8. fejezet - Kihajlás vizsgálat

Tartalom
8.1. Áttekintés
8.2. Kihajlás vizsgálat VEM példa
8.3. Analitikus megoldás

8.1. Áttekintés

Az alábbiakban az ANSYS Workbench végeselem programban elvégezhető lineáris kihajlás vizsgálatot mutatjuk be. A lineáris kihajlás vizsgálat (Linear Buckling Analysis) , (vagy más néven sajátérték kihajlás (Eigenvalue Buckling) ), egy ideálisan rugalmas szerkezet elméleti kihajlási merevségét határozza meg, (pl. egy rugalmas oszlop kihajlásának Euler féle megoldását adja meg.). Bár a valóságban az anyagszerkezet hibái és nemlinearitásai megakadályozzák, hogy a szerkezet elérje az elméleti kihajlási merevségét, mégis hasznos lehet az (nem konzervatív) eredmény gyors becslésére. Az instabilitás előrejelzésére sokkal pontosabb megoldást ad a nemlineáris kihajlás vizsgálat, amely magában foglal egy statikai analízist, bekapcsolt „nagy lehajlások” (Large Deflection) effektussal. Ebben a vizsgálatban fokozatosan növekedő terhelést használunk az instabillá válás terhelési szintjének megtalálásához. Nemlineáris technika alkalmazásakor lehetőségünk van kezdeti tökéletlenségek, plasztikus viselkedés, hézagok, nagy lehajlások alkalmazására a modellben.

  • Anyagmodellek.

    Az anyagmodell csak lineáris lehet, továbbá izotróp, vagy ortotróp, állandó, vagy hőmérsékletfüggő. Az anyag nemlineáris tulajdonságai figyelmen kívül maradnak. Meg kell adnunk az anyag merevségét (pl.: rugalmassági modulus és Poisson-tényező).

  • Alkatrész viselkedés, Kontaktok, Hálózás.

    A statikai szimulációnál leírtak vonatkoznak rá.

  • A szimuláció beállításai.

    Meg kell adni a módusok számát, (általában az 1., vagyis a legalacsonyabb az érdekes).

  • Kezdeti és Peremfeltételek / Terhelések

    A lineáris kihajlás vizsgálatot egy statikai analízisnek kell megelőznie, ami a lineáris kihajlás vizsgálat kezdeti feltételét fogja jelenteni. A kihajlás vizsgálatban nem lehet terheléseket és peremfeltételeket definiálni. Ezek és a feszültségi állapotok a statikai analízisből kerülnek felhasználásra.

    Nem nulla értékű kényszerek is alkalmazhatók.

  • Az eredmény bemutatása.

    A lineáris kihajlás vizsgálat eredménye a kihajlási terhelés faktora és a hozzá tartozó kihajlási alakok. A kihajlási terhelés faktora a statikai analízisben megadott terheléssel szorozva adja meg az instabil viselkedéshez tartozó kritikus terhelést értékét. (Kihajlási terhelés = Kihajlási terhelés faktora * Statikus terhelés). A kihajlási terhelés faktora az összes alkalmazott terhelésre vonatkozik. Egy szerkezet elvileg végtelen sok kihajlási terhelési faktorral rendelkezhet, és minden faktor egy instabilitási mintához tartozik. De számunkra általában a legalacsonyabb az érdekes.

    Az eredményként kapott módusok hasznos segítséget nyújtanak a kihajlás alakjának szemléltetésében, de a deformáció abszolút értéke nem ad valós eredményt. Lekérdezhető a feszültség és a fajlagos nyúlás is, de abszolút értékük nem valós, (az elmozduláshoz hasonlóan), helyes információt csak a relatív eloszlásukról ad. Az eredményt animálhatjuk, ami a relatív elmozdulások időbeni lefolyásával szemléletesen mutatja a kihajlás módját.

8.2. Kihajlás vizsgálat VEM példa

Az alábbi példában, ugyanazt a geometriai modellt felhasználva, többféle megtámasztási esettel vizsgáljuk a szerkezet kihajlását. A geometria minden esetben egy, a korábbi példákban alkalmazott, 100mm hosszú és 10x2mm-es négyszög keresztmetszetű gerendamodell (Line Body/Beam Element).

A szimuláció mindig két részből áll, először az adott befogási feltételekkel egy statikai vizsgálatból, majd egy erre épülő (kezdeti feltétel a megelőző statikai analízis) lineáris kihajlás vizsgálat (Linear Buckling) . Tehát a geometria létrehozása után egy statikai (Static Structural) analízist kell létrehoznunk, melyben definiáljuk az anyagmodellt, a hálózást, valamint a perem és terhelési feltételeket. A feladatban eltekintünk a statikai analízis eredményeinek bemutatásától, csak a kihajlási eredményeket tekintjük át az egyes befogási eseteknél.

Az anyaghoz használjunk szerkezeti acélt (E=200GPa, v=0,3). A hálózáshoz 2mm-es elemméretet használtunk, így a teljes elemszám 50 lett. A geometriát és a véges elemes hálót a 8.1. ábra szemlélteti.

A geometriai és a végeselem modell négyszög keresztmetszetű rúd esetén
8.1. ábra - A geometriai és a végeselem modell négyszög keresztmetszetű rúd esetén


A szerkezeti analízisben egy alapterhelést kell beállítanunk, amelynek a szorzóját a kihajlás vizsgálat fogja megadni. A négyszög keresztmetszetű rudat mindegyik esetben 100N nagyságú –Z tengely irányú erővel terheljük az egyik végén, úgy, hogy a rúd nyomva legyen.

Az erőterhelés (F=100N), és a megmaradt szabadságfokok a különböző megfogási esetekben. A peremfeltételektől függő működő rúdhossz: l0,I=l, l0,II=2l, l0,III=0,7l, l0,IV=0,5l.
8.2. ábra - Az erőterhelés (F=100N), és a megmaradt szabadságfokok a különböző megfogási esetekben. A peremfeltételektől függő működő rúdhossz: l0,I=l, l0,II=2l, l0,III=0,7l, l0,IV=0,5l.


A vizsgálatot a peremfeltételek, vagyis a két rúdvég megtámasztásának különböző eseteivel végezzük el. A befogási esetek megegyeznek a karcsú rúd analitikus kihajlás vizsgálata során használt, és jól ismert 4 modellel:

  1. befogási eset (8.2. ábra, I.):

    Az első esetben az erőterhelési oldalon egy külpontos megfogás (Remote Displacement) típusú kényszerrel definiáljuk ennek a végpontnak a viselkedését. Ezzel az adott pont elmozdulását és elfordulását is beállíthatjuk. (Jelen esetben a végpont elmozdulása oldalirányban (X és Y) gátolva van, azonban tengelyirányban (Z) szabadon elmozdulhat, az elfordulás X és Y tengely körül megengedett, Z tengely körül azonban, tehát e tengely mentén nincs elfordulás.)

    A terhelőerővel ellentétes oldalon egy egyszerű megtámasztás típusú (Simply Supported) befogást definiáltunk, amely azt jelenti, hogy a rögzített pont elmozdulása minden irányban gátolt, azonban az elfordulás minden tengely mentén megengedett.

    Kihajlás vizsgálat eredménye az első befogási viszonyokkal:

    A kihajlás nagyságát az középvonal mentén kérdeztük le, X és Y irányban megfigyelve a deformációt. Látható, hogy a kihajlás Y irányba, (vagyis a keresztmetszet kisebb másodrendű nyomatékának tengelyére merőleges irányban) történt, az X irányban a deformáció elhanyagolható. A kihajlott alak megfelel a peremfeltételek mellett várt alaknak, a konzol közepe kihajlik.

    Y irányú deformáció az első megfogási esetben.
    8.3. ábra - Y irányú deformáció az első megfogási esetben.


  2. befogási eset, (8.2. ábra, II.):

    Ebben a megfogási esetben a terheléssel ellentétes oldalon egy fix megfogás (Fix Support) típusú megtámasztás található. Tehát ennek a pontnak minden szabadságfokát elimináltuk, se elmozdulás, se elfordulás nem lehetséges. A terhelés támadáspontjánál nem definiáltunk kényszereket, ez a pont szabadon elmozdulhat és elfordulhat minden irányban.

    Kihajlás vizsgálat eredménye a második befogási esetnél:

    Az deformációs eredményen jól látható, hogy a kihajlott alak megfelel az előzetes várakozásainknak, a terhelés támadáspontja az Y irányba, (vagyis a keresztmetszet kisebb másodrendű nyomatékának tengelyére merőleges irányban) mozdul el (8.4. ábra).

    Y irányú deformáció a második megfogási esetben.
    8.4. ábra - Y irányú deformáció a második megfogási esetben.


  3. befogási eset, (8.2. ábra, III.):

    Ebben az esetben a konzol befogásánál fix megfogást (Fix Support) definiálunk, míg a terhelési pontnál egy külpontos megfogást (Remote Displacement) alkalmazunk, a következő beállításokkal: X és Y irányú elmozdulás megkötése, a Z irányú elmozdulás, valamint az X, Y és Z tengely körüli elfordulás szabadon hagyása. Mivel az elfordulást egyik tengely mentén sem kell megkötni, használhatunk Displacement kényszert is.

    Kihajlás vizsgálat eredménye a harmadik befogási esetnél:

    Az alábbi ábrán látható, hogy a kihajlott deformált alak megfelel a várakozásoknak, a konzol egy része az Y irányba kihajlik (8.5. ábra).

    Y irányú deformáció a harmadik megfogási esetben.
    8.5. ábra - Y irányú deformáció a harmadik megfogási esetben.


  4. befogási eset, (8.2. ábra, IV.):

    Utolsó esetben a terhelési oldalon egy olyan külpontos megfogást (Remote Displacement) alkalmazunk, amely csak a Z irányú elmozdulást enged meg, a többi irányú elmozdulás és minden tengely menti elfordulás gátolva van. A befogási pont fixen van rögzítve (Fix Support) . (8.2. ábra, I.)

    Y irányú deformáció a negyedik megfogási esetben.
    8.6. ábra - Y irányú deformáció a negyedik megfogási esetben.


8.3. Analitikus megoldás

A végeselemes programok eredményének ellenőrzéseként oldjunk meg a feladatot Euler és Tetmajer módszerével. Kiindulásnak adva van egy téglalap keresztmetszetű rúd, az alábbi paraméterekkel. Feltételezzük, hogy a rúd anyaga homogén és izotróp és a terhelés a keresztmetszet súlypontjában, rúdirányban hat. [25.] .

Kiinduló adatok:

A hasáb méretei – hossza: L = 100 mm, magassága: h = 2 mm, szélessége: b = 10 mm;

Anyaga – Szénacél [25.] , Rugalmassági modulus: E = 200 GPa, Poisson tényező: ν = 0,3;

A Tetmajer egyenes állandói a = 308, b = 1,14; Folyáshatár: σ eH = 240 MPa.

Határozzuk meg a rúd kritikus (törő) feszültségét és a meghajolt rúd alakját.

A rudat terhelő kritikus erő hatására a rúdvégtől számított (z) távolságú helyen M(z)=F t ·y(z) nyomaték hat, amely a rúd alakváltozását okozza.

Ahol:

M(z) – a rúdba ébredő hajlítónyomaték,

F t – a kritikus terhelőerő,

y(z) – az egyenestől való kitérés mértéke.

A kihajlás egyenletét a rugalmas szál differenciál egyenletéből származtatjuk.

 

d 2 y d z 2 = M ( z ) I E = F t y ( z ) I E

(8.1)

ahol:

I – a keresztmetszeti tényező, (téglalap esetén I = b·h 3 /12),

E – az anyag rugalmassági modulusa.

 

α 2 = F t I E

(8.2)

helyettesítéssel az y”+α 2 y=0 másodrendű homogén differenciálegyenletet kapjuk, melynek általános megoldása adja a rúd alakját leíró függvény.

 

y ( z ) = A s i n ( α z ) + B c o s ( α z )

(8.3)

Az A és B tagok a rúdvégeken alkalmazott peremfeltételektől függő állandók. Mindkét végén csuklós megfogást választva ( y(0)=0, y(l)=0), B=0 és Asin (αl)=0, ebből A=0 triviális megoldás a y(z)=0 -t eredményezné ezért α=nπ/l adódik (n=1 -nek van gyakorlati jelentősége). Visszahelyettesítés után kapjuk a kritikus erő számításának Euler féle egyenletét, ahol az l 0 a peremfeltételektől függő működő rúdhossz (lásd: 8.2. ábra).

 

F t = ( π l 0 ) 2 I E

(8.4)

 

i 2 = I A ;   λ = l 0 i

(8.5)

állandók bevezetésével kapjuk a gépészeti tervezésben szokásos összefüggést.

 

σ t = π 2 E λ 2

(8.6)

ahol:

σ t – a kritikus törőfeszültség,

λ – karcsúsági tényező.

Az Euler féle összefüggés csak karcsú rudak rugalmas kihajlására érvényes. A zömök rudak képlékeny kihajlására a Tetmajer összefüggés ad megoldást.

 

σ t = a b λ

(8.7)

ahol:

a, b– anyagtulajdonságtól függő állandók.

A képlékeny szakaszra számos más megoldás is létezik, de példánkban a Tetmajer egyenest vesszük fel mivel ez a legismertebb eljárás.

✎ A fenti egyenletek alapján rajzoltassuk ki diagramban a kritikus feszültség értékét a karcsúsági tényező függvényében és a kihajlott rúd alakját különböző peremfeltételek alkalmazása mellett. Hasonlítsuk össze a végeselemes programok eredményeivel.

A kihajlás vizsgálat analitikus és VEM eredményeinek összevetése.
8.7. ábra - A kihajlás vizsgálat analitikus és VEM eredményeinek összevetése.


Ismét felhívnánk a figyelmet az eredmények körültekintő alkalmazására. Látható, hogy a IV. megfogási eset végeselem megoldása már a képlékeny tartományba esik, tehát a kapott eredményt felül kell bírálni az adott anyagra érvényes karcsúsági határ (λ 0 ) szerint.