14. fejezet - Komplex mechatronikai projektfeladat

A következőekben egy statikai analízissel vizsgáljuk, hogy az egyik oldalán befogott egyenszilárdságú tartó, mekkora Z tengely irányú lehajlást és Y tengely menti fajlagos nyúlást szenved a Z irányú gyorsulás hatására.

Kiinduló adatok:

Méretek: B=10mm, L=20mm, vastagság: h=0,2mm;

Anyag: Rugóacél – E=200GPa, ν=0,3;

Tömeg a tartó végén: m=0,02kg;

Terhelés: a=1G, (9,8066m/s ² ).

A geometriát célszerű felületmodellként létrehozni, így héjelemeket használhatunk a hálózás során. A rendezett háló érdekében célszerű a felület felosztása (14.3. ábra).

A lemez megtámasztása a széles végénél történik egy Fix kényszerrel (Fix Support) . A háromszög csúcsánál elhelyezünk egy tömegpontot (Point Mass) , és terhelésként a földi gravitációt (Standard Earth Gravity) alkalmazzuk.

A lehajlás számszerű lekérdezéséhez helyezzünk el egy konstrukciós vonalat (Path) , a lemez hossztengelye mentén.

A futtatás után kérdezzük le az Z irányú lehajlás (Directional Deformation), valamint a főfeszültségek (Maximum Principal Stress) és főnyúlások (Maximum Principal Strain) értékeit. És ellenőrzésképpen lekérdezhetjük a befogás helyén ébredő reakcióerő (Force Reaction) és nyomaték (Reaction Moment) értékét (14.4. ábra).

Megjegyzés: Amennyiben nem, vagyunk biztosak az alakváltozási főirányokkal, célszerű ellenőrizni a helyi tenzorok megjelenítésével ( Strain/Vector Principal ). Ennek megfelelően célszerű lehet egy alkalmasan elhelyezett koordinátarendszer, valamely tengelye szerint lekérdezni a normálfeszültségek, ill. alakváltozások értékét (Normal Elastic Strain) , (pl. esetünkben, az hossztengely irányában (Y)). Nagy alakváltozások esetén, a kezdetben párhuzamos tengely nem követi a deformált alakot, ezért célszerűbb lehet a főnyúlás lekérdezése.

Egy gyorsulásérzékelő esetében nélkülözhetetlen a dinamikai tulajdonságok vizsgálata. Első lépésben határozzuk meg a szerkezet sajátfrekvenciáit (első 6-ot), és a hozzájuk tartozó lengésképeket. Megjegyzés: Valójában elég lenne az első sajátfrekvencia vizsgálata, mivel a jelátalakító működési tartománya ez alatt kell, hogy legyen. A többi csak a példa kedvéért mutatjuk meg.

A modál analízis során lehetőség van terheletlen és az előterhelt vizsgálat elvégzésére. Előfeszített, vagy előterhelt analízishez egy előzetesen lefuttatott statikai analízis jelenti terhelési és peremfeltételeket. Ehhez a projekt felületen, létrehozásakor a modál analízis panelt rá kell húzni a már meglévő statikai (Static Structural) megfelelő sorára. A megoldásra (Solution) húzva az előterhelt esetet, a végeselem modellre (Modell) húzva csak a beállításokkal ellátott terheletlen analízist hozzuk létre. A terheletlen analízisnél csupán a megfogást (Fix Suppoert) kell definiálni (14.5. ábra), a pontszerű tömeget, anyagmodellt és a hálózási beállításokat megörökli a végeselem modell a statikai analízistől. Figyeljük meg, hogy melyik analízisbe milyen elemek vannak bekötve (14.1. ábra).

A beállítások elvégzése után futtassuk mindkét analízist és hasonlítsuk össze az eredményeket.

Mivel sem a sajátfrekvenciák értékében, sem pedig a lengésképek alakjában nincs jelentős különbség a kétfajta terhelési állapot során, itt csak a terhelt szerkezet lengésképeit mutatjuk.

Mint már említettük számunkra az 1. sajátfrekvencia a lényeges, mert mint ahogy a hozzá tartozó lengésalak is mutatja, ez az első lengés, amelyik a mérés irányába esik.

Hogy megvizsgáljuk a jelátalakító átviteli tulajdonságait a frekvenciatartományban, el kell végezni egy harmonikus válasz analízist (Harmonic Response) , amely a harmonikusan gerjesztett rendszer válaszát (kimeneti amplitúdóját) adja meg egy megadott frekvenciatartományon. Amint a 14.1. ábra mutatja, lehetőség van a modál analízis eredményeinek (Solution) felhasználására a harmonikus analízis során, a (Mode Superposition) beállítás alkalmazásával.

Az analízis beállításai során meg kell adni a vizsgálat frekvenciatartományát. Esetünkben az előzetes modál analízis eredményei alapján (f ₀ =20,6Hz), ezt 0-50Hz tartományra állítjuk. Így csak, a számunkra érdekes, 1 rezonanciahely fog szerepelni a frekvenciadiagramon.

Ahhoz, hogy a számolási pontok, a frekvenciatartományon ne egyenletesen, hanem a számunkra fontos helyeken, a sajátfrekvenciák környékén, sűrűbben legyenek elosztva, be kell kapcsolnunk a Cluster Result opciót. Ez szükségessé teszi csillapítás megadását, mivel e nélkül a végtelenhez tartana az amplitúdó értéke ezen a helyen.

A csillapítást (Damping) definiálhatjuk a csillapítási fok (ξ=0,05; Constant Damping Ratio ), vagy a Rayleigh féle anyagcsillapítás merevségi tagjának (β _R =2⋅ξ/ω= 0,0007746s; Stiffness Coefficient ) megadásával.

Ha a modál analízist felhasználtuk bemenetként, akkor a megtámasztást, anyagot, hálózást nem, csak a terhelést kell definiálnunk. Összességében az alábbi ábrán szereplő megtámasztásnak, gravitációs gyorsulásnak és egy koncentrált tömegpontnak kell szerepelnie a modellen (14.9. ábra). A terhelés amplitúdója megegyezik a statikai analízisnél alkalmazott földi gravitációs gyorsulás értékével (9,8066m/s ² ), de egy általános célú gyorsulással (Acceleration) kell megadni. Mivel a harmonikus analízis során szinuszosan változik a terhelés értéke és előjele, tehát a földi gravitáció nem jöhet szóba mint terhelés.

A beállítások elvégzése után futtassuk az analízist és kérdezzük le a konzolvég lehajlásának amplitúdóját és fázisát a frekvencia függvényében, vagyis egy Bode-diagramot. Ehhez a Frequency Response/Deformation parancs kiválasztása után jelöljük ki a konzol végpontját (a tömegpont közepén), és állítsuk át Z–re az irányt. A megjelenítés típusa alapértelmezetten Bode-diagram. Az adatokat a Tabular Data táblázatból egyszerűen vágólapra helyezve átvihetünk más programba adatfeldolgozás céljából.

A statikai analízishez hasonlóan, itt is le tudjuk kérdezni a feszültség, alakváltozás és deformáció értékeit a teljes, vagy a kiválasztott geometriára vonatkoztatva, annyi kiegészítéssel, hogy a harmonikus analízis esetén a lekérdező parancsokban definiálnunk kell, hogy melyik frekvencián és milyen fázisszögben akarjuk tudni az adott mennyiséget (14.12. ábra).

A műszerünk időtartománybeli viselkedését, vagyis tranziens hatásokra adott időbeni válaszát a tranziens szerkezeti analízissel (Transient Structural) vizsgálhatjuk. A harmonikushoz hasonlóan a tranziens analízisnek is lehet bemenete egy modál analízis, de példánkon csak a geometriát, anyagot és hálózást tartalmazó végeselem modellt örökítettük át a statikai analízisről (14.1. ábra). Tehát a megtámasztást és a terhelést létre kell hoznunk az analízisen belül.

A megtámasztás továbbra is a tartó széles végének fix megfogása jelenti, de a terhelés most nem a gyorsulás lesz. Azt az esetet szeretnénk szimulálni, amikor bizonyos mértékig (1mm), meghajlított tartót elengedjük, és az csillapodó lengésbe kezd., vagyis az z ₀ =1mm, és v ₀ =0m/s, kezdeti feltétellel megadott, magára hagyott rendszer viselkedését szeretnénk vizsgálni.

Ehhez definiálni kell a megtámasztást (Fix Support) és egy Z irányú, 1mm-es elmozdulás kényszert (Displacement), amit az 1mm elérésese után kikapcsolunk. Ezt 2 terhelési lépés (Step) beállításával oldjuk meg úgy, hogy az elmozdulás kezdeti értéke

az 1. lépés elején, t=0s időpillanatban z=0mm;

az 1. lépés végén t=0,5s időpillanatban z=1mm; és

a 2. lépésben kapcsoljuk ki a kényszert.

Ezt az elmozdulás mértékét jelző grafikonon (Graph), a 2. lépésben a terhelés vonalára jobb gombbal kattintva, majd az Activate/Deactivate… opciót választva tehetjük meg (14.14. ábra).

A következő fontos lépés a lépések felosztásának, vagyis az al-lépések időtartamának (Time Step) megadása. Egy rezgő rendszernél a rezonancia periódusideje, amit az (előzetes modál analízisből megkaptunk, Tp=1/f≈0,05s) nyújt támpontot az időlépések beállításában. Az elmozdulásfüggvény alakhű reprodukálásához a periódusidőtől legalább egy nagságrendel kisebb időlépést célszerű venni, de nemlineáris problémák esetén a konvergencia elősegítése érdekében további csökkentésre is szükség lehet. Így a példánkban szereplő szerkezet analízise során az 1. lépés 0,01s-os és a 2. lépés 0,0001-0,001s-os beállítása volt szükséges (14.15. ábra).

Az analízis beállításainál a numerikus csillapítás (Numerical Damping Value) és/vagy a Rayleigh féle merevségi csillapítás (Stiffness Coefficient) értékét tudjuk megadni. Ez utóbbi értékét a harmonikus analízishez hasonlóan állítsuk β _R =2⋅ξ/ω= 0,0007746s-ra, és a numerikus csillapítást állítsuk 0-ra.

A nagy lehajlások (Large Deflections) bekapcsolása után indítsuk az analízist, majd kérdezzük le a végpont Z tengely menti elmozdulását (Directonal Displacement).

Mivel a tartó szélessége a befogástól távolodva lineárisan csökken (14.1), ezért a keresztmetszetet jellemző mennyiségek is a hely (z) függvényei.

Ahol:

I – a másodrendű nyomaték,

K – a keresztmetszeti tényező,

h – a tartó vastagsága,

L – a tartó teljes hossza,

B – a tartó szélessége a „z=0” helyen,

b(z) – a tartó szélessége a „z” helyen,

A tartó egész térfogatára és a végén elhelyezett koncentrált tömegre ható Y irányú gyorsulás hatására a tartót M _x (z) nyomaték terheli.

 

Ennek hatására a külső szálakban σ _z =M _x (z)/K(z) normál feszültség,

és lineáris anyagmodellt feltétételezve, ε _z =σ _z /E fajlagos nyúlás ébred.

Ahol: E – az anyag rugalmassági modulusa.

A lehajlásfüggvényt a rugalmas szál differenciál egyenletéből számoljuk ki [25.] .

Az egyenletet z szerint kétszer integrálva kapjuk a lehajlásfüggvényt,

Mivel a befogás zérus elfordulás és elmozdulás peremfeltételeket jelent, ezért a C ₁ és C ₂ értéke szintén nulla. Ezzel a lehajlás Értéke a z=L helyen:

Koncentrált tömeggel modellezve a (14.7) egyenletnek csak az 1. tagja marad meg:

Látható, hogy a kétféle számolás eredménye nagy pontossággal megegyezik, ami azt jelenti, hogy a továbbiakban elegendő a koncentrált paraméterű modell alkalmazása. Persze ezt az egyszerűsítést csak akkor tehetjük meg, ha az elmozduló mérőtest tömege elhanyagolható a koncentrált tömeghez képest.

✎ A fenti egyenletek alapján rajzoltassuk ki diagramban a tartó szélső szálaiban ébredő feszültséget, fajlagos nyúlást és a rúd lehajlását. Hasonlítsuk össze a végeselemes programok eredményeivel.

A szenzor dinamikai vizsgálatához szükségünk lesz a koncentrált paraméterű modell paramétereinek meghatározására, ami esetünkben a rugómerevséget (k [N/m]), a csillapítási tényezőt (b [Ns/m]), és a tömeget (m [kg]) jelenti.

A tömeg értéke adott, mint a fenti számolásban láthattuk, ebben az esetben elegendő a tömeg koncentrált paraméterként történő modellezése.

Ami esetünkben a pontszerű tömeg: m=0,02kg.

A rugómerevség értékét a mérőtest végén ható tehetetlenségi erő (F) és fenti számolás (14.8) eredményeként kapott lehajlás (f _y ) hányadosaként áll elő.

A csillapítási tényező meghatározására nem mindig állnak rendelkezésére megfelelő adatok, mivel rendkívül összetett jelenség. Értékét jelen esetben az anyagcsillapítás, a terhelési állapot és a mozgó lemez körül áramló levegő által okozott csillapítás egyaránt befolyásolja, ezért pontos értékét csak kísérleti úton tudnánk meghatározni. A koncentrált paraméterű lineáris vizsgálat során a csillapítást is lineáris viszkózus csillapítással modellezzük. Jó közelítést jelent az irodalomban fellelhető csillapítási fok értéke, amely meghatározza az egész rendszer csillapítását [49.] .

Acél szerkezetre:

Megjegyzés: Az eredmény és a csillapítás hatásának szemléletes megjelenítése miatt közel egy nagyságrenddel nagyobb értékkel mutatjuk be a példát, mint az irodalmi adat:

A fenti struktúra gráf (14.17. ábra) segítségével felírhatjuk a rendszer csomóponti egyenletét. Mivel az 1-es csomópont (Ház) sebessége megegyezik a sebesség gerjesztéssel, egy ismeretlenünk marad így elég csak a 2. csomópontra (a mozgó tömegre) felírni az egyenletet. Az 1-es és a 2-es csomópont sebesség különbségéből számított elmozdulás jelenti majd a kimenő mennyiséget számunkra.

Amelynek Laplace transzformálásával, a t időtartományból átlépve az s operátor tartományba jutunk. Végül a fizikai paramétereket (k,b,m) megfelelően összevonva, és bevezetve a rendszertechnikában szokásos jelöléseket, a másodrendű lengő rendszer átviteli függvényét kapjuk (14.14).

ahol:

A=m/k – a rendszer erősítése,

T=(m/k) ^1/2 – a rendszer időállandója, (ω ₀ =1/T, - a rendszer saját-körfrekvenciája),

ξ= b/2(k ⋅ m) ^1/2 – a csillapítási fok, (definíció szerint: ξ=b/b _k ; ahol: b _k =2(k ⋅ m) ^1/2 – a kritikus csillapítási tényező).

Az így felírt átviteli függvény nevezőjében szereplő karakterisztikus polinom megoldásával jutunk el a rezonanciafrekvencia meghatározásához.

A megoldáson látható, hogy csak ξ értékétől függ, hogy valós, vagy komplex gyököt kapunk.

Esetünkben a 3. esetnek van jelentősége, mivel 0<ξ<1értékű. Ebben az esetben az (14.16) egyenletet komplex összetevőivel felírva az alábbi összefüggést kapjuk.

Az s operátor definíció szerinti komplex összetevői az s=σ+jω, innen a rezonancia körfrekvencia:

ahol: ω ₀ =1/T=(k/m) ^1/2 – a sajátkörfrekvencia értéke, és β= ω ₀ ⋅ ξ =b/2m – a csillapítási kitevő.

A Bode diagramon, frekvenciatartományban való ábrázoláshoz végezzük el a s=jω, helyettesítést a (14.14) egyenleten, majd rendezzük át az alábbi (14.19) egyenleten látható formában, a valós és a képzetes tagok csoportosításával a nevezőben. A gerjesztés hatására a kimenet amplitúdójának (14.20) és fáziskésése (14.21) az átviteli függvény komplex vektorának abszolút értékével és állásszögével adható meg.

✎ A fenti egyenletek alapján számítsuk ki a jelátalakító sajátfrekvenciáját, és rezonancia frekvenciáját, a gyorsulás érzékelő végén lévő tömeg minimális és maximális elmozdulását. Továbbá, rajzoltassuk ki Bode-diagramban az elmozdulás amplitúdóját és fáziskésését a körfrekvencia függvényében. Hasonlítsuk össze a végeselemes programok eredményeivel.

A szerkezet időtartománybeli tranziens viselkedésének vizsgálatához írjuk fel a gerjesztetlen, csillapított másodrendű rendszer differenciálegyenletének általános megoldását.

Melynek A és B állandóinak a t=0, időpillanatban vett y(0)=y ₀ , v(0)=0; kezdeti feltételekre megoldva kapjuk az alábbi alakot.

✎ A fenti egyenletek alapján rajzoltassuk ki az y ₀ =1, kezdeti feltételű, tranziens rezgést időtartományban. Hasonlítsuk össze a végeselemes eredménnyel.