A lineáris időinvariáns rendszerek általános rövidítése, az angol név alapján LTI (Linear Time Invariant).
Diszkrét időben
Azt feltételezzük, hogy minden állapotváltozó a következő k+1. időlépésben függ az összes állapotváltozó aktuális (k.) értékeinek lineáris kombinációjától valamint a bemenőjelek aktuális (k.) értékeinek lineáris kombinációjától. Az aktuális kimenőjelet az aktuális állapotváltozók és bemenőjelek lineáris kombinációjaként írjuk fel.
Megjegyzések:
Két mátrixegyenletet írhatunk fel, egyet az állapotváltozókra és egyet a kimenőjelekre.
A bemenőjelek, kezdeti értékek és állapotváltozók hatása elkülönítve számolható.
Az ARMA modellel ellentétben nincs külön memóriánk a bemenetre és a kimenetre, a kettő összevonva jelentkezik, és így kevesebb memória cellára van szükség.
Ha egy jelnek az aktuálissal együtt n értékét kell figyelembe venni, akkor azt beírjuk n db cellába. Nem vizsgáljuk, hogy egy memória cellában egy jelnek ténylegesen hány időlépéssel korábbi értéke van, csak azt vizsgáljuk, hogy az aktuális időlépésben mi az adott memória cella tartalma.
Legyen
ahol
Folytonos időben
(6.1) lényegét tekintve az állapotváltozókra felírt differenciaegyenlet, amelyet formálisan átírhatunk differenciálegyenletté. (6.2) átírása triviálisan adódik. Természetesen egy valós fizikai rendszernek először a differenciálegyenleteit szoktuk felírni és azt rendezzük át mátrixos formára. Ebben a tananyagban magával a rendszerrel foglalkozunk, így didaktikailag megengedhető, hogy a leírás szempontjából az egyszerűbb esetből haladjunk a bonyolultabb felé. (2.7) és (2.8) egyenletekből közvetlenül felírható zérus kezdeti feltétel mellett.
ahol
A (6.3) és (6.4) állapottér egyenletek Laplace-transzformálásával a következő egyenletek írhatók fel zérus kezdeti feltétel mellett
Vektorok hányadosa csak elemenként értelmezhető
|
( 6.9 ) |
A
|
( 6.10 ) |
Ismert, hogy egy
|
( 6.11 ) |
Ennek alapján
|
( 6.12 ) |
(6.9) átírható
|
( 6.13 ) |
A következőket olvashatjuk ki.
SISO rendszer esetén
Ha
Ha
A
Az matematikailag elképzelhető. hogy néhány pólus megegyezik néhány zérussal, és azokkal egyszerűsíteni lehet. Ez fizikailag azt jelenti, hogy az egyszerűsítéssel megszüntetett pólushoz tartozó állapotváltozó nem megfigyelhető, vagy irányítható az adott be- és kimenet felől.
Az átviteli függvény pólusai megegyeznek az
|
( 6.14 ) |
Az állapotváltozókat többfélekép választhatjuk meg, így (6.3) és (6.4) állapottér egyenleteket egy konkrét fizikai rendszer esetén is többfélekép írhatjuk fel. Bizonyos feladatok megoldása leegyszerűsíthető megfelelően megválasztott állapotváltozókkal. Így gyakran felmerül az igény, hogy az (6.3) és (6.4) állapottér egyenleteket átírjuk az adott feladat számára optimális formára az állapotváltozók átalakításával. Ezt a feladatot oldhatjuk meg a hasonlósági transzformációval. Ezzel sok esetben az a célunk, hogy a mátrixegyenleteket olyan formára hozzuk, amely megkönnyíti a szabályozó, illetve megfigyelő tervezését, ahogy ezt a későbbiekben látni fogjuk.
Bevezetjük az új
A mátrixokat átnevezve
Az eredeti és a hasonlósági transzformáció után kapott mátrixok kapcsolata:
|
|
(6.21) |
|
|
Bevezető példaként adott egy elsőrendű differenciálegyenlet
|
( 6.22 ) |
ahol az
|
( 6.23 ) |
Érdekes, és fizikailag értelmezhető eredményre jutunk, ha a (6.23) egyenletet inverz Laplace-transzformáljuk
|
( 6.24 ) |
Értelmezés
A (6.24) egyenletet elemezve arra a következtetésre juthatunk, hogy gondolkozhatunk úgy, hogy a Laplace-transzformáció az energiamentes kezdő állapotra vonatkozik, ezért a múlt összesített hatását egy
|
( 6.25 ) |
Az
|
( 6.26 ) |
Több változós esetben (6.3) egyenletet Laplace-transzformálva és figyelembe véve a kezdeti értékre vonatkozó deriválási szabályt
|
( 6.27 ) |
(6.27)-t inverz Laplace-transzformálva látható, hogy a (6.3) állapottér egyenletben a kezdeti értékek a következő módon is figyelembe vehetők.
|
(6.28) |
Ha esetleg
|
( 6.29 ) |
(6.29) kifejezésében mind a kezdeti értéktől függő, mind a gerjesztéstől függő megoldásban szerepel az
|
( 6.30 ) |
(6.30) tagonként inverz Laplace-transzformálható, és így mátrixos formában jutunk az exponenciális függvény sorához, ezt tekinthetjük definíciónak is.
|
( 6.31 ) |
(6.31) alapján a kezdeti értéktől függő (a múlt hatását megjelenítő) tag az időtartományban.
|
( 6.32 ) |
A gerjesztéstől függő összetevő egy konvolúciós integrál lesz
|
( 6.33 ) |
(6.27) teljes megoldása a gerjesztéstől függő és független megoldás összege
|
( 6.34 ) |
Az egy-energiatárolós esethez hasonlóan, ha
|
( 6.35 ) |
Ha az
|
( 6.36 ) |
Így (6.34) inkább tekinthető a megoldás kompakt leírásának, mint egy útmutatónak a megoldás kiszámítási módjára.
6 . 1 feladat
Határozza meg
|
( 6.41 ) |
értékét.
(6.36) alapján
|
( 6.42 ) |
(6.40) alapján a MATLAB „eig” utasítás segítségével a kitevőben szereplő mátrix felbontható
|
( 6.43 ) |
|
( 6.44 ) |
6 . 2 feladat Egy RLC kör állapottér egyenletének felírása és megoldása
Tekintsük a 6-2. ábrán látható RLC áramkört
Az áramköri elemek:
Írja fel a rendszer átviteli függvényét.
Válasszon állapotváltozókat és írja fel a a rendszer állapottér egyenleteit, majd oldja meg azokat.
Átviteli függvény
Kirchhoff huroktörvény alapján
|
( 6.45 ) |
A kondenzátor alapegyenlete
|
( 6.46 ) |
Helyettesítéssel
|
( 6.47 ) |
Ha
|
( 6.48 ) |
A rendszer differenciálegyenletének Laplace transzformáltja a (6.48) helyettesítéssel
|
( 6.49 ) |
Az átviteli függvény
|
( 6.50 ) |
Állapottér reprezentáció
Az átviteli függvény egyedi, de az állapotteres leírás nem egyedi, például legyen
|
( 6.51 ) |
akkor
|
( 6.52 ) |
|
( 6.53 ) |
tehát
|
( 6.54 ) |
|
( 6.55 ) |
Másképpen is választhatjuk az állapotváltozókat, például lehet:
|
( 6.56 ) |
tehát
|
( 6.57 ) |
|
( 6.58 ) |
|
( 6.59 ) |
A (6.58) és (6.59) egyenletek megoldása
Behelyettesítve a valóságos értékeket:
|
( 6.60 ) |
|
( 6.61 ) |
Tehát az adott RLC kör állapotteres leírása:
|
( 6.62 ) |
|
( 6.63 ) |
ahol a kezdeti érték
|
( 6.64 ) |
A (6.62) és (6.63) megoldását keressük az időtartománybana (6.64) kezdeti értékkel (6.34) alakban.
Először a kezdeti értéktől függő
|
( 6.65 ) |
|
( 6.66 ) |
Részlettörtekre bontás után
|
( 6.67 ) |
|
( 6.68 ) |
|
( 6.69 ) |
A gerjesztéstől függő
|
(6.70) |
Az inverz Laplace transzformációt elvégezve
|
(6.71) |
A megoldás (6.69) és (6.71) alapján
|
(6.72) |
|
(6.73) |
Az eredményül kapott állapotvektor első eleme tulajdonképpen a kondenzátor feszültsége Voltban, a második tag a kapacitással megszorozva pedig az RLC körben folyó áram erősségét adja.
6 . 3 feladat Hatásvázlat átírása állapottér egyenletté
Írja fel az ábrán látható rendszer állapottér egyenletét és eredő átviteli függvényét. Az átviteli függvényt alakítsa át és válasszon álapotváltozókat úgy, hogy az állapottér egyenlet
Először vizsgáljuk meg az
|
( 6.74 ) |
alakú elemeket, ahol
|
(6.75) |
|
(6.76) |
A fentiek és az ábra alapján
|
( 6.77 ) |
Az ábra alapján
|
( 6.78 ) |
Az állapottér egyenlet
|
( 6.79 ) |
Ennek alapján
|
( 6.80 ) |
Így a rendszermátrixok
|
( 6.81 ) |
6 . 4 feladat Egyenáramú motor és terhelő nyomaték
Adott egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor, amelyet
|
( 6.82 ) |
Írja fel a differenciálegyenlet-rendszert (6.3), (6.4) alakban.
Legyen a két bemenőjel a motor
Legyen az állapotváltozók és a bemenőjelek oszlopvektora
|
(6.83) |
(6.82) átrendezésével az állapováltozók deriváltjának kifejezése
|
(6.84) |
6 . 5 feladat
Adott a következő rendszer.
|
( 6.85 ) |
|
( 6.86 ) |
Minden állapotváltozó 0 kezdeti értékről indul. A bemenőjel egységugrás. Adja meg a kimenőjel időfüggvényét.
Ha 0 kezdeti értékről indul minden állapotváltozó, akkor
|
( 6.87 ) |
Laplace-transzformálva és átrendezve
|
( 6.88 ) |
Inverz Laplace-transzformálva
|
( 6.89 ) |
6 . 6 feladat Egy egyenáramú motor állapottér egyenletének felírása és megoldása
xxxxxxx
6 . 7 feladat 3-DOF gerjesztett rendszer
Tekintsük a 6-4. ábraán látható 3 szabadsági fokú gerjesztett lengőrendszert. A rendszer bemenete az egyes tömegre ható erők. Esetünkben legyen a bemenőjel, vagyis gerjesztés a következő
|
( 6.90 ) |
A rendszer kimenete legyen egyes tömegek elmozdukása.
Írja fel és oldja meg az ábrán látható rendszer egyenleteit.
Egyenlet felírása Lagrange egyenlet segítségével
|
( 6.97 ) |
A gerjesztés vektorának Laplace-transzformáltja:
|
( 6.99 ) |
Mátrix együtthatós differenciálegyenlet Laplace-transzformáció után:
|
( 6.100 ) |
ahol
|
( 6.101 ) |
Példaként az invertálás után az
Az inverz mátrix többi eleme hasonlóképpen számítható. Következő lépés a megoldás felírása operátortartományban:
|
( 6.104 ) |
|
( 6.105 ) |
Innen inverz Laplace-transzformációval lehet visszatérni az időtartományba:
Az eddigiekhez hasonlóan csak az első elem:
A kifejezés végén lévő képzetes kitevőjű exponenciális tagok átalakíthatók. Az Euler formula szerint:
Ez megfelel az időtartománybeli megoldás partikuláris megoldásának. A
Állapottér egyenletek:
Először állapotváltozókat kell választani. Legyenek az állapotváltozók a következő mennyiségek:
Gerjesztés vektor
Vegyük a mátrixegyütthatós differenciálegyenlet első egyenletét:
Az
Ezt és az
A mátrixegyütthatós differenciálegyenlet második és harmadik egyenletével a fentiekhez hasonló módon megkaphatjuk az
Mivel most egybemenetű a rendszer, ezért
Az állapottér egyenlet Laplace transzformáltja:
Ebből az
Ezekből az inverz mátrix
Az állapotváltozók időtartománybeli megoldását inverz Laplace-transzformációval kaphatjuk meg:
Kimenetet a másik állapottér egyenlet segítségével kaphatunk:
Ezt Laplace-transzformálva:
Válasszuk kimenetnek a
Mivel csak egy kimenetünk van, ezért az
Így a kimenet:
A lecsengő tagokat elhagyva (állandósult állapotban):
A Laplace-transzformált megoldással megegyező eredményre jutottunk.
A 6.2 alfejezet az állapotirányítás általános eseteit ismerteti, amelyek elvi szempontból fontosak, de konkrét végig számításuk nehézkes, illetve a MATLAB használatát feltételezi. Papíron akár egyszerű zsebszámológéppel megoldható feladatok a 6.3 alfejezetben találhatók.
Induljunk ki a (6.3) differenciálegyenletből. Tekintsük a mátrixos formában felírt (6.106) homogén differenciálegyenletrendszert.
|
( 6.106 ) |
(6.106) triviális megoldása
|
( 6.107 ) |
Behelyettesítve a (6.3) differenciálegyenletbe
|
( 6.108 ) |
|
( 6.109 ) |
A (6.106) és (6.109) összevetéséből látszik, hogy a visszacsatolt rendszernél az
Definiáljuk az
|
( 6.110 ) |
megjegyzés: ha
|
( 6.111 ) |
|
( 6.112 ) |
|
( 6.113 ) |
Eddig minden állapotváltozóra vonatkozóan a referenciajel nulla volt. Ha ettől el akarunk térni, akkor két problémával kell szembenéznünk.
Az állapotváltozók nem függetlenek egymástól, így a referenciajelet sem határozhatjuk meg egymástól függetlenül. Pl. egy robot megfogójának a pozíciója és sebessége lehet állapotváltozó. Nyilvánvaló, ezeket nem lehet egymástól függetlenül előírni, a sebesség és a pozíció egyszerre nem lehet nullától különböző konstans.
Ismert, hogy a negatív visszacsatolás esetén a visszacsatolt rendszer erősítése kisebb, mint az eredeti rendszeré, ezért a visszacsatolás értékétől függő kompenzációra van szükség.
Az állapotvisszacsatolással azt tudjuk elérni, hogy a rendszer tetszőleges kezdeti értékből kiindulva a
|
( 6.114 ) |
és a kimenőjel az
|
( 6.115 ) |
A benenőjel (6.115) összefüggését behelyettesítve az állapotegyenletbe
|
( 6.116 ) |
(6.116) egyenletből kitűnik, hogy az állapotvisszacsatolással az
|
(6.117) |
Áttérve a kimenőjelre
|
(6.118) |
|
( 6.119 ) |
A (6.119) alakú korrekcióval az a gond, hogy az értéke függ a visszacsatoló
|
( 6.120 ) |
|
( 6.121 ) |
|
( 6.122 ) |
Az alapjel kompenzáláshoz pontosan ismerni kell a rendszer paramétereit. Az így kiegészített állapotvisszacsatolás azonban a zavarójel hatását nem tudja kompenzálni. A paraméterbizonytalanság és a zavarójel hatásának kiküszöbölésére integrátort iktathatunk be a szabályozási körbe. Legyen a szabályozás célja, hogy minden kimenőjel egy konstans értéket vegyen fel
|
( 6.123 ) |
Azt feltételezzük, hogy ez a cél nem ütközik elvi akadályokba (pl. nem írjuk elő, hogy egy jel és deriváltja egyszerre legyen nullától különböző konstans értékű). A kiindulási egyenlet
|
( 6.124 ) |
Az integrátorok állapotát egy-egy dinamikus elemként
|
( 6.125 ) |
Ha az eredeti és az integrátorokhoz tartozó állapotváltozókat egyetlen oszlopvektorba összevonjuk, de különállóan meghagyjuk az
|
( 6.126 ) |
Tekintsük a 6-8. ábraát. A rendszer eredeti bemenőjelét az állapotvisszacsatolással a következő módon határozzuk meg:
|
( 6.127 ) |
6-8. ábra és (6.127) alapján az állapotvisszacsatolást a következő kiterjesztett rendszerhez kell megtervezni,
|
(6.128) |
ahol
|
( 6.129 ) |
Látható, hogy ha
|
( 6.130 ) |
A legtöbb gyakorlati esetben nem tudjuk az összes állapotváltozót mérni, így az állapot visszacsatolás közvetlenül nem alkalmazható. Felmerül a kérdés, hogy a mért jelekből rekonstruálható-e az összes állapotváltozó. Korábban ezért vezettük be a megfigyelhetőség fogalmát, miszerint, ha egy rendszer teljesen megfigyelhető, akkor a mért jelekből, az összes állapotváltozó előállítható. Most arra keressük a választ, hogy hogyan.
Tegyük fel, hogy a rendszermátrixok ismertek és
Fontos megjegyezni, hogy az eredeti rendszernek a bemenetei adottak, az eredeti rendszerre a definícióból adódóan csak az
Legyen a tényleges és a becsült vektor különbsége
|
( 6.135 ) |
A hibára vonatkozó differenciálegyenlet a (6.133) és (6.131) különbsége
|
( 6.136 ) |
(6.132) és (6.134) felhasználásával
|
( 6.137 ) |
|
( 6.138 ) |
(6.138) és (6.109) hasonlósága alapján az állapotvisszacsatolás és a megfigyelő tervezése formálisan hasonló feladat. Ha
|
( 6.139 ) |
Egy lineáris rendszer az irányíthatóság és megfigyelhetőség szempontjából négy típusú alrendszerre bontható, az alrendszerekhez tartozó állapotváltozók
A felbontott rendszer állapottér egyenlete
Írjuk fel az átviteli függvényt
|
( 6.142 ) |
Látható, hogy a második egyenlőségjel után mind a nevező, mind a számláló fokszáma lecsökkent. Ez csak úgy valósulhat meg, ha néhány zésrus és pólus megegyezik, ezért a törtfüggvényből leegyszerűsíthető.
Amennyiben a közvetlenül nem mérhető állapotváltozókat egy megfigyelővel előállítottuk, akkor nincs akadálya az állapotvisszacsatolásnak. A tervezésnél arra kell ügyelnünk, hogy a megfigyelő sokkal gyorsabb legyen, mint maga a rendszer.
Feltételezzük, hogy a rendszer állandó együtthatós közönséges differenciálegyenlettel írható le. Többféle (többféle jelzővel ellátott) kanonikus alak létezik. A kanonikus alakokhoz a természetes módon (az egyenletekből közvetlenül) felírt állapotegyenletekből hasonlósági transzformációval juthatunk el.
A jelző nélküli kanonikus alak alapja az
|
( 6.143 ) |
ahol
|
( 6.144 ) |
Ha az i-edik sajátérték
|
( 6.145 ) |
ahol
Ebben az esetben két különböző elemi Jordan-mátrixhoz tartozó két állapotváltozó egymástól mindig független. A
Hasonlóan, az egyszeres sajátértékhez tartozó állapotváltozók és a többszörös sajátértékhez tartozó olyan állapotváltozók, amely felett lévő
Azok az állapotváltozók, amelyek sajátértéke mellett az
|
( 6.148 ) |
akkor e blokkhoz tartozó minden állapotváltozó irányítható a legalsó sorhoz tartozó állapotváltozón keresztül, és minden állapotváltozó megfigyelhető (rekonstruálható) a legfelső sorhoz tartozó állapotváltozóból.
xxxxx
6 . 8 feladat
Adott a következő rendszer. Írja fel az irányíthatósági mátrixot és döntse el, hogy irányítható-e a rendszer.
|
( 6.149 ) |
|
( 6.150 ) |
A determináns nem 0, ezért a rendszer irányítható.
6 . 9 feladat
Adott a következő rendszer. Írja fel az irányíthatósági mátrixot és döntse el, hogy irányítható-e a rendszer.
|
( 6.151 ) |
Látható, hogy az
|
( 6.152 ) |
Ha a determinánst az első sor alapján fejtjük ki, akkor minden tagban szerepel egy nulla tényező. Mivel
|
( 6.153 ) |
6 . 10 feladat
Adott a következő rendszer. Írja fel a megfigyelhetőségi mátrixot és döntse el, hogy megfigyelhető-e a rendszer.
|
( 6.154 ) |
|
( 6.155 ) |
|
( 6.156 ) |
A determináns nem 0, ezért a rendszer megfigyelhető.
6 . 11 feladat
Adott a következő rendszer. Írja fel a megfigyelhetőségi mátrixot és döntse el, hogy megfigyelhető-e a rendszer.
|
( 6.157 ) |
Látható, hogy az
6 . 12 feladat
Adott egy rendszer átviteli függvénye
|
( 6.158 ) |
Irjuk fel a rendszer állapottér egyenletét kanonikus alakban
A kimenőjel Laplace-transzformáltja
|
( 6.159 ) |
Részlettörtekre bontva
|
( 6.160 ) |
Három állapotváltozót bevezetve
|
( 6.161 ) |
Az állapotváltozókra felírható egyenletek
|
|
|
( 6.162 ) |
Átrendezve mátrixos formára:
|
( 6.163 ) |
|
( 6.164 ) |
6 . 13 feladat (pólus áthelyezés)
Egy lineáris rendszer állapottér egyenletei a következő alakban írhatóak fel.
|
( 6.165 ) |
Állapotvisszacsatolással a visszacsatolt szabályozási kör pólusait kívánjuk áthelyezni az ábrán látható módon.
A rendszer „mátrixok” értékei a következők: A = -2, B = 4, C = 1, D = 0.
Számítsa ki a rendszer időállandóját. Számítsa ki a K értékét úgy, hogy a visszacsatolt szabályozási kör időállandója a felére csökkenjen. Indokolja, hogy miért van szükség az Nx és Nu kompenzációra, adja meg azok számításának módját, és numerikusan is számolja ki!
Megoldás
Ez a rendszer egy állapotváltozós, SISO rendszer, mivel a rendszermátrixok skalárok. Ez a számolás során könnyebbséget jelent.
Első lépésben az eredeti rendszerrel foglalkozunk:
Az állapottér egyenleteket átírjuk a frekvenciatartományba, és a D=0 miatt egyszerűsítjük a második egyenletet. Kifejezzük az állapotváltozót (X), majd ezt behelyettesítve, a kimenetet (Y) kifejezzük a bemenet (U) függvényeként. Végül felírjuk a rendszer átviteli függvényét, megadva a póluspontot és az időállandót.
(Ez az átalakítás csak akkor tehető meg, ha az A ”rendszermátrix” skalár, tehát egyetlen állapotváltozó van. Az egyenletben szereplő I az egységmátrix.)
A póluspontban a nevező nulla:
A rendszer időállandója (valós értékű pólus esetén):
A póluspontot az alapok ismeretében egy lépésben is megkaphatjuk. Minden
alakban felírható lineáris rendszer átviteli függvénye:
Ebből az egyenletből egyértelműen látszik, hogy az ilyen rendszerek póluspontjai az A mátrix sajtértékei. Esetünkben az A mátrix skalár, tehát sajátértéke önmaga, vagyis a pólus:
Teljes rendszer a visszacsatolt szabályozási körrel:
A kikötés:
Az új póluspont így:
A szabályozási kör átviteli függvényét hatásvázlat átalakítás segítségével kapjuk meg. Először az időtartománybeli hatásvázlatot a frekvenciatartománybelivel helyettesítjük, és áthelyezzük az összegzési pontot, majd felírjuk az így keletkező előre-, és visszacsatolás eredő átviteli függvényét.
Az előrecsatolás eredő átviteli függvénye:
A visszacsatolásé:
A visszacsatolt szabályozási kör kimenetének függvénye:
A visszacsatolt szabályozási kör bemenete: r(t); R(s)
Így az átviteli függvény:
Az időállandóra tett kikötés miatt a pólus értéke:
A kívánt eredményhez a K visszacsatoló mátrix értékét
Az Nx, Nu kompenzációra azért van szükség, mert a visszacsatolással történő pólus áthelyezés a rendszer erősítését is megváltoztatja. Ezekkel a kompenzáló tagokkal lehet az eredő erősítést beállítani. Az általános elvárás, hogy a teljes rendszer erősítése egy legyen. A kompenzáló tagok számításához állandósult állapotot, azaz az elvárt értékre beállt rendszert feltételezünk.
A megadott hatásvázlattal jellemezhető feladatoknál, ha az elvárt eredő erősítés egy, akkor a bemenőjel (r(t)) valójában a kimenőjel elvárt értéke, amire be kell állnia (y(∞)). A frekvenciatartományban ekkor:
Állandósult állapotban a régi és az új állapot azonos, tehát az állapotváltozók vektora állandó, deriváltja pedig zérus, míg a különbségképző utáni különbségi jeltől (hibajeltől) pedig elvárjuk, hogy szintén zérus legyen:
A különbségi jel:
Az adott szabályozásnál, ha a különbségi jel zérus:
Az így meghatározott X(s) és U(s) értékeket visszahelyettesítjük az állapottér egyenletekbe, majd a szabályozott jellemző minden értékét egynek választjuk. (Mivel a jelenlegi feltételezésünk szerint a rendszer állandósult állapotban van, így Y(s) értékét bármilyen konstans értéknek választhatjuk, és az állandósult állapot miatt ez a szabályozó jel értéke is.)
Az így kapott két ismeretlenes egyenletrendszert mátrixos alakban nem tudjuk felírni, mert az ismeretlenek nem függetlenek. Azonban nincs nehéz dolgunk, mert a feladatban skalár értékekkel számolunk.
A második egyenlettel kezdve:
Így az első egyenlet:
Tehát:
A 6.3 alfejezet célja a 6.2 alfejezetben szereplő ismeretek elmélyítése papíron könnyebben kiszámítható példákon keresztül.
Tegyük fel, hogy az állapottér egyenletünk kanonikus alakban adott. Vizsgájuk meg, hogy az állapotvisszacsatolás hogyan hat a kanonikus alakra. Az egyszerűség kedvéért induljunk ki a 6.12 feladatban bemutatott rendszerből. Legyen
|
( 6.166 ) |
A (6.166) összefüggést behelyettesítve (6.163) állapotegyenletbe.
|
( 6.167 ) |
Jól látható, hogy az állapotvisszacsatolással elveszítjük a diagonális struktúrát. Célszerűnek látszik, hogy keressünk egy olyan más mátrixstruktúrát, amely az állapotvisszacsatolás után is megmarad.
Tegyük fel, hogy a rendszer állandó együtthatós közönséges differenciálegyenlettel írható le, amelyet Laplace-transzformálva a közvetkezőt kapjuk:
|
(6.168) |
Vezessük be a következő jelölést:
A (6.169) egyenletet kifejtve
|
( 6.171 ) |
Inverz Laplace-transzformálva:
|
( 6.172 ) |
átrendezve:
|
( 6.173 ) |
legyen
Az állapottér egyenlet
|
( 6.174 ) |
A kimenetre vonatkozó egyenlet
Két esetet kell különválasztani.
Ha n>r, akkor (6.176) alapján
|
( 6.177 ) |
A könnyebb ábrázolhatóság kedvéért vezessük be a következő jelölést
|
( 6.178 ) |
ahol
Ha n=r, akkor (6.176) mellett (6.173), illetve (6.174) utolsó sorára is tekintettel kell lennünk.
|
( 6.179 ) |
Tegyük fel, hogy
|
( 6.180 ) |
Az első lépésben az a célunk, hogy a megváltoztassük az átviteli függvény pólusait, vagyis (6.180) vevezőjének gyökeit. Jelöljük a bevezetni kívánt (desired) pólusokat
|
( 6.181 ) |
ahol
|
( 6.182 ) |
A bemeneti
|
( 6.183 ) |
Az állapotvisszacsatolás után a rendszert leíró egyenlet a következő lesz
|
( 6.184 ) |
Így egy magára hagyott rendszert kapunk (az utolsó sor egy homogén differenciálegyenlet), amelynek az együtthatóit tetszőlegesen beállíthatjuk a
|
( 6.185 ) |
Az állapotvisszacsatolással azt tudjuk elérni, hogy a rendszer tetszőleges kezdeti értékből kiindulva a
|
( 6.186 ) |
A (6.116) egyenletből kitűnik, hogy az állapotvisszacsatolással az
|
( 6.187 ) |
Ha az a célunk, hogy legyen
|
( 6.188 ) |
A végérték tétel alapján
|
( 6.189 ) |
|
( 6.190 ) |
Az állapotvisszacsatolás blokk diagramját irányíthatósági kanonikus alak esetén a 6-14. ábra mutatja.
A 6.3.3 pontban leírt módszer elméletben nagyon hatékonynak bizonyult, de a gyakorlatban legtöbbször közvetlenül még akkor sem alkalmazható, ha minden állapotváltozót mérni tudunk, mivel a rendszer fizikai felépítése eltér az irányíthatósági kanonikus alaktól. Ezért először a mért állapotváltozókat transzformálni kell az irányíthatósági kanonikus alakara, ahol az állapotvisszacsatolás megtervezhető a 6.3.3 pontban leírt módszerrel. Az állapottranszformáció és a visszacsatoló mátrix (pontosabban esetünkben sorvektor) közvetlenül megtervezhető az Ackermann formula segítségével.
Először vizsgáljuk meg, hogy miként hat a hasonlósági transzformáció az állapotvisszacsatolásra.
Adott egy (6.3) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszer, amelyet egy megfelelő hasonlósági transzformációval átalakítunk.
Tegyük fel, hogy a transzformált rendszerhez valamilyen szempont szerint megterveztük a szükséges
|
( 6.193 ) |
A (6.193) összefüggésből kiolvasható, hogy ha ismerjük a hasonlósági transzformációs mátrixot és a transzformált rendszerhez megterveztük az állapotvisszacsatolást, akkor kiszámíthatjuk az eredeti rendszerhez szükséges állapotvisszacsatolást.
|
( 6.194 ) |
Adottakegy SISO rendszer állapottér egyenletei, ahol az
|
( 6.195 ) |
Használjuk ki
|
( 6.196 ) |
|
( 6.197 ) |
Látható, hogy ha
|
( 6.198 ) |
A rekurziót kihasználva (6.197) összefüggésből kiolvasható, hogy
|
( 6.199 ) |
|
( 6.200 ) |
Vegyük észre, hogy (6.200) jobboldalán megjelent az irányíthatósági
|
( 6.201 ) |
|
( 6.202 ) |
A (6.202) és (6.199) segítségével a
Így már van egy algoritmusunk általános alakú LTI SISO rendszer pólusáthelyezésre alapuló állapotvisszacsatolásának megtervezésére.
Az állapotvisszacsatolással elérni kívánt
|
( 6.203 ) |
|
( 6.204 ) |
ebből már adódik
|
( 6.205 ) |
Az Ackermann formula egy fontos lépés a gyakorlati alkalmazhatóság felé, de a legtöbb gyakorlati esetben egy megfigyelőre is szükség van, hogy a nem mérhető állapotváltozókat előállítsuk. Ahogy létezik egy olyan mátrix struktúra, amely esetén az állapotvisszacsatolás könnyen megtervezhető, úgy létezik egy olyan mátrix struktúra, amely a megfigyelő tervezését teszi egyszerűbbé, ezt nevezzük megfigyelhetőségi kanonikus alaknak. Az irányíthatósági kanonikus alakból úgy kapjuk a megfigyelhetőségi kanonikus alakot, ha az A mátrixot transzponáljuk, továbbá a B és C mátrix szerepét felcseréljük (D mátrix változatlan).
Jelöljük
|
( 6.206 ) |
Hasonlósági transzformációval a kiterjesztett egyenletet átírjuk irányíthatósági kanonikus alakra
|
( 6.207 ) |
A transzformált mátrixokat mechanikus számítással megkaphatjuk, de logikailag is belátható, hogy a 6-14. ábraán látható visszacsatolt rendszer csak úgy terjeszthető ki egy integrátorral úgy, hogy közben az irányíthatósági kanonikus alakot megtartsuk, hogy az
|
( 6.208 ) |
A kiterjesztett rendszer transzformált mátrixai a következő alakúak lesznek
|
( 6.209 ) |
6 . 14 feladat Irányíthatósági kanonikus alak blokk diagram alapján
Írja fel a 6.3 feladatban bemutatott rendszer állapottér egyenletét irányíthatósági kanonikus alakban.
A 6-3. ábra alapján
|
( 6.210 ) |
|
( 6.211 ) |
6 . 15 feladat Állapotvisszacsatolás (két állapotváltozó)
Egy szabályozott szakasz két időállandóval rendelkezik (
|
( 6.212 ) |
Írja fel a MATLAB zp2ss paranccsal a rendszer állapottér egyenletét. Állapotvisszacsatolással és „place” parancsa segítségével változtassa meg a visszacsatolt rendszer pólusait
a)
A legnagyobb időállandót csökkentsük ötödére
b)
Visszacsatolással alakítsuk lengővé a rendszert. A lengések amplitúdója csökkenjen a legnagyobb időállandóval leírható burkológörbével. és a lengések frekvenciája legyen 1 Hz.
c)
Visszacsatolással alakítsuk lengővé a rendszert. A lengések amplitúdója csökkenjen a legnagyobb időállandó ötödével leírható burkológörbével. és a lengések frekvenciája legyen akkora, hogy kb. egy túllendülés után álljon be a rendszer. Ezt azzal érjük el, hogy a lengések periódusideje legyen azonos a burkoló görbe időállandójának ötszörösével, vagyis az eredeti legnagyobb időállandóval.
d)
A póluspárt a csillapítás (
|
( 6.213 ) |
Ha
|
( 6.214 ) |
ahol:
|
( 6.215 ) |
|
( 6.216 ) |
Az ugrásválasz burkológörbéjéből levezethető, hogy a
|
( 6.217 ) |
Ha tehát megadjuk
|
( 6.218 ) |
T1=1; T2=0.1; Tsim=T1*10; %Átviteli függvény TFzeros= []; TFpoles= [-1/T1 -1/T2]; TFgain= 1/T1/T2; %Állapot-tér modell [A,B,C,D]=zp2ss(TFzeros,TFpoles,TFgain) B=B*C(2); %normaizálás C(2)=1; %a) eset newpoles=[-1/T1*5 -1/T2]; %A legnagyobb időállandót ötödére csökkentjük %b) eset newpoles =[-1/T1 +2*pi*i -1/T1-2*pi*i]; %Lengést eredményező pólusok %c) eset newpoles =[-1/T1*5+2*pi/T1*i -1/T1*5-2*pi/T1*i]; %aperiodikus beallás %d) eset Tsz=1; %szabályozási idő kr=2; %szabályozási időhöz tartozó korlát xi=0.75; %csillapítás w0=log(100/kr)/Tsz/xi; %sajátfrekvencia p1=-w0*xi+i*w0*sqrt(1-xi^2); %pólusok p2=-w0*xi-i*w0*sqrt(1-xi^2); newpoles =[p1 p2]; K1=place(A,B,newpoles) % Statikus hiba korrekció s = size(A,1); Z = [zeros([1,s]) 1]; N = inv([A,B;C,D])*Z'; Nx = N(1:s); Nu = N(1+s); comp=Nu + K1*Nx;
A szimulációs eredményből kitűnik, hogy az állapotvisszacsatolással a visszacsatolt rendszer tulajdonságait viszonylag szabadon tudjuk befolyásolni, a kívánt beállás jellegét a beavatkozójel segítségével tudjuk elérni.
6 . 16 feladat Állapot visszacsatolás (három állapotváltozó)
Ismét a (6.158) átviteli függvényből indulunk ki és felírjuk a kimenőjel Laplace-transzformáltját
|
( 6.219 ) |
a)
Írjuk fel az állapotegyenleteket irányíthatósági kanonikus formában. Vezessük be az
|
( 6.220 ) |
|
|
|
( 6.221 ) |
Az eredeti rendszer pólusai: -1, -2 és -4
|
( 6.222 ) |
a) eset
Helyezzük át a legkisebb abszolút értékű (legnagyobb időállandóhoz tartozó) pólust -1-ről -3-ra.
|
( 6.223 ) |
Látható, hogy a nevező polinom együtthatói megváltoznak: 1, 9, 26 és 24. Az állapotvisszacsatolás megtartja az eredeti struktúrát, így a visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye a következő lesz
|
( 6.224 ) |
(6.222) és (6.223) összehasonlításából kitűnik, hogy
|
( 6.225 ) |
Az eredeti (6.158) és a visszacsatolt (6.224) rendszer átmeneti függvényének állandósult értékének reciprokával kell a referenciajelet megszorozni, hogy egységnyi erősítést kapjunk.
Látható, hogy a negatív visszacsatolás csökkenti a rendszer erősítését.
További lehetőségek
b) eset
Visszacsatolással alakítsuk lengővé a rendszert. A lengések amplitúdója csökkenjen 0.5 időállandóval leírható burkológörbével, és a lengések frekvenciája legyen akkora, hogy kb. egy túllendülés után álljon be a rendszer. Ezt azzal érjük el, hogy a lengések periódusideje legyen azonos a burkoló görbe időállandójának ötszörösével, vagyis a periódusidő legyen 2.5. A harmadik (legkisebb) időállandó legyen 0.2. Ennek megfelelően a visszacsatolt rendszer pólusai legyenek a következők
|
( 6.228 ) |
A (6.228) alapján a visszacsatolt rendszer átviteli függvényének nevezője a következő alakot ölti
|
( 6.229 ) |
(6.222) és (6.229) összehasonlításából a visszacsatolás sorvektora felírható
|
( 6.230 ) |
c) eset
A póluspárt a csillapítás (
|
( 6.231 ) |
Ha
|
( 6.232 ) |
ahol:
|
( 6.233 ) |
|
( 6.234 ) |
Az ugrásválasz burkológörbéjéből levezethető, hogy a
|
( 6.235 ) |
Ha tehát megadjuk
|
( 6.236 ) |
(6.213) és (6.218) alapján a póluspár kiszámítható.
|
( 6.237 ) |
A Matlab értékadás
A=[0 1 0; 0 0 1; -8 -14 -7]; B=[0 0 1]'; C=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; D=[0; 0; 0]; Cv=[7 3 0]; %a) eset newpoles=[-2 -3 -4]; %b) eset newpoles=[-2+i*2*pi*2/5 -2-i*2*pi*2/5 -5]; %c) eset Tsz=2; %szabályozási idő kr=2; %szabályozási időhöz tartozó korlát xi=0.8; %csillapítás w0=log(100/kr)/Tsz/xi; %sajátfrekvencia p1=-w0*xi+i*w0*sqrt(1-xi^2); %pólusok p2=-w0*xi-i*w0*sqrt(1-xi^2); newpoles =[p1 p2 -5]; K2=-poly(newpoles)+poly([-1 -2 -4]); Kx=[K2(4) K2(3) K2(2)] ko_v=(-Kx(1)+8)/7 ko=8/7
6 . 17 feladat Megfigyelő tervezése
Adott egy külsőgerjesztésű egyenáramú motor a következő jelölésekkel
|
( 6.238 ) |
Tekintsük a rendszer bemenő jelének a motor kapocsfeszültségét és tegyük fel, hogy csak a fordulatszám mérhető. Írja fel a motor állapottér egyenletét és tervezzen teljes állapotmegfigyelőt a MATLAB place parancs segítségével..
A motor állapottér egyenlete
|
( 6.239 ) |
Behelyettesítve a paraméterek értékeit
|
( 6.240 ) |
A rendszer pólusai
|
( 6.241 ) |
Válasszuk meg a megfigyelő két pólusát úgy, hogy a megfigyelő működése gyorsabb legyen, mint a rendszeré (vagyis a megfigyelő mindkét pólusa nagyobb abszolút értékű, mint a rendszer legkisebb pólusa).
Legyen
|
( 6.242 ) |
Ez azt jelenti, hogy a valós és becsült állapotváltozók különbsége kb. 2 ms időállandóval szűnik meg. A megfigyelő visszacsatoló vektora
|
( 6.243 ) |
Látható, hogy a kezdeti érték gyors megszüntetése nagy abszolút értékű visszacsatolással lehetséges, ami zajos mérés esetén gondot okozhat. Legyen a valós és a becsült áram kezdeti értéke -1 és 0. A szimulációs eredmények a 6-25. ábraán láthatók.
A számításnál használt MATLAB program
clear all; close all; % Motor paraméterek La = 1.1e-3; Ra = 2.7; Jm = 0.12; nu = 2; Kfi = 5.07; Ua=10; Ts=0; Tsim=0.01; % Motor állapottér mátrixai A = [-nu/Jm Kfi/Jm; -Kfi/La -Ra/La]; B = [0; 1/La]; C = [1 0]; D = [0]; % Állapotváltozók: x=[omega; ia] % Megfigyelhetőség ellenőrzése O = obsv(A,C); rank(O); % Megfigyelhetőség ellenőrzése syst_poles=eig(A); obs_polse=[-500 -1000]; % A megfigyelő pólusai: Lt = acker(A',C',obs_polse); Lo = Lt'; % C és D mátrix átalakítása C = [1, 0; 0, 1]; D = [0; 0]; % A valós rendszer áramának kezdeti értéke x0 = [0, -1]; % A megfigyelő modell Ah = A; Bh = [B, Lo]; Ch = eye(2); Dh = [0, 0; 0, 0]; xh0 = [0, 0]; % Szimuláció simulink modell segítségével sim('DCmotor_simu_open.mdl') %Kirajzolás plot(tout, yout(:,1), tout, yout(:,2), '--'); set(gca, 'fontsize', 19); xlabel('Idő (sec)'); legend('x[1] = ia', 'xe[1]=ia_e'), ylabel('Áram'),grid,shg title('A valós és becsült áram'); figure('Name', 'velocity') plot(tout, yout(:,3), tout, yout(:,4), '--'); set(gca, 'fontsize', 19); xlabel('Idő (sec)'); legend('om[1] = om', 'ome[1]=om_e'), ylabel('Sebesség'),grid,shg title('A valós és becsült sebesség');
A fenti programban használt Simulink modell a 6-26. ábraán látható
6 . 18 feladat Pólus áthelyezés (papíron kiszámítva )
Adott a következő rendszer:
|
( 6.244 ) |
Transzformálja a rendszert az irányíthatósági kanonikus lakra. Határozza meg a szükséges állapotvisszacsatolás értékét úgy, hogy a visszacsatolt rendszer pólusai a komplex számsíkon átkerüljenek a
Először írjuk fel az irányíthatósági mátrixot és invertáljuk azt
|
( 6.245 ) |
A
|
( 6.246 ) |
Szükségünk van a
|
( 6.247 ) |
Végül felírhatjuk az állapotmátrixokat irányíthatósági kanonikus alakban
|
( 6.248 ) |
A visszacsatolatlan rendszer átviteli függvénye
|
( 6.249 ) |
A két pólus
|
( 6.250 ) |
A két átviteli függvény összehasonlításából kiderül:
|
( 6.251 ) |
Visszatérve az eredeti rendszerhez (6.194) alapján.
|
( 6.252 ) |
Az alapjel kompenzáló tagok értéke
6 . 19 feladat Ackermann formula (papíron kiszámítva)
a)
A 6.18 feladatot oldjuk meg az Ackermann formulával.
b)
A 6.15 feladat a) alkérdését oldjuk meg az Ackermann formulával.
a)
|
( 6.255 ) |
b)
A feladatban nem volt megkötés, hogy az állapottér egyenletet milyen formában írjuk fel, így válasszuk a kanonikus alakot
|
( 6.256 ) |
Ebből az állapotmátrixok kiolvashatók
|
( 6.257 ) |
Először írjuk fel az irányíthatósági mátrixot és invertáljuk azt
|
( 6.258 ) |
A feladat szerint a visszacsatolt rendszer két időállandója
|
( 6.259 ) |
A kanonikus alak előnye, hogy könnyű a karakterisztikus egyenletbe helyettesíteni
|
( 6.260 ) |
Ez az eredmény nem meglepő. Ezt az eredményt klasszikus, blokkdiagramra alapozott ismeretekkel is megkaphatjuk. Az állapottér modell belső összefüggései a (6.257) mátrix értékekkel a 6-27. ábra
segítségével szemléltethető.
A
A 6-28. ábra hatáspont áthelyezésekkel átrajzolható.
Mind a kezdő, mind a végpontját áthelyezve az
A 6-30. ábra alapján a visszacsatolt rendszer átviteli függvénye.
|
( 6.261 ) |
Ismét megfigyelhető, hogy a negatív visszacsatolás csökkenti a rendszer erősítését, ez egy megfelelő erősítő taggal kompenzálható.
6 . 20 feladat Transzformálás irányíthatósági kanonikus alakra
MATLAB formában adott egy LTI SISO rendszer három rendszermátrixa (A, B és C). Az állapotváltozók száma 4. Írjon MATLAB programot, amely a rendszermátrixokat irányíthatósági kanonikus alakra transzformálja.
Alkalmazza a programot a 6.3 feladatban leírt rendszerre.
Mc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] Bc=[0 0 0 1]' Tc1=Bc'*inv(Mc) Tc=[Tc1; Tc1*A; Tc1*A*A; Tc1*A*A*A] Tci=inv(Tc) Ac=Tc*A*Tci Cc=C*Tci
|
( 6.262 ) |
|
( 6.263 ) |
6 . 21 feladat Integrátorral kiegészített á l lapotvisszacsatolás
A 6.16 feladat b) esetében megismert rendszert egészítsük ki egy integrátorral.
|
( 6.264 ) |
Az integrátor miatt eggyel megnöveltük az állapotváltozók számát, így a pólusok számát is meg kell növelni. Legyen a negyedik pólus értéke -10, és használjuk a MATLAB place parancsát. A bemenetre kapcsoljunk 1 egységnyi terhelésrádobást modellező zavarójelet az 5s időpontban. Hasonlítsuk össze a visszacsatolás nélkül, a visszacsatolt és az integrátorral kiegészített visszacsatolt rendszer működését a 6.16 feladat b) esetében.
|
( 6.265 ) |
A 6-31. ábraán látható, hogy a visszacsatolás nélkül a rendszer nem tudja kiküszöbölni a terhelésrádobás hatását. A visszacsatolással a rendszer válasza egyrészt gyorsítható, másrészt a terhelésrádobás hatása is csökkenthető, de teljesen nem küszöbölhető ki. Ha a visszacsatolás mellett még egy integrátort is alkalmazunk, akkor azzal a beavatkozójel hirtelen ugrásait is simíthatjuk. Ez minimális késleltetést jelent az integrátor nélkül visszacsatolt rendszerhez képest, ugyanakkor az integrátor a konstans értékű terhelés hatását teljesen ki tudja küszöbölni. A késleltetésnek az az oka, hogy az eredeti rendszer
6.16 feladat b) esetének folytatásaként (newpolese meghatározása ott történt)
Ae=[0 1 0 0; 0 0 1 0; -8 -14 -7 0; -7 -3 0 0]; Be=[0 0 1 0]'; Ce=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]; De=[0; 0; 0; 0]; C1e=[7 3 0 0]; newpolese =[newpoles -10]; K4=place(Ae,Be,newpolese); Kx_i=-K4(4) Kxe=-K4(1:3)
6.20 feladatban leírtak szerint írja át (6.264) állapottér egyenletet irányíthatósági kanonikus alakra
|
( 6.266 ) |
|
( 6.267 ) |
Látható, hogy a kibővített rendszer könnyen átírható irányítható kanonikus alakra. Ebben az alakban visszacsatolás mértéke könnyen kiszámítható. A karakterisztikus egyenlet együtthatói
|
( 6.268 ) |
|
( 6.269 ) |
Ellenőrzésképpen kiszámíthatjuk, hogy a (6.194) összefüggésnek megfelelően teljesül a következő egyenlőség
|
( 6.270 ) |
A lineáris idő variáns rendszerek általános rövidítése, az angol név alapján LTV (Linear Time Varying).
Diszkrét időben
Az előző esethez képest annyi a különbség, hogy a rendszer mátrixok minden időlépésben megváltoznak (sok esetben ez a változás a mátrixoknak csak néhány elemét érintik)
|
( 6.271 ) |
ahol
Folytonos időben
|
( 6.272 ) |
ahol
A kilencvenes években került a kutatók érdeklődésének középpontjába a lineáris változó paraméterű rendszerek. A rövidítés itt is az angol névből származik LPV (Linear Parameter Varying)
Diszkrét időben
Az előző esethez képest annyi a különbség, hogy a rendszer mátrixok minden időlépésben egy paramétertől függően változnak (sok esetben ez a változás a mátrixoknak csak néhány elemét érinti)
|
( 6.273 ) |
ahol
Folytonos időben
|
( 6.274 ) |
ahol