5. fejezet - Komplex számok

A nincs értelmezve a valós számok halmazán. Bővítsük a szám fogalmát úgy, hogy és többszörösei is legyen része. Az egyszerűség kedvéért jelöljük j-vel.

Legyenek rá érvényesek a számok között definiált műveletek és az azokra vonatkozó szabályok:

A komplex szám általánosan két – egy valós és egy képzetes – részből áll. Jelölése: a+bj, ahol a és b valós számok, és a a valós, bj pedig a képzetes rész. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a képzetes egységből b db van a számban (tehát bj=b•j). Szokás még a z=a+bj jelölés is. Erre az „összetett” z számra is igazak a táblázatban leírt szabályok. Meg kell azonban jegyezni, hogy a komplex számok halmaza nem rendezett, tehát nem mondhatjuk azt, hogy az egyik komplex szám nagyobb, mint a másik (azaz z1>z2 értelmetlen).

A számítások során j-t ugyanúgy használjuk, mintha valós szám lenne, de ha előfordulnak a hatványai, akkor kihasználhatjuk, hogy j•j=j2=-1. Érdemes megfigyelni, hogy j hatványai négyes periódussal rendelkeznek:

j1=j

j2=j•j=-1

j3=j•j2=-j

j4=j•j3=1

j5=j•j4=jstb.

A fent említett jelölés (a+bj) a komplex szám algebrai, vagy kanonikus alakja. A későbbiekben az algebrai alak elnevezést fogjuk használni. A következőkben nézzünk néhány példát a négy alapművelet alkalmazására.

A valós számokat számegyenesen ábrázoljuk. Egy egyenes a komplex számok ábrázolására nem elegendő, mivel valós és képzetes részből állnak. Ki kell tehát lépnünk az egyenesből a síkba. Ezt a síkot komplex számsíknak nevezzük. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert és a vízszintes tengelyen a komplex szám valós, a függőleges tengelyen pedig képzetes részét jelöljük.

Példák:

z1=0+jz2=1+0jz3=1+j

z4=-1+jz5=-2-jz6=2-2j

Az ábrázolás már sugallja, hogy a komplex számot vektorként is értelmezhetjük. Ebben az estben az OP vektor jelenti a z komplex számot. A vektor koordinátái rendre a komplex szám valós- és képzetes részei. Mint minden vektort, ezt is megadhatjuk a hosszával és a valós tengellyel bezárt szögével is. Ez utóbbit azonban pontosan definiálni kell, mivel a szög kétféle módon is értelmezhető. Pozitív az a szög, amelyet úgy kapunk, hogy a valós tengelyt az óramutató járásával ellentétes irányban az OP vektorra forgatjuk. A pozitív szög jelölése: arg z.

A vektor geometriai adatait könnyen felírhatjuk a komplex szám algebrai alakjának segítségével, ha felhasználjuk a derékszögű háromszögekről tanult összefüggéseket. A vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének hívjuk. Ez a Pitagorasz tétel segítségével:

, a szög pedig: .

Érdemes az algebrai alak paramétereit (a és b) is kifejezni a geometriai alak paramétereivel:

Ez utóbbit a komplex szám trigonometrikus alakjának hívjuk, és gyakran használjuk, mert segítségével néhány művelet sokkal könnyebben elvégezhető, mint az algebrai alakkal.

z1=a+bjz2=c+dj

Összeadás Kivonás

A geometriában tanult vektorösszegzési és kivonási szabályok itt is érvényesek, mint ahogy az ábrából is látszik.

Az áttérést az ún. Euler formula biztosítja. Ez a következő:

,

ahol e a természetes logaritmus alapszáma (≈2.718281828), -t pedig hatványnak tekintjük, ahol e az alap jφ pedig a kitevő.

A következőkben nem matematikai egzaktságú bizonyítással, hanem csak egy levezetéssel érzékeltetjük, hogy ami a valós számok között elképzelhetetlennek tűnik (egy hatvány függvény egyenlő a korlátos szinusz és koszinusz összegével), az a komplex számok körében valóság lehet.

A levezetéshez Maclaurin (nulla körüli Taylor) sorokat használunk fel. Bizonyítható, hogy az exponenciális függvény Maclaurin sora komplex változókkal is konvergens. Írjuk fel Maclaurin sorát, bontsuk ki:

A számlálóba írjuk be j hatványait, majd csoportosítsuk külön a valós, és külön a képzetes tagokat:

A két szummában sorban a koszinusz és a szinusz Maclaurin sorát kaptuk.

Az Euler formula tulajdonképpen egy egységnyi abszolút értékű komplex számot jelent, melynél az argumentum φ. Vizsgáljuk meg, hogy ez az egyezés fennáll-e a művelet végzés esetén is.

Szorzás:

Osztás:

Egész kitevős hatványozás:

Könnyen belátható, hogy az egyezés nem csak egységnyi abszolút értékű komplex számok esetén áll fenn. Egy komplex szám trigonometrikus alakból könnyen átírható exponenciális alakra az Euler formula alkalmazásával:

.

Példák:

Az előző feladatsor a, és e, feladatát oldjuk meg.

A problémát az jelenti, hogy egy komplex számnak több gyöke van. Tudjuk, hogy a hatványozás a gyökvonás ellentett művelete. Mivel hatványozni a legkényelmesebben a trigonometrikus alak segítségével lehet, ezért itt is azt használjuk.

Legyen és , valamint .

Ekkor a Moivre formula alapján:

.

Ez az egyenlőség csak akkor teljesül, ha az abszolút értékek és a szögek megegyeznek:

.

A gyökvonás összefüggése tehát:

ahol

Ez azt jelenti, hogy a komplex számok halmazán minden számnak n db n-edik gyöke van, hiszen mind a szinusz, mind a koszinusz 2π szerint periodikus.

Megvizsgálva a gyököket látjuk, hogy mindegyikük abszolút értéke azonos , és egymással bezárt szögük többszöröse. Ez azt jelenti, hogy a komplex számsíkon egy origó középpontú sugarú körön egyenletesen helyezkednek el. Ha ezen pontokat összekötjük, akkor egy n oldalú szabályos sokszöget kapunk.

Példák:

A következő k-ra a szög 2π, ami a periodicitás miatt annyi mintha zérus lenne. Ekkor azonban ugyanazt az értéket kapjuk, mint k=0 esetén, Innentől kezdve tehát a gyökök ismétlődnek, így összesen három különböző gyök van.

Ábrázolva:

5-4. ábra Ábrázolás

5-5. ábra

Az eredmények meghatározásához a következőket vegyük figyelembe:

A következő feladatokban az ω valós paramétertől függő komplex függvényeket ábrázolunk. Az ω a [0,∞] zárt intervallumba eső értékeket vesz fel.

1.Legyen Y(ω)=ejω.

Ekkor Y(ω)=cos ω+jsin ω és Re(Y(ω))=cos ω; Im(Y(ω))=sin ω.

, tehát a függvény minden pontja azonos távolságra van az origótól, azaz a függvény képe kör, melynek sugara 1.

A körön a nyíl az ω növekedésének irányát jelzi.

2.Legyen Y(ω)=2ejω.

Ekkor Y(ω)=2(cos ω+jsin ω) és Re(Y(ω))=2cos ω; Im(Y(ω))=2sin ω.

, tehát a függvény minden pontja azonos távolságra van az origótól, azaz a függvény képe kör, melynek sugara 2.

3.Legyen Y(ω)=ej2ω.

Ekkor Y(ω)=cos 2ω+jsin 2ω és Re(Y(ω))=cos 2ω; Im(Y(ω))=sin 2ω.

, tehát ez is kör – mint az 1, feladatban – de az ω növekedésével „gyorsabban haladnak” a függvény pontjai a körön.

4.Legyen Y(ω)=1+j ω.

Ekkor Re(Y(ω))=1; Im(Y(ω))=ω, tehát valós része mindig 1.

.

A komplex vektor hossza szigorúan monoton nő, legkisebb értéke egységnyi; szöge szintén szigorúan monoton nő, legkisebb értéke 0°, a legnagyobb pedig 90°. Ezek alapján megállapítható, hogy a függvény képe egyenes, mely a valós tengely 1 pontjából indul, és függőlegesen tart a végtelenbe.

5. Legyen

Az ábrázolás előkészítéseként célszerű a függvényt az algebrai alaknak megfelelő formájúvá rendezni.

. Ebből az alakból könnyen kifejezhetjük az abszolút értéket és a szöget:

Ebből csak azt tudjuk megállapítani, hogy a szög 0°-tól –90°-ig nő, de az abszolút érték nem ad segítséget a függvény alakjának megállapításához. Vizsgáljuk inkább az Y1(ω)=Y(ω)-1 függvényt. Ha ezt sikerül ábrázolni, akkor az eredeti függvényünk képét egy egyszerű eltolással megkapjuk.

Megállapítható tehát, hogy az ω paramétertől függetlenül minden pont egységnyi távolságra van az origótól, azaz a függvény pontjai egy egységsugarú körön vannak. Mivel Im(Y1(ω)) minden pozitív ω esetén negatív, ezért a függvény képe egy origó középpontú egységsugarú félkör, amely a negatív képzetes félsíkon helyezkedik el.

Az eredeti függvényünk ennek +1-el való eltolásával adódik, így a félkör középpontja az 1+0j pont.

Javasolt feladat: vizsgálata. (Ez is egy félkör, de sugara: A/2, középpontja: A/2+0j. Érdekes még, hogy a függvény minimuma az ω=1/T helyen van, és itt a függvény értéke: A/2-jA/2.

6.Legyen Y(ω)=e -0.1ω+jω.

Ekkor Y(ω)=e -0.1ω e jω = e -0.1ω (cos ω+jsin ω) és Re(Y(ω))= e -0.1ω cos ω; Im(Y(ω))= e -0.1ω sin ω.

A szög megegyezik az 1. feladat szögével, tehát a komplex vektor itt is az origó körül fog forogni. Az abszolút értéket egy szigorúan monoton csökkenő, nullához tartó függvény írja le. Ebből arra lehet következtetni, hogy a függvény képe spirális, mely egyre jobban „rászorul” az origóra. Legtávolabb az origótól az ω =0 esetén lesz: 1+0j.

A későbbi tanulmányok miatt célszerű megvizsgálni a Re(Y(ω)) függvényt.

Legyen f(ω)= Re(Y(ω))=e -0.1ω cos ω, ez tehát egy valós függvény, amely két részből áll. Az egyik egy koszinusz, amely 1 és –1 között periodikusan „hullámzik”, a másik egy e-ad, amely negatív kitevője miatt szigorúan monoton tart nullához. Ez utóbbi alulról és felülről korlátok közé szorítja a koszinusz függvényt.

Rendezze algebrai alakra a következő komplex függvényeket:

Ábrázolja a következő komplex függvényeket pozitív ω esetén: