12. fejezet - Fogazott szíjas lineáris mozgató, mint szakasz méretezése

A fogazott szíjas lineáris mozgatók több változatban készülnek, amint a következő ábrán látható:

A fogazott szíjas átalakítót a gépészet, járműipar és a mechatronika, ezen belül különösen a robottechnika és elektronikai szerelő automaták területén egyre kiterjedtebben alkalmazzák, köszönhetően azoknak a fejlesztési eredményeknek, amelyek főként a 2000. év után lettek átültetve az ipari gyakorlatba. A legfontosabb irány jelenleg az élettartam és a megbízhatóság növelése, ami különösen a járműipar számára kulcsfontosságú. A következő táblázatban rövid, szemelvényes áttekintést adunk a fogazott szíjas átalakító alkalmazási területeiről, ötletadás céljából.

A fogazott szíjas lineáris mozgató rendszerint két egységből áll, egy motor és hajtómű egységből és a fogazott szíjas mozgás-átalakítóból, ahogy a következő ábra mutatja:

Azokat a jelöléseket, hogy K_h→∞ és K_tg→∞ a fogazott szíjas átalakító rugómerevségéhez viszonyítva kell értelmezni. A hajtómű eredő rugómerevsége és a tengelykapcsoló rugómerevsége ezek szerint lényegesen nagyobb, mint a fogazott szíjé. Dinamikai szempontból a rendszert külön, a 12.5. szakasz fejezetben vizsgáljuk részletesen, annak függvényében, hogy a motor-hajtómű egység visszahatásmentesen szétválasztja két soros tagra a rendszert, vagy a teljes struktúra csak egyetlen, összefüggő rendszerként modellezhető.

Tervezési szempontból a fogazott szíjas pozícionáló (lineáris mozgató) dinamikai és pontossági szempontból legfontosabb része a fogazott szíj.

A különféle, jelenleg kereskedelemben kapható fogprofilokról ugyancsak közlünk tájékoztatást.

Szakmai körökben ismert, hogy néhány kifejezetten nagy teljesítményre kialakított fogprofiltól eltekintve, nem a fogprofil, hanem a fogtávolság és a szíj szélessége mérvadó az átvihető teljesítmény tekintetében. Újabban nem csak nyomatékátvitel a fogazott szíj feladata, hanem a lineáris mozgatókban a pozícionálás. Amíg a merevítő szálak rendszere és a szíj anyaga nem volt a maihoz hasonló, ilyen precíziós feladatok céljára fogazott szíjat nem alkalmaztak. Ma már egy plotter, egy nyomtató, tömegcikk, és az ár alacsony szinten tartása érdekében elképzelhetetlen fogazott szíjak alkalmazása nélkül.

A fenti táblázat első sorában megjelennek a szabványos fogprofilok. A könnyebb áttekinthetőség érdekében, a következőkben nézzünk néhányat ezek közül:

A fogazott szíjas hajtást a speciális tulajdonságai miatt egyebek mellett, tervezni kell élettartamra és pozícionálási pontosságra is.

A napjainkban kínált fogazott szíj gyártmányok esetében a tervezőnek bizonyos mértékig meg van kötve a keze. A korlátozás legfőbb okai a kereskedelemben kínált szíjak anyaga, a fogprofil, a fogosztás és a szíjhossz. Amint a későbbiekben látni fogjuk, például a szíj rugómerevségének beállítására egyedül a szélesség ad bizonyos mozgásteret.

A fenti áttekintő táblázatban látjuk, hogy milyen teljesítmény igényre milyen fogprofil és fogosztás ajánlott. A gyártók ismertetői természetesen ennél az áttekintésnél lényegesen bővebbek, ez a táblázat csak az összehasonlítás kedvéért készült.

A tervező számára nyolc pontban összefoglaltuk a fogazott szíjas hajtás tervezési lépéseit. Természetesen lehetséges ezektől eltérni, de nem ajánlott.

A tervezés tehát többszörös iterációs folyamat, és feltételezi a tervező rugalmas hozzáállását, mind az elrendezés, mind a szíjhossz és a tárcsaátmérők tekintetében. A tárcsák átmérője és szélessége sem tetszőlegesen választható jellemző, e tekintetben is igazodni kell a kínálathoz. A megfelelő szíj kiválasztásában hathatós segítséget nyújt a Drezdai Műszaki Egyetem Finommechanikai és Elektronikai Design Tanszéke (Technische Universität Dresden, Institut für Feinwerktechnik und Elektronik Design) által kidolgozott programcsomag. E program tanuló verziója az Interneten ingyenesen elérhető, tervezéssel foglalkozó cégek részére pedig természetesen bővebb verziókat is kínálnak, német és angol nyelvű utasításokkal. A tervező program a www.eassistant.eu honlapon érhető el. A következő képpel a program ügyes használhatóságát akartuk alátámasztani. Amint látható, a fogazott szíjas hajtás 2D-s modellje a koordinátarendszer segítségével méretarányosan elkészíthető. A programban beállítható a tervező által elképzelt teljesítmény igény és a fogprofil, a rendszer megadja az alkalmas szíj típusát, a fogtávolságot. Az elképzelt elrendezéshez megadja a legközelebbi gyártott szíjhosszat. Be kell állítani a fogazott tárcsák fogszámát, és kiadódnak a hatásos tárcsa átmérők. A program ügyel arra, hogy adott anyagú, fogprofilú és fogtávolságú szíjhoz milyen átmérőjű fogazott tárcsa rendelhető. A szíjak élettartamát nagymértékben csökkentheti az, ha a szíj merevségéhez viszonyítottan kis tárcsaátmérő miatt csökken a hajlítási sugár, és ezzel nő a szíj hajlító igénybevétele.

A csapágyak méretezéséhez szükség van az előfeszítő erő figyelembe vételére. A fogazott szíjas mozgatás minőségének egyik – sok esetben döntő – kritériuma a szíjfeszesség beállítása. A következőkben készítettünk egy összeállítást, amelyből kitűnik, hogy ez a kérdés igen ellentmondásos.

Előfeszítő erő beállítása

A szíj és fogazott tárcsa közötti kapcsolatot igen jól szemlélteti a következő két kép, amely Dr. T. Nagel előadási anyagából származik. A baloldali kép egy „laza” szíjat mutat, az előfeszítő erő az előírásosnak a fele. A jobboldali képen egy 50%-kal túlfeszített szíj kapcsolódását látjuk. Amíg a laza szíj a kapcsolódás és elválás során ismétlődő dörzshatások az élettartam csökkenéséhez vezethet, és rontja a pozícionálási pontosságot, addig a túlzottan feszes állapot a szíjfogak deformációját, és a csapágyak túlterhelését eredményezi. A szíjfogak deformációja ugyancsak pozícionálási hibaként jelentkezik.

A szíj feszessége nem csak a fogak deformációján keresztül befolyásolja a rendszer pozícionálási pontosságát, hanem a szíj és a fogazott tárcsa közötti kapcsolódás ívével, a szíj tárcsára való felfekvésével is. Ugyancsak Dr. T. Nagel anyagából származik az a diagram, amelyet a 10.4. szakasz fejezetben találunk, és amely az előfeszítő erő és a terhelés nagyságának függvényében mutatja felfekvési ív és az ideális felfekvési rádiusz közötti eltéréssel összefüggésben lévő pozícionálási hiba nagyságát.

A lineáris mozgatóhoz szükséges motor és hajtómű egység kiválasztásához a golyósorsóhoz hasonlóan szükség van a rendszer gráfjára, vagy impedancia hálózatára annak érdekében, hogy a szükséges teljesítményt és fordulatszámot megállapíthassuk.

A gráfon a motor-hajtómű egység és a fogazott szíjas mozgató külön van választva, ami azt jelenti, hogy a hajtómű módosítása elegendően nagy a visszahatás mentesség biztosítására. A motorteljesítmény megállapításához valójában mindegy, hogy van-e visszahatás, mert a szükséges mértékű tartalékok biztosítására a teljes rendszer motor „felől” nézett eredő tehetetlenségi nyomatékára szükség van.

A méretezéshez szükséges mennyiségek jelölését és mértékegységüket az alábbiakban adjuk meg:

A motor szükséges nyomatékának meghatározása állandó fordulatszám esetén

A motor hajtónyomatékának meghatározásához az alábbi összetevők szükségesek. Ha a vonóelemes pozícionálót függőleges helyzetben is üzemeltetni kell, akkor figyelembe kell venni, hogy süllyesztésnél az M_T2 nyomaték negatív, akkor a motort fékezni kell, ezért jelenik meg az összefüggésben külön összetevőként.

A képletekben felismerhető a vonóelemes átalakító „r” átalakítási tényezője, valamint a hajtómű „i” módosítása. Az ezres osztó azért szerepel, mert a fogazott tárcsa sugarát mm-ben adjuk meg.

Állandó sebesség mellett (stacionárius állapot) a motor teljesítménye:

A modellezés során keresztváltozóként „Ω” szögsebességet használunk, de a motor katalógusokban „n” fordulatszám szerepel. Ezért szükséges az átszámítás.

Motorválasztás szempontjából érdekes lehet stacionárius állapotban vonóelemes átalakítóval mozgatott tömeg (asztal) előírt „v” végsebessége, és az ehhez szükséges motor fordulatszám is:

A motor szögsebességére állandósult állapotban, illetve, ha a hajtómű rugómerevsége nagy, felírható, hogy

Ezt az összefüggést a későbbiekben is felhasználjuk.

A mozgatott tömeg a hajtómű kimeneti oldalán van, ezért kell a módosítást figyelembe venni. A vonóelemes átalakító „r” átalakítási tényezője a transzlációs sebesség átszámításához szükséges, a 10³ szorzó pedig azért jelenik meg, mert „r” mm-ben, „v” pedig m/s dimenzióban lesz megadva.

A motor szükséges nyomatékának meghatározása gyorsítás esetén

A motorral szemben támasztott összes nyomaték igény, amely gyorsítás esetén felléphet, az alábbi összetevőkből adódik:

A számításhoz felhasználjuk az előzőekben meghatározott M₀ üresjárati nyomatékot. Ebben már benne foglaltatik az egyenes vezetékeken fellépő súrlódó erő, de a képletben nem feledkeztünk el a csapágyazások súrlódási nyomatékáról sem.

Következő lépésben a gyorsítandó rendszerre ható M_Ta terhelő nyomatékot kell meghatározni, amelyben az előtolás szükséges (tervezett, előírt) erőértékét és a tervezett gyorsító erőt kell figyelembe venni:

A nyomaték, amely a teljes vonóelemes pozícionáló rendszer eredő tehetetlenségi nyomatékát gyorsítja, kétféle módon határozható meg. Egyrészt az előírt gyorsítási úthossz és a gyorsításhoz szükséges idő segítségével, másrészt a motor fordulatszámának felhasználásával, ha a névleges fordulatszámra kívánunk gyorsítani.

Ha a terhelési oldalon, tehát a hajtómű kimeneti oldalán előírt az asztal gyorsítási úthossza és az ehhez szükséges idő, akkor az alábbi összefüggések írható fel, Ω_M=Ω₁ feltételezéssel:

Ahol „J” a motor oldalára redukált eredő és egyenértékű tehetetlenségi nyomaték, „Ω₁” a hajtómű bemenő szögsebessége, ami azonos a motor szögsebességével. Mindkét esetben figyelembe kell venni a motorhoz csatlakoztatott hajtómű hatásfokát is.

Észre kell venni azt is, hogy a „Nm” dimenzió helyes, annak ellenére, hogy a gyorsítási úthosszat „mm”-ben adjuk meg. Ezt kompenzálja a hajtó (hajtott) tárcsa „r” sugara, amely ugyancsak „mm”-ben lesz behelyettesítve. Ettől kezdve csak az s_a/r arány számít.

Ha a motor szögsebessége helyére a hajtómű kimeneti oldali „Ω₂” szögsebességét helyettesítjük, majd ezt a szögsebességet a golyósorsó (váltó) átalakítási tényezőjével sebességgé számítjuk át, akkor alábbi összefüggés már a gyorsítási úthossz és a gyorsítási idő függvényében szolgáltatja a szükséges nyomaték értékét.

A gyorsítás után elért motor fordulatszám, ha a hajtómű kimeneti oldalán elért úthosszat vesszük alapul, egy hosszabb átszámítás után adódik:

Ha viszont a motor teljes „kivezérlési” tartománya érdekes, tehát zérus fordulatszámról a lehető legnagyobb értékig, a névleges fordulatszámig kívánjuk gyorsítani a motort az adott terhelésekkel, akkor a következő összefüggést kell alkalmazni:

A képletekben előforduló „J” eredő tehetetlenségi nyomaték összetevői a modell gráfja segítségével érthetők meg.

Az eredő tehetetlenségi nyomatékot a motor „felől nézve” kell meghatározni, hiszen a motor kiválasztásáról van szó. Így az eredőben a motor saját tehetetlenségi nyomatéka és a hajtómű bemeneti oldali tehetetlenségi nyomatéka összeadható, de a hajtómű kimeneti oldalán szereplő tehetetlenségeket már csak a redukálás szabályai szerint adhatjuk ezekhez hozzá, nem beszélve arról, hogy az egyenes vonalon mozgatott tömeg tehetetlenségi nyomaték egyenértékét a golyósorsó átalakítási tényezőjének felhasználásával kell meghatározni.

Az átszámítás (és a redukció) elméleti hátterét a modellezés alapelveivel foglalkozó fejezetben találhatjuk meg.

Hátra van még a szükséges motorteljesítmény meghatározása.

Ezt egyrészt hagyományos módon adhatjuk meg, ha előírt a fogazott szíjjal mozgatott tömeg (asztal) „v” végsebessége, és az ehhez a sebességhez kiszámított motor fordulatszám:

A motorteljesítmény meghatározásánál figyelembe vettük a súrlódásokból eredő veszteségeket, ld.: F_S és M_S a megfelelő képletekben.

A súrlódási nyomatékokat (erőket) vagy tapasztalati adatok segítségével becsülhetjük, vagy mérésekkel határozzuk meg. Ha szükség van az eredő veszteség különálló becslésére is, akkor azt az alábbi formula segítségével lehet megtenni:

Az összefüggésben „B” a motor „felől” látható eredő súrlódási tényező. Kiszámítása a tehetetlenségi nyomatékhoz hasonlóan, összevonással és redukálással történik:

A fenti képletben látható csillapítási tényezők megtalálhatók a gráfban. Az egyenes vezetéken mozgatott tömeg lineáris csapágyazásaiból eredő csillapítási tényező „b” jelölést kapott.

Amint a golyósorsós mozgatók esetében az eredő rugalmasság és a súrlódások befolyásolják a pozícionálási pontosságot, úgy a fogazott szíjas átalakító esetében is fel kell térképeznünk, hogy melyik tényező milyen mértékben van hatással a pontosságra.

Első lépésben definiáljuk a pozícionálás hibáit, és azokat a jellemzőket, amelyeket a méréselmélet és a valószínűségszámítás segítségével lehet meghatározni. A számításokhoz szükséges adatokhoz alapvetően egy elkészült pozícionáló rendszer méréstechnikai vizsgálatával juthatunk. Ugyanakkor táblázatos formában összefoglaltuk a pozícionálási hiba forrásait, hogy a tervezés és méretezés fázisában is mód nyíljon ezek figyelembe vételére.

A táblázatban alkalmazott jelölések magyarázata a következő:

Az áttétel hibája is kiszámítható, ez egyenes vonalú (transzlációs) hiba formájában jelenik meg. A feszített fogazott szíjas átalakító Δx_P szíjfeszítés miatti hosszváltozás tűrése lineáris mozgatás és Δp_F értékkel megnyújtott fogosztás esetén:

A szíjág megnyúlása ismert ΔF_SZ nagyságú szíjfeszítő erő esetén:

A táblázatban összefoglalt pozícionálási hibaokozók között a második sorban szerepel a húzott fogazott szíj tárcsán való felfekvésének ideális helyzettől való eltérése. A következő ábrán gyakorlati mérési adatokat láthatunk, amely a különböző terhelési százalékok függvényében a szíj sugárirányú helyzete és az ideális felfekvési sugár közötti hibát szemlélteti.

A pozícionálás maximális abszolút hibája [12.2.]

A maximális abszolút hiba a legkedvezőtlenebb esetet felételezi, amikor is minden rész-hiba abszolút értékét összeadjuk. Kétségtelen tény, hogy ezek a hibák egyszerre jelennek meg a pozícionálás során, de mértékük ingadozhat. Olyan eset, amelynél minden rész-hiba maximuma lép fel, igen csekély valószínűséggel fordul elő a műszaki gyakorlatban, ezért a méréstechnikában, hasonló esetekben, inkább a súlyozott szórásnégyzetek összegéből származó eredő szórással szokás jellemezni a bizonytalanságot. A pozícionálás statisztikai jellemzőit külön összefoglalva bemutatjuk.

Az eredő abszolút (maximális) hiba a következő tényezőkből tevődik össze:

ahol:

A pozícionálás bizonytalanságának meghatározása

A pozícionálási bizonytalanságot mindenképpen csak empirikus (gyakorlati mérési adatokra alapozva) úton lehet becsülni.

Két út lehetséges:

A valószínűségszámításból tudjuk, hogy a véletlen változó „várható értéke” μ (ahol μ=E(x)) és a „szórásnégyzete” (varianciája) σ², (ahol σ²=D²(x)) nem függvényei az x valószínűségi változónak, hanem „x” eloszlásának tulajdonságait kifejező un. „funkcionálok”. E(x) az „x” valószínűségi változó eloszlásának elhelyezkedésére jellemző, és D²(x) a szóródás (vagy koncentráció) mértékszáma. Tehát „μ” és „σ” elméleti értékek, a gyakorlatban „μ” várható érték helyett átlagérték, és „σ” szórás helyett „s” tapasztalati szórás, vagy s* korrigált tapasztalati szórás meghatározására van lehetőség. A korrigált tapasztalati szórás kiszámításánál – jellemzően 30-nál kevesebb mérési adat esetében - figyelembe vesszük a szabadságfok csökkenését. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy a mérnöki gyakorlatban sem ajánlatos keverni a várható értéket az átlaggal és a szórást a tapasztalati szórással. Ezzel kapcsolatban látszik, hogy „pongyolaság” az ismétlőképesség tartományának emlegetése „six sigma” elnevezéssel, mert ehhez pontosan ismerni kellene a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét (Normál, Student), vagy legalább 100 mérési adat kellene, hogy rendelkezésre álljon. Helyesebb lenne tehát a „6s*”, vagy „6s” megnevezés.

Egy adott pozíció közelítése történhet „alulról”, azaz alacsonyabb értékek felől, és „felülről”. A következő ábrán szemléltetjük a pozícionálás hibáit és a pozícionálás bizonytalanságát.

A pozícionálási eltérés és az irányváltás hibája az „x_e” elméleti, vagy előírt pozícióhoz viszonyítottan jelentkezik. A pozícionálási eltérés az „x_e” és a valós alulról történő közelítés átlaga valamint a valós felülről történő közelítés átlaga és „x_e” közötti különbség. Az irányváltás hibája a és átlagértékek közötti különbség. A pozícionálás teljes bizonytalansági tartománya az adatok normál eloszlása esetében és 99.73% konfidencia szinten .

Az előző ábrán megadott jellemzőket összefoglaltuk táblázatosan is, megadva az egyes jellemzők kiszámításának módját is.

A 12.1. szakasz fejezetben már volt arról szó, hogy a fogazott szíjas lineáris mozgató rendszerint két egységből áll, egy motor és hajtómű egységből és a fogazott szíjas mozgás-átalakítóból. Ennek megfelelően járunk el a fogazott szíjas szakasz lineáris matematikai modelljeinek megalkotása során.

Attól függően, hogy a méretektől és az erőhatásoktól függően, a hajtómű esetében számolnunk kell-e a valós modellel, és figyelembe kell-e vennünk a motor induktivitását, többféle változattal dolgozhatunk, hasonlóan a golyósorsós szakaszhoz.

Egyszerűsíti a feladatot, hogy a 10.5. szakasz fejezetben bemutattuk a vonóelemes lineáris mozgató átviteli függvényének levezetését impedancia módszerrel, amely lineáris, állandó paraméterű modellezés esetében másodrendűnek adódott. Az egyszerű szabályozás megtervezéséhez, ha a szakasz a hajtómű kimenetén szétválasztható, elegendő az átviteli függvények ismerete. Pozíciószabályozás esetén a kimenet természetesen nem a sebesség, hanem az elmozdulás „X_m” lesz, tehát a következő átviteli függvényhez egy integrátort sorosan még hozzá kell kapcsolni.

Fogazott szíjas lineáris mozgatóra, az egyszerűsített és linearizált esetre a katalógusok az eredő rugómerevséget a következőképpen határozzák meg:

Ahol

Elsőrendű motor és hajtómű egység és fogazott szíjas mozgató

Ennek a modellnek az a feltétele, hogy a hajtómű módosítása elegendően nagy legyen a szétválasztáshoz. Ha ez a feltétel teljesül, akkor a szakasz átviteli függvénye a motor-hajtómű egység és a fogazott szíjas lineáris mozgató sorosan kapcsolt két átviteli függvényéből adódik:

Az így meghatározott átviteli függvény egy negyedrendű arányos átviteli tagot reprezentál, a szabályozástechnikában szokásos alak az alábbi:

ahol

Harmadrendű motor és hajtómű egységgel kombinált fogazott szíjas mozgató

A szakasz eredő átviteli függvényében G₂(s) változatlan az első modellhez képest, hiszen igazoltuk, hogy az állandó együtthatós, lineáris mozgató átviteli függvényének rendszáma kettő. Ezért a szakasz átviteli függvénye a második változatban a következő lesz:

T_S és ξ_S az elsőrendű változatnak megfelelő értékek, az „a_i” együtthatókba foglalt paramétereket a 8.1. szakasz fejezet végén találjuk, de a könnyebb érthetőség kedvéért „importáltuk”:

A szakasz hatodrendű lesz, látjuk, hogy A_s az első változathoz viszonyítva csak „alakra” módosult, mert az első változatban B_e csillapítási tényező alatt mást értettünk. Emlékeztetőül megjelenítjük az első változat eredő csillapítási tényezőjét és eredő tehetetlenségi nyomatékát:

Ha most a második változat eredő csillapítását kibontjuk, és összevetjük a fent látható első változattal, meggyőződhetünk, hogy nincsen változás, mert a csillapítási tényezőkön és elhelyezkedésükön nem változtatunk:

A szakasz átviteli függvényét célszerű a fenti formában meghagyni, ha a szabályozókör tervezését Bode diagramokkal végezzük.

Negyedrendű motor és hajtómű egység fogazott szíjas lineáris mozgatóval

A szakasz eredő átviteli függvénye felírásához G₁ kiegészül a változatlan G₂-vel, és végső soron két szorzatra bontható hetedrendű rendszert kapunk:

T_S és ξ_S az elsőrendű változatnak megfelelő értékek, az „a_i” együtthatókba foglalt paramétereket a 8.1. szakasz fejezet végén találjuk, de a könnyebb érthetőség kedvéért „importáltuk”:

Ha a G₁ átviteli függvény rész együtthatói a tervezési követelmények miatt kötöttek, akkor érdemes a rendelkezésre álló adatok behelyettesítésével a paraméteres formáról áttérni a konkrét szám-együtthatós alakra.

A nevező összeszorzása most sem célszerű, de ha olyan számítógépes szimulációs program áll rendelkezésre, amely n-edrendű átviteli függvény Bode diagramjának megszerkesztésére alkalmas, akkor az összeszorzást érdemes programmal (konvolúció utasítással) elvégeztetni.

Láttuk a 10.5. szakasz fejezetben, hogy a vonóelemes átalakító, a mechatronikában döntően a fogazott szíjas lineáris mozgató struktúra gráfja a linearizálást megelőzően összetett, és látszólag három rugómerevség ágat tartalmaz, de valójában kettő az, amelyek a mozgatott tömeghez kapcsolódik. Az egyik ág a terhelt (húzott) ág, a másik a terheletlen, de forgásiránytól függően ez is változik. A három gráf-él azért látszólagos, mert az egyik ág közvetlenül, a másik pedig a visszatérítő tárcsán keresztül csatlakozik a tömeghez. Az ágak rugómerevsége változó nagyságú, mert a tömeg pozíciójától függően változik a terhelt (húzott) és terheletlen szíjágak hossza. A rugómerevségük értéke függ a mozgatott tömeg pozíciójától, és függ a mozgatás irányától is. Ezek a nemlineáris rugómerevségek eredő rugómerevségek, hiszen láttuk a 12.4. szakasz fejezetben, hogy a szíj rugalmasságán kívül a kapcsolódási ív rugalmassága és a fogak eredő rugalmassága sem elhanyagolható. A terhelés, illetve az előfeszítés tulajdonképpen az eredő karakterisztikán jelöl ki egy „kezdeti” munkapontot.

A soron következő vizsgálódásainkban arra szeretnénk választ kapni, hogy leíró függvényekkel milyen pontossággal közelíthető a valós helyzet.

Megjegyezzük, hogy a vizsgálódásaink során csak a szíjágak rugómerevségét vesszük figyelembe, az előfeszítéstől és a terheléstől függő a fogrugalmasságot és a kapcsolódási ív rugalmasságát nem.

Fentebb említettük, hogy a mozgatott tömeghez két szíjág csatlakozik. Elsőként a húzott (terhelt) ág rugómerevségével foglalkozunk, és ezt követően megvizsgáljuk, hogy az adott terhelt ághosszhoz milyen terheletlen szíjág tartozik. A nemlineáris rugómerevséget a két rugómerevség párhuzamos eredője (összege) adja. A rugómerevségek leíró függvényeihez szükséges értékek kiszámításához elegendő az adott mozgatási irányban a két véghelyzetet vizsgálni, a mindenkori pozícióhoz tartozó szíj rugómerevség képlete ismert.

Kétszer két ábrából álló ábrasor következik. Az első kettő azt a szíjmerevség változást szemlélteti, amikor a tömeget x_max pozícióból, a forgató tárcsa pozitív forgásiránya mellett, az x₀ pozícióba mozgatjuk. A harmadik és negyedik ábra azt mutatja, hogy megfordul a hajtótárcsa forgásiránya, és ennek következtében a tömeget az x₀ pozícióból az x_max pozícióba mozgatjuk. Az ábrasor végén bemutatjuk, hogy egy konkrét fogazott szíj típus, adott mozgatási hossz, specifikus rugómerevség, stb. esetében milyen értékhatárok között változik a húzott ág rugómerevsége.

A húzott ágak rugómerevsége mellett számolni kell a terheletlen ág rugómerevségével is, hiszen többször hangsúlyoztuk, hogy a tömeg két ágon keresztül kapcsolódik a hajtótárcsához. A következő táblázatban az összetartozó (párhuzamosan kapcsolt) terhelt és terheletlen ághosszakat foglaltuk össze. Az ághosszakkal a szíj rugómerevségek összefüggenek, ezt az indexeléssel jelezzük. Az egyes összetevőket a kétszer két ábrából álló ábrasorról olvashatjuk le.

A lineáris modellhez hasonlóan úgy tekintjük, hogy a tömeghez a tömeg-középpontban csatlakoztattuk a szíjvégeket.

A fenti táblázatban, és a következőkben az alábbi jelöléseket alkalmaztuk. Az összetartozó terhelt és terheletlen szíjágak hossza természetesen állandó.

A négy ábra az általános szerkezeti modellt jeleníti meg. Egy valóságos szerkezetnél L_t1…4 úgy is adódhat, hogy a szíjvégek nem a tömeg-középpontba vannak csatlakoztatva. Az egyszerűség kedvéért, a 12.5. szakasz fejezet elején jelzett módon úgy vesszük, mintha esetünkben L_t1…4 a tömegközéppontig terjedne, hiszen nem ismert a konkrét tömeg mérete.

Az első két ábra alapján az alábbi megállapításokat tehetjük.

Hajtótárcsa matematikai pozitív forgásirányban:

A húzott ág rugómerevségének megállapításához figyelembe vett szíjhosszakat vastagabb méretvonallal jelöltük. Vigyázat, ezek a vastag vonalak méretvonalak, a hosszúság megadásához a szíj és a fogazott tárcsa valódi ívhosszát kell alapul venni. A fogazott szíjnak van egy x₀ hosszúságú darabja, amely a fogazott kerék negyed körívéhez illeszkedő szíjhosszhoz hozzáadódva azt a minimális szíjhosszat adja, amely ebben a mozgatási irányban a maximális rugómerevséget eredményezi. Az ábrákon nem foglalkoztunk a mozgatott tömeg méreteivel, ami a szíj „holt” szakaszának hosszát természetesen befolyásolja, hanem az x₀ távolságot a tömegközéppontig mértük. A fogazott szíjakat részletesen tárgyaló 10.5. szakasz fejezetben látjuk, hogy a szíj eredő rugalmasságához a mozgató fogazott tárcsa kapcsolódási ívének negyedében jelentkező fogrugalmasságot kell hozzávenni. Ugyanebben a mozgatási irányban az előbbi két hosszúsághoz hozzáadva az x_max teljes mozgatási hosszat megkapjuk ennek az iránynak a minimális rugómerevségét. Az L_t2 hosszúsághoz tartozó, terhelt rugómerevség (húzott ág) a két irányban működtetett rendszer legnagyobb rugómerevsége, ennél kisebb az L_t1 hosszhoz rendelt, terhelt ág rugómerevsége.

Hajtótárcsa matematikai negatív forgásirányban:

A húzó (terhelt) ág hosszabb ebben a forgásirányban, amint azt a következő két ábrán láthatjuk. A terhelt ág rugómerevségei ennek megfelelően ebben a mozgatási irányban kisebbek lesznek, a minimális értéke az L_t3 hosszúságnál van, tehát éppen akkor, amikor a hajtó tárcsa a tömeget a vezetéken visszafelé kezdi mozgatni. A szíj rövidülésével nő a rugómerevség, de ez a változás nem olyan mértékű, mint a matematikai pozitív forgásirányú tárcsa esetében volt.

Foglaljuk össze a négy ábra alapján szerzett ismereteinket, és ábrázoljuk a terhelt ág rugómerevségeit a szíj hosszúságának függvényében. Ismert, hogy a szíjágak rugómerevsége fordítottan arányos a szíj hosszával. A fogazott szíj rugómerevsége folytonos függvény, de a lineáris mozgató két mozgási irányának esetében ebből a függvényből csak meghatározott két tartományt használunk fel. A következő diagramon alul látjuk azt is, hogy az adott szíjhosszakkal miként függ össze a tömeg mozgatásának iránya.

A terhelt (húzott) szíj rugómerevségének változása jobban érzékelhető, ha az értékeket egy, a szerszámgépiparban, robottechnikában használatos fogazott szíj típus esetére megvizsgáljuk.

A példaként választott szíj adatai:

Ezeknek az adatoknak az alapján meghatározhatóak a húzott (terhelt) és terheletlen ághosszak és a rugómerevségek. A 10.5. szakasz fejezetben bemutatott végeselemes szimulációs eredmény alapján úgy tekintjük, hogy a hajtó tárcsán felfekvő szíjhossznak csupán egy része van húzásra fokozottan igénybe véve. Módosítás nélküli vonóelemes mozgató esetében ez szíjhossz a fogazott tárcsa negyed körívén fekszik fel, a szíj belépésétől a rendszer hossztengelyéig. A többi szíjméret a négy ábráról közvetlenül leolvasható.

A rugómerevség változását bemutató diagramon is látható, hogy a merevség a szíj hosszával fordítottan arányos. Ennek következménye, hogy a rövid szíjhosszakkal történő működtetési tartományban a két véghelyzet között nagyobb a különbség, mint a nagyobb szíjhosszak esetében.

A következő feladatunk a négy tömeg-pozícióhoz tartozó eredő rugómerevségek meghatározása. Ehhez felhasználjuk a terhelt és terheletlen szíjágak rugómerevségeinek táblázatát.

A táblázat az eddigi megfontolásaink összefoglalásának tekinthető, és segítségével meghatározható az a leíró függvény, amely a nemlineáris rendszermodell megalkotásához elengedhetetlen. Azt kell ugyanis függvény formájában megadnunk, hogy a mozgatott tömeg „x” pozíciója miként befolyásolja a fogazott szíj eredő rugómerevségét. A táblázat alapján az alábbi grafikus függvénykapcsolat feltételezhető:

Az adott elrendezésnél, tehát a lineáris mozgatónál az x_max-hoz tartozó k₁+k₄=k_e eredő rugómerevség a minimális értéket éri el. Ez egybecseng azzal a megállapítással, amit csaknem minden gyártó számítási útmutatójában fellelhetünk: A szíjágak eredő rugómerevsége akkor éri el a minimális értékét, ha a húzott (terhelt) és terheletlen ág hossza megegyezik. A korábbi ábráinkról leolvasható, hogy a példaként bemutatott rendszerben, az óramutató járásával megegyező hajtótárcsa forgásirány esetében, tömeg x_max pozíciójában lesz a két szíjág hossza a közel azonos. Megjegyezzük, hogy a példában vizsgált, egyszerű elrendezés esetében a két szíjág hossza a tömeg semmilyen pozíciójában nem lehet teljesen azonos, de ez más térbeli elrendezésnél nyílván előfordulhat.

Nagyobb szíjhosszak esetében a helytől és tárcsa forgásiránytól függő rugómerevség értékek egymáshoz képesti különbsége már nem elhanyagolható.

Konkrét alkalmazási példa esetében az eredő rugómerevség maximális és minimális értéke kiszámítható. A két szélsőérték között 1/x jelleggel változik a függvény, hiszen tudjuk, hogy a rugómerevség és a szíjhossz fordítottan arányosak, de természetesen az x=0 mm nem értelmezett. Helyette, például az x=1 mm = 10^-3 m értékhez rendelhetjük hozzá a k₂+k₃=k_e eredő rugómerevséget. A keresett függvénykapcsolat tehát:

A „K” állandót következőképpen határozhatjuk meg:

A tömeg pozíciója és a rugómerevség értéke közötti függvénykapcsolat ismeretében megalkotható a szakasz nemlineáris állapottér modellje.

Joggal feltételezhetjük, hogy a hajtómű rugómerevsége lényegesen nagyobb, mint a fogazott szíjas lineáris mozgatóé. Ezért tehát a motor és hajtómű egység elsőrendű változatát alkalmazzuk. A vonóelemes átalakító gráfját látjuk a következő ábrán. A korábbi gyakorlatnak megfelelően a transzlációs elemekhez redukáljuk az Ω₂ szögsebességű két forgó mechanikai elemet, és képezzük az eredőket. A rugómerevség k_e eredőjének meghatározását, valamint a leíró függvényt e fejezet korábbi részeiben találjuk.

A gráf elemeinek értelmezéséhez az alábbiakat tudjuk:

ahol .

Felírjuk a v_m keresztváltozóval jelzett csomópontra a csomóponti egyenletet, majd elsőrendű differenciálegyenlet rendszerré alakítjuk a vonóelemes átalakító modelljét.

A teljes szakasz nemlineáris állapottér modellje a fentiekkel:

A modell használhatóságát valós műszaki adatokkal érdemes ellenőrizni. E fejezetben, a számításokhoz korábban már alkalmaztunk valós adatokat a fogazott szíjra, hajtótárcsára, mozgatási hosszra, stb., ezért a szimulációhoz ismételten ezeket az adatokat használjuk fel.

A nemlineáris szíj rugómerevség kiszámításához táblázatban közöltük a tömeg pozíciójától és a forgásiránytól függő értékeket, és ezeket használjuk továbbra is megtartva a mozgatási hosszat 800 mm-ben.

k₂+k₃=1,71 10² N/mm=1,71 10⁵ N/m

k₁+k₄=1,68 10² N/mm=1,68 10⁵ N/m

A szíj nemlineáris rugókarakterisztikájának egyenlete a korábban bemutatott számítási mód szerint:

A lineáris mozgató tervezéséhez szükséges legfontosabb adatokat „importáltuk” a fejezet korábbi részéből. A szimulációhoz szükséges adatokat SI egységekben helyettesítettük be, ez a legcélszerűbb eljárás. A lineáris mozgató felbontása várhatóan 0,1 mm, azaz 10^-4 m lesz, ezért az eredmények megjelenítésénél alkalmasan kell majd megválasztani a léptéket.

A nemlineáris állapottér modell feltételezett paraméterekkel:

Az állapottér modell időállandói között a legkisebb a harmadik egyenlet második együtthatójában található, értéke 7,44·10^-6 s=7,44 μs. Ez a szimulációk során megköveteli a ΔT=5·10^-7…10^-6 s körüli, de lehetőleg e tartománynál kisebb iterációs lépésközt, ami a számítási időt jelentősen megnövelheti, bár a modell legkisebb és legnagyobb időállandói között 10⁶ a szorzó, és ez s digitális szimulációk esetében nem jelent még gondot.