i a l ( s ) [ d e n ] = C ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ n u m ) C ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ d e n ]

(1.225)

ahol

 

G serial (s)[num]

a soros kapcsolás eredő átviteli függvényének számlálója,

 

G serial (s)[den]

a soros kapcsolás eredő átviteli függvényének nevezője,

 

C(s)[num]

az átviteli függvény számlálója,

 

C(s)[den]

az átviteli függvény nevezője,

 

G(s)[num]

az átviteli függvény számlálója,

 

G(s)[den]

az átviteli függvény nevezője.

1.3.3.3. Alapelemek párhuzamos összekapcsolásából keletkező részrendszer

Két alapelem párhuzamos összekapcsolását az (1.32. ábra) ábrán láthatjuk.

Átviteli függvények párhuzamos kapcsolásának eredő átviteli függvénye
1.32. ábra - Átviteli függvények párhuzamos kapcsolásának eredő átviteli függvénye


Az ábrán szereplő jelölések:

 

C(s)

átviteli függvény,

 

G(s)

átviteli függvény,

 

U(s)

a bemenő jel Laplace-transzformáltja,

 

Y(s)

a kimenő jel Laplace-transzformáltja.

A párhuzamos kapcsolás eredő átviteli függvénye (G parallel (s)):

 

G p a r a l l e l l ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = C ( s ) + G ( s )

(1.226)

 

G p a r a l l e l ( s ) [ n u m ] G p a r a l l e l ( s ) [ d e n ] = C ( s ) [ n u m ] C ( s ) [ d e n ] + G ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ d e n ]

(1.227)

 

G p a r a l l e l ( s ) [ n u m ] G p a r a l l e l ( s ) [ d e n ] = C ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ d e n ] + C ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ n u m ] C ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ d e n ]

(1.228)

ahol

 

G parallel (s)[num]

a párhuzamos kapcsolás eredőátviteli függvényének számlálója,

 

G parallel (s)[den]

a párhuzamos kapcsolás eredő átviteli függvényének nevezője,

 

C(s)[num]

az átviteli függvény számlálója,

 

C(s)[den]

az átviteli függvény nevezője,

 

G(s)[num]

az átviteli függvény számlálója,

 

G(s)[den]

az átviteli függvény nevezője.

1.3.3.4. Alapelemek negatív visszacsatolt összekapcsolásából keletkező részrendszer

Két alapelem negatív visszacsatolt kapcsolását az (1.33. ábra) ábrán láthatjuk.

Átviteli függvények negatív visszacsatolt kapcsolásának eredő átviteli függvénye
1.33. ábra - Átviteli függvények negatív visszacsatolt kapcsolásának eredő átviteli függvénye


Az (1.33. ábra) ábra jelölései:

 

C(s)

átviteli függvény,

 

G(s)

átviteli függvény,

 

U(s)

a bemenő jel Laplace-transzformáltja,

 

Y(s)

a kimenő jel Laplace-transzformáltja.

A negatív visszacsatolt kapcsolás eredő átviteli függvénye (G closed_loop (s)):

 

G c l o s e d _ l o o p ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) C ( s )

(1.229)

 

G c l o s e d _ l o o p ( s ) [ n u m ] G c l o s e d _ l o o p ( s ) [ d e n ] = G ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ d e n ) ] 1 + G ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ d e n ] C ( s ) [ n u m ] C ( s ) [ d e n ]

(1.230)

 

G c l o s e d _ l o o p ( s ) [ n u m ] G c l o s e d _ l o o p ( s ) [ d e n ] = C ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ d e n ] C ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ d e n ] C ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ d e n ] + C ( s ) [ n u m ] C ( s ) [ d e n ] G ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ d e n ]

(1.231)

 

G c l o s e d _ l o o p ( s ) [ n u m ] G c l o s e d _ l o o p ( s ) [ d e n ] = G ( s ) [ d e n ] C ( s ) [ n u m ] G ( s ) [ d e n ] C ( s ) [ d e n ] + G ( s ) [ n u m ] C ( s ) [ n u m ]

(1.232)

ahol

 

G closed_loop (s)[num]

a negatív visszacsatolt kapcsolás eredő átviteli függvényének számlálója,

 

G closed_loop (s)[den]

a negatív visszacsatolt kapcsolás eredő átviteli függvényének nevezője,

 

C(s)[num]

az átviteli függvény számlálója,

 

C(s)[den]

az átviteli függvény nevezője,

 

G(s)[num]

az átviteli függvény számlálója,

 

G(s)[den]

az átviteli függvény nevezője.

1.4. Átviteli függvény számítási blokkdiagramjának megvalósítása

Átviteli függvényeket megvalósító rendszereinkben a leggyakrabban egy bemenetű és egy kimenetű (SISO) rendszereket készítünk. Ezek a következő átviteli függvényalakkal rendelkeznek:

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m s m + b m 1 s m 1 + . . . . . . + b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n 1 + . . . . . . + a 1 s + a 0

(1.233)

ahol

 

U(s)

a bemenő jel Laplace-transzformáltja,

 

m

az átviteli függvény számlálójában előforduló legmagasabb s hatvány,

 

Y(s)

a kimenő jel Laplace-transzformáltja,

 

n

az átviteli függvény nevezőjében előforduló legmagasabb s hatvány.

Az átviteli függvény megvalósíthatóságához teljesülnie kell az m<=n feltételnek!

1.4.1. Átviteli függvény számítási blokkdiagramja soros kapcsolású részelemekkel

A G(s) átviteli függvény számítási blokkdiagramjának megvalósításához létrehozhatunk olyan alakot, amelynél az egyszerűen számítható részelemek soros kapcsolásával alakítjuk ki a bonyolult felépítésű átviteli függvényt.

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = P 0 ( s ) P 1 ( s ) ....... P q ( s )

(1.234)

ahol

PT1 típusú tag

 

P i ( s ) = b 0 i a 0 i + a 1 i s

(1.235)

Előretartó-késleltető típusú tag

 

P i ( s ) = b 0 i + b 1 i s a 0 i + a 1 i s

(1.236)

PT2 típusú tag (2. verzió)

 

P i ( s ) = b 0 i + b 1 i s a 0 i + a 1 i s + a 2 i s 2

(1.237)

Átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram soros kapcsolású elemekkel
1.34. ábra - Átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram soros kapcsolású elemekkel


Az egyes alaptagok számítási blokkdiagramjának kialakítását az 1.3.2. szakasz fejezetben mutattuk be.

Mintapélda:

Határozzuk meg a következő átviteli függvény számítási blokkdiagramját sorosan kapcsolt részrendszerekkel!

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = s + 1 s 3 + 9 s 2 + 26 s + 24

(1.238)

Az átviteli függvényt sorosan kapcsolt részrendszerekre bontjuk fel, amelynek egyik lehetséges megoldása szerepel a következő függvényként.

 

Y ( s ) U ( s ) = ( s + 1 s + 2 ) ( 1 s + 3 ) ( 1 s + 4 )

(1.239)

 

Y ( s ) U ( s ) = ( s + 1 2 ( 0,5 s + 1 ) ) ( 1 3 ( 0,333 s + 1 ) ) ( 1 4 ( 0,25 s + 1 )

(1.240)

 

Y ( s ) U ( s ) = ( 0,5 s + 1 0,5 s + 1 ) ( 0,333 1 0,333 s + 1 ) ( 0,25 1 0,25 s + 1 )

(1.241)

Átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram sorosan kapcsolt elemekkel (mintapélda)
1.35. ábra - Átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram sorosan kapcsolt elemekkel (mintapélda)


1.4.2. Átviteli függvény számítási blokkdiagramja párhuzamos kapcsolású részelemekkel

A G(s) átviteli függvény számítási blokkdiagramjának megvalósításához létrehozhatunk olyan alakot is, amelynél egyszerűen számítható részelemek párhuzamos kapcsolásával alakítjuk ki az összetett átviteli függvényt.

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = M 0 ( s ) + M 1 ( s ) + ....... + M p ( s )

(1.242)

ahol

PT1 típusú tag

 

M i ( s ) = b 0 i a 0 i + a 1 i s

(1.243)

Előretartó-késleltető típusú tag

 

M i ( s ) = b 0 i + b 1 i s a 0 i + a 1 i s

(1.244)

PT2 típusú tag (2. verzió)

 

M i ( s ) = b 0 i + b 1 i s a 0 i + a 1 i s + a 2 i s 2

(1.245)

Az egyes alaptagok számítási blokkdiagramjának kialakítását az 1.3.2. szakasz fejezetben mutattuk be.

Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram párhuzamos kapcsolású elemekkel
1.36. ábra - Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram párhuzamos kapcsolású elemekkel


Mintapélda:

Határozzuk meg a következő átviteli függvény számítási blokkdiagramját párhuzamosan kapcsolt részrendszerekkel!

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = s + 1 s 3 + 9 s 2 + 26 s + 24

(1.246)

Az átviteli függvényt párhuzamosan kapcsolt részrendszerekre bontjuk fel, amelynek egyik megoldása szerepel a következő összefüggésben.

 

Y ( s ) U ( s ) = 0.5 s + 2 + 2 s + 3 + 1.5 s + 4

(1.247)

 

Y ( s ) U ( s ) = 0.5 / 2 0,5 s + 1 + 2 / 3 0,3333 s + 1 + 1.5 / 4 0,25 s + 1

(1.248)

 

Y ( s ) U ( s ) = 0.25 0,5 s + 1 + 0,66666 0,3333 s + 1 + 0.375 0,25 s + 1

(1.249)

Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram párhuzamosan kapcsolt elemekkel (mintapélda)
1.37. ábra - Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram párhuzamosan kapcsolt elemekkel (mintapélda)


1.4.3. Átviteli függvény megvalósítása közvetlen programozással

A G(s) átviteli függvény számítási blokkdiagramját úgy is megvalósíthatjuk, hogy számlálót olyan nulla(0) értékű együtthatókkal egészítjük ki, amelyek lehetővé teszik az azonos s hatványkitevőjű számítási elemek párosítását. Az algoritmus segítségével az adott átviteli függvény megvalósításához minimális számú integráló elemet alkalmazunk.

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m s m + b m 1 s m 1 + . . . . . . + b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n 1 + . . . . . . + a 1 s + a 0

(1.250)

Az átviteli függvény alakból kapjuk:

 

( a n s n + a n 1 s n 1 + . . . . . . + a 1 s + a 0 ) Y ( s ) = ( b m s m + b m 1 s m 1 + . . . . . . + b 1 s + b 0 ) U ( s )

(1.251)

Mindkét oldalt 1 s n -el szorozva a következő összefüggést kapjuk:

 

( a n + a n 1 1 s + a n 2 1 s 2 + . . . . . . + a 1 1 s n 1 + a 0 1 s n ) Y ( s ) = ( b m 1 s k + b m 1 1 s k + 1 + b m 2 1 s k + 2 . . . . . . + b 1 1 s n 1 + b 0 1 s n ) U ( s )

(1.252)

ahol  k = nm.

Ha az egyenlet jobb oldalát kiegészítjük b i =0 együtthatójú tagokkal ahol   i = m+1, m+2, …. n;  akkor a következő egyenlet írható fel:

 

( a n + a n 1 1 s + a n 2 1 s 2 + . . . . . . + a 1 1 s n 1 + a 0 1 s n ) Y ( s ) = ( b n + b n 1 1 s + b n 2 1 s 2 . . . . . . + b 1 1 s n 1 + b 0 1 s n ) U ( s )

(1.253)

amelyből  az an-el  mindkét oldalt elosztva a következő egyenlőséget kapjuk:

 

( 1 + a n 1 a n 1 s + a n 2 a n 1 s 2 + . . . . . . + a 1 a n 1 s n 1 + a 0 a n 1 s n ) Y ( s ) = ( b n a n + b n 1 a n 1 s + b n 2 a n 1 s 2 . . . . . . + b 1 a n 1 s n 1 + b 0 a n 1 s n ) U ( s )

(1.254)

amelyből

 

Y ( s ) = b n a n U ( s ) + 1 s { b n 1 a n U ( s ) a n 1 a n Y ( s ) . . . . . + 1 s { b 1 a n U ( s ) a 1 a n Y ( s ) + 1 s { b 0 a n U ( s ) a 0 a n Y ( s ) } } }

(1.255)

( b n , b n-1 , ….. b n-k =0, ahol  k = n-m-1)

A közvetlen programozás blokkdiagramja:

Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram közvetlen programozással
1.38. ábra - Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram közvetlen programozással


Mintapélda:

Határozzuk meg a következő átviteli függvény számítási blokkdiagramját közvetlen programozással!

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = s + 1 s 3 + 9 s 2 + 26 s + 24

(1.256)

 

Y ( s ) = 1 s { 9 Y ( s ) + 1 s { U ( s ) 26 Y ( s ) + 1 s { U ( s ) 24 Y ( s ) } } }

(1.257)

Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram közvetlen programozással (mintapélda)
1.39. ábra - Az átviteli függvény számítását megvalósító blokkdiagram közvetlen programozással (mintapélda)


1.4.4. Átviteli függvény megvalósítása M-programozással

A G(s) átviteli függvény számítási blokkdiagramját a leggyakrabban az M-programozási alak alkalmazásával valósítjuk meg. Ezt a függvényszámítási algoritmust alkalmazzuk a digitális számítógépen megvalósított folytonos rendszerek szimulációjánál, illetve a digitális szűrők számításánál. Az algoritmus segítségével az adott átviteli függvény megvalósításához minimális számú integráló elemet alkalmazunk.

 

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m s m + b m 1 s m 1 + . . . . . . + b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n 1 + . . . . . . + a 1 s + a 0

(1.258)

Megvalósítható rendszereknél   m n .

A számlálót és nevezőt elosztva sn-el, kapjuk a következő alakot:

 

Y ( s ) U ( s ) <