4. fejezet - Rendszerek elemzése idő és frekvencia tartományban

Definíció 3.1 (Súlyfüggvény)

A bemenőjel -- kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk:

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük.

A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

Definíció 3.2

A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk:

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük.

Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény ($u\left(t\right)=\delta \left(t\right)$) Laplace transzformáltja: $U\left(s\right)=1$. Emiatt $Y\left(s\right)=G\left(s\right)U\left(s\right)=G\left(s\right)$.

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény ($u\left(t\right)=1\left(t\right)$) Laplace transzformáltja: $U\left(s\right)=\frac{1}{s}$.Emiatt $Y\left(s\right)=G\left(s\right)U\left(s\right)=\frac{1}{s}G\left(s\right)$.

Példa 3.1

Írjuk fel a 3.1 ábrán látható tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét.

Az átviteli függvény Laplace transzformációval:

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: $p_{1,2}=-\frac{k}{2m}\pm \sqrt{\frac{k^2}{4m^2}-\frac{c}{m}}.$ Súlyfüggvény számítása

$w\left(t\right)=\underset{s\to p_1}{\text{lim}}\left(s-p_1\right)\frac{\frac{c}{m}}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)}{e}^{st}$

$+\underset{s\to p_2}{\text{lim}}\left(s-p_2\right)\frac{\frac{c}{m}}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)}{e}^{st},$

Komplex pólusok esetén ($p_1=\alpha +i\beta$ és $p_2=\alpha -i\beta$) további számítások szükségesek:

Kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó $e^{\varphi t}=cos\varphi +isin\varphi$ Euler összefüggést. Átmeneti függvény számítása:

$v\left(t\right)=\underset{s\to 0}{\text{lim}}s\frac{1}{s}\frac{\frac{c}{m}}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)}{e}^{st}$

$+\underset{s\to p_1}{\text{lim}}\left(s-p_1\right)\frac{1}{s}\frac{\frac{c}{m}}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)}{e}^{st}$

$+\underset{s\to p_2}{\text{lim}}\left(s-p_2\right)\frac{1}{s}\frac{\frac{c}{m}}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)}{e}^{st}$

Komplex pólusok esetén ($p_1=\alpha +i\beta$ és $p_2=\alpha -i\beta$) további számítások szükségesek:

$v\left(t\right)=\frac{\frac{c}{m}}{{\alpha }^2+{\beta }^2}+\frac{\frac{c}{m}}{2i\beta \left(\alpha +i\beta \right)}{e}^{\alpha t}{e}^{i\beta t}-\frac{\frac{c}{m}}{2i\beta \left(\alpha -i\beta \right)}{e}^{\alpha t}{e}^{-i\beta t}$

Komplex pólusok esete: az adatok: $m=1kg$, $k=1\frac{Ns}{m}$, $c=3\frac{N}{m}$.

Két komplex konjugált pólus van: a $p_1=-0.5+1.65i$ és$p_2=-0.5-1.65i$. A súlyfüggvény és az átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

Valós pólusok esetén az adatok: $m=1kg$, $k=4\frac{Ns}{m}$, $c=3\frac{N}{m}$.

Valós pólusai vannak: $p_1=-3$ és $p_2=-1$. A súlyfüggvény és átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

Egy rendszer frekvencia függvényének a rendszernek szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük.

Itt a bemenőjel egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel, amelynek körfrekvenciája $\omega$.

A kimenőjel:

Az $A\left(\omega \right)$ függvényt amplitudó függvénynek, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást jelentő $\phi \left(\omega \right)$ függvényt pedig fázisfüggvénynek nevezzük, mindkettő a bemenőjel $\omega$ körfrekvenciájától függ.

Az amplitudó függvény a $G\left(i\omega \right)$ függvény abszolút értékeként kapható:

a fázisfüggvény pedig $G\left(i\omega \right)$ fázisfüggvényeként:

Legyen egy rendszer átviteli függvénye:

A rendszer bemenete egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel $\omega$ körfrekvenciával: $u\left(t\right)=1\cdot sin\left(\omega t\right)$.

A $L$-transzformáció alkalmazásával vizsgáljuk meg a rendszer kimenőjelét.

Időtartományba transzformálva:

$y\left(t\right)=\underset{s\to -a}{\text{lim}}\left(s+a\right)\frac{b\omega }{\left(s+a\right)\left(s^2+{\omega }^2\right)}{e}^{st}$

$+\underset{s\to -i\omega }{\text{lim}}\left(s+i\omega \right)(\frac{b\omega }{\left(s+a\right)\left(s+i\omega \right)\left(s-i\omega \right)}{e}^{st}$

Elvégezve a megfelelő határértékképzéseket:

Megjegyzés 3.1 Egy $z=a+ib$ komplex szám exponenciális alakja $z=A{e}^{i\varphi }$ ahol $A=\sqrt{a^2+b^2}$ és $\varphi =arctan\frac{b}{a}$ .

Alkalmazva az összefüggést:

ahol $\phi \left(\omega \right)=\text{arctan}\frac{\omega }{a}$.

majd felhasználva az Euler-összefüggést ($e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }=2i\text{sin}\varphi$):

a kimenőjelre a következő adódik:

A kimenőjel első tagja a tranziens időtartamában exponenciálisan nullához tart. Az állandósult állapotot a második tag határozza meg.

Az állandósult állapotra azt kapjuk, hogy

ahol $A\left(\omega \right)=\frac{b}{\sqrt{a^2+{\omega }^2}}.$ Állandósult állapotban tehát a rendszer egy adott körfrekvenciájú szinuszos lefolyású bemenőjelre egy szinuszos lefolyású kimenőjellel válaszol, amelynek amplitúdóját az $A\left(\omega \right)$ függvény, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást pedig a $\phi \left(\omega \right)$ függvény méri.

Definíció 3.3

Nyquist diagram A frekvencia függvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitudó függvényt mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó $\phi \left(\omega \right)$ függvény segítségével, ahol az $A\left(\omega \right)$ hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge épp a $\phi \left(\omega \right)$ szög. A frekvencia függvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist -- diagramnak nevezzük.

Definíció 3.4

Bode diagram A frekvencia függvények egy másik ábrázolásmódja az, amikor az

amplitúdó függvényt a $\text{log}\omega$ függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen $\left|G\left(i\omega \right)\right|dB=20\text{log}\left|A\left(\omega \right)\right|$ szerepel. Ebben az esetben a

fázisfüggvényt külön diagramban, a $\text{log}\omega$ függvényében ábrázoljuk. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode -- diagramjának nevezzük.

Példa 3.2

A kéttárolós arányos tag (2TP) Nyquist diagramját a két különböző időállandójú egytárolós tag Nyquist diagramjának összeszorzásával kapjuk. (Az eredő vektor abszolút értéke a két vektor abszolút értékeinek szorzata, fázisszöge a két vektor fázisszögének összege.)

$\xi >1$ eset (valós pólusok):

$\left|G\left(i\omega \right)\right|dB=20\text{log}\left|G_1\left(i\omega \right)G_2\left(i\omega \right)\right|$

$=20\text{log}\left|G_1\left(i\omega \right)\right|+20\text{log}\left|G_2\left(i\omega \right)\right|$

A frekvenciafüggvény két egytárolós tag frekvencia függvényének szorzataként írható fel. Mivel logaritmikus síkon a szorzásnak összeadás felel meg, a két egytárolós tag Bode diagramját összegezve kapjuk az eredő Bode diagramot.

Komplex pólusok esete: $\xi <1$ eset (komplex pólusok):

$\left|G\left(i\omega \right)\right|dB=20\text{log}\left|\frac{1}{1+i\omega 2\xi T+{(i\omega )}^2{T}^2}\right|$

$=-20\left|1+i\omega 2\xi T+{(i\omega )}^2{T}^2\right|$

Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét:

Ha $\xi >0.5$ a pontos görbe a közelítő egyenesek alatt fut, ha $\xi <0.5$ a pontos görbe az egyenesek fölött halad, míg $\xi =0.5$ esetén a pontos és a közelítő érték $\omega =1/T$-nél megegyezik.

$\xi <1$ eset (komplex pólusok): A fázis görbe alakja ugyancsak a $\xi$-től függ:

A 3.2 ábra $\xi$ változó különböző értékeinek hatását illusztrálja az amplitúdó és fázisgörbe függvényekben.

Példa 3.3

Tömeg, rugó és csillapító Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer frekvencia függvényét. A frekvencia függvény:

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: $p_{1,2}=-\frac{k}{2m}\pm \sqrt{\frac{k^2}{4m^2}-\frac{c}{m}}$. Frekvencia diagramok valós pólusok esetén: Adatok: $m=1kg$, $k=4\frac{Ns}{m}$, $c=3\frac{N}{m}$.

Valós pólusai vannak: $p_1=-3$ és $p_2=-1$. Időállandók: $T_1=1$ és $T_2=\frac{1}{3}$.

Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén: A numerikus adatok: $m=1kg$, $k=1\frac{Ns}{m}$, $c=3\frac{N}{m}$.

$G\left(i\omega \right)=\frac{1}{1+i\omega 2\xi T+{(i\omega )}^2{T}^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}i\omega +\frac{1}{3}{(i\omega )}^2}$

Két komplex konjugált pólus van: $p_1=-0.5\pm 1.65i$. Az időállandó és a csillapítási együttható: $T=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.57s$ és $\xi =\frac{1}{6}\approx 0.16s$.