5. fejezet - MATEMATIKAI STATISZTIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

A gyakorlatban előforduló kísérletek túlnyomó részében a kísérlet eredménye leírható egy numerikus értékkel, azaz valamilyen számmal. A kísérlet eredménye tehát egy esemény, amelyhez egy számértéket rendelünk. Ezt nevezik „elemi esemény”-nek. Mivel a kísérlet eredménye általában a kísérlet többszöri megismétlése után egy kicsit mindig más számérték lesz, a kísérlet eredményét „valószínűségi változó”-nak tekintjük.

Ha a valószínűségi változókat a számegyenesen ábrázoljuk, a valószínűségeloszláshoz jutunk. A valószínűség eloszlás függvényét az alábbi módon definiálták:

F(x)=P(ξ<x)

ahol F(x)a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

xa ξ valószínűségi változó egyik aktuális értéke a számegyenesen

P(ξ<x)annak a valószínűsége, hogy ξ kisebb mint x

A valószínűségeloszlás sűrűségfüggvénye a valószínűségeloszlás eloszlásfüggvényéből származtatható. A sűrűség értékek az eloszlásfüggvény valamilyen tetszőlegesen keskeny tartományába eső részének középértékei. Definiciója:

f(x)= F’(x)

A sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény lehet folytonos és lehet diszkrét.

Folytonos eloszlásról beszélhetünk akkor, ha F(x) az x változó folytonos függvénye. Diszkrétnek nevezzük a ξ valószínűségi változót és annak eloszlását, ha ξ lehetséges értékei egy véges vagy végtelen x1, x2, … sorozatot alkotnak (5.1. ábra).

A gyakorlati életben, a méréstechnikában és a kísérleti eredmények területén az egyik leggyakoribb és legnagyobb jelentőségű eloszlás a normális eloszlás.

Egy x valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye

ahol m valós szám és az eloszlás várható értékét (a

sűrűségfüggvény maximumhelyét) jelenti

σpozitiv konstans és az eloszlás szórásával egyenlő

A normál eloszlás jelölése:N(m, σ)

A sandard normál eloszlás azt a normáleloszlást jelenti, amelynek várható értéke 0, és szórása 1.

A standard normál eloszlás sűrűségfüggvénye:

A standard normál eloszlás jelölése: N(0,1)

n számú független, N(0,1) eloszlású valószínűségi változó négyzetösszegének eloszlását n-szabadságfokú χ2 eloszlásnak nevezzük.

Eloszlás függvénye:

χ2= ξ12 + ξ22 + ξ32 +…+ ξn2

A szórásnégyzet egy y változó saját középértékétől való négyzetes eltéréseinek középértéke. Jelölése s2, képlete:

ahols2a tapasztalati szórásnégyzet

na kísérleti adatok száma

n-1a szabadságfokok száma

A szabadságfokot gyakran f betűvel szokták jelölni. Azt jelenti, hogy egy kifejezés hány független információt tartalmaz. Ha például az s2 valószínűségi változó kiszámításánál n darab adatot használtunk fel, de ezekből már kiszámítottuk az adatok átlagát és az s2 kifejezésben az átlag is szerepel, akkor az s2 csak n-1 független adatot tartalmaz, ezért f=n-1

A szórás a szórásnégyzet pozitív előjelű négyzetgyöke.

Az u-próba egy statisztikai minta (statisztikai sokaság) „m” várható értékének meghatározására szolgál. Akkor használhatjuk, ha valamilyen előzetes információ alapján tudjuk, hogy a sokaság normál eloszlású, ismerjük a szórás számszerű értékét, és az m várható értékére is van már egy „m0” becslésünk. Ennek a becslésnek a megerősítésére vagy megcáfolására szolgál az u-próba

A statisztikai próba 0-hipotézise:

m=m0

A próba statisztikája („próba-statisztika”):

ahol x1, x2, …, xna sokaságból vett n-elemű minta,

σ a számszerűen ismert szórás,

m0az m várható érték becslése

ua próba kísérleti értéke

és az n elemű mintából számolt átlag:

Ha helyes az m=m0 hipotézis, akkor az u valószínűségi változó standard normál eloszlású.

Ha most egy n konkrét numerikus értékből álló mintánk van, akkor ezekből u-ra egy numerikus értéket kapunk. Ezt az u-t összehasonlítjuk a standard normál eloszlás sűrűségfüggvényének táblázatából (XXXII. táblázat) vett up értékkel, és amennyiben teljesül, hogy

abban az esetben a 0-hipotézist elfogadjuk, azaz elfogadjuk, hogy m és m0 különbsége nem szignifikáns, nem lényeges, tehát elhanyagolható.

Az up értéket a táblázatból úgy határozzuk meg, hogy egy

0 < p <1

számhoz megkeressük azt az up-t, amelyre teljesül az alábbi reláció.

A p általában használatos értékei:

p=0,05 ; 0,01 ; 0,001

A műszaki gyakorlatban leggyakrabban a p=0,05 értéket szokták használni.

A p jelentése az, hogy ennyi a valószínűsége annak, hogy a null-hipotézis nem volt helyes. Ellenkező esetben 1-p annak a valószínűsége, hogy a null-hipotézist valóban helyes volt.

XXXI. táblázat és XXXII. táblázat

A standard normális eloszlás eloszlás- és sűrűségfüggvénye

A t-próba az u-próbához hasonlóan egy statisztikai minta „m” várható értékének meghatározására szolgál, ha valamilyen előzetes információ alapján tudjuk, hogy a sokaság normál eloszlású, és az m várható értékére is van már egy „m0” becslésünk, de nem ismerjük a szórás számszerű értékét. Ennek a becslésnek a megerősítésére vagy megcáfolására az u-próba alkalmazható.

A statisztikai próba 0-hipotézise:

m=m0

A próba-statisztika:

ahol x1, x2, …, xna sokaságból vett n-elemű minta,

s* az ismeretlen szórás,

m0az m várható érték becslése

ta próba kísérleti értéke

és az n elemű mintából számolt átlag:

A próba lebonyolítása egyszerű. Adott p-hez (általában p=0,05) a Student-eloszlás táblázatból (XXX. táblázat) meghatározható olyan tp, amelyre teljesül az alábbi egyenlőség:

Ha most a mintából számított konkrét t érték abszolút értéke nagyobb, mint tp, az m=m0 hipotézist elvetjük. Ellenkező esetben nincs ellentmondás a minta és a hipotézis között, ezért a null-hipotézist elfogadhatjuk.

A Student-próba alkalmazható olyan esetben is, amikor egy j-szer megismételt kísérlet egyik jellemzőjének szignifikáns voltát akarjuk ellenőrizni. Ekkor alkalmazhatjuk az alábbi képletet:

Itt a kísérlet j-szer megismételt jellemzőjének abszolút értéke,

s(bj)az adatok tapasztalati szórásnégyzetének négyzetgyöke

ta t-próba számított értéke

XXXIII. táblázat

A Student-féle t-eloszlás táblázat

A t-próba számított értékét össze kell hasonlítani a Student táblázatból valamilyen (pl. 5%) szignifikancia szinten „f= j-1” szabadságfokkal vett tp értékkel.

Ha most a mintából számított konkrét t érték abszolút értéke nagyobb, mint tp, akkor elvetjük a null-hipotézist, vagyis azt, hogy a konkrét bj nem szignifikáns.

.

A Fischer-féle F-próba két szórásnégyzet nagyságának összehasonlítására szolgál normál eloszlások esetén.

Az F-próba a nagyobb szórásnégyzetnek a kisebbel való osztása alapján képezett hányadosra épül. A kapott mennyiség összevethető az F-próba táblázati értékével (XXXIV. táblázat). Ha a szórásnégyzetek hányadosára kapott F érték nagyobb a megfelelő szabadsági fokokhoz és a választott szignifikanciaszinthez tarozó táblázati értéknél, ez azt jelenti, hogy a szórásnégyzetek szignifikánsan különböznek egymástól, vagyis különbségük ellentmond annak a feltevésnek (nullhipotézisnek), hogy a szórásnégyzetek megegyeznek.

A próba elvégzéséhez meg kell határozni az F számot, a két szórás hányadosát. Ezt nevezik próba-statisztikának.

ahols12a nagyobbik tapasztalati szórásnégyzet

s22a kisebbik tapasztalati szórásnégyzet

Fa tapasztalati F érték

XXXIV. táblázat

Az F- próba táblázat

A Fisher-féle F-próba 5%-os szignifikanciaszinthez tartozó kritikus értékei

A táblázat szerkezete a következő. Az oszlopok a számlálóra, a sorok a nevezőre vonatkozóan meghatározott szabadsági fokokkal kapcsolatosak (f1 illetve f2). A megfelelő sorok és oszlopok metszésénél állnak az F-próba kritikus értékei.

A kísérlet tervezési gyakorlatban általában 5%-os szignifikanciaszinten (p=0,05) szokták a számításokat elvégezni, vagyis a becsléseket meghatározni. Ezért a megadott F-táblázat 5%-os szignifikanciaszinten adja meg a kritikus F értékeket és csak annyi szabadságfokra, amennyi a kísérletek megtervezéséhez általában szükséges. Ha ettől eltérő szignifikanciaszinten, vagy több szabadságfokkal akarjuk az F-próbát elvégezni, az [1, 2] ajánlott irodalmat lehet alkalmazni.

A Cochran-próba több szórásnégyzet egyformaságának vizsgálatra szolgál. Ha az összehasonlítandó szórásnégyzetek száma nagyobb kettőnél, és az egyik szórásnégyzet lényegesen meghaladja a többit, akkor normál eloszlás esetén a Cochran-próba alkalmazható. Ez a próba azokra az esetekre vonatkozóan megfelelő, amikor az összes pontban azonos számú (mégpedig n számú) párhuzamos kísérleti beállítás van. Ekkor kiszámítandó az alábbi próba-statisztika:

aholGa Cochran-próba kísérleti értéke

smax2 az összehasonlítandó összes szórásnégyzetek közül a legnagyobbik

si2az összes szórásnégyzet

Naz összehasonlítandó szórásnégyzetek száma

Ha a kísérletek alapján meghatározott G érték nem haladja meg a Cohran-próba táblázatban megadott kritikus értéket (XXXV. táblázat), akkor elfogadhatjuk a null-hipotézist, vagyis azt, hogy a szórásnégyzetek közt nincs szignifikáns eltérés.

A táblázat szerkezete az F táblázathoz hasonló: az oszlopok a számlálóra, a sorok a nevezőre vonatkozóan meghatározott szabadsági fokokkal kapcsolatosak (f1 illetve f2). A megfelelő sorok és oszlopok metszésénél állnak a Cochran-próba kritikus értékei.

A Cochran-próba . 5%-os szignifikanciahatárok a G=, statisztikához, ahol s1,s2,…, sk mindegyike f szabadságfokú szórásbecslés.

XXXV. táblázat

Ha a valószínűségi változó, amellyel dolgozunk, sok kisebb, függetlenül ható tényező befolyása alatt áll, akkor indokolt a normális eloszlás feltételezése, és nem szükséges statisztikai próbával vizsgálni a normalitást. Ha azonban nem vagyunk biztosak abban, hogy az eloszlásunk valóban normál eloszlás, χ2-próbát kell végeznünk.

Ha a kérdéses statisztikai függvény χ2-eloszlású, vagy legalábbis a mintanagyság minden határon túli növelésekor aszimptotikusan χ2-eloszlású, akkor a statisztikai próbát χ2-próbának nevezzük. A χ2-próbával ellenőrizhetjük egy ξ valószínűségi változó eloszlására tett hipotézisünket. Mivel most nem csupán egy általunk ismert eloszlás paramétereire tett hipotézis, hanem a ξ valószínűségi változó egész valószínűségeloszlására tett hipotézis ellenőrzéséről van szó, a megfelelő próbát illeszkedésvizsgálatnak nevezzük. Ha ezt a hipotetikus eloszlást teljesen megadjuk, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról, ha pedig csak az eloszlás típusát tekintjük ismertnek, és a benne levő paramétereket a mintából becsüljük, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatról beszélünk.

A χ2-próba alkalmazásának feltétele a nagy (minimálisan 10 elemű) mintaelem-szám.

A χ2-próbával az illeszkedésvizsgálaton kívül még két további vizsgálatot végezhetünk. Tehát tulajdonképpen a χ2-próbával (kisebb módszerbeli különbségekkel) négy különböző vizsgálat végezhető:

A továbbiakban azt a χ2-próbát ismertetjük, amikor adott valószínűségi változók azonos valószínűségeloszláshoz tartozását vizsgáljuk.

A következő próba-statisztika konstruálható:

ahol N az Ai megfigyelések száma, amelyek közül A1 esemény γ1-szer,

A2 esemény γ2-ször, …, Ar esemény γr-szer következik be. (Az Ai

egymást kizáró események teljes eseményrendszere, tehát az Aí események valószínűségének összege 1.)

γiaz Ai események gyakorisága. A vizsgálat elvégzésénél törekedni kell arra, hogy minden γi értéke legalább 10 legyen. A γi értékekrenézve fennáll, hogy

piaz Ai események valószínűsége

Ha a χ2 értéket az adatainkból kiszámoljuk, akkor a kísérleti χ2 értékhez jutunk. Ha a kísérleti χ2 érték a χ2 táblázatban (XXXVI. táblázat) található kritikus értéket nem haladja meg, akkor elfogadhatjuk a null-hipotézist, vagyis azt, hogy az A1, A2, … Ar események valószínűsége normál eloszlású, és szórásnégyzeteik megegyeznek.

A táblázatban a szabadságfokok száma

f=N-1

XXXVII. táblázat

A χ2 eloszlás táblázata