11. fejezet - Megfigyelőtervezés és szeparációs elv
11.1. Tervezési feladat
Az eddigiekben feltételeztük, hogy a rendszer állapotát mérni tudjuk. Az állapot ismerete szükséges az állapot-visszacsatolt szabályzó tervezéséhez. Ha nem ismerjük az 
állapotvektort, akkor egy olyan 
(azonos dimenziójú) mennyiséget képzünk, mely aszimptotikusan közelíti az eredeti állapotot, tehát
|
|
(450) |
miközben 
.
Ha ismert 
akkor
|
|
(451) |
|
|
(452) |
|
|
(453) |
ahol az állapot-becslés hibája 
minden 
. Az állapotbecslés hibájának időbeli változását annak differenciál egyenlete adja meg:
|
|
(454) |
Levezethető, hogy 
kezdeti értékkel egy homogén lineáris differenciál-egyenlet:
|
|
(455) |
Vizsgáljuk az egyenlet megoldását:
|
|
(456) |
|
|
(457) |
|
|
(458) |
Ha 
nem zérus, akkor az állapothiba lecseng, feltéve hogy az 
mátrix stabil azaz, 
, 
. és így 
miközben 
.
Megjegyzés: Ha 
instabil, illetve ha a tervező befolyásolni akarja az
állapothiba lecsengését, akkor visszacsatolást kell alkalmazni.
Az állapotegyenlet:
|
|
(459) |
ahol 
, 
-nek 
sora van. Ekkor az állapothiba
|
|
(460) |
|
|
(461) |
ha adott 
akkor 
. Így az 
minden elemét módosítani tudjuk, és minden sajátértékét tetszőlegesen meg tudjuk választani.
11.2. Állapotmegfigyelő tervezése
A megfigyelhetőségi és az irányíthatósági alakok között a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens állapotterek:
|
|
(462) |
|
|
(463) |
|
|
(464) |
A megfigyelő tervezés adott 
esetén, ismert 
mellett 
(
) megválasztásával történik.
A módosult állapotmátrix alakja a következő:
|
|
(465) |
A megfigyelő 
erősítésére vonatkozó összefüggést dualitással kapjuk, ahol elvégezzük az alábbi megfeleltetéseket:
|
|
(466) |
|
|
(467) |
|
|
(468) |
amivel ellenőrizhető, hogy 
.
|
|
(469) |
A dualitási elvből levezetett és a megfigyelő tervezésére vonatkozó Bass Gura formula az alábbi:
|
|
(470) |
ahol 
a megfigyelő karakterisztikus egyenletének együtthatóiból képzett vektor. Az állapotmegfigyelővel ellátott körben a megfigyelő, mint dinamikus rendszer
|
|
(471) |
|
|
(472) |
Példa 10.1
Tervezzen megfigyelőt az alábbi megfigyelhetőségi állapottér reprezentációban ismert rendszerre:
|
|
(473) |
A tervezést pólusallokációs módszerrel végezze el 
és 
pólusokkal. Írja fel a megfigyelő állapotegyenletét! Adja meg a megfigyelő állapotegyenletének 
vektorát!
A feladat megoldása:
Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja:
A megfigyelt rendszer karakterisztikus polinomja:
Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinom együtthatók alapján az megfigyelő erősítései a következők: 
|
|
(474) |
Példa 10.2
Tervezzen megfigyelőt
és
pólusokkal az alábbi állapottér reprezentációban ismert rendszerre:
|
|
(475) |
A megfigyelő tervezését az állapotvisszacsatolásnál megismert elvek alapján végezzük el. Az irányíthatósági alakból a megfigyelhetőségi alak közvetlenül megkapható:
|
|
(476) |
A megfigyelő tervezését az 
és 
mátrixok alapján végezzük el pólusallokációs módszerrel. Vegyük észre, hogy ez a rendszer nem irányíthatósági alakú, ezért a transzformációs mátrixot meg kell határozni.
A rendszer karakterisztikus polinomja:
|
|
(477) |
A szabályozott rendszer karakterisztikus polinomja:
|
|
(478) |
Az eredeti és tervezett karakterisztikus polinomok együtthatói alapján az erősítések a következők: 
. Az erősítő a megfigyelhetőségi alakra alkalmazható, ezért át kell transzformálni az eredeti állapottérbe.
A transzformációs mátrix számítása:
|
|
(479) |
|
|
(480) |
Az erősítő számítása:
|
|
(481) |
A dualitás elvét használva a megfigyelő értéke:
|
|
(482) |
11.3. Dinamikus állapotvisszacsatolás
A szabályozást a becsült állapotvisszacsatolással képezve kimenőjel visszacsatolásról beszélünk.
|
|
(483) |
Kombinált állapot visszacsatolást és megfigyelőt tartalmazó szabályozó struktúra:
Rendszer
|
|
(484) |
|
|
(485) |
Megfigyelő
|
|
(486) |
|
|
(487) |
Irányítás:
|
|
(488) |
A becsült állapot dinamikája:
|
|
(489) |
A becslés hibája: 
,
továbbá a hiba dinamikája: 
.
Részletesen kifejtve:
|
|
(490) |
Kombináljuk ezt az egyenletet a rendszer állapot egyenletével:
|
|
(491) |
Figyelembe véve a control inputot:
|
|
(492) |
az állapotegyenlet:
|
|
(493) |
Kombinált rendszer:
|
|
(494) |
A zárt rendszer karakterisztikus polinomja:
|
|
(495) |
A szabályozott rendszer karakterisztikus egyenlete a következő két egyenlettel (és azok megoldásával) azonos:
|
|
(496) |
|
|
(497) |
Következtetés:
A szabályozott rendszer pólusai az LQ rendszer karakterisztikus egyenletének és a megfigyelő rendszer karakterisztikus egyenletének megoldásai.
Tétel 10.1 A megfigyelővel és állapot-visszacsatolt szabályzóval ellátott zárt rendszer karakterisztikus polinomja
|
|
(498) |
Következmény 10.1 Az állapot-visszacsatolt szabályzó és a megfigyelő függetlenül tervezhető. Az optimális állapot visszacsatolás és a megfigyelő tervezés egymástól függetlenül végrehajtható. A szabályozott rendszer struktúrájában az egyes tervezési eredményeket kombináljuk.
- 
megválasztásával az állapotvisszacsatolást tervezzük és a pólusokat az alábbi értékekbe helyezzük:
|
|
(499) |
- 
megfigyelő tervezésével a pólusokat a következő helyekre tesszük:
|
|
(500) |
