9. fejezet - Irányítástervezés állapot-visszacsatolással

Adott egy rendszer -dimenziós állapottér reprezentációja:

A rendszer karakterisztikus polinomja:

Módosítsuk a rendszer dinamikáját az állapot visszacsatolásával, azaz legyen a bemenőjel

ahol egy külső alap-, vagy referencia jel a pedig az állapot visszacsatolás erősítési tényezője:

Behelyettesítve a bemenőjel alakját az állapotegyenletbe, a zárt rendszer állapotegyenlete a következő lesz:

amiből a zárt rendszer karakterisztikus egyenletére azt kapjuk, hogy

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a erősítés megfelelő megválasztásával a zárt rendszer karakterisztikus polinomja tetszőlegesen beállítható, ha az rendszer irányítható.

Mivel minden irányítható állapottér reprezentáció irányítható alakra hozható, tegyük fel hogy az alábbi rendszert irányítható alakra hoztuk.

Ekkor a visszacsatolással módosult állapotmátrix:

A zárt rendszer karakterisztikus polinomja:

Ha a zárt rendszer pólusait előírjuk, akkor rögzítjük a pólusokat, amiből az karakterisztikus polinom számítható:

Ebben a kifejezésben -k az állapot visszacsatolással módosított karakterisztikus polinom együtthatói. A , és együtthatók közötti kapcsolat:

A kompenzátor elemeinek számítása:

ahol -k az eredeti, míg -k a módosított karakterisztikus polinom együtthatói.

A tervezés során tehát előbb meghatározzuk az eredeti rendszer, majd a tervezett rendszer karakterisztikus polinomját. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja:

A tervezett zárt rendszer karakterisztikus polinomja:

Az együtthatók közötti összefüggések:

Az állapot visszacsatolás értékei:

Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy nem szinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható. Az irányíthatósági alakban jelöljük és -vel az állapotegyenlet együtthatóit.A tervezés ebben az irányíthatósági alakban történik, ami azt jelenti, hogy a tervezés eredményeként egy olyan állapot-visszacsatolást tervezünk, amely az irányíthatósági állapottér reprezentációra működik.

A tervezett állapot visszacsatolt erősítőt vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére. A transzformálás összefüggése az alábbi:

A tervezési lépések a következők:

(a) Az irányíthatóság ellenőrzése. Ha a rendszer nem irányítható, akkor az állapot visszacsatolás módszere nem alkalmazható.

(b) A rendszert irányíthatósági alakra hozzuk, azaz meghatározzuk nem szinguláris mátrixot, amely a rendszert irányíthatósági alakúra hozza.

Ha a rendszer eleve irányíthatósági alakban adott, akkor mátrixot egységmátrixnak választjuk, azaz .

Megjegyezzük, hogy az új állapottérbe való transzformálás tényleges elvégzésére nincs szükség, elegendő a transzformációs mátrix meghatározása.

(c) Meghatározzuk az eredeti rendszer karakterisztikus polinomját:

Ezután meghatározzuk a tervezett rendszer karakterisztikus polinomját:

Ezekhez a műveletekhez az eredeti rendszer mátrixát és a szabályozott rendszertől megkövetelt új pólusokat kell felhasználni.

(d) A kompenzátor komponenseit kiszámítjuk:

ahol ,..., ,

(e) Meghatározzuk az eredeti rendszerre vonatkozó erősítés együtthatóit.

Az irányítójel az alábbi:

Megjegyzés 8.1 A fenti lépéseket egyetlen összefüggésbe sűríthetjük:

ahol a az irányíthatósági alak előállítására szolgáló transzformációs mátrix. Az állapotvisszacsatolt erősítő:

Az összefüggést az állapotvisszacsatolás erősítésének meghatározására szolgáló Bass Gura formulának nevezzük.

Összefoglalás:

(a) A pólusallokációs módszer alkalmazásának feltétele:

* Az állapotvektor elemei mértek legyenek.

* Az állapottér reprezentáció teljesítse az irányíthatósági feltételt.

* A szabályozott rendszer pólusai adottak legyenek.

(b) A pólusallokációs módszer előnyei:

* A módszer végrehajtása egyszerű mátrix műveletekkel történik.

* A szabályozott rendszer stabilis.

(c) A pólusallokációs módszer hátrányai:

* Az irányítójel tetszőlegesen nagy lehet.

* A pólusok elhelyezkedése és a minőségi tulajdonságok közötti kapcsolat bonyolult, heurisztikus szabályokra és mérnöki intuíciókra hagyatkozva kell a pólusok helyét előírni.

* A szabályozott rendszer minőségi tulajdonságai az állapot-visszacsatolt erősítő megtervezése után utólagosan vizsgálandók.

Példa 8.1

Adott a

átviteli függvénnyel jellemzett rendszer. Írja fel a rendszer állapottér reprezentációját diagonális alakban! Tervezzen az így felírt állapottér reprezentációhoz állapot-visszacsatolást a , pólusokkal!

A feladat megoldása:

Diagonális alak előállítása:

Vezessük be új változóként az , változókat, ahol

Az állapottér reprezentáció diagonális alakban:

Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja:

Szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja:

Állapotvisszacsatolás erősítései:

Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy nem szinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható.

ahol a transzformációs mátrix. Az állapotvisszacsatolt-erősitő összefüggése: a hasonlósági transzformáció alapján az alábbi:

Transzformációs mátrix:

ahol

Transzformációs mátrix:

Az eredeti állapottérbe transzformálva: