10. fejezet - Lineáris kvadratikus szabályozótervezés
Az irányítástervezés során gyakran szeretnénk egy irányítás paramétereit úgy megválasztani, hogy valamilyen előre meghatározott minőségi tulajdonság (performancia előírás) teljesüljön. Az optimalizálási feladatokban olyan paraméterek választása a cél ami maximalizál vagy minimalizál egy adott kritérium-függvényt. Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogyan lehet megválasztani azokat a paramétereket amik optimalizálnak egy adott kvadratikus specifikációt és amelyek a lehető legkisebb költséggel maximalizálják a megkívánt performanciát.
Tekintsük az alábbi kritérium-függvényt
|
|
(378) |
a következő dinamikus feltételek mellett
|
|
(379) |
ahol az 
kezdeti feltétel adott és 
. Ez egy korlátozások melletti optimalizálási feladat, ahol egy olyan megengedett 
trajektóriát keresünk ami minimalizálja a perem pontokban korlátozott 
költségfüggvényt
|
|
(380) |
Az 
tag az integrál költség míg 
a végső, terminális költség. A 
függvény a terminális korlátozások egy halmazát határozza meg. A korlátozások menlleti optimalizálási feladatoknál szokásos módon egy
|
|
(381) |
Hamilton függvényt definiálunk, ahol bevezetjük az időfüggő 
társváltozókat.
Tétel 9.1 (Maximum elv)
Ha
optimális akkor létezik
és
úgy, hogy
|
|
(382) |
adott 
, 
peremfeltételekkel, ahol 
és
|
|
(383) |
minden 
esetén.
A maximum elv nemlineáris dinamikák esetén is alkalmazható valamint abban az esetben is ha a szabályozó bemenet egy 
halmaz által van korlátozva. Korlátozások néklül, 
, és differenciálható 
esetén az optimalitás egy szükséges feltétele, hogy
|
|
(384) |
Ha 
létezik, akkor felhasználható mint optimális szabályozó jel.
A bizonyítás elve a következő: a Lagrange féle multiplikátorok módszerét alkalmazva a költségfüggvény alakja
|
|
(385) |
ami a Hamilton függvény felhasználásával
|
|
(386) |
alakba írható. Az optimális megoldás környezetében linearizálva, azaz 
, 
,
és 
esetén, kapjuk, hogy
|
|
(387) |
ahol a deriváltak az optimális megoldás mentén értendők.
Parciális integrálással elimináljuk a 
-tól való függést
|
|
(388) |
Mivel 
adott, az első tag eltűnik és kapjuk, hogy
|
|
(389) |
Az optimalitáshoz megköveteljük,hogy 
minden 
és 
esetén, így megkapva a tétel feltételeit.
A továbbiakban a lineáris kvadratikus (LQ) optimális szabályozási feladatot tekintjük: a dinamikus rendszer lineáris időinvariáns és a költségfüggvény kvadratikus, azaz
|
|
(390) |
|
|
(391) |
ahol 
az állapothibát bünteti, 
a szabályozó bemenetet és 
a végső állapotot súlyozza.
A 
és 
tervezési paraméterek meghatározzák az állapotok lineáris kombinációinak és az input energia fontosságát (súlyát):
- A funkcionálban szereplő 
tag a rendszer minőségi jellemzőit súlyozza, a rendszer teljes energiáját bünteti egy 
súlymátrix segítségével
- A funkcionálban szereplő 
tag a rendszerbe betáplált szabályozó energiát súlyozza, 
mátrix segítségével.
Gyakran a feladatot úgy módosítjuk, hogy egy adott 
pálya követése legyen az elérendő cél, a költségfüggvényt ehhez a 
és 
tagokkal írjuk át. Van, amikor célszerű a végső 
pontot is előírni, ilyenkor egy általánosabb 
megszorítást használhatunk. Amikor minden komponensre megszorítás van, azaz 
, a vonatkozó specifikáció alakja 
lesz. Ilyenkor 
elhagyható, mivel értéke rögzített.
Fontos eset, amikor 
és 
, azaz a végtelen horizontú LQ feladat.
10.1. Lineáris kvadratikus regulátor
10.1.1. Véges horizontú LQR
A véges horizontú lineáris kvadratikus regulátor(LQR) feladat alakja
|
|
(392) |
az alábbi költségfüggvénnyel:
|
|
(393) |
ahol 
.
A feladathoz tartozó 
Hamilton függvény
|
|
(394) |
A maximum elv alkalmazásával az alábbi szükséges feltételeket kapjuk:
|
|
(395) |
|
|
(396) |
|
|
(397) |
Innen az optimális irányítás alakja
|
|
(398) |
Az optimális irányítás előállításához egy peremértékfeladatot kell megoldani 
és 
peremfeltételekkel, ami általában egy nehéz feladat.
A társváltozót a 
alakban keressük, így
|
|
(399) |
azaz
|
|
(400) |
amit Riccati differenciál egyenletnek nevezünk.
10.1.2. Végtelen horizontú LQR feladat
A 
esetben a 
feltételből adódik a költségfüggvény alakja:
|
|
(401) |
Mivel 
végső értékére nincs megszorítás, a 
helyett állandó 
mátrixot véve kapjuk a
|
|
(402) |
algebrai Riccati egyenletet, és a hozzá tartozó
|
|
(403) |
szabályozót.
Míg 
feltételnek mindég teljesülni kell, tipikusan 
. A 
alakot véve a költségfüggvény
|
|
(404) |
Az optimális irányítás létezéséhez az 
párnak detektálhatónak kell lenni.
Tétel 9.2 Tekintsük a
|
|
(405) |
lineáris rendszert a
|
|
(406) |
költségfüggvénnyel, ahol az 
pár stabilizálható és az 
megfigyelhető.
Az optimális szabályozó alakja
|
|
(407) |
ahol 
a
|
|
(408) |
algebrai Riccati egyenlet stabilizáló megoldása. A minimális költség 
.
Bizonyítás 9.1
Ha
stabil a
|
|
(409) |
Lyapunov egyenletnek egyértelmű megoldása van: 
, minden 
esetén. Ha 
vagy 
és 
megfigyelhető, akkor 
.
Ha 
stabil akkor az 
-hoz tartozó megoldás 
. Ha 
stabilizálható, akkor van 
stabilizáló visszacsatolás melyre 
. E pálya mentén
|
|
(410) |
|
|
(411) |
vagyis az optimális költség véges..
Egy t 
-vel minden 
-ra, melyre 
tekintsük a 
kvadratikus funkcionált. Mivel
|
|
(412) |
minden stabil pálya mentén a
|
|
(413) |
költség invariáns a visszacsatolásra. Teljes négyzetté való kiegészítéssel kapjuk, hogy
|
|
(414) |
ahol 
választással 
-re előírható, hogy kielégítse az
|
|
(415) |
algebrai Riccati egyenletet. Ekkor az optimális irányítás 
és az optimális költség 
.
A megfigyelhetőség szerepének illusztrálására tekintsük a stabil 
zárt kört. Ekkor algebrai Riccati egyenletből
|
|
(416) |
vagyis a zárt kör pályája mentén
|
|
(417) |
Így 
. Ha 
nemszinguláris lenne, létezne egy 
kezdeti érték, melyre 
, ami ellent mond 
megfigyelhetőségének. .
Másrészt ha 
és 
egy sajátvektor, sajátérték párja 
-nek, akkor
|
|
(418) |
azaz 
. Feltéve, hogy 
, következik, hogy 
és 
, vagyis 
.Ebből 
adódna, ami ellentmond 
megfigyelhetőségének. Tehát a pozitív definit megoldás stabilizáló a megfigyelhetőségi feltétel mellett.
Az egyértelműség kimutatásához tekintsünk 
és 
megoldásokat úgy, hogy 
és 
stabilis.
Következik, hogy
|
|
(419) |
A 
Sylvester operátor akkor és csak akkor szinguláris ha 
és 
közös sajátértékekkel rendelkezik. Mivel 
és 
stabil, ezért az egyedüli megoldás 
.
10.1.3. Általános végtelen horizontú LQR feladat
Általános
performancia jelet tekintve a költségfüggvény a
|
|
(420) |
alakot veszi fel.
Ennek a feladathoz ugyancsak az algebrai Riccati egyenlet stabilizáló 
megoldása
|
|
(421) |
szolgáltatja az optimális szabályozót:
|
|
(422) |
a 
optimális költséggel.
Példa 9.1
Tervezzen LQ optimális szabályozást a
|
|
(423) |
átviteli függvénnyel leírt rendszerre, ha az irányíthatósági állapottér reprezentációjában mérjük a rendszer állapotait a következő költségfüggvény minimalizálásával:
|
|
(424) |
ahol az 
súly adott. Tervezze meg a 
súly értékét! Tervezze meg az optimális állapotvisszacsatolást!
A feladat megoldása:
Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban:
|
|
(425) |
|
|
(426) |
A feladatot visszavezetjük az optimalizálás standard alakjára az 
összefüggés felhasználásával:
|
|
(427) |
azaz az állapotokat súlyozó mátrix 
.
A Riccati egyenlet megoldása:
|
|
(428) |
ahol 
, 
, 
, 
. A megoldás: 
.
Az állapot-visszacsatolt erősítő:
|
|
(429) |
azaz az optimális irányítójel: 
.
Az LQ megoldás robusztussága
- A zárt rendszer mindig stabil lesz. Az LQ tervezés a szabályozott rendszer pólusait automatikusan a bal oldali félsíkba helyezi.
- Az LQ optimális megoldás a végtelen erősítési tartalékot és a 
-os fázistartalékot biztosít.
|
|
(430) |
|
|
(431) |
Példa 9.2
Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő rendszerhez:
|
|
(432) |
A tervezési paraméterek: 
és 
.
A feladat megoldása:
(a) Riccati egyenlet megoldása:
|
|
(433) |
A CARE megoldása: 
.
(b) 
számítása:
|
|
(434) |
Az optimális állapotvisszacsatolás:
és
az optimális irányítójel: 
.
|
|
(435) |
|
|
(436) |
10.2. Pólusok és zérusok
A szabályozott rendszer pólusai a 
karakterisztikus egyenlet megoldásai. A Hamilton mátrix tartalmazza az optimális irányítás megoldásait, így sajátértékei az optimális megoldás pólusait is megadják.
|
|
(437) |
Felhasználva a 
összefüggést, felírhatjuk a Hamilton mátrixra vonatkozó karakterisztikus egyenletet:
|
|
(438) |
|
|
(439) |
A karakterisztikus egyenlet (a levezetést mellőzve) a következő alakra hozható:
|
|
(440) |
|
|
(441) |
A Hamilton rendszer pólusai tartalmazzák a zárt rendszer pólusait, valamint a pólusok ellenkező előjelű értékeit egyaránt.
Vizsgáljuk meg, hogy a szabályozó tervezésben alkalmazott súlyozás hogyan hat a szabályozott rendszer pólusaira. Válasszuk meg az irányítójelre adott súlyt a következőképpen:
ahol 
rögzített és 
értékét változtatjuk.
Válasszuk az irányítójelre adott súlyt nagy értékre: 
.
Az irányítási feladatot minél kisebb irányítójellel kívánjuk megoldani.
A karakterisztikus egyenlet a következő alakhoz tart:
|
|
(442) |
A szabályozott rendszer pólusai megközelítik az eredeti rendszer stabil pólusait, valamint az eredeti rendszer nemstabil pólusainak a képzetes tengelyre való tükörképét.
Válasszuk az irányítójelre adott súlyt kis értékre: 
.
Az irányítási feladatban nincs előírás az irányítójel nagyságára nézve.
A karakterisztikus egyenlet a következő alakhoz tart:
|
|
(443) |
|
|
(444) |
Átalakítva:
|
|
(445) |
A szabályozott rendszer pólusai megközelítik az eredeti rendszer bal félsíkra eső zérusait vagy az eredeti rendszer jobb oldali zérusainak a képzetes tengelyre való tükörképét, illetve végtelenül nagy negatív értéket vesznek fel.
Példa 9.3
Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő rendszerhez:
|
|
(446) |
|
|
(447) |
A rendszer pólusai 
, zérusai 
. A tervezési paraméterek: 
és 
változó. Megjegyzés: Az első állapotváltozót tekintjük kimenetnek, a többi állaptváltozóra 
súlyt alkalmazunk a tervezésben.
A feladat megoldása:
- 
választással a Hamilton mátrix sajátértékei: 
, míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: 
,
- 
választással a Hamilton mátrix sajátértékei: 
, míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: 
,
Példa 9.4
Tervezzünk optimális állapot visszacsatolást LQ módszerrel a következő nem minimálfázisú rendszerhez:
|
|
(448) |
|
|
(449) |
A rendszer pólusai 
, zérusai 
(pozitív). A tervezési paraméterek: 
és 
változó. Megjegyzés: Az első állapotváltozót tekintjük kimenetnek, a többi állaptváltozóra 
súlyt alkalmazunk a tervezésben.
A feladat megoldása:
- 
választással a Hamilton mátrix sajátértékei:
,
míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: 
,
- 
választással a Hamilton mátrix sajátértékei:
,
míg a tervezett szabályozott rendszer pólusai: 
,
A módszer alkalmazásának feltétele:
- Az állapotvektor elemei mértek legyenek.
- Az állapottér reprezentáció teljesítse az irányíthatósági feltételt.
A módszer előnyei:
- A szabályozott rendszer stabilis.
- A szabályozással szemben megfogalmazott minőségi követelmények a 
és 
súlyok megválasztásával beépíthetők a szabályozás tervezésbe.
A módszer hátrányai:
- A különböző minőségi követelmények közötti ellentmondások és konfliktusok miatt a súlyok megválasztása bonyolult feladat. A súlyok tervezése során törekedni kell a minőségi követelmények közötti összhang megteremtésére. Emiatt az elért minőségi tulajdonságokat utólagosan ellenőrizni kell.
- A Riccati egyenlet megoldása numerikusan nehéz feladat.