1. fejezet - Bevezetés

A rendszertechnika tananyag célja az, hogy különböző fizikai jelenségeket, műszaki objektumok működését egy egységesített matematikai eszköztárral írja le, hogy feltárhatóvá tegye a teljesen különböző fizikai jelenségek és műszaki objektumok működésbeli hasonlóságát. E működésbeli hasonlóságok alapján a fizikai jelenségek és a műszaki objektumok a konkrét megjelenésüktől függetlenül kategorizálhatók. Ez azzal az előnnyel jár, hogy az azonos kategóriába tartozó, egymástól teljesen eltérő fizikai jelenségeknek, műszaki objektumok működésének akár passzív elemzésekor vagy akár a működés aktív szabályozásakor a konkrét objektumtól független, általános matematikai módszerek lesznek alkalmazhatók. Gyakori eset, hogy egy műszaki részterületen pl. a villamos áramkörök számítására kidolgoznak egy matematikai eljárást és azt egy más területen. pl. mágneses körök számítására, csőhálózatokban folyadékáramok leírására vagy hőtani problémákra alkalmazzák. Az impedancia fogalma leginkább az áramkörök számításánál fordul elő, de használatos a robotok erőszabályozásánál is. Ezek a példák bizonyítják legjobban a rendszertechnika létjogosultságát. E tananyagban olyan matematikai technikákat kívánunk bemutatni, amelyek a mérnöki gyakorlatban előforduló bizonyos típusú problémák megoldását segítik.

A világ folyamatosan változik. Volt olyan időszak, amikor a tömegtermelés kicsit elnyomta a mérnökök matematika iránti igényét. A 21. században ismét olyan időket élünk, amikor a matematikatudás a mérnöki munkában felértékelődik. Az ún. hightech (repülőgép, robot, alakfelismerés stb.) matematika igénye talán közismert. Ahhoz, hogy a humanoid robotok most még furcsa járásán csiszoljunk, és pl. megtanítsuk őket balettozni, az irányítási algoritmusok matematikai mélységeit kell növelni. De a matematikai algoritmusok továbbfejlesztése kell ahhoz, hogy a robot a képi információ alapján fel tudja ismerni, hogy mi történik körülötte. De ki gondolná, hogy a liftekben a hangtalan és gyors működés érdekében egy egyszerű behúzó mágnes (amelyiknek az a feladata, hogy a liftszekrényt rögzítse, ha megáll egy emeleten) mellé is néha odatesznek egy mikroprocesszort, amelyik a mágnes differenciálegyenletét folyamatosan számítva gondoskodik az optimális működésről. Régen a tekercsre rákapcsolták a feszültséget, és az áram által keltett mágneses tér végezte a dolgát, persze közben mi hallottunk egy csattanást, amikor a liftszekrényt rögzítő fémpofák felütköztek a tartókeretre. Most tranzisztorok kapcsolgatásával az áramot és ezen keresztül a rögzítő fémpofák mozgását folyamatosan kézben tartjuk és nincs ütközési hang, de ehhez folyamatosan számolni kell a szerkezet differenciálegyenletét. Ez nem lenne bonyolult, ha minden paramétert pontosan tudnánk, de valamilyen mértékű paraméter bizonytalanság mindig van, ráadásul több paraméter változik a működés közben, ezért mérésekből a differenciálegyenlet paramétereit is folyamatosan becsülni kell, és korábban nagyon egyszerűnek számító tervezési rutinfeladatból egy egész komoly matematikai probléma kerekedett. Az elektronika és a mikroprocesszorok ára annyira lecsökkent, hogy egészen hétköznapi olcsó (tömegtermeléssel gyártott) eszközökben is megjelenhetnek a bonyolultabb matematikai algoritmusok. A differenciálegyenletekre a mindennapos mérnöki gyakorlatban is szükség lehet, és megszűnőben van az a helyzet, amikor matematikára igazán csak a mérnök társadalom elitrétegének volt szüksége. Hidat kell építeni a matematika és a mérnöki tudományok között, és ennek a hídnak a legfontosabb eleme a rendszertechnika tárgy.

A fentiekből következően e tananyag felépítése a következő. Először a mérnöki gyakorlatban előforduló fizikai jelenségek matematikai leírásának lehetséges módjait tekintjük át röviden, majd ezt követi annak a matematikai eszköztárnak a számbavétele, amellyel az absztrakt modellek viselkedése elemezhető, általános érvényű összefüggései kimutathatók. A mérnöki munkának sokszor kulcseleme a fizikai valóság és az elvont matematika közötti kapcsolat megteremtése. A tananyag törekszik arra, hogy mind a két oldalról rávilágítson erre a kapcsolatra. Pl. ha egy matematikai képletben mód van egyfajta egyszerűsítésre, akkor annak mi lehet a fizikai háttere, és fordítva, a fizikai modell megváltoztatása milyen matematikai következménnyel járhat. Mivel a célunk az, hogy a mérnökök kezébe a mérnöki gyakorlatban használható matematikai eszközöket adjunk, ezért a matematikai tárgyalásban olyan mélységig ásunk le, amely mélység szükséges az adott eszköz pontos használatához, az alkalmazás feltételeinek és korlátainak megértéséhez. Ahogy egy lézeres távolságmérő használati útmutatójában sem mellékelik a teljes lézerfizikai hátteret, úgy terjedelmi okokból itt sincs mód arra, hogy minden érintett matematikai területet (pl. lineáris algebra, valós és komplex függvénytan, közönséges és parciális differenciálegyenletek elmélete, funkcionálanalízis, mértékelmélet, disztribúcióelmélet, gráfelmélet, stb.) az alapoktól kezdve részletesen leírjunk. Ha ezt megtennénk, akkor ez a tananyag sok ezer oldalasra duzzadna, és azért válna kezelhetetlenné. Általában azt feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a mérnöki alapképzésben oktatott matematikát. Az ezen túlmutató matematikai ismereteket megpróbáljuk egzakt, de egyszerűsített formában, a lényeget kiemelve leírni és a részletes bizonyításokat és levezetéseket mellőzzük.

A rendszertechnika tantárgy a mérnöki tantárgyak közé tartozik, de nagyon közel áll a matematika tantárgyakhoz, mivel a legtöbb mérnöki tantárgynál jelentősebb absztrakciót igényel, és bizonyos értelemben közelebb áll sok villamosmérnöki tantárgyhoz, mivel a villamosmérnöki tantárgyak is több absztrakciót igényelnek, mint a gépészmérnöki tantárgyak. Egy másik megközelítésben a gépészmérnöki tantárgyakban a nem lineáris jelenségek nagyobb szerepet játszanak, kevésbé lehet azokat lineáris megkötések mellett tárgyalni, mint ahogy ezt a villamosmérnöki tárgyakban megtesszük (ld. 1-1. ábra). Tipikus példa lehet villamos feszültségek és áramok, valamint a csőhálózatban kialakuló nyomások és a keringő víz összehasonlítása. Egy akkumulátor által táplált zseblámpa izzón áthaladó áram nem annyira kézzel fogható, mint a csőhálózatban szivattyúval keringtetett folyadék. Viszont az ellenállás hálózat számításához lineáris egyenletek általában elegendőek, ezzel szemben a csőhálózatok esetén a legegyszerűbb esetben is számolni kell nem-lineáris jelenségekkel.

1.1. ábra - A rendszertechnika tantárgy helye a mérnöki tantárgyak között

A rendszerek vizsgálatában nagyon fontos szerepet tölt be a frekvencia- és Laplace-operátoros tartomány. Korábbi tanulmányainkból megszokott lehet, hogy bizonyos fizikai mennyiségeket (jeleket) a számítás megkönnyítése érdekében komponensekre bontunk (ld. 1-2. ábra)

1.2. ábra - Az erők komponensekre bontása

Ezzel szemben egy általános időfüggvény komponensekre bontása a frekvencia- és Laplace-operátoros tartományban egy olyan absztrakciót igényel, ami nehezen építhető a korábbi mindennapi tapasztalatokra.

Egy komoly szemléletváltásnak lehetünk tanúi. Korábban egy probléma egzakt megoldásának azt tekintettük, ha matematikailag zárt alakú megoldást tudtunk előállítani. Napjainkban a mérnöki területen egyre nagyobb szerepet játszanak a numerikus módszerek és egyre kevésbé törekszünk az analitikus megoldásokra. Egyre inkább elfogadott, hogy egy rendszer működőképességét numerikus szimuláció igazolja. Teljesen természetes, hogy egy összetett új berendezés tervezése a szimulációs modell elkészítésével kezdődik. Bármiféle hardver megépítésére csak akkor gondolunk, ha a szimuláció biztató eredményeket mutat. A szimulációs modell elkészítését a rendszertechnikai elemzés előzi meg.