11. fejezet - Golyósorsós pozicionáló szakasz tervezése

A következő lépésekben tehát a motor kiválasztásához elengedhetetlen számításokat mutatjuk be, amelyek megértéséhez szükségesek a 9. fejezet fejezetben, a golyósorsós mozgásátalakító általános modellezésénél bemutatott összefüggések.

A méretezés során rendszeresen előforduló mennyiségek jelölését és mértékegységüket az alábbiakban adjuk meg:

A motor szükséges nyomatékának meghatározása állandó fordulatszám esetén

Ez a méretezés viszonylag egyszerű. A motor hajtónyomatékának meghatározásához az alábbi összetevők szükségesek. Ha a pozícionáló függőleges helyzetben is működtetve lesz, akkor süllyesztésnél az M_T2 nyomaték negatív, akkor a motort fékezni kell, ezért jelenik meg az összefüggésben külön összetevőként.

A képletekben felismerhető a golyósorsó h/2π átalakítási tényezője, valamint a hajtómű „i” módosítása. Az ezres osztó azért szerepel, mert az orsó menetemelkedését a katalógusok mm-ben adják meg.

Állandó sebesség mellett (stacionárius állapot) a motor teljesítménye:

A modellezés során keresztváltozóként „Ω” szögsebességet használunk, de a katalógusokban „n” fordulatszám szerepel. Ezért szükséges az átszámítás.

Motorválasztás szempontjából érdekes lehet stacionárius állapotban az asztal előírt „v” végsebessége, és az ehhez szükséges motor fordulatszám is:

A motor szögsebességére állandósult állapotban, illetve, ha a hajtómű rugómerevsége nagy, felírható, hogy

Ezt az összefüggést a későbbiekben is felhasználjuk.

Az asztal a hajtómű kimeneti oldalán van, ezért kell a módosítást figyelembe venni. A golyósorsó (váltó) átalakítási tényezője a transzlációs sebesség átszámításához szükséges, a 10³ szorzó pedig azért jelenik meg, mert „h” mm-ben, „v” pedig m/s dimenzióban lesz megadva.

A motor szükséges nyomatékának meghatározása gyorsítás esetén

A motorral szemben támasztott összes nyomaték igény, amely gyorsítás esetén felléphet, az alábbi összetevőkből adódik:

A számításhoz felhasználjuk az előzőekben meghatározott M₀ üresjárati nyomatékot. Ebben már benne foglaltatik az egyenes vezetékeken fellépő súrlódó erő, de a képletben nem feledkeztünk el az orsó csapágyainak M_S súrlódási nyomatékáról sem.

Következő lépésben a gyorsítandó rendszerre ható M_Ta terhelő nyomatékot kell meghatározni, amelyben az előtolás szükséges (tervezett, előírt) erőértékét és a tervezett gyorsító erőt kell figyelembe venni:

A nyomaték, amely a teljes pozícionáló rendszer eredő tehetetlenségi nyomatékát gyorsítja, kétféle módon határozható meg. Egyrészt az előírt gyorsítási úthossz és a gyorsításhoz szükséges idő segítségével, másrészt a motor fordulatszámának felhasználásával, ha a névleges fordulatszámra kívánunk gyorsítani.

Ha a terhelési oldalon, tehát a hajtómű kimeneti oldalán előírt az asztal gyorsítási úthossza és az ehhez szükséges idő, akkor az alábbi összefüggések írható fel, Ω_M=Ω₁ feltételezéssel:

Ahol „J” a motor oldalára redukált eredő és egyenértékű tehetetlenségi nyomaték, „Ω₁” a hajtómű bemenő szögsebessége, ami azonos a motor szögsebességével. Mindkét esetben figyelembe kell venni a motorhoz csatlakoztatott hajtómű hatásfokát is.

Észre kell venni azt is, hogy a „Nm” dimenzió helyes, annak ellenére, hogy a gyorsítási úthosszat „mm”-ben adjuk meg. Ezt kompenzálja a menetemelkedés, amely ugyancsak „mm”-ben lesz behelyettesítve. Ettől kezdve csak az s_a/h arány számít.

Ha a motor szögsebessége helyére a hajtómű kimeneti oldali „Ω₂” szögsebességét helyettesítjük, majd ezt a szögsebességet a golyósorsó (váltó) átalakítási tényezőjével sebességgé számítjuk át, akkor alábbi összefüggés már a gyorsítási úthossz és a gyorsítási idő függvényében szolgáltatja a szükséges nyomaték értékét.

A gyorsítás után elért motor fordulatszám, ha a hajtómű kimeneti oldalán elért úthosszat vesszük alapul, egy hosszabb átszámítás után adódik:

Ha viszont a motor teljes „kivezérlési” tartománya érdekes, tehát zérus fordulatszámról a lehető legnagyobb értékig, a névleges fordulatszámig kívánjuk gyorsítani a motort az adott terhelésekkel, akkor a következő összefüggést kell alkalmazni:

A képletekben előforduló „J” eredő tehetetlenségi nyomaték összetevői a modell gráfja segítségével érthetők meg.

Az eredő tehetetlenségi nyomatékot a motor „felől nézve” kell meghatározni, hiszen a motor kiválasztásáról van szó. Így az eredőben a motor saját tehetetlenségi nyomatéka és a hajtómű bemeneti oldali tehetetlenségi nyomatéka összeadható, de a hajtómű kimeneti oldalán szereplő tehetetlenségeket már csak a redukálás szabályai szerint adhatjuk ezekhez hozzá, nem beszélve arról, hogy az egyenes vonalon mozgatott tömeg tehetetlenségi nyomaték egyenértékét a golyósorsó átalakítási tényezőjének felhasználásával kell meghatározni.

Az előző ábrán a redukció (átszámítás) irányokat és értékeket feltüntettük. Az átszámítás elméleti hátterét a modellezés alapelveivel foglalkozó fejezetben találhatjuk meg.

Hátra van még a szükséges motorteljesítmény meghatározása.

Ezt egyrészt hagyományos módon adhatjuk meg, ha előírt a mozgatott tömeg (asztal) „v” végsebessége, és az ehhez a sebességhez kiszámított motor fordulatszám:

A motorteljesítmény meghatározásánál figyelembe vettük a súrlódásokból eredő veszteségeket, ld.: F_S és M_S a megfelelő képletekben.

A súrlódási nyomatékokat (erőket) vagy tapasztalati adatok segítségével becsülhetjük, vagy mérésekkel határozzuk meg. Ha szükség van az eredő veszteség különálló becslésére is, akkor azt az alábbi formula segítségével lehet megtenni:

Az összefüggésben „B” a motor „felől” látható eredő súrlódási tényező. Kiszámítása a tehetetlenségi nyomatékhoz hasonlóan, redukálással történik:

A fenti képletben látható csillapítási tényezők megtalálhatók a gráfban. Az orsó csapágyazásaiból eredő csillapítási tényező B_O jelölést kapott.

A megfelelő teljesítményű és fordulatszámú motor, valamint a hajtómű kiválasztása után megalkotható a teljes szakasz dinamikai (matematikai) modellje.

Ez a modell első közelítésben állandó paramétereket alkalmaz, tehát nem veszi figyelembe azt, hogy az orsó rugómerevsége függ a mozgatott tömeg orsóhoz képesti helyzetétől, és azt sem, hogy a súrlódások nem függetlenek a sebességtől és a szögsebességtől.

Ezt a linearizált rendszert látjuk a 11.2. ábra gráfján.

A tervezés második lépésében meghatározzuk a golyósorsós rész átviteli függvényét. Kiindulásként ismét a teljes rendszert tekintjük. Az impedancia hálózatban a legáltalánosabb rendszert rajzoltuk meg, mert a leegyszerűsítés után akkor is ugyanazt a kapcsolást kapjuk, ha figyelembe vesszük a csapágyazások és a keret rugómerevségét, és akkor is, ha nem, de természetesen az eredő paraméter értékek eltérőek. Ennek igazolását a 9. fejezet fejezetben találjuk. Természetes, hogy a belső impedanciák eltérőek, mert az ezeket alkotó impedanciák is eltérnek. Ezt a tervezésnél figyelembe kell majd venni, mert más rezonancia frekvencia és más csillapítási fok adódik.

A két soros eredő impedancia két-két soros rugómerevségből származik. A „k_e1” a keret és a csapágy soros eredője, „k_e2” pedig az orsó effektív és az anya rugómerevségének ugyancsak soros eredői.

Megjegyezzük, hogy a 9. fejezet fejezetben leírtaknak megfelelően a „k_e1” rugómerevséget csak különleges esetekben célszerű figyelembe venni, akkor, ha a keret és a csapágyak rugómerevsége a rezonancia frekvenciát lényegesen befolyásolja. A mintaszámításban ezt a rugómerevséget is szerepeltettük, hiszen a modell struktúráját nem befolyásolja.

A baloldali forgó mechanikai építőelemeket átszámítjuk a jobboldalra, mert a kimenő mennyiség a sebesség, a golyósorsó által mozgatott asztal (tömeg) szögsebessége. Az átszámított forrás a következő képletben látható, ez a hajtómű kimenetére számított egyenértékű „sebesség”, a golyósorsó átalakítási tényezőjének ismeretében:

A tengelykapcsoló impedanciájának átszámítása ugyancsak a redukcióként ismeretes módszerrel történik. Ennek módszere a modellezéssel foglalkozó bevezető fejezetekben megtalálható.

Az átszámítás után kapott kapcsolás egyszerűbb. A következő feladat a V_ki változóhoz tartozó „passzív” rész leválasztása, és a forrásból, valamint a visszamaradó impedanciákból egy Thevenin kapcsolás létrehozása. Ezt követően átviteli függvény gyanánt már csak a keresztváltozó osztót kell felírni. Már jeleztük, hogy az osztó formája nem változik akkor, ha a referenciához kötött eredő impedanciát kiiktatjuk, csak az un. belső impedancia számítása történik más módon.

Ha a csapágy és a keret rugalmasságát is figyelembe kívánjuk venni a tervezésnél, akkor a szabad kapcsok „felől” látható Z_b belső impedancia az alábbi lesz:

Az átviteli függvény ismét egy keresztváltozó osztóval határozható meg:

Az eredeti bemenet a hajtómű kimeneti oldali szögsebessége, ezért ennek behelyettesítésével kapjuk a keresett átviteli függvényt, ha a kimenet az anya (asztal) sebessége:

Ha a kimenet az asztal pozíciója, akkor az átviteli függvény nevezőjében megjelenik az „s” operátor szorzóként:

Elsőrendű motor és hajtómű egységgel

A szakasz átviteli függvénye a motor-hajtómű egység és a golyósorsós átalakító sorosan kapcsolt két átviteli függvényéből adódik:

Az így meghatározott átviteli függvény egy negyedrendű arányos tagot reprezentál, a szabályozástechnikában szokásos alak az alábbi:

A 16. fejezet fejezetben ezt a szakasz átviteli függvényt használjuk fel a szabályozás tervezéséhez.

Harmadrendű motor és hajtómű egységgel

A szakasz eredő átviteli függvényében G₂(s) változatlan az első modellhez képest, hiszen igazoltuk, hogy golyósorsós átalakító átviteli függvényének rendszáma kettő, függetlenül a figyelembe veendő rugómerevségektől. Így azután a második változatban a szakasz átviteli függvénye kompakt alakban az alábbi lesz:

A szakasz tehát hatodrendű, látjuk, hogy A_s az első változathoz viszonyítva csak „alakra” módosult, mert az első változatban B_e csillapítási tényező alatt mást értettünk. Emlékeztetőül megjelenítjük az első változat eredő csillapítási tényezőjét és eredő tehetetlenségi nyomatékát:

Ha most a második változat eredő csillapítását kibontjuk, és összevetjük a fent látható első változattal, meggyőződhetünk, hogy nincsen változás:

Nem is lehet változás, mert a csillapítási tényezőkön és elhelyezkedésükön nem változtatunk.

Érdemes a szabályozókör tervezéséhez a szakasz átviteli függvényét a fentebb látható formában meghagyni, hiszen könnyebb a szabályozó illesztése.

Negyedrendű motor és hajtómű egységgel

A szakasz eredő átviteli függvénye felírásához G₁ kiegészül a változatlan G₂-vel, és végső soron két szorzatra bontható hetedrendű (!) rendszert kapunk:

Ha a G₁ rész együtthatói a tervezési követelmények miatt kötöttek, akkor érdemes a rendelkezésre álló adatok behelyettesítésével a paraméteres formáról áttérni a konkrét szám-együtthatós alakra.

A nevező összeszorzása most sem célszerű, de ha olyan számítógépes szimulációs program áll rendelkezésre, amely n-edrendű átviteli függvény Bode diagramjának megszerkesztésére alkalmas, akkor az összeszorzást érdemes programmal elvégeztetni.