3. fejezet - A 3D grafika elméleti alapjai

Grafika tárolására két alapvető stratégia létezik. Az egyik eset, amikor a kép olyan mintha ceruzával rajzolnánk. Ilyenkor a kép adatainak tárolása úgy történik, hogy tároljuk a kép rajzolásához szükséges vonaldarabok (vektorok) adatait, és ennek alapján megrajzolhatjuk a képet. Az ilyen tárolási módot vektoros képtárolásnak hívják. A 3.1. ábra egy nagy A rajzolatát mutatja vektorosan.

3.1. ábra - Vektoros A

Lehetőségünk van arra is, hogy a képet képpontokra (raszterpontokra) osszuk és minden egyes pontról tároljuk annak színét. Ezt a raszteres képet a térképhez való hasonlatossága miatt bitképnek hívjuk. A 3.2. ábra egy ilyen fekete-fehér bitképét mutatja egy A betűnek.

3.2. ábra - Raszteres A

Matematikai tanulmányainkból ismertek a Descartes féle derékszögű koordináta-rendszer, a henger és gömbi koordináta-rendszerek egyaránt.

Az olyan koordináta-rendszereket nevezzük homogénnek, amelyekben a pontot azonosító, rendezett pár (hármas, négyes stb.) elemeit egy nullától különböző számmal megszorozva, ugyanazt, a pontot azonosító párt (hármast, négyest…) kapjuk [3.1.] .

Ha egy síkbeli pontot szeretnénk leírni, akkor azt megtehetjük úgy, hogy a síkot kiemeljük a térbe. A z=1 lesz a sík egyenlete, és a tér pontját az [x,y,1] homogén koordinátákkal megadott ponttal jellemezzük. Világos, hogy az azonos irányú [λ*x, λ*y, λ] ugyanaz a pontot jelöli ki a síkból (3.3. ábra)

3.3. ábra - Homogén koordináták

Hasonlóan járhatunk el térbeli koordináták esetén a negyedik koordináta (w=1) értéket választva a tér pontjait az [x,y,z,1] homogén koordinátás forma írja le.

A homogén koordináták igazi jelentőségét az adja, hogy használatukkal az ideális térelemek (pont, egyenes, sík) is megadhatók. Például, a 3.1. ábra esetén az [1,0,0] homogén koordinátákkal megadott pont az x irányú ideális pontját adja a síknak

A fenti megfontolások alapján a paraméteres görbemegadást használjuk. Ennek lényege, hogy egy, a koordinátáktól független paraméter-intervallumot választva, a t paraméter () függvényeként írhatjuk fel a görbe pontjainak (x,y,z) koordinátáit (3.3).

Gyakorlatilag tehát a térgörbét, mint egy vektor-skalár függvényt ábrázoljuk (3.4) [3.2.] .

Egy térgörbe akkor és csak akkor folytonos, ha koordinátafüggvényei folytonosak. Tehát

Az intervallumon folytonos függvényeket C-vel jelöljük, a felső indexben 0-val (0. derivált folytonos), az alsó indexben az intervallummal.

Egy térgörbe akkor és csak akkor folytonosan differenciálható (a felső indexben az első deriváltat 1 jelöli), ha koordinátafüggvényei folytonosan differenciálhatók (3.6). Tehát

Hasonlóan egy térgörbe akkor és csak akkor kétszer folytonosan differenciálható, ha a koordinátafüggvények kétszer folytonosan differenciálhatók (3.7).

Definiáljuk a geometriai folytonosság fogalmát!

Definíció: Két csatlakozó görbeszakaszt a csatlakozó pontban k. rendben geometriailag folytonosnak mondunk – és G ^k -val jelöljük – akkor és csak akkor, ha mindkét görbeszakasznak létezik olyan paraméterezése, hogy a görbék a pont két oldalán számított paraméter szerinti i. deriváltjai (ahol ik) megegyeznek.

Ha a fenti definíciót a G ¹ elsőrendű folytonosságra fogalmazzuk át, akkor a következő definíciót kapjuk.

Definíció: Két folytonos (C ⁰ ) görbe akkor és csak akkor folytonos geometriailag 1. rendben (G ¹ ), ha a csatlakozó pontban a két görbe érintővektora egy irányba mutat. Más szavakkal, ha f(u) és g(v) görbék csatlakoznak akkor a csatlakozási pontban f ’(u) és g ’(v) párhuzamosak, és skaláris szorzatuk nem negatív. (3.4. ábra)

3.4. ábra - G¹ görbecsatlakozás

Érdemes megjegyezni, hogy elegendő csak az egyirányúságot kikötni, hiszen az egyik oldalon lineáris átparaméterezéssel a görbe „bejárásának” sebessége skálázható. A második megfogalmazásban a skaláris szorzatra való megkötés a párhuzamos, de ellenkező irányba mutató érintőket szűri ki.

3.5. ábra - Nem G¹ görbecsatlakozás

A G² másodrendű geometriai folytonosság meghatározására igaz a következő, G. Neilson nevéhez fűzhető tétel is:

Tétel: Két C ¹ folytonosan csatlakozó görbeszegmens akkor és csak akkor csatlakozik G ² folytonosan, ha a második derivált vektorok különbsége párhuzamos a közös érintővektorral, azaz .

Nyilvánvaló, hogy k.-rendű geometriai folytonosságból nem következik a k.-rendű matematikai folytonosság, azaz , hiszen például első rendben csak azt írtuk elő, hogy az érintők egy irányba mutatnak és nem azt, hogy egyenlők.

Fordítva sem igaz az, hogy a k. deriváltak folytonosságából következik a k. rendű geometriai folytonosság, azaz . Ennek belátásához vizsgáljunk meg egy egyszerű kétdimenziós példát! Legyen két görbénk! Az egyik a (3.8)-nak megfelelő

a másik (3.9)-nek felel meg.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a csatlakozó függvények a t=0 időpontban folytonosan differenciálhatók (C ¹ ), azonban a (3.6. ábra) ábrán jól láthatóan geometriailag nem folytonosak.

3.6. ábra - Nem G¹ görbecsatlakozás

Legyen adva a térben egy szakasz két végpontjával! Ekkor a szakasz belső pontjai felírhatók mint a két végpont súlyozott közepe a paramétertől függő, változó súlyokkal a (3.10) szerint. A változó súlyok biztosítják azt, hogy t=0 időpont az egyenes szakasz P ₀ pontját, a t=1 időpont az egyenes szakasz P ₁ pontját, a köztes t értékek pedig a szakasz belső pontjait azonosítják (3.7. ábra).

3.7. ábra - Az egyenes szakasz és adatai

Ilyenkor a pontkoordinátákat szorzó függvényeket súlyfüggvényeknek hívjuk (3.11).

Érdemes a súlyfüggvények azon tulajdonságát megfigyelni, hogy az s ₀ (0)=1 és s ₀ (1)=0, valamint az s ₁ (0)=0 és s ₁ (1)=1. (3.8. ábra)

3.8. ábra - Az egyenes szakasz súlyfüggvényei

A (3.10) egyenlet átírása

ugyanez koordinátánként

amit átírhatunk mátrixos alakra

azaz

Definició: A pontok koordinátáit tartalmazó mátrixot (3.16) a geometriát jellemző mátrixnak hívjuk

Definició: A t paraméter hatványait (jelen esetben csak 0 és 1) tartalmazó T vektort paramétervektornak hívjuk (3.17)

Definició: A súlyfüggvények együtthatóiból adódó mátrixot a közelítés bázismátrixának hívjuk (3.18).

A (3.15) egyenlet mátrixos formája tehát

Egy térgörbét legegyszerűbben törtvonalakkal ábrázolhatunk. Ha adott r ₀ , r ₁ , …r _m térbeli ponthalmazunk, akkor választhatunk úgy paraméterpontokat, hogy a t _i+1 -t _i =1 legyen, és ekkor a t=t-t _i paraméterezéssel bármely két pont között (3.11) súlyfüggvényeivel felírhatjuk a pontokat összekötő törtvonalakat.

Legyen adott két pont a térben, és mindkét pontban egy-egy vektor (3.9. ábra)! Keressük azt a görbét, amelyik kezdőpontja az egyik pont ( P ₁ ), végpontja a másik ( P ₄ ), míg kezdőérintője ( R ₁ ) és végérintője ( R ₄ )!

3.9. ábra - Hermite-féle görbeszakasz

Ez az előírás koordinátánként négy adatot, négy egyenletet és ezzel egy harmadfokú görbét határoz meg. A négy adat:

Ha az Hermite-féle görbeszakaszt (3.19) formában szeretnénk felírni, akkor ismerjük a geometriát leíró (3X4 méretű, a pontok és a vektorok által meghatározott) mátrixot és a (4x1 méretű) paramétervektort, a 4x4 méretű bázismátrix azonban ismeretlen.

A bázismátrix elemeinek meghatározásához elegendő a (3.21) egyenletekből csak az koordinátákra megfogalmaznunk.

Írjuk át (3.22) négy egyenletét egyetlen mátrixegyenletté!

Azt látjuk, hogy bármely peremhelyzetet megvalósító vektor megszorozva egy mátrixszorzattal önmagát adja. Ez azt jelenti, hogy

ahol az egységmátrix. Így

Ha kiszámítjuk az inverzet, akkor azt kapjuk, hogy

azaz

Az Hermite-féle szakasz tehát:

3.10. ábra - Az Hermite-féle súlyfüggvények

Az Hermite súlyfüggvények viselkedése hasonló a lineáris szakasz súlyfüggvényeihez. Az s _P1 (0)=1 és az s _P1 (1)=0, az s _P4 (0)=0 és s _P4 (1)=1. Hasonlóan a deriváltak súlyfüggvényeire igaz, hogy és , valamint és (3.10. ábra).

A harmadfokú Bezier-görbét a síkban négy pont határozza meg. A kezdőpont az első pont, a végső pont pedig a negyedik. A kezdő érintőt az első és második pont határozza meg, a záró érintőt a harmadik és a negyedik pont definiálja, méghozzá úgy, hogy a pontok közti vektor éppen az érintő (derivált) háromszorosa (3.11. ábra).

3.11. ábra - A harmadrendű Bezier-görbe

Gondoljunk vissza az Hermite-görbére, amely használta a két végpontot ( P ₁ és P ₄ ), valamint a két érintőt ( R ₁ és R ₄ ). Határozzuk meg a Hermite-féle érintőket úgy, hogy

legyen! Ekkor a fenti (3.29) egyenlet felírhatjuk az alábbi formában is:

azaz

ezért a (3.31) egyenlet jobb oldalán a mátrixot – ami áttér az Hermite tartópontokról a Bezier tartópontokra – nevezzük -nek! A (3.19) egyenlet jelöléseivel az Hermite görbére

Ezt viszont átírva (3.31) alapján

azaz

(3.33) és (3.34) egyenletek összevetéséből és a megfelelő mátrixok behelyettesítésével (3.26) és (3.31) egyenletekből

A Bezier-görbe súlyfüggvényei tehát

amelyek éppen a

binom kifejezés egyszerűsítés nélküli hatványozásából adódó tagok. Vegyük észre azonban, hogy a (3.37) egyenletben szereplő binom azonosan 1, azaz a súlyfüggvények összege 1!

A Bezier-görbe tehát mindenhol a P _i pontok által kifeszített térbeli (!) négyszögön belül halad, mint ahogyan azt a (3.11) ábra síkbeli esete is mutatja.

Ha a binom modellt tekintjük, akkor a Bezier-görbe a lineáris szakasz általánosítása ((1-t)+t) binom tagjai a súlyfüggvények. Ha harmadfok fölé megyünk, akkor azt mondhatjuk, hogy az

kifejtés tagjait tekintjük, amelyek a binom kifejtési szabályai szerint

Tehát az n-ed fokú Bezier-görbe súlyfüggvényei éppen az n-ed fokú Bernstein-polinomok [3.3.] . Természetesen a magasabb-fokú Bezier-szakaszt több tartóponttal jellemezhetjük.Az eddigiekben kizárólag egyszerű görbeszakaszokat vizsgáltunk. Kérdés, mit tegyünk, ha több ponton keresztül szeretnénk görbét fektetni?

A spline-on polinom görbékből összeállított térgörbe. Térbeli pontok sorozatára fektetett egyenes szakaszok elsőfokú spline-t definiálnak. Az n-edfokú spline-ban legfeljebb n-edfokú polinomszakaszok csatlakoznak egymáshoz úgy, hogy rendszerint nemcsak a folytonosságot, hanem az n-1-szeri differenciálhatóságot is megköveteljük.

3.12. ábra - Spline görbe

A magasabb fokú spline-ok közül a legelterjedtebb a harmadfokú természetes spline, hogy miért arra később fény derül. Térbeli pontokon áthaladó térgörbére (3.12. ábra) koordinátánként fektethetünk spline görbét. Legyen adott a 3.12. ábra szerint m darab térbeli pont! Keressük azokat a függvényeket (k=1…m), melyek olyanok, hogy a függvény a P _k-1 és P _k pontok között halad, és a görbe belső pontjaiban kétszer folytonosan differenciálható módon csatlakoznak egymáshoz.

Csak az x-koordinátára írjuk fel a közelítést, természetesen hasonlóan felírható y- és z-koordinátákra is. Adottak tehát a

pontok, ahol , és . Keressük azokat a

függvényeket, melyek teljesítik az alábbi interpolációs feltételeket

és

Azaz az összes görbe átmegy az őt megelőző indexű ponton, és az utolsó görbe az utolsó pontba fut. Illesztési feltételként megfogalmazható, hogy

Azaz a belső pontokban a görbeszakaszok folytonosan csatlakoznak egymáshoz. Ugyanezen pontokban előírhatjuk a t szerinti deriváltak folytonosságát is,

illetve a t szerinti második deriváltak folytonosan csatlakoznak egymáshoz.

(3.43)-(3.47) egyenletek száma m+1+3 _* (m-1), amiből az m darab görbe 4 _* m ismeretlen paraméterét szeretnénk meghatározni, ezért két további peremegyenletet is hozzáveszünk egyenleteinkhez.

azaz a görbe a két szélen 0 görbülettel távozik.

A görbe meghatározásának első lépéseként nevezzük g _k ismeretlen változónak a görbületeket az illesztési pontokban!

és

Mivel harmadfokú görbéket keresünk, ezek második deriváltja lineáris

Ezeket kétszer integrálva, és az integrálási állandókat az illesztési feltételekből az alábbi ún. Clapeyron-egyenlet adódik [3.4.] .

Ugyanezt a Clapeyron-egyenletrendszert ismerjük a mechanikából a koncentrált erőkkel terhelt többtámaszú tartók esetéből. Igazából nem meglepő az azonosság, hiszen a koncentrált erőkkel terhelt többtámaszú tartó nyomatéki ábrája szakaszonként lineáris (mint a görbület a spline-oknál). És erre megoldva a rugalmas szál differenciálegyenletét

ugyanazt a kétszeri integrálást kell végrehajtanunk, mint a spline-ok esetén. Egyébként a spline szó is innen származik a rugalmas acélszál görbevonalzót használták az angolok a hajótervezésben, és ennek a neve volt a spline.

Érdekes az alábbi Holliday nevéhez köthető tétel [3.4.] .

Tétel: Legyen az adott [t ₀ , t _m ] intervallumon t _i i=0…m nem egybeeső monoton növő pontsorozat értelmezve! Az összes a kérdéses intervallumon kétszer folytonosan differenciálható, és a peremeken az peremfeltételt kielégítő pontok közül a pontokon átmenő harmadfokú spline függvény esetén minimális az

integrál.

A (3.55) integrál a második t-derivált négyzetét, a görbület négyzetével rokon adatot integrál. Azt mondhatjuk tehát, hogy az összes ilyen, a pontokon átmenő, a feltételeket teljesítő függvény közül a természetes spline „tekereg” a legkevésbé [3.5.] .

Az a probléma a természetes spline-nal, hogy meg kell oldanunk egy a tartópontok számánál kettővel kisebb ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert (3.53), ami akkor is időigényes, ha az együtthatómátrix ritka. Tetézi a bajt, hogy a spline sajátossága az is, ha bármelyik tartópont elmozdul, akkor a teljes görbe megváltozik, azaz az így megadott görbe csak lokálisan nem módosítható. Kérdés, mit kell egyszerűsítenünk az interpolációs közelítésen ahhoz, hogy lokálisan módosítható, kis számításigényű görbét kapjunk.

Ha pontok sorozatára úgy fektetünk interpolációs görbét, hogy a görbe átmegy a pontokon, és minden pontban a görbe érintője arányos a két szomszédos pont által meghatározott vektorral, akkor ezt a görbét kardinális spline-nak nevezzük. Ha a görbe idő szerinti paraméteres leírását tekintjük, akkor azt mondhatjuk, hogy a t _k . időpontban a görbe éppen a P _k ponton halad keresztül (3.13. ábra). A görbe érintője a t _k . időpontban V _k , akkor az érintőt a (3.56) egyenlet határozza meg.

ahol f(<1) a görbe feszítése. Ha f=0, akkor az éppen a Catmull-Rom spline [3.6.] .

3.13. ábra - A kardinális spline

Ha a kardinális spline súlyfüggvényeit szeretnénk kiszámítani, ugyanúgy kell eljárnunk el, mint ahogy a Bezier-súlyfüggvények meghatározásánál tettük. Legyenek a P _i és a P _i+1 pontok körötti görbeszakasz Hermite geometriai adatai a P ₁ , P ₄ , R ₁ és R ₄ vektorok (az ábrán pirossal), melyek a (3.57) alapján megadhatók, mint P _i-1 , P _i , P _i+1 és P _i+2 pontok függvényei

A (3.57) egyenletben látható mátrix éppen az Hermite-görbéről a kardinális görbére áttérő transzformáció.

Elvégezve a kijelölt mátrixszorzást

A kardinális spline paraméteres leírását a (3.60) egyenletek tartalmazzák.

Szokás a szélen az egyoldalas differeciával számítani az érintőt, és ilyenkor a görbe minden ponton átmegy. A kardinális spline-ok használatának előnye az, hogy nincs szükség egyenletrendszer megoldására, a görbe minden ponton átmegy. Hátránya az, hogy csak egyszer deriválhatók folytonosan.

Amennyiben ragaszkodunk a kétszer folytonosan differenciálható spline görbékhez, akkor azt a megkötést kell feladnunk, amely megköveteli, hogy a görbe menjen át a tartópontokon. Definiáljuk először a B-spline fogalmát! Adott fokszámú, adott simaságú, egymáshoz kapcsolódó spline görbeszakaszok egyértelműen leírhatók B-spline függvények lineáris kombinációjaként. Ez azt jelenti, hogy a B-spline-ok a spline függvények bázisaként fogható fel.

Definíció: Legyen adott m+1 darab időpont nem csökkenő sorozata!

n. fokú B-spline bázisfüggvényeknek nevezzük azt az m-n darab görbét, melyek az alábbi Cox-de Boor rekurzióval definiálhatók:

Mivel az időpontok között megengedtük az egyenlőséget, ezért előfordulhat, hogy a kijelölt művelet nem értelmezhető. Ezért kikötjük, hogy a 0/0 osztás 0-t ad eredményül.

Definíció: Legyenek adottak a P ₀ , P ₁ , … P _m pontok a térben és m+1 darab paraméterérték . A tartópontok által meghatározott, [t ₀ ,t _m ] paramétertartományon értelmezett n. fokú B-spline görbének nevezzük a (3.62) bázisfüggvényeivel definiált

görbét.

A B-spline definíciója alapján az adott tartópontok közül n+1 határoz meg egy n.-ed fokú B-spline görbeszakaszt. A Q _i görbeszakaszok előállíthatók, mint a b _j,n Cox de Boor rekurzióval meghatározott bázis B-spline-ok – mint súlyfüggvények – lineáris kombinációjával.

Szokás még a B-Spline görbéket azért is előnyben részesíteni, mert invariánasak az affin transzformációra. Ez más szavakkal azt jelenti, hogy ha a van egy B-spline-okkal közelített térgörbém, és azt leképezem egy síkra, akkor nem szükséges a görbe „összes” pontját síkba vetíteni, hanem elegendő csak a tartópontokat vetíteni és a síkban meghatározni a görbét [3.7.] .

A B-spline görbék általános vizsgálata helyett tekintsük a harmadfokú görbék esetét!

3.3.8.1. Harmadfokú B-Spline görbék

A 3.3.6. szakasz fejezetben láttuk, hogy a harmadfokú görbék kiemelt fontossággal bírnak.

3.3.8.1.1. A harmadfokú bázisgörbék jellege

Vizsgáljuk meg először az általánosan elterjedt harmadfokú B-spline-okat! A (3.14. ábra) ábrán világoskékkel a b _j,1 tag, sötétkékkel a b _j,2 tag, zölddel a b _j,3 és végül pirossal a b _j,4 tag(ok) láthatók.

3.14. ábra - A B-spline súlyfüggvények

Ha egyenközű B-spline görbéket használunk, a bázisfüggvények is egyszerűsödnek. Legyen t ₀ =-3, t ₁ =-2, t ₂ =-1 és t ₃ =0 és t ₄ =1! Ekkor a bázisfüggvények könnyen számíthatók:

(3.65)

3.3.8.1.2. Közelítés harmadfokú B-spline görbével

A B-spline (3.66) képlete szerint a harmadfokú Q _i görbeszakaszok előállíthatók, a b _j,3 Cox de Boor rekurzióval meghatározott bázis B-spline-ok – mint súlyfüggvények – lineáris kombinációjával.

(3.66)

Ha (3.66) képletet n=3 értékre (harmadfokú B-Spline-okra) alkalmazzuk, és használjuk a t=t-t _i helyettesítést, akkor a súlyfüggvények egy szakaszon olyanok lesznek, mint amit a 3.14. ábra [t ₃ ,t ₄ ] szakaszán láthatunk, illetve ha kiszámítjuk a súlyfüggvényeket, akkor a

(3.67)

kifejezéshez jutunk, azaz írhatjuk, hogy

(3.68)

ahol

(3.69)

és

(3.70)

Ha kiszámítjuk a (3.67) súlyfüggvények összegét, akkor

(3.71)

ugyanúgy, mint a Bezier splineoknál. Ez azt jelenti, hogy a B-Spline szakasz is benne halad a tartópontok által meghatározott térbeli négyszögben (3.15. ábra).

3.15. ábra - A B-spline szakaszok a befoglaló téglalapban

Vizsgáljuk meg a harmadfokú B-spline folytonossági viszonyait! Az i. ponthoz tartozó görbe

(3.72)

alakban írható. Ebből csak az x-koordinátákra felírva a csatlakozó görbék adatait (y, és z ugyanígy alakul):

(3.73)

tehát a görbe folytonos. Hasonlóan a deriváltakra azt kapjuk, hogy

(3.74)

tehát a görbe folytonosan differenciálható. A második deriváltak is egyenlők lesznek

(3.75)

A B-spline görbéket tehát tartópontjaikkal irányíthatjuk és a görbe kétszer folytonosan differenciálható módon követi a pontok helyzetét, de nem megy át rajtuk. Kérdés, hogy mi történik akkor, amikor két szomszédos pont egybeesik. A (3.71) egyenlet szerint a súlyfüggvények összege azonosan egy, tehát a görbeszakasz benne halad a befoglaló négyszögben (3.16. ábra ábra bal oldala). Ha két szomszédos tartópont egybeesik, akkor a befoglaló négyszög háromszöggé torzul. A görbe benne halad a háromszögben, és a két egybeeső pont nagyobb „súlyával” közelebb „húzza” magához a görbét (3.16. ábra középső ábra). Végül, ha a három szomszédos pont esik egybe, akkor a befoglaló négyszögek egyenes szakaszokká torzulnak, és a B-spline is két csatlakozó egyenes szakasszá torzul (3.16. ábra ábra jobb oldala).

3.16. ábra - Elfajuló B-spline szakaszok

Ha (3.67) alapján felírjuk az egyenes szakaszokra torzult első B-spline-t, akkor adódik, hogy

(3.76)

Ami valóban egy egyenes paraméteres egyenlete, azonban (3.10)-zel ellentétben a paraméterfüggvények nem lineárisak. Ez is egy példa arra, hogy a kétszer folytonosan differenciálható függvény geometriailag nem folytonos.

A görbékhez hasonlóan a felületeket is függvényekkel közelítjük

3.3.9.2. Spline felületek

A Q (t) térgörbék leírásánál (3.19) használtuk a geometriát jellemző mátrixot, a közelítés bázismátrixát és a paramétervektort .

3.3.9.2.1. Harmadfokú Hermite-felületfolt

Próbáljunk egy felületet leírni úgy, hogy a Q (t) Hermite típusú térgörbét egy másik, független s paraméter mentén változtatjuk. Ekkor Q (s, t) kétparaméteres felület leírását kapjuk. Tegyük ezt úgy, hogy a geometriát jellemző mátrix vektorait s-től függővé tesszük.

(3.90)

A geometriát jellemző mátrix oszlopai térbeli vektorok. Ezek a vektorok előállíthatók hasonló módon, mint a görbék (3.19)-hez hasonló módon.

(3.91)

azaz

(3.92)

ebben a vektorok helyett csak azok x koordinátáit használva

(3.93)

(3.93)-t (3.92)-be helyettesítve

(3.94)

A Q _y (s,t) és a Q _z (s,t) görbék ugyanígy felírhatók.

3.3.9.2.2. Harmadfokú Bezier-felületfolt

A görbékhez hasonlóan, ha át kívánunk térni egyik ábrázolási módról a másikra, akkor nincs más dolgunk, mint a bázismátrixot szorozni az egyik bázisról a másikra való áttérés mátrixával. Így a Bezier-féle felületfolt Q _x (s,t) leírása adódik. Az Hermite-féle bázismátrixot az x, koordinátákra -el jelölve (, és hasonlóan felírható) adódik a Bezier-felületfolt egyenlete (3.95).

(3.95)

azaz

(3.96)

A 3.17. ábra a felületfolt , , Bezier féle geometriát jellemző mátrixok koordinátáiból alkotott tartópontok láűthatók.

3.17. ábra - Bezier féle felületfolt

3.3.9.2.3. Felületfoltok illesztése

Ha két felületfoltot szeretnénk a 3.18. ábra szerint egy peremen G ¹ folytonosan illeszteni, akkor az A felületfolt mindegyik koordinátára vonatkozó geometriai mátrix s=1 paramétert leíró elemei (a mátrix második sora) megegyeznek a B felületfolt s=0 paraméterű élet meghatározó elemeivel (a mátrix első sora). Ez biztosítja a C ¹ folytonosságot. Hasonlóan a G ¹ folytonossághoz a B felületfolt s=0 élén a t irányú parciális deriváltak (a mátrix harmadik sora) megegyeznek az A felületfolt s=1 paraméterű élén számított t irányú deriváltak (a mátrix negyedik sora) konstanszorosával (3.18. ábra).

3.18. ábra - Felületfoltok illesztése

(3.97)

3.3.9.2.4. Harmadfokú B-spline felületek

k*n-edfokú B-spline felületnek nevezzük a tartópontok s sora és o oszlopa által meghatározott függvényt.

(3.98)

Testnek nevezzük a háromdimenziós tér olyan részhalmazait, amelyeknek nincsen elfajuló alacsonyabb dimenziós része (például egy síkidom) [3.6.] . Kérdés, hogyan írhatjuk le a testek geometriáját? Erre többféle lehetőségünk is van. Hozzáállhatunk a probléma megoldásához úgy, hogy egyszerű résztestekből építkezünk – leírjuk a test határait, vagy megadjuk, hol vannak a térben a testnek pontjai.

3.3.10.1. CSG modellek

A legrégebb módszer még a számítógépes grafika hőskorából származik. A CSG (Constructive Solid Geometry) elv alapgondolata, hogy vannak paraméterezhető alapgeometriáink, mint a tégla, a gömb, a (csonka)gúla, a (csonka)kúp stb. Ezeket elhelyezzük a valós tér modelljében, és ezek között logikai műveleteket végzünk (unió, metszet és különbség). A 3.19. ábra egy „fenyőfatalp” modellezését mutatja be. Két tégla uniója a kereszt, amiből egy henger kivonása modellezi a furatot.

3.19. ábra - CSG modellezés

A CSG modellezés ma is része minden CAD rendszer felhasználói felületének, még akkor is, ha már nem így modelleznek a tervező programok.

Térbeli pontokat két alapvető módon vetíthetünk síkba, párhuzamos és centrális vetítősugarakkal.

A párhuzamos sugarakkal való vetítést axonometriának hívjuk. A vetítés matematikai modelljét úgy állíthatjuk fel, hogy az x-y-z térbeli koordináta-rendszer párhuzamosan vetített képét berajzoljuk a ξ-η koordinátarendszerrel bíró síkbeli lapra. Feltételezzük, hogy a térbeli koordináta-rendszer origójának képe a síkbeli koordináta-rendszer origója. A (3.21. ábra) ábrán az x-y-z térbeli koordináta-rendszer képe szaggatott vonallal látszik a folytonos vonallal rajzolt ξ-η koordinátarendszerben. Jelöljük az ábra szerint a ξ-tengely és az x-tengely által bezárt szöget α-val, a ξ-tengely és az y-tengely által bezárt szöget β-val és az η-tengely és a z-tengely által bezárt szöget γ-val! Mivel az x-y-z koordináta-tengelyek nem párhuzamosak a ξ-η síkkal, a koordináta-egységek képe a síkon rövidebbnek látszik. Az x-irányú egység q _x (≤1)-nek, az y-irányú q _y (≤1) és a z-irányú q _z (≤1) hosszúnak látszik.

3.21. ábra - Az általános axonometria

Ha tehát egy (x, y, z) koordinátájú pontnak keressük a (ξ,η) síkbeli koordinátáját, akkor a leképezést megvalósító függvénypár az (f _ξ , f _η ) (3.99) szerint.

A leképezést egyszerűen felírhatjuk ha arra gondolunk, hogy az origóból indulva a koordináta-tengelyek képeivel párhuzamosan, a rövidüléseknek megfelelően haladunk x, y és z egységnyit, akkor az (x,y,z) pont (ξ,η) képébe jutunk (3.21. ábra). Ebből következik, hogy a piros nyilal ξ és az η irányú vetületeit összegezve az alábbi (3.100) módon adódnak a koordináták.

Az axonometria speciális esetei az izometrikus axonometria, amikor az x-y-z koordináta-tengelyek egymással 120°-ot zárnak be, a z-tengely képe az η-tengellyel esik egybe (α=30, β=30, γ=0) és a rövidülések q _x =q _y =q _z =1 (3.22. ábra)

3.22. ábra - Az általános axonometria

Másik elterjed axonometria a Cavalier-féle, vagy katonai axonometria, ahol a vízszintes y-tengely, a ξ-tengellyel esik egybe a függőleges z-tengely, az η-tengellyel esik egybe, az x-tengely pedig a másik kettővel 135°-os szöget zár be (α=45, β=0, γ=0). A rövidülések: q _x =0,5, q _y =q _z =1.

3.23. ábra - A katonai axonometria

Az axonometrikus leképzés adott koordináta-irányban távolságtartó. Ezért a kocka hátsó éle ugyanolyan hosszúnak látszik mint az első él. A szemünkkel azonban nem ilyen képet kapunk. A szemünk centrálisan vetít.

Centrális vetítés egy pontba érkező sugarakkal vetíti a képsíkra a térbeli pontokat. Ahhoz, hogy a centrális vetítés egyszerű képleteit megkapjuk, tegyük fel, hogy a térbeli x-y-z koordináta-rendszer pontjait az x-y síkkal párhuzamos S képsíkra vetítjük! Jelöljük a térbeli x-y-z koordináta-rendszer kezdőpontját C-vel. C lesz a vetítés centruma. Az S síkon lévő ξ-η koordináta-rendszer kezdőpontja O, legyen olyan, hogy a térbeli rendszer z-tengelyén d távolságra van C-től! A S sík ξ-η koordináta-rendszerének tengelyei párhuzamosak az x- és y-tengelyekkel (3.24. ábra). Keressük a centrális vetítés (3.99)-nek megfelelő leképezését.

3.24. ábra - Centrális vetítés

Az ábrán látható módon legyen az origó centrum távolság d! Legyenek egy térbeli P pont koordinátái (x,y,z) és ennek P^* képe a síkon (ξ,η) koordinátákkal. P pont vetülete az x-z síkra P _xz (ennek a z-tengelytől vett távolsága éppen az x-koordináta), az y-z síkra P _yz (ennek pedig a z-tengelytől vett távolsága éppen az y-koordináta). A P _xz képe az S síkon P^* _{ξ ,} és ennek a síkbeli koordinátarendszer kezdőpontjától való távolsága éppen a ξ koordináta. A P _yz képe az S síkon P^* _η és ennek a síkbeli koordináta-rendszer kezdőpontjától való távolsága éppen a η koordináta! Mivel COP^* _ξ Δ hasonló CTP _xz Δ-höz, így

azaz

Hasonlóan az yz síkban CTP _yz Δ hasonló COP _η Δ-höz, így

azaz

Ezzel létrehoztuk a (3.99) leképezést, hiszen átrendezés után

adódik. A (3.105) képletekkel az a probléma, hogy a leképezés nem lineáris. Lineárissá tehetjük úgy, hogy megnöveljük a dimenziószámot (kettőről háromra), bevezetve a homogén koordinátákat. Tekintsük a [x, y,z] térbeli pont helyett a négydimenziós [x, y, z, 1] pontokat. Azaz az [x, y, z, w] négydimenziós térben a w=1 háromdimenziós altérben gondolkodunk. Ebben a térben a (3.106) leképezés

ami lineáris, hiszen átírható a (3.107) alakra.

Miután a térbeli objektumot leképeztük a síkra, nincs más dolgunk, mint hogy azt a képernyő méreteire skálázzuk. A leképezett kép befoglaló téglalapja (window) nem hasonló a képernyő téglalapjához (viewport). A leképezett kép lehet nagyobb és kisebb, mint a képernyő.

3.25. ábra - A Window-Viewport transzformáció

A (3.25. ábra) ábrán a leképezett kép (window) befoglaló téglalap átellenes sarkainak koordinátái a (ξ ₁ ,η ₁ ) és (ξ ₂ ,η ₂ ). A megjelenítő befoglaló téglalap átellenes sarkainak síkbeli koordinátái (ξ ₃ ,η ₃ ) és (ξ ₄ ,η ₄ ). A leképezés során többféle stratégiát is követhetünk. Készíthetünk leképezést úgy, hogy a window sarkok a viewport sarkokba kerüljenek. Ilyenkor a kép nem méretarányos, de kitölti a képernyőt. Igazíthatjuk a képet a viewport valamelyik sarkához is. A következőkben azt az esetet számítjuk ki, amelyben a leképzett modell középpontja a képernyő középpontjába kerül. A vízszintes képéleket vízszintes képélekhez, vagy függőleges képéleket függőleges képélekhez igazító skálázások közül a kisebbet (amelyik a teljes képet a megjelenítőre viszi) választjuk.

Állapítsuk meg a leképezés nagyítását! Ez a viewport és window a vízszintes oldalainak, valamint a függőleges oldalainak hányadosai közül a kisebb.

A leképezés lineáris, amely egy α skálázásból és egy eltolásból áll. Keressük a transzformációt a (3.109) alakban!

Mint azt már rögzítettük, azt az esetet számítjuk ki, amelyben a leképzett modell középpontja a képernyő középpontjába kerül. Ebből meghatározhatjuk az ismeretlen és értékeket.

azaz

A láthatóság meghatározásának legegyszerűbb módja a hátsó lap eldobásának módszere, aminek alapkoncepciója az, hogy ha a felületet (testet) alkotó háromszögháló kifelé mutató normálisa n egy irányba mutat a ránézés irányával r (3.26. ábra), vagyis n _* r> 0 akkor az a háromszög nem látható.

3.26. ábra - Hátsó lap eldobás

A mélységi rendezés (Depth Sort) algoritmus lényege, hogy rendezzük a képernyőtől (leképezési sík) való távolságuk szerinti sorrendbe a kirajzolandó objektumok felületét alkotó háromszögeket, majd hátulról előre rajzoljuk ki őket. Így amit később rajzolunk ki az átfesti (takarja) a hátrébb lévő elemeket. A probléma a sorbarendezéssel van, mint ahogy azt a 3.27. ábra mutatja.

A mélységi rendezés algoritmusa:

A Δ-kel közelített felület Δ elemeit a megjelenítési síktól mért legtávolabbi pontjuk távolsága szerint rendezzük sorba! Vizsgáljuk meg a sorrend összes háromszögpárjának (A és B) viszonyát! Az A<B sorrend helyes, ha

Ha ezek egyike sem áll fenn, akkor az egyik háromszöget két részre kell vágni, és folytatni a módszert egészen addig, míg az összes háromszög sorbarendezhető.

3.27. ábra - Nem sorbarendezhető háromszögek

A bináris térfelosztó (BSP - Binary Space Partitioning) algoritmus lényege az, hogy bármely sík három nagy halmazra osztja a tér objektumait: a sík felett lévők (az objektum összes pontja a sík normálvektorával egy irányban vagy a síkon van), a sík alatt lévők (az objektum minden pontja a normálvektorral ellentétes oldalon található) és végül azok az objektumok, amiket a sík elmetsz.

Legyen a testet reprezentáló háló egyik háromszögének síkja az első vágósík! Azokat az elemeket, amelyeket ez a sík kettévág, további háromszögekre bontjuk úgy, hogy ezek már vagy a sík alá vagy fölé kerülnek. Az eljárás rekurzív módon folytatható addig, ameddig a vizsgált halmaz egyetlen háromszögből nem áll. Ha a rekurzív vágásokat egy gráfban ábrázoljuk, akkor bináris fát kapunk, ahol a csomópontok a vágósíkok és a levelek tovább nem bontható háromszögek lesznek. A felbontás végén a leveleket (háromszögeket) hátulról előre (a 3.28. ábra ábrán piros nyíl) kifesthetjük, így az előbb lévő háromszög átfesti a takart elemet.

Az területfelosztásos (Area Subdivision) technika lényege az, hogy a Viewportot négy egyenlő részre bontjuk (3.29. ábra). A levetített háromszögek vizsgálata során megállapíthatjuk, hogy készen vagyunk a takarással, ha:

3.28. ábra - BSP fa

3.29. ábra - Területfelosztás (Area Dubdivision)

3.30. ábra - A területfelosztás esetei

A takart részek eltávolításának manapság már legelterjedtebb algoritmusa a Z-puffer algoritmus. A grafikus kártyák már beépített Z-pufferrel és algoritmussal rendelkeznek, így ha megfelelő 3D-s rendszert használunk, akkor ezzel nincs gondunk. Az algoritmus lényege, hogy minden képernyőpixelhez a Z-puffer tartalmaz egy mélységi adatot. A Z-puffer tehát egy távolságlista, melynek elemei a képernyőpontokhoz tartoznak (3.31. ábra ábra bal oldala). Az algoritmus úgy működik, hogy mielőtt elkezdené a megjelenítést a Z-puffer minden egyes távolságadata a gyakorlati . A kép kirajzolása során minden egyes ponthoz kikereshető az aktuális távolságérték (Z-puffer érték). Ha az aktuális pont távolsága (z-koordináta) kisebb mint a Z-pufferben tárolt érték, akkor a pont kifestődik, és a Z-pufferbe a z-koordináta lesz az új, aktuális érték. Ha a z-koordináta értéke nagyobb, mint ami a Z-pufferben volt, akkor a ponttal és z-koordinátájával semmi teendő (3.31. ábra) jobb oldala. A Z-puffer tehát a kirajzolás során az adott képernyőpontban aktuálisan látható legközelebbi pont z távolságát tartalmazza.

3.31. ábra - A Z puffer és működése

A fluxus definíciószerűen egy adott felületen átáramló energia mennyisége, melynek mértékegysége Watt. Ha a fényáramot v vektor jellemzi, akkor az A felületen áthaladó fluxus ϕ.

A fénysűrűség jellemzésére azonban nem jó mérték a fluxus, mert annak mértékét a fénysugár és a felület normálvektorának iránya, valamint a felület nagysága is befolyásolja. Ahhoz, hogy kezelhető mennyiséget kapjunk, szükséges a látószög térbeli általánosítása, a térszög.

Adott ponthoz képest a térben elhelyezkedő felületdarab nagyságát jellemezhetjük az adott pont köré képzelt egységgömb egy részével, azzal a résszel, ami pontosan eltakarja a felületdarabot a középpontból nézve. Ezt számszerűsíthetjük is (3.32. ábra). Az ábrán dA-val jelölt felületdarab normálisa és a gömb középpontjából húzott sugár bezárt szöge ϴ. Ha a felületdarab középpontja r távolságra van az egységgömb középpontjától, akkor a dω térszög [3.6.] .

hiszen a dA felületdarab csak dAcosϴ nagyságot mutat a középpont felé, és a gömb felülete sugarának négyzetével (r ² -tel) arányos. A térszög mértékegysége a m²/m²=1, a szteradián. A szteradián a radián térbeli általánosítása.

3.32. ábra - A térszög

A térszöggel már definiálhatjuk a fénysűrűséget, vagy radianciát. A radiancia a fluxus a felület és a térszög szerinti vegyes deriváltja osztva a az aktuális felületdarab ϴ cosinus-ával.

Mértékegysége Watt/m²/sr.

Ahhoz, hogy megvilágított objektumokat rajzoljunk először a megvilágítást kell modelleznünk.

3.5.2.1. Pontszerű fényforrás (Point Light)

A pontszerű fényforrásnek nincs kiterjedése, és minden irányban azonos fényáramot sugároz. A led fényforrások, a villanykörték a fény forrásától elég távolról vizsgálva pontszerűnek tekinthetők. Egy térben elhelyezett ponttal (x_L) modellezhetjük ezeket. Legyen egy felületünk, melynek a megvilágított x pontját vizsgáljuk (3.33. ábra). Világos, hogy a pontszerű fényforrásból kiinduló energia annál kisebb hányada jut a vizsgát felületre, minél messzebb van a felület. Mivel a sugárzott energia a fényforrás középpontú gömb felületén halad keresztül, a gömb egy felületdarabjára jutó energia a gömb felületével fordított arányban csökken, a gömbfelület pedig a sugár (r) négyzetével arányos. Ha azt is figyelembe vesszük, hogy nincs igazi fényforrás, akkor azt mondhatjuk, hogy a felületre jutó energia az r=|x-x_L| (3.33. ábra) sugár másodfokú polinomjával fordítottan arányos. Az x pontban a fényáram tehát

(3.115)

ahol a, b és c paraméterek megválaszthatók a modellezés során. Ha a fénysugár irányát is figyelembe vesszük, akkor azt mondhatjuk, hogy a felületi pont megvilágítása, mint vektormennyiség (I)

(3.116)

3.33. ábra - Pontszerű fényforrás

A felületdarab megvilágításának erőssége x pontban (L(x)) függ attól is, hogy a beérkező fénysugarak milyen szöget zárnak be az adott pontban értelmezett normálissal (n).

(3.117)

3.5.2.2. Irány (párhuzamos) fényforrás (Direction Light)

Ha egy nagyon távoli pontot képzelünk el (vagy egy nagyon távoli sugárzó testet, mint a Nap), akkor azt úgy modellezhetjük, hogy a megvilágított felület környékén a fényáram konstans (i). Van azonban iránya, ami nem más, mint a végtelen távoli pont iránya, amely megegyezik a beeső fénysugarak L irányvektorával. A fényáram tehát irányfüggő i( L ).

(3.118)

Ezt is ábrázolhatjuk irányfüggő vektormennyiségként (a 3.34. ábra alapján I(L), ahol I iránya megegyezik az L iránnyal, a fényáram pedig i.)

(3.119)

Az előzőkhöz hasonlóan a felületdarab megvilágítása x környékén

(3.120)

3.34. ábra - Irány fényforrás

3.5.2.3. Ambiens fényforrás (Ambient Light)

Az ambiens fény egy olyan modellje a szórt fénnyel történő megvilágításnak, ahol minden pontot, minden irányból azonos fényárammal és színnel világítunk meg (3.35. ábra).

3.35. ábra - Ambiens fényforrás

Ezt a modellt arra használjuk, hogy a modellezett objektumok kapjanak egy alap megvilágítást. A felület minden pontjában a fényáram tehát állandó.

(3.121)

Ebben az esetben a pontok megvilágításának erőssége, mivel nem függ sem a helytől, sem az iránytól

(3.122)

3.5.2.4. Égboltfény (Sky Light)

Az irány fényforrás jellegzetessége a konstans fényáram, párhuzamos sugarakból álló megvilágítás, mint a napfény. Az égboltot is a napfény világítja meg, azonban felhők és épületek árnyékot vethetnek, azaz a különböző területeken más és más állandó párhuzamos fény világít (3.36. ábra).

(3.123)

3.36. ábra - Az égboltfény

Hasonlóan az irányfényhez az égboltfény is vektormennyiséggel ábrázolható I(L,x), ahol I iránya megegyezik az L iránnyal, a fényáram pedig x-től függ.

(3.124)

Az előzőkhöz hasonlóan a felületdarab megvilágítása x környékén

(3.125)

3.5.2.5. Reflektorfény (Spot Light)

A gépkocsik reflektora vagy az elemlámpák fénycsóvája modellezhető, mint egy pontszerű fényforrás (3.5.2.1. szakasz) fénysugarai, lehatárolva egy parabolikus vagy kúpos tükörrel. A fényforrás sugarai nem tudják megkerülni a tükröt, és a fényáram a fényforrás tengelyétől távolodva (a 3.37. ábra ábrán szög) csökken

(3.126)

(3.126) egyenletben r=||x-x_L||, m egész szám az a(α) a ψ–nek ablakfüggvénye (ha a szög kisebb, mint ψ, akkor a függvényérték 1, egyébként 0)

(3.127)

3.37. ábra - Reflektor fényforrás

Ugyanúgy, mint a pontszerű fényforrásoknál a fényáram vektormennyiség.

(3.128)

Figyelembe véve a felületi normálist n.

(3.129)

A különböző anyagok tükrözik, szétszórva visszaverik, megtörik vagy elnyelik a fénysugarakat. Az anyagok ilyen viselkedését modellezhetjük a kétirányú visszaverődés-eloszlás függvénnyel. Ennek angol rövidítése a BRDF (Bidirectional Reflection Distribution Function).

3.5.3.1. A BRDF

Ha egy felület x pontjába a tér egy ω _BE irányából érkezik egy adott hullámhosszú fénysugár, akkor a felületi ω _KI irányból szemlélve a két fényáram segítségével definiálhatunk egy, az ω _BE , ω _KI és x változóktól függő függvényt. Nicodemus definiálta [3.10.] .

(3.130)

ahol az ω _BE a beeső térszög, az ω _KI a kilépő térszög, L _BE a belépő, L _KI a kilépő fényáram, n a felület normálisa a visszaverődés helyén, Θ pedig a felületi normális és a belépő fénysugár szöge (3.38. ábra).

3.38. ábra - A visszaverődés

Ha a (3.130) egyenletben átrendezünk és integrálunk, akkor azt kapjuk, hogy

(3.131)

azaz egy pontból kilépő intenzitás egy összeg. Összegezni kell a pontba belépő összes fényáram-értéket szorozva az f _r BRDF értékkel és a beeső sugarak beesési merőlegessel bezárt szögének koszinuszával.

A fizikai tartalom miatt a BRDF nem negatív. A visszaverődés nem vonhat el fényt a szemlélőtől.

(3.132)

Szintén a fizikai tartalom miatt a

(3.133)

hiszen a passzív anyag nem termelhet fényt. A (3.133) egyenletben az integrál kifejezést albedónak hívjuk. Ez viszont azt jelenti, hogy a (3.133) integrandusa éppen egy eloszlásfüggvény. Innen ered a BRDF elnevezés is. Így a (3.134) kifejezés éppen azt a valószínűséget definiálja, hogy a ω _BE irányból érkező sugár az ω _KI irány körül dω térszögben távozik [3.6.] . Jelölje ω _KI irány körül dω átmérőjű környezetét !

(3.134)

A BRDF értékére fennáll a Helmholz-féle szimmetria összefüggés [3.11.] , mely azt mondja ki, hogy a BRDF kifejezésben a fénysugár iránya megváltoztatható (3.134).

(3.135)

Ha a (3.131) egyenletet egyetlen fénysugárra vizsgáljuk, eltekintünk a teljes Ω téren történő integrálástól akkor azt kapjuk, hogy

(3.136)

Ha (3.136)-ból kifejezzük a BRDF értéket, akkor az egyszerűsített, egyetlen sugárra vonatkozó BRDF értéket kapjuk.

(3.137)

Az egyszerűsített DRDF definíciót használva megvizsgáljuk a különböző diffúz, tükröződő, fénytörő és spekulárisan tükröződő anyagok tulajdonságainak modellezését.

3.5.3.2. Diffúz anyagok jellemzése

A fal például diffúz módon veri vissza a fényt. Ennek lényege, hogy a beérkező, adott hullámhosszú fénysugár esetén minden irányban egyforma fényáram távozik. Az, hogy mi mennyire látjuk a falat világosnak, az csak attól függ, hogy honnan világítjuk meg. A Lambert-törvény írja le a fal, mint diffúz felület megvilágítás hatására történő viselkedését. Legyen megvilágítva a fal ω-irányból I _BE (λ) fényárammal. Bárhonnan szemlélve a felületet az I _KI (λ) fényáram csak a megvilágítás irányától és az anyag hullámhossztól függő k(λ) jellemzőjétől függ.

3.39. ábra - Diffúz visszaverődés

A Lambert-törvény tehát

(3.138)

Ha a (3.138) Lambert-törvényt összevetjük a (3.136) egyszerűsített egyenlettel, akkor azt kapjuk, hogy a diffúz felületek BRDF kifejezése adott hullámhosszon csak a fény hullámhosszától függ.

(3.139)

3.5.3.3. Reflexív anyagok, ideális visszaverődés

Ha egy tükröt egy fénysugárral megvilágítunk, a tükör azt a fénysugarat úgy veri vissza, hogy a visszavert sugár benne fekszik a beeső fény és a beesési merőleges által meghatározott síkban és ugyanakkora szöget zár be a beesési merőlegessel, mint a bejövő fénysugár. A fenti viselkedést formalizálhatjuk a Lambert-törvény (3.138) megfogalmazásának megfelelően,

(3.140)

ahol a szimbólum a Kronecker-szimbólum, azaz

(3.141)

3.40. ábra - Ideális visszaverődés

A (3.140) kifejezést összevetve (3.136)-tal, adódik, hogy a tükrös felület esetén a BRDF

(3.142)

A (3.142) kifejezésben a a tükröződő anyag Fresnel-együtthatója, azt adja meg, hogy a tükör a beeső fényáram hanyadrészét veri vissza [3.5.] .

3.5.3.4. Ideális törés

A fénytörésről szóló Snellius-Descartes-törvény [3.12.] szerint a beeső fénysugár, a beesési merőleges és a megtört fénysugár egy síkban helyzkednek el. A merőlegesen beeső fénysugár nem törik meg. Végül a beesési szög (α) szinuszának és a törési szög (β) szinuszának aránya a közegekben mért terjedési sebességek (c ₁ ,c ₂ ) arányával egyenlő, ami megegyezik a két közeg relatív törésmutatójával (n ₂ /n ₁ =n _2,1 ). Lásd 3.41. ábra.

(3.143)

Ebben az esetben a Lambert-törvényhez hasonlóan formalizálva a (3.140)-t írhatjuk, hogy

(3.144)

illetve

(3.145)

3.41. ábra - Fénytörés közegek határán

3.5.3.5. Phong illuminácós modell

A fényvisszaverő anyagok általában sem tisztán diffúz módon (3.5.4.2. szakasz fejezet), sem tisztán reflexív módon (3.5.4.3. szakasz fejezet) verik vissza a fényt, hanem a kettő között valahogy. Az ilyen felületeket spekuláris felületeknek nevezzük, és a visszaverődés leírása Phong nevéhez köthető. Phong modellje szerint a visszaverődés nagy része az elméleti visszaverődés irányában és annak környezetében történik [3.12.] .

(3.146)

Ahol a ψ szög az elméleti visszaverődési irány és a ránézés szöge közt mérhető szög.

3.42. ábra - Phong-féle modell

Ennek alapján a BRDF Phong-modell esetén.

(3.147)

Ha az árnyalást modellezni akarjuk, nagyon nehéz feladatunk van, hiszen egy test megvilágítása függ a környezetétől, azonban a test hatással van a környezetésre is.

3.5.4.5. Fénysugarak haladása nem átlátszó térben

Tegyük fel, hogy az egyenes vonalban haladó L(s) fényáram haladási irányában valós fényelnyelő közegen (például poros levegő, felhő köd) halad át, míg a szemünkhöz ér, vagy a fény egy fénykibocsátó anyagon (ilyen például a tűz) halad át, illetve más irányból érkező fényáramok is folytathatják útjukat a vizsgált irányban. Ezekben az esetekben a 3.43. ábra szerint egy Δs útszakaszon megváltozik a fényáram, L(s+Δs) lesz.

A fény megtörhet a fényelnyelő anyagon, és a Δs útszakaszon ezt az egy egységnyi hosszon történő κ _os fényáram-szórási tényezővel vehetjük figyelembe, így a fényáram κ _os *L(s)*Δs értékkel csökken.

Ha a fénykibocsátó anyagon keresztül vezet, aminek önálló fényárama a kérdéses irányban L ^e , akkor ezt egységnyi hosszon κ _E tényezővel figyelembe véve a fényáram κ _E *L ^E *Δs értékkel nő.

Ha más irányból érkező, a fényszóró anyagon megtört fénysugár a vizsgált irányban folytatja az útját, akkor az a Δs hosszon L ^IS (s)* Δs értékű fényáram-növekedést okoz.

3.43. ábra - Fénysugarak haladása nem átlátszó térben.

Ha felírjuk a fényáramot az s és az s+Δs pontokban, akkor

(3.150)

azaz, ha Δs minden határon túl csökken, akkor

(3.151)

Természetesen a (3.151) egyenlet csak akkor oldható meg egyszerűen ha L ^IS független L-től, és csak egyetlen irányt vizsgálunk, egyébként csak tovább bonyolítottuk a (3.149) árnyalási egyenletet.