3. fejezet - Bizonytalanságok modellezése

Nemmodellezett dinamika

A mechanikai rendszerek irányítására alkalmazott lineáris vagy folytonos nemlineáris irányítási algoritmusokkal megvalósított szabályozási rendszer tulajdonságait nagymértékben leronthatják a mechanikai rendszerben jelenlevő (nemfolytonos) nemlinearitások. Tipikus nemlinearitások a szaturáció, surlódás,holtsáv, kotyogás, hiszterézis.

Számos irányítási alkalmazásnál az irányított rendszerben a nemlinearitás pontatlanul ismert vagy akár ismeretlen. Ha a linearizáláson alapuló technika kevésbé alkalmazható, a nemlinearitás hatásának kompenzálásához a szabályozót módosítani kell. Az alkalmazott technika alapján ez lehet robusztus szabályozás, amikor a szabályozót úgy tervezzük meg, hogy pontatlanul ismert nemlinearitás esetén is garantálja a zárt rendszer stabilitását és a szabályozási pontosságot, performanciát, vagy adaptív szabályozás, amikor a szabályozót kibővítjük olyan formában, hogy irányítás közben becsülje meg az ismeretlen nemlinearitást, paramétert.

A modell és a rendszer közötti hiba meghatározására általános megoldás nincs, különböző szerkezetű lehetőségek közül az additív, illetve a multiplikatív hiba struktúra a legismertebb.

A aktuális rendszer és a névleges rendszer közötti eltérést additív hiba struktúrának nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül:

ahol az additív hiba átviteli függvénye. Az additív hiba ismeretlen.

A ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Nyquist diagramon ábrázolhatjuk:

ahol skalár függvény. Az aktuális rendszer Nyquist diagramja a névleges rendszer Nyquist diagramjával és a bizonytalanságot leíró függvénynyel illusztrálható.

A aktuális rendszer és a névleges rendszer közötti eltérést multiplikatív hiba struktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül:

ahol a multiplikatív hiba átviteli függvénye.

A ismeretlen méretű additív hiba átviteli függvényt egy ismert korláttal rendelkező bizonytalansággal kifejezhetjük és frekvencia függvényét Bode diagramon ábrázolhatjuk:

ahol skalár függvény. Az aktuális rendszer Bode diagramja a névleges rendszer Bode diagramjával és a bizonytalanságot leíró függvénnyel illusztrálható.

Parametrikus bizonytalanság

Gyakran a bizonytalanságok egy része a rendszert leíró modell paramétereinek változásával is megfogalmazható.

Például az rendszermátrixban lévő rugóállandó és csillapítási együtthatók változnak. Ezek a paraméterek a mátrix több elemében is előfordulhatnak.

A bizonytalan rugóállandó paramétere a következőképpen modellezhető:

ahol a névleges rugóállandó, a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg paraméterről azt tudjuk, hogy a intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó struktúrája a 11. ábrán látható.

A jelek közötti kapcsolatok:

ahol . Emiatt . Az ismert komponenseket tartalmazó blokk:

Ha egy bizonytalan paraméter a nevezőben van, akkor a következőképpen járunk el.

ahol a névleges tömeg, a névleges értéktől való eltérést mutatja, míg paraméterről azt tudjuk, hogy a intervallumba esik. A bizonytalan rugóállandó struktúrája a 12. ábrán látható.

A jelek közötti kapcsolatok:

ahol . Mivel , ezért .

Emiatt . Az ismert komponenseket tartalmazó blokk: .

A szabályozott rendszer komponensei az előzőek alapján a modell és a szabályozó, valamint a minőségi specifikációkkal és bizonytalanságokkal kapcsolatos információk. A 13. ábrán látható úgynevezett struktúrájú modellt használjuk a szabályozó tervezéséhez.

Ha figyelembe vesszük a szabályozó hatását, azaz az irányítójel és a mért jel közötti kapcsolatot , akkor az úgynevezett M- struktúrához jutunk.

A 14 ábrán látható modellt a szabályozott rendszer elemzéséhez használjuk.

Mivel a rendszerre ható külső körülmények változhatnak, valamint az érzékelők és beavatkozó szervek tulajdonságai is módosulhatnak, kisebb hibák léphetnek fel, stb. szükség van rekonfiguráló és hibatűrő irányítások tervezése. Ezen a tulajdonságok az elérésének egy módja lehet növelni a szabályozó robusztusságát ezekre a tényezőkre és a modellezési hibákra. Az alábbiakban a feladat megoldásának ezt a stratégiáját fejtjük ki részletesebben.

A szabályozási feladatot az 15 ábrán bemutatott struktúrában fogalmazzuk meg amit az alábbi egyenletek írnak le

ahol jelek a bizonytalanságok leírására szolgálnak, az általánosított rendszerstruktúra zavarás és performancia jelei, a szabályozó bemenet és a mért kimenet.

A bizonytalansági halmaz, , stabil átmenetfüggvényekből áll. A perturbált kör a

bizonytalanság hatására lakul ki, ahol és alakja a következő:

Az szabályozót a nominális (perturbálatlan) rendszerre kötve kapjuk, hogy

A szabályozott, , és perturbált, , kör alakja

Mivel a zárt körök jól definiáltak kell, hogy legyenek és nem függhetnek és sorrendjétől, néhány feltételezéssel kell élnünk:

1. Létezik szabályozó, ami stabilizálja a nominális () rendszert ().

2. A bizonytalansági halmaz

ahol komplex mátrixok egy halmaza, ami tartalmazza -t, ami meghatározza a bizonytalanságok méretét és struktúráját. Feltesszük, hogy ez a halmaz csillag alakú, vagyis minden esetén.

3. A bizonytalanságok és az általánosított rendszerstruktúra kötése jól definiált, vagyis invertálható minden esetén.

Ezek a feltételek jórészt automatikusan teljesülnek a szokásos, intervallum, gömb, stb. típusú bizonytalansági halmazokra.

Általában normalizáló súlyozásokat alkalmazunk, amit azután figyelembe veszünk összeállításánál: ha bizonytalansággal akarunk dolgozni, ahol valós racionális és súlyokkal, akkor helyett rendszert kell tekintenünk, ahol

Vezessük be a

jelölést, ahol a bizonytalanság által látott átviteli függvény.

Tétel 4.1 Ha stabilizálja -t és ha minden esetén stabilan invertálható akkor robusztusan stabilizálja -t a bizonytalanságra nézve.

A gyakorlatban azt kell leelenőrizni, hogy stabilisan invertálható, vagyis minden esetén. Ez a feladat bonyolult, mivel az egész jobb fél síkon kell a feltételt ellenőrizni.

A következő állítás megmutatja, hogy általában elég invertálhatóságát a komplex tengelyen (, ahol ) ellenőrizni és elegendő csak a halmazra.

Tétel 4.2 Tegyük fel, hogy egy stabil átviteli mátrix.

Ha minden esetén, akkor stabilisan invertálható minden esetén.

A fenti két állítást összegezve kapjuk a következő robusztus stabilitási eredményt:

Következmény 4.1 Ha stabilizálja -t és minden és minden esetén, akkor robusztusan stabilizálja -t a bizonytalansági halmazra nézve.

A fordított állítás általában nem igaz. Egy konkrét esetben a teszt nem konzervatív voltát megpróbálhatjuk úgy igazolni, hogy egy destabilizáló perturbációt keresünk.

A robusztus stabilitási analízis egy alapvető eszköze a kis erősítések tétele, ami kimondja, hogy ha a hurokátviteli szorzat normája egynél kisebb, akkor a visszacsatolás stabilis. Ez az eredmény a fixpont tétel egy következménye.

Egy rendszert, ahol egy Banach tér (például vagy )) kontraktív, ha a (Lipschitz) indukált normája -nél kisebb, azaz létezik úgy, hogy

minden esetén. A fixpont tétel alapján egy kontraktív rendszerhez létezik és egyértelmű amire .

Tétel 4.3 (Kis erősítések tétele) Tegyük fel, hogy a valamint a rendszereknek véges erősítése van, amire .

Ekkor a visszacsatolt kapcsolat stabilis, azaz minden esetén létezik es egyértelmű , lásd a 16 ábrát.

A gyakorlatban sokszor az eredeti visszacsatolás nem teljesíti a tétel feltételeit. Ilyenkor a zárt kör stabilitását megkaphatjuk a kis erősítések tételének alkalmazásával egy módosított elrendezésre, aminek a stabilitási tulajdonságai viszont azonosak az eredeti rendszerével.

A leggyakrabban alkalmazott transzformáció stabilan invertálható súlyfüggvényeket alkalmazva módosítja a kapcsolást az 17 ábrán látható módon.

Következmény 4.2 Legyen stabil rendszer. Ekkor a visszacsatolt rendszer stabilis ha létezik egy , stabilis rendszer úgy, hogy .

Definiáljuk a

halmazt. A kis erősítések tételét alkalmazva megkaphatjuk a -ra vonatkozó robusztus performancia eredményt:

• invertálható és minden esetén,

akkor és csak akkor ha a robusztus stabilitási feltétel minden -ra fennáll, ahol és , lásd az 17 ábrát, azaz

• invertálható minden esetén,

ahol .

Megvizsgálva, hogy

adódik, hogy

invertálható ha invertálható. Feltevéseink szerint .

válasszuk -t. Ekkor

invertálható, tehát invertálható minden esetén.

Mivel invertálható, a kis erősítések tételéből következik, hogy minden esetén.

Összefoglalva: a robusztus performancia ekvivalens egy robusztus stabilitási feladattal, ami egy nomináis zárt körre és struktúrált bizonytalanságra vonatkozik, lásd a 19, ábrát. Mivel a bizonytalansági halmaz struktúrált, a kis erősítések tételénél kevésbé konzervatív eredmények keresése válik szükségessé.

A bizonytalan rendszereket egy nominális LTI rendszer és egy visszacsatolt bizonytalan blokk együttesével modellezzük, ahol először a bizonytalansági halmazra az operátor egységgömböt választottuk. Ez az eset jól kezelhető a kis erősítések tételével. A továbbiakban ezt a technikát terjesztjük ki más szerkezetű bizonytalansági halmazok esetére.

Egy igen fontos struktúrált bizonytalansági osztály a blokk diagonális bizonytalanságok halmaza. Blokk diagonális bizonytalansági struktúrák létrehozásának egyik módja az egyes bizonytalanságok kiemelése a rendszerből és az így kapott összekötés LFT alakra való hozása.

A továbbiakban azt az elvet illusztráljuk egy néhány konkrét példán keresztül.

Példa 4.1 Input-output multiplikatív bizonytalanság:

A kiemelésének menete:

• elkülönítése:

• elkülönítése:

Példa 4.2: Faktorizált bizonytalanság ( invertálható):

Az alábbi relációk

felírhatók mint

amiből -t eliminálva és figyelembe véve, hogy adódik

Parametrikus bizonytalanságokra tekintsük az alábbi példákat:

Példa 4.3: Tekintsük a rugózott tömeg moddeljét: .

A bizonytalan rugóállandó (additív bizonytalansági modell).

Ekkor az állapotegyenletek

Példa 4.4: Tekintsük az 4.4 ábrán látható tömeg-csillapító-rugó rendszert ( tömeg, csillapítási együttható, rugóállandó).

Differenciálegyenlete:

ahol a tömeg elmozdulása, erő a rendszer gerjesztése.

A blokkdiagram a rendszer névleges modelljét illusztrálja. A valós rendszerben a fizikai paraméterek egyrészt nem ismertek pontosan, másrészt üzem közben változnak. Ismerjük viszont ezek átlagos értékét és becslésünk van az átlagos értéktől való eltérésükre.

A példában legyenek , , a névleges értékek, , , és reprezentálja, hogy a rendszer modellje, csillapítása és rugóállandója rendre , , bizonytalanságú.

A parametrikus bizonytalanságok a következőképpen írhatók fel:

ahol , , Megjegyzés: A kapcsolatokat felső bizonytalanság blokkal vettük figyelembe. A rendszer jelei közötti összefüggések ezek szerint a következőképpen alakulnak:

ahol

továbbá és .

Válasszuk az állapotokat a következőképpen:

, , , azaz .

Ezek után felírhatjuk a parametrikus bizonytalanságokat tartalmazó rendszer modelljét:

A lengőrendszer modellje kizárólag az ismert , , névleges paraméterektől és az ismert , , bizonytalnsági felső becslésektől függ. Így ismert és nem tartalmaz bizonytalanságokat.

ahol , , ,

, , ,

, , .

A bizonytalanságokat tartalmazó paramétereket egy külön blokk tartalmazza.

A bizonytalan paraméterek hatása a 4.4 ábrán látható Bode diagramokon jól láthatók.

A modellezés célja, hogy megkapjuk az általánosított rendszer struktúrát, ahol az összes súlyfüggvény a általánosított rendszerbe van beillesztve, míg a bizonytalanságokat a blokk-diagonális tartalmazza, ami egy halmaz eleme, ahol:

és ahol minden bokk normalizált.

Az mátrixok esetén a struktúrált szinguláris érték definíciójában figyelembe veszünk egy feladatfüggő bizonytalansági struktúrát, ami az adott probléma sajátosságaitól és performancia követelményeitől függ. A vizsgált struktúrák az egységgömb megszorítását jelentik valamely tulajdonságok mentén, amikre feltesszük, hogy ha -ra teljesül , akkor -ra is teljesülni fog minden esetén, azaz csillag szerkezetű (kúp).

Tipikus példa a tulajdonságra a blokk-diagonális struktúra, aminek két típusát tekintjük át: az ismédlődő skalár és teljes blokkú,

vagyis

ahol a nemnegatív és egészek az ismétlődő skalár blokkok számát illetve a teljes blokkok számát jelentik.

Értelemszerűen fenn kell állnia az összefüggésnek. Az egyszerűség kedvéért a jelölésből elhagyjuk -t.

Gyakran normakorlátos halmazzal van dolgunk

Definíció 4.1 Az LTI operátorhoz rendelt és a halmazra vonatkoztatott struktúrált szinguláris érték

ahol

A definíció jelentése a visszacsatolt kör esetén kézenfekvő: annak a struktúrált bizonytalanságnak a normája ami destabilizálja a zárt kört.

A definíció egyenes következménye, hogy minden és esetén valamint . Azonban, ha a blokkstruktúra nem triviális akkor nem normája -nek, mivel a háromszög egyenlőtlenség nem teljesül.

Bebizonyítható az alábbi egyenlőség:

Valóban, minden esetén , így csak két esetet kell vizsgálnunk: akkor és csak akkor, ha valamint akkor és csak akkor, ha . Ezek az esetek a definíció egyszerű következményei.

Ebből az egyenlőségből, a spektrálsugár és a függvények folytonosságából valamint kompaktságából következik, hogy a függvény folytonos.

Általában nem könnyű a értékét kiszámítani. A továbbiakban a függvény néhány olyan tulajdonságát soroljuk fel, amit haszonnal lehet a számításokban és becslésekben felhasználni.

Valóban, ha akkor és esetén , míg tetszőleges esetén .

Sajnos ezek a becslések általában nagyon durvák,mivel valamint közti különbség tetszőlegesen nagy lehet. A becsléseket szűkíteni lehet olyan transzformációinak a felhasználásával amik nem befolyásolják értékét, azonban hatással vannak és értékére.

Valóban: mivel ahol adódik, hogy minden -ra. Másrészt ha így .

Ezért , vagyis invariáns a diagonális skálázásra.

halmaz konvex.

Valóban:

Az utolsó feltétel egy lineáris mátrixegyenlőtlenség (LMI), ami egy konvex feltétel -ben.

Ha akkor az egyenlőség általában nem teljesül.

A leírtakat az alábbi példa szemlélteti: legyen és tekintsünk egy

bizonytalansági halmazt. Mivel és akkor valamint .

Mivel és :

Így .

Másrészt:

ezért

ami ebben a speciális esetben igazolja az állítás helyességét.

Eddig komplex skaláris blokkokat tekintettünk. Azonban a parametrikus bizonytalanságok tipikusan valós értékűek, amit figyelembe kell vennünk.

Ez a struktúra elvezet a kevert (valós/komplex) fogalmához. Ekkor a skálázás alkalmazása helyett felső becslést kaphatunk a kevert -re, ha az úgynevezett skálázást használjuk:

ahol

és .

Ez általában egy kvázi-konvex problémára vezet. Ha egy-rangú mátrix, akkor megegyezik a felső becslésével.

A következő állítás alapvető szerepet játszik a alapú robusztussági analízisben. Tekintsük a és bizonytalanságokat valamint a következő blokk-diagonális struktúrát:

Tétel 4.4 (Fő hurok tétel)

Tekintsünk most egy általánosított rendszerstruktúrát és egy stabilizáló szabályozót, azaz

és ahol stabil bizonytalanság, amire minden esetén.

Ekkor a robusztusan stabilizál, ha

minden esetén.

A szabályozó teljesíti a nominális performancia kritériumot,ha

minden esetén.

A Fő hurok tétel alapján a performancia robusztus, ha

minden esetén, ahol .

Az analízis feltételek fényében egy robusztus stabilitást és performanciát garantáló szabályozó tervezéséhez minimalizálni kell egy struktúrált szinguláris értéket egy adott struktúrált bizonytalansági halmazon és minden frekvencián. Ez egy nemkonvex nemlineáris feladat, amire még nem született minden igényt kielégítő megoldó algoritmus. Egy, a gyakorlatban számos feladat esetében hatékonynak bizonyult heurisztikus algoritmus az úgynevezett -iteráció (vagy iteráció, valós bizonytalanságok kezelése esetén).

Tekintsük az alábbi bizonytalansági struktúrát:

A -nek megfelelő skálázó mátrixok halmaza

Ekkor a -hoz rendelt skálázó mátrixok halmaza

Ezekkel a skálázó szűrőkkel

így minden stabilizáló szabályozóra, ami teljesíti a

feltételt minden esetén, garantált a robusztus performancia. Ezért a -t direktbe optimalizáló szabályozó tervezése helyett a felső becslést minimalizáljuk a segítségével.

Ezt a feladatot az alábbi kritérium fogalmazza meg: minimizáljuk

minden -t stabilizáló szabályozóra, és minden frekvencián a -beli skálázó mátrixokra. Ha ez a minimum kisebb mint egy, akkor a tervezés sikeres.