14. fejezet - Rekonfiguráló és hibatűrő irányítások tervezése

Mivel a rendszerre ható külső körülmények változhatnak, valamint az érzékelők és beavatkozó szervek tulajdonságai is módosulhatnak, kisebb hibák léphetnek fel, stb. szükség van rekonfiguráló és hibatűrő irányítások tervezése. Ezen a tulajdonságok az elérésének egy módja lehet növelni a szabályozó robusztusságát ezekre a tényezőkre és a modellezési hibákra. Az alábbiakban a feladat megoldásának ezt a stratégiáját fejtjük ki részletesebben.

A szabályozási feladatot az 57 ábrán bemutatott struktúrában fogalmazzuk meg amit az alábbi egyenletek írnak le

ahol jelek a bizonytalanságok leírására szolgálnak, az általánosított rendszerstruktúra zavarás és performancia jelei, a szabályozó bemenet és a mért kimenet.

A bizonytalansági halmaz, , stabil átmenetfüggvényekből áll. A perturbált kör a

bizonytalanság hatására lakul ki, ahol és alakja a következő:

Az szabályozót a nominális (perturbálatlan) rendszerre kötve kapjuk, hogy

A szabályozott, , és perturbált, , kör alakja

Mivel a zárt körök jól definiáltak kell, hogy legyenek és nem függhetnek és sorrendjétől, néhány feltételezéssel kell élnünk:

(a) Létezik szabályozó, ami stabilizálja a nominális () rendszert ().

(b) A bizonytalansági halmaz

ahol komplex mátrixok egy halmaza, ami tartalmazza -t, ami meghatározza a bizonytalanságok méretét és struktúráját.Feltesszük, hogy ez a halmaz csillag alakú, vagyis minden esetén.

(c) A bizonytalanságok és az általánosított rendszerstruktúra kötése jól definiált, vagyis invertálható minden esetén.

Ezek a feltételek jórészt automatikusan teljesülnek a szokásos, intervallum, gömb, stb. típusú bizonytalansági halmazokra.

Általában normalizáló súlyozásokat alkalmazunk, amit azután figyelembe veszünk összeállításánál: ha bizonytalansággal akarunk dolgozni, ahol valós racionális és súlyokkal, akkor helyett rendszert kell tekintenünk, ahol

Vezessük be a

jelölést, ahol a bizonytalanság által látott átviteli függvény.

Tétel 13.1 Ha stabilizálja -t és ha minden esetén stabilan invertálható akkor robusztusan stabilizálja -t a bizonytalanságra nézve.

Bizonyítás 13.1 Ki kell mutatnunk, hogy

egy stabil rendszer.

Mivel stabilizálja -t, ez a rendszer írható mint

ahol minen blokk stabil.

Következik, hogy

Mivel mind mind pedig stabil ez egy stabil átviteli függvényt határoz meg.

A bizonyításból következik, hogy azt kell leelenőrizni, hogy stabilisan invertálható, vagyis minden esetén. Ez a feladat bonyolult, mivel az egész jobb fél síkon kell a feltételt ellenőrizni.

A következő állítás megmutatja, hogy általában elég invertálhatóságát a komplex tengelyen (, ahol ) ellenőrizni és elegendő csak a halmazra.

Tétel 13.2 Tegyük fel, hogy egy stabil átviteli mátrix.

Ha minden esetén, akkor stabilisan invertálható minden esetén.

Bizonyítás 13.2 A bizonyítás ellentmondásra való visszavezetéssel történik: tegyük fel, hogy létezik amire -nek egy zárusa -ban, ahol nincs benne -ben.

Ha kimutatjuk, hogy létezik és amire

akkor ellentmondásra jutunk, mert és .

Ehhez tekintsük az

átviteli mátrixot, azaz

Bevezetve a jelölést a Schur formulából

adódik. és esetén következik, hogy minden -ra.Mivel stabilis , így vagy .

Mivel folytonosan függ -tól, létezik egy folytonos komplex értékű függvény -en úgy, hogy minden -ra.

stabilis, így benne van -ban. Így a folytonos függvény teljesíti és . Ezért léteznie kell egy értéknek amire . Ekkor és miatt

ami a keresett ellentmondás.

A fenti két állítást összegezve kapjuk a következő robusztus stabilitási eredményt:

Következmény 13.1 Ha stabilizálja -t és minden és minden esetén, akkor robusztusan stabilizálja -t a bizonytalansági halmazra nézve.

A fordított állítás általában nem igaz. Egy konkrét esetben a teszt nem konzervatív voltát megpróbálhatjuk úgy igazolni, hogy egy destabilizáló perturbációt keresünk.

A robusztus stabilitási analízis egy alapvető eszköze a kis erősítések tétele, ami kimondja, hogy ha a hurokátviteli szorzat normája egynél kisebb, akkor a visszacsatolás stabilis. Ez az eredmény a fixpont tétel egy következménye.

Egy rendszert, ahol egy Banach tér (például vagy )) kontraktív, ha a (Lipschitz) indukált normája -nél kisebb, azaz létezik úgy, hogy

minden esetén. A fixpont tétel alapján egy kontraktív rendszerhez létezik és egyértelmű amire .

Tétel 13.3 (Kis erősítések tétele) Tegyük fel, hogy a valamint a rendszereknek véges erősítése van, amire .

Ekkor a visszacsatolt kapcsolat stabilis, azaz minden esetén létezik es egyértelmű , lásd a 58 ábrát.

Bizonyítás 13.3 Legyen es , definiáljuk az rendszert mint

Mivel

és következik, hogy kontraktív -on. Így létezik és egyértelmű úgy, hogy minden -re, azaz

Mivel a rendszerek kauzálisak, következik, hogy

ahol kielégíti a visszacsatolási egyenleteket.Mivel tetszőleges, minden és , esetén létezik és egyértelmű .Hasonló gondolatmenettel adódik létezése.

A gyakorlatban sokszor az eredeti visszacsatolás nem teljesíti a tétel feltételeit. Ilyenkor a zárt kör stabilitását megkaphatjuk a kis erősítések tételének alkalmazásával egy módosított elrendezésre, aminek a stabilitási tulajdonságai viszont azonosak az eredeti rendszerével.

A leggyakrabban alkalmazott transzformáció stabilan invertálható súlyfüggvényeket alkalmazva módosítja a kapcsolást az 59 ábrán látható módon.

Következmény 13.2 Legyen stabil rendszer.Ekkor a visszacsatolt rendszer stabilis ha létezik egy , stabilis rendszer úgy, hogy .

Definiáljuk a

halmazt. A kis erősítések tételét alkalmazva megkaphatjuk a -ra vonatkozó robusztus performancia eredményt:

- invertálható és minden esetén,

akkor és csak akkor ha a robusztus stabilitási feltétel minden -ra fennáll, ahol és , lásd az 59 ábrát, azaz

- invertálható minden esetén,

ahol .

Megvizsgálva, hogy

adódik, hogy

invertálható ha invertálható.Feltevéseink szerint .

válasszuk -t. Ekkor

invertálható, tehát invertálható minden esetén.

Mivel invertálható, a kis erősítések tételéből következik, hogy minden esetén.

Összefoglalva: a robusztus performancia ekvivalens egy robusztus stabilitási feladattal, ami egy nomináis zárt körre és struktúrált bizonytalanságra vonatkozik, lásd a 61, ábrát. Mivel a bizonytalansági halmaz struktúrált, a kis erősítések tételénél kevésbé konzervatív eredmények keresése válik szükségessé.

A bizonytalan rendszereket egy nominális LTI rendszer és egy visszacsatolt bizonytalan blokk együttesével modellezzük, ahol először a bizonytalansági halmazra az operátor egységgömböt választottuk. Ez az eset jól kezelhető a kis erősítések tételével. A továbbiakban ezt a technikát terjesztjük ki más szerkezetű bizonytalansági halmazok esetére.

Példa 13.1

Tekintsük az alábbi bizonytalansági blokkot

ahol a normalizáló súly (). Ekkor a kis erősítések tételének feltételeit kielégiti vagy is. Ezért ebben az esetben a kis erősítések tétele igen konzervatív stabilitási eredményre vezet.

Egy igen fontos struktúrált bizonytalansági osztály a blokk diagonális bizonytalanságok halmaza.

Példa 13.2

Tekintsünk egy egy bemenetű és két kimenettel rendelkező rendszert, ahol

és valamint bizonytalanságát

írja le, vagyis

Ebben az esetben is a bizonytalanságot egy struktúrált, blokk diagonális

halmaz, ami csak egy részhalmaza a strukturálatlan, normakorlátos halmaznak.

Blokk diagonális bizonytalansági struktúrák létrehozásának egyik módja az egyes bizonytalanságok kiemelése a rendszerből és az így kapott összekötés LFT alakra való hozása.

A továbbiakban azt az elvet illusztráljuk egy néhány konkrét példán keresztül.

Példa 13.3

Input-output multiplikatív bizonytalanság:

A kiemelésének menete:

- elkülönítése:

- elkülönítése:

Példa 13.4

Faktorizált bizonytalanság ( invertálható ):

Az alábbi relációk

felírhatók mint

amiből -t eliminálva és figyelembe véve, hogy adódik

Parametrikus bizonytalanságokra tekintsük az alábbi példákat:

Példa 13.5

Tekintsük a rugózott tömeg moddeljét: .

A bizonytalan rugóállandó (additív bizonytalansági modell).

Ekkor az állapotegyenletek

Példa 13.6

Tekintsük az 13.6 ábrán látható tömeg-csillapító-rugó rendszert ( tömeg, csillapítási együttható, rugóállandó).

Differenciálegyenlete:

ahol a tömeg elmozdulása, erő a rendszer gerjesztése.

A blokkdiagram a rendszer névleges modelljét illusztrálja. A valós rendszerben a fizikai paraméterek egyrészt nem ismertek pontosan, másrészt üzem közben változnak. Ismerjük viszont ezek átlagos értékét és becslésünk van az átlagos értéktől való eltérésükre.

A példában legyenek , , a névleges értékek, , , és reprezentálja, hogy a rendszer modellje, csillapítása és rugóállandója rendre , , bizonytalanságú.

A parametrikus bizonytalanságok a következőképpen írhatók fel:

ahol , , Megjegyzés: A kapcsolatokat felső bizonytalanság blokkal vettük figyelembe. A rendszer jelei közötti összefüggések ezek szerint a következőképpen alakulnak:

ahol

továbbá és .

Válasszuk az állapotokat a következőképpen: , , , azaz .

Ezek után felírhatjuk a parametrikus bizonytalanságokat tartalmazó rendszer modelljét:

A lengőrendszer modellje kizárólag az ismert , , névleges paraméterektől és az ismert , , bizonytalnsági felső becslésektől függ. Így ismert és nem tartalmaz bizonytalanságokat.

ahol , , ,

, , ,

, , .

A bizonytalanságokat tartalmazó paramétereket egy külön blokk tartalmazza.

A bizonytalan paraméterek hatása a 13.6. ábrán látható Bode diagramokon jól láthatók.

A modellezés célja, hogy megkapjuk az általánosított rendszer struktúrát, ahol az összes súlyfüggvény a általánosított rendszerbe van beillesztve, míg a bizonytalanságokat a blokk-diagonális tartalmazza, ami egy halmaz eleme, ahol:

és ahol minden bokk normalizált.

Az mátrixok esetén a struktúrált szinguláris érték definíciójában figyelembe veszünk egy feladatfüggő bizonytalansági struktúrát, ami az adott probléma sajátosságaitól és performancia követelményeitől függ. A vizsgált struktúrák az egységgömb megszorítását jelentik valamely tulajdonságok mentén, amikre feltesszük, hogy ha -ra teljesül , akkor -ra is teljesülni fog minden esetén, azaz csillag szerkezetű (kúp).

Tipikus példa a tulajdonságra a blokk-diagonális struktúra: aminek két típusát tekintjük -- ismédlődő skalár és teljes blokkú, vagyis

ahol a nemnegatív és egészek az ismétlődő skalár blokkok számát illetve a teljes blokkok számát jelentik.

Értelemszerűen fenn kell állnia az összefüggésnek. Az egyszerűség kedvéért a jelölésből elhagyjuk -t.

Gyakran normakorlátos halmazzal van dolgunk

Definíció 13.1 Az LTI operátorhoz rendelt és a halmazra vonatkoztatott struktúrált szinguláris érték ahol

A definíció jelentése a visszacsatolt kör esetén kézenfekvő: annak a struktúrált bizonytalanságnak a normája ami destabilizálja a zárt kört.

A definíció egyenes következménye, hogy minden és esetén valamint .Azonban, ha a blokkstruktúra nem triviális akkor nem normája -nek, mivel a háromszög egyenlőtlenség nem teljesül.

Lemma 13.1

Bizonyítás 13.4 Minden esetén , így csak két esetet kell vizsgálnunk: akkor és csak akkor, ha valamint akkor és csak akkor, ha . Ezek az esetek a definíció egyszerű következményei.

A lemmából, a spektrálsugár és a függvények folytonosságából valamint kompaktságából következik, hogy a függvény folytonos.

Általában nem könnyű a értékét kiszámítani. A továbbiakban a függvény néhány olyan tulajdonságát soroljuk fel, amit haszonnal lehet a számításokban és becslésekben felhasználni.

- ha , általában .

- ha akkor .

- . ( az spektrál sugara)

Valóban, ha akkor és esetén , míg tetszőleges esetén .

Sajnos ezek a becslések általában nagyon durvák,mivel valamint közti különbség tetszőlegesen nagy lehet.A becsléseket szűkíteni lehet olyan transzformációinak a felhasználásával amik nem befolyásolják értékét, azonban hatással vannak és értékére.

- ahol

Valóban: mivel ahol adódik, hogy minden -ra. Másrészt ha így .

Ezért , vagyis invariáns a diagonális skálázásra.

- esetén a

halmaz konvex.

Valóban:

Az utolsó feltétel egy lineáris mátrixegyenlőtlenség (LMI), ami egy konvex feltétel -ben.

- azon struktúrák esetén, amikre : .

Ha akkor az egyenlőség általában nem teljesül.

A leírtakat az alábbi példa szemlélteti: legyen és tekintsünk egy

bizonytalansági halmazt. Mivel és akkor valamint .

Mivel és :

Így . Másrészt:

ezért

ami ebben a speciális esetben igazolja az állítás helyességét.

Eddig komplex skaláris blokkokat tekintettünk. Azonban a parametrikus bizonytalanságok tipikusan valós értékűek, amit figyelembe kell vennünk:

Ez a struktúra elvezet a kevert (valós/komplex) fogalmához. Ekkor a skálázás alkalmazása helyett felső becslést kaphatunk a kevert -re, ha az úgynevezett skálázást használjuk:

-

ahol

és .

Ez általában egy kvázi-konvex problémára vezet. Ha egy-rangú mátrix, akkor megegyezik a felső becslésével.

A következő állítás alapvető szerepet játszik a alapú robusztussági analízisben. Tekintsük a és bizonytalanságokat valamint a következő blokk-diagonális struktúrát:

Tétel 13.4 (Fő hurok tétel)

Bizonyítás 13.5 Mivel

-ből következik, hogy . Ezért

azonosságból következik, hogy

definícióját felhasználva a bal oldal akkor és csak akkor nem zérus esetén, ha .Hasonlóan a jobb oldal akkor és csak akkor nem tűnik el, ha és minden -ra.

Tekintsünk most egy általánosított rendszerstruktúrát és egy stabilizáló szabályozót, azaz

és ahol stabil bizonytalanság, amire minden esetén.

Ekkor a robusztusan stabilizál, ha

minden esetén.

A szabályozó teljesíti a nominális performancia kritériumot,ha

minden esetén.

A Fő hurok tétel alapján a performancia robusztus, ha

minden esetén, ahol .

Az analízis feltételek fényében egy robusztus stabilitást és performanciát garantáló szabályozó tervezéséhez minimalizálni kell egy struktúrált szinguláris értéket egy adott struktúrált bizonytalansági halmazon és minden frekvencián. Ez egy nemkonvex nemlineáris feladat, amire még nem született minden igényt kielégítő megoldó algoritmus. Egy, a gyakorlatban számos feladat esetében hatékonynak bizonyult heurisztikus algoritmus az úgynevezett -iteráció (vagy iteráció, valós bizonytalanságok kezelése esetén).

Tekintsük az alábbi bizonytalansági struktúrát:

A -nek megfelelő skálázó mátrixok halmaza

Ekkor a -hoz rendelt skálázó mátrixok halmaza

Ezekkel a skálázó szűrőkkel

így minden stabilizáló szabályozóra, ami teljesíti a

feltételt minden esetén, garantált a robusztus performancia. Ezért a -t direktbe optimalizáló szabályozó tervezése helyett a felső becslést minimalizáljuk a segítségével.

Ezt a feladatot az alábbi kritérium fogalmazza meg: minimizáljuk

minden -t stabilizáló szabályozóra, és minden frekvencián a -beli skálázó mátrixokra. Ha ez a minimum kisebb mint egy, akkor a tervezés sikeres.