2. fejezet - A végeselem rendszerek működésének alapjai

Halmazműveletek segítségével (unió, különbség és metszet képzésével) elemi testekből, un. primitívekből hozható létre a teljes geometria. Primitíveknek azokat az előre definiált alaptesteket nevezzük, melyekből a kívánt geometria épül fel (kúp, gúla, henger, gömb, tórusz, ék, téglatest). A modellezés során a primitívek helyzetét, méretét és a velük végzett halmazműveleteket (boolean) definiáljuk. Az így végrehajtott műveletek sora, vagyis a primitívek kombinálása vezet a kívánt geometria kialakulásához. A primitívekkel való művelet ma már elavultnak számít, mivel nem támogatja az iteratív parametrikus alkatrész-modellezést.

Az alaksajátosságokon alapuló modellezés a primitívekhez hasonlóan szintén a modell jellemző geometriai adottságainak kombinálásával építkezik, de ebben az esetben az alaksajátosságok lényegesen szabadabb építőelemei a modellnek. Csoportosításuk sokféle szempont szerint történhet, de legcélszerűbb talán a létrehozás módja szerint osztályozni. E szerint beszélhetünk vázlatra épülő és elhelyezett alaksajátosságról.

A vázlatra épülő alaksjátosságot mint a neve is mutatja valamilyen (az alaksajátosság típusától függően tetszőleges bonyolultságú is lehet) vázlat egy pálya mentén történő elmozdításával generáljuk. A vázlat (ok) és a pálya(k) alakjától függ a létrehozott geometria. A leggyakrabban használt vázlatra épülő alaksajátosságok: kihúzás (Extrude), megforgatás (Revolve), pásztázás (Loft), söprés (Sweep), borda (Rib), spirál (Coil), domborítás (Emboss), szelés (Slice). Az elhelyezett alaksajátosságoknál éppúgy értelmezhetőek a boolean műveletek, mint a primitíveknél.

Az elhelyezett alaksajátosságok csak meglévő geometriára lehet érvényesíteni, önmagukban nem értelmezhetőek. Általában gyakran ismétlődő, szabványos technológiai lépéseket foglalnak magukban, mint a furat (Hole), lekerekítés (Fillet), letörés (Chamfer), kilökési ferdeség (Draft), menet (Thread), héj (Shell), különféle kiosztások (Pattern), tükrüzés (Mirror), stb.

A szilárdtest részét nem képező, de a megalkotásához nélkülözhetetlen elemeket munka alaksajátosságnak nevezzük, mint a munkasík (Plane), tengely (Axis), stb.

Az alaksajátosságra épülő modell jellemző tulajdonsága a modelltörténet (modellfa), vagyis, hogy a modellalkotás folyamata visszatekinthető és bármely eleme utólag módosítható, paraméterezhető. Jelenleg ez az általánosan elterjedt modellezési eljárás a korszerű CAD rendszerekben.

Az explicit modellezési eljárás lehetőséget biztosít a modellfa nélküli geometria létrehozására és módosítására. Közvetlen modellezésel, ha egy vázlat segítségével hozunk létre geometriát, akkor az beépül a geometriába és a továbbiakban a vázlat nélkül, közvetlenül a geometriát módosíthatjuk. A parametrikus modellezéshez hasonlóan lehetőséget ad az egyes geometriai elemek közötti kényszerek definiálására. A módszer rugalmassága nagyobb mozgásteret enged a szabad formájú organikus felületek modellezése során. A modellezési gyakorlat elkövetkező fejlődési fokát látják benne és számos fejlett modellezőrendszer már beépítette az eszköztárába a parametrikus modellezés mellett.

A határfelületekkel való testmodell definiálás alapkövetelménye egy térrészt elkülönítő zárt felületmodell megléte. A felületelemek normálvektora határozza meg, hogy a felület melyik oldalán van az anyag (a vektor általában kifelé mutat). A határoló felületmodell előállítása történhet a fenti módszerek bármelyikével, primitív felületek kombinálásával, alaksajátosság alapú felületmodellek definiálásával vagy a felületet leíró vezérgörbék, kontrolpontok, stb. közvetlen megadásával.

[7.] , [8.] , [9.] , [10.] .

Előnyös lehet a szimmetria feltétel alkalmazása abban az esetben, ha a geometriai modell, a peremfeltételek és a terhelések, valamint az anyagmodell valamilyen szimmetriát mutat, mivel így a teljes geometria helyett csak annak egy reprezentatív részével számolunk, így csökkentve a szimuláció időigényét. Természetesen ennek az egyszerűsítésnek alapfeltétele, hogy a geometriának, a terheléseknek, a megtámasztásoknak és az anyagmodellnek egyaránt tartalmazni kell az adott szimmetriát. Csak akkor használható szimmetria, ha az anyagmodell nem tartalmaz olyan irányfüggő tulajdonságot, amely nem összeegyeztethető az adott szimmetriával. (Megjegyzés: érdemes ellenőrizni, hogy koncentrált terheléseknél a terhelés a teljes- vagy a szimmetria szerinti részterhelés megadása szükséges, mivel ez programonként eltérő lehet.) A részmodellek alkalmazása különösen fontos abban az esetben, ha optimalizációt végzünk, mert ilyenkor a sok optimalizációs lépés miatt egy kisebb időnyereség is jelentősen gyorsítja az optimalizációs folyamatot.

Hátránya lehet az esetleges megjelenési limitáltság, mely prezentációs anyagokban való felhasználásoknál nem mindig szerencsés, illetve ha nem kellő körültekintéssel alkalmazzuk az egyszerűsítéseket, akkor egy esetleges figyelembe nem vett az egyszerűsítésnek ellentmondó tényező könnyen okozhat hibás eredményt.

Alkalmazható szimmetriák:

A geometria kiterjedésétől és a mechanikai feladat jellegétől függően választhatunk a térbeli vagy síkbeli analízis között, de lehetőség van térbeli analízisek elvégzésére alacsonyabb dimenziójú topológiával rendelkező elemekkel. Ezeket a lehetőségeket a legtöbb végeselemes rendszer támogatja. Az adott egyszerűsítés előfeltétele az analízis típushoz illeszkedő geometria létrehozása. A különböző geometriai típusokat és a kapcsolódó analízis típusát az Táblázat 2.1 szemlélteti.

A fenti táblázatból látható, hogy a geometriai modellek dimenzió szerinti osztályozása több szempont szerint is történhet, attól függően, hogy a vizsgált mechanikai probléma (feszültség vagy alakváltozási állapot, terhelések iránya, peremfeltételek, stb.) vagy az alkalmazott elemek, ill. a geometria topológiájának dimenzióját vesszük figyelembe. Az alábbiakban a geometriai modellek szerint soroljuk fel azok jellemzőit és alkalmazásukat.

Bizonyos feltételek teljesülése mellett lehetőség van a 3D-s esetek síkbeli (sík feszültség, sík alakváltozás és tengelyszimmetrikus) vizsgálatára, vagy egyszerűsített térbeli, de 1 vagy 2 dimenziós topológiával rendelkező (rúd, héj, stb.) modellek alkalmazására. Mivel az 1D-s, ill. 2D-s modellek elemszáma jóval kisebb, mint ugyanannak a szerkezetnek a 3D-s modelljének, ezért futtatásuk sokkal gyorsabb és a szimuláció beállítása is egyszerűbb. Az analízisben használt elemek az alkalmazott geometriától függően kiterjedésük szerint dimenzió nélküli pont, 1D-s vonal, 2D-s felületi vagy 3D-s térfogati elemek lehet (2.3. ábra).

A végeselem szimulációban használt elemek a geometriájuk és az alkalmazott interpolációs függvényük fokszáma szerint lineárisak (linear, first-order), másodfokúak (second-order, quadratic, parabolic) vagy harmadfokúak (third-order, cubic) lehetnek. Például egy lineáris háromszög (triangle) elem 3 csomóponttal (node) és 3 egyenes éllel van definiálva. A magasabb rendű háromszög elemnél a 3 csúcsnál lévő csomóponton felül a görbe vonalú éleken köztes csomópontok is (1 vagy 2) találhatóak.

A lineáris vagy magasabb rendű elemek választásakor az alábbiakra kell figyelemmel lenni. Alapvetően elmondható, hogy ugyanolyan hálósűrűség mellett a magasabb rendű elemek adnak pontosabb eredményt, mivel jobb matematikai közelítést használnak, és az íves élekkel / felületekkel határolt geometriát pontosabban követik. Viszont szem előtt kell tartani, hogy nagyobb teljesítményt, vagyis több számolási időt igényelnek.

Jacobi pontok (Jacobian Points). Magasabb rendű elemek esetén egy éles vagy erősen görbült perem olyan torzult elem generálását eredményezheti, melynek élei keresztezik egymást. A Jakobi vizsgálat esetén, az elem belsejében felvett pontok segítségével megállapítható a hiba, ugyanis ilyen extrém mértékben torzult elem esetén a Jakobi determináns értéke negatív lesz. (statikai feladatnál alkalmazott p-eljárás esetén célszerű a Jakobi vizsgálat elvégzése) [11.] .

Az elemek szabadságfoka határozza meg, hogy melyik elem milyen típusú analízisre alkalmazható (pl.: szerkezeti, hő, áramlástani, elektromos, mágneses vagy kapcsolt terű analízisre.) Egy térbeli szerkezeti analízisben használt elem csomópontjainak 3 (U_x, U_y, U_z) szabadságfoka van, ezzel szemben egy hőtani szimulációban csak egy, a hőmérséklet. A megfelelő szabadságfokú elemtípus választása jellemzi a modell válaszát. Az elemek fölösleges szabadságfoka növeli a szimuláció memóriafoglalását és futási idejét. Hasonlóképpen a szükségtelen elemtulajdonságokkal rendelkező elem (pl. plasztikus tulajdonságok egy rugalmas szimulációban) alkalmazása szintén növeli a futásidőt.

Általános esetben az elemek koordinátarendszereire, bemeneteire (csomópontok, szabadságfok, anyagtulajdonságok, terhelések, stb.), és a szimuláció eredményeire (a csomópontok elmozdulása, feszültség, reakcióerő, stb.), oszthatók. Az alábbiakban nézzük meg az elemek főbb tulajdonságait a felhasználásuk szerinti csoportosításban.

A hálógenerálás előtt szükség van a háló tulajdonságait meghatározó attribútumok és kontrollok beállítására. Választhatjuk az alapbeállított értékeket, ebben az esetben a program kiválasztja az adott szimulációhoz megfelelő beállításokat. A globális elemméret automatikus beállítása a modell térfogata, felülete és egyéb geometriai méretek figyelembevételével történik. Viszont lehetőség van azok egyéni, lokális beállítására is a hálógenerálás előtt. Az attribútumok és kontrollok által lehetőség van az alábbi tulajdonságok beállítására:

Attribútumok:

Kontrollok:

A modellépítés e szakaszának az egyik legfontosabb lépése, mivel ezek a tulajdonságok alapvetően befolyásolják az egész analízis pontosságát és munkaigényét.

  [6.] , [14.] .

A hálógeneráló algoritmusok szempontjából a végeselem háló egyik legfontosabb tulajdonsága, az elem típusa mellett, a strukturáltsága. Vagyis, hogy a háló lehet strukturált vagy strukturálatlan. A strukturált háló lokálisan ortogonális vonalak rendezetett hálózata alkotja. A háló vonalai a geometria határához illeszkednek. A strukturálatlan hálót rendezetlen poligonok sokasága alkotja.

A strukturált háló létrehozása kiváló minőségű kellően egyszerű geometriához és ezáltal hatékonyabb analízishez vezet. Jobb kontrollt biztosít a háló paraméterei felett, pl. anizotrópia esetén. Valósághű geometriák is vizsgálhatóak a „multiblock” hálózási eljárás segítségével.

Több alkatrészből álló modell esetén célszerű a hálót úgy kialakítani, hogy a csomópontok illeszkedjenek, ugyanis az elemre ható terheléseket a csomópontok közvetítik.

Az egész modellre kiterjedő globális elemparaméterek, főként az elemméret általában nem megfelelő. Olyan helyeken, ahol a vizsgált fizikai mennyiség megváltozása nagyobb (nagyobb gradiens), mint a modell többi részén (pl. feszültséggyűjtő helyek), akkor ott a háló sűrítése indokolt. A háló sűrítése történhet az adott geometria finomítási lépcsőinek megadásával (Refinement, az elemek felezési számának), adott számú elemre történő felosztásával (Number of division, éleknél alkalmazható), vagy az elemméret közvetlen megadásával (element size).

A lokális hálófinomítás során ügyelni kell az átmenet, vagyis az elemméret növekményének intenzitására, a kisméretű lokális elemek és a nagyobb globális beállítású háló között. Ugyanis túl nagy növekmény rossz minőségű, pl. nagy oldalarányú (aspect ratio) vagy torzult elemeket hozhat létre. Az átmenet mértékének (Growth Rate) kezelésére általában van lehetőség a végeselem szoftverekben.

További segítséget nyújt a megfelelő minőségű elemek létrehozásában a háló simítás (Mesh Smoosing) funkció. A hálósimítás egy már meglévő háló csomópontjainak eloszlását módosítja több iterációban, úgy hogy az elemek alakja minél egyenletesebb legyen. Természetesen ezt a felhasználó nem érzékeli, mert a hálógenerálás egy lépésben történik. Többféle eljárás létezik (Lapalce, Isoparametrikus, centroid, stb.), de előfordulhat, hogy a végeselem szoftverben csak a minőségre utaló értékeket tudunk kiválasztani (low, medium, high).

Abban az esetben, ha a nagy alakváltozások következtében a háló annyira torzul, hogy a szimuláció nem konvergál, szükséges lehet a geometria adaptív újrahálózására (adaptive remeshing). Az eljárás során, amikor a háló eltorzult, a szimuláció leáll. A torzult geometriát a szoftver újrahálózza és érvényesíti rá a korábbi hálón számolt eredményeket, perem és kontakt feltételeket és az analízis folytatódik. [20.]

Az anyagmodelleket aszerint csoportosíthatjuk, hogy miként teremtenek kapcsolatot a bemenő és kimenő mennyiségek, (vagyis mechanikai esetben a feszültség és az alakváltozás) között. Ez a kapcsolat lehet lineáris (linear), vagy nemlineáris (non-linear). Lineáris esetben a kimenő mennyiség egyenesen arányos a bemenettel és az arányossági tényező valamilyen anyagjellemző.

Az anyag szerkezetét tekintve lehet homogén (homogeneous), vagy inhomogén (non-homogeneous). Az inhomogén anyagok tulajdonságainak (pl. sűrűség, szilárdsági tulajdonságok, stb.) térbeli eloszlása nem egyenletes. Mikroszkopikus szinten gyakorlatilag az összes anyag inhomogén, (kristályokra, molekulára majd atomokra tagolódik), de a szimuláció szempontjából lényeges makroszkopikus szintű inhomogenitást az anyag nagyobb strukturáltsága jelenti, amely méreteiben összevethető a teljes modell méretével (mint pl. a szivacsos csontszövet struktúrája, polimer vagy fém habok, porózus, szemcsés anyagok, stb.).

Egy anyag iránymenti viselkedését az alábbi három modellel írhatjuk le.

A mechanikai anyagmodelleket a feszültség-alakváltozás karakterisztikájukkal jellemezzük, amely lehet lineáris, vagy nemlineáris, ill. rugalmas, képlékeny vagy viszkoelasztikus.

Az anyagok mechanikai viselkedése rendkívül változatos és rendszerint összetett (2.14. ábra). De általában kiemelhető olyan eleme, ami az adott analízis szempontjából lényeges. A felhasználástól függően ugyanannak az anyagnak különböző lehet a modellje. Például az acélt a konstruktőr egy lineárisan rugalmas anyagmodellel (2.14. ábra, I./p szakasz), a képlékeny alakítás vizsgálatához a technológus egy képlékeny anyagmodellel (2.14. ábra, I és II. szakaszok) definiálja (2.27. ábra).

Tisztán rugalmasnak akkor nevezzük az anyagot, ha a felterhelést követő tehermentesítés során visszanyeri eredeti alakját és sem maradó sem pedig késleltetett alakváltozást nem szenved. Tehát ha a feszültség-alakváltozás diagram terhelési és a tehermentesítési görbéje egybeesik, reverzibilis és útfüggetlen. Feszültség – nyúlás karakterisztikájuk lehet lineáris, vagy nemlineáris.

Lineárisan rugalmas (Linear elastic) anyagmodellről akkor beszélünk, ha a feszültség-alakváltozás karakterisztikája egy egyenesre esik, vagyis a feszültség egyenesen arányos az alakváltozással, ellenkező esetben nemlineáris anyagmodellről beszélünk. A terhelés megszüntetésével az anyag teljes mértékben visszanyeri az eredeti alakját. Izotróp anyagok esetében a Hooke törvény, anizotróp esetben az általánosított Hooke törvény írja le az anyag viselkedését. A legtöbb szobahőmérsékletű fém viselkedésére alkalmazható kis alakváltozások esetén.

A nemlineáris anyagi viselkedés jellemzője, hogy a feszültség és fajlagos nyúlás közötti kapcsolat nem lineáris, tehát nem érvényes rá a Hook törvény. A modellezés során gyakran közelítjük a nemlineáris karakterisztikát két vagy több szakaszból álló lineáris anyagmodellel (bilinear, multilinear material models). Nemlineáris Feszültség-alakváltozás tulajdonsággal rendelkező plasztikus (plastic), multilineáris rugalmas (multilinear elastic), és a nagyrugalmas (hyperelastic) anyagmodellek különböző terhelési szinteken és hőmérsékleten a szerkezet különböző merevségét eredményezik. A kúszás (Creep), viszkoplasztikus (viscoplasticity), és viszkoelasztikus (viscoelasticity) anyagmodellek nemlinearitása lehet idő, sebesség, hőmérséklet, és a feszültségből adódó.

A nemlineáris statikus szerkezeti analízisekben leggyakrabban alkalmazott anyagmodellek az alábbiak:

Hiperelasztikus (Hyperelastic) anyagmodellek viselkedését az alkváltozási-energia potenciál, vagyis a deformált anyagban tárolt energia definiálja. A matematikai megfogalmazás lehetővé teszi a nagy alakváltozások leírását. A hiperelasztikus modelleket gyakran használják olyan anyagok esetében, amelyek nagyrugalmas alakváltozásnak vannak kitéve, mint az elasztomerek és a biológiai anyagok.

Sebesség és időfüggés (Rate effects and time dependency) olyan anyagi viselkedések, amelyek függenek a deformáció sebességétől és az eltelt időtől. Ilyenek például a viszkoelaszticitás, viszkoplaszticitás, kúszás és a csillapítás. A polimerek és magas hőmérsékletű fémötvözetek jelentős kúszást mutatnak. Az anyagmodell alkalmazható a sebesség függő fémmegmunkáló technológia, az alakváltozási sebesség-függő polimerek (tipikusan merevebbé válnak nagyobb sebességeken), és dinamikusan terhelt struktúrák frekvenciafüggő csillapításának vizsgálatára.

Viszkoelasztikus anyagmodell viszkózus és rugalmas komponenseket tartalmaz. A feszültség - nyúlás karakterisztika fel és leterhelési szakasza eltérő pályán mozog és a kezdőpontba tér vissza, vagyis visszanyeri eredeti alakját. A két görbe egy hiszterézis-hurkot ír le, és közöttük lévő terület nagysága az alakváltozás során disszipált energiával egyenlő.

A viszkoplasztikus anyagmodell egy ideálisan képlékeny, és egy ideálisan viszkózus tagból áll, így a szilárdtestek sebesség-függő rugalmatlan viselkedését írja le. A feszültség az alakváltozás sebességével arányos (a newtoni folyadékokhoz hasonlóan ideálisan viszkózus), de az alakváltozás csak egy bizonyos határfeszültség elérése után indul meg [23.] .

Plasztikus vagy elaszto-plasztikus (Plastic, elastic-plastic) anyag deformációja tartalmaz egy rugalmas és egy maradó vagy plasztikus komponenst. A terhelés megszűnésével a tehermentesítés nem a felterhelés görbéjén történik és nem tér vissza a kiindulási állapotba. Ebben az esetben a képlékeny alakváltozás nem az idő vagy a sebesség függvénye, hanem a feszültségi állapoté, a képlékeny alakváltozás egy határfeszültség elérése után indul meg. Képlékeny alakváltozás megfigyelhető a fémek, ötvözetek, a talaj, kőzetek, beton és kerámia anyagok esetében.

A fenti anyagmodelleken kívül, esetleg azok kiterjesztése, vagy speciális eseteként további számos anyagmodell áll rendelkezésre a végeselemes programokban. A valós anyagi viselkedés jobb közelítésének érdekében a végeselemes szoftverekben gyakran van lehetőség ezek kombinációinak alkalmazására, (pl. viszkoelasztikus és hiperelasztikus anyagmodell). Végeselem szoftvertől függően további lehetőségek vannak a speciális anyagi tulajdonságok definiálására:

Tágulás és duzzadás (Expansion and swelling) . Némely anyag strukturális viselkedése megváltozik a fizikai környezet hatására. Ilyen például az anyag hőtágulása (térfogatváltozás a hőmérsékletváltozás hatására), vagy a duzzadás (vízmegkötés hatására), ragasztott anyagok eltérő hőtágulása, és a vizet felszívó talaj viselkedése, stb.

Kölcsönhatás (Interaction). Ennek a modellnek a válasza a struktúrák kölcsönhatásán alapul (pl.: Tömítő és ízületi anyagok, valamint ragasztott és elválasztó felületek közötti kölcsönhatások.

Alakemlékező-fém (Shape memory alloy) . Egy belső fázisátalakulással rendelkező rugalmas anyagmodell. A fázisátalakulás függ a feszültségtől és a hőmérséklettől, melyek hatására a belső átalakulási feszültség jön létre.

Kúszás (Creep), Mullin effektus (Mullins Effect). A polimerek esetében általában és gumiszerű anyagok ideális nagyrugalmas (reverzibilis) viselkedése mellett a gyakorlatban megjelennek viszkoelasztikus tulajdonságok, mint a kúszás (Creep), Mullin effektust (Mullins Effect) jelensége. A viszkoelasztikus anyag definiálásán kívül néha lehetőség van ezeket az anyagtulajdonságokat külön is definiálni.

Lineáris és izotróp esetben a feszültség és a fajlagos nyúlás közötti kapcsolat egyenes arányosság, és a rugalmassági (Young) modulus E az arányossági tényező, vagyis anyagmodellt a Hook törvény írja le (egytengelyű feszültségi állapot esetén: E=σ/ε). Számos anyagra jellemző a lineáris viselkedés kis alakváltozásoknál, és csak nagyobb alakváltozás után válik nemlineárissá (pl. fémek). Más anyagok egészen kis alakváltozásnál is nemlineáris tulajdonságot mutatnak (pl. polimerek). A lineáris anyagmodell lehet izotróp. ortotróp vagy izotrópanizotróp.

Izotróp esetben az anyagban ébredő feszültség és az alakváltozás közötti összefüggés megadása két paraméter megadásával lehetséges. Leggyakrabban a rugalmassági modulust (Young's modulus, E) és a Poisson-tényezőt (Poisson’s ratio, ν) alkalmazzuk, de alkalmazható a nyírási és a térfogatváltozási modulus is. Térbeli feszültségi állapot esetén az általános Hook törvény tenzoros alakja a feszültségre

és az alakváltozásra felírva

Ahol:

– a feszültségtenzor,

– alakváltozási tenzor,

σ _I , ε _I – a megfelelő tenzorok első skalár invariánsa, (a főátló összege),

E – rugalmassági, (Young) modulus,

ν – Poisson-tényező,

– egységmátrix.

A Poisson-tényezővel adjuk meg az anyag keresztirányú alakváltozásának mértékét. A Poisson-tényező a terhelés irányára merőleges (ε _k ) és azzal párhuzamos irányú fajlagos nyúlások arányát adja meg, (ν=−ε _k /ε=−ε ₂₂ /ε ₁₁ =−ε ₃₃ /ε ₁₁ ). Elméleti értéke −1 és 0,5 között lehet. A 0 értéknél a terhelés hatására nincs keresztirányú méretváltozás, a negatív előjel pedig azokra az anyagokra jellemző, melyek keresztirányú nyúlása a terhelés irányába esővel azonos értelmű (pl. egyes speciális szerkezetű habok mutatják ezt viselkedést). Összenyomhatatlan anyagok esetében, amikor a deformáció hatására nem történik térfogatváltozás, csak alaktorzulás, a Poisson tényező elméleti értéke 0,5 (ezt a közelíti az elasztomerek viselkedése, a valóságban 0,49 körüli értékkel, és ilyen az emberi szervezetben lévő lágy szövetek Poisson-tényezője is [21.] ).

A nyírási modulus (Shear modulus) a tiszta nyírás (τ=σ ₁₂ =σ ₂₁ ) és a hatására létrejött alaktorzulás kapcsolatát adja meg (G=τ/γ ₁₂ =σ ₁₂ /2ε ₁₂ ). Kifejezhető a rugalmassági modulus és a Poisson-tényező segítségével(E=2G(1+ν)), ezért megadása opcionális, kiváltható vele valamelyik fenti paraméter megadása. Értéke mindig pozitív és megegyezik a második Lamé állandóval (G=µ).

A térfogat-változási modulus (Bulk modulus) a hidrosztatikus nyomás (p=σ ₁₁ =σ ₂₂ =σ ₃₃ =σ _I /3) hatására bekövetkezett térfogatváltozás kapcsolatát adja meg (K=p/ε _I ). Ahol ε _I az alakváltozási invariáns. Kifejezhető a rugalmassági modulus és a Poisson-tényező segítségével (E=3K(1-2ν)), ezért megadása opcionális, kiváltható vele valamelyik fenti paraméter megadása. Értéke mindig pozitív.

Ha az anyagmodell izotróp akkor a fenti anyagparaméterekből elég kettőt megadni (pl. rugalmassági modulust és a Poisson tényezőt) a többi ezek lineáris kombinációjaként számítható.

További anyagállandók, az ellenállási modulus (M), és a Lamé állandók (λ, µ) leírását lásd a felhasznált irodalomban [21.] .

Ortotróp anyag esetén a rugalmassági modulus, a Poisson-tényező és a nyírási modulus együttes megadása szükséges a szimuláció dimenziója szerinti tengelyek mentén.

(3D-s szimuláció esetén: E _X , E _Y , E _Z , ν _XY , ν _YZ , ν _XZ , G _XY , G _YZ , G _XZ ;

Tengelyszimmetrikus esetben, ha a tengelyek jelölése radiális (R), axiális (Z), és tangenciális irányban (θ), ekkor az anyag paraméterei: E _X = E _R , E _Y = E _Z , E _Z = E _θ . Oszlop-normalizált esetben (column-normalized) ν _XY = ν _RZ, ν _YZ = ν _Zθ = (E _θ /E _Z ) ν _θZ , ν _XZ = ν _Rθ . Sor-normalizált esetben (row-normalized) ν _XY = (E _Z /E _R )ν _RZ, ν _YZ =(E _θ /E _Z )ν _θZ , ν _XZ =(E _θ /E _R )ν _Rθ .

2D-s szimuláció, pl. sík alakváltozás esetén: E _X , E _Y , ν _XY , G _XY ;

Anizotróp anyag esetén a rugalmassági együttható mátrixot (elastic coefficient matrix, ) kell definiálni, mely ebben az esetben 36 ill. az ideálisan rugalmas anyagban tárolt energia reverzibilitásának figyelembevételével 21 független paraméter megadását jelenti.

Az anyagok mechanikai tulajdonságai a hőmérséklet függvényében változnak, melyek megadására különböző hőmérsékleti szinteken lehetséges a végeselemes szoftverekben. A hőmérsékletfüggő anyagmodell lineárisnak tekinthető, amennyiben a szimuláció konstans hőmérsékleten zajlik, de nemlineáris probléma megoldásról beszélhetünk ugyanakkor, ha hőtani szimulációt folytatunk ugyanezzel az anyaggal [24.] , [21.] , [25.] , [26.] .

A viszkoelasztikus anyagok jellemzője, hogy a terhelés hatására az anyag válasza függ az eltelt időtől és a terhelés sebességétől. Ugrásszerűen ráadott majd állandó értéken tartott erőterhelésre az anyag időben egyre növekvő deformációval válaszol, vagyis kúszik (Creep). Ha ugrásszerűen ráadott időben állandó deformációt kényszerítünk az anyagra, akkor a reakcióerő értéke időben csökken, vagyis a feszültség relaxál (Stress relaxation). Időben változó terhelés a terhelés sebességével arányos választ produkál. Ezt a viselkedést elasztikus (rugalmas) és viszkózus elemek kombinációjával modellezzük (2.16. ábra, a, b). A modell rugalmas eleme (Hook-test) a deformáció során energiát tárol, viselkedése sebességfüggetlen és a mechanikai terhelés megszűnésével az anyag visszanyeri eredeti alakját. A viszkózus eleme (Newton-test) a deformáció folyamán energiát disszipál, viselkedése sebességfüggő és a terhelés hatására maradó deformációt okoz. Ezek különböző kombinációjaként előálló viszkoelasztikus anyagmodellek deformációját pillanatnyi rugalmas (ε _r ), késleltetett rugalmas (ε _k ) és maradó (plasztikus) (ε _m ) alakváltozásra bonthatjuk.

A viszkoelasztikus viselkedés a polimerek jellemző tulajdonsága, de a gyakorlatban az anyagok nagy része mutat viszkoelasztikus tulajdonságot, mint az üvegszerű anyagok, a talaj, a biológiai szövetek és a textilek.

Az elasztoplasztikus modellek az anyag irreverzibilis viselkedését modellezi egy bizonyos feszültségérték elérése után. A képlékeny alakváltozás jellemzője, hogy azonnal végbemegy, vagyis a modell viselkedése az időtől független, irreverzibilis (maradó alakváltozás) és útfüggő (függ a terhelési előélettől). A sebességfüggetlen képlékeny anyagmodellek elméletnek két lényeges eleme van, a folyási feltétel (yield criterion) és a felkeményedési szabály (hardening rule).

A viszkoplasztikus anyagmodellek a képlékeny anyagok sebességfüggő rugalmatlan viselkedését írják le. Ami azt jelenti, hogy az anyagban ébredő feszültség az alakváltozási sebesség függvénye. Az anyagmodell egy ideálisan képlékeny (St. Venant-test), és egy ideálisan viszkózus tagból (Newton-test) áll. A viszkózus elemnek köszönhetően a feszültség az alakváltozás sebességével arányos, de az alakváltozás csak egy bizonyos határfeszültség elérése után indul meg (σ _F ) a plasztikus elem jóvoltából. A fő különbség a sebességfüggetlen plasztikus vagy elasztoplasztikus és a viszkoplasztikus anyagok között, hogy ez utóbbi alakváltozása nem csak maradó alakváltozást mutat, hanem a deformáció az idő elteltével folytatódik a terhelés alkalmazása után is, vagyis kúszik. Főként a rugalmatlan fémek (mint pl. a forrasztóón, ólom), kerámia szuszpenziók, Zagyok, paszták leírására alkalmazzák. [30.] , [23.] .

A fenti kétkomponensű modellek mellett, az anyagok valós fizikai viselkedésének leírására számos összetett, mindhárom reológiai alaptestet (rugalmas, viszkózus, súrlódó) tartalmazó modellt alkottak. Dinamikai vizsgálatok leírásához ezek kiegészülnek a „tömeg-elemmel”, amely az anyag tehetetlenségét hivatott modellezni. A végeselemes anyagmodellben ez az anyag sűrűségének (fajsúly) megadásával kerül definiálásra. A teljesség igénye nélkül néhány összetett reológiai modell:

[33.]

A hiperelasztikus anyagmodell (Hyperelastic Material Model) viselkedését az alkváltozási-energia sűrűség, vagyis az egységnyi térfogatú deformált anyagban tárolt potenciális energia alapján írja le. A matematikai megfogalmazás lehetővé teszi a nagy alakváltozásokat. A hiperelasztikus, vagy Green féle anyagmodelleket gyakran használják olyan anyagok esetében, amelyek nagyrugalmas alakváltozásnak vannak kitéve, mint a gumiszerű anyagok és egyes biológiai szövetek.

A gumiszerű anyagokra jellemző

Az alkalmazott hiperelasztikus anyagokra nemlineárisan rugalmas, izotróp, izotermikus és teljesen, vagy közel összenyomhatatlan (térfogat-állandóságot, ν ~ 0,5) tulajdonságokat feltételezünk.

Mivel a hiperelasztikus anyagmodellek az alakváltozási energia alapján vannak felírva, ezért kielégítik a termodinamika főtételeit, reverzibilisek és útfüggetlenek. Viszont a hőmérséklet és az idő hatását nem veszik figyelembe.

Ahol:

Π - az anyag egységnyi térfogatára vonatkozó alakváltozási energia, alakváltozási energiasűrűség, (strain energy per unit reference volume),

σ _ij - a Cauchy (valódi) feszültség,

ε _ij – a rugalmas alakváltozás.

A megnyúlás definíciója, az i. irányba eső főnyúlás (stretch ratio / stretch):

Ahol:

l ₀ – a kezdeti hossz,

l – a pillanatnyi hossz,

Δl – a hosszváltozás.

A főnyúlásokkal felírt deformációgradiens tenzor, (elastic deformation gradient tensor):

A jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor főnyúlások segítségével felírva:

A Cauchy-Green féle alakváltozási tenzor invariánsai:

A térfogatváltozás definíciója, (a deformációgradiens tenzor determinánsa):

Látható, hogy ha az anyag teljesen összenyomhatatlan, akkor I ₃ = 1.

A térfogat-változási komponenst különválasztva a deviátoros nyúlás:

(i= 1, 2, 3)

A deviátoros alakváltozási invariáns:

A fenti mintára az alakváltozási energiafüggvényt deviátoros (Π _d ) és a térfogat-változási (Π _V ) komponensekre bonthatjuk, és ez utóbbit felírhatjuk a deformációgradiens tenzor determinánsával (J=det( )) segítségével.

Izotróp anyag esetén az alakváltozási energiát az alakváltozási skalár invariánsok, vagy közvetlenül a főnyúlások segítségével írjuk fel, (melyek függetlenek a koordinátarendszer megválasztásától).

Összenyomhatatlan anyag esetében az alakváltozási munka csak deviátoros vagyis alaktorzító komponensből áll, és a három alakváltozási invariánsból csak kettő független (I ₃ =1). Ebben az esetben a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzorral a modell az alábbi alakban írható fel [21.] , [6.] .

Ahol:

p - a hidrosztatikus nyomás,

δ _ij - a Kronecker delta,

[21.] , [34.] , [6.] , [35.] .

A hiperelasztikus anyagmodellek néhány széles körben használatos energiafüggvényét az alábbiakban ismertetjük. Az adott modell tárgyalásánál csak fent definiáltaktól és az alábbiakban felsorolt jelölésektől eltérőt ismertetjük.

Megjegyzés: Mivel a modellek a hőmérséklet hatását nem veszik figyelembe, hőtágulással járó vizsgálat esetén a modellekben szereplő teljes deformációgradiens tenzor determinánsa (J) helyettesítésre kerül, annak hőtágulástól megtisztított rugalmas részével (J _el =J/J _th ). Ahol a J _th =(1+αΔT) ³ ;

α – a lineáris hőtágulási együttható, J _th – a referencia hőmérséklethez viszonyított hőmérsékletkülönbség.

Alkalmazott jelölések:

μ – Az anyag kezdeti nyírómodulusa (initial shear modulus),

d – az anyag összenyomhatatlanságra jellemző paraméter, 0 ha összenyomhatatlan, mivel d=2/K, ahol K – a kezdeti térfogat-változási modulus (initial bulk modulus).

Mivel az anyagmodell a matematikai kapcsolatot testesíti meg a terhelés és a válasz között, szükséges a bemenő anyagparaméterek megadása, azért hogy a modell illeszkedjen az anyag valós viselkedéséhez. Egyes esetekben a paraméterek függhetnek a fizikai környezet tulajdonságaitól, úgy mint a hőmérséklet, frekvencia vagy az idő, illetve különböző mennyiségek kölcsönhatásától, mint pl. a normál nyomás, relatív távolság, vagy relatív sebesség.

Egy anyag hővezetési képességét a hővezetési együtthatójával definiáljuk. Az együttható azt adja meg, hogy egységnyi vastagságú anyagon milyen hőáram keletkezik, ha a két oldalán egységnyi hőmérsékletkülönbség van (λ=q/A⋅ΔT), mértékegysége [W/mK].

A fajhő vagy más néven fajlagos hőkapacitás értéke azt mondja meg, hogy milyen hőmennyiségre van szükség egységnyi tömegű anyag hőmérsékletének egy fokkal való megnöveléséhez (c=dQ/dT·m), mértékegysége [J/kgK].

Az anyag sűrűsége vagy más néven fajsúlya azt adja meg, hogy egységnyi térfogatú anyagnak mennyi a tömege (ς=m/V), mértékegysége [kg/m ³ ]. Alkalmazásának a dinamikus szimulációk (modál, harmonikus, tranziens analízis), az inerciális terhelésekkel (szögsebesség, gyorsulás, gravitáció) végzett statikai, vagy kihajlás analízisekben, illetve termikus vizsgálatokban van szerepe.

A fenti anyatulajdonságok lehetnek konstansak, vagy hőmérsékletfüggőek. Ez utóbbi esetben a paraméterek megadása különböző hőmérsékleti szinteken lehetséges a végeselemes szoftverekben. Egy mechanikai analízisben a hőmérsékletfüggő anyagmodell lineárisnak tekinthető, amennyiben a szimuláció konstans hőmérsékleten zajlik, de nemlineáris probléma megoldásról beszélhetünk ugyanakkor, ha hőtani szimulációt folytatunk ugyanezzel az anyaggal.

A hővezetési tényező lehet izotróp (minden irányban azonos) vagy ortotróp (egymásra merőleges tengelyek mentén eltérő) is.

A tapasztalat azt mutatja, hogy ha valamilyen anyagot mágneses térbe helyezünk, akkor megváltozik a mágneses indukció értéke. Ugyanis megváltozik a tér mágneses vezetőképessége, vagyis a permeabilitása. Az anyagok, permeabilitásuk alapján, három csoportba sorolhatók. Ami tovább bontható a mikromágneses viselkedésük alapján.

Az anyagok makromágneses viselkedése alapján:

Az anyagok mikromágneses viselkedése alapján:

[39.] , [40.] .

Lineáris "lágy" (soft) mágneses anyag

Ebben az esetben a permeabilitás (az indukció és a térerősség hányadosa, μ= B / H ) konstans érték, nem függ a térerősségtől és a mágnesezési előélettől (2.29. ábra, μ _o ⋅μ _r ). A relatív permeabilitást (μ _r ) kell definiálni, μ=μ _o ⋅μ _r , ahol a vákuumpermeabilitás értéke: μ ₀ =4π⋅10 ^-7 H/m. Általában a nem mágneses anyagok esetén használjuk (pl. levegő, réz), vagy olyan mágneses anyagok közelítésére, melyeknek nem ismerjük a mágnesezési (B-H) görbéjét. Előfordulhat olyan eset, hogy a permeabilitás nem izotróp, ilyenkor általában lehetséges ortotróp anyagmodell definiálása is. (Mivel ilyenkor globális vagy lokális koordináta rendszerben kell definiálni a relatív permeabilitás irányonkénti értékét célszerű az adott alkatrészhez saját, releváns koordinátarendszert meghatározni. Fontos továbbá megjegyezni, hogy ortotróp anyagmodellek estén a többi anyagtulajdonságot is irányonként kell megadni.)

Nemlineáris "lágy" (soft) mágneses anyag

Ebbe a kategóriába tartoznak azok az anyagok, amelyek nemlineáris viselkedést mutatnak. Ilyenkor a B-H görbe pontos megadásával tudjuk definiálni a fő mágneses tulajdonságokat (2.29. ábra, d.). Egyetlen B-H görbét lehet megadni ebben az esetben. A B-H görbe definiálása történhet a görbe pontjainak megadásával, vagy az adott szoftver anyag adatbázisaiból kiválasztásával (a leggyakoribb anyagok B-H görbéi általában elérhetőek). Ha az adott anyag ortotróp viselkedést mutat, akkor itt is megadható irányonként a relatív permeabilitás és a többi anyagjellemző is, így akár a B-H görbe is megadható irányonként is. Ortotróp anyagmodell esetén is érdemes az alkatrészhez saját koordinátarendszert definiálni. A B-H görbe megadásakor az alábbi alapszabályokat mindenképpen érdemes betartani:

A görbe legyen sima és folytonos.

A görbe nyúljon túl a működési tartományon, tartalmazza a telítődés szakaszát is. (A telítődési szakasz aszimptotikusan közelít a vákuumpermeabilitás egyeneséhez, tehát a program ez alapján tud extrapolálni ha szükséges.)

A szimuláció során a B-H görbe az origó közelében a 0,0 értékhez tart, egy ettől eltérő közeli pont megadása konvergencia problémát okozhat.

Lineáris "kemény" (hard) mágneses anyag

A keménymágneses anyagok, jellemző tulajdonsága a nagy koercív erővel jellemezhető (széles hiszterézishurokkal rendelkező) B-H karakterisztika (2.29. ábra, c.). Ebbe a kategóriába tartoznak pl. a permanens mágnesek. Ennél az anyagmodellnél a lemágnesezési görbét lineárisnak feltételezzük. Így két értéket kell csak megadni; ahol az egyenes metszi a B-H görbe H (mágneses térerősség) tengelyét azt nevezzük koercív erőnek (Coercive Force), mely azt a mágneses térerősség értéket jelenti, amely elégséges az adott anyag lemágnesezésére, tehát ahol B (mágneses indukció) nulla (Ansys programban ezt abszolút értékben kell megadni, tehát pozitív értékként). A második megadandó érték a lemágnesezési egyenes metszéspontja a B tengellyel, melyet remanens, vagyis maradó mágnesezettségnek vagy remanenciának nevezünk (Residual Induction). Az anyagtulajdonságok mellett definiálni kell a mágnes polaritását is. (Ansys programban mindig a globális, vagy egy alkatrészhez meghatározott lokális koordinátarendszer X tengelye mutatja meg a polaritás irányát, alapértéken az északi pólus a koordinátarendszer X tengelyének pozitív irányába mutat, ezt természetesen át lehet állítani. Mivel nem csak Descart-féle, hanem poláris koordinátarendszert is definiálhatunk akár radiális irányú mágnesezettséget is tudunk szimulálni.

Nemlineáris "kemény" (hard) mágneses anyag

A nemlineáris keménymágneses anyagot a B-H karakterisztika 2. síknegyedbe eső pontjaival adjuk meg. Az első adatpár a B=0, H=−H _c kell, hogy legyen. Az állandómágnes mágnesezése egy tengely mentén történik, amely egy célszerűen megválasztott modellkoordináta rendszer X tengelye lehet (a +X irány jelenti az állandómágnes északi pólusát). Ellenkező esetben a mágnesezettség iránya az alapértelmezett Globális Koordinátarendszer X tengelye lesz. A választott koordinátarendszer lehet derékszögű (Cartesian) vagy hengeres (cylindrical). Hengeres koordinátarendszer alkalmazásával létrehozhatunk radiálisan mágnesezett modellt is. A B-H görbe megadásakor az alábbi alapszabályokat mindenképpen érdemes betartani:

A görbe legyen sima és folytonos.

A görbe megadása a 2. síknegyedben történik, de kiterjedhet az 1. síknegyedbe is.

A piezorezisztív anyagok fő jellegzetessége, hogy mechanikai feszültség, (vagyis közvetlenül az alakváltozás) hatására megváltozik az ellenállásuk. Egy deformált test ellenállás-változása tenzometrikus és piezorezisztív komponensekből áll. A tenzometrikus komponens csak a geometria változásától függ, így a Poisson-tényező és az alakváltozási állapot ismeretében könnyen számolható (fémekre jellemző). A piezorezisztív hatásként oka az, hogy az anyag a fajlagos ellenállása megváltozik (félvezetőkre jellemző).

Piezorezisztív anyagmodell végeselemes definiálásához az anyag fajlagos ellenállásának (ς), a rugalmassági együtthatók (pl. rugalmassági modulus E, Poisson-tényező ν) és a piezorezisztív mátrix megadása szükséges. Ez utóbbi a mechanikai feszültség, vagy alakváltozás (megadástól függ, hogy melyik) hatására bekövetkező ellenállás-változás mértékét adja meg [42.] .

A piezoelektromos anyag egy elektromechanikusan csatolt anyag, melynek jellemzője, hogy villamos feszültség hatására alakváltozással válaszol, valamit fordított helyzetben deformáció (vagy mechanikai feszültség) hatására villamos feszültséggel, pontosabban töltésszétválasztással reagál.

Piezorezisztív anyagmodell az anyag permittivitásának (dielektromos állandójának), a rugalmassági együttható mátrixának (pl. rugalmassági modulus E, Poisson-tényező ν) és a piezoelektromos együttható mátrixának megadásával definiálható. A piezoelektromos együttható mátrix a mechanikai feszültség vagy alakváltozás (megadástól függ, hogy melyik) és az elektromos térerősség kapcsolatát adja meg.

A terhelési lépés (load step) – a terhelés egy konfigurációja melyre megkapjuk a megoldást. A lineáris statikai (linear static) vagy a stacionárius (steady-state) analízisekben különböző terhelési lépésekben állíthatunk be különböző terhelési konfigurációkat (pl. erőterhelés az első lépésben, nyomás a másodikban, mindkét terhelés és megváltoztatott rögzítés a harmadik lépésben.). Tranziens analízisben több lépésben adhatjuk meg a terhelés időbeni lefutását.

Nincs szükség több időlépés beállítására akkor, ha csak a terhelés mértékét akarjuk változtatni az idő függvényében. Erre a célra a terhelési lépések allépésekre való felosztása szolgál.

Allépések (Substeps) – a terhelési lépések közötti lépések. Az allépések sűrűségét megadhatjuk a lépések számával vagy a köztük eltelt idővel (A statikai szimuláció esetén ez csak egy követési paraméter). Alkalmazásuknak az alábbi okai lehetnek:

A terhelések alkalmazása az allépésekben történhet ugrásszerűen (stepped) vagy fokozatosan emelkedő (ramped) módon. Az ugrásszerű megoldásnál az egy lépésen belüli allépések mind egyazon terhelési szinten vannak, míg az emelkedő eljárással fokozatosan változtatva, csak a lépés végén éri el a beállított szintet a terhelés [6.] .

 Egyensúlyi iteráció (Equilibrium iterations) – Nemlineáris analízisek során a konvergencia elősegítése miatt, egy adott allépésen belül további iteratív megoldások számolódnak. Gyakori eljárás a nemlineáris analíziseknél, hogy a pontos eredmény érdekében a terhelést két lépésben adják rá a szerkezetre, az első lépés több (5-10) allépésre van osztva, allépésenként egy egyensúlyi iterációval; a második lépés viszont csak egy allépésből áll, ami több (10-20) egyensúlyi iterációt tartalmaz. Az első lépés a végső terhelési szint stabil elérését hivatott biztosítani, a második lépés pedig a pontos eredményeket adó konvergenciát szolgálja.

A kényszerek, felületi és volumetrikus erők, valamint a tengelyirányú gyorsulásokat úgy kell definiálni, mint egy nem tengelyszimmetrikus modell esetén. A koncentrált erőket és a számítások eredményeit a teljes kör mentén (360°) kell értelmezni, vagyis a modellen koncentrált erőként definiált terhelés a valóságban vonalmentén megoszló terhelésnek felel meg. Például egy cső végére alkalmazott tengelyirányú megoszló terhelés q [N/mm], a tengelyszimmetrikus végeselem modellen F=2Rπq [N] értékű koncentrált erőként szerepel.