Az irányításelmélet kezdeti korszakában a nemlineáris irányításelmélet legtöbb fogalma, mint a stabilitást, optimalitást és bizonytalanságot leíró fogalmak inkább leíró jellegűek voltak mint konstruktívak, azaz arra használták őket, hogy leírják a rendszer tulajdonságai ahelyett, hogy alkalmasak legyenek egy rendszer tervezésére, amely rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Később ezek a leíró fogalmak néhány módósítással alkalmasak lettek eléggé általános nemlineáris tervezési feladatok kezelésére is. A hangsúly ezen fogalmak és a visszacsatolás kapcsolatának explicit megfogására került, így például a Lyapunov technikát a kontroll Lyapunov függvényekre alapozott módszerek helyettesítik. Másik példa a rendszer visszacsatolással való passzívvá tétele vagy a disszipativitásra alapozott eljárások, mint a lineáris robusztus technikák nemlineáris kiterjesztései. A továbbiakban ezeknek a fogalmaknak és eljárásoknak a rövid bemutatására kerül sor.
Definíció 14.1
Egy folytonos függvény
osztálybeli, ha szigorúan növekvő és
. Ha
és
, akkor a függvény
osztálybeli.
Egy folytonos függvény
osztálybeli, ha minden rögzített
-re a
függvény eleme
-nak és minden rögzített
esetén a
függvény csökkenő és
.
Tekintsük a következő nemlineáris rendszert:
|
(781) |
ahol és
lokálisan Lipschitzes. A rendszer
egyensúlyi helyének (asszimptotikus) stabilitása az ismert Lyapunov kritériummal jellemezhető:
Tétel 14.1 (Lyapunov)
Legyen
egy folytonosan differenciálható függvény úgy, hogy valamely
osztálybeli
-n
értelmezett
függvényekkel
Ha
minden esetén, akkor az
egyensúlyi hely stabilis.
Ha valamely -beli
-n értelmezett
függvényre
mindenl esetén, akkor az
egyensúlyi hely lokálisan asszimptotikusan stabilis (LAS).
Ha és
-beli függvények, akkor az
egyensúlyi hely globálisan asszimptotikusan stabilis (GAS).
Ha
akkor az egyensúlyi hely lokálisan exponenciálisan stabilis (LES).
Külső zavarással gerjesztett rendszerekre a stabilitás lokális fogalmát a sokkal hasznosabb bemenetről--állapotra (input-to-state) stabilitás váltja fel.
Tekintsük a
|
(782) |
nemlineáris rendszert, ahol és
lokálisan Lipschitzes az
halmazon.
Definíció 14.2
A (782) rendszer bemenetről--állapotra (input-to-state) stabilis ha létezik egy osztálybeli
függvény és egy
osztálybeli
függvény (erősítés) úgy, hogy minden lokálisan korlátos
bemenet és minden
kezdeti érték esetén az
válaszfüggvény kielégíti az
egyenlőtlenséget minden esetén.
Tétel 14.2 (ISS--Lyapunov)
Egy folytonosan differenciálható
függvényt ISS--Lyapunov függvénynek nevezünk, ha léteznek
osztálybeli
függvények és egy
osztálybeli
függvény úgy, hogy:
minden esetén és
|
(783) |
minden és
esetén.
Az (782) rendszer akkor és csak akkor bemenetről--állapotra stabilis ha létezik hozzá ISS--Lyapunov függvény.
A nemlineáris esetben alkalmazott leggyakoribb módszer a kontrol Lyapunov függvényre alapozott eljárás, ami analóg a homogén rendszerekre alkalmazott Lyapunov eljárással.
Definíció 14.3
Legyen egy
input affin nemlineáris rendszer, ahol valamint
és
sima függvények. Feltesszük, hogy a szabályozó jelek
egy
részhalmazából valók. Egy
pozitív definit függvényt, amelyre minden
-ra a
halmaz kompakt kontrol Lyapunov függvénynek nevezünk, ha
rendelkezik a kis erősítési tulajdonsággal, ha minden esetén létezik
úgy, hogy
kielégíti
egyenlőtlenséget akkor létezik
úgy, hogy
amire
.
A sima stabilizáló visszacsatolás léte feltételezi egy kontrol Lyapunov függvény meglétét és fordítva, elég általános halmazokra ha létezik
az adott tulajdonságokkal, akkor van
, a rendszert globálisan stabilizáló sima visszacsatolás.
Ezek a fogalmak általánosíthatók zavarással terhelt
rendszerek esetére is. A zavarások egy kompakt
halmazbeli értékeket felvevő mérhető függvények. Feltételezzük, hogy
minden
esetén.
Definíció 14.4
kontrol Lyapunov függvény egyenletes, ha
minden és
esetén.
rendelkezik az egyenletes kis erősítési tulajdonsággal, ha minden -ra van
úgy, hogy ha
-ra
, akkor létezik
amire
úgy, hogy
minden
esetén.
Tekintsünk egy
|
(784) |
nemlineáris rendszert.
Egy, az ISS tulajdonsághoz nagyon hasonló fogalmat kaphatunk, ha annak definíciójában az (783) egyenletben a osztalybeli
függvény helyett egy tetszőleges
függvényt veszünk, amelyre
. Ezt a függvényt disszipativitási függvénynek nevezzük.
Definíció 14.5
A(784)rendszer disszipatív a disszipativitási függvényre nézve ha van egy folytonosan differenciálható
függvány, amelyre
min esetén, ahol
és
-beli függvények úgy, hogy
|
(785) |
minden és
esetén.
A rendszer szigorúan disszipatív, ha valamely -beli
függvénnyel
|
(786) |
-t tároló függvénynek nevezzük, az (784) és (785),(786) egyenlőtlenségeket pedig disszipativitási egyenlőtlenségeknek.
A disszipációs egyenlőtlenség még a
formába is írható.
Bevezethető még a rendelkezésre álló energia függvény mint
és a szükséges energi függvény, mint
ahol .
A rendszer akkor és csak akkor disszipatív, ha ezek a függvények valós véges értékű függvények. Ekkor a legkisebb és
a legnagyobb lehetséges
tároló függvény, azaz minden
előáll ezek konvex kombinációjaként:
.
A disszipatív rendszerek nem tudnak több energiát leadni mint a betáplált energia.
Általában kvadratikus
|
(787) |
disszipativitási függvényeket használunk, ahol és
szimmetrikus mátrixok.
Tétel 14.3 A
nemlineáris rendszer akkor és csak akkor disszipatív a (787) disszipativitási függvényre nézve, ha
- az alábbi
mátrix mindeb -re pozitív szemidefinit,
- létezik egy folytonosan differenciálható pozitív szemidefinit függvény, amelyre minden
esetén az
halmaz nem üres, és minden -ra
Definíció 14.6
Tekintsünk egy
disszipativitási függvényt, melyre
minden
-ra és
minden
-ra.
A (784) rendszer, ahol passzív a
disszipativitási függvényre nézve, ha létezik egy
tároló függvény amelyre
|
(788) |
minden ,
és
esetén.
Általában választással élünk.
Pozitív definit tároló függvénnyel rendelkező passzív rendszerek asszimptotikusan stabilisak.
Tétel 14.4 (Kalman--Yakubovich--Popov) Egy passzív (784) rendszer esetén:
Ezek a feltételek egy
input affin rendszer esetén a
formába írhatók.
A (784) nemlineáris rendszer passzívá tehető, ha létezik egy visszacsatolás, amire a zárt kör passzív.
A nemlineáris szabályozás a már ismert
elmélet egy nemlineáris kiterjesztése.A tervezés célja, hogy egy olyan nelineáris szabályozót kapjunk, melyre a zárt kör stabilis és az
erősítése a legkisebb.
Definíció 14.7
Egy rendszer
erősítése véges (
--disszipatív) ha valamely
-ra disszipatív a
|
(789) |
disszipativitási függvényre nézve.
Ha a rendszer zérus-állapot detektálható és az erősítése véges, akkor globálisan asszimptotikusan stabilis.
Definíció 14.8
Egy rendszer zérus-állapot detektálható ha minden
esetén a
egyenlet
megoldása minden
esetén létezik és
fennállása
-ön implikálja, hogy
.
Ebben a speciális esetben a 14.3 Tétel az alábbi formára egyszerűsödik:
Lemma 14.1 (Bounded Real Lemma) A
rendszer akkor és csak akkor --disszipatív, ha
- a
|
(790) |
mátrix minden -re pozitív definit és
- létezik egy folytonosan differenciálható pozitív szemidefinit függvény, hogy minden
-re fennáll az alábbi Hamilton-Jacobi egyenlőtlenség
|
(791) |
Tekintsük az alábbi input affin alakban adott
|
(792) |
nemlineáris rendszert, ahol az egyes függvények legalább kétszer folytonosan differenciálhatók és az egyensúlyi pontban ,
és
. Feltesszük továbbá, hogy
vagyis a feladat reguláris.
A szabályozó alakja
|
(793) |
Ez a szabályozó megoldása a disszipatív irányítási feladatnak, ha a zárt kör -disszipatív. Ha a rendszer lineáris, ez épp azt jelenti, hogy a zárt kör
normája kisebb mint
. Ha a rendszer zérus-állapot detektálható akkor a
-disszipatívitás garantálja a rendszer globális asszimptotikus stabilitását is.
Tekintsük az alábbi egyszerüsített rendszert:
|
(794) |
ahol feltesszük, hogy és
minden
-re.
Az állapotvisszacsatolás alkalmazásával kapjuk, hogy
Ekkor a --disszipativitási feltételből (Baounded Real Lemma) a zárt körre
|
(795) |
feltétel adódik, ami általában nemlineáris a és
ismeretlenekben.
Az stb. és a
ahol
feltételezéssel élve, valamint az
transzformáció alkalmazásával kapjuk, hogy:
|
(796) |
ami már lineáris az és
ismeretlenekben. Ebből az egyenletből kapható a következő konvex feltétel:
|
(797) |
ahol a
feltétellel.
Ha az állapotvisszacsatolás helyett adott méréseket felhasználó szabályozót akarunk használni, tekintsük a következő rendszert
|
(798) |
ahol feltesszük, hogy , valamint
és
minden
esetén.
Erre az esetre a dinamikus visszacsatolás létezési feltételei a következők:
|
(799) |
|
(800) |
és
ahol és
.
Ha adott a
|
(801) |
rendszer, arra a kérdésre keressük a választ, hogy milyen feltételekkel létezik egy
megfigyelő úgy, hogy legyen hozzá olyan Lyapunov függvény, ami csak az
becslési hibától függ, azaz
minden és
esetén.
Tegyük fel, hogy
Tétel 14.5
Ha
egy SIELF Lyapunov függvény, akkor
minden -re.
Ha a függvény
-beli, akkor
nemnegatív és
minden -re.
Definíció 14.9
Egy radiálisan nemkorlátos
függvény egy megfigyelési Lyapunov függvény (OLF) ha
minden -re.
Tétel 14.6
Ha a mérési egyenlet lineáris és
valamint
minden -re akkor
egy kvadratikus SIELF
minden kompakt
részhalmazán, és létezik
melyre
minden -re és
esetén.
Tétel 14.7
Ha a mérési egyenlet lineáris és létezik egy pozitív definit
mátrix, egy
vektor és pozitív
függvények úgy, hogy
és
minden -re akkor
egy SIELF.
Megjegyzés 14.1 Tekintsük példaként a
|
(802) |
rendszert.
Ekkor a
transzformációval kapjuk, hogy
|
(803) |
A (803) rendszerhez tartozik kvadratikus SIELF, például
Azonban az eredeti rendszerhez nincs ilyen Lyapunov függvény.
Tekintsük a
|
(804) |
|
(805) |
dinamikus rendszert, ahol egy időben változó külső bemenet.
Definíció 14.10
A (804) rendszer egyenletesen passzív a
párra nézve, ha létezik egy
tároló függvény és
-beli
függvények valamint egy
folytonos pozitív definit függvény amelyre:
minden és
esetén.
Az állapottér egy adott particionálására és ha
a rendszer parciálisan egyenletesen
passzív (PSUP) az
párra nézve és
választással.
Ha a
|
(806) |
rendszerhez létezik állapotmegfigyelő, annak alakját vehetjük a
|
(807) |
formában, ahol és
nemszinguláris. Ekkor a kapcsolódó hiba dinamika alakja
|
(808) |
|
(809) |
|
(810) |
ahol és
valamint
.
A (807) rendszer egy passzivitásos megfigyelője (PSO) a rendszernek, ha a hiba dinamika PSUP a párra nézve
-ről
-ra a
visszacsatolással.
A továbbiakban tegyük fel, hogy és
valamint létezik
tárolófüggvény,
és invertálható
mátrixok úgy, hogy
minen és
esetén, ahol
függvények
-beliek és
egy folytonos pozitív függvény.
Tegyük fel továbbá, hogy és
nemnegatív függvényekkel
minden és
esetén, ahol
Tétel 14.8 A fenti feltevések mellet a PSO rendszer a
mellet minden -ra egy PSUP hibadinamikával rendelkezik a
párra nézve és a
visszacsatolással.
A tétel második feltétele helyettesíthető az alábbival:
Tekintsük az alábbi Lipschitz nemlineáris rendszert:
ahol
minden és
esetén.
Tekintsük egy
megfigyelőt, amelyhez a
|
(811) |
hibaegyenletek tartoznak. Tegyük fel, hogy a (811) megfigyelőhöz tartozik egy kvadratikus SIELF. Mivel
|
(812) |
ahol alkalmas pozitív állandók úgy, hogy
, következik, hogy
|
(813) |
ahol , azaz
|
(814) |
Az
|
(815) |
választással kapjuk, hogy
|
(816) |
Ha
|
(817) |
akkor (816) az alábbi formában írható:
|
(818) |