A robotok mechanikai szempontból történő leírásának következő fontos eleme a statikai jellemzés, amelynek során a nyugalomban lévő robotokban ébredő erőkkel és forgatónyomatékokkal foglalkozunk. Ezt az indokolja, hogy sok esetben ismernünk kell, mekkora csuklóerők illetve nyomatékok szükségesek ahhoz, hogy a robot egy adott munkadarabot nyugalmi helyzetben meg tudjon tartani. A statikai leírást a 3.1. ábra segítségével követhetjük nyomon.

A kartagok, csuklók és koordináta rendszerek sorszámozása illetve indexelése az eddigi konvencióknak megfelelő. Írjuk fel először a nyugalomban lévő i‑edik kartagra az erők egyensúlyát kifejező egyenletet! Legyen az i‑edik kartag tömege , jelöljük továbbá az i‑edik kartag által az i‑edik kartagra kifejtett erőt ‑vel az i‑edik kartag által az (i+1)‑edikre kifejtett erőt pedig ‑gyel. Ekkor a következő egyenletet írhatjuk fel

Ha a csuklókban ébredő forgatónyomatékokat (az erők leírásához hasonló indexelést alkalmazva) ‑vel illetve ‑gyel jelöljük, továbbá az 5. ábrán látható irányvektorokat figyelembe vesszük, akkor a forgatónyomatékok egyensúlyát az alábbi egyenlet fejezi ki

Ha a kiszemelt i‑edik kartag a legutolsó vagyis az n‑edik, akkor is alkalmazhatjuk a fenti két egyenletet, azzal a kikötéssel, hogy a környezetet formálisan (n+1)‑edik kartagként vesszük számításba. Az utolsó kartag által a környezetre kifejtett erőket és forgatónyomatékokat együttesen a továbbiakban egy hatelemű F vektorral fejezzük ki, azaz

Bevezetjük továbbá az ún. ekvivalens csuklónyomatékok (angolul: equivalent joint torques) fogalmát. Az i‑edik csukló ekvivalens csuklónyomatéka erő, vagy nyomaték dimenziójú leehet. Nagysága egyenlő annak az erőnek vagy nyomatéknak a nagyságával, amelyet az i‑edik csukló aktuátora fejt ki a csuklótengely irányában, illetve a tengely körül. Az egyes csuklok ekvivalens csuklónyomatékaiból egy n (általában hat) elemű vektort képezhetünk

A vektor egyes elemei a korábbi jelölésekkel a következőképpen fejezhető ki

Keressünk kapcsolatot a (3.3) egyenlettel definiált F és a (3.4) egyenlettel definiált vektor között! Állításunk a következő

ahol a korábbiakban bevezetett Jacobi‑mátrix.

A bizonyításhoz a virtuális munka elvét fogjuk felhasználni. Ha a rendszer eredetileg egyensúlyban van, akkor az egyensúlyhelyzetből az adott geometriai kényszereknek eleget tevő virtuális elmozdulásokkal kimozdítva a rendszeren végzett eredő munka zérus.

Tegyük fel ezek után, hogy a robotot valamekkora virtuális elmozdulásoknak vetjük alá, amit kifejezhetünk egyrészt a végpont

másrészt a csuklókoordináták

elmozdulás vektorával.

Valamennyi erő és forgatónyomaték hatását figyelembe véve a végzett virtuális munka a következőképpen írható fel, azaz

amelyből

továbbá

A levezetés során figyelembe vettük, hogy . Mivel az (3.10)‑ben felírt virtuális munka tetszőleges virtuális elmozdulásra zérus kell, hogy legyen, ez csak akkor teljesülhet, ha

A (3.11) összefüggést átrendezve valóban a bizonyítani kívánt (3.7) összefüggéshez jutunk.

A továbbiakban tovább fejlesztjük eredeti robotmodellünket. Mindeddig ugyanis – első közelítésként – feltételeztük, hogy a robot kartagjai ideális merev testek, csuklói és beavatkozó szervezi, azaz aktuátorai pedig kotyogásmentesek (holtjáték), továbbá feltételeztük azt is, hogy súrlódásmentesek. E feltételezések egyike sem külön teljesül igazából a valóságos robotoknál.

Modellünk pontosítása során elsőként a csuklókban elhelyezett aktuátorok korlátozott merevségének hatását fogjuk figyelembe venni. Szabályozástechnikai szempontból ugyanis döntő jelentőségű, hogy ha valamelyik csuklókoordináta az előírt értéktől valamekkora értékkel eltér, akkor erre a szabályozóval ellátott aktuátor egy megfelelő csuklónyomaték változással reagáljon. Egyelőre lineáris közelítést fogunk alkalmazni, ami az esetek többségében elfogadható eredményt ad.

Minden egyes csuklóra tehát egy

alakú lineáris összefüggést írunk fel, ahol tényezők egyfajta „rugóállandókként” értelmezhetők. A tényezőkből képezhetünk egy

diagonális mátrixot, amelyet csuklómerevségi mátrixnak nevezünk.

Most arra a kérdésre keressük a választ, hogyan érvényesül az ekvivalens csuklónyomatékok megváltozásának (‑nak) a hatása a robot és a környezet közötti kölcsönhatást kifejező F vektor megváltozásában. Az (3.7) összefüggés most értelemszerűen

alakban lesz érvényes. Másfelől a (3.12) és (3.13) egyenletek alapján írhatjuk, hogy

ha kihasználjuk, továbbá a jól ismert összefüggést. Ha a (3.12) egyenlettel definiált együtthatók egyike sem zérus (ami működésképes, szabályozott hajtásokkal ellátott robotoknál nyílván valóan fönnáll), akkor a K diagonális mátrix invertálható. A (3.12) - (3.15) egyenletek felhasználásával végül is a következő eredményt írhatjuk fel

ahol

a robot úgynevezett végpontra vonatkoztatott engedékenységi (angolul: compliance) mátrixa.

A C engedékenységi mátrixról jegyezzük meg, hogy az – K csuklómerevségi mátrixszal ellentétben – általában nem diagonális mátrix. Ez abból adódik, hogy a robot egyetlen csuklójának mozgása is a végpont több szabadságfokú mozgását eredményezheti.