10. fejezet - Modális analízis

Az előfeszítés nélküli modal analízis megmutatja a rendszer saját frekvenciáját abban az esetben, ha nincs semmilyen terhelő erő. Ekkor csak a rögzítést kell megadni. Jelen példában ez egy fix megfogás (Fix Support) a lemez egyik végén (10.4. ábra).

Ezután állítsuk be a keresendő sajátfrekvenciák számát (6 az alapértelmezett), (Outline/…/Analysis Settings => Details/Options/Max Modes to Find: 6).

Futtassuk a szimulációt, majd kérdezzük le a lengésképeket. A lengésalakok lekérdezésénél eljárhatunk a hagyományos módon a deformáció (Total Deformation) parancs kiadásával. Ekkor lekérdezésenként a vizsgálni kívánt módus számának manuális beállítása szükséges (Details/Definition/Mode: 1, 2, ...) . Több módus vizsgálata esetén egyszerűbb, ha az eredményeket tartalmazó táblázat (Outline/Solution => Tabular Data) , minden sorát kijelölve, a jobbgombos menüből a Creat Mode Shape Results parancsot alkalmazzuk (10.5. ábra). Ekkor minden kijelölt frekvenciához automatikusan létrejön a lengésképeket bemutató teljes deformációs eredményt. Ismételt futtatás után megjelennek a lengésképek.

A teljes deformáció képe alapján, az eredmények nélkül duplikáljuk (Duplicate Without Results) azokat az eredményeket, amelyek csak Y irányú lengést végeznek. Majd a kijelölést (Scoping Methode) állítsuk át a konstrukciós vonalra (Path) , és a típusát pedig (Y) irány menti deformációra (Type: Directional Deformation; Orientartion: Y Axis) . Ismételt futtatás után megjelennek az eredmények, az ábra alatt grafikon és táblázatos formában is.

Az eredmények jobb áttekinthetősége végett, a modellfában átnevezhetjük az eredményeket tartalmazó sorokat, a rájuk vonatkozó sajátfrekvencia alapján. Ehhez jelöljük ki az összes eredménysort a Shift billentyű lenyomásával az elsőre és utolsóra kattintva), majd jobbgombos menüből válasszuk a Rename Based On Definition parancsot (10.6. ábra).

A következő példa ugyanannak a konzolnak a saját frekvenciáit keresi, mint az előző példában, annyi különbséggel, hogy itt egy statikus előfeszítést alkalmazunk. A fix befogás (jelen példában egy egyszerű megtámasztást (simply supported) használtunk 0 elmozdulással) a konzol ugyanazon oldalán található, az ellentétes oldalon pedig egy 0,5 [mm] nagyságú, pozitív z irányú elmozdulás típusú terhelés található. Jelen példában egy külpontos elmozdulást (remote displacement) alkalmaztunk. A statikus előfeszítés terhelési modellje a következő ábrán látható.

Eredmények:

A terheletlen szerkezet modál analízisének eredményeit a 10.8. ábra és a 10.9. ábra tartalmazza.

Az Y irányú konstrukciós geometria mentén lekérdezett saját frekvenciák természetesen csak az Y irány mentén változó lengésképen mutat értelmezhető eredményt. Ezeket a következő táblázat tartalmazza.

Az előfeszített konzol saját frekvenciái, ahogy az várható volt, nőttek (Táblázat 10.1), a saját frekvenciák lengésképe lényegesen nem változott.

A végeselemes eredményének ellenőrzéseként oldjunk meg a feladatot analitikusan is [25.] , [46.] . Kiindulásnak adva van egy téglalap keresztmetszetű homogén és izotróp rúd, az alábbi paraméterekkel.

A hasáb méretei – hossza: L=100mm, magassága: h = 4 mm, szélessége: b = 10 mm;

Anyaga – acél, Rugalmassági modulus: E = 200 GPa, Poisson tényező: ν = 0,3.

Határozzuk meg a rúd első sajátfrekvenciáját és a meghajolt rúd alakját.

Egy állandó keresztmetszetű prizmatikus rúd hajlító rezgéseit, idő és a keresztmetszet helye szerint az alábbi parciális differenciálegyenlet írja le:

Bevezetve a

az egyenlet megoldása az

alakban várható, melynek helyfüggő, v(z) tagjának általános megoldása az alábbi:

ahol:

y(z) – az egyenestől való kitérés mértéke,

I – a keresztmetszeti tényező, (téglalap esetén I = b·h ³ /12),

E – az anyag rugalmassági modulusa,

ρ – az anyag sűrűsége,

A – a keresztmetszet területe,

ω ₀ – a sajátkörfrekvencia.

Az A, B, C és D tagok a rúdvégeken alkalmazott peremfeltételektől függő állandók.

A mindkét végén csuklós megfogást választva (y(0)=0, y(l)=0, y”(0)=0, y”(l)=0), A=C=D=0 és B⋅sin(λ⋅z/l)=0. Ebből B=0 triviális megoldás az y(z)=0-t eredményezné, ezért λ=n⋅π adódik (n=1,2,3… a sajátfrekvenciák sorszámának megfelelően.)

Visszahelyettesítés után kapjuk a rezgő rúd sajátfrekvenciáit és a lengésképet leíró függvényt.

Az egyik végén befalazott rúd (y(0)=0, y’(0)=0, y”(l)=0) esetén λ értéke az első 3 sajátfrekvencia esetén rendre λ=1,875; 4,694; 7,855. A lengésképet leíró függvény (Rayleigh féle függvényekből kifejezve):

ahol: D4 állandó értéke az első 3 sajátfrekvencia esetén rendre: D ₄ =-0,734; -1,018; -0,999.

Mindkét végén befalazott rúd (y(0)=0, y’(0)=0, y(l)=0, y’(l)=0) esetén λ értéke az első 3 sajátfrekvencia esetén rendre λ = 4,7301; 7,8532; 10,9956. A D ₄ állandó értéke az első 3 sajátfrekvencia esetén rendre: D4=-0,9826; -1,0008; -0,9999.

✎ A fenti egyenletek alapján határozzuk meg a rúd első 3 sajátfrekvenciáját és rajzoltassuk ki diagramban a rezgő rúd alakját különböző peremfeltételek alkalmazása mellett. Hasonlítsuk össze a végeselemes programok eredményeivel.